Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται σε δυναµικό V (r) είναι H = p2 + V (r). (1.1) όπου r, p τα ανύσµατα της ϑέσης και της ορµής του σωµατιδίου αντίστοιχα. Αν το δυναµικό είναι κεντρικό τότε εξαρτάται µόνο από το µέτρο r του ανύσµατος r και διευκολύνει την ανάλυση του προβλήµατος να γράψουµε την Χαµιλτωνιανή στην µορφή H = 1 ( p2 r + L2 ) + V (r). (1.2) r2 Στην (1.2) p r είναι η προβολή της ορµής στο άνυσµα ϑέσης p r p r r και L 2 είναι το τετράγωνο του µέτρου της τροχιακής στροφορµής. Ως αποτέλεσµα της σφαιρικής συµµετρίας του προβλήµατος, της κίνησης δηλαδή σε σφαιρικά συµµετρικό δυναµικό, οι αγκύλες Poisson κάθε συνιστώσας της τροχιακής στρο- ϕορµής και εποµένως και η αγκύλη Poisson του τετραγώνου του µέτρου αυτής µε την Χαµιλτωνιανή H µηδενίζονται, {L i, H} = 0, i = x, y, z {L 2, H} = 0. (1.3) Εποµένως για κίνηση σε δυναµικά µε σφαιρική συµµετρία η τροχιακή στροφορµή διατηρείται και η κλασική κίνηση πραγµατοποιείται σε επίπεδο κάθετο στο στα- ϑερό άνυσµα της τροχιακής στροφορµής. Για την περιγραφή της ϑέσης του κλασικού σωµατιδίου στο επίπεδο αυτό χρειάζονται η απόσταση r από το ελκτικό κέντρο και η αζιµουθιακή γωνία φ. Οι κανονικές ορµές που αντιστοιχούν σε αυτές τις µεταβλητές είναι p r, p φ. Η p φ είναι η προβολή της τροχιακής στροφορµής στον άξονα z, δηλαδή p φ = L z η οποία στην γεωµετρία του προβλήµατος είναι και η µοναδική συνιστώσα άρα L z = L. 1.1.2 Κβαντική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή του κβαντικού συστήµατος η αντίστοιχη της ( 1.1) είναι Ĥ = ˆp2 + V (ˆr). (1.4) Στην αναπαράσταση ϑέσης ˆp = i h, ˆr = r και ˆp 2 = h 2 2. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ˆp 2 = ˆp 2 r + ˆL 2 r 2 (1.5)
1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 3 οπότε η Χαµιλτωνιανή (1.4) για κίνηση σε σφαιρικά συµµετρικό δυναµικό γράφεται και ώς Ĥ = 1 ( ˆp2 r + ˆL 2 ) + V (r). (1.6) r2 Ο τελεστής ˆp r στις σχέσεις (1.5) και ( 1.6) ορίζεται ως ˆp r 1 2 ( ˆp ˆr r + ˆr ˆp ), (1.7) r είναι αυτοσυζυγής όπως προκύπτει από τον ορισµό του και είναι το αντίστοιχο του κλασικού µεγέθους p r p r r. Η Χαµιλτωνιανή (1.6) έχει εποµένως τεθεί σε µορφή που ϑυµίζει την αντίστοιχη κλασική έκφραση (1.2). Από τον ορισµό του ο τελεστής ˆp r όταν εφαρµοσθεί σε µιά κυµατική συνάρτηση Ψ δίνει ως αποτέλεσµα ˆp r Ψ = 1 2 ( ˆp (ˆr r Ψ) + ˆr (ˆpΨ) ). (1.8) r Στην αναπαράσταση ϑέσης και σε σφαιρικές συντεταγµένες είναι εύκολο να δειχθεί ότι το δεξιό µέλος αυτής δίνει i h ( Ψ r + 1 r Ψ). Εποµένως ο τελεστής ˆp r στην αναπαράσταση ϑέσης είναι ˆp r = i h ( r + 1 r ). (1.9) Από αυτήν εύκολα προκύπτει ότι το τετράγωνο αυτού είναι h 2 ( 2 οπότε η (1.6) γίνεται Ĥ = 1 ( h 2 ( 2 r 2 + 2 r r ) + ˆL 2 ) r 2 r 2 + 2 r r ) + V (r). (1.10) Οι τελεστές ˆLi, i = x, y, z των συνιστωσών της τροχιακής στροφορµής, όπως ασφαλώς και ο ˆL 2, δεν εξαρτώνται από την µεταβλητή r ούτε και περιέχουν πα- ϱαγωγίσεις ως προς αυτήν, εποµένως οι µεταθέτες των τελεστών ˆL i, ˆL 2 µε την Χαµιλτωνιανή είναι µηδέν, [Ĥ, ˆLi ] = [Ĥ, ˆL 2 ] = 0. (1.11) Οι σχέσεις (1.11) εκφράζουν ότι η στροφορµή ως κβαντικό µέγεθος διατηρείται όταν το σύστηµα έχει πλήρη συµµετρία περιστροφής. Σε οποιαδήποτε ϕυσική κατάσταση οι µέσες τιµές της κάθε συνιστώσας όπως και του τετραγώνου του µέτρου της τροχιακής στροφορµής είναι χρονικά σταθερές.
4 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1.3 Επίλυση της Εξίσωσης Schrödinger για κεντρικό δυνα- µικό Η Χαµιλτωνιανή (1.10), ο τελεστής ˆL 2 και οποιαδήποτε προβολή της τροχιακής στροφορµής, έστω η ˆL z, µετατίθενται µεταξύ τους. Εποµένως µπορούν να αναζητηθούν ιδιοκαταστάσεις των τριών αυτών τελεστών. Η χρονικά ανεξάρτητη κυµατική συνάρτηση Ψ Elm (r, θ, φ), που είναι ιδιοκατάσταση των τριών αυτών µεγεθών, ικανοποιεί την εξίσωση Ĥ Ψ Elm = E Ψ Elm, (1.12) εφ όσον είναι ιδιοσυνάρτηση της ενέργειας, ενώ συγχρόνως ως ιδιοσυνάρτηση των ˆL z, ˆL 2 ικανοποιεί τις εξισώσεις ˆL 2 Ψ Elm = h 2 l(l + 1) Ψ Elm, ˆLz Ψ Elm = hm Ψ Elm. (1.13) Από τις (1.13) προκύπτει άµεσα ότι η κυµατική συνάρτηση Ψ Elm (r, θ, φ) έχει την µορφή Ψ Elm (r, θ, φ) = R(r) Y lm (θ, φ), (1.14) όπου R(r) εξαρτάται µόνο από την µεταβλητή r. Από την (1.12), χρησιµοποιώντας την (1.14) και την µορφή της Χαµιλτωνιανής (1.10), προκύπτει η ακόλουθει εξίσωση για το ακτινικό µέρος R(r) της κυµατικής συνάρτησης, h2 ( R El + 2 r R El ) + ( h 2 l(l + 1) r 2 ) + V (r) R El = E R El. (1.15) Στην εξίσωση αυτή χρησιµοποιούµε τους δείκτες E, l για να υποδηλώσουµε το γεγονός ότι η µορφή του ακτινικού µέρους εξαρτάται από την ιδιοτιµή της ενέργειας E και από την τιµή του κβαντικού αριθµού l όπως ϕαίνεται από την εξίσωση (1.15). Το ενεργειακό ϕάσµα για κίνηση σε κεντρικά δυναµικά παρουσιάζει εκ- ϕυλισµό. Για κάθε τιµή της ενέργειας E και του κβαντικού αριθµού l υπάρχουν 2l + 1 ανεξάρτητες ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας που αντιστοιχούν στους κβαντικούς αριθµούς m = l, l + 1,..., l 1, l. Η συνάρτηση χ El, που ορίζεται µέσω της σχέσης R El χ El /r, ικανοποιεί την εξίσωση h2 χ El + U(r) χ El = E χ El, (1.16) στην οποία U(r) V (r) + h2 l(l+1) r. Η συνάρτηση αυτή καλείται ενεργό 2 δυναµικό και είναι άθροισµα του πραγµατικού δυναµικού V (r) µέσα στο οποίο κινείται το σωµατίδιο και του όρου h 2 l(l + 1)/r 2 που προέκυψε από την τροχιακή στροφορµή και ο οποίος καλείται ϕυγοκεντρικό δυναµικό. Να σηµειωθεί ότι η εξίσωση (1.16) µοιάζει µε ένα µονοδιάστατο πρόβληµα επίλυσης της χρονικά ανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger όπου στην ϑέση της κυµατικής συνάρτησης
1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 5 έχουµε την χ El και στην ϑέση του δυναµικού το ενεργό δυναµικό U(r). Το ϕυγοκεντρικό δυναµικό είναι πάντα ϑετικό, µηδενίζεται µόνο στην περίπτωση που l = 0, και εποµένως έχει την τάση να απωθεί το σωµατίδιο εµποδίζοντας το να πλησιάσει την αρχή του ελκτικού κέντρου r = 0. Η συνθήκη κανονικοποίησης της κυµατικής συνάρτησης Ψ Elm (r, θ, φ) είναι Ψ Elm (r, θ, φ) 2 r 2 drdω = 1, (1.17) όπου dω είναι το στοιχείο της στερεάς γωνίας sin θ dθ dφ. Η ολοκλήρωση στην (1.17) εκτείνεται από r = 0 έως r = και σε όλη την στερεά γωνία. Εποµένως οι µεταβλητές θ, φ διατρέχουν τα διαστήµατα θ = 0, π και φ = 0, 2π. Από την µορφή της κυµατικής συνάρτησης και από την κανονικοποίηση των σφαιρικών αρµονικών προκύπτει άµεσα ότι 0 R El (r) 2 r 2 dr = 1. (1.18) Το γινόµενο R El (r) 2 r 2 dr που ισούται µε χ El (r) 2 dr είναι η πιθανότητα να ϐρεθεί το σωµατίδιο µέσα σε ένα σφαιρικό ϕλοιό µε ακτίνες r και r + dr. Αυτή είναι και η ϕυσική σηµασία της συνάρτησης χ El (r). Αντιπροσωπεύει το πλάτος πιθανότητας να ϐρεθεί το σωµατίδιο µέσα σε σφαιρικό ϕλοιό µε ακτίνες r και r + dr. Η συνάρτηση χ El (r) ϐρίσκεται από την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (1.16). Αν αναζητούµε δέσµιες καταστάσεις η κανονικοποίηση (1.18) επιβάλλει η συνάρτηση χ El (r) να τείνει στο µηδέν όταν r +, χ El ( ) = 0. (1.19) Είναι εύκολο επίσης να διαπιστώσει κανείς, από το γεγονός ότι ο τελεστής ˆp r είναι αυτοσυζυγής, ότι η συνάρτηση χ El (r) µηδενίζεται για r = 0, χ El (0) = 0. (1.20) Αυτές οι συνοριακές συνθήκες συνοδεύουν το πρόβληµα εύρεσης κανονικοποιήσιµων κυµατικών καταστάσεων που είναι λύσεις καθορισµένης ενέργειας και καθορισµένης τροχιακής στροφορµής. Να σηµειωθεί ότι λόγω του εκφυλισµού οι καταστάσεις συγκεκριµµένης ενέργειας είναι εν γένει γραµµικοί συνδυασµοί των Ψ Elm Ψ E = l m= l c m Ψ Elm, (1.21) άρα δεν χαρακτηρίζονται εν γένει από συγκεκριµµένη τιµή του κβαντικού αριθµού m.