Στην κορυφή της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας σφήνας µάζας M, η οποία ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικ ρός κύβος µάζας m. Nα δείξετε ότι η σφήνα κινείται στο σύστη µα αναφοράς του εδάφους µε σταθερή επιτάχυνση A, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση: A = mgµ#$ M + mµ όπου φ η γωνία κλίσεως φ της κεκλιµένης έδρας της σφήνας ως προς τον ορίζοντα και g η επιτάχυνση της βαρύτητας, ΛYΣH: Eπειδή το σύστηµα των µαζών M και m δεν δέχεται οριζόντιες εξω τερικές δυνάµεις, η ορµή του κατά την οριζόντια διεύθυνση διατηρείται σταθερή, οπότε µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: 0 + 0 = M V + m v 0 = -MV + mv MV = mv (1) όπου V η ταχύτητα του σώµατος Σ κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t και v η οριζόντια συνιστώσα της αντίστοιχης ταχύτητας του µικρού κύβου. Eάν dv, dv είναι οι µεταβολές των µέτρων των διανυσµάτων V και v αντι στοίχως µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ η σχέση (1) µας επιτρέπει να γράψουµε: (1) M(V + dv) = m(v + dv ) MdV = mdv M dv = m dv MA = ma a = M m A () όπου A η επιτάχυνση της σφήνας στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους κατα τη χρονική στιγµή t και a η αντίστοιχη οριζόντια συνιστώσα της επιτάχυν σης του κύβου. Εξετάζοντας τον κύβο στο σύστηµα αναφοράς της σφήνας (µη αδρανειακό σύστηµα) αυτός δέχεται το βάρος του w, που αναλύεται στην κάθετη προς την κεκλιµένη έδρα της σφήνας συνιστώσα w 1 και στην παράλληλη προς αυτήν συνιστώσα w, τη δύναµη επαφής N από τη σφήνα που είναι κάθετη στην κεκλιµένη έδρα της και την αδρανειακή ψευδοδύ ναµη d Alembert F = -m A, που αναλύεται στην F ' και F '' κάθετη και παράλληλη αντιστοίχως προς την κεκλιµένη έδρα (σχήµα α). Εάν a είναι η σχετική επιτάχυνση του κύβου ως προς τη σφήνα, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα θα έχουµε τη σχέση:
F ' + w 1 = ma # F #$ + mg&µ = ma ' ma#$ + mgµ$ = ma & A#$ + gµ$ = a & (3) Σχήµα α. Eξάλλου για το µέτρο της a, συµφωνα µε το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα ισχύει η σχέση: Nµ = ma (4) Eπειδή στο σύστηµα αναφοράς της σφήνας ο κύβος δεν επιταχύνεται καθέ τως προς την κεκλιµένη έδρα, µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: N + F '' = w N + F µ# = mg$&# N + maµ = mg#$ N= mg#$ - maµ$ οπότε η (4) παίρνει τη µορφή: () a = (g#$ - Aµ$)µ$ MA = (g#$ - Aµ$)µ$ m # A M m + µ & ( = gµ)+ A = mgµ#$ $ ' M + mµ (5) Παρατήρηση 1η: Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) µπορούµε να υπολο γίσουµε την επιτάχυνση του κύβου στο σύστηµα αναφοράς της σφήνας, δηλαδή την σχετική επιτάχυνση του a ως προς τη σφήνα, Από τις δύο αυτές σχέσεις παίρνουµε: mgµ#$ M + mµ + gµ = a & m#$ #& gµ ( ' M + mµ + 1 ) + = a #, & gµ m#$ + M + mµ ( ' M + mµ ) + = a #, a = (M + m)g#µ$ M + m#µ $ (6)
Aπό την (6) προκύπτει ότι η a είναι σταθερή, δηλαδή η σχετική κίνηση του κύβου ως προς τη σφήνα είναι οµαλά επιταχυνόµενη ευθύγραµµη κίνη ση. Αν λοιπόν γνωρίζουµε το µήκος L της κεκλιµένης έδρας, µπορούµε εύκολα να υπολογίσουµε το χρόνο καθόδου του κύβου. Παρατήρηση η: Μπορούµε να αντιµετωπίσουµε την σχετική κίνηση του κύβου ως προς τη σφήνα, χωρίς να χρησιµοποιήσουµε την ψευδοδύναµη d Alembert. Ας δεχθούµε οτι ο κύβος κίνείται στο κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο µάζας Κ της σφήνας και τέµνει την κεκλιµένη έδρα της κατά την ευθεία κίνησης του κύβου. Λαµβάνουµε επί του επιπέδου αυ τού ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οy, του οποίου η αρχή Ο είναι το άκρο α της σφήνας τη στιγµή t=0 και συµβολίζουµε µε r το διάνυσµα θέσεως του κύβου ως προς το Ο, ύστερα από χρόνο t αφότου αφέθηκε ελεύθερος (σχήµα β). Εφαρµόζοντας για τον κύβο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρ νουµε τη σχέση: m d r = m g + N m d ( R + R + s ) = m g + N m d R + m d s = m g + N (7) Σχήµα β. όπου R το διάνυσµα θέσεως του Κ ως προς το Ο, R το σταθερό διάνυσµα θέσεως του άκρου άκρου β της σφήνας ως προς το Κ και s το διάνυσµα θέσε ως του κύβου ως προς το β, που εκφράζει και την σχετική του µετατόπιση ως προς την σφήνα. Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά και τα δύο µέλη της (7) µε το µοναδιαιο διάνυσµα s 0 της σχετικής τροχιάς του κύβου ως προς την σφήνα παίρνουµε: m d R $ s 0 ' + m d s $ s 0 ' = (m g s 0 ) + ( N s 0 ) $ # d R s 0 ' + d s & ( s 0 s 0 ) = ( g s 0 ) (8) διότι το εσωτερικό γινόµενο ( N s 0 ) είναι µηδενικό. Εξάλλου για το διάνυσ
µα R ισχύει η σχέση: d R R = i + y j = d i + d y j = d i (9) όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Ο και Οy αντιστοίχως, η τετµήµενη του κέντρου µάζας Κ που εκρφάζει και την µετατόπιση της σφήνας σε χρόνο t και y η σταθερή τεταγµένη του Κ. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) παίρνουµε: d ( s 0 i )+ d s = ( g s 0 ) d #($-) + d s =g#($/-) - d #$ + d s = gµ$ (10) Eπειδή η ορµή των µαζών M και m κατά την οριζόντια διεύθυνση διατηρεί ται µηδενική, µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: m d r $ i ' + M d R $ i ' = 0 M d R ) $ i ' + m d ( R + R ( + s ), + i. = 0 - M d R $ i ' + m d R $ i ' + m d s $ i ' = 0 ( M + m) d R $ i ' + m d s $ i ' = 0 (m + M) d = m ds #$ (11) Παραγωγίζοντας την (11) ως προς τον χρόνο παίρνουµε: = m#$ ( ' & m + M ) d d s οπότε η (10) γράφεται: - m# $ ( ' & m + M ) d s s +d = g+µ$ 1 - m# $ ( ' & m + M d s ) = g+µ$
( m+m - m# $ ) d s = (M+m)gµ$ d s = (M + m)gµ M + mµ a = (M + m)g#µ$ M + m#µ $ δηλαδή επανευρίσκουµε τη σχέση (6). Στην κορυφή της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας σφήνας µάζας M, η οποία ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος, αφήνεται κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R. Eάν ο κύλινδρος κυλίεται πάνω στην κεκλιµένη έδρα της σφήνας, να δείξετε ότι η σφήνα κινείται στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους µε σταθερή επιτάχυνση A, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση: A = mgµ#$ 3(M + m) - m#$ όπου φ η γωνία κλίσεως φ της κεκλιµένης έδρας της σφήνας ως προς τον ορίζοντα και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mR / του κυλίνδρου ως προς τον γεωµετρικό του άξονα. ΛYΣH: Eπειδή το σύστηµα των µαζών M και m δεν δέχεται οριζόντιες εξω τερικές δυνάµεις, η ορµή του κατά την οριζόντια διεύθυνση διατηρείται σταθερή, οπότε µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: 0 + 0 = M V + m v 0 = -MV + mv MV = mv (1) όπου V η ταχύτητα της σφήνας Σ κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t και v η οριζόντια συνιστώσα της αντίστοιχης ταχύτητας του κέντρου µάζας C κυλίνδρου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Eάν dv, dv είναι οι µετα βολές των µέτρων των διανυσµάτων V και v αντιστοίχως µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ η σχέση (1) µας επιτρέπει να γράψουµε: (1) M(V + dv) = m(v + dv ) MdV = mdv M dv = m dv MA = ma a = M m A ()
όπου A η επιτάχυνση της σφήνας στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους κατα την χρονική στιγµή t και a η αντίστοιχη οριζόντια συνιστώσα της επιτά χυνσης του κέντρου µάζας C. Εξετάζοντας τον κύλινδρο στο σύστηµα αναφοράς της σφήνας (µη αδρανειακό σύστηµα) αυτός δέχεται το βάρος του w, που αναλύεται στην κάθετη προς την κεκλιµένη έδρα της σφήνας συνι Σχήµα α. στώσα w 1 και στην παράλληλη προς αυτήν συνιστώσα w, τη δύναµη επαφής από την σφήνα που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και την στατική τριβή T και τέλος την αδρανειακή ψευδοδύναµη d Alembert F = -m A, που αναλύεται στην F ' και F '' κάθετη και παράλληλη αντιστοί χως προς την κεκλιµένη έδρα (σχήµα α). Εάν a είναι η σχετική επιτάχυν ση του του κέντρου µάζας C ως προς τη σφήνα, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα θα έχουµε τη σχέση: F ' + w 1 - T = ma # F #$ + mg&µ - T = ma ' ma#$ + mgµ$ - T = ma & (3) Εφαρµόζοντας εξάλλου για την περιστροφή του κυλιόµενου κυλίνδρου τον θεµελιώδη νόµο της περιστροφικής κίνησης, παίρνουµε τη σχέση: TR = I' TR = mr '/ T = ma / (4) όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου, της οποίας το µέτρο λόγω της κύλισης ικανοποιεί την σχέση ω R=a σχ. Αντικαθιστώντας στην (3) όπου Τ το ίσο του εκ της (4) παίρνουµε: ma#$ +mgµ$-ma & /=ma & ma#$ +mgµ$=3ma & / A#$ +gµ$ = 3a & a = ( A#$ +g&µ ) (5) 3 Eξάλλου για το µέτρο της a, συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα ισχύει η σχέση: Nµ - T#$ = ma (6)
Eπειδή στο σύστηµα αναφοράς της σφήνας ο κύλινδρος δεν επιταχύνεται καθέτως προς την κεκλιµένη έδρα, µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: N + F '' = w N + F µ# = mg$&# N + maµ = mg#$ N= mg#$ - maµ$ (7) Η (6) λόγω των (4) και (7) παίρνει τη µορφή: mg#$µ$ - maµ $ - ma & #$/ = ma (),(5) g#$µ$ - Aµ $ - a & #$/ = a g#$µ$ - Aµ $ - ( A#$ +gµ$ ) #$ 3 = MA m g#$µ$ - g 3 µ$#$ = MA m + Aµ $ + A 3 # $ g 3 µ#$ = A & M m + µ + #$ ) ( ' 3 + mgµ#$ = A( 3M + 3mµ + m#$ ) A = mgµ#$ 3M + 3mµ + m#$ = mgµ#$ 3(M + m) - m#$ (8) Παρατήρηση: Μπορούµε να αντιµετωπίσουµε τη σχετική κίνηση του κυ λίνδρου ως προς τη σφήνα, χωρίς να χρησιµοποιήσουµε την ψευδοδύναµη d Alembert. Ας δεχθούµε ότι το κέντρο µάζας C του κυλίνδρου κίνείται στο κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο µάζας Κ της σφήνας και τέµνει την κεκλιµένη έδρα της κατά την ευθεία κίνησης του C. Λαµβάνου µε επί του επιπέδου αυτού ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οy, του οποίου η αρχή Ο είναι το άκρο α της σφήνας τη στιγµή t=0 και συµβολίζουµε µε r το διάνυσµα θέσεως του C ως προς το Ο, ύστερα από χρόνο t αφότου αφέθηκε ελεύθερος o κύλινδρος (σχήµα β). Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντ ρου µάζας C το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα παίρνουµε τη σχέση: m d r = m g + N + T m d ( R + R + s ) = m g + N + T m d R + m d s = m g + N + T (9) όπου R το διάνυσµα θέσεως του Κ ως προς το Ο, R το σταθερό διάνυσµα θέσεως του σηµείου εκκινήσεως β του C, ως προς το Κ και s το διάνυσµα
θέσεως του C ως προς το β, που εκφράζει και την σχετική του µετατόπιση ως προς την σφήνα. Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά και τα δύο µέλη της (7) Σχήµα β. µε το µοναδιαιο διάνυσµα s 0 της σχετικής τροχιάς του C ως προς τη σφή να, παίρνουµε: m d R $ s 0 ' + m d s $ s 0 ' = m( g s 0 ) + ( N s 0 ) + ( T s 0 ) $ # d R s 0 ' + d s & ( s 0 s 0 ) = m( g s 0 ) + ( T s 0 ) (10) διότι το εσωτερικό γινόµενο ( N s 0 ) είναι µηδενικό. Εξάλλου για το διάνυσ µα R ισχύει η σχέση: d R R = i + y j = d i + d y j = d i (11) όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Ο και Οy αντιστοίχως, η τετµήµενη του κέντρου µάζας Κ που εκρφάζει και την µετατόπιση της σφήνας σε χρόνο t και y η σταθερή τεταγµένη του Κ. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (10) και (11) παίρνουµε: d ( s 0 i ) + d s m d -m d = m( g s 0 ) + ( T s 0 ) #($-) + m d s = mg#($/-) + T#$ #$ + m d s = mgµ$ - T (1) Όµως για το µέτρο της Τ σύµφωνα µε τη σχέση (4) έχουµε:
T = ma = m d s οπότε η (1) γράφεται: -m d #$ + m d s = mgµ$ - m - d #$ + 3 d s d s = gµ$ (13) Eπειδή η ορµή των µαζών M και m κατά την οριζόντια διεύθυνση διατηρεί ται µηδενική, µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: m d r $ i ' + M d R $ i ' = 0 M d R ) $ i ' + m d ( R + R ( + s ), + i. = 0 - M d R $ i ' + m d R $ i ' + m d s $ i ' = 0 ( M + m) d R $ i ' + m d s $ i ' = 0 (m + M) d = m ds #$ (14) Παραγωγίζοντας την (14) ως προς τον χρόνο παίρνουµε: = m#$ ( ' & m + M ) d d s οπότε η (13) γράφεται: - m# $ ( ' & m + M ) d s +3 d s = g+µ$ 3 - m# $ ( ' & m + M d s ) = g+µ$ d s = (M + m)gµ 3(M + m) - m#$ a = (M + m)g#µ$ 3(M + m) - m& $ (15) Ο αναγνώστης ευκολα µπορεί να διαπιστώσει ότι η σχέση (15) µέσω της (5) οδηγεί στην αποδεκτέα σχεση (8).