Ν6_(6)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_0_Έλεγχος_Υποθέσεων0 Ανεξάρτητα δείγματα Εξαρτημένα δείγματα Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ανεξάρτητα δείγματα (ανεξάρτητες μετρήσεις) Διαφορετικά άτομα σε κάθε μέτρηση η Εξαρτημένα δείγματα (εξαρτημένες μετρήσεις) Τα ίδια άτομα σε κάθε μέτρηση
Ανεξάρτητα δείγματα (ανεξάρτητες μετρήσεις) Διαφορετικά άτομα σε κάθε μέτρηση η 3 Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ των μέσων τιμών δύο ανεξάρτητων μετρήσεων Δεδομένα που προέρχονται από δύο διαφορετικούς πληθυσμούς, που δεν σχετίζονται μεταξύ τους. Παράδειγμα: Ένας γυμναστής στο δημοτικό σχολείο θέλει να διαπιστώσει αν υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές σε ένα τεστ ευστοχίας μεταξύ της μέσης τιμής των επιδόσεων των παιδιών της Β τάξης του δημοτικού σχολείου και της μέσης τιμής των επιδόσεων των παιδιών της Α τάξης. 4
Αν οι μέσοι όροι X, X των δύο δειγμάτων που προέρχονται από δύο διαφορετικούς πληθυσμούς (ανεξάρτητες μετρήσεις) διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους η ομάδα Χ Χ Χ3 Χ4 η ομάδα Χ Χ Χ3 Χ4...... ΧΝ ΧΝ 5 Ο αμερόληπτος εκτιμητής της διαφοράς των μέσων όρων των δύο πληθυσμών (μ-μ) είναι ο Αν και οι δύο πληθυσμοί ακολουθούν κανονική κατανομή τότε και η διαφορά τους ακολουθεί κανονική κατανομή X X και η τυπική απόκλιση της διαφοράς των δύο πληθυσμών είναι σ, σ σ Μηδενική υπόθεση Η ο : μ = μ ή Η ο : μ-μ = 0 Εναλλακτική υπόθεση Η Α : μ μ ή Η Α : μ-μ 0 6 3
Α. Αν γνωρίζουμε τις διακυμάνσεις, των πληθυσμών Εφόσον, = γνωστές και οι πληθυσμοί ακολουθούν κανονική κατανομή χρησιμοποιούμε τις z-τιμές (z-κατανομή) (X z X) (μ μ) σ σ (X σ X σ ) επειδή μ-μ=0 7 Παράδειγμα: Ένας γυμναστής στο δημοτικό σχολείο θέλει να διαπιστώσει αν υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές σε ένα τεστ ευστοχίας μεταξύ της μέσης τιμής των επιδόσεων των παιδιών της Β τάξης του δημοτικού σχολείου και της μέσης τιμής των επιδόσεων των παιδιών της Α τάξης. Β τάξη: Ν = 0, X =, σ = 0 A τάξη: Ν = 4, X = 8, σ = 9 ερώτημα: υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των μέσων όρων των δύο πληθυσμών (από τους οποίους προέρχονται τα δείγματα), σε επίπεδο σημαντικότητας α=0,05 με την προϋπόθεση ότι οι δύο πληθυσμοί ακολουθούν την κανονική κατανομή. 8 4
. διατύπωση μηδενικής υπόθεσης: Η ο : μ μ. διατύπωση εναλλακτικής υπόθεσης: Η A : μ μ Εφόσον οι πληθυσμοί από τους οποίους προέρχονται τα δείγματα ακολουθούν την κανονική κατανομή και είναι γνωστές οι διακυμάνσεις των πληθυσμών z - κατανομή 9 Β τάξη: Ν = 0, X =, σ = 0 A τάξη: Ν = 4, X = 8, σ = 9 z (X X) σ σ ( 8) 0 9 0 4 3 00 0 8 4 3 5 3.375 3.89.038 0 5
εναλλακτική υπόθεση: Η A : μ μ Άρα: δίπλευρος έλεγχος για α= 0.05 ή α/= 0.05 από πίνακα τυπικής κανονικής κατανομής το αντίστοιχο εμβαδόν (0.5 0.05=) είναι 0.4750 Ητιμή 0.4750 βρίσκεται στην διασταύρωση της γραμμής που αντιστοιχεί στην τιμή.9 και της στήλης που αντιστοιχεί στην τιμή 6. Η περιοχή αποδοχής βρίσκεται μεταξύ των τιμών z =.96 και z= -.96 6
Εφόσον z=.038 < z-κρίσιμη= ρ.96 αποδεχόμαστε την Η ο : μ = μ 3 Α. Αν ΔΕΝ γνωρίζουμε τις διακυμάνσεις Όταν, = άγνωστες και οι πληθυσμοί ακολουθούν κανονική κατανομή χρησιμοποιούμε τις t-τιμές (t-κατανομή), των πληθυσμών Προϋπόθεση: ομοιογένεια των διακυμάνσεων σ σ σ 4 7
σ σ σ Όταν για την εκτίμηση του σ χρησιμοποιείται ο αμερόληπτος εκτιμητής του S S ( ) S( ) Το τυπικό σφάλμα της διαφοράς των μέσων τιμών των δύο ανεξάρτητων μετρήσεων θα είναι S X X S ( ) 5 Για τον έλεγχο της ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών χρησιμοποιείται το στατιστικό (X t X ) (μ μ ) S X X ( S (X X ) ) επειδή μ-μ=0 για (Ν +Ν -) βαθμούς ελευθερίας 6 8
Παράδειγμα: Ένας γυμναστής στο δημοτικό σχολείο θέλει να διαπιστώσει αν υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διαφορές σε ένα τεστ ευστοχίας μεταξύ της μέσης τιμής των επιδόσεων των παιδιών της Β τάξης του δημοτικού σχολείου και της μέσης τιμής των επιδόσεων των παιδιών της Α τάξης. Β τάξη: Ν = 0, X =, s = 8 A τάξη: Ν = 4, X = 8, s = 7 ερώτημα: υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των μέσων όρων των δύο πληθυσμών (από τους οποίους προέρχονται τα δείγματα), σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 με την προϋπόθεση ότι οι δύο πληθυσμοί ακολουθούν την κανονική κατανομή. 7. διατύπωση μηδενικής υπόθεσης: Η ο : μ μ. διατύπωση εναλλακτικής υπόθεσης: Η A : μ μ Εφόσον οι πληθυσμοί από τους οποίους προέρχονται τα δείγματα ακολουθούν την κανονική κατανομή ΑΛΛΑ δεν είναι γνωστές οι διακυμάνσεις των πληθυσμών t - κατανομή t S (X X ) ( ) 8 9
Αρχικά υπολογίζεται ο αμερόληπτος εκτιμητής του σ του πληθυσμού, που είναι S ( ) S( S ) 8 (0 ) 7 (4 ) 64 9 493 55.79 0 4 4 Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον αμερόληπτο εκτιμητή S της διακύμανσης σ του πληθυσμού, υπολογίζεται το τυπικό σφάλμα της διαφοράς των μέσων τιμών των δύο ανεξάρτητων μετρήσεων που είναι ( ) (0 4) S S 55.79 5.4.6 X X 04 Χρησιμοποιώντας το τυπικό σφάλμα υπολογίζεται στη συνέχεια η t τιμή t (X X) 8.37 ( ).6 S 9 εναλλακτική υπόθεση: Η A : μ μ Άρα: δίπλευρος έλεγχος για α= 0.05 ή (α/)= (0.05/) = - 0.05 = 0.975 και βαθμούς ελευθερίας (β.ε.): Ν + - = 0 +4 - = 4 από πίνακα τυπικής κανονικής κατανομής ποια είναι η κρίσιμη t τιμή; 0 0
α/= - 0.05/= - 0.05 = 0.975 df \ p.60.70.80.90.95.975.99.995.35.77.367 3.08 6.3.7 3.8 63.66 Ν + - = 0 +4 - = 4.89.67.06.89.9 4.30 6.96 9.9.......... 5.58.536.866.34.75.3.60.95 6.58.535.865.34.75..58.9 7.57.534.863 33.33 74.74. 57.57.90 8.57.534.86.33.73.0.55.88 9.57.533.86.33.73.09.54.86 0.57.533.860.3.7.09.53.84.57.53.859.3.7.08.5.83.56.53.858.3.7.07.5.8 3.56.53.858.3.7.07.50.8 t.37 t κρίσιμη.0 αποδεχόμαστε την Ηο μ μ 4.56.53.857.3.7.06.49.79 5.56.53.856.3.7.06.49.79 6.56.53.856.3.7.06.48.78 7.56.53.855.3.70.05.47.77 8.56.530.855.3.70.05.47.76 9.56.530.854.3.70.04.46.75 30.56.530.854.3.70.04.46.75 40.55.59.85.30.68.0.4.58
Εξαρτημένα δείγματα (εξαρτημένες μετρήσεις) Τα ίδια άτομα σε κάθε μέτρηση η 3 Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ των μέσων τιμών δύο εξαρτημένων μετρήσεων ο ίδιο άτομο μετριέται κάτω από δύο διαφορετικές συνθήκες ή σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές πριν μετά Χ Χ Χ Χ Χ3 Χ3...... ΧΝ ΧΝ Αν οι μέσοι όροι X, X των δύο δειγμάτων που προέρχονται από δύο διαφορετικούς πληθυσμούς (εξαρτημένες μετρήσεις) διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους 4
Αν και οι δύο πληθυσμοί ακολουθούν κανονική κατανομή τότε και η διαφορά τους ακολουθεί κανονική κατανομή μηδενική υπόθεση: Η ο : μ-μ =0 ή Η ο : μ = μ εναλλακτική υπόθεση: Η A : μ μ 5 πριν μετά Χ Χ Χ Χ Χ3 Χ3...... ΧΝ ΧΝ διαφορά επιδόσεων του ίδιου ατόμου μέση διαφορά d X d X d Για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης χρησιμοποιείται η ποσότητα t ( d d ) ( d ) εκτιμητής τυπικής απόκλισης των διαφορών S d ( d ) ( ( ) d ) 6 3
Παράδειγμα: Ένας προπονητής ενδιαφέρεται να ελέγξει την επίδραση ενός προγράμματος προπόνησης για τη βελτίωση της ευστοχίας. Για το σκοπό αυτό μετρήθηκαν οι επιδόσεις ενός δείγματος Ν= 0 ατόμων σε ένα τεστ ευστοχίας «πριν» και «μετά» την εφαρμογή του προγράμματος προπόνησης. Αυτές οι επιδόσεις παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. α/α πριν μετά 7 5 9 5 3 4 7 4 5 5 6 4 6 3 7 7 9 8 8 5 0 9 6 6 0 6 Ν=0 7 t ( d d ) ( d ) α/α πριν μετά d d 7 5 (7-5)= 4 9 5 (9-5)= -6 36 3 4 7 (4-7)= -3 9 4 5 (5-)= 4 6 5 6 4 (6-4)= 4 6 3 7 (3-7)= -4 6 7 9 8 (9-8)= 8 5 0 (5-0)= -5 5 9 6 6 (6-6)= 0 0 0 6 (-6)= -4 6 d d Ν=0 = -3 =7 t ( d d ) ( d ) 3 07 ( 3) 0 3 70 69 9 3.8.06 8 4
εναλλακτική υπόθεση: Η A : μ μ Άρα: δίπλευρος έλεγχος για α= 0.05 ή (α/)= (0.05/) = - 0.05 = 0.975 και βαθμούς ελευθερίας (β.ε.): Ν- = 0 - = 9 από πίνακα τυπικής κανονικής κατανομής ποια είναι η κρίσιμη t τιμή; 9 α/= - 0.05/= - 0.05 = 0.975. Ν = 0 = 9 t =.8 < t κρίσιμη =.6 αποδεχόμαστε την Ηο μ μ df \ p.60.70.80.90.95.975.99.995.35.77.367 3.08 6.3.7 3.8 63.66.89.67.06.89.9 4.30 6.96 9.9 3.77.584.978.64.35 3.8 4.54 5.84 4.7.569.94.53.3.78 3.75 4.60 5.67.559.90.48.0.57 3.36 4.03 6.65.553.906 44.44 94.94 45.45 34 3.4 37 3.7 7.63.549.896.4.90.36 3.00 3.50 8.6.546.889.40.86.3.90 3.36 9.6.543.883.38.83.6.8 3.5 0.60.54.879.37.8.3.76 3.7.60.540.876.36.80.0.7 3..59.539.873.36.78.8.68 3.06 3.59.538.870.35.77.6.65 3.0 4.58.537.868.34.76.4.6.98 5.58.536.866.34.75.3.60.95 6.58.535.865.34.75..58.9 7.57.534.863.33.74..57.90 8.57.534.86.33.73.0.55.88 9.57.533.86.33.73.09.54.86 0.57.533.860.3.7.09.53.84 30 5
3 6