την κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών 2 ης τάξης και για τη παράγωγο f την ανάδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών 2 ης τάξης xxx

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 0-0, Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ και ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Ημερομηνία παράδοσης --0 Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ Με βάση τη σειρά Taylor βρείτε για τη παράγωγο xx την κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης και για τη παράγωγο xxx την ανάδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης Βρείτε μία κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης που να προσεγγίζει την παράγωγο xx στον κόμβο ενός πλέγματος (,,,N ), όταν η απόσταση ανάμεσα σε διαδοχικούς κόμβους δεν παραμένει σταθερή αλλά μεταβάλλεται (δηλαδή όταν x x h ). Να αποδειχθεί με σειρά Taylor και πολυωνυμική παρεμβολή η έκφραση πεπερασμένων διαφορών: u u, u, u, u, Ox, y xy x y Λύση:, α) Κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης για την παράγωγο xx h h x x 6 x h O h h h x x 6 x h O h () () (με σειρά Taylor): Προσθέτοντας τις () και () κατά μέλη έχουμε διαδοχικά: h O h h Oh x x x h O h β) Ανάδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης για την παράγωγο xxx h h h x x 6 x x h O h h h h h O h x x 6 x x h h h h O h x x 6 x x h h h h O h x x 6 x x () (με σειρά Taylor): () () (6) (7)

Πολλαπλασιάζοντας την () με 8, την () με -, την (6) με, την (7) με - και προσθέτοντας κατά μέλη τις παραγόμενες εξισώσεις καταλήγουμε στη σχέση: 8 h O h x 8 x h O h γ) Κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης για την παράγωγο xx (με πολυωνυμική παρεμβολή σε μη ισαπέχοντα σημεία): Προσεγγίζουμε την με πολυώνυμο P δεύτερης τάξης και θέτουμε την αρχή των αξόνων στο σημείο x. Τα σημεία x και x βρίσκονται σε απόσταση h και kh από το σημείο x αντίστοιχα. P( x h) ah bhc ah bh P ( x 0) c ak h bkh P( x kh) akh bkhc (8) d ( k) k dx k( k) h k k akh ak h a δ) Από το ανάπτυγμα Taylor έχουμε: u x u u, u, x O x x x,, u y u,, y y,, u u y O y (0) () u u x u u y u,, x, y x xy y,,,, u u x y xy O x, x y, xy, y () (9) Προσθέτοντας κατά μέλη τις (0) και () και αφαιρώντας την () παίρνουμε: u u, u, u, u, xy Ox, x y, xy, y xy,, u u, u, u, u, x y O, x, y, x y x y y x,,,, η () δίνει: Ox, y Για x y u xy, u u u u x y () () () Απόδειξη της () με πολυωνυμική παρεμβολή: P x y Ax By CxyDxEy F Έστω,

Τοπικό σύστημα συντεταγμένων: x, y 0,0, x,,0 y x, x, y 0, y, x, y x, y 0,0 P F u (6),,0, P x A x D xf u (7) 0,, P y B y E yf u (8),, P x y A x B y C x yd xe yf u (9) u u u u (7)+(8)-(9): CxyF u, u, u, C xy P xy, 0,0 u u u u C x y,,,,,,,, ΑΣΚΗΣΗ Να εφαρμοστούν με ακρίβεια σημαντικών ψηφίων οι αλγόριθμοι ολοκλήρωσης α) κανόνας τραπεζίου β) ος κανόνας του Smpson και γ) ος κανόνας του Smpson για να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: 6 0. x x ln xdx και x e cosxdx Να υπολογισθεί αριθμητικά το διπλό ολοκλήρωμα: sn Λύση α) Κανόνας Τραπεζίου Πρόγραμμα σε FORTRAN: Program trapezou mplct none real a,b,x,s,h,,z,analytkh nteger k,n do n=,00!arthmos dasthmatwn a=; b=6; analytkh=.86!a=0.;b=0.; analytkh=0.09 h=(b-a)/n s=0 do =,n- x=a+*h s=s+(x) 0. x y x y dydx s=((a)+*s+(b))*h/. (n<=0.or. mod(n,0)==0) then prnt '(,8.,0.6,e.)',n,h,s,abs(s-analytkh) end contans 00

real uncton (x) real,ntent(n)::x =x*log(x) end uncton real uncton (x) real,ntent(n)::x real::t t=x** t=exp(*x) t=cos(*x) =x***exp(*x)*cos(*x) end uncton end program 6 Αποτελέσματα για x ln xdx, Αναλυτική τιμή:.86 Σημείωση: Στους επόμενους πίνακες Ν είναι ο αριθμός των διαστημάτων, h το μήκος κάθε διαστήματος, I η τιμή του ολοκληρώματος και το απόλυτο σφάλμα η απόλυτη τιμή της διαφοράς του Ι από την αναλυτική τιμή του ολοκληρώματος.77.08.7 0.6807..07 0.689.966 9.E-0 0.8.98.8E-0 6 0.666667.906.06E-0 7 0.79.89.98E-0 8 0..888.8E-0 9 0..88.80E-0 0 0..88.6E-0 0 0..869.6E-0 0 0..867.6E-0 0 0..866 8.9E-0 0 8.00E-0.866.6E-0 60 6.67E-0.868.89E-0 70.7E-0.867.77E-0 80.00E-0.866.0E-0 90.E-0.866.8E-0 00.00E-0.86.E-0 0. x dx, Αναλυτική τιμή: 0.09 0. x Αποτελέσματα για x e cos 0. 0.79.E-0

0. 0.098 7.0E-0 0. 0.090.E-0 0. 0.099.7E-0 0.08 0.099.09E-0 6 0.0667 0.099 7.E-0 7 0.07 0.097.0E-0 8 0.0 0.0968.8E-0 9 0.0 0.098.8E-0 0 0.0 0.096.6E-0 0 0.0 0.097.7E-0 0 0.0 0.099.9E-0 0 0.0 0.0906.8E-06 0 0.008 0.09.0E-07 60 0.0067 0.0996.6E-06 70 0.007 0.099.68E-06 80 0.00 0.099 7.00E-06 90 0.00 0.099 7.87E-06 00 0.00 0.099 8.E-06 β) ος Κανόνας Smpson Πρόγραμμα σε FORTRAN: Program smpson_rule mplct none real a,b,x,s_odd,s_even,h,,z,analytkh nteger k,n do n=,00,! dasthmata: Prepe na ena artos!a=; b=6; analytkh=.86 a=0.;b=0.; analytkh=0.09 h=(b-a)/n s_odd=0 do k=,n-, x=a+k*h s_odd=s_odd+(x) s_even=0 do k=,n-, x=a+k*h s_even=s_even+(x) =((a)+*s_odd+*s_even+(b))*h/. (n<=0.or. mod(n,0)==0) then prnt '(,8.,0.6,e.)',n,h,,abs(-analytkh) end contans real uncton (x) real,ntent(n)::x

=x*log(x) end uncton real uncton (x) real,ntent(n)::x =x***exp(*x)*cos(*x) end uncton end Εκτελώντας το πρόγραμμα για το πρώτο ολοκλήρωμα έχουμε:.8787.0e-0.8668.0e-0 6 0.6667.8660.0E-0 8 0..86.96E-0 0 0..8608 7.6E-06 0 0..8679.0E-0 0 0..8677.9E-0 0 0..8677.9E-0 0 0.08.8676.8E-0 60 0.0667.8677.9E-0 70 0.07.8677.9E-0 80 0.0.8677.9E-0 90 0.0.8677.9E-0 00 0.0.867.67E-0 Εκτελώντας το πρόγραμμα για το δεύτερο ολοκλήρωμα έχουμε: 0. 0.08996.E-0 0. 0.09098.0E-0 6 0.0667 0.097.98E-0 8 0.0 0.098.7E-0 0 0.0 0.0986.7E-0 0 0.0 0.0989.E-0 0 0.0 0.0989.E-0 0 0.0 0.0989.E-0 0 0.008 0.0989.E-0 60 0.0067 0.0989.E-0 70 0.007 0.0989.E-0 80 0.00 0.0989.E-0 90 0.00 0.0989.E-0 00 0.00 0.0989.E-0 γ) ος Κανόνας Smpson Πρόγραμμα σε FORTRAN: 6

Program smpson_rule mplct none real a,b,x,s,h,w,analytkh nteger,n do n=,00,!dasthmata: prepe pollaplaso tou!a=; b=6; analytkh=.86 a=0.;b=0.; analytkh=0.09 h=(b-a)/n s=0 do =,n- x=a+*h (mod(,)==0) then w= else w= end s=s+w*(x) s=((a)+s+(b))*h*./8. prnt '(,8.,0.6,e.)',n,h,s,abs(s-analytkh) contans real uncton (x) real,ntent(n)::x =x*log(x) end uncton real uncton (x) real,ntent(n)::x =x***exp(*x)*cos(*x) end uncton end Εκτελώντας το πρόγραμμα για το πρώτο ολοκλήρωμα έχουμε:..87 6.0E-0 6 0.6667.8686.8E-0 9 0..868 7.6E-0 0..86.E-0 0.90.868.9E-0 0 0..868.9E-0 0.09.868.8E-0 0.078.868.9E-0 60 0.0667.868.9E-0 7 0.06.868.9E-0 8 0.09.868.8E-0 90 0.0.868.9E-0 99 0.00.868.9E-0 7

Εκτελώντας το πρόγραμμα για το δεύτερο ολοκλήρωμα έχουμε: 0. 0.09068.7E-0 6 0.0667 0.098.9E-0 9 0.0 0.098.9E-0 0.0 0.0986.9E-0 0.09 0.0988.6E-0 0 0.0 0.0989.E-0 0.009 0.0989.E-0 0.0078 0.0989.E-0 60 0.0067 0.0989.E-0 7 0.006 0.0989.E-0 8 0.009 0.0989.E-0 90 0.00 0.0989.E-0 99 0.00 0.0989.E-0 Πρόγραμμα σε FORTRAN, που υπολογίζει ένα διπλό ολοκλήρωμα με τον Κανόνα του Τραπεζίου: Program trapezou_double mplct none real ax,bx,ay,by,x,y,s,hx,hy,w,analytkh nteger,,n analytkh=.07 do n=,00 ax=0; bx= ay=0;by= hx=(bx-ax)/n hy=(by-ay)/n s=0 do =0,n do =0,n x=ax+*hx y=ay+*hy (==0.and. ==0.or. ==n.and. ==n.or. & ==n.and. ==0.or. ==0.and. ==n) then w= else (==0.or. ==0.or. ==n.or. ==n) then w= else w= end s=s+w*(x,y) s=s*hx*hy/ (n<=0.or. mod(n,0)==0) then prnt '(,8.,0.6,e.)',n,hx,s,abs(s-analytkh) end contans real uncton (x,y) real,ntent(n)::x,y =(x+y)*sn(x+y) end uncton end program 8

x ysnx ydydx Αναλυτική τιμή:.07 00 0.60998.70E+00.9.07E+00 0.6667.80.86E-0 0..0796.7E-0 0..0.77E-0 6 0..8.E-0 7 0.87.6679 9.0E-0 8 0..787 6.9E-0 9 0...8E-0 0 0..67.E-0 0 0..9998.E-0 0 0.0667.07.9E-0 0 0.0.0.78E-0 0 0.0.06.76E-0 60 0.0.08.E-0 70 0.086.06 8.86E-0 80 0.0.069 7.08E-0 90 0.0.0609.9E-0 00 0.0.0668.6E-0 ΑΣΚΗΣΗ Με αριθμητική ολοκλήρωση Gauss να προσεγγισθούν με ακρίβεια σημαντικών ψηφίων: x t t ) η συνάρτηση σφάλματος ) η συνάρτηση Gamma (επιλέξτε το x ) er x e dt e dt 0 0 n x n x e dxn! (επιλέξτε το n ) Λύση: Βλέπε ιστοσελίδα μαθήματος: Παράδειγμα Άσκηση x 9