ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Λύσεις ασκήσεων φυλλαδίου. Άσκηση : Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τη σειρά si. Λύση: Παρατηρούμε ότι si 0 άρα η σειρά δεν συγκλίνει. Συγκεκριμένα αποκλίνει στο + αφού όλοι οι όροι τής ακολουθίας si είναι από κάποιο δείκτη και μετά μεγαλύτεροι από ας πούμε /. Εναλλακτικά η σειρά αποτελείται από θετικούς όρους και δεν συγκλίνει άρα κατ ανάγκη αποκλίνει στο +. Άσκηση : Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις παρακάτω σειρές και υπολογίστε αν υπάρχουν τα αθροίσματά τους. 4 + + 6. Λύση: Η πρώτη σειρά είναι γεωμετρική με λόγο μεγαλύτερο τής μονάδας άρα αποκλίνει στο +. Για τη δεύτερη παρατηρούμε ότι + + 6 Γνωρίζουμε ότι αν λ < τότε Επομένως λ + λ λ... Συνεπώς + + 6 + 4.
Θα μπορούσαμε να γράψουμε πιο συνοπτικά + + 6 + + 4. Πρέπει όμως να προσέξουμε ότι όταν χρησιμοποιούμε τέτοιο συμβολισμό για να έχει νόημα η πρώτη ισότητα πρέπει να είμαστε βέβαιοι ότι στο δεξί μέλος δεν εμφανίζεται κάποια απροσδιόριστη μορφή. Άσκηση : Εφαρμόστε το ολοκληρωτικό κριτήριο στις παρακάτω σειρές. + Λύση: Παρατηρούμε ότι οι συναρτήσεις fx l l. x x + gx x l x hx x l x είναι φθίνουσες και θετικές στα διαστήματα [ + [ + και [ + αντίστοιχα. Επομένως η σύγκλιση των σειρών ανάγεται στη σύγκλιση των αντίστοιχων γενικευμένων ολοκληρωμάτων. + fx dx x x + dx [ lx + Άρα η πρώτη σειρά αποκλίνει στο +. + gx dx ] R x l x dx R x + x + dx l R + +. l x l x dx [l l x]r l l R l l +. Άρα και η δεύτερη η σειρά αποκλίνει στο +. + hx dx Συνεπώς η τρίτη σειρά συγκλίνει. [ l x x l x dx ] R l x l x dx l l R l. Εναλλακτικά η πρώτη σειρά αποκλίνει στο + από το κριτήριο σύγκρισης + + +.
Για τις άλλες δύο μπορούμε να εφαρμόσουμε το κριτήριο συμπύκνωσης. l l +. l l < +. Άσκηση 4: Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις παρακάτω σειρές εφαρμόζοντας το κριτήριο σύγκρισης. Λύση: Παρατηρούμε ότι + i > + +. Αλλά + στο +. l + si. +. Άρα η πρώτη σειρά αποκλίνει ii 0 l + από την ανισότητα l + x x για x >. Αλλά η σειρά + συγκλίνει επομένως η δεύτερη σειρά συγκλίνει. iii 0 si από την ανισότητα si x x. Άρα όπως πριν η τρίτη σειρά συγκλίνει. Άσκηση 5: Εφαρμόστε το κριτήριο λόγου στις παρακάτω σειρές. Λύση: Θέτουμε Τότε x + x!! 5 8 5 9 4. x!! y 5 8 5 9 4. +!!! +! + + 4 + 6 + 4 <. y + y + 4 + 4 <. Άρα και οι δυο σειρές συγκλίνουν.! +!!! + + Άσκηση 6: Εφαρμόστε το κριτήριο ρίζας στις παρακάτω σειρές. +. +
Λύση: Θέτουμε Τότε x y. + + x + y + 9 + 4 >. e <. Επομένως η πρώτη σειρά αποκλίνει στο + ενώ η δεύτερη συγκλίνει. Άσκηση 7: Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση και την απόλυτη σύγκλιση τις παρακάτω σειρές. l l si. Λύση: Οι ακολουθίες l l si είναι φθίνουσες και τείνουν στο μηδέν άρα από το κριτήριο εναλλασόμενων προσήμων και οι τρεις σειρές συγκλίνουν. Εξετάζουμε τώρα τις σειρές των απολύτων τιμών. Από την άσκηση η + l αποκλίνει στο + και η + l συγκλίνει. Τέλος παρατηρούμε ότι si + και ότι + + άρα από το κριτήριο σύγκρισης + si +. Άσκηση 8: Βρείτε τα διαστήματα σύγκλισης των παρακάτω δυναμοσειρών. + x!x + x. Λύση: Θεωρούμε τις ακολουθίες των συντελεστών. a + b! c +. Εχουμε a + a + + + + 4
άρα η ακτίνα σύγκλισης τής πρώτης δυναμοσειράς είναι. Επομένως σίγουρα συγκλίνει στο. Εξετάζουμε τώρα τι γίνεται στα άκρα τού διαστήματος. Για x παίρνουμε τη σειρά + η οποία συγκλίνει από το κριτήριο εναλλασόμενων προσήμων αφού η ακολουθία είναι φθίνουσα και μηδενική. Για x παίρνουμε τη σειρά + + η οποία αποκλίνει στο από το κριτήριο σύγκρισης αφού + + και + +. Συμπεραίνουμε ότι το διάστημα σύγκλισης τής πρώτης δυναμοσειράς είναι το ]. Στη συνέχεια b + b + + άρα η ακτίνα σύγκλισης τής δεύτερης δυναμοσειράς είναι συγκλίνει μόνο για x 0. Τέλος c + + 0. Επομένως άρα η ακτίνα σύγκλισης τής τρίτης δυναμοσειράς είναι. Για x ± η σειρά + x δεν συγκλίνει γιατί η ακολουθία + x δεν είναι μηδενική αφού + x + e 0. Συνεπώς το διάστημα σύγκλισης τής τρίτης δυναμοσειράς είναι το. Άσκηση 9: Χρησιμοποιήστε γνωστές σειρές Taylor για να βρείτε συνοπτικούς τύπους για τις παρακάτω δυναμοσειρές. x x + x! 5
! x + Λύση: i Χρησιμοποιούμε ότι + έχουμε x x t t t x l a x a > 0.! για t <. Ετσι για x < / x x x + x x x + x. Ο περιορισμός x < / μας εξασφαλίζει ότι οι δυο σειρές στο δεξί μέλος τής πρώτης ισότητας συγκλίνουν. ii Οπως πριν για t < έχουμε + t t t άρα + t t t επομένως + t t. Ετσι αν για x < ολοκληρώσουμε την προηγούμενη σχέση ως προς t από 0 ως x θα πάρουμε x x dt 0 t x 0 + t + t dt l + x x. Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα αναπτύγματα Taylor l + x l + x x < x x x <. Για < x < αν προσθέσουμε κατά μέλη παίρνουμε l + x + x + x + x. iii Εδώ χρησιμοποιούμε ότι + 0 t! e t για κάθε t. Επομένως για κάθε x έχουμε + x! 0 x e x.! iv Οπως πριν χρησιμοποιούμε τη σειρά Taylor τής e x. Για κάθε x έχουμε x x!! x! x + x! x +! 0 0 xe x e x +. v Ομοίως. + l a x! 0 x l a! e x l a a x. 6