ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΛΥΣΗ - ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : α) 5 + δ) 4 στ) 4 β) = ε) = + 5 = 4 = ΟΡΙΖΟΥΣΑ ης ΤΑΞΗΣ : Η διάταξη αριθμών ή παραστάσεων γενικά, σε δύο γραμμές και δύο στήλες τοποθετημένων ανάμεσα σε δύο παράλληλες γραμμές : α β γ δ oνομάζεται ορίζουσα ης τάξης. Ανάπτυγμα μιας ορίζουσας ης τάξης είναι : α β = α δ β γ γ δ. Να δείξετε ότι η ευθεία ε :. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων :, είναι κάθετη στην ευθεία ε : = + λ. α) Α = + 4 β) B = + 4 4. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα : + α) β) λ + 4+ 7 λ λ + λ = λ + λ+ δ) ε) στ) + λ = 8+ λ + λ ζ) η) λ λ + ( λ ) ( λ ) + 5 + + λ+ + = + λ θ) λ = + eal ss/bl - -
λ λ + + 4 = 8 λ ι) ια) ιβ) + λ + ( λ + 4) = 8 4 ( μ ) ( μ 7) + + = 7 4 5 = μ + 8 5. Να λύσετε και να διερευνήσετε τα παρακάτω συστήματα : λ α) β) λ λ δ) λ+ + ( λ ) + ( λ + ) = ( λ + ) λ + λ + λ+ ( λ ) ( λ 4) λ ε) στ) + λ = λ+ ζ) η) + λ ( λ ) ( λ ) + + 8 λ λ+ λ + λ ( λ ) ( λ ) ( λ) ( λ ) + = λ ΕΠΙΛΥΣΗ - ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Έστω το σύστημα : α + β = γ α + β = γ (Σ) Υπολογίζουμε τις ορίζουσες του (Σ) : α β γ β α γ =, =, = α β γ β α γ Αν, τότε το (Σ) έχει μοναδική λύση : = και = Aν, τότε : ι) αν ή, τότε το (Σ) είναι αδύνατο. ιι) αν =, τότε το (Σ) είναι αόριστο δηλ. έχει άπειρες λύσεις, εκτός και αν οι συντελεστές των αγνώστων του (Σ) είναι μηδενικοί και οι σταθεροί όροι του μη μηδενικοί, οπότε το (Σ) είναι αδύνατο. 6. Για ποιές τιμές της παραμέτρου λ IR, το σύστημα : ( λ ) λ+ + λ + 8 = 6 α) έχει μοναδική λύση, β) είναι αδύνατο, έχει άπειρες λύσεις. 7. Να βρείτε για ποιές τιμές του λ IR, έχει άπειρες λύσεις το σύστημα : + λ λ + 8. + 4 7 Για ποιές τιμές του κ IR, το σύστημα : 4+ κ έχει μοναδική λύση το ζευγάρι (, ). 4+ 9. Για ποιές τιμές του λ IR, το σύστημα : είναι αδύνατο. + λ = 7. Για ποιές τιμές του λ IR, το σύστημα : ( λ ) λ λ α) έχει μοναδική λύση, β) είναι αδύνατο eal ss/bl - -
λ =. Να προσδιορισθεί η παράμετρος λ IR, ώστε το σύστημα : να είναι 4 = αδύνατο. + κ. Δίνεται το σύστημα :. κ+ 9 Aν το σύστημα έχει μοναδική την (, ), να βρείτε τις τιμές του κ IR, για τις οποίες είναι > και >. λ. Δείξτε ότι δεν είναι ποτέ αδύνατο το σύστημα :, λ IR. 8+ λ + λ 4. Για ποιές τιμές του λ IR, το σύστημα :, έχει και άλλες λύσεις 4 ( λ + ) εκτός της μηδενικής. 5. Δίνεται η συνάρτηση f() = + α. Να εξετάσετε αν υπάρχουν α, β β η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από τα σημεία : α) (, ) και (-, ), β) (, ) και (4, ). IR, τέτοιοι ώστε 6. Να εξετάσετε αν υπάρχουν οι αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = α + β να διέρχεται από τα σημεία : Α(λ, λ) και Β(λ + λ, -), όπου λ IR. 7. Να βρείτε τις τιμές των α, β IR, για τις οποίες τα συστήματα : α+ = β+ + και + = α + έχουν κοινή λύση. + 8. Για ποιές τιμές του μ IR, το επόμενο σύστημα έχει μοναδική λύση. ( μ ) + ( μ ) = ( μ + ) μ + μ + = μ 9. Για ποιές τιμές του λ IR, το σύστημα : λ 4 =, είναι αόριστο. ( λ ). Για ποιές τιμές του λ IR, το σύστημα : ( λ ) 9 + 7 =, έχει άπειρες λύσεις. + + + = eal ss/bl - -
( ( ). Για ποιές τιμές του λ IR, το σύστημα : ( ) ( ) α) αδύνατο, β) αόριστο. λ + + λ +, είναι : λ + λ + λ + λ + = λ. Αν το ζευγάρι (, ) είναι λύση του συστήματος :, να ( μ ) + ( 5 μ) + 4 υπολογίσετε τα λ, μ IR.. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα. (λ, μ IR). + μ + λ + μ α) β) + λ = μ + λ + μ λ + μ λ λμ δ) ε) στ) λ+ μ λ λ + + λ = μ + λ + 4. Για ποιές τιμές των λ, μ IR, τα συστήματα : ( Σ) ( Σ) ( ) μ+ λ μ+ λ + = :, :, είναι συγχρόνως αδύνατα. + 5. Να προσδιορισθούν οι πραγματικοί λ, μ ώστε να είναι αόριστο το σύστημα : ( μ ) λ ( λ ) ( μ ) + + + 6. Να προσδιορίσετε τα λ, μ IR, αν τα συστήματα : 7 μ + λ και 8 + 8 = λ μ = 8, έχουν κοινή μοναδική λύση. 7. Όταν η εξίσωση : (4λ - 9) -, είναι αόριστη, δείξτε ότι το σύστημα : λ+ + = έχει άπειρες λύσεις τις οποίες και να προσδιορίσετε. (λ IR). 8. Δείξτε ότι η εξίσωση : λ(λ - ) = +, είναι αδύνατη, όταν και μόνο όταν το + λ = σύστημα :, είναι αδύνατο. (λ IR). + 4 eal ss/bl - 4 -
9. Να προσδιορισθεί ο λ IR, ώστε για τη μοναδική λύση (, ) του συστήματος : λ+ = + = λ, να ισχύει : < 8.. Να λυθεί η ανίσωση +, όπου (, ) η μοναδική λύση του συστήματος : λ λ = +, λ IR.. Αν η εξίσωση : λ(λ - λ) = +, είναι αδύνατη, να λυθεί το σύστημα : κ + λ λ = κ κ λ κ+ +,, IR.. Να εξετάσετε ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιές λανθασμένες. α) Όταν, τότε το γραμμικό σύστημα είναι αδύνατο. β) Όταν, τότε ένα γραμμικό σύστημα έχει μοναδική λύση. Όταν και =, τότε μόνο ένα γραμμικό σύστημα είναι αόριστο. δ) Όταν ένα σύστημα δεν έχει λύσεις είναι αδύνατο. στ) Ισχύει : α + β = γ α + β = γ λα + λβ γ α+ β = γ, λ. ε) Αν για ένα γραμμικό σύστημα ισχύει και = -,, τότε το σύστημα έχει λύση και = -. ζ) Αν για ένα γραμμικό σύστημα είναι + και, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση. η) Αν για ένα γραμμικό σύστημα ισχύει + +, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. θ) Αν ένα σύστημα γραμμικό, έχει άπειρες λύσεις τότε θα έχει και μοναδική λύση. eal ss/bl - 5 -