Ταλαντωτές Ενός Βαθμού Ελευθερίας

Ταλαντωτές Ενός Βαθμού Ελευθερίας Το δυναμικό σύστημα ενός ταλαντωτή ενός βαθμού ελευθερίας περιγράφεται από την εξίσωση ή mx f ( x) dx sin( t), d d d( x, x), m () x p ( f ), p f ( x) dp cos t ( f ) () f( x ) : «Ελκτική» συνάρτηση δύναμης - Ιδιο-ταλαντώσεις dx : Απώλειες ανάλογες της ταχύτητας cos t : Εξωτερική διέγερση πλάτους ε και κυκλικής συχνότητας ω. Χώρος φάσεων : Θέση - ορμή (ή ταχύτητα) Για d=σταθ. θα είναι div f x f p f d (3) *Το σύστημα () είναι διατηρητικό αν d= και με απώλειες αν d>. Περιοδικές Λύσεις Ταλαντώσεις Πλάτος A xmax xmin (ή A ( xmax xmin ) / Περίοδος T, : κυκλική συχνότητα ταλάντωσης, x( t) x( t T), t Φάσμα συχνοτήτων { k k, k,,...} - 5 5 5 x p - - - - t x - α) Αν-αρμονική ταλάντωση β) Φασική καμπύλη περιοδικής ταλάντωσης

Α) Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ sin g l. / x T ml V mgl, cos T V ml mgl cos z θ l Β σε κατάλληλες μονάδες, E cos Σημεία ισορροπίας : sinθ=,,4,... V '' ευσταθεια,3,5,... V '' σταθεια Παρατηρούμε ότι η διαφορική εξίσωση του συστήματος παραμένει αναλλοίωτη κάτω από την παράλληλη μετατόπιση k, kz και άρα το σύστημα μπορεί να μελετηθεί στο διάστημα ή.

Οι τρεις τύποι φασικών καμπύλων στη δυναμική του εκκρεμούς. Λικνίσεις (Librations) Περιστροφές (Rotations) Διαχωριστική καμπύλη (Separatrix)

Ενέργεια Διαχωριστικής Καμπύλης E cos S Πλάτος Λίκνισης όπου Ε η ενέργεια της τροχιάς. E arccos, E ES max min Εύρος των ταλαντώσεων arccos( E / ) max min Εύρος της λίκνισης (διαχωριστικής καμπύλης) max Esep max cos max sep 4 Από το ολοκλήρωμα της ενέργειας έχουμε οπότε d t t, ( t ) ( E cos ) Περίοδος ταλαντώσεων T 4 max d ( E cos ) mpnd.nb

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Ανάπτυγμα Δύναμης sin, V ( ) cos sin sin cos ( ) sin ( ) cos ( ) O( ) 6 3 4 και γύρω από το θ= (ευσταθές σημείο ισορροπίας) 6 3 sin... Προσέγγιση σε όρους ης τάξης (Γραμμικοποίηση), V ( ) ( t) cos( t) p sin( t), (), p () /, T / Προσέγγιση σε όρους 3 ης τάξης 6 4 3 4, V ( ).75.5.5-3 - - 3 -.5 -.5 -.75 - Το δυναμικό του πλήρους, της προσέγγισης 3 ης τάξης και του γραμμικού συστήματος

Προσεγγιστική Λύση με σειρές Taylor Αναπτύσσουμε τη λύση θ(t), με αρχικές συνθήκες θ()=θ και () p, σε σειρά γύρω από το t= μέχρι όρους 3 ης τάξης (3) ( t) ( t) 3 4 ( t t) p t t t O( t ) 6 Αντικαθιστούμε τη παραπάνω λύση στη Δ.Ε. της προσέγγισης 3 ης τάξης και κρατάμε μόνο τους όρους ης τάξης ως προς t 3 (3) ( t) p p ( t) t O( t ) 6 Εξίσωση όρων μηδενικής και πρώτης τάξης ως προς t 3 ( t ) 6 (3) p p Δηλαδή ( t ), ( t ) p p 6 3 (3) Αντικατάσταση στη σειρά της λύσης 3 3 4 ( t t) p t t p p t O( t ) 6 6 mpnd.nb Η λύση σε μορφή σειράς είναι έγκυρη μόνο για ένα μικρό χρονικό διάστημα Δt. Το διάστημα αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως ένα βήμα και ο τύπος της λύσης μπορεί να εφαρμοστεί ξανά για ένα επόμενο βήμα Δt. Έτσι έχουμε την αριθμητική επίλυση του συστήματος με «Σειρές Taylor»

Η αναλυτική λύση του εκκρεμούς deq=''[t]+^ Sin[[t]]; sol=dsolve[deq,,t] Solve :: ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found ; use Reduce for complete solution information. More Function t, JacobiAmplitude Function t, JacobiAmplitude C t C 4, C C t C 4, C, Παρατηρούμε ότι η λύση δίνεται με την βοήθεια της ειδικής συνάρτησης JacobiAmplitude(u,k ) με δύο ορίσματα το u και το k που για την συγκεκριμένη περίπτωση είναι τα u C t C Η παραπάνω συνάρτηση σχετίζεται με το ελλειπτικό ολοκλήρωμα ου είδους που ορίζεται ως u F(, k) dz k sin k: modulo του u (k=modu) φ: πλάτος της u (φ=am(u,k) : JacobiAmplitude[u,k ] z Eλλειπτικά ημίτονα και συνημίτονα μέσω του πλάτους φ : sn(u,k)=sin(φ), cn(u,k)=cos(φ)

Θεωρούμε λίκνιση με πλάτος θmax, δηλαδή με ενέργεια E cos. max Για αρχικές συνθήκες (), () ( cos ) (γωνιακή ταχύτητα που αντιστοιχεί max στην παραπάνω ενέργεια για πλάτος θmax) θα είναι (δες Βουγιατζής-Μελετλίδου σελ. 8) sin k sin am( t, k), max ( t) ArcSin( k sin ), k sin, Περίοδος Λικνίσεων, /, οπότε max T 4 4 F (, ) ( ) k K k K(k)=F(π/,k) : «πλήρες (complete) ελλειπτικό ολοκλήρωμα» πρώτου είδους (EllipticK[k^]) mpnd3.nb Βουγιατζής & Μελετλίδου (Παράγραφος 3.4)

ΔΙΑΚΡΙΤΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER (Discrete Fourier Transform DFT) h=h(t) {h(),h(δt), h(δt), h(3δt),...,h(nδt)}={h(kδt),k=,,n} h(kδt)=hk Δt T=NΔt DFT : h k H k (=H(f k )) H h e h H e N N jkn / N jkn / N n k n k k N k Μετασχηματισμός Fourier σε διακριτό σύνολο συχνοτήτων k fk, k,,..., N Nt Για πραγματικές συναρτήσεις Ηk=HN-k. Δηλαδή ο DFT είναι συμμετρικός γύρω από τη συχνότητα f N / t Η fn/ αποτελεί τη μέγιστη δυνατή συχνότητα στην οποία προσδιορίζεται ο DFT, ονομάζεται συχνότητα Nyquist και σχετίζεται με τη συχνότητα δειγματοληψίας Δt. Η μικρότερη (χαμηλότερη) συχνότητα κύμανσης που υπολογίζεται είναι η f Nt και εξαρτάται από το «μήκος» του δείγματος (συνολικός χρόνος Τ)

Περιοδόγραμμα - Προσέγγιση Φάσματος Ισχύος P(f k )= H k P(f) Φασματικές γραμμές f f f N/ f Υπολογισμός DFT με Mathematica : Fourier[Time Series Data] OutPut : list {Re[Hk], Im[Hk]}, k=,,ndata- PSD amplitude P=Sqrt[Re[Hk]^+ Im[Hk]^], mp_dft.nb (βλ Enns&McGuire 8.4, Βουγιατζής&Μελετλίδου, παράγραφος.3)

Β. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΑΠΩΛΕΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΒΕ. d> σταθερό x f ( x) dx η Σημεία Ισορροπίας p, f ( x) x y p f ( x) d y (4) Γραμμικοποιημένο σύστημα και χαρακτηριστικό πολυώνυμο 4 x x, d k d d k i y k d y (5) α) d k, i R,, ευσταθής κόμβος β) d k, i a ib, a d /, ευσταθής εστία Φθίνουσες ταλαντώσεις Phase space (d=) Phase space (<d<k)

. d μεταβλητό (απώλειες vs κέρδη ενέργειας) d g( x, x) Η g είναι τέτοια ώστε σε ένα τόπο D να αλλάζει πρόσημο η απόκλιση του διανυσματικού πεδίου στον τόπο D. Να υπάρχει μια ασταθής εστία ή κόμβος στον τόπο D. Οι παραπάνω προϋποθέσεις είναι αναγκαίες για την ύπαρξη οριακού κύκλου (κριτήριο του Bendixson) και κατά συνέπεια για την ύπαρξη «ασυμπτωτικά μόνιμων ταλαντώσεων» (relaxation oscillations). Παράδειγμα x x d x d x x, (6) 5 5 5 3 - - -3-4 -5.5.5-5 -4-3 - - -.5 (Βουγιατζής - Μελετλίδου, παράγραφος 3.5, 5.) - Άσκηση p. α) Στην διαφορική εξίσωση του εκκρεμούς εισάγεται έναν όρο απωλειών ανάλογο της γωνιακής ταχύτητας (όρο d ). Μελετήστε την ευστάθεια των σημείων ισορροπίας και σχεδιάστε την τροχιά μιας λίκνισης κάτω από τον όρο των απωλειών β) σχεδιάστε την εξέλιξη μιας τροχιάς η οποία αρχικά βρίσκεται σε περιστροφή γ) θέστε ένα συντελεστή απόσβεσης που να εξαρτάται από τα, έτσι ώστε οι τροχιές να καταλήγουν σε μια μόνιμη ταλάντωση (οριακός κύκλος)

Γ. ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΒΕ (Διατηρητικά συστήματα) x f ( x) cost η x y y f ( x) cost (7) Οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις του συστήματος εμπλέκουν δύο θεμελιώδεις συχνότητες α) την ιδιοσυχνότητα ω από την συνάρτηση δύναμης f(x) b) τη συχνότητα ω του εξωτερικού διεγέρτη Το Γραμμικό Σύστημα Η παρουσία των παραπάνω συχνοτήτων είναι διακριτή στην περίπτωση του γραμμικού συστήματος δηλαδή του εξαναγκασμένου αρμονικού ταλαντωτή x x cost (8) με γενική λύση ( ) x( t) xo ( t; ) x ( t, ) (9) όπου x Acos t Bsin t, T / o x A'cos t B 'sin t, T / όπου Α,Β,Α,Β σταθερές που εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες. T p Αν T q περίοδο T pt p ή ισοδύναμα T qt q (κλειστή φασική καμπύλη) Q, όπου p,q πρώτοι μεταξύ τους, η ταλάντωση x(t) είναι περιοδική με Ο λόγος p/q ονομάζεται συντονισμός Αν a R \ Q, (άρρητος λόγος συχνοτήτων), η ταλάντωση x(t) είναι ημι-περιοδική (περατωμένη αλλά όχι κλειστή φασική καμπύλη) Παράδειγμα : συντονισμός 5/4.5.5 -.5 3 4 5 -.5.5 -.5 - -

Η Τομή Poincare Το σύστημα του εξαναγκασμένου ταλαντωτή δεν είναι αυτόνομο και οι φασικές καμπύλες (x,y) τέμνονται στο επίπεδο των φάσεων. Αντικαθιστούμε το επίπεδο των φάσεων με την τομή Poincare. Έστω το Τ-περιοδικό δυναμικό σύστημα x f ( x, y, t) y f ( x, y, t), f ( t) f ( t T), i, i i () Το διανυσματικό πεδίο μεταβάλλεται περιοδικά με το χρόνο άρα οι αρχικές συνθήκες x x(), y y() η x x( kt ), y y( kt ), k,,... αντιστοιχούν στην ίδια τροχιά. Αν ( x( t), y( t )) η θέση μιας τροχιάς τη στιγμή t και ( x( t), y( t )) η θέση μιας τροχιάς τη στιγμή t+kt τότε οι δύο παραπάνω θέσεις δεν συμπίπτουν. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι μια τροχιά του συστήματος () αντιπροσωπεύεται μοναδικά από την τομή Poincare που ορίζεται ως το σύνολο των σημείων P {( x( t), y( t)) t kt, k,,,...} () t= t=t t=t Στην Τομή Poincare Μια περιοδική τροχιά αντιπροσωπεύεται με πεπερασμένο αριθμό σημείων. Μια ημι-περιοδική τροχιά γεμίζει πυκνά μια καμπύλη (αναλλοίωτη καμπύλη) Σημείωση. Για το σύστημα () η τομή Poincare θα ορίζεται από το σύνολο σημείων P {( x( t), y x( t)) t kt, k,,,...} ()

Παράδειγμα : Διαταραγμένος Αρμονικός ταλαντωτής (γραμμικό σύστημα) f sin( t ), solution for (), () p, and : ( t ) ( t ) [ ] A cos t ( t ) c cos t c o p sin t ci ci(, p ), A A( f,, ) Solution with two periodic terms : T, T Subharmonic oscillations: / n, n,3,4,... ( T T nt) Ultraharmonic oscillations : n, n,3,4,... T T nt m Ultrasubharmonic oscillations :, m n (integers) ( T nt mt) n Quasiperiodic solutions: The general case : =irrational, T =inf mp_harmonicsol.nb

Μη Γραμμικός Διαταραγμένος Ταλαντωτής Εν γένει δεν υπάρχουν αναλυτικές λύσεις ή ολοκληρώματα. Οι φασικές τροχιές προκύπτουν ως παραμετρικές καμπύλες μέσω της αριθμητικής λύσης του συστήματος. Οι φασικές τροχιές, εν γένει, τέμνονται στο φασικό επίπεδο ( xxμε, ) τον εαυτό τους ή με άλλες φασικές τροχιές. Έτσι για την απεικόνιση του χώρου των φάσεων χρησιμοποιούμε την τομή Poincare. Στο γραμμικό σύστημα η περιοδικότητα ή η ημι-περιοδικότητα των τροχιών δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες αλλά ισχύει για όλες τις τροχιές του συστήματος. Αντίθετα σε ένα μη γραμμικό σύστημα οι συχνότητα ω, και άρα και ο λόγος ω /ω, εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες. Οι «περισσότερες» τροχιές είναι ημιπεριοδικές τροχιές που απεικονίζονται στην τομή Poincare με άπειρα σημεία που, καθώς t, γεμίζουν πυκνά μια καμπύλη (αναλλοίωτη καμπύλη της τροχιάς). Εμφάνιση ευσταθών και ασταθών περιοδικών τροχιών στους συντονισμούς p/q, που απεικονίζονται στην τομή Poincare με διακριτό αριθμό q σημείων ( q- περιόδου ή με T=πq/ω). Κάθε σημείο της τομής Poincare, που ανήκει σε μια ευσταθή περιοδική τροχιά, περιβάλλεται από αναλλοίωτες καμπύλες που ονομάζονται νησίδες. *Κάθε σημείο της τομής Poincare, που ανήκει σε μια ασταθή περιοδική τροχιά, συνοδεύεται από μια ευσταθή και μια ασταθή πολλαπλότητα οι οποίες τέμνονται για ε> και δημιουργούν ένα ομοκλινικό πλέγμα. Στο πλέγμα αυτό οι τροχιές εξελίσσονται χαοτικά (Ομοκλινικό Χάος) Μια χαοτική τροχιά γεμίζει πυκνά ένα δισδιάστατο υποσύνολο της τομής Poincare στην περιοχή γύρω από τις ευσταθείς και ασταθείς πολλαπλότητες των ασταθών περιοδικών τροχιών.

dot Γ. Βουγιατζής, Δυναμικά συστήματα, Αστροδυναμική και Εφαρμογές, ΠΜΣ-ΥΦ The perturbed pendulum sin f cos( t) T 8-6 4 8 - -3 - - 3.5.5.5 3 max The period of the unperturbed system is given analytically by 4 ma x T K( k), k sin where K(k) is the complete elliptic integral of the st kind. Computations Choose an initial condition and find the unperturbed frequency ω Choose an amplitude f and a frequency ω for the perturbation. For a resonant case use / m/ n Integrate the system numerically. Examples : P_PendulumSol.nb, P_poincare.nb : construction of Poincare section

Ο δείκτης χαοτικότητας Fast Lyapunov Indicator (FLI) Θεωρούμε το μη γραμμικό και το γραμμικοποιημένο σύστημα x x x f ( x, t), x x x 3 4 f Ορίζουμε το δείκτη FLI ως την δυναμική ποσότητα x 4 3 x (3) FLI( t) log( x x ) (4) 3 4 Για μια περιοδική ή ημιπεριοδική τροχιά ο FLI αυξάνει γραμμικά με το χρόνο. Για τις χαοτικές τροχιές έχουμε μια εκθετική αύξηση του FLI FLI 8 6 4 time 4 6 8 mp_flindicator.nb Άσκηση p : Στο πρόγραμμα mp_harmonicsol.nb εισάγετε, αντί του αρμονικού ταλαντωτή, το σύστημα του εκκρεμούς (ω=) και μελετήστε το κάτω από μια περιοδική διαταραχή με συχνότητα ω και πλάτος f. Με την βοήθεια της απεικόνισης Poincare, προσδιορίστε αρχικές συνθήκες για μια περιοδική, μια ημιπεριοδική και μια χαοτική ταλάντωση. Σχεδιάστε το θ(t) καθώς και το φάσμα ισχύος και τον FLI για τις παραπάνω τρεις τροχιές. (Βλ. Βουγιατζής Μελετλίδου, παράγραφοι 7. έως 7.4)

Δ) ΤΟ ΔΙΑΤΑΡΑΓΜΕΝΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ ΩΣ ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ. Η συνάρτηση Hamilton του αδιατάρακτού εκκρεμούς Από την κινητική ενέργεια και το δυναμικό του εκκρεμούς έχουμε την συνάρτηση Lagrange Ορίζοντας την γενικευμένη ορμή cos (5) L ml mgl L p ml η συνάρτηση Hamilton H p L παίρνει τη κανονικοποιημένη μορφή όπου θέσαμε 3 H ml H, k m l g H p k cos (6), (7). Οι κανονικές εξισώσεις της κίνησης θα είναι H p p H p p k sin (8)

. Η Διαταραγμένη συνάρτηση Hamilton Μια εξωτερική δύναμη διαταραχής στο εκκρεμές θα εκφράζεται από έναν επιπρόσθετο όρο στις εξισώσεις κίνησης (8). Για να διατηρηθεί όμως ο χαμιλτονιανός χαρακτήρας του συστήματος θα θεωρήσουμε ότι το διαταραγμένο σύστημα θα περιγράφεται από την διαταραγμένη Χαμιλτονιανή συνάρτηση H H ( p, ) H ( p,, t) (9) όπου Η εκφράζει το αδιατάρακτο σύστημα (7) και εη ο όρος της διαταραχής. Εν γένει θα θεωρούμε sup H =O(), και η παράμετρος ε θα εκφράζει το μέγεθος της διαταραχής. Οι εξισώσεις κίνησης του διαταραγμένου συστήματος θα είναι H H p p p H H p p k sin Το παραπάνω σύστημα είναι εκ κατασκευής διατηρητικό. Παρατηρούμε επίσης ότι θα πρέπει H / p ή H /. Θα θεωρούμε επίσης ότι η Η είναι περιοδική συνάρτηση ως προς το θ με περίοδο π ή το t με περίοδο π/ω, ωq, δηλαδή H ( k, p, t m / ) H (, p, t), k, mz Σύμφωνα με τα παραπάνω το σύστημα () αποτελεί ένα μη αυτόνομο διατηρητικό σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας και η δυναμική του μπορεί να μελετηθεί με την τομή Poincare P={(θ(t),p(t)), t=kπ/ω, kz} () 3. Πλάτος και συχνότητα διαταραχής Έστω διαταραχή πλάτους ε και κυκλικής συχνότητας ω (ως προς το χρόνο): cos cos( ), \{} () H p k t Z Στο σχήμα 7 παρουσιάζεται η δυναμική του συστήματος μέσω της τομής Poincare για ένα μικρό και ένα μεγάλο πλάτος διαταραχής, ε=. και ε=. αντίστοιχα. Επίσης θεωρήσαμε k= και ω=3. Παρατηρούμε ότι για μικρή διαταραχή η τοπολογία της τομής Poincare είναι αυτή του χώρου φάσεων του αδιατάρακτου αυτόνομου συστήματος. Εν γένει οι λικνίσεις και οι περιστροφές είναι ημι-περιοδικές κινήσεις ενώ χαοτική κίνηση εμφανίζεται για αρχικές συνθήκες στην γειτονιά του ασταθούς σημείου ισορροπίας του εκκρεμούς. Για μεγαλύτερη διαταραχή η τοπολογία της τομής Poincare γίνεται πιο περίπλοκη και αρχίζει και διαφέρει αισθητά από την αδιατάρακτη περίπτωση. Η χαοτική κίνηση καταλαμβάνει ένα σημαντικό μέρος της τομής. Όμως και μέσα στη χαοτική περιοχή μπορούμε να διακρίνουμε νησίδες με κανονική κίνηση. Η επίδραση της διαταραχής στη κίνηση του εκκρεμούς εξαρτάται όχι μόνο από το πλάτος της αλλά και από την συχνότητα της διαταραχής. Καθώς αυξάνεται το ω η διαταραχή επιφέρει όλο και

μικρότερη μεταβολή στη δυναμική ακόμα και αν το πλάτος της είναι σημαντικό. Στο σχήμα 8 παρατηρούμε ότι αν και το πλάτος της διαταραχής είναι αρκετά σημαντικό (όπως και στην περίπτωση του σχήματος 7β), η σχετικά υψηλή συχνότητα ω= της διαταραχής δεν επιφέρει ουσιώδη μεταβολή στη δυναμική του εκκρεμούς. Σχήμα. Τομές Poincare για το διαταραγμένο εκκρεμές () με k=, συχνότητα διαταραχής ω=3 και πλάτος διαταραχής (α) ε=. (μικρό) και (β) ε=. (μεγάλο). Σχήμα Τομή Poincare για το διαταραγμένο εκκρεμές () με k=, ε=. και μεγάλη σχετικά συχνότητα διαταραχής ω=. Η δυναμική δεν διαφέρει σημαντικά από αυτή του αδιατάρακτου συστήματος. 4. Το Θεώρημα Averaging Έστω το διαταραγμένο σύστημα όπου H ( p,, t) H ( p, ) H ( p,, t), () H mod, H mod, H t mod( / ), (3) Η σχέσεις (3) σημαίνουν ότι οι όροι του συστήματος που περιέχουν την γωνία θ είναι περιόδου π ως προς αυτή ενώ η χρονικά εξαρτώμενη διαταραχή παρουσιάζει περίοδο π/ω ως προς το χρόνο. Αν ω>> τότε έχουμε στο σύστημα όρους που εξαρτώνται μόνο από το θ και ταλαντώνονται αργά

(slow terms), με ενδεικτική περίοδο TS π, και όροι που ταλαντώνονται γρήγορα (περίοδος Tf π/ω ) και εξαρτώνται από το χρόνο (fast terms), δηλαδή H H S( p, ) H f ( p,, t) (4) Το θεώρημα averaging αναφέρεται στην αντικατάσταση των γρήγορων όρων Ηf από την μέση τιμή τους σε μια περίοδό τους Tf. Έστω το averaged σύστημα που αντιστοιχεί στο αρχικό σύστημα () H( p, ) H ( p, ) H ( p,, t) H ( p, ) H ( p, ) (5) f t(, T f ) όπου και H ( p, ) H ( p, ) H ( p, ) (6) H ( p, ) H ( p,, t) H ( p,, t) (7) Tf f t(, Tf ) f dt Tf S Στην ολοκλήρωση (7) τα p, θεωρούνται σταθερά. Παρατηρούμε ότι το averaged σύστημα (5) είναι αυτόνομο. Έστω ότι για το σύστημα () και για δεδομένες αρχικές συνθήκες προκύπτει η λύση p p() t ενώ για το averaged σύστημα προκύπτει η λύση p p() t. Τότε για ω>> και ε<< θα ισχύει ( ) ( ) a b p t p t για t, a, b, (8) δηλαδή, η λύση που προκύπτει για το averaged σύστημα είναι αρκετά κοντά στην λύση του αρχικού συστήματος για αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα. Παράδειγμα. Για το σύστημα () με ω>>, το averaged σύστημα που προκύπτει είναι το αδιατάρακτο σύστημα H p k cos cos( t) (, / ) p k cos (9) Πράγματι, όπως δείξαμε στην προηγούμενη παράγραφο όταν το ω είναι αρκετά μεγάλο το διαταραγμένο σύστημα παρουσιάζει προσεγγιστικά τη δυναμική του αδιατάρακτου συστήματος. Πάντως η χαοτική συμπεριφορά δεν μπορεί να εμφανιστεί στο averaged σύστημα (9) αφού αυτό είναι αυτόνομο ενός βαθμού ελευθερίας. Γενικότερα σε ένα σύστημα Ν βαθμών ελευθερίας αν υπάρχουν k<ν μεταβλητές που ταλαντώνονται γρήγορα τότε μπορούμε με την μέθοδο averaging να τις εξαλείψουμε και να πάρουμε ένα προσεγγιστικό σύστημα (averaged) Ν-k βαθμών ελευθερίας. 5 Το διαταραγμένο εκκρεμές ως διακριτό σύστημα Έστω το averaged σύστημα του απλού εκκρεμούς (9) με εξισώσεις p, p k sin (3)

Έστω ότι θέλουμε να επιλύσουμε αριθμητικά τις (3) με τη μέθοδο του Euler, χρησιμοποιώντας σειρές με όρους μέχρι πρώτης τάξης p() t n n pnt n n pnt t p p k sin ( t) pn pn k sinnt pn pn k sinnt t όπου ο δείκτης n δηλώνει ότι η τιμή της μεταβλητής αναφέρεται στο χρόνο t=nδt. δηλαδή Αντικαθιστώντας * στην η από τις παραπάνω σχέσεις το pn με το pn+ και θέτοντας κλίμακα χρόνου τέτοια ώστε Δt=, προκύπτει το διακριτό σύστημα p n n n που ονομάζεται τυπική απεικόνιση. pn pn k sinn mod Από το averaged σύστημα που χρησιμοποιήσαμε παραπάνω λείπουν οι γρήγοροι όροι. Η μέθοδος Euler που χρησιμοποιήσαμε δεν ολοκληρώνει ακριβώς το σύστημα αλλά εισάγει θόρυβο (γρήγορους όρους) στη λύση. Έτσι με την απεικόνιση (3) ξανα-εισάγονται γρήγοροι όροι, οι οποίοι είχαν εξαλειφθεί με το averaging. Η απεικόνιση (3), λοιπόν, μπορεί να περιγράψει ποιοτικά τη δυναμική ενός διαταραγμένου εκκρεμούς **. (3) Άσκηση : Με βάση τη θεωρία της παραγράφου. (τύπος.3) μελετήστε την ευστάθεια των σταθερών σημείων της τυπικής απεικόνισης, όπως δίνεται από τη σχέση (47). Σχεδιάστε τα φασικά διαγράμματα της απεικόνισης, ένα για k< και ένα για k>. * Αυτό γίνεται για να διατηρηθεί ο «διατηρητικός» χαρακτήρας του συστήματος ** Η τυπική απεικόνιση μπορεί να προκύψει από το διαταραγμένο εκκρεμές με διαφορετικούς τρόπους.