ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ορθογωνιότητα Διανυσμάτων και Σημάτων Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το περιεχόμενο της παρουσίασης (κείμενο, εικόνες, γραφήματα) δημιουργήθηκε από τον διδάσκοντα στα πλαίσια σύστασης του υλικού διδασκαλίας του ανοικτού μαθήματος Σήματα και Συστήματα Ι, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου των διδασκόντων καθηγητών. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
a c o 1 x(t)dt x(t) cos( x(t)s( Ανάλυση t) dt t) dt x(t) a cos( t) c s( t) o 1 1 t t, t o o η βασική συχνότητα Σύνθεση ta 1 c c x(t) ao A cos( t ) 1 4
Ένα πραγματικό περιοδικό σήμα x(t) μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Fourer με τρεις ισοδύναμους τρόπους ως εξής: 1 a x(t)e j (t) e j x a t t dt 1 x(t) ao A cos( t ) a jc x(t) a cos( t) c s( t) o 1 Σχόλια: Η περίοδος Τ=π/Ω ο είναι κοινή για τα σήματα e jκωοt, cos(κω ο t), s(κω ο t) στα οποία αναλύεται το περιοδικό σήμα x(t). Οι συναρτήσεις βάσης στη διάρκεια μιας περιόδου Τ είναι αρμονικά συσχετιζόμενες και αποτελούν ορθογώνιο σύνολο. 5
Ορθογωνιότητα Διανυσμάτων και Σημάτων Διανύσματα Ένα διάνυσμα α στο χώρο των τριών διαστάσεων μπορεί να αναπαρασταθεί μέσω των προβολών του στα μοναδιαία διανύσματα του χώρου, τα οποία αποτελούν τη βάση του χώρου ως: α =α 1 e 1+ α e + α 3 e 3 Όπου e 1 e e 3 τα μοναδιαία διανύσματα Γενικά: 1 ae Όπου e 1 e e τα μοναδιαία διανύσματα στο χώρο των -διαστάσεων και α 1, α α οι συντεταγμένες του διανύσματος στο χώρο αυτό. Τα διανύσματα α 1, α α λέγονται ανεξάρτητα αν κανένα από αυτά δε μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των άλλων. 6
Ορισμός: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, a 1 1 ae e 1 Το ανάστροφο διάνυσμα του Ορισμός: Δύο διανύσματα είναι ορθογώνια αν, 0 Ορισμός: Ένα σύνολο διανυσμάτων ( α 1, α,, α )ονομάζεται ορθοκανονικό αν αυτά είναι ανά δύο ορθογώνια και όλα έχουν μέτρο ίσο με τη μονάδα. 1, m, m 0, m 7
Ορισμός: Για μια ορθοκανονική βάση διανυσμάτων οι συντεταγμένες (α 1, α,.., α )του διανύσματος είναι προβολές του σε καθένα από τα διανύσματα βάσης και προσδιορίζονται από τη σχέση :, e, 1,... Συνεπώς το διάνυσμα γράφεται ως: a a e a, e e 1 1 Ορισμός: Μέτρο (orm) ή μήκος διανύσματος 1 a 1, a 8
Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου: 1., 0., c, c, c 3.,, * 4. c, c, 9
Σήματα Εσωτερικό γινόμενο των σημάτων x(t),y(t) τα οποία ορίζονται στο διάστημα [α,] x(t), y(t) a x * (t) y (t)dt όπου y*(t) είναι το συζυγές σήμα του y(t). Ορισμός: Δύο διανύσματα είναι ορθογώνια αν x(t), y(t) 0 Ορισμός: Ευκλείδειος χώρος ονομάζεται ο μιγαδικός χώρος που είναι εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο. Μέτρο (orm) ή μήκος σήματος: 1 x(t) x(t), x(t) x(t) dt a Το μέτρο είναι πάντοτε μη αρνητικός πραγματικός αριθμός. 1 10
Ορισμός: Ο Ευκλείδειος χώρος που προκύπτει για διάστημα ολοκλήρωσης ± ονομάζεται χώρος L (R). L (R) x(t), t (, ) : x(t) o μέτρο είναι γνωστό και ως L -μέτρο (L - orm). Στο χώρο αυτό ανήκουν όλα τα σήματα πεπερασμένης ενέργειας. Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου: 1. xx, 0. x y,z x,z y,z 3. x, y y, x * 4. cx, y c x, y, c 11
Ένα σήμα x(t) το οποίο ορίζεται στο διάστημα [α,] μπορεί να εκφραστεί ως με όπου x(t) a 1 t a (t) * (t) (t)dt x(t), (t) x Και { (t)}, 1,... σύνολο ορθοκανονικών συναρτήσεων στο διάστημα [α,], δηλαδή (t), (t) m Οι συντελεστές α είναι οι προβολές του σήματος x(t) σε καθεμία από τις ορθοκανονικές συναρτήσεις βάσης (t) m 1
Παραδείγματα Ορθογώνιων Περιοδικών Σημάτων Α. Μιγαδικές Εκθετικές e jκωοt Τα εκθετικά σήματα e jκωοt, κ=0,±1, ±, σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικό διάστημα [t o,t o +] όπου Τ=π/Ω ο, αποτελούν αρμονικά συσχετιζόμενα σήματα και σχηματίζουν ορθογώνιο σύνολο, δηλαδή είναι ανά δύο ορθογώνια. Πράγματι έστω τα εκθετικά σήματα e jκωοt και e jmωοt και έστω ότι t o =0. Για κ m έχουμε: j 1 t jmt j t jmt j( m) t e, e e e dt e 0 0 j( m) 0 Για κ=m έχουμε: j t jmt j t jm t j( m) t, 1 e e e e dt e dt dt 0 j t jm t Άρα τελικά:, e e m 0 0 13
Παραδείγματα Ορθογώνιων Περιοδικών Σημάτων Α. Τριγωνομετρικές cos(κω ο t), s(κω ο t) Τα σήματα cos(κω ο t), s(κω ο t), κ=0,±1, ±, σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικό διάστημα [t o,t o +] όπου Τ=π/Ω ο, αποτελούν αρμονικά συσχετιζόμενα σήματα και σχηματίζουν ορθογώνιο σύνολο, δηλαδή είναι ανά δύο ορθογώνια. Πράγματι έστω τα ημιτονικά σήματα s(κω ο t) και s(mω ο t) και έστω ότι t o =0. Το εσωτερικό τους γινόμενο ισούται με: s( t), s(m t) s( t) s(m t) dt 0 0 0 1 1 1 cos[( m) t] dt cos[( m) t] dt m I 1 I 14
Παραδείγματα Ορθογώνιων Περιοδικών Σημάτων Α. Τριγωνομετρικές cos(κω ο t), s(κω ο t) (συνέχεια) Σημειώνεται ότι για κ m, Ι 1 =Ι =0 αφού η ολοκλήρωση γίνεται σε μια περίοδο, ενώ για κ=m 0, I 1 =, I =0. Για τις συναρτήσεις cos(κω ο t) κ=0,±1, ±, ισχύουν τα ίδια όπως και για τις συναρτήσεις s(κω ο t): 1 cos( t),cos(m t) m Σημειώνεται ότι s( t),cos( m t) 0,,m 15
Παραδείγματα Ορθογώνιων Μη Περιοδικών Σημάτων Εφαρμόζουμε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου για να δούμε εάν οι συναρτήσεις φ 1 (t), φ (t) είναι ορθογώνιες στο διάστημα 0<t<. 1 1 * * * 1 1 1 1 0 1 0 1 * 1, 1 1(t) 1 (t)dt 11dt 0 1 *, (t) (t)dt ( 1) ( 1)dt 11dt 0 1, (t) (t) dt (t) (t) dt (t) (t) dt 1 ( 1) dt 11dt 0 16
Συνεπώς παρατηρούμε ότι οι συναρτήσεις φ 1 (t), φ (t) είναι αμοιβαία ορθογώνιες στο διάστημα 0<t<, αφού: (t), (t) m, m 0, m Παρατηρήσεις: 1. Εάν ίσχυε ότι λ κ =1, τότε οι συναρτήσεις θα ήταν ορθοκανονικές.. Οι συναρτήσεις φ 1 (t)= φ 1 (t), φ (t)= φ (t) που προκύπτουν από τις φ 1 (t), φ (t) και έχουν τιμή διάφορη του μηδενός στο διάστημα 0<t<1, είναι ορθοκανονικές και αποτελούν την πιο σημαντική συνάρτηση κυματιδίων (wavelets), το λεγόμενο κυματίδιο Haar προς τιμήν του Alfred Ηaar ο οποίος πρότεινε τις συναρτήσεις αυτές το 1909. 17
18
Σημείωμα Αναφοράς Copyrght Πανεπιστήμιο Πατρών, Αθανάσιος Σκόδρας. «Σήματα και Συστήματα Ι,». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/course_metadata/opecourses.php?fc=15 19