ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Τµ. Επιστήµης των Υλικών

ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k

ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k Επ. ειγµατοληψία ιακεκριµένα Σφαιρίδια Μη ιακεκριµένα Σφαιρίδια Με Περιορισµούς n! Χωρίς Περιορισµούς n 1!n 2!...n k! k n ( n 1 ) Με Περιορισµούς k 1 Χωρίς Περιορισµούς ( n+k 1 ) n

Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Σύµφωνα µε τις διαθέσεις της κυβέρνησης, 118 υπάλληλοι του Π.Π. τίθενται σε διαθεσιµότητα. Αν για αυτούς τους υπαλλήλους υπάρχουν τρεις ισοπίθανες περιπτώσεις, είτε να υπηρετήσουν άλλες ακαδηµαϊκές µονάδες, είτε να µετατεθούν σε άλλες υπηρεσίες του κράτους, είτε να απολυθούν, τότε 1 υπολογίστε την πιθανότητα 52 υπάλληλοι να υπηρετήσουν σε άλλη ακαδηµαϊκή µονάδα, 40 υπάλληλοι να µετατεθούν σε άλλη υπηρεσία του κράτους και οι υπόλοιποι να απολυθούν. 2 Ποια είναι η πιθανότητα το πολύ 10 να απολυθούν;

εσµευµένες Πιθανότητες Ορισµός Τα σύνολα A 1, A 2,...,A n,... αποτελούν µια διαµέριση του συνόλου Ω, εάν αυτά είναι ξένα µεταξύ τους ανά δύο (δηλ. A i A j =, i j) και j=1aj = Ω. Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας (Θ.Ο.Π.) Εστω {A j, j = 1, 2,...} µια διαµέριση του δειγµατοχώρου Ω, τότε για κάθε σύνολο Β του δειγµατοχώρου ισχύει η σχέση P(B) = P(A j)p(b A j). j=1 Θεώρηµα Bayes Υπό τις προϋποθέσεις του Θ.Ο.Π. και εφ οσον P(B) > 0, P(A j B) = P(Aj)P(B Aj) P(B) όπου P(A j) ονοµάζεται εκ των προτέρων πιθανότητα και P(A j B) ονοµάζεται εκ των υστέρων πιθανότητα., j = 1, 2,...,

Παραδείγµατα Παράδειγµα 2 Μετά το δεύτερο µεγάλο σεισµό στο Ληξούρι της Κεφαλλονιάς, το 30% των σπιτιών κρίθηκαν µη κατοικίσηµα, οπότε το 40% των κατοίκων, όπου το σπίτι τους κρίθηκε ως µη κατοικίσηµο, έφυγαν από το νησί, όπως έφυγαν και το 25% των κατοίκων, όπου το σπίτι τους κρίθηκε ως κατοικίσηµο. 1 Υπολογίστε το ποσοστό των κατοίκων του Ληξουρίου που έφυγε από το νησί. 2 Για τον κάτοικο του Ληξουρίου, ο οποίος δεν έφυγε από το νησί, υπολογίστε την πιθανότητα, το σπίτι του να έχει κριθεί ως κατοικίσηµο.

ιακριτές Κατανοµές ιωνυµική κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί τη διωνυµική κατανοµή ή X είναι µια διωνυµική τυχαία µεταβλητή, εάν ( ) n f(x) = P(X = x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1,...,n, 0 < p < 1. x Συµβολικά: X B(n, p). EX = np, VarX = np(1 p).

ιακριτές Κατανοµές ιωνυµική κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί τη διωνυµική κατανοµή ή X είναι µια διωνυµική τυχαία µεταβλητή, εάν ( ) n f(x) = P(X = x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1,...,n, 0 < p < 1. x Συµβολικά: X B(n, p). Poisson κατανοµή EX = np, VarX = np(1 p). Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί τη Poisson κατανοµή ή X είναι µια Poisson τυχαία µεταβλητή, εάν f(x) = P(X = x) = e λλx x! Συµβολικά: X P(λ). EX = VarX = λ., x = 0, 1,..., λ > 0.

ιακριτές Κατανοµές Υπεργεωµετρική κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί τη υπεργεωµετρική κατανοµή ή X είναι µια υπεργεωµετρική τυχαία µεταβλητή, εάν ( m ( n ) f(x) = P(X = x) = x) ), x = 0, 1,... min{m, r}, m, n, r Z +. r x ( m+n r Συµβολικά: X H(x : n, m, r).

ιακριτές Κατανοµές Αρνητική ιωνυµική κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την αρνητική διωνυµική κατανοµή ή X είναι µια αρνητική διωνυµική τυχαία µεταβλητή, εάν ( ) r + x 1 f(x) = P(X = x) = p r (1 p) x, x = 0, 1,..., 0 < p < 1. x Συµβολικά: X NB(r, p).

ιακριτές Κατανοµές Αρνητική ιωνυµική κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την αρνητική διωνυµική κατανοµή ή X είναι µια αρνητική διωνυµική τυχαία µεταβλητή, εάν ( ) r + x 1 f(x) = P(X = x) = p r (1 p) x, x = 0, 1,..., 0 < p < 1. x Συµβολικά: X NB(r, p). Παρατήρηση Για r = 1, P(X = x) = p(1 p) x, x = 0, 1, 2,... και η κατανοµή ονοµάζεται γεωµετρική κατανοµή ή κατανοµή του Pascal. Συµβολικά: X Ge(p). EX = 1 p p, VarX = 1 p p 2.

Συνεχείς Κατανοµές Κανονική κατανοµή ή κατανοµή του Gauss Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την κανονική κατανοµή ή X είναι µια κανονική τυχαία µεταβλητή, εάν f(x) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2, x R, µ R, σ > 0. Συµβολικά: X N(µ,σ 2 ). EX = µ, VarX = σ 2.

Συνεχείς Κατανοµές Κανονική κατανοµή ή κατανοµή του Gauss Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την κανονική κατανοµή ή X είναι µια κανονική τυχαία µεταβλητή, εάν f(x) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2, x R, µ R, σ > 0. Συµβολικά: X N(µ,σ 2 ). EX = µ, VarX = σ 2. Παρατήρηση Για µ = 0, σ 2 = 1 f(x) = 1 2π e x2 /2, x R ονοµάζεται τυπική κανονική κατανοµή. Συµβολικά: X N(0, 1). και η κατανοµή

Συνεχείς Κατανοµές Οµοιόµορφη κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή ή X είναι µια οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή, εάν 1, x [a,β] f(x) = β a 0, x [a,β] Συµβολικά: X U(a,β). EX = a +β 2, VarX = β a)2. 12

Συνεχείς Κατανοµές Γάµµα κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την Γάµµα κατανοµή ή X είναι µια Γάµµα τυχαία µεταβλητή, εάν f(x) = Συµβολικά: X G(a,β). 1 Γ(a)β a xa 1 e x/β, x > 0, a,β > 0. EX = aβ, VarX = aβ 2.

Συνεχείς Κατανοµές Γάµµα κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την Γάµµα κατανοµή ή X είναι µια Γάµµα τυχαία µεταβλητή, εάν f(x) = Συµβολικά: X G(a,β). Εκθετική κατανοµή 1 Γ(a)β a xa 1 e x/β, x > 0, a,β > 0. EX = aβ, VarX = aβ 2. Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την εκθετική κατανοµή ή X είναι µια εκθετική τυχαία µεταβλητή, εάν f(x) = λ e λx, x > 0, λ > 0. Συµβολικά: X E(λ) G(a = 1,β = 1/λ). EX = 1 λ, VarX = 1 λ 2.

Παραδείγµατα Παράδειγµα 3 Θεωρούµε ότι το πλήθος των πελατών που εξυπηρετούνται από ένα ταµείο ενός supermarket είναι µια Poisson τ.µ., µε µέση τιµή 20 πελάτες την ώρα. 1 Υπολογίστε την πιθανότητα να εξυπηρετηθούν τουλάχιστον 2 πελάτες τα επόµενα 15 λεπτά. 2 Για τις επόµενες 2 ώρες, ποια είναι η πιθανότητα για µισή ώρα (από αυτές τις δύο ώρες) να εξυπηρετούνται από το συγκεκριµένο ταµείο τουλάχιστον 2 πελάτες το 15λεπτο; 3 Ο διευθυντής του supermarket καταγράφει ανά 15λεπτο, το πλήθος των πελατών που εξυπηρετούνται από το συγκεκριµένο ταµείο. Ποια είναι η πιθανότητα στο 6 0 15λεπτο αυτής της καταγραφής να εξυπηρετούνται τουλάχιστον 2 πελάτες;

Τυχαία ιανύσµατα Περιθώρια Πυκνότητα Πιθανότητας f X1 (x 1 ) = x 2 f(x 1, x 2 ), = (X 1, X 2 ) διακριτό τ.δ. X + f(x 1, x 2 )dx 2, = (X 1, X 2 ) συνεχές τ.δ. X

Τυχαία ιανύσµατα Περιθώρια Πυκνότητα Πιθανότητας f X1 (x 1 ) = x 2 f(x 1, x 2 ), = (X 1, X 2 ) διακριτό τ.δ. X + f(x 1, x 2 )dx 2, = (X 1, X 2 ) συνεχές τ.δ. X εσµευµένη Πυκνότητα Πιθανότητας f X1 X 2 (x 1 x 2 ) = f(x 1, x 2 ) ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X 1 δοθείσης f X2 (x 2 ) της X 2. f X2 X 1 (x 2 x 1 ) = f(x 1, x 2 ) f X1 (x 1 ) της X 1. ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X 2 δοθείσης

εσµευµένες Ροπές τυχαίων µεταβλητών εσµευµένη Μέση Τιµή της X 1 δοθείσης της X 2 E(X 1 X 2 ) = x 1 f X1 X 2 (x 1 x 2 ), X 1 διακριτή τ.µ. + x 1 f X1 X 2 (x 1 x 2 )dx 1, X 1 συνεχής τ.µ. εσµευµένη Μέση Τιµή της X 2 δοθείσης της X 1 E(X 2 X 1 ) = x 2 f X2 X 1 (x 2 x 1 ), X 2 διακριτή τ.µ. + x 2 f X2 X 1 (x 2 x 1 )dx 2, X 2 συνεχής τ.µ.

Συντελεστής Συσχέτισης ύο Τυχαίων Μεταβλητών Συντελεστής Συσχέτισης = E[(X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 )] Var(X1 )Var(X 2 ) E[(X 1 EX 1 )(X 2 EX 2 )] = E(X 1 X 2 ) E(X 1 )E(X 2 ) = Cov(X 1, X 2 ) ονοµάζεται συνδιασπορά των τ.µ. X 1 και X 2. Παρατήρηση Ο συντελεστής συσχέτισης (όπως και η συνδιασπορά) µας λένε αν και πως σχετίζονται γραµµικά µεταξύ τους οι δύο τυχαίες µεταβλητές. 1 1 = 1, έχουµε αυστηρά ϑετική γραµµική συχέτιση ανάµεσα στις δύο τ.µ. = 1, έχουµε αυστηρά αρνητική γραµµική συχέτιση ανάµεσα στις δύο τ.µ. = 0, οι τ.µ. X 1 και X 2 ονοµάζονται ασυσχέτιστες.

Παραδείγµατα Παράδειγµα 4 Το τυχαίο διάνυσµα (X, Y) είναι οµοιόµορφο στον χώρο που περικλείεται από τις ευθείες X Y = 2, X = 0, Y = 0. 1 Να ϐρεθεί η πυκνότητα πιθανότητας του τ.δ. (X, Y). 2 Να υπολογιστούν οι περιθώριες π.π. των τ.µ. X και Y. 3 Υπολογίστε τη συνδιασπορά των τ.µ. X και Y. 4 Υπολογίστε την P(X > 1 Y < 1/2).

Παραδείγµατα Παράδειγµα 5 ίνεται η από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τ.µ. X και Y, f X,Y (x, y) = { c x 3 y 3, x > y > 1. 0, διαφορετικά. 1 Να προσδιοριστεί η σταθερά c. 2 Να υπολογιστούν οι περιθώριες π.π. των τ.µ. X και Y. 3 Υπολογίστε τη συνδιασπορά των τ.µ. X και Y. 4 Υπολογίστε την E(X Y = 2).

Στοχαστική Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία τ.µ. Οι τυχαίες µεταβλητές X 1, X 2,...,X k ονοµάζονται ανεξάρτητες P(X 1 A 1, X 2 A 2,...,X k A k ) = P(X 1 A 1 )P(X 2 A 2 )...P(X k A k ) Παραγοντικό Θεώρηµα k X 1, X 2,...,X k ανεξ. τ.µ. F X (x ) = F X1 (x 1 )...F Xk (x k ) = F Xi (x i ) f X (x ) = f X1 (x 1 )...f Xk (x k ) = i=1 k f Xi (x i ) i=1 Παρατήρηση Αν X 1, X 2,...,X k είναι ανεξάρτητες τ.µ. Var(X 1 + X 2 +...+X k ) = Var(X 1 )+Var(X 2 )+...+Var(X k ).

Αναπαραγωγικές Ιδιότητες Θεωρούµε X 1, X 2,...,X k ανεξάρτητες τ.µ. k k 1 X i B(n i, p), i = 1, 2,...,k X i B( n i, p) i=1 i=1 k k 2 X i P(λ i ), i = 1, 2,...,k X i P( λ i ) i=1 i=1 k k k 3 X i N(µ i,σi 2), i = 1, 2,...,k X i N( µ i, σ 2 i ) i=1 i=1 i=1 i=1 k k 4 X i G(a i,β), i = 1, 2,...,k X i G( a i,β) k 5 X i E(λ) G(1, 1/λ), i = 1, 2,...,k X i G(n,λ) i=1 i=1

Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) Κ.Ο.Θ. Εστω X 1, X 2,...,X n ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβλητές, µε E(X i ) = µ και VarX i = σ 2, i = 1, 2,...,n, τότε n n X i E( X i ) i=1 i=1 n Var( X i ) i=1 Z N(0, 1).

Παραδείγµατα Παράδειγµα 6 Υποθέτουµε ότι η πιθανότητα για έναν νέο επιστήµονα να µεταναστεύσει στο εξωτερικό είναι 1/3. 1 Ρωτάµε 1800 νέους επιστήµονες αν πρόκειται να µεταναστεύσουν, υπολογίστε την πιθανότητα, µέσω Κ.Ο.Θ., όπως το πολύ 640 από αυτούς να ϕύγουν για το εξωτερικό. 2 Ρωτάµε νέους επιστήµονες αν πρόκειται να ϕύγουν για το εξωτερικό. Ποιο ϑα είναι το αναµενόµενο πλήθος των ερωτηθέντων, έτσι ώστε η διαδικασία αυτή να σταµατήσει όταν ϕτάσουµε στο 500 οστό άτοµο που δηλώνει ότι πρόκειται να ϕύγει για το εξωτερικό. Χρησιµοποιήστε την 1η ταυτότητα του Wald.

Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών {X(t) : t T}, όπου t είναι µία παράµετρος που παίρνει τιµές σε ένα κατάλληλα ορισµένο σύνολο T.

Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών {X(t) : t T}, όπου t είναι µία παράµετρος που παίρνει τιµές σε ένα κατάλληλα ορισµένο σύνολο T. Αν t [0, a), έχουµε στοχαστική διαδικασία σε συνεχή χρόνο. Αν t = 0, 1, 2,..., έχουµε στοχαστική διαδικασία σε διακριτό χρόνο.

Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών {X(t) : t T}, όπου t είναι µία παράµετρος που παίρνει τιµές σε ένα κατάλληλα ορισµένο σύνολο T. Αν t [0, a), έχουµε στοχαστική διαδικασία σε συνεχή χρόνο. Αν t = 0, 1, 2,..., έχουµε στοχαστική διαδικασία σε διακριτό χρόνο. Εστω Ε το πεδίο τιµών της τ.µ. X(t) (ή X n ), τότε το Ε ονοµάζεται χώρος καταστάσεων. Αν Ε είναι ένα πεπερασµένο ή αριθµήσιµο σύνολο, έχουµε στοχαστική διαδικασία µε διακριτό χώρο καταστάσεων. Αν Ε είναι ένα διάστηµα ή το R, έχουµε στοχαστική διαδικασία µε συνεχή χώρο καταστάσεων.

Στοχαστικές ιαδικασίες Ταυτότητα του Wald Αν X 1, X 2,... ανεξάρτητες και ισόνοµες τ.µ. µε EX i <, i = 1, 2,... και N είναι τ.µ. που αναπαριστά τη στιγµή τερµατισµού της ακολουθίας των τ.µ. τότε, N E( X i ) = (EX)(EN) i=1 όπου X είναι τ.µ. ισόνοµη µε τις X 1, X 2,...