Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει έα σαφή σκοπό, τη ερµηεία τω δεδοµέω, οπότε η συλλογή του υλικού είαι έα πρώτο βήµα για τη επίτευξη του. Κατά καόα το δεύτερο βήµα της ααλύσεως και ερµηείας είαι η ταξιόµηση και η πιακοποίηση τω πληροφοριώ που έχου συγκετρωθεί. Ο τρόπος µε το οποίο ταξιοµούται τα δεδοµέα οοµάζεται στη στατιστική «καταοµή» τω δεδοµέω αυτώ. Η καταοµή τω δεδοµέω είαι σηµατική γιατί αποκαλύπτει τρόπους µε τους οποίους τα δεδοµέα µεταβάλλοται. Παλαιότερα αυτό γίοται µε χαρτί και µολύβι σήµερα αποκλειστικά µε ειδικά λογισµικά ηλεκτροικώ υπολογιστώ. Τέτοια λογισµικά είαι το Excel του Mcrosoft Offce, το SPSS, το Mntab, το Statstca, το SAS, το Statgraphcs κ.α. Η ταξιόµηση συίσταται στη διάταξη τω δεδοµέω σύµφωα µε τα κοιά χαρακτηριστικά που έχου οι παρατηρήσεις που περιλαµβάοται στα δεδοµέα. Η ταξιόµηση αυτή γίεται κατά διάφορους τρόπους, αλλά κυρίως χρησιµοποιούται τέσσερις: ο χροολογικός, ο τοπογραφικός, ο ποιοτικός και ο ποσοτικός. Έστω π.χ. ο απολογισµός µιας επιδηµίας στους κατοίκους µιας περιοχής, κατά τη οποία όσησα άδρες ηλικίας 0-4 ετώ 73, ηλικίας 5-9 ετώ 7, ηλικίας 0-4 ετώ 67, και 5-9 ετώ 63 αλλά και γυαίκες ηλικίας 0-4 ετώ 78, 5-9 ετώ 76, 0-4 ετώ 53 και 5-9 ετώ 48. Είαι φαερό ότι από τα παραπάω δεδοµέα είαι πολύ δύσκολο α βγου κάποια συµπεράσµατα. Α όµως τα δεδοµέα ταξιοµηθού σε πίακα και απεικοισθού σε διάγραµµα, όπως φαίεται παρακάτω, τα συµπεράσµατα προκύπτου ευκολότερα. Απολογισµός της επιδηµίας Ηλικία Άδρες Γυαίκες Σύολο 0-4 73 78 5 5-9 7 76 48 0-4 67 53 0 5-9 53 48 0 Σύολο 65 55 50 Πλήθη ασθεώ 00 80 60 40 0 0 0-4 5-9 0-4 5-9 Άδρες Γυαίκες Ηλικίες ασθεώ Παρατηρούµε λοιπό ότι το φύλο παίζει µικρό ρόλο στο αριθµό τω κρουσµάτω. Ατιθέτως µεγάλη σηµασία παίζει η ηλικία αφού είαι φαερό ότι όσο αυτή αυξάει λιγοστεύου τα κρούσµατα. Η τελευταία παρατήρηση φαίεται καθαρότερα στο προηγούµεο διάγραµµα.
ΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Η σωστή κατασκευή εός πίακα είαι απαραίτητη και για α είαι καταοητά τα στοιχεία που παρουσιάζει και για α είαι ευκολότερη και χωρίς κίδυο σφαλµάτω η στατιστική επεξεργασία του υλικού που θα ακολουθήσει. Οι πίακες διακρίοται στους:. Γεικούς πίακες, οι οποίοι περιέχου όλες τις πληροφορίες που προκύπτου από µία στατιστική έρευα (συήθως µε αρκετά λεπτοµερειακά στοιχεία) και αποτελού πηγές στατιστικώ πληροφοριώ στη διάθεση τω επιστηµόωερευητώ για παραπέρα αάλυση και εξαγωγή συµπερασµάτω.. Ειδικούς πίακες, οι οποίοι είαι συοπτικοί και σαφείς. Τα στοιχεία τους συήθως έχου ληφθεί από τους γεικούς πίακες. Οι βασικές αρχές κατασκευής εός πίακα Κάθε πίακας είαι συδυασµός οριζοτίω και καθέτω στηλώ. Συγκεκριµέα: Στη πρώτη κάθετη στήλη ααγράφεται η κλίµακα του χαρακτηριστικού µε τις πολυπληθέστερες κατηγορίες, η κλίµακα δε αυτή έχει το τίτλο της π.χ. ηλικία σε έτη. Οι βαθµίδες της κλίµακας διατάσσοται µε αυξαόµεη σειρά, εφ όσο τα µεγέθη είαι διατάξιµα, ή µε κάποια άλλη λογική σειρά. Στη πρώτη οριζότια γραµµή ααγράφοται οι τιµές του χαρακτηριστικού µε τις λιγότερες κατηγορίες π.χ. φύλο, εξετασθέτα άτοµα που διαχωρίζοται σε θετικά και αρητικά κ.λ.π. Η τελευταία κάθετη και οριζότια στήλη αφορίζου το λεγόµεο ωφέλιµο χώρο του πίακα, στο οποίο καταχωρούται οι τιµές τω παρατηρήσεω. Μέσα στο ωφέλιµο χώρο του πίακα βρίσκοται τα λεγόµεα κελιά που περιλαµβάου τις τιµές του πίακα. Η τελευταία κάθετη και οριζότια στήλη περιλαµβάου τα µερικά και γεικά σύολα τω παρατηρήσεω, που είαι απαραίτητα για τη πλήρη ατίληψη του θέµατος και για α είαι συγκρίσιµα τα στοιχεία του πίακα προς τα στοιχεία άλλω τυχώ πιάκω. Οι τίτλοι και υπότιτλοι του πίακα πρέπει α είαι σαφείς και χωρίς τη παραµικρή αµφισβήτηση. Εξ άλλου, είαι υποχρεωτικός και ο γεικός τίτλος του πίακα, που αποτελεί µια ολιγόλογη περίληψη του όλου θέµατος, ευκολοόητη στο κάθε ααγώστη, και που επιτρέπει τη αάλυση του πίακα χωρίς α χρειάζεται α αατρέξει καείς στα στοιχεία του κειµέου. Η σαφήεια τω τίτλω τω στηλώ είαι τελείως απαραίτητη ότα οι τίτλοι εκφράζου µοάδες (µάζας, χρόου, µήκους, όγκου κ.λ.π.) για τη αποφυγή συγχύσεω και σφαλµάτω. Για τη επεξήγηση τω τίτλω ή για διευκριήσεις γεικά, µπορεί α χρησιµοποιούται υποσηµειώσεις, που καταχωρούται έξω από το χώρο του πίακα.
Πίακας Επιφάεια και πληθυσµός τω κατοικηµέω ησιώ της Ελλάδας µε πληθυσµό, κατά τη απογραφή του 99, άω τω 0.000 κατοίκω. Κατοικηµέες Επιφάεια Πληθυσµός κατά τις απογραφές ήσοι σε τ.χµ. 97 98 99 Κρήτη Εύβοια Λέσβος Ρόδος Χίος Κεφαλληία Κέρκυρα Σάµος Λήµος Ζάκυθος Νάξος Θάσος Λευκάδα Κως Κάλυµος Σαλαµία Σύρος Αίγια 8.6,83 3.66,637.635,998.40,459 84,796 734,04 585,3 477,94 476,88 406,6 389,434 383,67 30,06 87,6 0,58 9,503 84,069 77,04 456.47 6.986 97.008 66.606 5.487 3.787 89.578 3.664 7.367 30.80 4.0 3.36.97 6.650 3.097 3.065 8.64 9.553 50.08 85.66 88.60 87.83 48.700 7.649 96.533 3.69 5.7 30.0 4.037 3. 9.947 0.350 4.95 8.574 9.668.7 539.938 05.50 87.5 98.8 5.060 9.39 04.78 33.03 7.645 3.556 4.838 3.57 9.350 6.379 5.706 34.7 9.870.639 Πηγή: ΕΣΥΕ, Απογραφή 99 Πίακας Εργατικά ατυχήµατα κατά οµάδες ηλικιώ Έτη 990-94 990 99 99 993 994 Ηλικία Κάτω τω 5 5-9 0-4 5-9 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 8 73 333 477 395 3589 337 839 77 304 78 9 564 785 39 3700 346 803 593 564 30 70 50 0 437 755 446 3388 333 9 784 86 85 688 40 6 735 98 388 3348 330 880 608 095 699 40 66 5 44 696 377 38 3000 903 403 877 664 53 96 Σύολο 7846 585 5063 3959 608 Πηγή: ΙΚΑ, Ελληικό Ιστιτούτο Υγιειής και Ασφάλειας της Εργασίας 3
Γεικοί ή βασικοί πίακες Αυτοί περιλαµβάου κατά το δυατό όλα τα στοιχεία της έρευας. Αποτελού κατά κάποιο τρόπο αποθήκη πληροφοριακού υλικού, και είαι µεγάλης εκτάσεως αφού µπορεί α καταλαµβάου και ολόκληρες σελίδες. Περιέχου πολλές πληροφορίες για το ίδιο ατικείµεο, και τόσο λεπτοµερειακές και συτεταγµέες ώστε η ααφορά σ αυτές α είαι εύκολη και γρήγορη. Οι βασικοί πίακες πρέπει α καταχωρού τους απόλυτους αριθµούς τω διαφόρω παρατηρήσεω και µάλιστα πραγµατικούς και λεπτοµερειακούς και όχι στρογγυλοποιηµέους. Συήθως οι γεικοί πίακες επισυάπτοται σα παράρτηµα στις µελέτες ή εκθέσεις που δηµοσιεύοται. Οι πίακες αυτοί έχου επίσης πρακτική αξία γιατί παρέχου υλικό για τη σύταξη τω άλλω πιάκω. Έας τέτοιος γεικός πίακας φαίεται παρακάτω. Στο παράδειγµα που ακολουθεί δίοται οι αριθµοί τω εξετάσεω χοληστερίης που πραγµατοποιούται σε έα βιοχηµικό εργαστήριο κατά τη διάρκεια δύο ετώ. Ηµεροµηία Τιµή χοληστερίης Συέχεια //006 73 4/8/006 0 0//006 3 3/8/006 3 9//006 66 /9/006 95 8//006 30 0/9/006 77 6//006 9 9/9/006 08 5//006 74 8/9/006 7 4//006 97 7/0/006 674 5/3/006 3 6/0/006 500 4/3/006 5 5/0/006 530 3/3/006 3 3//006 600 /4/006 9 //006 549 0/4/006 30 //006 634 9/4/006 0 30//006 6 8/4/006 96 9//006 53 7/5/006 54 8//006 50 6/5/006 3 7//006 543 5/5/006 0 5//007 60 3/6/006 54 4//007 654 /6/006 69 3//007 543 /6/006 9 //007 53 30/6/006 86 0//007 500 9/7/006 64 9//007 5 8/7/006 93 8//007 530 7/7/006 89 9/3/007 6 5/8/006 8 8/3/007 53 Σύολο 597 Όπως παρατηρεί ο ααγώστης ο πίακας αυτός είαι απλή παράθεση στοιχείω χωρίς α µπορεί α βγει κάποιο συµπέρασµα. Το µόο που µπορεί α υπολογιστεί είαι η κατώτερη και η αώτερη τιµή. 4
Αθροιστικοί πίακες Αυτοί οι πίακες περιλαµβάου µέσα στα κελιά τους το άθροισµα όλω τω τιµώ µέχρι εκείη τη στιγµή. Για το λόγο αυτό οι πίακες αυτοί οοµάζοται αθροιστικοί και οι σειρές τω τιµώ που παρουσιάζει χαρακτηρίζοται ως αθροιστικές σειρές. Π.χ. η παρουσίαση αθροιστικά τω ατυχηµάτω κατά µήα σε έα πληθυσµό κατά τη διάρκεια εός έτους. Στο πίακα που ακολουθεί δίοται αά µήα οι µέσες τιµές τω εξετάσεω χοληστερίης καθώς και οι ατίστοιχες της αθροιστικές τιµές µε βάση το απλό πίακα του προηγούµεου κεφαλαίου. Μήες Μέσες τιµές αριθµού εξετάσεω χοληστερίης Αθροιστικές τιµές αριθµού εξετάσεω χοληστερίης Ια-06 48 59 Φεβ-06 63 08 Μαρ-06 0 443 Απρ-06 4 99 Μάιος-06 66 796 Ιου-06 7 3497 Ιουλ-06 8 4044 Αυγ-06 3 4440 Σεπ-06 99 536 Οκτ-06 568 6940 Νοε-06 599 9335 εκ-06 53 0930 Ια-07 60 737 Φεβ-07 56 480 Μαρ-07 563 597 Οι αθροιστικοί πίακες δίου µια εποπτική εικόα του ρυθµού µεταβολής εός χαρακτηριστικού. Έτσι στο προηγούµεο αθροιστικό πίακα φαίεται µια απότοµη αύξηση τω εξετάσεω χοληστερίης από το Οκτώβριο του 006. Ο ρυθµός αυτός φαίεται παραστατικότερα στα αθροιστικά διαγράµµατα που παρουσιάζοται σε επόµεο κεφάλαιο. Τα αθροιστικά διαγράµµατα εκτός από τη εποπτική εικόα του ρυθµού µεταβολής εός χαρακτηριστικού προσφέρου και έα εύκολο τρόπο υπολογισµού του ποσοστού τω τιµώ που είαι µικρότερες ή µεγαλύτερες από µια ορισµέη τιµή. Για το σκοπό αυτό προσθέτουµε στο προηγούµεο πίακα µια καιούργια στήλη µε τις αθροιστικές τιµές τω αριθµώ εξετάσεω χοληστερίης σε επί τοις εκατό. O τρόπος υπολογισµού τω αθροιστικώ τιµώ εξετάσεω χοληστερίης % φαίεται στο επόµεο πίακα. Η τιµή 597 που χρησιµοποιείται στους υπολογισµούς είαι το άθροισµα όλω τω εξετάσεω χοληστερίης. Ας δούµε τα ακόλουθα παραδείγµατα. Α. Έστω, λοιπό, ότι µε βάση το επόµεο πίακα θέλουµε α υπολογίσουµε το ποσοστό τω εξετάσεω που συµπληρώεται µέχρι το µήα Αύγουστο του 006. Από το πίακα βρίσκουµε ότι το ποσοστό αυτό είαι 8%. Β. Έστω, ότι θέλουµε α βρούµε σε ποιο µήα συγκετρώεται το 0% τω εξετάσεω χοληστερίης. Από το πίακα βρίσκουµε ότι ο µήας αυτός είαι ο Ιούιος του 006. 5
Γ. Έστω, ότι θέλουµε α βρούµε πότε συγκετρώεται το 50% τω εξετάσεω χοληστερίης. Από το πίακα βρίσκουµε ότι αυτό γίεται µεταξύ Οκτωβρίου 006 και Νοεµβρίου 006. Μέσες τιµές αριθµού εξετάσεω χοληστερίης Αθροιστικές τιµές αριθµού εξετάσεω χοληστερίης Αθροιστικές τιµές αριθµού εξετάσεω χοληστερίης % Μήες Ια-06 48 59 59 x 00/ 597 4 Φεβ-06 63 08 08 x 00/597 7 Μαρ-06 0 443 443 x 00/597 9 Απρ-06 4 99 99 x 00/597 4 Μάιος-06 66 796 796 x 00/597 8 Ιου-06 7 3497 3497 x 00/597 Ιουλ-06 8 4044 4044 x 00/597 5 Αυγ-06 3 4440 4440 x 00/597 8 Σεπ-06 99 536 536 x 00/597 33 Οκτ-06 568 6940 6940 x 00/597 44 Νοε-06 599 9335 9335 x 00/597 59 εκ-06 53 0930 0930 x 00/597 69 Ια-07 60 737 737 x 00/507 80 Φεβ-07 56 480 480 x 00/597 93 Μαρ-07 563 597 597 x 00/597 00 6
Πίακες Καταοµής Συχοτήτω Συχότητα οοµάζεται ο αριθµός παρατηρήσεω της τιµής x µιας µεταβλητής Χ. Η συχότητα αυτή οοµάζεται απόλυτη συχότητα και συµβολίζεται. Οι συχότητες, καθώς και οι πίακες καταοµής συχοτήτω, µπορού α υπολογιστού τόσο για ποσοτικές όσο και για ποιοτικές µεταβλητές. Tο άθροισµα όλω τω συχοτήτω είαι ίσο µε το µέγεθος n του δείγµατος. Για παράδειγµα, στο παρακάτω πίακα ααφέροται τα αποτελέσµατα τω εκλογώ για τη αάδειξη εκπροσώπου µιας ειδικότητας ΙΕΚ. Η µεταβλητή που µελετάται είαι η Χ: «Ψήφοι µαθητώ» στη οποία οι συχότητες για τις τιµές x Γιώργος, x Νίκος, x 3 Καίτη, x 4 Μαρία είαι ατίστοιχα: v 8, v 5, v 3 7, v 4 6 µε v +v +v 3 +v 4 36. Οόµατα υποψηφίω x Γιώργος Νίκος Καίτη Μαρία Αριθµοί ψήφω (Συχότητα ) 8 5 7 6 Σχετική Συχότητα f 8/36 0, 5/36 0,4 7/36 0,9 6/36 0,7 Σχετική Συχότητα f % 0, x 00 0,4 x 00 4 0,9 x 00 9 0,7 x 00 7 Σύολο: 36 00 Α διαιρεθεί η συχότητα µε το µέγεθος του δείγµατος, προκύπτει η σχετική συχότητα f της τιµής x, δηλαδή: f,,,..., κ. n Για τη σχετική συχότητα ισχύου οι ιδιότητες: () () 0 f για,,..., κ αφού 0 n. κ + +... + κ f + f +... + f κ αφού f + f +... + f + +... + n n n n n Συήθως, oι σχετικές συχότητες συµβολίζοται ως f %, δηλαδή κ. f εκφράζοται επί τοις εκατό, οπότε f % 00 f. Ισχύει f % f % +... f % 00% + v Για παράδειγµα, οι σχετικές συχότητες για τις τιµές x Γιώργος, x Νίκος, x 3 Καίτη, x 4 Μαρία της µεταβλητής Χ: «Ψήφοι µαθητώ» είαι ατιστοίχως: 8 5 f 0,, f 0, 4, 7 6 f 3 0, 9 και f 4 0, 7. 36 36 36 36 Συεπώς: f % %, f % 4%, f % 9% και f % 7%. Οι ποσότητες 3 4 x,, f για έα δείγµα µπορού α συγκετρωθού σε έα συοπτικό πίακα, που οοµάζεται πίακας καταοµής συχοτήτω ή απλά πίακας συχοτήτω (βλ. προηγούµεο πίακα). Για µια µεταβλητή, το σύολο τω ζευγώ x, ) λέµε ότι αποτελεί τη ( καταοµή συχοτήτω και το σύολο τω ζευγώ ( x, f ), ή τω ζευγώ ( x, f %), τη καταοµή τω σχετικώ συχοτήτω. 7
Καταοµές συχοτήτω από κλάσεις Πολλές φορές για α κατασκευάσουµε τη καταοµή συχότητας διαιρούµε το διάστηµα που καλύπτου οι διαθέσιµες τιµές τω δεδοµέω σε µια σειρά από υποδιαστήµατα. Τα υποδιαστήµατα αυτά οοµάζοται τάξεις, κλάσεις ή κατηγορίες. Σε αυτή τη περίπτωση ως συχότητα ορίζεται ο αριθµός τω παρατηρήσεω που βρίσκοται σε µια δεδοµέη κλάση. Ατίστοιχα ως σχετική συχότητα ορίζεται το ποσοστό τω παρατηρήσεω που βρίσκοται σε µια δεδοµέη κλάση. Για παράδειγµα έστω ότι σε έα κατάστηµα υποδηµάτω ο πωλητής µετράει όλα τα ούµερα παπουτσιώ που έχει στη διάθεση του. Τα αποτελέσµατα του είαι τα ακόλουθα: 4 4 34 36 40 39 38 35 43 35 39 43 40 43 45 37 4 35 37 4 3 33 40 38 38 3 Oι κλάσεις µε τις ατίστοιχες συχότητες που προκύπτου από το προηγούµεο πίακα είαι: Κλάσεις Συχότητα Σχετική συχότητα Σχετική συχότητα % 3-33 3 3/6 0, 0, x 00 34-36 5 5/6 0,9 0,9 x 00 9 37-39 0 0/6 0,38 0,38 x 00 38 40-4 4 4/6 0,5 0,5 x 00 5 43-45 4 4/6 0,5 0,5 x 00 5 Σύολο 6,00 00 Τα βασικά σηµεία τα οποία θα πρέπει α προσέχουµε ότα κατασκευάζουµε καταοµές συχότητας είαι τα εξής:. Oι κλάσεις που επιλέγουµε θα πρέπει α είαι τέτοιες που α δίου τη σωστή εικόα της καταοµής τω δεδοµέω. Ο καθορισµός του αριθµού τω κλάσεω είαι ε γέει αυθαίρετος. Α ο αριθµός τω κλάσεω που θα χρησιµοποιηθού είαι µικρός είαι εδεχόµεο α αποκρυβού σηµατικά χαρακτηριστικά τω δεδοµέω. Από τη άλλη µεριά, α ο αριθµός τω κλάσεω είαι µεγάλος σε σχέση µε τα δεδοµέα θα έχουµε πολλές κλάσεις που θα είαι ή κεές ή µε µικρό αριθµό παρατηρήσεω οπότε και η καταοµή που θα εµφαίζου δε θα οδηγεί σε ασφαλή συµπεράσµατα. Συήθως χρησιµοποιούµε πέτε έως είκοσι κλάσεις. Όσο µεγαλύτερος είαι ο αριθµός τω παρατηρήσεω τόσο περισσότερες κλάσεις θα πρέπει α χρησιµοποιούται. Ισχύου τα εξής: Α. Παρατηρήσεις < 5 Αριθµός τάξεω: 5 ή 6 Β.»» 5 50»» 7 4 Γ.»» > 50»» 5 0 8
. Αφού δούµε το εύρος τω τιµώ του δείγµατος θα πρέπει α καθορίσουµε το εύρος κάθε κλάσης. Ως έα γεικό καόα για τη επιλογή του εύρους κάθε κλάσης διαιρούµε τη διαφορά της µικρότερης από τη µεγαλύτερη µέτρηση µε το επιθυµητό αριθµό τω κλάσεω που θέλουµε α χρησιµοποιήσουµε. Π.χ. στο προηγούµεο παράδειγµα είχαµε 5 τιµές (n5) µε µέγιστη τιµή (max) τη 45 και ελάχιστη (mn) τη 3. Επειδή έχουµε µικρό αριθµό τιµώ θα χρησιµοποιήσουµε 5 κλάσεις (k5). Κατά συέπεια το εύρος τω κλάσεω είαι: max mn k 45 3 3 5 3. Καθορισµός τω ορίω τω κλάσεω. Τα όρια αυτά θα πρέπει α καθορίζοται µε τρόπο ώστε οι µετρήσεις α καταέµοται σε µια µόο από τις δυατές κατηγορίες. Π.χ. δε επιλέγουµε ποτέ κλάσεις όπου τα όρια επικαλύπτοται: 3-33 33-36 36-40 40-43 45-46 Σε πολλές περιπτώσεις ότα υπάρχου µεταξύ τω παρατηρήσεω ακραίες τιµές π.χ. έα ούµερο παπουτσιώ 54 τότε για α µη ααγκαστούµε α φτιάξουµε κλάσεις υπερβολικά µεγάλου εύρους ή µικρού εύρους αλλά µε µηδεική συχότητα κατασκευάζουµε µία ή δύο κλάσεις αοικτού εύρους. Π.χ. 3-33 34-36 37-40 4-43 44-46 > 46 Οι αριθµοί 3, 34, 37, 4, 45 οοµάζοται ελάσσοα όρια και οι αριθµοί 33, 36, 40, 43, 46 µείζοα όρια τω κλάσεω. Το ηµιάθροισµα τω δύο ορίω κάθε κλάσης οοµάζεται κετρική τιµή της κλάσης. Π.χ. Κλάσεις Ελάσσοα όρια Μείζοα όρια Κετρικές τιµές Συχότητα 3-33 3 33 (3+33)/ 3 3 34-36 34 36 (34+36)/ 35 5 37-39 37 39 (37+39)/ 38 0 40-4 40 4 (40+4)/ 4 4 43-45 43 45 (43+45)/ 44 4 9