ΒΕΛΤΙΣΤΟΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΜΕ ΚΑΙ ΧΩΡΙΣ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Διδακτορική διατριβή ΒΕΛΤΙΣΤΟΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΜΕ ΚΑΙ ΧΩΡΙΣ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Κατερίνα Περικλέους Αθήνα 04

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΜΕ ΚΑΙ ΧΩΡΙΣ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Διδακτορική διατριβή Κατερίνα Περικλέους Αθήνα 04 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Ι. Βόντα, Επ. Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. (Μέλος της τριμελούς επιτροπής) Χ. Ευαγγελάρας, Επ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Α. Καραγρηγορίου, Αν. Καθηγητής Πανεπιστημίου Κύπρου Χ. Καρώνη - Ρίτσαρντσον, Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. (Μέλος της τριμελούς επιτροπής) Χ. Κουκουβίνος, Καθηγητής Ε.Μ.Π. (Επιβλέπων καθηγητής) Μ. Κούτρας, Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Ι. Σπηλιώτης, Αν. Καθηγητής Ε.Μ.Π.

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ Οι πειραματικοί σχεδιασμοί χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των παραμέτρων που μας ενδιαφέρουν σε ένα στοχαστικό μοντέλο. Ιδιαίτερα οι βέλτιστοι πειραματικοί σχεδιασμοί δίνουν «καλύτερες» εκτιμήσεις των παραμέτρων. Υπάρχουν διάφορες επιλογές κριτηρίων βελτιστοποίησης στην αντιμετώπιση του προβλήματος, επίσης υπάρχουν μοντέλα γραμμικά και μη γραμμικά καθώς και μοντέλα με ή χωρίς εξάρτηση. Η διατριβή ασχολείται με γραμμικά μοντέλα, για την εκτίμηση ενός υποσυνόλου των παραμέτρων. Η εκτίμηση γίνεται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Στην περίπτωση αυτή η πληροφορία που μας ενδιαφέρει περιέχεται στον πίνακα διασποράς, V, των εκτιμημένων παραμέτρων ή ισοδύναμα στον πίνακα πληροφορίας Q V. Σκοπός της διδακτορικής έρευνας είναι να επεκταθούν τα μέχρι τώρα αποτελέσματα σε περιπτώσεις που δεν έχουν ερευνηθεί. Ως εργαλείο μελέτης χρησιμοποιείται η έννοια της κυριαρχίας (majorzato). Εξετάζονται οι καθολικά βέλτιστοι σχεδιασμοί, αν υπάρχουν, αλλιώς χρησιμοποιούνται φ-βέλτιστοι σχεδιασμοί. Αν ούτε και αυτό είναι εφικτό, τότε γίνεται βελτιστοποίηση ως προς ορισμένα κριτήρια. Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα κριτήρια βελτιστοποίησης είναι A, D, E, MV. Η διατριβή αυτή αποτελείται από πέντε κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο της διατριβής δίνονται κάποιες βασικές έννοιες. Παραθέτονται τα κριτήρια βελτιστοποίησης, δίνονται οι ορισμοί των καθολικά βέλτιστων, των φ-βέλτιστων και των A-, D- E-, MV- και G-βέλτιστων σχεδιασμών. Δίνεται επίσης μια σύντομη περιγραφή της έννοιας της κυριαρχίας και ορίζονται οι πίνακες σχεδιασμού και πληροφορίας. Η έννοια της κυριαρχίας χρησιμοποιείται για να αποδειχθεί αν ένας σχεδιασμός είναι φ-βέλτιστος. Το δεύτερο κεφάλαιο ασχολείται με σχεδιασμούς γραμμής, όπου οι πειραματικές μονάδες τοποθετούνται στη σειρά στο χώρο ή στο χρόνο. Μελετούνται οι περιπτώσεις που οι παρατηρήσεις είτε είναι ανεξάρτητες, ή είναι εξαρτημένες και η εξάρτηση ακολουθεί μια πρώτης τάξης αυτοπαλινδρόμηση, AR(), με παράμετρο α. Στο σημείο αυτό εξετάζονται σχεδιασμοί με δύο αγωγές και καθορίζονται οι βέλτιστοι σχεδιασμοί για τις διάφορες τιμές του α, όταν το πλήθος των πειραματικών μονάδων είναι άρτιο ή περιττό. Για να μειωθούν οι υπό εξέταση σχεδιασμοί ακολουθούμε μια διαδικασία φιλτραρίσματος. Στο τρίτο και στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζονται σχεδιασμοί γραμμής με τρεις αγωγές και εξάρτηση AR(). Οι βέλτιστοι σχεδιασμοί για τις περιπτώσεις που οι αγωγές είναι τρεις εξαρτώνται από τις τιμές που παίρνει η παράμετρος α του αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου. Ανάλογα με την τιμή που παίρνει το α γίνεται διαφορετική προσέγγιση του προβλήματος. Στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζεται η περίπτωση που η παράμετρος α είναι θετική, δηλαδή το α παίρνει τιμές στο διάστημα (0,), το οποίο είναι και πιο απαιτητικό πρόβλημα, ενώ στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζεται πλήρως η περίπτωση που η παράμετρος παίρνει αρνητικές τιμές στο (-,0). Τέλος, το πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο πραγματεύεται τους k κλασματικούς παραγοντικούς σχεδιασμούς με στόχο την εύρεση βέλτιστων σχεδιασμών για την εκτίμηση των τυποποιημένων γραμμικών και τετραγωνικών αντιθέσεων για την περίπτωση που οι αγωγές έχουν τρία επίπεδα και πλήθος πειραματικών μονάδων Ν 0mo.

SUMMARY OF DOCTORAL DISSERTATION OPTIMAL EXPERIMENTAL DESIGNS WITH AND WITHOUT DEPENDENCE The expermetal esgs are use to estmate the parameters of terest a stochastc moel. Partcularly the optmal esgs gve best estmates of these parameters. There are several optmzato crtera to solve the problem, there are also lear a olear moels, wth or wthout epeece of the observatos The thess eals wth lear moels, to estmate some parameters of terest. For the estmato the metho of least squares s apple. I ths case the formato of terest s cotae the covarace matrx, V, of the estmate parameters or equvaletly the formato matrx Q V. The purpose of ths thess s to f optmal esgs for some cases that have ot bee vestgate. As a stuy tool the cocept of majorzato s utlze. Ths thess s compose of fve chapters. The frst chapter presets some basc cocepts. The eftos of uversal a φ optmalty are gve. The most commoly use optmzato crtera are A, D, E, G,MV whch are also efe. A bref escrpto of the cocept of majorzato s presete a of formato fuctos a formato matrces.. The cocept of majorzato s use to eterme whether a esg s φ-optmal, whch mples E,A,D optmalty but ot ecessarly MV or G optmalty. The seco chapter eals wth esgs whch the expermetal uts are place a le. The observatos are ether epeet or epeet a the epeece follows a frst-orer Autoregresso, AR (), wth parameter α. I ths chapter esgs are stue wth two treatmets a the optmal esgs are eterme for varous values of a, whe the umber of expermetal uts s eve or o. To reuce the umber of the competg esgs for optmalty a flterg process s followe. I the thr a fourth chapter row esgs wth three treatmets a AR () epeece are stue The thr chapter exames the case where the parameter α s postve, that s, α takes values the terval (0,), whch s a more emag problem. I the fourth chapter a etale examato s gve where the parameter α of the autoregressve moel takes o egatve values the terval (-.0). Fally, the ffth a last chapter eals wth k fractoal factoral esgs wth a vew to fg optmal esgs for the estmato of staarze lear a quaratc cotrasts whe treatmets have three levels a the umber of expermetal uts s N 0mo. It s prove that the optmal esgs are Balace a Partally balace arrays whch are efe a algorthms are evelope for the costructo of these arrays.

Περιεχόμενα Πρόλογος - Ευχαριστίες... Εισαγωγή... Κεφάλαιο Βασικές έννοιες.... Το γραμμικό μοντέλο.... Βέλτιστοι σχεδιασμοί... 4. Η έννοια της κυριαρχίας... 7.4 Η έννοια της κυριαρχίας για τους πίνακες... Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις... 5. Ομοιογενής πληθυσμός, ανεξάρτητες παρατηρήσεις... 6. Ομοιογενής πληθυσμός, εξαρτημένες παρατηρήσεις... 8. Βέλτιστοι σχεδιασμοί, με δύο αγωγές και άρτιο πλήθος παρατηρήσεων =m... 4.4 Περιττό πλήθος μονάδων, με δύο αγωγές... 6.4. Περιττό πλήθος μονάδων όταν =r+m+, r+m, 0<α<... 6.4. Περιττό πλήθος μονάδων όταν =m+, -<α<0... 8.5 MV-Βελτιστοποίηση... 9

Παράρτημα.... Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με τρεις αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις, με θετική συσχέτιση... 4. Το μοντέλο... 4. Σχεδιασμοί με τρεις αγωγές και 0<α<... 45. Πίνακες... 46.4 E- και Α-Βελτιστοιποίηση... 49 Κεφάλαιο 4 Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με τρεις αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις, αρνητική συσχέτιση... 55 4. Το μοντέλο... 56 4. D-βέλτιστοι σχεδιασμοί για v αγωγές... 57 4. Τρεις αγωγές S, T, R... 6 4.4 Συγκρίσεις μέσα και μεταξύ των κλάσεων... 64 4.4. Βέλτιστοι σχεδιασμοί μέσα στις κλάσεις... 65 4.4. Βέλτιστοι σχεδιασμοί μεταξύ των κλάσεων... 66 Παράρτημα 4.... 67 Παράρτημα 4.... 0 Κεφάλαιο 5 k Βέλτιστοι κλασματικοί παραγοντικοί σχεδιασμοί για την

εκτίμηση γραμμικών και τετραγωνικών αντιθέσεων, η περίπτωση Ν 0mo... 5. Το μοντέλο και οι εκτιμήτριες των αντιθέσεων... 5. Βέλτιστοι σχεδιασμοί... 7 5. Βέλτιστοι πίνακες πληροφορίας όταν N=0mo... 9 5.4 Βελτιστοποίηση του BA(N,k), για N ή 6 mo9.... 5.4. Κατασκευή του BA(N,k)... 4 5.5 Μερικώς ισορροπημένοι σχεδιασμοί PBA(N,k-r,r)... 44 5.5. Για να βρούμε τα ζευγάρια BA(N,k-r), BA(N,r)... 45 5.6 Βέλτιστοι σχεδιασμοί για N=,5,,4,0,... 56 Παράρτημα 5.... 64 Παράρτημα 5..... 67 Βιβλιογραφία... 7

Πρόλογος - Ευχαριστίες Αναμφίβολα η Στατιστική στις μέρες μας έχει καταφέρει να πετύχει πολλά και αποτελεί απαραίτητο εργαλείο για πολλές περιοχές επιστημονικής έρευνας. Η σωστή προσέγγιση των αποτελεσμάτων μιας έρευνας - ενός πειράματος έχει πλέον σπουδαία σημασία για τους επιστήμονες πάρα πολλών ειδικοτήτων και έτσι αντιλαμβάνεται κανείς γιατί το ενδιαφέρον για την Στατιστική αυξήθηκε σε πολλές επιστημονικές περιοχές τα τελευταία χρόνια. Οι διάφορες μεθοδολογίες για να φτάσει κανείς στο αποτέλεσμα αλλά φυσικά και τα ίδια τα συμπεράσματα έχουν απασχολήσει πολλές επιστημονικές εργασίες και συγγράμματα αφού στόχος είναι η συνεχής βελτίωση και πρόοδος καθώς και η απλοποίηση των διαδικασιών. Οι πειραματικοί σχεδιασμοί είναι ένα από τα βασικά θέματα σε κάθε πρόγραμμα στατιστικής. Αποτελούν ένα σημαντικό εργαλείο στον τομέα της βιομηχανίας, της εφαρμοσμένης μηχανικής, της ιατρικής, της γεωργικής παραγωγής καθώς και σε διάφορους άλλους τομείς των επιστημών. Η εφαρμογή πειραματικών σχεδιασμών στην βιομηχανία μπορεί να φέρει αποτελέσματα για σαφώς βελτιωμένη παραγωγή, επιτάχυνση των διαδικασιών και φυσικά μείωση του κόστους. Όσον αφορά την ιατρική γίνεται αντιληπτό ότι τα πειράματα και οι έρευνες είναι αναπόσπαστο και απαραίτητο κομμάτι αφού στόχος είναι η συνεχής βελτίωση των μεθόδων θεραπείας με την σκέψη πάντα στον ασθενή. Έτσι λοιπόν και η παρούσα διατριβή με θέμα «Βέλτιστοι πειραματικοί σχεδιασμοί με ή χωρίς εξαρτημένες παρατηρήσεις» ευελπιστεί να βάλει το δικό της λιθαράκι στην πρόοδο και την εξέλιξη του συγκεκριμένου τομέα.

Πρόλογος - Ευχαριστίες Θα ήθελα στο σημείο αυτό να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Χρήστο Κουκουβίνο, Καθηγητή του Ε.Μ.Π., για την επιστημονική και όχι μόνο καθοδήγησή του, τις υποδείξεις και παρατηρήσεις του και την ουσιαστική συνεισφορά του για την ολοκλήρωση της διατριβής μου. Οι συμβουλές του και οι κατευθυντήριες γραμμές που μου έδινε με οδήγησαν με ασφάλεια στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Ευχαριστώ επίσης την κα. Ίλια Βόντα Επίκουρη Καθηγήτρια του Ε.Μ.Π. και μέλος της τριμελούς μου επιτροπής για τις χρήσιμες υποδείξεις και συμβουλές της καθώς και για την άψογη συνεργασία μας καθ' όλη τη διάρκεια των διδακτορικών μου σπουδών. Ευχαριστίες και στην την κ. Χρυσιής Καρώνη, Καθηγήτρια του Ε.Μ.Π. για το όλο ενδιαφέρον της. Θερμές ευχαριστίες και προς τα υπόλοιπα μέλη της επταμελούς επιτροπής για τις χρήσιμες υποδείξεις τους. Τέλος θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου προς τον κ. Στρατή Κουνιά Ομότιμο Καθηγητή του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών για το χρόνο που αφιέρωσε, την υπομονή και τις υποδείξεις του, τόσο στο μεταπτυχιακό δίπλωμα ειδίκευσης όσο και στη διδακτορική μου διατριβή. Η διατριβή αυτή εκπονήθηκε με χρηματοδότηση από τον Ειδικό Λογαριασμό Κονδυλίων Έρευνας Ε.Μ.Π. (ΕΛΚΕ) τον οποίο ευχαριστώ θερμά. Η οικονομική στήριξη που μου παρείχαν με βοήθησε τα μέγιστα στο να ολοκληρώσω τις διδακτορικές μου σπουδές. Οφείλω κλείνοντας ένα μεγάλο ευχαριστώ στην οικογένεια μου για την στήριξη και την έμπρακτη συμπαράσταση και βοήθεια τους όλο αυτό το διάστημα των διδακτορικών μου σπουδών. Αθήνα 04 Κατερίνα Περικλέους

Εισαγωγή Οι πειραματικοί σχεδιασμοί χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των παραμέτρων που μας ενδιαφέρουν σε ένα στοχαστικό μοντέλο. Ένα κλασικό βιβλίο στο θέμα των πειραματικών σχεδιασμών είναι των W.G. Cochra a G.M. Cox, (957). Ιδιαίτερα οι βέλτιστοι πειραματικοί σχεδιασμοί δίνουν «καλύτερες» εκτιμήσεις των παραμέτρων. Υπάρχουν διάφορες επιλογές κριτηρίων βελτιστοποίησης στην αντιμετώπιση του προβλήματος, επίσης υπάρχουν μοντέλα γραμμικά και μη γραμμικά καθώς και μοντέλα με ή χωρίς εξάρτηση. Στη διατριβή θα ασχοληθούμε με γραμμικά μοντέλα, στα οποία μας ενδιαφέρει μέρος των παραμέτρων και η εκτίμηση γίνεται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Στην περίπτωση αυτή η πληροφορία που μας ενδιαφέρει περιέχεται στον πίνακα διασποράς, V, των εκτιμημένων παραμέτρων ή ισοδύναμα στον πίνακα πληροφορίας Q V. Στους σχεδιασμούς γραμμής (row esgs) υπάρχουν v αγωγές και πειραματικές μονάδες (μονάδες) τοποθετημένες στη σειρά. Στους σχεδιασμούς γραμμής-στήλης (row-colum esgs) οι μονάδες είναι τοποθετημένες σε p γραμμές και q στήλες και σε κάθε μονάδα εφαρμόζεται μια από τις v αγωγές. Η έννοια του καθολικά βέλτιστου σχεδιασμού δόθηκε από τον Kefer (975a), ο οποίος γενίκευσε την ιδέα του ισορροπημένου κατά ομάδες σχεδιασμού (Balace Block Desg, BBD) και έδειξε πότε οι γενικευμένοι

Εισαγωγή v σχεδιασμοί Youe (GYD) είναι καθολικά βέλτιστοι. Επίσης ασχολήθηκε με την κατασκευή τους (Kefer, 975b) και γενίκευσε τις εργασίες των Agrawal (966), Hartley a Smth (948). Ακολούθησε πλήθος εργασιών στο θέμα αυτό, που δίνουν βέλτιστους σχεδιασμούς των παραμέτρων ή βέλτιστους σχεδιασμούς στη σύγκριση των αγωγών με ένα ή περισσότερους μάρτυρες. Μια επισκόπηση των αποτελεσμάτων σε ομοιογενείς και ανομοιογενείς πληθυσμούς έχει δοθεί από τους Heayat, Jacroux και Majuar (988), ενώ η σύγκριση μερικών αγωγών με ένα μάρτυρα εξετάστηκε πρώτα από τους Bechhofer και Tamhae (98). Ακολούθησε πλήθος εργασιών, όπως αυτή των Heayat a Majumbar (985) κ.ά. Βέλτιστοι σχεδιασμοί σε μοντέλα εξαρτημένων παρατηρήσεων μελετήθηκαν από τους Mart (986), Mart και Ecclesto (99), Morga και U (00) κ.ά. Η βιβλιογραφία για την εύρεση και την κατασκευή καθολικά βέλτιστων σχεδιασμών ή βέλτιστων σχεδιασμών ως προς ορισμένα κριτήρια είναι αρκετά εκτενής. Ενδιαφέρουσα είναι η περίπτωση των δύο αγωγών, με ανεξάρτητες παρατηρήσεις και με άρτιο πλήθος μονάδων. Αντίθετα, η βιβλιογραφία για τις περιπτώσεις τριών και περισσοτέρων αγωγών, είναι περιορισμένη. Αυτό συμβαίνει διότι όταν το πλήθος των αγωγών είναι v αυξάνει το πλήθος των προς σύγκριση σχεδιασμών. Ο Kefer (975a) εισήγαγε μια νέα προσέγγιση προκειμένου να γενικεύσει τα αποτελέσματα που ήταν γνωστά μέχρι τότε. Μια βελτιωμένη θεμελίωση, στο ίδιο θέμα, σύμφωνα με τα νεώτερα αποτελέσματα, δίνεται στο βιβλίο του Pukelshem (99). Ένας από τους κύριους στόχους του Kefer (975) ήταν να αποδείξει τα παραπάνω αποτελέσματα χρησιμοποιώντας εργαλεία όπως η κυρτότητα, η συνάρτηση πληροφορίας και άλλα.

v Εισαγωγή Πολλοί μελετητές που ασχολούνται με προβλήματα βέλτιστων σχεδιασμών χρησιμοποιούν το πιο πάνω μοντέλο με εξαρτημένες παρατηρήσεις, όπως οι Chauha (000), Chauha a Mart (00), Kuert (988), Mart (986), Mart a Ecclesto (99), Morga a U (99), U (997), U a Morga (99). Παρόλο που το θέμα έχει μελετηθεί από πολλούς ερευνητές, δεν έχει εξαντληθεί. Η περιοχή αυτή της έρευνας δεν είναι καθόλου πλήρης λόγω της δυσκολίας των υπολογισμών για σχεδιασμούς που δεν είναι συμμετρικοί. Βέλτιστοι σχεδιασμοί έχουν βρεθεί μόνο για ορισμένες περιπτώσεις. Σε κάθε περίπτωση είναι σημαντικό να αναζητηθούν και να αναπτυχθούν γενικότερα αποτελέσματα. Σκοπός λοιπόν της εν λόγω διδακτορικής έρευνας είναι να επεκταθούν τα μέχρι τώρα αποτελέσματα σε περιπτώσεις που δεν έχουν ερευνηθεί. Θα μας απασχολήσουν οι καθολικά βέλτιστοι σχεδιασμοί, αν υπάρχουν, αλλιώς θα χρησιμοποιήσουμε φ-βέλτιστους σχεδιασμούς. Ως εργαλείο μελέτης χρησιμοποιούμε την έννοια της κυριαρχίας (majorzato). Αν ούτε και αυτό είναι εφικτό, τότε γίνεται προσπάθεια για να αποδειχθεί βελτιστοποίηση ως προς ορισμένα κριτήρια. Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα κριτήρια βελτιστοποίησης είναι A, D, E, MV. Η διατριβή αυτή αποτελείται από πέντε κεφάλαια. Αρχικά, στο πρώτο κεφάλαιο της διατριβής παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες. Παραθέτονται τα κριτήρια βελτιστοποίησης, δίνονται οι ορισμοί των καθολικά βέλτιστων, των φ-βέλτιστων και των A-, D- E-, MVκαι G-βέλτιστων σχεδιασμών. Δίνεται επίσης μια σύντομη περιγραφή της έννοιας της κυριαρχίας και ορίζονται οι πίνακες σχεδιασμού και πληροφορίας. Η έννοια της κυριαρχίας χρησιμοποιείται για να αποδειχθεί αν ένας σχεδιασμός είναι φ-βέλτιστος. Το δεύτερο κεφάλαιο ασχολείται με σχεδιασμούς γραμμής. Μελετούνται οι περιπτώσεις που οι παρατηρήσεις είτε είναι ανεξάρτητες, ή

Εισαγωγή v είναι εξαρτημένες και η εξάρτηση ακολουθεί μια πρώτης τάξης αυτοπαλινδρόμηση, AR(), με παράμετρο α. Στο σημείο αυτό εξετάζονται σχεδιασμοί με δύο αγωγές και καθορίζονται οι βέλτιστοι σχεδιασμοί για τις διάφορες τιμές του α, όταν το πλήθος των πειραματικών μονάδων είναι άρτιο ή περιττό. Για να μειώσουμε τους υπό εξέταση σχεδιασμούς ακολουθούμε μια διαδικασία φιλτραρίσματος. Στο τρίτο και στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζονται σχεδιασμοί γραμμής με τρεις αγωγές και εξάρτηση AR(). Οι βέλτιστοι σχεδιασμοί για τις περιπτώσεις που έχουμε τρεις αγωγές εξαρτώνται από τις τιμές που παίρνει η παράμετρος α του αυτοπαλινδρομούμενου μοντέλου. Ανάλογα με την τιμή που παίρνει το α γίνεται διαφορετική προσέγγιση του προβλήματος. Στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζεται η περίπτωση που η παράμετρος α είναι θετική, δηλαδή το α παίρνει τιμές στο διάστημα (0,), το οποίο είναι και πιο απαιτητικό πρόβλημα, ενώ στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζεται πλήρως η περίπτωση που η παράμετρος παίρνει αρνητικές τιμές στο (-,0). Τέλος, το πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο πραγματεύεται τους k Βέλτιστους κλασματικούς παραγοντικούς σχεδιασμούς με απώτερο στόχο την εύρεση βέλτιστων σχεδιασμών για την εκτίμηση των τυποποιημένων γραμμικών και τετραγωνικών αντιθέσεων για την περίπτωση που οι αγωγές έχουν τρία επίπεδα και Ν 0mo πειραματικές μονάδες.

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες Οι πειραματικοί σχεδιασμοί είναι μια σημαντική περιοχή της Στατιστικής, ένα απαραίτητο εργαλείο για τους ασχολούμενους με τη θεωρία και την εφαρμογή της στατιστικής. Πριν την εκτέλεση του πειράματος είναι προαπαιτούμενος ο σχεδιασμός του, ώστε να πάρουμε αξιόπιστες και ικανοποιητικές απαντήσεις στα ερωτήματα που μας ενδιαφέρουν. Οι πειραματικοί σχεδιασμοί βοηθούν στην καλύτερη εκτίμηση των παραμέτρων που μας ενδιαφέρουν σε ένα στοχαστικό μοντέλο. Οι βέλτιστοι πειραματικοί σχεδιασμοί παρουσίασαν σημαντική ανάπτυξη μετά το 960 με πλήθος δημοσιεύσεων. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν διάφορα κριτήρια βελτιστοποίησης γα την αντιμετώπιση ενός προβλήματος. Επιπλέον υπάρχουν μοντέλα γραμμικά και μη γραμμικά καθώς και μοντέλα με ή χωρίς σταθερούς συντελεστές. Η διατριβή ασχολείται με γραμμικά μοντέλα, στα οποία μας ενδιαφέρει μέρος των παραμέτρων και η εκτίμηση γίνεται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες που είναι απαραίτητες στη συνέχεια της διατριβής. Στην πρώτη ενότητα δίνεται το γραμμικό μοντέλο, ενώ στη δεύτερη δίνονται βασικοί ορισμοί βελτιστοποίησης. Στην τρίτη ενότητα παρουσιάζεται η έννοια της κυριαρχίας

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες κυρίως στα διανύσματα και στην τέταρτη και τελευταία ενότητα δίνεται η έννοια της κυριαρχίας σε ότι αφορά τους πίνακες.. Το γραμμικό μοντέλο Στις περιπτώσεις που μας ενδιαφέρει να εκτιμήσουμε μόνο μερικές από τις παραμέτρους ενός γραμμικού μοντέλου χρησιμοποιούμε τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, που μας δίνει την εκτίμηση και τον πίνακα διασποράς των παραμέτρων αυτών. Θεωρούμε το γραμμικό μοντέλο, E y Xθ y X p θ p y I p. ( ), :, :, :, var( ), Αν ο πίνακας Χ είναι πλήρους βαθμού, δηλαδή rak X =p, τότε ˆ ( ' ) ' θ X X X y με πίνακα διασποράς ˆ V( θ) ( X' X ) και εκτιμήσιμες είναι όλες οι γραμμικές συναρτήσεις των παραμέτρων. Αν rakx p, τότε XXθ ' ˆ X' y, ˆ V( Xθ) H( X ) και εκτιμήσιμες είναι οι γραμμικές συναρτήσεις των παραμέτρων της μορφής cxθ ', c ( c,..., c )', για κάθε διάνυσμα c, όπου H ( X) X( X' X) X '. Όταν δίνεται ο πίνακας Χ οι εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων είναι αμερόληπτες και έχουν την ελάχιστη διασπορά μεταξύ των γραμμικών συναρτήσεων των παρατηρήσεων (BLUE). Στην περίπτωση που μας ενδιαφέρει μέρος των παραμέτρων, οι υπόλοιπες παράμετροι θεωρούνται οχληρές (usace parameters), τότε: θ X ( X, X), θ, θ : s, X : s, θ : ( p s), X : ( p s) θ (..) όπου θ είναι το διάνυσμα των επιδράσεων των s παραμέτρων που μας ενδιαφέρουν και X είναι ο s πίνακας που αντιστοιχεί σ αυτές τις παραμέτρους, ενώ θ είναι το διάνυσμα των οχληρών παραμέτρων με αντίστοιχο πίνακα X.

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες Ορισμός.. Ο pπίνακας X ( X, X ) λέγεται πίνακας σχεδιασμού και ο p p πίνακας C X' X λέγεται πίνακας πληροφορίας των παραμέτρων θ. Πρόταση.. Ο πίνακας διασποράς των s εκτιμημένων παραμέτρων ˆθ στο (..) είναι: var( θˆ ) Q, Q X ( I H( X )) X, (..) ' όταν rak Q s, όπου H( X ) X ( X X ) X είναι ο πίνακας ορθής προβολής ' ' στο γραμμικό χώρο των στηλών του X. Απόδειξη. (α) Αν a' y, a ( a,..., a ) είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της a y a X θ a X θ c θ για κάθε θ, θ, τότε c' θ, c ( c,..., c s ), τότε E( ' ) ' ' ' a' X c', a' X 0. Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα c ' είναι στο γραμμικό χώρο των γραμμών του X, οπότε c' a' X και το διάνυσμα a είναι ορθογώνιο στις στήλες του X, a' X 0, οπότε c' ' Q, (,..., s )'. (β) Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων δίνει XXθ ' ˆ X' y ή ' ˆ ' ˆ ' XXθ XXθ Xy, ' ˆ ' ˆ ' XXθ X X θ X y. Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά τη δεύτερη με ' ' - XX (XX ) παίρνουμε: Όπου ' ˆ ' ˆ ' XXθ + XXθ = Xy ' ˆ ' ˆ ' X H(X )X θ + X X θ = X H(X )y ' - ' H(X ) = X (XX ) X είναι ο πίνακας ορθής προβολής στο χώρο των στηλών του X, τότε H(X )X = X και παίρνουμε: ˆ ' ˆ ' Qθ = X (I - H(X )X θ = X (I - H(X ))y Από την οποία παίρνουμε τον πίνακα διασποράς, ˆ var( Qθ ) Q

4 Κεφάλαιο Βασικές έννοιες (γ) Αν ο s sπίνακας Q έχει βαθμό s, είναι αντιστρέψιμος και ˆ var( θ ) Q - και όλες οι γραμμικές συναρτήσεις c ' θ είναι εκτιμήσιμες. Αν rak( Q ) s εκτιμήσιμες είναι, από το μέρος (α), οι παράμετροι Qθ με var( ˆ ) Qθ Q. Ο Q είναι πίνακας πληροφορίας για τις παραμέτρους θ που μας ενδιαφέρουν.. Βέλτιστοι σχεδιασμοί Ορισμός.. Αν C συμμετρικός πίνακας, η συνάρτηση g(c), που έχει πεδίο ορισμού τους συμμετρικούς πίνακες και πεδίο τιμών τους πραγματικούς αριθμούς, είναι, κυρτή αν: g( ac ( a) C ) ag( C ) ( a) g( C ), 0 a, κοίλη αν: g( ac ( a) C ) ag( C ) ( a) g( C ), 0 a. Ορισμός.. Αν μας δίνονται v αγωγές και πειραματικές μονάδες, κάθε επιμερισμός πειραματικών μονάδων στις v αγωγές λέγεται πειραματικός σχεδιασμός. Επομένως με τον πειραματικό σχεδιασμό ορίζεται ο πίνακας σχεδιασμού Χ, ώστε να πάρουμε τα αποτελέσματα που μας ενδιαφέρουν. Αν θέλουμε να εκτιμήσουμε μια παράμετρο, μας ενδιαφέρει ο σχεδιασμός που δίνει την αμερόληπτη εκτιμήτρια με την ελάχιστη διασπορά. Αν έχουμε δύο αγωγές, με επιδράσεις Α, Β και μας ενδιαφέρει να εκτιμήσουμε τη διαφορά A B, ο σχεδιασμός που μας δίνει την αμερόληπτη εκτιμήτρια με την ελάχιστη διασπορά, var( Aˆ Bˆ ), είναι ο βέλτιστος σχεδιασμός.

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες 5 Παράδειγμα.. Στο απλό γραμμικό μοντέλο y a bx e,,...,, με c x c και παρατηρήσεις ασυσχέτιστες με σταθερή διασπορά, μας ενδιαφέρει να επιλέξουμε τα σημεία x,..., x ώστε η εκτιμήτρια της παραμέτρου b να έχει την ελάχιστη διασπορά. Η απάντηση είναι ότι τα μισά ή σχεδόν τα μισά σημεία θα είναι σε κάθε άκρο. Το πρόβλημα γίνεται πιο δύσκολο αν το μοντέλο είναι με δύο ή περισσότερες ανεξάρτητες ή ερμηνευτικές μεταβλητές, που υπόκεινται σε περιορισμούς και μας ενδιαφέρει η εκτίμηση δύο ή περισσότερων παραμέτρων. Ορισμός.. Όταν έχουμε να εκτιμήσουμε δύο ή περισσότερες παραμέτρους, D είναι το σύνολο των σχεδιασμών και ο σχεδιασμός μας δίνει έναν πίνακα διασποράς V : V V για κάθε άλλο σχεδιασμό D, τότε ο σχεδιασμός λέγεται Loweer βέλτιστος. Εδώ V V σημαίνει ότι ο πίνακας V V 0 είναι μη αρνητικά ορισμένος. Αυτό όμως συμβαίνει σε ελάχιστες περιπτώσεις, γι αυτό καταφεύγουμε σε σχεδιασμούς και θέτουμε ως κριτήριο την ελαχιστοποίηση μιας συνάρτησης g( V ) του πίνακα διασποράς ή τη μεγιστοποίηση μιας συνάρτησης g( C ) του πίνακα πληροφορίας. Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα κριτήρια βέλτιστων σχεδιασμών είναι: () Α-βέλτιστος: Όταν ελαχιστοποιείται το άθροισμα των διασπορών των παραμέτρων που μας ενδιαφέρουν, και μπορεί να εκφραστεί ως m( trace ) or max( trace ) V C. () D-βέλτιστος: Όταν ελαχιστοποιείται η ορίζουσα του πίνακα διασποράς ή ισοδύναμα όταν μεγιστοποιείται η ορίζουσα του πίνακα πληροφορίας, δηλαδή m(et V ) ή max(et C ). () MV-βέλτιστος: Όταν ελαχιστοποιείται η μέγιστη διασπορά των παραμέτρων που μας ενδιαφέρουν που εκφράζεται μαθηματικά ως m max( v ), V ( v ). j

6 Κεφάλαιο Βασικές έννοιες (v) Ε-βέλτιστος: Όταν ελαχιστοποιείται η μέγιστη ιδιοτιμή του πίνακα διασποράς των παραμέτρων ή μεγιστοποιείται η ελάχιστη ιδιοτιμή του πίνακα πληροφορίας αυτών των παραμέτρων, δηλαδή m max ( V ) ή max m ( Q ). (v) G-βέλτιστος: Σε ένα γραμμικό μοντέλο η απόκριση yx, ( ) για όλα τα x, λέγεται αποκριτική επιφάνεια. Ο σχεδιασμός που ελαχιστοποιεί τη μέγιστη διασπορά ως προς x,της yx, ( ) λέγεται G-βέλτιστος. Αν E( y ) f '( x ) θ, f ( x ) ( f ( x ),..., f ( x ))',,..., είναι το γραμμικό p μοντέλο, τότε η διασπορά του θˆ V στα σημεία var( f '( x ) ) f '( x ) f ( x ) x,,...,, που παίρνουμε τις παρατηρήσεις, τότε για τον G-βέλτιστο σχεδιασμό ισχύει m max f '( x ) Vf( x ). Από τα παραπάνω προκύπτει ότι είναι κυρτή συνάρτηση του πίνακα πληροφορίας C: () g ( ) trace( ). C C Προκύπτει από τη σχέση: a a a a a PD p A ( ) B ( A ( ) B),0, A, B ( ) () () -log(et( C )). Προκύπτει από τη σχέση: et( ( ) ) (et ) a a a a (et ), 0 a,, PD( p) A B A B A B () () j max( v) max( c ), ( c ) C προκύπτει από την (). (v) ˆ - max ( C ) max( c'c c), var( c' θ) c' Vc c' C c προκύπτει από την (). c' c c' c Η συνάρτηση max f '( x ) Vf( x ) δεν είναι κυρτή ή κοίλη. Η στατιστική σημασία των κριτηρίων (), (), (v) είναι προφανής, το κριτήριο () δίνει 00(-α)% περιοχή εμπιστοσύνης με τον ελάχιστο όγκο ή εμβαδόν στις δύο διαστάσεις, διότι ο όγκος της περιοχής εμπιστοσύνης είναι συνάρτηση του et( V ). Το κριτήριο (v) ελαχιστοποιεί τη μέγιστη διασπορά

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες 7 των γραμμικών συναρτήσεων επιφάνεια μιας σφαίρας. ˆ c'θ για όλα τα σημεία c που είναι στην Ένα κριτήριο που εισήγαγε ο Kefer (975) είναι ο σχεδιασμός που είναι καθολικά βέλτιστος (uversally optmal) και αναφέρεται σε κυρτές ή κοίλες συναρτήσεις. Αυτό σημαίνει ότι αν ένας σχεδιασμός είναι καθολικά βέλτιστος θα είναι Α-, D-, MV-, E-βέλτιστος. Καθολικά βέλτιστοι σχεδιασμοί υπάρχουν μόνο σε μερικά προβλήματα. Όταν δεν υπάρχουν καταφεύγουμε στους φ βέλτιστους σχεδιασμούς στους οποίους μεγιστοποιείται η g(c), όπου g(.) κυρτή και C ο πίνακας πληροφορίας. Αν δεν υπάρχει φ-βέλτιστος βρίσκουμε τους Α-, D-, MV-, E-βέλτιστους σχεδιασμούς. Βέβαια όταν δεν υπάρχει καθολικά βέλτιστος σχεδιασμός μπορεί να μην δίνουν τον ίδιο βέλτιστο σχεδιασμό τα κριτήρια που αναφέρθηκαν.. Η έννοια της κυριαρχίας Μια πολύ σημαντική έννοια για την απόδειξη κάποιων βασικών αποτελεσμάτων για τον καθορισμό βέλτιστων σχεδιασμών είναι η έννοια της κυριαρχίας (majorzato) την οποία θα εξετάσουμε πιο κάτω. Όταν θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε ή να ελαχιστοποιήσουμε το άθροισμα κυρτών ή κοίλων συναρτήσεων αντίστοιχα είναι χρήσιμη η έννοια της «κυριαρχίας». Ορισμός.. Το διάνυσμα x ( x,, x k ) κυριαρχείται από το διάνυσμα y (,, ) και γράφουμε, y y k x y (..) όταν x Sy, όπου S είναι πίνακας διπλά στοχαστικός, δηλαδή έχει στοιχεία μη αρνητικά που το άθροισμα κάθε γραμμής και στήλης είναι ίσο με.

8 Κεφάλαιο Βασικές έννοιες Ορισμός.. Ένας πίνακας S είναι διπλά στοχαστικός αν S ( s ) με 0 και το άθροισμα κάθε γραμμής και στήλης είναι j,..., j,..., ίσο με ή S, s j ' ' S. Επίσης, ' ' S και - - S, διότι S S S S I, τότε: ' - ' ' - ' (α) S S Ι S, - - (β) S S Ι S. Όμως, ο πίνακας - S δεν έχει στοιχεία τέτοια ώστε ( sj ),... j,... 0. s, j Για παράδειγμα, αν a a - a a S, 0 a S που δεν έχει όλα a a a a a τα στοιχεία του θετικά. Η κυριαρχία συνεπάγεται ότι το διάνυσμα x βρίσκεται μέσα στον κυρτό χώρο που παράγεται από τις k! μεταθέσεις του διανύσματος y. Πρόταση.. Αν x, y είναι k διανύσματα και x y, τότε το x βρίσκεται στον κυρτό χώρο που παράγεται από όλες τις μεταθέσεις του y. Απόδειξη. (ι) k : Έστω x y x, x y y, οι μεταθέσεις του y είναι δύο: z y y, y z y. Ο κυρτός χώρος που παράγεται από τα σημεία z, z είναι αυτά που ικανοποιούν τη σχέση z az ( a) z, για κάθε 0 α. Τότε y y ay ( a) y a a y z a ( a) y y ay ( a) y a a y. Ο κυρτός χώρος είναι το τμήμα zz, δηλαδή το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα σημεία z ( y, y) και z ( y, y).

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες 9 (ιι) k : Έστω x ( x, x, x )', y ( y, y, y )', τότε οι μεταθέσεις του y είναι έξι: y y y y y y z y, y, y, 4 y, 5 y, 6 y z z z z z. y y y y y y Ο κυρτός συνδυασμός δίνει z a z a z a z a z a z a z, a 0, a... a 4 4 5 5 6 6 6 ay ay ay a4y a5y a6y x z a y a y a y a y a y a y x 4 5 6 ay ay ay a4y a5y a 6y x x a a a a4 a5 a6 y z x a a a a a a y Sy. 5 6 4 x a4 a6 a a5 a a y Αν y y y y, ο κυρτός χώρος είναι ένα σημείο y ( yyy,, ). Αν y y y y y z z y, ο κυρτός χώρος είναι το τρίγωνο με y κορυφές τα σημεία z z, z z5, z4 z 6. Αν y < y < y, τότε θα πάρουμε ένα πολύεδρο με 6 κορυφές, 6 5 ακμές 6 και 0 πλευρές, δηλαδή ο κυρτός χώρος θα είναι ένα εικοσάεδρο, με 6 κορυφές, 5 ακμές και 0 πλευρές. Η απόδειξη γενικεύεται για k. Πρόταση.. Αν γράψουμε τα διανύσματα x, y κατά φθίνουσα σειρά μεγέθους: x x x, y y y : k : k k: k : k : k k: k

0 Κεφάλαιο Βασικές έννοιες και x y x y, : k : k x x y y : k : k : k : k h k x y, h,,..., k, x : k : k h : k : k k y. Απόδειξη. Για την απόδειξη δες Marshall a Olk σελ.0,,. Η απόδειξη δόθηκε από τους Hary, Lttlewoo a Polya (99). Ορισμός.. Η g(x) είναι αυστηρά κοίλη αν x, x X, όπου X είναι κυρτό σύνολο, τότε:, g(( a) x ax ) ( a) g( x ) ag( x ), 0< a<. Η ισότητα ισχύει μόνο αν x x. Πρόταση.. Αν x y, από τον ορισμό της κυριαρχίας έπεται ότι για κάθε (αυστηρά) κοίλη συνάρτηση g(x) ισχύει, k g( x ) g( y) (..) Απόδειξη. Αφού ισχύει x s y... s y,,, k και g(x) είναι κοίλη k k k συνάρτηση με k sj, τότε g( x ) s g( y)... sk g( yk ),,,..., k j g( x) g( y) s s k ' ' S g(x) Sg(y), S g( xk ) g( yk ) sk s kk k g( x ) g( y). k Σημείωση: Για κυρτές συναρτήσεις η ανισότητα αντιστρέφεται, (αφού g( x ) s g( y )... s g( y ),,,..., ). Ουσιαστικά η x y μας λέει ότι το διάνυσμα x είναι πιο συγκεντρωμένο από το y.

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες Μερικές ιδιότητες των κυρτών - κοίλων συναρτήσεων: () Αν η g(x) είναι κυρτή και σε ένα σημείο x υπάρχει η παράγωγος της g(x), τότε g '' ( x) 0. () Αν η g(x) είναι κοίλη, τότε, g '' ( x) 0. () Αν η g(x) είναι κοίλη και g( x) 0, τότε η / g( x ) είναι κυρτή. (v) Αν g( x) 0 και log gx ( ) είναι κυρτή, τότε και η g(x) είναι κυρτή. (v) Αν g(x) είναι κυρτή (κοίλη), τότε και η gx ( ) είναι κοίλη (κυρτή). Από Pukelshem (99, p.9-4) παίρνουμε την οικογένεια συναρτήσεων p( x ) για διανύσματα x ( x,..., x k ), x 0,..., k : max x j j k, αν p p / p ( xj ), αν p 0, k jk p ( x) / k xj, αν p 0 jk m x j, j k, αν p Οι συναρτήσεις ( x ) είναι κυρτές για k x R και p. Ορισμός..4 Αν, p k xy, όπου x x x k k x R και p και κοίλες για x,,..., ', y y, y,..., y k ', τότε το διάνυσμα x υπερκυριαρχείται ασθενώς από το διάνυσμα y, x w y αν x() x()... x( j) y() y()... y( j), j,,..., k, όπου x() x()... x( j) και y() y()... y( j)..4 Η έννοια της κυριαρχίας για τους πίνακες Ορισμός.4. Αν Q είναι ένας k k πίνακας, με ( Q ) συμβολίζουμε το διάνυσμα των ιδιοτιμών του Q, p(k) γράφουμε για τους θετικά ορισμένους πίνακες k τάξης και (k) γράφουμε για τους μη αρνητικά ορισμένους

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες πίνακες k τάξης. Sym( k ) είναι το σύνολο των συμμετρικών πινάκων τάξεως k και perm( k ) είναι το σύνολο των μεταθετικών πινάκων τάξεως k. Ορισμός.4. Αν C, D Sym( k) και ο C βρίσκεται στον κυρτό χώρο που παράγεται από τους πίνακες PDP, όπου P είναι μεταθετικός πίνακας τάξης k, τότε ο πίνακας C κυριαρχείται από τον D και συμβολίζεται C D. Επομένως, συμβολικά έχουμε: C D C cov{ PDP : P perm( k)}. (.4.) Ορισμός.4. Η ( C ) λέγεται συνάρτηση πληροφορίας αν ( C), C ( k) και ικανοποιούνται οι σχέσεις: ( ) C D 0 ( C) ( D) ( ) (( a) C ad) ( a) ( C) a ( D), 0 a, C, D 0 ( ) ( C) ( C) 0, C 0 ( 0) 0 ( C) 0, C 0 ( v) ( C) ( PCP ') C( k) Οι επόμενες συναρτήσεις για p, C ( k), Pukelshem (99) p 4, 5 είναι συναρτήσεις πληροφορίας, και αυστηρά κοίλες για p, C p( k) p ( x) max ( C), αν j p / p (trace C / k), αν p 0, / k et C, αν p 0 m ( C), αν p j p Η οικογένεια αυτή περιλαμβάνει τα κριτήρια A-, D-, E- βελτιστοποίησης όταν p=0, p=- και p αντίστοιχα. Ορισμός.4.4 (Μετασχηματισμός K ή Κανόνας (Average rule)) Αν έχουμε v αγωγές και για κάθε ζεύγος αγωγών, έστω S και T έχουμε S T S και Q είναι ο πίνακας πληροφορίας του σχεδιασμού, τότε εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό Κ: Q Q PQP, τότε Q είναι ( ( S T ) ) ( S T ) ' «καλύτερος» από τον Q και έχουμε S αντί για S και T αντί για T, P είναι ένας μεταθετικός πίνακας.

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες Ορισμός.4.5 Αν V είναι ο πίνακας διασποράς των παραμέτρων, ο πίνακας Q V λέγεται πίνακας πληροφορίας. Ορισμός.4.6 Ένας σχεδιασμός είναι καθολικά βέλτιστος (uversally optmal) στην κλάση D των σχεδιασμών που μας ενδιαφέρουν αν μεγιστοποιεί την ( Q ) ως προς το σχεδιασμό D για κάθε συνάρτηση που ικανοποιεί τα κριτήρια ()-(v). Στη διατριβή αυτή θεωρούμε πιο γόνιμο να εργαστούμε με τις κοίλες συναρτήσεις πληροφορίας ( Q ) αντί για κυρτές συναρτήσεις αντιμετωπίζεται ευκολότερα η λύση αρκετών προβλημάτων. ( V ). έτσι Ορισμός.4.7 O σχεδιασμός με συνάρτηση πληροφορίας Q και ιδιοτιμές,..., v είναι φ-βέλτιστος, στην κλάση των σχεδιασμών F, αν οι ιδιοτιμές του Q κυριαρχούνται από τις ιδιοτιμές του Q για κάθε σχεδιασμό που είναι στο F. Από τον πιο πάνω ορισμό ο είναι φ-βέλτιστος, στην κλάση των σχεδιασμών F, αν ελαχιστοποιεί την ( )... ( v ) για κάθε συνεχή φθίνουσα και κυρτή συνάρτηση ( ) (Marshall a Olk p.). Ένας καθολικά βέλτιστος σχεδιασμός είναι και φ-βέλτιστος. Το αντίθετο όμως δεν ισχύει. Για παράδειγμα, φ-βέλτιστος σχεδιασμός δεν είναι κατ ανάγκη MV-βέλτιστος. Όταν ένας σχεδιασμός είναι φ-βέλτιστος είναι και A-, D-, E- βέλτιστος.

4 Κεφάλαιο Βασικές έννοιες

Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουμε σχεδιασμούς γραμμής εφαρμόζοντας την έννοια της κυριαρχίας, που είδαμε αναλυτικά στο εισαγωγικό κεφάλαιο για να βρεθεί ο βέλτιστος σχεδιασμός, όταν οι παρατηρήσεις είτε είναι ανεξάρτητες, είτε είναι εξαρτημένες. Η εξάρτηση ακολουθεί μια πρώτης τάξης αυτοπαλινδρόμηση με παράμετρο α. Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε τι συμβαίνει όταν οι αγωγές είναι δύο και θα καθορίσουμε τους βέλτιστους σχεδιασμούς για τις διάφορες τιμές του α, όταν το πλήθος των πειραματικών μονάδων είναι άρτιο ή περιττό. Για να μειώσουμε τους υπό εξέταση σχεδιασμούς ακολουθούμε μια διαδικασία φιλτραρίσματος. Στην πρώτη ενότητα του κεφαλαίου δίνεται το μοντέλο που χρησιμοποιούμε και οι βέλτιστοι σχεδιασμοί όταν οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες, ενώ οι υπόλοιπες υποενότητες είναι αφιερωμένες στην βελτιστοποίηση κάτω υπό εξάρτηση. Καθολικά βέλτιστοι σχεδιασμοί και φ- βέλτιστοι σχεδιασμοί παρουσιάζονται όταν το πλήθος των αγωγών είναι άρτιο και περιττό. Τέλος, δίνονται MV-βέλτιστοι σχεδιασμοί για άρτιο και

6 Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις περιττό πλήθος μονάδων. Λεπτομερείς αποδείξεις κάποιων θεωρημάτων περιλαμβάνονται στο Παράρτημα. ενώ πίνακες για την περίπτωση που έχουμε πέντε παρατηρήσεις και δύο αγωγές βρίσκονται στο τέλος και παρουσιάζουν τους βέλτιστους σχεδιασμούς για κάθε κριτήριο.. Ομοιογενής πληθυσμός, ανεξάρτητες παρατηρήσεις Για την περίπτωση που έχουμε v αγωγές και πειραματικές μονάδες, σε κάθε μονάδα εφαρμόζεται μια από τις v αγωγές, μας ενδιαφέρει η εκτίμηση της επίδρασης κάθε αγωγής. Οι παρατηρήσεις θεωρούνται ανεξάρτητες με σταθερή διασπορά, και οι μονάδες ομοιογενείς. Αν οι αγωγές είναι T,..., T v,,,..., v είναι η επίδραση της αγωγής και το πλήθος των μονάδων, στις οποίες T εφαρμόζονται αυτές οι αγωγές, είναι αντίστοιχα,, v, v και τα σφάλματα e j ακολουθούν ένα αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο πρώτης τάξης, AR(), e ae, w, a, τα w είναι ανεξάρτητες (ασυσχέτιστες) j j j τυχαίες μεταβλητές με σταθερή διασπορά Y j j Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων δίνει:, τότε το μοντέλο είναι: e,,, v, j,...,. μˆ ˆ / 0 0 ˆ 0 / V( μˆ), Yj /. 0 j ˆ v 0 0 / v v (..) Ο πίνακας πληροφορίας Q έχει διαγώνια στοιχεία,, v, και παρατηρούμε ότι το μπορεί να γραφτεί ως: v m s, m [ ], s, 0 s v. (..) v Ορίζουμε, το σχεδιασμό που δίνει σε s αγωγές από (m+) μονάδες και στις υπόλοιπες (v-s) αγωγές από m μονάδες, χρησιμοποιούνται έτσι και οι μονάδες.

Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις 7 Πρόταση.. Δύο διανύσματα v δεν είναι πάντα συγκρίσιμα με την έννοια της κυριαρχίας, όμως το διάνυσμα δ τέτοιο ώστε m,, s, m s,, v, δηλ. δ ( m,..., m, m,, m) κυριαρχείται από κάθε άλλο διάνυσμα b (,, v ), (με... ) και συμβολίζεται δ b, επομένως για κάθε αυστηρά κοίλη συνάρτηση g : (0;) R ισχύει: v g( ) g( b ). Απόδειξη. Δύο διανύσματα μπορεί να μην είναι συγκρίσιμα με την έννοια της κυριαρχίας. Ένα παράδειγμα τέτοιου ζεύγους διανυσμάτων είναι c (,,8,9) και c (,4,5,). Αν, διαφέρουν τουλάχιστον κατά δύο μονάδες, κάνουμε το j μετασχηματισμό: c c, c. c c j j j Αν b είναι το διάνυσμα που έχει, στις θέσεις, j, θα είναι b Sb, όπου v c c S c c και είναι διπλά στοχαστικός πίνακας διότι S 'S c c. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία και σε ορισμένο αριθμό m βημάτων παίρνουμε ένα διάνυσμα που τα στοιχεία του διαφέρουν το πολύ κατά μια μονάδα, δηλαδή δ SmSm Sb. Όμως το γινόμενο διπλά στοχαστικών πινάκων είναι ένας πίνακας διπλά στοχαστικός, διότι S S S S S S S S, και το δ είναι μοναδικό. Αυτό m m m m... m συμπληρώνει την απόδειξη. j j Πρόταση.. Ο σχεδιασμός με πίνακα πληροφορίας Q που έχει διαγώνια στοιχεία,,, v, m,, s, m s,, v είναι καθολικά βέλτιστος.

8 Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις Απόδειξη. Αν υπάρχουν δύο στοιχεία της διαγωνίου του πίνακα Q που να διαφέρουν τουλάχιστον κατά, ας είναι τα και Q είναι ο πίνακας πληροφορίας με διαγώνια στοιχεία,,, v, v, τότε: 0 0 0 0 Q ( c) PQP c 0 0 P QP, c, (..) 0 0 0 0 v όπου P Ι k και P είναι ο μοναδιαίος I v με μεταθετημένες τις δύο πρώτες γραμμές και στήλες. Αν ( Q ) είναι συνάρτηση πληροφορίας, θα έχουμε: ( Q ) ( a) ( Q) a ( Q) ( Q ). Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία μέχρι να καταλήξουμε στον πίνακα Q, θα είναι ( Q ) ( Q ) ( Q ). Ο καθολικά βέλτιστος σχεδιασμός είναι και A-,MV-,D-, E-βέλτιστος.. Ομοιογενής πληθυσμός, εξαρτημένες παρατηρήσεις Το μοντέλο σε αυτή την περίπτωση, όπου έχουμε εξαρτημένες παρατηρήσεις και ομοιογενή πληθυσμό δίνεται από τη σχέση, y e v E (),,...,, ( ),...,, ( '), ee V (..) όπου V είναι ο πίνακας διασποράς των σφαλμάτων, () είναι η επίδραση της αγωγής, που εφαρμόζεται σύμφωνα με το, στην μονάδα. Η σχέση (..) μπορεί επίσης να γραφτεί σε ως: y x x e ee V (..) v v, E( ').

Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις 9 Το διάνυσμα και μηδέν αλλού. x έχει μονάδες, όταν εφαρμόζεται η αγωγή T, j,..., v j j Εξετάζουμε την περίπτωση που τα σφάλματα e ακολουθούν ένα αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο πρώτης τάξης, AR(), e ae w, a,,...,, (..) όπου w είναι ανεξάρτητες (ασυσχέτιστες) τυχαίες μεταβλητές με σταθερή διασπορά από την κανονική κατανομή. Επίσης, Ee ( ) 0, var( e ) / ( a ). Από την (..) προκύπτει ότι j cov( e, ej) a /( a ) και ο πίνακας διασποράς var( e) V έχει τη μορφή, a 0 0 a a a a a a - V V 0 0. a a a a a a a 0 0 a Θα εκτιμήσουμε τώρα τις παραμέτρους,..., v. Από την (..) παίρνουμε τον v v πίνακα διασποράς var( μ ˆ ) των ˆ ˆ,..., v, μˆ Q (..4) - var( ), Q X V X X x x x x (..5) ', (,..., v ), v, a Q A B ac, 0 0 0 0 0 0 - V I a a I - (..6) 0 0 0 0 0 0

0 Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις ' x 0 0 0 0 ' ' v, xx,,..., v, xx j 0, j, ' x 0 0 v v όπου, A X'X x x πλήθος εμφανίσεων της αγωγής T στις μονάδες,. v Ο v v πίνακας B είναι διαγώνιος με διαγώνια στοιχεία, πλήθος εμφανίσεων της αγωγής T στις μονάδες,...,,. v Ο v v πίνακας C ( ) έχει c,..., v, c j, όπου c j j j j πλήθος εμφανίσεων του ζεύγους TT,..., v στις θέσεις,,...,( ), j πλήθος εμφανίσεων του ζεύγους TT j j στις θέσεις,...,( ). Επομένως ο πίνακας πληροφορίας Q ( ) δίνεται από τη σχέση: q j 0 0 0 0 v v 0 0 Q a a. 0 0 v, v v, v 0 0 v 0 0 v sym vv Πρόταση.. (ι) Αν 0a στο βέλτιστο σχεδιασμό υπάρχει το πολύ μια αγωγή T,..., v με 0. (ιι) Αν a 0 στο βέλτιστο σχεδιασμό κάθε ζεύγος αγωγών T T, j εμφανίζεται το πολύ μια φορά. Απόδειξη. (ι) Αν ο σχεδιασμός είναι TT TT και μετακινήσουμε το ένα T μεταξύ των διαδοχικών αγωγών TT, προκύπτει ο σχεδιασμός ˆ : TT T T, τότε ˆ, ˆ ˆ ˆ, και τα υπόλοιπα στοιχεία μένουν αμετάβλητα. j Είναι Q A a B ac, ˆ Q A a B ac με ˆ

Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις 0 0 0 0 0 0 Cˆ C 0 0 0 Qˆ Q a 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 Συνεχίζουμε τη διαδικασία ίσαμε να υπάρχει το πολύ μια αγωγή T με 0. (ιι) Στην περίπτωση που ο σχεδιασμός είναι TT jtt j j και ο σχεδιασμός ˆ είναι TTT jt j, με όλα τα άλλα στοιχεία αμετάβλητα, τότε: ˆ, ˆ, ˆ ˆ (..7) jj jj j j και 0 0 0 ˆ Q Q a 0 0 0 0. 0 0 0 0 Στη περίπτωση που ο σχεδιασμός είναι TT j TT j, όπου δ είναι μια ακολουθία αγωγών, τότε για το σχεδιασμό ˆ TT ˆ T T j j, όπου η ακολουθία δ είναι αναστραμμένη, θα ισχύουν οι σχέσεις (..7), οπότε Q ˆ Q. Συνεχίζουμε αυτή τη διαδικασία μέχρι ο σχεδιασμός να έχει το πολύ μια φορά κάθε ζεύγος TT j j. Να σημειώσουμε ότι αν a 0 (ανεξάρτητες παρατηρήσεις), υπάρχει καθολικά βέλτιστος σχεδιασμός που δόθηκε στην Παράγραφο.. Παράδειγμα.. Αν v, 0 και έχουμε τους σχεδιασμούς: : TT TTT TTT TT, : TTTT TT TT TT

Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις 4 0 0 0 0 0 : A 0 0, 0 0, 0 B C 0 0 0 0 0 4 a a a Q a ( a ) a. a a ( a ) 4 0 0 0 0 4 : A 0 0, 0 0, 4 B C 0 0 0 0 4 4 a 4a a a a a ( a ) 4a Q a ( a ) 4a a. Παρατηρούμε ότι αν 0a τότε είναι Q Q ενώ αν a 0 τότε Q Q, που συμφωνεί με την Πρόταση... Πόρισμα.. () Αν αναστρέψουμε την ακολουθία των αγωγών οι πίνακες A, B, C, δεν αλλάζουν, επομένως κάθε σχεδιασμός είναι ισοδύναμος με τον ανάστροφό του. Έτσι για v, 0 οι σχεδιασμοί, είναι ισοδύναμοι, όπου : TTT TT T TTTT, : TTTT TT TT TT. () Αν έχουμε διαδοχικές εφαρμογές της ίδιας αγωγής π.χ. TT TTT και μετακινήσουμε την επαναλαμβανόμενη αγωγή T δίπλα στο άλλο T, ο σχεδιασμός TTT TT που προκύπτει είναι ισοδύναμος του προηγούμενου, δηλαδή έχουν τον ίδιο πίνακα πληροφορίας. Έτσι ο σχεδιασμός : TTT TT TT TTT, είναι ισοδύναμος με τον : TT TTT TT TTT, όπου μετακινήσαμε τις επαναλαμβανόμενες αγωγές T, T σε άλλο σημείο, δίπλα σε T, T.

Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις Επομένως αν εξετάζουμε μόνο τους σχεδιασμούς που για κάθε αγωγή T, υπάρχει το πολύ μια ροή με. () Οι δύο σχεδιασμοί της μορφής T, T, όπου το είναι ανάστροφο του δ, είναι ισοδύναμοι δηλαδή Τεχνικές Φιλτραρίσματος Q Q. Συνοπτικά, από τα πάρα πάνω εισάγουμε τα πιο κάτω φίλτρα ως 5, τα οποία θα χρησιμοποιούμε και στα επόμενα δύο κεφάλαια (Κεφάλαιο και 4). Φίλτρο. () Αν 0a στο βέλτιστο σχεδιασμό υπάρχει ροή (δηλαδή συνεχόμενη επανάληψη αγωγής) το πολύ μιας αγωγής T,,..., v με. () Αν a 0 στο βέλτιστο σχεδιασμό κάθε ζεύγος αγωγών T T, j εμφανίζεται το πολύ μια φορά. () Αν a 0, στο βέλτιστο σχεδιασμό τα, j διαφέρουν το πολύ κατά,. j (v) Η ακολουθία των αγωγών ενός σχεδιασμού έχει τον ίδιο πίνακα πληροφορίας με την ανάστροφή της και δύο τέτοιες ακολουθίες θεωρούνται ισοδύναμες. (v) Οι δύο σχεδιασμοί... T ft...,... T ft... έχουν τον ίδιο πίνακα πληροφορίας, όπου f είναι μια ακολουθία αγωγών και f είναι η ανάστροφή της. (v) Αν κάνουμε μετάθεση δύο ή περισσότερων γραμμάτων, ο σχεδιασμός που προκύπτει έχει τον ίδιο πίνακα πληροφορίας. (Η μετάθεση δύο γραμμάτων ουσιαστικά είναι ή μετάθεση των αντίστοιχων γραμμών και στηλών του πίνακα πληροφορίας Q). j j

4 Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις Φίλτρο. Αν είναι ένας σχεδιασμός με πίνακα πληροφορίας Q και Q cq ( c) PQP ', 0 c, τότε σύμφωνα με τον ορισμό της συνάρτησης πληροφορίας θα είναι, g( Q) g( Q ) για κάθε συνάρτηση πληροφορίας g(.), όπου P είναι ένας μεταθετικός πίνακας. Φίλτρο. Αν 0<α<, f, f, f είναι ακολουθίες αγωγών και δίνεται ο σχεδιασμός : fssfttf, τότε ο σχεδιασμός : fstsftf έχει g( Q) g( Q ) όπου g(.) είναι συνάρτηση πληροφορίας. Αυτό συμβαίνει διότι Q Q. Φίλτρο 4. Αν a 0, f είναι ακολουθία αγωγών και δίνεται ο σχεδιασμός :. fsts ft f, τότε ο σχεδιασμός : fssf TTf έχει g( Q ) g( Q ) όπου g είναι συνάρτηση πληροφορίας. Αυτό συμβαίνει διότι Q Q. Φίλτρο 5. Αν Q, Q είναι πίνακες (k) και Q, Q, τότε g( Q) g( Q ) για κάθε συνάρτηση πληροφορίας g(),, όπως προκύπτει από τον ορισμό της συνάρτησης πληροφορίας.. Βέλτιστοι σχεδιασμοί, με δύο αγωγές και άρτιο πλήθος παρατηρήσεων =m Θεώρημα.. Στους σχεδιασμούς γραμμής με AR() εξάρτηση και δύο αγωγές S,T, ο καθολικά βέλτιστος σχεδιασμός είναι: () Για =m και 0<α<, τότε : STST... ST και Q m 0 m 0 0 m a a 0 m 0 m m 0 () Για =m και -<α<0, τότε : SS...... S TT T και m m m 0 m 0 ( m ) Q a a 0 m 0 m ( m )

Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις 5 () Για κάθε >0 και α=0, τότε στον, το πλήθος S των S και το πλήθος T των T διαφέρουν το πολύ κατά, δηλαδή,. S T Απόδειξη. () Το συνολικό πλήθος των ζευγαριών SS, ST, TS, TT είναι -, δηλαδή και ο πίνακας πληροφορίας είναι, SS TT ST TS 0 0 S SS ST TS a a T T ST TS TT Q S 0 0 (..) Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Κ (βλπ ορισμό.4.4), και έτσι Q m 0 m 0 SS TT ST TS a a Q PQP' 0 m 0 m ST TS SS (..) Από τον ορισμό της συνάρτησης πληροφορίας (βλπ ορισμό.4.) και σύμφωνα με το αποτέλεσμα, ( Q) ( Q) ( PQP' ) ( Q ), όπου P 0 0. (..) Παίρνουμε τον πίνακα πληροφορίας, m 0 m 0 0 m 0 m 0 m m 0 Q a a (..4) τότε Q Q a( SS TT ) 0 όπου 0 είναι ένας πίνακας με μηδενικά και Q είναι ο πίνακας πληροφορίας του σχεδιασμού : STST... ST. Επομένως από τον Ορισμό.. έχουμε m ( Q ) ( Q) ( Q ) (..5) Από όλες τις αύξουσες κοίλες συναρτήσεις ( Q ). () Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση καταλήξαμε στις σχέσεις (..), (..), (..) και τώρα θεωρούμε τον πίνακα πληροφορίας,

6 Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις m 0 m 0 ( m ) 0 m 0 m ( m ) Q a a (..6) Από τις σχέσεις (..) και (..4) αφαιρώντας παίρνουμε, Q Q a( ST TS ) 0 (..7) Και έτσι ( Q ) ( Q) ( Q ) για κάθε κοίλη αύξουσα συνάρτηση, φ. () Η περίπτωση αυτή έχει εξεταστεί στην ενότητα (..)..4 Περιττό πλήθος μονάδων, με δύο αγωγές.4. Περιττό πλήθος μονάδων όταν =r+m+, r+m, 0<α< Αυτή η περίπτωση είναι πιο περίπλοκη και απαιτείται μια διαφορετική προσέγγιση. Σε αυτό σημείο θα χρησιμοποιήσουμε την έννοια της υπερκυριαρχίας (Marshall a Olk,979 p.0). Ορισμός.4. Το διάνυσμα x υπερκυριαρχείται από το διάνυσμα y και γράφουμε x w y εάν, x y, x x... x y y... y (.4.) ( ) ( ) () () ( ), () () ( ) Συνεπάγεται, g( x ) g( y) για κάθε συνεχή φθίνουσα κυρτή συνάρτηση g(x). Από το φίλτρο () και για τις περιπτώσεις που έχουμε δύο αγωγές, σχεδιασμούς γραμμής με εξάρτηση AR(), και 0a :

Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις 7 () Εάν ένας σχεδιασμός : f SS... SS f TT... T f, p, q έχει πίνακα p q πληροφορίας Q, ο σχεδιασμός : f SS... S TS f... f q p έχει πίνακα πληροφορίας Q Q a 0. () Ο βέλτιστός σχεδιασμός έχει το πολύ μια αγωγή, έστω S, που να επαναλαμβάνεται. Από τα πιο πάνω καταλήγουμε ότι για r m,, εξάρτηση AR() και 0a υπάρχουν οι παρακάτω τρεις κλάσεις σχεδιασμών για να ληφθούν υπόψη, F : SS... S TSTS... TS r m F : SS... S TSTS... TST, F : T SS... S TSTS... TST, r m r m (.4.) Θεώρημα.4. Στους σχεδιασμούς γραμμής με δύο αγωγές, εξάρτηση AR(), 0a και περιττό πλήθος μονάδων r m, : () Στη κλάση F ο σχεδιασμός : STST... STS rm είναι φ-βέλτιστος. () Στην κλάση F ο σχεδιασμός βέλτιστος. : SS TST... ST rm είναι καθολικά () Στην κλάση F ο σχεδιασμός 0 a ( r ) / ( r ), είναι φ-βέλτιστος. είναι D-βέλτιστος και για (v) Για 0a, ο είναι D-βέλτιστος στις κλάσεις σχεδιασμών F F F Η απόδειξη δίνεται στο Παράρτημα.. Οι πίνακες των A-,D-,E-,MV-βελτιστοποίησης για =5 μονάδες, v= αγωγές και για a 0.,0.,...,0.9 δίνονται στο τέλος.

8 Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις.4. Περιττό πλήθος μονάδων όταν =m+, -<α<0 Από τα φίλτρα (), (v), (v),, 4 και 5 και στους σχεδιασμούς γραμμής με AR() εξάρτηση, όταν έχουμε δύο αγωγές και a 0, () Αν ένας σχεδιασμός : fstfstf έχει πίνακα πληροφορίας Q, ο σχεδιασμός : fss fttf έχει πίνακα πληροφορίας Q Q, όπου f είναι η ανάστροφη ακολουθία της f. () Αν ένας σχεδιασμός : fststf έχει πίνακα πληροφορίας Q, ο () σχεδιασμός : fssttf έχει πίνακα πληροφορίας Q Q, όπου f, f, f είναι ακολουθίες αγωγών. Στους βέλτιστους σχεδιασμούς, κάθε ζεύγος ST, TS εμφανίζεται το πολύ μια φορά. (v) Αν m, οι βέλτιστοι σχεδιασμοί που συγκρίνονται για βελτιστοποίηση ανήκουν σε μια από τις πάρα κάτω κλάσεις, F4 : SS... S TT... T, 0 r, F5 : T SS... S TT... T, 0 r m m r r Θεώρημα.4. Στους σχεδιασμούς γραμμής με AR() εξάρτηση, δύο αγωγές και a 0, mr r () Στην κλάση F 4 ο σχεδιασμός είναι καθολικά βέλτιστοι. : SS... S TT... T 4 m m και οι ισοδύναμοι του () Στην κλάση F 5 ο σχεδιασμός Η απόδειξη βρίσκεται στο Παράρτημα.. : T SS... S TT... T είναι φ-βέλτιστος. 5 m m

Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις 9.5 MV-Βελτιστοποίηση Έχουμε αποδείξει στο Θεώρημα.4. ότι ο σχεδιασμός 5 είναι φ- βέλτιστος στην κλάση F 5 αλλά αυτό δεν μας εξασφαλίζει ότι είναι και MVβέλτιστος. Ο σχεδιασμός 4 όμως είναι καθολικά βέλτιστος στην κλάση F 4, που αυτό σημαίνει ότι είναι και MV-βέλτιστος στην κλάση αυτή. Θεώρημα.5. Στους σχεδιασμούς γραμμής με δύο αγωγές, με εξάρτηση AR() και a 0, ο σχεδιασμός 5 5 5 m m : T SS... S TT... T, F είναι MVβέλτιστος στην κλάση F 5. Η απόδειξη δίνεται στο Παράρτημα.. Θεώρημα.5. Στους σχεδιασμούς γραμμής με δύο αγωγές, με εξάρτηση AR() και a 0, ο σχεδιασμός : SS... S TT... T, F (.5.) 4 4 4 m m και ο αντίστροφος του είναι φ-βέλτιστος ως προς τους σχεδιασμούς ολόκληρης της κλάσης F4 F5. Η απόδειξη δίνεται στο Παράρτημα.. Θεώρημα.5. Στους σχεδιασμούς γραμμής με δύο αγωγές, με εξάρτηση AR() και a 0, τότε σε ολόκληρη την κλάση των σχεδιασμών F4 F5 ισχύει ότι, () () Αν m=, ο σχεδιασμός Αν m>, ο σχεδιασμός : T SS... S TT... T, F είναι MVβέλτιστος. : SST, F είναι MV-βέλτιστος. 4 4 4 5 5 5 m m

0 Κεφάλαιο Πειραματικοί σχεδιασμοί γραμμής με δύο αγωγές και εξαρτημένες παρατηρήσεις Απόδειξη. Αρκεί να συγκρίνουμε τους πίνακες πληροφορίας Q και Q. Γι 4 5 αυτό πρέπει να βρούμε το ελάχιστο μεταξύ των μέγιστων διαγωνίων στοιχείων των πινάκων ( Q ) και ( Q ), δηλαδή, 4 5 Q Q m 0 m 0 m a a, 0 m 0 m ( m ) 4 m 0 m 0 ( m ) a a. 0 m 0 m ( m ) 5 0 0 ( ) Επομένως, ( 4) m m m a a Q, 0 m 0 m m 0 0 ( ) ( 5) m m m a a Q. 0 m 0 m ( m ) Και άρα το ελάχιστο διαγώνιο στοιχείο για την πρώτη περίπτωση είναι το m ( a), ενώ το αντίστοιχο ελάχιστο στοιχείο για την δεύτερη περίπτωση είναι το m( a) a a. Βρίσκουμε λοιπόν την διαφορά τους για να δούμε ποιο από τα δύο είναι το μεγαλύτερο, m a a a m a ( ) ( ) όπου et( Q ) και 4 et( Q ). Έτσι λοιπόν η πιο πάνω διαφορά 5 γίνεται: m( a) am( a) a ( a) a( a) m ( a) 4 m( a a) a( a) Έστω G ο αριθμητής του πιο πάνω κλάσματος: 4 G m( a) am( a) a ( a) a( a) m ( a) m( a a) a( a) Που μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι: G a ( a) ( a) m( m ).