Κεφάλαιο 4ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) =. 5 Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. Σχ. i) Η f έχει πεδίο ορισμού το R Σ Λ ii) Η f έχει σύνολο τιμών το R Σ Λ iii) H f είναι γνησίως αύξουσα στο R Σ Λ iv) H f έχει άξονα συμμετρίας τον y y Σ Λ v) Η γραφική παράσταση της f έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα των Σ Λ vi) Η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική με άξονα συμμετρίας τον y y προς τη γραφική παράσταση της g () = 5. Σ Λ vii) Ισχύει ότι f () > f (/5) Σ Λ viii) Ισχύει ότι f ( 999 ) > f ( 000 ) Σ Λ i) Το σημείο Α (0, ) ανήκει στην γραφική παράσταση της f Σ Λ ) Το σημείο M( 5 ) 5,. * Ισχύει ότι: i) ανήκει στη γραφική παράσταση της f. <, για κάθε R Σ Λ ii) ( ) ( 5) iii) ( ) >, για κάθε R, για κάθε R Σ Λ iv) (-) =, αν ακέραιος Σ Λ v) (-) + = -, αν ακέραιος Σ Λ. * Ισχύει ότι: i) (+) - = αν = Σ Λ ii) (-) =, αν = 0 Σ Λ iii) + =, αν = Σ Λ iv) - =, αν = Σ Λ v) (-) + = αν = - Σ Λ 4. * Ισχύει ότι: i) (0,8) > (0,8) y, αν < y Σ Λ ii) (,5) < (,5) y, αν < y Σ Λ Σ Σ Λ Λ 45
iii) < y 5, αν < y 5 Σ Λ iv) (0,) < (0,) y, αν > y Σ Λ v) (e) > (e) y, αν > y Σ Λ y vi), αν > y > Σ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f () = (Σχ.) είναι Α. το διάστημα [ 0, + ) Β. το διάστημα ( 0, + ) Γ. το σύνολο R Δ. το σύνολο R - {} Ε. το σύνολο R * Σχ.. * Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f () = (Σχ. ) είναι Α. το διάστημα [ 0, + ) Β. το σύνολο R Γ το διάστημα ( 0, + ) Δ. το σύνολο R - {} Ε. το σύνολο R * Σχ.. * Η εκθετική συνάρτηση με τύπο f () = α με 0 < α έχει πεδίο ορισμού Α. το διάστημα [ 0, + ) Β. το διάστημα ( 0, + ) Γ. το σύνολο R - {} Δ. το σύνολο R Ε. το σύνολο R * 4. * Το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο f () = (Σχ.) είναι 46
Α. το διάστημα [ 0, + ) Β. το διάστημα (, 0] Γ. το διάστημα (, 0 ) Δ. το διάστημα ( 0, + ) Ε. το σύνολο R * 5. * Το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο f () = Σχ. (Σχ. 4) είναι Α. το διάστημα [ 0, + ) Β. το διάστημα (, 0] Γ. το διάστημα (, 0 ] Δ. το σύνολο R * Ε. το διάστημα ( 0, + ) Σχ.4 6. * Η εκθετική συνάρτηση με τύπο f () = α με 0 < α έχει σύνολο τιμών Α. το διάστημα ( 0, + ) Β. το διάστημα (, 0] Γ. το διάστημα (, 0) Δ. το διάστημα [ 0, + ) Ε. το σύνολο R * 7. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f ()= 4 (Σχ. 5) Α. έχει άξονα oυμμετρίας τον y y Β. τέμνει μόνο τον άξονα y y στο σημείο (0,). Γ. τον άξονα y y σε σημεία. Δ. έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα Ο Ε. τίποτα από τα προηγούμενα. Σχ.5 8. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = 4 (Σχ.6) 47
Α. έχει άξονα oυμμετρίας τον y y Β. τον άξονα y y σε σημεία. Γ. τέμνει μόνο τον άξονα y y στο σημείο (0, ). Δ. έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιάξονα Ο Ε. τίποτα από τα προηγούμενα. Σχ.6 9. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = α με 0 <α Α. τέμνει μόνο τον άξονα y y στο σημείο (0, ) Β. έχει άξονα oυμμετρίας τον y y Γ. τον άξονα y y σε σημεία. Δ. έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη του y y Ε. τίποτα από τα προηγούμενα. 0. * Η συνάρτηση με τύπο f () = 5 (Σχ.7) είναι: Α. γνησίως φθίνουσα Β. άρτια Γ. περιττή Δ. γνησίως αύξουσα Ε. δεν είναι μονότονη Σχ.7. * Η συνάρτηση με τύπο f () = 5 (Σχ.8) είναι Α. γνησίως φθίνουσα Β. άρτια Γ. περιττή Δ. γνησίως αύξουσα Ε. δεν είναι μονότονη Σχ.8. * Η εκθετική συνάρτηση με τύπο f () = α με 0 < α < είναι πάντοτε 48
Α. γνησίως φθίνουσα Β. σταθερή Γ. περιοδική Δ. γνησίως αύξουσα Ε. δεν είναι μονότονη. * Η εκθετική συνάρτηση με τύπο f () = α με α > είναι πάντοτε Α. γνησίως φθίνουσα Β. άρτια Γ. περιττή Δ. γνησίως αύξουσα Ε. δεν είναι μονότονη 4. * Στο Σχ. 9 είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = Σχ.9 α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g () = είναι Α. Γ. Β. Δ. Ε. - β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο h () = είναι Α. Β. 49
Γ. Δ. Ε. 5. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g () = - είναι συμμετρική με την γραφική παράσταση της f () = (Σχ.) ως προς Α. τον άξονα y y Β. την ευθεία y = Γ. την ευθεία y = - Δ. τον άξονα Ε. κέντρο το Ο(0,0) 6. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g () = παράσταση της f () = 5 (Σχ.) ως προς 5 είναι συμμετρική με την γραφική Σχ. 50
A. τον άξονα B. τον άξονα y y Γ. την ευθεία y = 5 Δ. την ευθεία y = 5 Ε. κέντρο το Ο(0, 0) Σχ. 7. * Έστω η συνάρτηση f () =. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; Α. η f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα ( 0, + ) Β. η f έχει σύνολο τιμών το σύνολο R Γ. η f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού oης Δ. η γραφική της παράσταση τέμνει τον στο σημείο Α(0, ) Ε. η γραφική της παράσταση έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιάξονα των. 8. * Έστω η συνάρτηση με τύπο f () = Α. η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Β. η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R Γ. η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0, + ). Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; Δ. η γραφική παράσταση της f τέμνει τον y y στο σημείο Μ (0, /) Ε. η γραφική παράσταση της f τέμνει τον στο σημείο Ν (, 0) 9. * Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () = τότε ισχύει Α. f () > f () B. f () < f () Γ. f () f () Δ. f () = f () E. f () = f () 0. * Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () = τότε ισχύει Α. f () < f () Β. f () f () Γ. f () > f () Δ. f () = f () E. f () = f (). * Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () = τότε δεν είναι σωστή η Α. f (0,5) < f (0,8) Β. f (-) > f (-) Γ. f Δ. f (, ) > f (-, ) E. f ( ) > f ( 5) > f 5 7. * Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () = τότε i f είναι ίσος με Α. Β. 4 9 Γ. 9 Δ. Ε. 5
. * Αν α > 0, μ, ν θετικiί ακέραιοι με ν τότε το α μ ν ισούται με μ Α. α ν α Β. α μ ν Γ. α ν μ Δ. ν α μ Ε. τίποτα από τα προηγούμενα 4. * Το 5 ισούται με Α. 5 Β. Γ. Δ. -5 Ε. 5 5. * Αν = 7, τότε το είναι Α: 7 Β: /9 Γ: 0 Δ: Ε: 9 6. * Δίνεται η εξίσωση 5+ 0 = 6. Τότε το είναι Α. ή - Β. ή Γ. - ή - Δ. 0 Ε. τίποτα από τα προηγούμενα 7. * Αν = 6, τότε το είναι Α. 4 Β. Γ. Δ. - Ε. - 8. * Αν f () =, τότε το f (f ()) ισούται με Α. 6 B. 8 Γ. Δ. E. 4 9. * Η εξίσωση + = έχει λύση τον αριθμό Α. - Β. - Γ. Δ. Ε. 0-0. *Η εξίσωση + = - Α. έχει λύση ένα θετικό αριθμό Β. έχει λύση ένα αρνητικό αριθμό Γ. έχει λύση κάθε πραγματικό αριθμό 0 Δ. είναι αδύνατη Ε. έχει λύση την = 0. Δίνεται η ανίσωση >. Τότε ισχύει Α. > B. = 0 Γ. < Δ. E. =. * Δίνεται η ανίσωση. Τότε ισχύει A. B. = - Γ. Δ. > E. >. * Δίνεται η ανίσωση 5 + < 65. Tότε ισχύει Α. = B. Γ. = 5 Δ. > E. < 4. * Δίνεται η ανίσωση 6 8. Tότε ισχύει Α. 6 B. 4 Γ. > 4 Δ. = 6 5
E. τίποτα από τα προηγούμενα 5. * Η ανίσωση < αληθεύει Α. Για (, ) Β. Για (, ] Γ. Για (, 0) Δ. Για (, + ) Ε. Για κάθε R 6. * Έστω η εκθετική συνάρτηση με τύπο f () = α με 0 < α. Ποιο από τα παρακάτω σημεία αποκλείεται να ανήκει στη γραφική παράσταση της f; A. (-, 8), B. (0, ), Γ. (, -7), Δ. (, ) Ε. (, ) 7. ** Δίνονται οι συναρτήσεις f () = και g() = e. Τότε ισχύει ότι Α. f (e) = g (e) B. f (e) > g(e) Γ. f () < g () Δ. f > g Ε. f = g 8. ** Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f () = e και y = e (Σχ.) που τέμνονται στο σημείο Α( o,e). Το ο είναι ίσο με Α. e B. Γ. Δ. e Ε. Ερωτήσεις διάταξης Σχ.. * Να τοποθετήσετε oε μια σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς Α = 0,5 Β = Γ = Δ = Ε =. * Να τοποθετήσετε oε μια σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς Α = 0,5 Β = Γ = 0,5 0,5 Δ = Ε = 0 5,. ** Να τοποθετήσετε oε μια σειρά από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων, αν R Α = 0,5 B = Γ = Δ = Ε = e Ερωτήσεις αντιστοίχισης. Στη στήλη Α του πίνακα (Ι) υπάρχουν οι γραφικές παραστάσεις κάποιων από τις συναρτήσεις που ο τύπος τους αναγράφεται στη στήλη Β. 5
Πίνακας (Ι) Στήλη Α Στήλη Β f f f f f () = 4 () = 8 () = 4 4 () = 4 5 () = 4 Σχ.4 Να συμπληρώσετε τον πίνακα (ΙΙ) ώστε σε κάθε γραφική παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο τύπος της συνάρτησης που βρίσκεται στη στήλη Β. Πίνακας (ΙΙ) C C C. Στη στήλη Α του πίνακα (Ι) υπάρχουν οι γραφικές παραστάσεις κάποιων από τις συναρτήσεις που ο τύπος τους αναγράφεται στη στήλη Β. Πίνακας (Ι) Στήλη Α Στήλη Β 5 f ( ) = f ( )= f ( )= f4 ( )= f5( )= Σχ.5 Να συμπληρώσετε τον πίνακα (ΙΙ) ώστε σε κάθε γραφική παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο τύπος της συνάρτησης που βρίσκεται στη στήλη Β. Πίνακας (ΙΙ) C C C 54
Ερώτηση συμπλήρωσης. Στο διπλανό σχήμα υπάρχει η γραφική παράσταση C της f () =, η καμπύλη C συμμετρική της C ως προς τον άξονα y y, η καμπύλη C συμμετρική της C ως προς τον άξονα και η καμπύλη C 4 συμμετρική της C ως προς την αρχή O (0,0) των αξόνων. Σχ.6 Να συμπληρώσετε στον παρακάτω πίνακα τους τύπους των συναρτήσεων f (), f () και () των οποίων οι C, C και C 4 αποτελούν τις γραφικές παραστάσεις αντίστοιχα. f 4 Καμπύλη C C C C 4 Τύπος f () = - f () = f () = f 4 () = συνάρτησης 55
Ερωτήσεις ανάπτυξης. * Να λύσετε τις εξισώσεις i) = 8 ii) = 7 iii) = iv) = 7 v) = 6. * Να λύσετε τις εξισώσεις i) 5 + 6 = ii) ( ) ( ) 9 = 4 iii) 4 = 6 iv) 9 =0 v) + + = 4 vi) 5 + 5 = 50. * Να λύσετε τις εξισώσεις i) + 5 + 4= 0 ii) 5 = iii) + 8+ 9 = 0 iv) 4 + = 0 v) + 4 = 4. ** Να λύσετε τις εξισώσεις + i) ( 5 + 5) = 5. ** Να λύσετε τις εξισώσεις ημ i) = ii) ημ συν = 9 6. ** Να λύσετε τις ανισώσεις i) 7 + 6 < ii) ii) e + e = e + e < 4 + ημ 5 + ημ ημ συν iii) ( ) ημ 4 = 5 iii) ( 0, 5) < 0, 5 iv) 4 6 + 8< 0 5 7. ** Να λύσετε τα συστήματα i) + y+ 9 = + y 4 = 8 ii) 5 + 6 = + y = 8 iii) y 4 = y = 9 iv) 9 8. ** i) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις συναρτήσεις: f( )= 5 + 5 y y = = 4 6 και g( )= ii) Να εξηγήσετε γιατί οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y y. 9. ** Αν f και g δύο συναρτήσεις με f( ) = ( + ) α α και g ( ) = ( α α ) να αποδείξετε ότι: f (+y) = f () f (y) + g() g(y). 0. ** i) Να βρείτε τo (α 5) ώστε η f( )= α α 5 ii) Να βρείτε το α, (α 0) ώστε η g( )= 5 α να είναι γνησίως αύξουσα. να είναι γνησίως φθίνουσα. 56
. ** Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f( )= ( k ) α) Για ποιες τιμές του k ορίζεται η f; β) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του k για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα. γ) Να βρείτε το k ώστε η γραφική παράσταση της f () να περνάει από το σημείο P,.. δ) Να βρείτε τις τιμές του k ώστε η γραφική παράσταση της f () να περνάει από το σημείο Σ (, ).. ** Σ ένα ασθενή με υψηλό πυρετό χορηγείται ένα αντιπυρετικό φάρμακο. Η θερμοκρασία (πυρετός) Θ (t) του ασθενούς t ώρες μετά την λήψη του φαρμάκου δίνεται από τον τύπο Θ( t) = 6+ 4 t σε βαθμούς Κελσίου. α) Να βρείτε πόσο πυρετό είχε ο ασθενής τη στιγμή που του χορηγήθηκε το φάρμακο. β) Να βρείτε σε πόσες ώρες η θερμοκρασία του ασθενούς θα πάρει την φυσιολογική τιμή των 6,5 C. γ) Αν η επίδραση του αντιπυρετικού διαρκεί 4 ώρες πόση θα είναι η θερμοκρασία του ασθενούς μόλις σταματήσει η επίδραση του φαρμάκου.. *** Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () = kα, 0 < α και k R i) Να βρείτε τους λόγους: f ( + ) f( + ), f( ) f( + ), ii) Να βρείτε τους λόγους: f ( + ) f( + 6), f( ) f( + ), f( + 7) f( + 6) f( + 6) f( + ) iii) Να αποδείξετε ότι ο λόγος των τιμών της f () που αντιστοιχούν σε ζεύγη τιμών της μεταβλητής που ισαπέχουν είναι σταθερές. (Ζεύγη τιμών που ισαπέχουν είναι (, + ), ( +, + 6), ( +, + 5) κλπ. Σχ.7 iv) Στο σχήμα 7 δίνονται οι γραφικές παραστάσεις μιας εκθετικής συνάρτησης και μιας παραβολής. ρησιμοποιώντας το ερώτημα (iii), να βρείτε ποια είναι η γραφική παράσταση της εκθετικής. Παρατήρηση: Το ερώτημα (iii) εφαρμόζεται ως κριτήριο αναγνώρισης μίας καμπύλης αν είναι γραφική παράσταση εκθετική και ως κριτήριο αναγνώρισης αν ένας πίνακας τιμών, y ορίζει μία εκθετική συνάρτηση. 4. ** Ένα δείγμα 5 Kgr ενός ραδιενεργού ισοτόπου διασπάται σύμφωνα με τον τύπο: Q( t) = Q e όπου Q (t) παριστάνει την ποσότητα που απομένει μετά από χρόνο t, Q o = Q ( 0 ) η αρχική ποσότητα o kt (για t = 0) και k σταθερά που εξαρτάται από το υλικό.αν το μισό του αρχικού δείγματος διασπάστηκε σε 0 min., να βρείτε πόση ποσότητα ραδιενεργού υλικού θα έχει απομείνει μετά από 40 min. 5. ** Ένας βιολόγος μελετώντας την ανάπτυξη ενός είδους βακτηριδίων παρατηρεί ότι: i) ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν 400. ii) 4 ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν.00. Αν ο τύπος που δίνει τον αριθμό των βακτηριδίων aίναι P(t) kt o = Ρ, όπου Ρ(t) ο αριθμός των βακτηριδίων oε χρόνο t, Ρ 0 o αρχικός αριθμός και k σταθερά που εξαρτάται από το είδος των βακτηριδίων τότε:α) Να βρείτε τη σταθερά k.β) Να βρείτε τον αρχικό αριθμό των βακτηριδίων. 57
γ) Σε πόσα λεπτά ο αρχικός αριθμός των βακτηριδίων είχε διπλασιαστεί; 6. ** α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = k 4 είναι η καμπύλη του σχήματος 8 να βρείτε το k. β) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = 8 α είναι η καμπύλη του σχήματος 9 να βρείτε το α. Σχ.8 γ) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = α - είναι η καμπύλη του σχήματος 0 να βρείτε το α. Σχ. 9 δ) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = kα είναι η καμπύλη του σχήματος να βρείτε τα k, α. Σχ. 0 Σχ. 58
ε) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = k α είναι η καμπύλη του σχήματος να βρείτε τα k, α. Σχ. 7. * Να βρείτε το σημείο ο σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) ii) iii) iv) ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 59
Ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. * Αν 0 < α και θ > 0 ισχύει η ισοδυναμία. log α θ= α = θ. Σ Λ. * Αν 0 < α ισχύει ότι log α α = α Σ Λ log. * Αν 0 < α ισχύει ότι α θ α = θ Σ Λ 4. * Αν 0 < α ισχύει ότι log α = Σ Λ 5. * Αν 0 < α ισχύει ότι log α α = Σ Λ 6. * Αν θ > 0 ισχύει ότι log(0θ) = +logθ Σ Λ θ 7. * Αν θ > 0 και θ 0 ισχύει ότι log = logθ 0 Σ Λ 8. * Αν θ > 0 και θ 0 ισχύει ότι logθ = θ Σ Λ log 9. * Ισχύει ότι log = log 9 0. * Ισχύει ότι ln7 ( ) = e Σ Λ Σ Λ. * Στο σχήμα 7 φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) = log Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. Σχ. 7 i) H f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα ( 0, + ). Σ Λ ii) H f έχει σύνολο τιμών το R Σ Λ iii) H f είναι γνησίως φθίνουσα στο R Σ Λ iv) H f έχει άξονα συμμετρίας τον. Σ Λ v) H f έχει ασύμπτωτη του αρνητικού ημιάξονα των y y Σ Λ vi) Η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική της γραφι-κής παράστασης της g( ) vii) Ισχύει ότι f ( ) f ( ) = 0 ως προς την ευθεία y =. Σ Λ < Σ Λ viii) Το σημείο (,0) ανήκει στην γραφική παράσταση της f. Σ Λ i) To σημείο (0,) ανήκει στην γραφική παράσταση της f. Σ Λ ) Tο σημείο (0,) ανήκει στην γραφική παράσταση της f. Σ Λ. * Ισχύει ότι: i) log > lne, για κάθε > 0 Σ Λ ii) log < lne για κάθε > 0 Σ Λ iii) log0 = Σ Λ iv) lne = Σ Λ 60
0 v) log = loge e Σ Λ. * I) Αν < y τότε log < logy Σ Λ ii) Αν < y τότε ln > lny Σ Λ iii) Αν < y τότε log iv) Αν < y τότε log > log y Σ Λ > log y Σ Λ 4. * Στο σχήμα 8 φαίνονται οι γραφι-κές παραστάσεις των συναρτήσεων με τύπους f ( ) = ln και g( ) = e. Να χαρακτηρίσετε σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: Σχ. 8 i) Οι γραφικές παραστάσεις των f και g είναι συμμετρικές ως την ευθεία y =. Σ Λ ii) Οι γραφικές παραστάσεις των f και g δεν τέμνονται. Σ Λ iii) Οι γραφική παράσταση της f τέμνει τον στο (,0). Σ Λ iv) Η γραφική παράσταση της g τέμνει τον y y στο (0,). Σ Λ v) Ισχύει ότι f ( ) < g( ) Σ Λ ζφ ζφ vi) Ισχύει ότι f < g η θ χψ ηθ χψ Σ Λ vii) H f και η g είναι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις στα πεδία ορισμού τους. Σ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f () = log (Σχ.) είναι A. το διάστημα [ 0, + ) Β. το διάστημα ( 0, + ) y y=log Γ. το σύνολο R Δ. το σύνολο R* E. το σύνολο R -{} O 6
. * Tο πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f () = log (Σχ.) είναι Σχ. A. το διάστημα ( 0, + ) B. το διάστημα [ 0, + ) Γ. το σύνολο R Δ. το σύνολο R* E. το σύνολο R-{} Σχ.. * Το πεδίο ορισμού της λογαριθμικής συνάρτησης με τύπο f () = log α με 0 < α είναι Α. Το διάστημα [ 0, + ) B. Το σύνολο R Γ. Το διάστημα ( 0, + ) Δ. Το σύνολο R* E. Το σύνολο R-{} 4. * Το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο f () = log (Σχ.) είναι Α. το διάστημα [ 0, + ) Β. το διάστημα (, 0 ) Γ. το διάστημα ( 0, + ) Δ. το διάστημα (, 0) E. το σύνολο R Σχ. 5. * Το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο f () = log (Σχ.4) είναι Α. το διάστημα [ 0, + ) Β. το διάστημα (, 0 ) Γ. το διάστημα ( 0, + ) Δ. το σύνολο R Ε. το διάστημα (, 0) 6 Σχ. 4
6. * Το σύνολο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης με τύπο f () = log α με 0 < α είναι Α. Το διάστημα [ 0, + ) Β. Το σύνολο R Γ. Το διάστημα ( 0, + ) Δ. Το διάστημα (, 0 ) Ε. Το διάστημα (, 0] 7. * Η γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης με τύπο f () = log 4 (Σχ.5) τέμνει Α. μόνο τον άξονα y y Β. τον άξονα και τον άξονα y y Γ. μόνο τον άξονα στο σημείο (,0) Δ. τον άξονα σε δύο σημεία Ε. τίποτα από τα προηγούμενα 8. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = log (Σχ.6) τέμνει 4 Σχ. 5 Α. μόνο τον άξονα y y Β. τον άξονα και τον άξονα y y Γ. μόνο τον άξονα σε δύο σημεία Δ. τον άξονα στο σημείο (,0) Ε. τίποτα από τα παραπάνω Σχ. 6 9. * Η λογαριθμική συνάρτηση με τύπο f () = log α με ο < α έχει γραφική παράσταση που τέμνει Α. μόνο τον άξονα y y Β. τον άξονα στο σημείο (,0) Γ. τον άξονα και τον άξονα y y Δ. τον άξονα σε δύο σημεία Ε. τίποτα από τα παραπάνω 0. * Η λογαριθμική συνάρτηση με τύπο f () = log α με ο < α < είναι πάντοτε Α. γνησίως αύξουσα Β. σταθερή Γ. άρτια Δ. γνησίως φθίνουσα Ε. τίποτα από τα προηγούμενα. * Η λογαριθμική συνάρτηση με τύπο f () = log α με α > είναι πάντοτε Α. γνησίως αύξουσα Β. περιττή Γ. σταθερή Δ. γνησίως φθίνουσα Ε. τίποτα από τα προηγούμενα. * Η συνάρτηση με τύπο f () = log (Σχ.7) είναι 0 6
Α. γνησίως αύξουσα Β. άρτια Γ. περιττή Δ. γνησίως φθίνουσα Ε. τίποτα από τα προηγούμενα y O y=log /0. * Η συνάρτηση με τύπο f () = log (Σχ.8) είναι Α. γνησίως αύξουσα Β. περιοδική Γ. σταθερή Δ. γνησίως φθίνουσα y Σχ. 7 y=log Ε. τίποτα από τα παραπάνω O 4. * Η συνάρτηση με τύπο f () = ln (Σχ.9) είναι Α. γνησίως αύξουσα Β. άρτια Γ. περιττή Δ. γνησίως φθίνουσα Ε. τίποτα από τα παραπάνω y O Σχ. 8 y=ln Σχ. 9 5. ** Για την συνάρτηση με τύπο f () = ln (Σχ.0) δεν ισχύει ότι Α. έχει πεδίο ορισμού το διάστημα ( 0, + ) Β. έχει σύνολο τιμών το διάστημα [ 0, + ) Γ. έχει ελάχιστο το 0 για = Δ. είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Ε. τέμνει τον άξονα y y. Σχ. 0 64
6. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = είναι συμμετρική με την γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g ()= log (Σχ. ) ως προς Α. τον άξονα y y Β. το σημείο (0,0) Γ. την ευθεία y = Δ. την ευθεία y= - Ε. τον άξονα. Σχ. 7. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = είναι συμμετρική με την γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g () = log (Σχ.) ως προς Α. τον άξονα y y Β. το σημείο (0,0) Γ. την ευθεία y = - Δ. την ευθεία y = E. τον άξονα. Σχ. 65
8. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = e είναι συμμετρική με την γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g ()= ln (Σχ.) ως προς Α. τον άξονα y y Β. το σημείο (0, 0) Γ. την ευθεία y = Δ. την ευθεία y = - E. τον άξονα. Σχ. 9. * Η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f () = α είναι συμμετρική με την γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο g()= log α όταν 0<α ως προς Α. τον άξονα y y Β. την ευθεία y = Γ. το σημείο (0,0) Δ. την ευθεία y = - E. τον άξονα 0. * Η ισοδυναμία log α = y = α y ισχύει πάντοτε με τις προϋποθέσεις Α. R και α > 0 Β. [0,+ ) και 0 α Γ. (0,+ ) και ο < α Δ. R και α Ε. 0 και α 0. * Αν log = 5 τότε το είναι ίσο με Α. Β. Γ. - Δ. Ε. 0. * Αν log = 4 τότε το είναι ίσο με Α. 7 Β. Γ. 64 Δ. 8 Ε: 9. * Αν log 64 = τότε το είναι ίσο με Α. Β. 6 Γ. 8 Δ. Ε. 6 4.* Η παράσταση log 5 είναι ίση με Α. Β. log5 Γ. 5 Δ. log E. 0 5.* Η παράσταση log α α με 0<α είναι ίση με Α. α B. Γ. α Δ. 0 Ε. α 6. * Η παράσταση log α με 0 < α είναι ίση με Α. α Β. Γ. α Δ. 0 Ε. α 7. * Η παράσταση log00 είναι ίση με Α. 4 Β. Γ. 0 Δ. 00 Ε. 0.000 8. * Η παράσταση log + log7 είναι ίση με Α. log9 B. log4 Γ. log 7 Δ. log5 E. log7 9. * Η παράσταση log - log είναι ίση με Α. log9 B. log5 Γ. log6 Δ.log E. log4 0. * Η παράσταση log είναι ίση με Α. log6 B. log5 Γ. log Δ. log E. τίποτα από τα προηγούμενα 66
. * Η παράσταση log log είναι ίση με Α. log B. log Γ. log Δ. log Ε. τίποτα από τα προηγούμενα. * Η παράσταση log5+ log8 είναι ίση με Α. 6 Β. log 00 Γ. 5 log 4 Δ. Ε. log00 6 6. * Από τις παρακάτω σχέσεις σωστή είναι η Α. log5< log5 Β. log log 5 5 Γ. log5 > log5 Δ. log5 = log5 Ε. τίποτα από τα προηγούμενα 4. * Από τις παρακάτω σχέσεις σωστή είναι η log 5< log 7 Α. log 5> log 7 Δ. 5. * Ο log (4- ) ορίζεται αν log 5 log 7 Β. Ε. τίποτα από τα προηγούμενα log 5= log 7 Γ. Α. > B. - < < Γ. < - Δ. = E. = - 6. * Ο log - δεν ορίζεται αν Α. > B. Γ. - < < Δ. < - E. = 7. * Η συνάρτηση f () = log(-6) + log(7-) ορίζεται αν Α. = 6 B. < 6 Γ. > 7 Δ. = 7 E. 6 < < 7 8. * Αν log [log (-)] = 0 τότε το είναι ίσο με A. B. Γ. Δ. 4 Ε. 0 9. ** Αν logθ =,6 τότε ο θ ανήκει στο διάστημα Α. (0,) Β. (,) Γ. (,5) Δ. (5,0) Ε. (0,00) 40. ** Αν ισχύει log (ημ)= 0 τότε είναι Α. = κπ+ π Β. = κπ+ π Γ. = κπ 4 Δ. = κπ+π Ε. = κπ π 4. ** Αν ισχύει log(εφ)= 0 τότε είναι π Α. = k π+ Β. Δ. = k π E. π = Γ. 4 k π+ = kπ 4. * Αν log50 - log = log τότε το είναι ίσο με π 4 = k π+ Α. 00 Β. 5 Γ. 5 Δ. 48 Ε.,5 π 6 67
4. * Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων με τύπους f () = ln και y = τέμνονται στο σημείο A( o, ) (Σχ.4). Τότε το ο είναι ίσο με Α. e B. Γ. Δ. e Ε. Σχ. 4 Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Στη στήλη Α του πίνακα (Ι) υπάρχουν οι γραφικές παραστάσεις κάποιων από τις συναρτήσεις που ο τύπος τους αναγράφεται στη στήλη Β. Πίνακας (Ι) Στήλη Α Στήλη Β f () = log f () = ln f () = log + f 4 () = log Σχ.5 f 5 () = log 4 - Να συμπληρώσετε τον πίνακα (ΙΙ) ώστε σε κάθε γραφική παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο τύπος της συνάρτησης που βρίσκεται στη στήλη Β. Πίνακας (ΙΙ) C C C. * Κάθε ισότητα της στήλης Α του πίνακα (Ι) ισοδυναμεί με μια ισότητα της στήλης Β. 68
Πίνακας (Ι) Στήλη Α. log α = 8. log 8 α =. ln = +ω 4. ωln = Στήλη Β Α. α 8 = Β. ω = e Γ. ω = e Δ. α = 8 Ε. = e ω+ ΣΤ. α = 8 Να συμπληρώσετε τον πίνακα (ΙΙ) ώστε σε κάθε ισότητα της στήλης Α να αντιστοιχεί η ισοδύναμή της ισότητα που βρίσκεται στη στήλη Β. Πίνακας (ΙΙ) 4. * Στη στήλη Α του πίνακα (Ι) υπάρχουν λογαριθμικές παραστάσεις και στη στήλη Β διάφορα αναπτύγματα. Πίνακας (Ι) Στήλη Α Στήλη Β. log y. ln(y ). ln(0y) Α. log - logy Β. ln + lny Γ. log - logy Δ. ln0 + ln + lny Ε. + ln + lny Να συμπληρώσετε τον πίνακα (ΙΙ) ώστε σε κάθε λογαριθμική παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί το ανάπτυγμά της που βρίσκεται στη στήλη Β. Πίνακας (ΙΙ) 4. * Στη στήλη Α του πίνακα (Ι) υπάρχουν αναπτύγματα και στη στήλη Β κάποιες παραστάσεις. Πίνακας (Ι) 69
Στήλη Α Στήλη Β. log4 - log + logy. logα + logβ - logγ. ln - lny + A. log 4 y Β. ln e y Γ. ln y Δ. ln [ ( + e)( e ) ] Ε. log αβ γ Να συμπληρώσετε τον πίνακα (ΙΙ) ώστε σε κάθε ανάπτυγμα της στήλης Α να αντιστοιχεί η ισοδύναμή του παράσταση που βρίσκεται στη στήλη Β. Πίνακας (ΙΙ) Ερωτήσεις διάταξης Να τοποθετήσετε σε μια σειρά από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς:. * Α = log0,5 B = log Γ = log. * Α = log Β = log Δ = 0 Ε = Γ = log 5 Δ = 0 Ε =. * Α = log 0. 5 4 Β = log 0. 5 4 Γ = log 0. 5 0 Δ = 0 Ε = Να τοποθετήσετε κατά σειρά μεγέθους τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: 4. * Α = log 0. 5 Β = log Γ = log Δ = 0 a) An 0 < < b) An > Ερωτήσεις συμπλήρωσης. * Να συμπληρώσετε τα κενά στις ισότητες που ακολουθούν: 70
i) log 5 = ii) log 5 5 = iii) log = iv) log ρ = v ) log α ( α ) =, ρ R. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: vi) log 5 5 = vii) log 6 6 = viii) log 6 = i) ln = vii) ln = i) log α = ii) log α α = iii) log α α = iv) log α = v) log α α = vi) log k = i) log α = ) log α = 0 vii) log α = viii) log α = Ερωτήσεις ανάπτυξης. * Να λύσετε τις εξισώσεις: i) log( + ) = log( ) ii) log( + ) = + log( ) ln iii) log( ) log( ) = log( 4 ) log iv) ln =. ** Να λύσετε τις εξισώσεις: i) (log0 log 5) = log( 4 ) ii) log ( 4 + 4) = + log ( ). ** Να λύσετε τις εξισώσεις: + iii) log ( 9 ) = i) log + log + log = ii) log (log ) = log (log ) iii) log [log (log )] = 6 4 7 4. ** α) Να υπολογίσετε τον αριθμό 00 log. 4 4 4 0 β) Να λύσετε την εξίσωση: log log 00 log = 0. 5. *** Αν σε μία αριθμητική πρόοδο (α ν ) ο πρώτος όρος είναι α = log και ο δεύτερος όρος της είναι α = log 8. α) Να βρείτε την διαφορά ω της αριθμητικής προόδου. β) Να λύσετε την εξίσωση: log ω 9 log ω 9 log ω + 8= 0. 6. ** i) Να αποδείξετε ότι: 7. ** i) Να αποδείξετε ότι: log log log log = ii) Να λύσετε την εξίσωση: = 54 log5 log5 = αν 0 < ii) Να λύσετε την εξίσωση log5 log5 + = 64 iii) Να αποδείξετε ότι ισχύει γενικά α log y log logβ γ log α 8. ** i) Να αποδείξετε ότι = y με,y > 0 β = γ με (0 < α,β,γ ) ii) Να λύσετε το σύστημα: log y log + y = 0 log y = iii) Αν οι λύσεις του (ii) είναι ρίζες της εξίσωσης: log[log( * + logθ 0)]=0 να βρείτε το θ R + 7
9. ** Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f( ) = log i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ii) Να δείξετε ότι f( ) log ( = )( ) log [log ( )]. ( ) iii) Να λύσετε ως προς λ R την εξίσωση: λ f (4) = log λ+ + ( - λ) log log( + ) 0. ** Να λύσετε την εξίσωση: ( + ) = 00( + ).. ** Να βρείτε δύο θετικούς αριθμούς που οι φυσικοί τους λογάριθμοι έχουν άθροισμα και γινόμενο -8. 5 ν. ** Να βρείτε τον θετικό αριθμό ώστε να ισχύει: log + log + log + + log = ν. ** Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο (α ν ) ισχύει α ρ = k α, όπου ο α ρ ο όρος τάξεως ρ, α ο πρώτος της όρος, και λ ο λόγος της να αποδείξετε ότι: (ρ )logλ = logk 4. ** Να βρείτε το o σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: i) ii) iii) iv) 5. ** Να βρείτε: α) τα σημεία στα οποία τέμνει τους άξονες η γραφική παράσταση της f( ) = log ( + ) (Σχ.6). β) Το k ώστε το σημείο P, k να ανήκει στη γραφική της παράσταση. 6. ** Να λύσετε την εξίσωση ln(συν) = 0. Σχ. 6 7
7. ** Ο θόρυβος y ενός ήχου σε db (ντεsιμπέλ) δίνεται από τον τύπο y = 0log όπου η πίεση που 0 ασκεί το ακουστικό κύμα στα μόρια του ατμοσφαιρικού αέρα μετρούμενη σε μρ (μικρο Pascals, μρ= 0-6 Ρ). α) Πόση πίεση ασκεί ένα αθόρυβο κύμα στα μόρια του αέρα; β) Ένας κεραυνός άσκησε πίεση = 0 6, 5 μρ στα μόρια του ατμοσφαιρικού αέρα. Πόσο db ήταν ο θόρυβος που προξένησε; Δίνεται ότι: Μια ηχητική πηγή θεωρείται αθόρυβη όταν ο θόρυβός της είναι το 0dB (όσος δηλαδή ο θόρυβος του θροΐσματος των φύλλων ενός δέντρου σε ελαφρύ φύσημα του αέρα - μικρότερος θόρυβος δεν ανιχνεύεται-). 8. ** Ο θόρυβος L σε db (ντεσιμπέλ) που προκαλεί μια ηχητική πηγή δίνεται από τον τύπο L = 0 + 0log (0 - I) όπου Ι το μέτρο της έντασης του ήχου σε Watt/m. α) Πόση πρέπει να είναι (το πολύ) η ένταση μια «αθόρυβης» ηλεκτρικής συσκευής; β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Είδος θορύβου Mηχανές αεροπλάνου Jet (σε απόσταση 0m) Μουσική Rock (,5m μακριά από το ηχείο) Μοτοσικλέτα (με κανονική εξάτμιση) Συνομιλία (σε ήρεμο κλίμα) Θόρυβος σε db 40 80 Ένταση ήχου σε Watt/m γ) Σ' ένα πεζοδρόμιο δουλεύουν ταυτόχρονα σε πολύ μικρή απόσταση κομπρεσέρ που το καθένα ξεχωριστά προκαλεί θόρυβο 0 db. Πόσος είναι ο συνολικός θόρυβος που προκαλεί και τα δύο μαζί; Δίνονται: i) Μια ηχητική πηγή θεωρείται αθόρυβη όταν ο θόρυβος της είναι 0dB (όσος δηλαδή είναι ο θόρυβος του θροίσματος των φύλλων του δένδρου σε ελαφρό φύσημα του αέρα - μικρότερος θόρυβος δεν ανιχνεύεται-). ii) log 0,0. 0 0 6 7