Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. 1 ης τάξης
Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. 1 ης τάξης του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε άδεια χρήσης Creative Commons. Για υλικό όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
Πρόβλημα/Ερώτημα Μοντελοποίηση Μοντέλο Κατάστρωση εξισώσεων Μη-γραμμικές εξισώσεις κίνησης Συνάρτηση Μεταφοράς Απόκριση Συχνότητας Γραμμικοποίηση Γραμμικές εξισώσεις κίνησης Αναλυτική Επίλυση Προσομοίωση Χρονική απόκριση 3
Γραμμικοποίηση: Γενική Ιδέα Γενικά, οι εξισώσεις κίνησης είναι μη-γραμμικές: ΜΜ qq qq + CC qq qq + KK qq = ξξ ggggggvv + ξξ nnnnnnnnnnnn + ξξ Ισχύει qq, qq Οι γραμμικοποιημένες εξισώσεις περιγράφουν την δυναμική ενός συστήματος γύρω ένα σημείο ισορροπίας ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ Ισχύει όταν τα qq και qq παίρνουν τιμές γύρω από κάποιο ζεύγος τιμών (qq 00,qq 0) (σημείο ισορροπίας) 4
Σημεία Ισορροπίας Υπολογισμός σημείων ισορροπίας σε 3 βήματα: 1. Περιγραφή δυναμικού συστήματος σε μορφή μεταβλητών κατάστασης xx = φφ xx, ξξ 2. Θεωρώ σταθερές τιμές για τις διεγέρσεις ξξ = ξξ 0 Συνήθως ξξ 0 = 00 3. Τα σημεία ισορροπίας είναι οι λύσεις xx 0 του συστήματος εξισώσεων 00 = φφ xx 0, ξξ 0 Κάθε λύση αντιστοιχεί σε μια μόνιμη απόκριση (steady state) που μπορεί να προκύψει από τις διεγερσεις ξξ 0 5 5
Σημεία Ισορροπίας 3 τρόποι επίλυσης του συστήματος φφ xx 0, ξξ 0 1. Αναλυτική λύση = 00 Πρακτικά μόνο σε ορισμένα προβλήματα μικρού μεγέθους 2. Αριθμητική λύση Μοναδική επιλογή σε προβλήματα μεγάλου μεγέθους Προσοχή στην αριθμητική λύση, ψάξιμο λύσεων 3. Γραφική λύση (περίπτωση 2 μεταβλητών κατάστασης): τα σημεία ισορροπίας είναι οι τομές των καμπυλών φφ 1 xx 0, ξξ 0 = 0 και φφ 2 xx 0, ξξ 0 = 0, όπου φφ xx 0, ξξ 0 = φφ 1 xx 0, ξξ 0 φφ 2 xx 0, ξξ 0 6 6
Γραμμικοποίηση Η μη-γραμμική εξίσωση μεταβλητών κατάστασης φφ xx, ξξ γύρω από ένα σημείο ισορροπίας γράφεται (ανάπτυξη Taylor) ως: xx = xx 0 + δδxx ξξ = ξξ 0 + δδδδ xx = φφ xx, ξξ = φφ xx 0, ξξ 0 + xx xx0,ξξ 0 δδxx + φφ ξξ xx0,ξξ 0 δδδδ δδxx = xx xx0,ξξ 0 δδxx + φφ ξξ xx0,ξξ 0 δδδδ Ιακωβιανοί πίνακες Η δυναμική της απόκλισης δδxx από την θέση ισορροπίας περιγράφεται από ένα σύστημα γραμμικών ΣΔΕ της μορφής δδxx = AA δδxx + ΒΒ δδuu 7 7
Ευστάθεια Ένα σημείο ισορροπίας είναι ασυμπτωτικά ευσταθές αν μετά από μια μικρή απόκλιση δδxx από το σημείο ισορροπίας, το σύστημα θα επιστρέψει στο σημείο ισορροπίας (καθώς tt τότε δδxx 0) Ένα σημείο ισορροπίας είναι ασταθές αν μετά από μια μικρή απόκλιση δδxx από το σημείο ισορροπίας, το σύστημα αποκλίνει ακόμα περισσότερο όσο περνά ο χρόνος (καθώς tt τότε δδxx αυξάνεται) Η ευστάθεια είναι ιδιότητα του συστήματος και μπορεί να διαφέρει για κάθε σημείο ισορροπίας 8 8
Σημεία Ισορροπίας σε Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα Το ακόλουθο γραμμικό σύστημα δδxx = AA δδxx έχει μοναδικό σημείο ισορροπίας το δδxx 00 = 00 Ισοδύναμα, το γραμικοποιημένο σύστημα ΜΜ δδqq + CC δδqq + KK δδqq = 00 έχει μοναδικό σημείο ισορροπίας το δδqq 00 = δδqq 0 = 00 9
Ευστάθεια σε Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα Στο δυναμικό σύστημα xx = AA xx η εύστάθεια του μοναδικού σημείου ισορροπίας δδxx 00 = 00 εξαρτάται από τις ιδιοτιμές του πίνακα AA: ασυμπτωτικά ευσταθές αν όλες οι ιδιοτιμές του AA έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη ασταθές, αν έστω και μια ιδιοτιμή του AA έχει θετικό πραγματικό μέρος 10
Ευστάθεια σε Γραμμικά Δυναμικά Συστήματα Η ευστάθεια του σημείου ισορροπίας xx 0 του μηγραμμικού συστήματος xx = φφ xx, ξξ, μπορεί να υπολογιστεί από την ευστάθεια του μοναδικού σημείου ισορροπίας δδxx 00 = 00 του γραμμικοποιημένου συστήματος δδxx = AA δδxx, όπου AA = xx xx0,ξξ 0 Ασυμπτωτικά ευσταθές αν όλες οι ιδιοτιμές του AA έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη Ασταθές αν έστω και μια ιδιοτιμή του AA έχει θετικό πραγματικό μέρος Δεν μπορεί να βγει συμπέρασμα με αυτή τη μέθοδο αν υπάρχουν καθαρά μιγαδικές ιδιοτιμές 11 11
Παράδειγμα Παράδειγμα: Να γραμμικοποιηθούν οι εξισώσεις κίνησης εκκρεμούς γύρω από τα σημεία ισορροπίας του. Έστω mm = LL = cc TT = 1 Εξισώσεις κίνησης: Λύση cc TT mm LL 2 θθ + cc TT θθ + mm gg LL sin θθ τ(tt) g L θθ m = ττ(tt) Οι μεταβλητές κατάστασης είναι: xx = θθ θθ Οι αντίστοιχες εξισώσεις μεταβλητών κατάστασης είναι: dd dddd θθ θθ = θθ 1 mm LL 2 (ττ(tt) cc TT θθ mm gg LL sin θθ ) = φφ θθ, θθ, τ 12 12
Παράδειγμα Τα σημεία ισορροπίας (για ττ 0 = 0), προκύπτουν λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων φφ 1 xx = 0 θθ = 0 φφ 2 xx = 0 θθ = mm gg L/cc TT sin θθ = 0 Υπάρχουν 2 λύσεις 2 σημεία ισορροπίας xx 0,1 = 0 0 xx 0,2 = ππ 0 10 d /dt [rad/sec] 5 0-5 2 =0 1 =0-10 -6-4 -2 0 2 4 6 [rad] 13 13
Παράδειγμα Υπολογίζονται οι αναγκαίοι Ιακωβιανοί πίνακες ΑΑ, ΒΒ για την γραμμικοποίηση: = ΑΑ = xx xx0,ττ 0 = φφ 1 θθ φφ 2 θθ 0 1 gg/ll cos θθ cc TT mm LL 2 xx 0,ττ 0 = φφ 1 θθ φφ 2 θθ xx 0,ττ 0 = 0 1 gg/ll cos θθ 0 cc TT mm LL 2 ΒΒ = xx0,ττ 0 = φφ 1 ττ φφ 2 ττ xx 0,ττ 0 = 0 1 xx0,ττ 0 = 0 1 14 14
Παράδειγμα Γραμμικοποίηση γύρω από το σημείο ισορροπίας Πίνακας ΑΑ ΑΑ = 0 1 gg/ll cos 0 cc TT mm LL 2 = Γραμμικοποιημένες εξισώσεις κίνησης γύρω από το xx 0,1 dd δδθθ dddd δδθθ = 0 1 gg 1 Aντιστοιχούν στο σύστημα xx 0,1 = 0 0 0 1 gg/ll cc TT = 0 1 mm LL 2 gg 1 δδθθ δδδδ + 0 1 δδττ(tt) mm LL 2 δδδδ + cc TT δδδδ + mm gg LL δδδδ = δδδδ(tt) οι ιδιοτιμές του πίνακα ΑΑ είναι λλ 1,2 = 0.5 ± 3.09jj. Επειδή Re(λλ 1,2 )<0, το xx 0,1 είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας του μη-γραμμικού συστήματος 15 15
Παράδειγμα Γραμμικοποίηση γύρω από το σημείο ισορροπίας Πίνακας ΑΑ ΑΑ = 0 1 gg/ll cos ππ cc TT mm LL 2 = xx 0,2 = ππ 0 0 1 gg/ll cc TT = 0 1 mm LL 2 gg 1 Γραμμικοποιημένες εξισώσεις κίνησης γύρω από το xx 0,2 dd δδθθ dddd δδθθ = 0 1 δδθθ gg 1 δδδδ + 0 1 δδττ(tt) Aντιστοιχούν στο σύστημα (ελατήριο αρνητικής σταθεράς!) mm LL 2 δδδδ + cc TT δδδδ mm gg LL δδδδ = δδδδ(tt) οι ιδιοτιμές του πίνακα ΑΑ είναι λλ 1 = 2.67, λλ 2 = 3.67. Επειδή Re(λλ 1 )>0, το xx 0,2 είναι ασταθές σημείο ισορροπίας του μη-γραμμικού συστήματος 16 16
Πρωτοβάθμια Μηχανικά Συστήματα που Περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης Τάξης 17
Πρωτοβάθμιες ΣΔΕ σε Μηχανικά Συστήματα Σε συστήματα 1 Β.Ε., όταν δεν υπάρχει ελαστηκότητα (δυνάμεις επαναφοράς), η απόκριση της ταχύτητα του σώματος μπορεί να περιγραφεί ως μια ΣΔΕ πρώτης τάξης mm xx + cc xx = F(tt) mm uu + cc uu = FF(tt) Εξίσωση κίνησης που περιγράφει την απόκριση της ταχύτητας μάζας m που κινείται λόγω δύναμης F(tt) παρουσία της απόσβεσης cc II θθ + cc TT θθ = ττ(tt) II ωω + cc TT ωω = ττ(tt) Εξίσωση κίνησης που περιγράφει την απόκριση της γωνιακής ταχύτητας αδράνειας II που περιστρέφεται από ροπή ττ(tt) παρουσία της απόσβεσης cc TT 18 18
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης Γενικά, μια ΣΔΕ 1 ης τάξης αδιαστατοποιείται ως x + ττ xx = ff(tt) η παράμετρος ττ (σταθερά απόσβεσης / αδράνεια) έχει μονάδες χρόνου και ονομάζεται σταθερά χρόνου Σε αυτή την εξίσωση xx(t) είναι η μεταβλητή ενδιαφέροντος (π.χ. ταχύτητα), όχι αναγκαστικά θέση ή ένας βαθμός ελευθερίας Η χρονική απόκριση στην πιο γενική περίπτωση είναι η λύση του προβλήματος αρχικών συνθηκών xx + ττ xx = ff tt xx 0 = xx 0 19
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης Η αρχή της επαλληλίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε το γενικό πρόβλημα να σπάσει σε δύο (αρχικές συνθήκες, εξωτερική διέγερση) xx + ττ xx = ff tt xx 0 = xx 0 xx + ττ xx = 0 xx 0 = xx 0 xx + ττ xx = ff tt uu 0 = 0 xx ii (tt) xx ff (tt) xx tt = xx ii tt + xx ff tt 20 20
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης σε Αρχικές Συνθήκες Παράδειγμα: Απόκριση του συστήματος xx + xx = 0 (ττ = 1) σε αρχικές συνθήκες x 0 = 1 Λύση Η συνολική λύση ταυτίζεται με ομογενή λύση: xx tt = cc 1 ee λλtt Χαρακτηριστικό πολυόνυμο: λλ + ττ = 0 λλ = ττ = 1 Η σταθερά cc 1 υπολογίζεται από την αρχική συνθήκη: cc 1 = xx 0 Αποτέλεσμα: xx tt = xx 0 ee tt ττ = ee tt 21
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης σε Αρχικές Συνθήκες Η απόκριση x tt = ee tt παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα 1 x u tt 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 time [sec] Η χρονική παράγωγος την στιγμή 0 είναι μη μηδενική. Η ασύμπτωτη για μικρούς χρόνους (t<<τ) τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο σημείο τ. Η απόκριση έχει φτάσει το 99% της τελικής τιμής σε t=4τ 22 22
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης σε Βηματική/Κρουστική Διέγερση Παράδειγμα: Απόκριση του συστήματος xx + xx = ff(tt) σε βηματική είσοδο ff tt = uu ss tt για xx 0 = 0. Λύση Η συνολική λύση αποτελείται από την ειδική και την ομογενή Αναζητείται ειδική λύση της μορφής xx pp t = K. Η σταθερά K υπολογίζεται αντικαθιστώντας την xx pp t στην ΣΔΕ ως K = 1 Συνολική λύση: xx t = xx h t + xx pp t = cc 1 ee tt ττ + 1 Η σταθερά cc 1 υπολογίζεται από την αρχική συνθήκη ως cc 1 = 1 : xx t = 1 ee tt ττ = 1 ee tt Η απόκριση σε κρουστική είσοδο είναι h t = dd dddd 1 ee tt ττ = 1 ττ ee tt ττ = ee tt 23 23
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης σε Σύνθετη Διέγερση Υπολογισμός της απόκρισης του συστήματος xx + xx = ff(tt) στο προφίλ του σχήματος (xx 0 = 0) 1 f 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 time [sec] 24
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης σε Σύνθετη Διέγερση Λύση Η απόκριση μπορεί να εκφραστεί σαν: ff tt = uu rr tt uu rr tt 1 uu rr tt 10 + uu rr tt 11 Όπου uu rr tt είναι η διέγερση «ραμπα» (το ολοκλήρωμα της βηματικής) uu rr tt tt 0 = uu ss ww tt 0 dddd Η απόκριση h rr tt του συστήματος στην ff = uu rr tt είναι το ολοκλήρωμα της απόκρισης σε βημαρτική: h rr tt = 1 ee ww ττ dddd 0 tt 0 tt = 0, tt < tt 0 tt tt 0, tt tt 0 = tt + ττ ee tt ττ 1 = tt + ee tt 1 25 25
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης σε Σύνθετη Διέγερση Οπότε η απόκριση του συστήματος στην διέγερση ff tt = uu rr tt uu rr tt 1 uu rr tt 10 + uu rr tt 11 Υπολογίζεται μέσω επαλληλίας ως: xx tt = h rr tt h rr tt 1 h rr tt 10 + h rr tt 11 Η γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται στο επόμενο σχήμα: 1 0.8 u xx 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 time [sec] 26 26
Απόκριση ΣΔΕ 1 ης τάξης σε Αρμονική Διέγερση Υπολογισμός της απόκρισης του συστήματος xx + xx = ff(tt) σε αρμονική διέγερση ff tt = ff 0 cos (Ωt) (x 0 = 0) Λύση Η συνολική λύση αποτελείται από την ειδική και την ομογενή. Αναζητείται ειδική λύση της μορφής xx pp t = XX 0 cos (Ωt + φ). Αντικαθιστώντας την ff tt και όπου xx t = xx pp t προκύπτει ότι XX 0 = ff 0 (Ω 2 + ττ 2 ) 0.5 και φ = tttttt 1 ( Ω ττ). Συνολική λύση: xx t = xx h t + xx pp t = cc 1 ee tt ττ + XX 0 cos (Ωt + φ). Η σταθερά cc 1 υπολογίζεται από την αρχική συνθήκη ως cc 1 = XX 0 cos (φ). Η συνολική λύση είναι τελικά: xx t = XX 0 ( ee tt ττ cos (φφ) + cos Ωt + φ ) 27 27
Χρηματοδότηση Το Έργο Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΕΜΠ υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρηματικού Προγράμματος Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.