ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΒΑΘΙΑΣ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ

69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΒΑΘΙΑΣ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΙΑΧΥΣΗΣ-ΜΕΤΑ ΟΣΗΣ ΒΑΘΙΑΣ ΚΑΘΙΖΗΣΗΣ.. Εισαγωγή Η διαδικασία της άτλησης πτρλαίου ή ρού σ µγάλης κλίµακας προβλήµατα οδηγί σ µγάλη καθίζηση στη πιφάια της γης στη γική πρίπτωση. Η ποσότητα της καθίζησης µπορί α ίαι αρκτά µγάλη ώστ α πιφέρι σηµατικές και αρκτές φορές καταστρπτικές συέπις στις κατασκυές στη πιφάια της γης. Στο υθύ πρόβληµα διάχυσης-µτάδοσης καθίζησης χρησιµοποιώτας ως δδοµέα αρχικές συθήκς τη καθίζηση στη βάση του πτάσµατος καθίζησης υπολογίζουµ τη ποσότητα και τη µορφή του µηχαισµού καθίζησης στη πιφάια της γης. Η δυσκολία στο πρόβληµα αυτό ίαι ότι ίαι σχδό αδύατο α γωρίζουµ µ ακρίβια τη καθίζηση στη βάση του πτάσµατος. Ατίθτα, το «γγοός» του φαιοµέου αυτού, αυτό που µπορούµ α παρατηρήσουµ και α µτρήσουµ ίαι η καθίζηση στη πιφάια της γης. Η πίλυση του προβλήµατος χρησιµοποιώτας ως αρχικές συθήκς τη πιφαιακή καθίζηση µ σκοπό το υπολογισµό της καθίζησης βάσης αάγται στη πίλυση του ατιστρόφου, στο βάθος (χρόο, προβλήµατος διάχυσης-µτάδοσης βαθιάς καθίζησης (Εικ. 3-. z b (,b υθύ πρόβληµα ατίστροφο πρόβληµα 0 (,0 Εικ. 3- : Ευθύ και Ατίστροφο Πρόβληµα βαθιάς καθίζησης Αγγλ. Ivere SDC problem (ISDC

70 Τα ατίστροφα προβλήµατα, γικά, ίαι µη καλώς ορισµέα, που σηµαίι ότι η ύπαρη, η µοαδικότητα και η υστάθια της λύσης δ µπορού α ασφαλιστού. Αρκτές µέθοδοι καοικοποίησης έχου δηµιουργηθί για τα προβλήµατα αυτού του ίδους. Σ αυτή τη ργασία, σύµφωα µ τη δυϊκή µορφή του προβλήµατος (διάχυση-µτάδοση παρουσιάζται η φαρµογή δύο µθόδω καοικοποίησης που αφορά το ατίστοιχο υθύ πίπδο πρόβληµα βαθιάς καθίζησης: Η µέθοδος της οιοί-ατιστροφής που προτίται από το J.L.Lio για ατίστροφα παραβολικά προβλήµατα [] και η µέθοδος zz... Τοποθέτηση του ατιστρόφου προβλήµατος Σύµφωα µ τη παράγραφο.3 του Κφαλαίου το υθύ πρόβληµα διάχυσης- µτάδοσης καθίζησης πριγράφται από τις παρακάτω σχέσις, µ κατάλληλη προσαρµογή τω αάρτητω και αρτηµέω µταβλητώ (ω->, ->z, ->, ĉ- >c: z c ( z z (3.α για 0 ; 0 < z b (3.β και (,0 (α.σ. (3.γ * w 0 (,z 0 (σ.σ. (3.δ (0,z 0 (σ.σ. (3. από το οποίο υπολογίζται η (,b και συγκκριµέα το αποτέλσµα της αριθµητικής πίλυσης του παραπάω αλγορίθµου (,b. ηλαδή, δίται η καταοµή της καθίζησης στη βάση του πτάσµατος καθίζησης και υπολογίζται η πιφαιακή. Ατίθτα, το φυσικό πρόβληµα, όπως έχι διατυπωθί ωρίτρα, ίαι πως θα υπολογιστί η καθίζηση στη βάση του πτάσµατος, έχοτας ως δδοµέη τη πιφαιακή καθίζηση. Σύµφωα µ τη µέθοδο της οιοί-ατιστροφής [], το ισοδύαµο µαθηµατικό πρόβληµα που προκύπτι από το φυσικό ίαι: z c ( z z (3.α για Αγγλ. The Metho of Qai-Reveribility

7 0 ; 0 < z b (3.β και (,b (,b (α.σ. (3.γ (,z 0 (σ.σ. (3.δ (0,z 0 (σ.σ. (3. από όπου προκύπτι η w * 0 όπως τη οοµάσαµ αρχικά στη διατύπωση που ααφέρται στο υθύ πρόβληµα ή (,0 µ το παρό συµβολισµό στο µαθηµατικό προσοµοίωµα. Το παραπάω πρόβληµα αρχικώ και συοριακώ τιµώ ίαι µη καλώς ορισµέο: η ύπαρη λύσης δ ασφαλίζται ώ ακόµα και α υπάρχι λύση, ίαι ασταθής. Αποδικύται ότι η προσθήκη ός παραβολικού τλστή ης τάως στη διαφορική ίσωση του παραπάω προβλήµατος τοποθτί το πρόβληµα ως καλώς ορισµέο [], υπό προϋποθέσις. Η προσθήκη του τλστή πρέπι α γίι όµως µ τέτοιο τρόπο ώστ α µη αλλάζι τη µορφή της ίσωσης και το φυσικό της όηµα ώ λόγω της τάης του τλστή χριάζοται ές συθήκς συµβατές µ τις προηγούµς καθώς και µ τη φυσική σηµασία του προβλήµατος. Μ τη κατάλληλη προσθήκη του τλστή, τη προσθήκη συοριακώ συθηκώ και µτασχηµατισµό της αάρτητης µταβλητής z, το ατίστροφο πρόβληµα αρχικώ και συοριακώ τιµώ έχι τη µορφή: z για c ( b z b z (3.3α 0 ; 0 < z b (3.3β και (,0 (, b (α.σ. (3.3γ (,z 0 (σ.σ. (3.3δ ( (0,z 0 (σ.σ. (3.3 ( (,z 0 (σ.σ. (3.3στ Όπως προκύπτι από τη σύγκριση τω ισώσω (3.3α και (3.α, η διαφορά τους αάγται στη προσθήκη του διαφορικού τλστή ης τάως ως προς πολλαπλασιαζόµου µ έα πολύ µικρό θτικό αριθµό ο οποίος οοµάζται παράµτρος καοικοποίησης και τη αλλαγή τω προσήµω τω όρω ης και ης

7 τάως ως προς. Η αλλαγή προσήµου οφίλται στο µτασχηµατισµό της αάρτητης µταβλητής z b-z, έτσι ώστ η µταβλητή αυτή κατά τη αριθµητική πίλυση α παίρι τιµές b 0 και όχι ατίθτα όπως υποδηλώι το πρόβληµα αρχικώ και συοριακώ τιµώ (3.. Όπως έχουµ ήδη ααφρθί, η καλή τοποθέτηση του ατιστρόφου προβλήµατος πραγµατοποιίται µ τη χρήση του τλστή ης τάως. Η παραµέτρος καοικοποίησης, απαιτίται α ίαι µικρή έτσι ώστ για 0 η ίσωση α τίι στη αρχική ίσωση. Οπότ η παράµτρος καοικοποίησης έχι έα µικρό ύρος τιµώ αφού για µγάλς τιµές αλλοιώοται τα χαρακτηριστικά του προβλήµατος ώ για πολύ µικρές τιµές µφαίζι τα χαρακτηριστικά του µη καλώς ορισµέου προβλήµατος (3. αφού τίι σ αυτό. Σηµατική διαφορά όµως αποτλί και η προσθήκη της συοριακής συθήκης (3.στ. Η συθήκη αυτή ίαι συµβατή τόσο µ το µη µτασχηµατισµέο υθύ πρόβληµα όσο και µ το πρόβληµα αρχικώ και συοριακώ τιµώ (3. αφού 0. Η συοριακή συθήκη για το τλστή ης τάως πιβάλλται λόγω της Σ τάης του τλστή που χρησιµοποιίται στη ίσωση (3.3α. Έτσι τίθται το ατίστροφο πρόβληµα καλά τοποθτηµέο κατά Haamar χωρίς αιρτική αλλοίωση τω χαρακτηριστικώ της ίσωσης []..3. Αριθµητική πίλυση του ατιστρόφου προβλήµατος µ τη µέθοδο καοικοποίησης Το παραπάω ααφρόµο πρόβληµα αρχικώ και συοριακώ τιµώ πιλύθηκ µ τη µέθοδο τω ππρασµέω διαφορώ µ τα δδοµέα του οκιµίου. Ο αλγόριθµος πίλυσης που χρησιµοποιήθηκ (µη ππλγµέος µφαίζται στη παρακάτω σχέση: z ( b z z c z ( b z ( ( ( 6 (3. Επιλκτικά σ αυτή τη ργασία παρουσιάζοται αποτλέσµατα πίλυσης του ατιστρόφου προβλήµατος για το οκίµιο. Η αριθµητική πίλυση του παραπάω προβλήµατος (Παράρτηµα µφαίζται στις Εικός 3-α 3.γ, όπου µφαίζοται τα αποτλέσµατα του ατιστρόφου προβλήµατος (διακκοµµέη γραµµή και τα αποτλέσµατα στο υθύ (πλήρης γραµµή. Σηµιώται τα αποτλέσµατα µφαίζοται στη µορφή / B * * f ( / B, z / H όπου B (H/B. Τα αποτλέσµατα της αριθµητικής πίλυσης του προβλήµατος αφορού τιµές της παραµέτρου καοικοποίησης 0.005< < 0.05. Για τιµές της παραµέτρου κτός του διαστήµατος τα αποτλέσµατα διαφέρου σηµατικά από το υθύ πρόβληµα. Παρατηρούµ ότι για µικρές τιµές της παραµέτρου καοικοποίησης η κτρική καθίζηση (0 πλησιάζι στη λύση στο υθύ πρόβληµα. Επίσης, αάρτητα από τις τιµές της παραµέτρου, από τη αρχή της λύσης του ατιστρόφου προβλήµατος

73 παρατηρίται απόκλιση της καµπυλότητας της λύσης κοτά στο διό σύορο µταύ τω αποτλσµάτω στο υθύ και το ατίστροφο πρόβληµα. Η παρατήρηση αυτή θα ααλυθί αργότρα σ αυτή τη ργασία. Mέθοδος, 5*0^-3 0.8 0.5 0. z/h 0.07 0.0 0.00-0.0 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 /B Εικ. 3-(α : Σύγκριση αποτλσµάτω για το Ευθύ και το Ατίστροφο Πρόβληµα βαθιάς καθίζησης Μέθοδος,.*0^- 0.8 0.5 0. z/h 0.07 0.0 0.00-0.0 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 /B Εικ. 3-(β : Σύγκριση αποτλσµάτω για το Ευθύ και το Ατίστροφο Πρόβληµα βαθιάς καθίζησης Όπως ααφέρται σ προηγούµς ργασίς, [] η χρήση του κλιστού τύπου αλγορίθµου στη µέθοδο καοικοποίησης, δ µπορί α µας δώσι αιόπιστα

7 αποτλέσµατα σ ορισµές πριπτώσις: Για µγάλς τιµές της «χροικής» µταβλητής z, τα αποτλέσµατα της αριθµητικής πίλύσης του ατιστρόφου προβλήµατος βαθιάς καθίζησης (ISDC διαφέρου σηµατικά από τα αποτλέσµατα στο υθύ πρόβληµα. Α b ίαι το βάθος για το οποίο έχι πιλυθί το υθύ πρόβληµα, τότ η αρχική συθήκη για το ατίστροφο πρόβληµα δ µπορί α τοποθτηθί για τιµές του βάθους µγαλύτρς από z 0.5b. Οπότ πιλύται αριθµητικά το υθύ πρόβληµα για z 0.5b και η λύση του χρησιµοποιίται ως αρχικές συθήκς για το ατίστροφο πρόβληµα. Mέθοδος,.5*0^- 0.8 0.5 0. z/h 0.07 0.0 0.00-0.0 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 /B Εικ. 3-(γ : Σύγκριση αποτλσµάτω για το Ευθύ και το Ατίστροφο Πρόβληµα βαθιάς καθίζησης Στο σηµίο αυτό θα πρέπι α ααφρθούµ στη µέθοδο ππρασµέω διαφορώ που χρησιµοποιήθηκ. Ατίθτα µ τη πίλυση στο υθύ πρόβληµα το οποίο λύθηκ µ χρήση µθόδου ππρασµέω διαφορώ έµµσης διατύπωσης, το ατίστροφο πιλύται µ χρήση άµσης µθόδου, αφού στη πρίπτωση τη οποία µλτάµ και οι δύο έχου πρίπου ίδια αποτλέσµατα, ώ ίαι το ίδιο ασταθής... Αριθµητική πίλυση του ατιστρόφου προβλήµατος µ τη µέθοδο καοικοποίησης zz Η πριορισµέη χροικά λύση του ατιστρόφου προβλήµατος µ τη µέθοδο, προκύπτι από το ισχυρό διαχυτικό χαρακτήρα του τλστή ης τάως. Η φύση του προβλήµατος (διάχυση-µτάδοση αλλά και η πριορισµέη χροικά λύση µ τη προηγούµη µέθοδο πιβάλλι τη πίλυση του ατιστρόφου προβλήµατος µ τη χρήση ός τλστή µ πρισσότρο µταδοτικό χαρακτήρα. Στη ργασία αυτή για τη πίλυση του ατιστρόφου προβλήµατος βαθιάς καθίζησης χρησιµοποιήθηκ ο τλστής zz, µ χρήση κατάλληλω αρχικώ και συοριακώ συθηκώ τόσο ως προς το φυσικό πρόβληµα αλλά και ως προς το µαθηµατικό προσοµοίωµα:

75 z για c ( b z b z z (3.α 0 ; 0 < z b (3.β και (,0 (,b (α.σ (3.γ ( (0,z 0 (σ.σ. (3.δ (,z 0 (σ.σ. (3. ( (,0 (,b (α.σ (3.στ z z Η διαφορά στις αρχικές και συοριακές συθήκς αάµσα στο υθύ και το ατίστροφο πρόβληµα µ τη µέθοδο καοικοποίησης zz, τοπίζται στη σχέση 3.στ. Η πρόσθτη αρχική συθήκη ααφέρται στα πρώτα δύο πίπδα βάθους από τη πιφάια και απλά θέτι τη καθίζηση γωστή σ αυτά τα στρώµατα αφού µπορί α υπολογιστί από γωτρήσις. Σ αυτή τη µέθοδο, όπως και στη προηγούµη η καοικοποιηµέη καταοµή συµβολίζται µ αάρτητα από το σύµβολο του συτλστή καοικοποίησης. Mέθοδος zz, v0.0 0.6 0.37 0.8 z/h 0.8 0.09 0.00-0.09 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 /B Εικ. 3-3(α : Σύγκριση αποτλσµάτω για το Ευθύ και το Ατίστροφο Πρόβληµα βαθιάς καθίζησης

76 Η πίλυση του παραπάω προβλήµατος αρχικώ και συοριακώ τιµώ έγι χρησιµοποιώτας τη αριθµητική µέθοδο τω ππρασµέω διαφορώ. Ο αλγόριθµος πίλυσης του προβλήµατος 3. µφαίζται στη παρακάτω σχέση: z c ( b z z z ( b z z (3.5 Μέθοδος zz, v0. 0.6 0.37 0.8 z/h 0.8 0.09 0.00-0.09 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 /B Εικ. 3-3(β : Σύγκριση αποτλσµάτω για το Ευθύ και το Ατίστροφο Πρόβληµα βαθιάς καθίζησης Τα αποτλέσµατα της αριθµητικής πίλυσης (Παράρτηµα Ε µφαίζοται συγκριτικά µ το υθύ πρόβληµα στις Εικός 3-3(α-γ. Για αυτή τη µέθοδο καοικοποίησης, οι τιµές της παραµέτρου που χρησιµοποιήθηκα κυµαίοται από 0.0 έως. Σηµιώται τα αποτλέσµατα µφαίζοται στη µορφή / B * f ( / B, z / H όπου * B (H/B. Για µικρότρς τιµές της παραµέτρου, µφαίζται σηµατική αστάθια στη λύση, αφού ο συτλστής της καοικοποίησης τίι στο 0 οπότ το καοικοποιηµέο πρόβληµα τίι στο µη καοικοποιηµέο, ώ για τιµές µγαλύτρς του τα αποτλέσµατα, τουλάχιστο ως προς τη κτρική καθίζηση, αποκλίου σηµατικά από το υθύ πρόβληµα. Σ σύγκριση µ τα αποτλέσµατα από τη προηγούµη µέθοδο, χρησιµοποιώτας τη µέθοδο καοικοποίησης zz µπορούµ α πιλύσουµ το ατίστροφο πρόβληµα για πρισσότρο βάθος (µγαλύτρο από το διπλάσιο. Παρατηρίται, πίσης µικρότρη απόκλιση της καµπυλότητας της λύσης κοτά στο διό σύορο.

77 Μέθοδος zz, 0.6 0.37 0.8 z/h 0.8 0.09 0.00-0.09 0 0. 0. 0.3 0. 0.5 /B Εικ. 3-3(γ : Σύγκριση αποτλσµάτω για το Ευθύ και το Ατίστροφο Πρόβληµα βαθιάς καθίζησης. ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ.. Εισαγωγή Σ αυτή τη παράγραφο της ργασίας ααφρόµαστ στη γραµµικοποιηµέη αάλυση υστάθιας διαφορικώ ισώσω. Παρουσιάζται θωρία που αφορά τη καλή τοποθέτηση προβληµάτω αρχικώ τιµώ για γραµµικές διαφορικές ισώσις µ σταθρούς συτλστές. Στη πραγµατικότητα, οι πρισσότρς φαρµογές αφορού µη γραµµικά προβλήµατα αρχικώ και συοριακώ τιµώ, τις πρισσότρς φορές µ µη σταθρούς συτλστές, όπως συµβαίι και σ αυτή τη ργασία. Οι δύο πιο σηµατικές µέθοδοι λέγχου υστάθιας για διαφορικούς τλστές ίαι η µέθοδος Forier και η µέθοδος της έργιας. Η πρώτη µέθοδος µπορί α φαρµοστί µόο σ διαφορικές ισώσις µ σταθρούς συτλστές ώ η δύτρη φαρµόζται και σ µη γραµµικές ισώσις µ µταβλητούς συτλστές. Συχά πιλέγται η πρώτη µέθοδος, ακόµα και α οι συτλστές ίαι µταβλητοί, θωρώτας τους παραµέτρους µ τιµές σ καθορισµέο διάστηµα. Η θώρηση αυτή ίαι δυατή µόο ότα δ αλλάζου τη µορφή της διαφορικής ίσωσης ή δ παραβιάζου τις βασικές συθήκς υστάθιας τω διαφορικώ ισώσω. Τότ η µλέτη υστάθιας µ τη µέθοδο Forier αποτλί µία σαφής έδιη για τη καλή τοποθέτηση του προβλήµατος. Στη ργασία αυτή ααπτύσσται θωρία που αφορά τη µέθοδο Forier και φαρµόζται στο ατίστροφο πρόβληµα βαθιάς καθίζησης και για τις δύο µθόδους καοικοποίησης. Αγγλ. Liear Stability Aalyi Αγγλ. Eergy metho

78.. Προβλήµατα αρχικώ τιµώ στο L µ σταθρούς συτλστές Ξκιάµ µ µρικές παρατηρήσις. Θα ργαστούµ στο σύολο Baach L L ( R µ τη όρµα R ( (3.6 Ορίζουµ έα πολυδίκτη ( α α,..., α µ α µη-αρητικούς ακέραιους α α α... (3.7 Θέτουµ D,..., και ακολούθως έχουµ τη ακόλουθη µορφή για i i i γικές παραγώγους τάως α α, δηλαδή D α α α α i,... (3.8 i ηλώουµ µ το C το σύολο τω άπιρα παραγωγίσιµω µιγαδικώ συαρτήσω µέσα στο R και µ το C 0 το υποσύολο τω συαρτήσω το οποίο ίαι συµπαγές. Επίσης ισάγουµ το σύολο J του C έτσι ώστ για κάθ πολυδίκτη α, β p R α D β ( < (3.9 Ισχύι ότι C 0 J C και ίαι γωστό ότι C 0 και J ίαι πυκά στο L. Για ολοκληρώσιµο πάω στο R ορίζουµ το µτασχηµατισµό Forier û ( i<, > (e, <, > (3.0 Είαι γωστό ότι α J τότ û J []. Επιπλέο για µτασχηµατισµό Forier J έχουµ το ατίστροφο ( i<, > ( π û( e (3. και τη σχέση Pareval

79 û ( π (3. και ως συέπια του ακόλουθου, το σύολο Ĉ 0 τω συαρτήσω στο J µ το µτασχηµατισµό Forier α αήκι στο C 0 ίαι πυκό στο L. Στη συέχια θα θωρήσουµ το διάυσµα συαρτήσω Ν διαστάσω ( (, (,...,N(. Είαι φυσικό α ορίσουµ ( L και ατίστοιχα τα σύολα J, C 0 κλπ αιώοτας ότι αυτό ισχύι για κάθ συιστώσα,,...n. Σηµιώται ότι οι απλές κάθτς γραµµές υποδηλώου όρµα ως προς διαύσµατα διάστασης N π.χ v N v (3.3 και για πίακς NN, A Av p (3. v 0 v και οι διπλές κάθτς γραµµές υποδηλώου όρµα ως προς το χώρο τω L συαρτήσω έτσι ώστ για διάυσµα N-διαστάσω ( L, ( (3.5 Επίσης παρακάτω θα χρησιµοποιήσουµ τα ακόλουθα: Λήµµα []: Έστω M έα πυκό υποσύολο του L και ας ίαι ( πίακας NN. Τότ α έας συχής p v M αv v ( p α (3.6 έα διάυσµα συαρτήσω N διαστάσω ορισµέο για Θωρούµ το πρόβληµα αρχικής τιµής και (,t R και t 0. P t α ( D P D, t 0 (,0 v(, α (3.7α a Μ (3.7β όπου P α ίαι σταθροί πίακς NN και όπου µπορούµ α θωρήσουµ P α ίαι ορισµέο για J και

80 α α α α ( P, P Τότ α M α Θώρηµα []: Το πρόβληµα αρχικής τιµής (3.7 ίαι καλώς ορισµέο στο L α και µόο α για κάθ T 0, υπάρχι έα C έτσι ώστ ep ( tp( C, R, 0 t T (3.8 Απόδιη: Υποθέτουµ ότι η (3.8 ισχύι. Ας ίαι (, t ( π ep( tp( vˆ ( e i<, > Μ τη παραγώγιση της παραπάω σχέσης ότι η (,t v J και θωρούµ (3.9 ικαοποιί τη (3.7α και ίαι πίσης µία λύση για το πρόβληµα αρχικώ τιµώ (3.7. Εφόσο για t 0,,t ίαι µια ακριβής λύση [] και ίαι πίσης µοαδική. Έτσι ( J ( t v (,t E 0 µ D 0 J (3.0 Από το ατίστροφο µτασχηµατισµό Forier και το θώρηµα Pareval (, t ( π ep ( tp( vˆ ( C ( π vˆ ( C v (3. Εφόσο το J ίαι πυκό στο L προκύπτι ότι το πρόβληµα αρχικής τιµής ίαι καλώς ορισµέο. Τώρα θέλουµ α αποδίουµ τη ααγκαιότητα του (3.8 για τη καλή τοποθέτηση. Έστω v Ĉ 0 και ορίζουµ το (,t από τη σχέση (3.9. Αρχικά βρίσκουµ ότι το (,t ικαοποιί το πρόβληµα αρχικής τιµής (3.7 και έτσι (,t E(tv. Από το ατίστροφο µτασχηµατισµό Forier και το θώρηµα Pareval ίαι E v ( t v ( ep( tp( vˆ ( ( vˆ ( (3. (3.3 έτσι ώστ από το Λήµµα,

8 E ( t p ep( tp(, (3. το οποίο αποδικύι τη χρησιµότητα του (3.8 φόσο το Ĉ 0 ίαι πυκό στο L. Παράδιγµα Θωρούµ το συµµτρικό υπρβολικό σύστηµα ισώσω t J A A A (3.5 Τότ το πρόβληµα αρχικώ τιµώ για το (3.5 ίαι καλώς ορισµέο µέσα στο L γιατί ισχύι ep ( tp( ep t i A (3.6 φόσο αυτό ίαι έας µοαδιαίος πίακας. Πρι προχωρήσουµ στο πόµο παράδιγµα ααφέρουµ µια λήµµα. Για έα τυχαίο πίακα Α NN µ ιδιοτιµές λ,,,n ορίζουµ Λ A ma Re( λ (3.7 ( Τότ έχουµ Λήµµα Α A ίαι έας πίακας NN έχουµ για t 0 ep( ta N ( tλ( A ( t A ep (3.8 0 Απόδιη Βλέπ []. Παράδιγµα Θωρούµ το σύστηµα (3.7 και θωρούµ πίσης το αρχικό µέρος P ~ του P το οποίο ατιστοιχί στο πολυώυµο P ~ P α ( α M α (3.9 Λέµ ότι το σύστηµα (3.7 ίαι παραβολικό σύµφωα µ τη λογική της θωρίας Petrowki α υπάρχι έα δ > 0 τέτοιο ώστ ~ ( P( δ Λ, (3.30 Το οποίο ίαι ισοδύαµο µ τη ύπαρη ός δ > 0 και ός C έτσι ώστ Λ M ( P( δ C, R (3.3

8 Στη συέχια έχουµ ότι α το (3.7 ίαι παραβολικό σύµφωα µ τη λογική της θωρίας Petrowki, το ατίστοιχο πρόβληµα αρχικώ τιµώ ίαι καλώς ορισµέο µέσα στο L. Απόδιη [] Από το Λήµµα έχουµ για 0 t T, ep M N M ( tp( C ( t ep( δt, (3.3 το οποίο ίαι φραγµέο. Για τη ακρίβια, η ίσωση θρµότητας δι αγωγής του Forier t αήκι σ αυτή τη κατηγορία..3. Εφαρµογή στο ατίστροφο πρόβληµα βαθιάς καθίζησης µ τη µέθοδο καοικοποίησης Στη προηγούµη παράγραφο πιδή ακριβώς ααφρόµαστα σ αυστηρούς µαθηµατικούς όρους χρησιµοποιήθηκ η παραγώγιση ως προς το χρόο t. Από τη αρχή της ργασίας αυτής γωρίζουµ ότι στα προβλήµατα που έχουµ ατιµτωπίσι ατιστοιχί µ το βάθος z, οπότ και στη φαρµογή της µαθηµατικής θωρίας θα χρησιµοποιηθί µ το ίδιο τρόπο. Όπως ήδη έχι ααφρθί, η γραµµικοποιηµέη αάλυση υστάθιας διαφορικής ίσωσης που µλτήσαµ, ααφέρται σ γραµµικές διαφορικές ισώσις µ σταθρούς συτλστές. Αυστηρά δ µπορί α φαρµοστί στη παρούσα πρίπτωση αφού η διαφορική ίσωση που µλτάµ σ αυτή τη παράγραφο η ίσωση (3.3α z c ( b z b z (3.33 ίαι γραµµική, αλλά µ µη σταθρούς συτλστές. Θωρώτας τους συτλστές παραµέτρους µ τιµές σ καθορισµέο διάστηµα a c a [0., ] ( b z b b [0,0] ( b z (3.3

83 δ αλλάζι η µορφή της διαφορικής ίσωσης (παραβολική και δ παραβιάζοται συθήκς υστάθιας. Άρα η µλέτη υστάθιας µ τη µαθηµατική θωρία της προηγούµης παραγράφου, φόσο ικαοποιίται, αποτλί σηµατική έδιη για τη καλή τοποθέτηση του προβλήµατος αρχικώ και συοριακώ τιµώ, αφού πρόσθτα ααφρθί ότι οι αρχικές και συοριακές συθήκς του προβλήµατος δ παρουσιάζου καµία ιδιαίτρη ιδιοµορφία. Σύµφωα µ τη προηγούµη παράγραφο ίαι P( a (i bi (i a bi (3.35 Οπότ ep(z P( ep(z (a C R (3.36 Στο Παράρτηµα ΣΤ µφαίζται έα τυπικό γράφηµα συµπριφοράς της παραπάω έκφρασης του Ρ(.. Εφαρµογή στο ατίστροφο πρόβληµα βαθιάς καθίζησης µ τη µέθοδο καοικοποίησης zz Στη πρίπτωση της µθόδου καοικοποίησης zz θα πρέπι α φαρµοστί το Θώρηµα που ααφέρται στη παράγραφο.. του παρότος Κφαλαίου, σ άλλη του µορφή αφού η ίσωση (3.α z c ( b z b z z (3.37 πριλαµβάι και άλλο διαφορικό ως προς το βάθος (χρόο κτός από τη z. Η απόδιη του θωρήµατος τοποθτίται ως προς τη λύση µιας µρικής διαφορικής ίσωσης µ µορφή P z ( D, z 0 (3.38 και τότ η πίλυση της συήθους διαφορικής ίσωσης που προκύπτι από το µτασχηµατισµό Forier της παραπάω ίσωσης ίαι (, z ( π ep( z P( vˆ ( e i<, > (3.39 Για α ίαι η γραµµική διαφορική ίσωση καλώς ορισµέη τότ πρέπι σύµφωα µ το Θώρηµα α ίαι ep ( z P( C, R, 0 z Z (3.0

8 Στη συγκκριµέη ίσωση ο µτασχηµατισµός Forier της γραµµικής διαφορικής ίσωσης (3.α ίαι û ( P û (i û 0 zz z (3. όπου i b a i b (i a ( P 0 (3. Τότ η λύση της διαφορικής ίσωσης (3.α ίαι (Παράρτηµα Z ( ( ( ( ( ( ( ( π > < e vˆ zp ep zp ep,z, i (3.3 οπότ το Θώρηµα για τη συθήκη υστάθιας µτατρέπται σ ( ( ( ( Z z 0, R, C zp ep, C zp ep (3. Από το Παράρτηµα Z προκύπτι ότι 0 i b (a ( P ( P (3.5 ib a ώ 0 i b (a ( P ( P (3.6 ib a Οπότ ( ± ±, b b ib a Re ib a Re ( P Re

85 ± b a ib Re b a ib Re, C b a (3.7

86 3. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 Η δυσκολία στη πίλυση του υθέως πρόβληµατος βαθιάς καθίζησης αάγται στο γγοός ότι ίαι σχδό αδύατο α γωρίζουµ µ ακρίβια τη καθίζηση στη βάση του πτάσµατος. Ατίθτα, αυτό που µπορούµ α παρατηρήσουµ και α µτρήσουµ ίαι η καθίζηση στη πιφάια της γης. Η πίλυση του προβλήµατος βαθιάς καθίζησης χρησιµοποιώτας ως αρχικές συθήκς τη πιφαιακή καθίζηση µ σκοπό το υπολογισµό της καθίζησης βάσης αάγται στη πίλυση του ατιστρόφου, στο βάθος (χρόο, προβλήµατος διάχυσης-µτάδοσης βαθιάς καθίζησης που µλτήθηκ στο Κφάλαιο3. Στο Κφάλαιο αυτό µλτάται η πίλυση του ατιστρόφου προβλήµατος βαθιάς καθίζησης µ χρήση καοικοποιήσω. Τα αποτλέσµατα της αριθµητικής πίλυσης του προβλήµατος µ τη µέθοδο καοικοποίησης αφορού τιµές της παραµέτρου καοικοποίησης 0.005< < 0.05. Για τιµές της παραµέτρου κτός του διαστήµατος τα αποτλέσµατα διαφέρου σηµατικά από το υθύ πρόβληµα. Για µικρές τιµές της παραµέτρου καοικοποίησης η κτρική καθίζηση (0 πλησιάζι στη λύση στο υθύ πρόβληµα. Για µγάλς τιµές της «χροικής» µταβλητής z, τα αποτλέσµατα της αριθµητικής πίλυσής του ατιστρόφου προβλήµατος βαθιάς καθίζησης διαφέρου σηµατικά από τα αποτλέσµατα στο υθύ πρόβληµα. Α b ίαι το βάθος για το οποίο έχι πιλυθί το υθύ πρόβληµα, τότ η αρχική συθήκη για το ατίστροφο πρόβληµα δ µπορί α τοποθτηθί για τιµές του βάθους µγαλύτρς από z 0.5b. Αάρτητα από τις τιµές της παραµέτρου, από τη αρχή της λύσης του ατιστρόφου προβλήµατος, παρατηρίται απόκλιση της καµπυλότητας της λύσης κοτά στο διό σύορο µταύ τω αποτλσµάτω στο υθύ και το ατίστροφο πρόβληµα το οποίο θα ατιµτωπισθί στο Κφάλαιο. Η πριορισµέη χροικά λύση του ατιστρόφου προβλήµατος µ τη µέθοδο, προκύπτι από το ισχυρό διαχυτικό χαρακτήρα του τλστή ης τάως. Η φύση του προβλήµατος (διάχυση-µτάδοση αλλά και η πριορισµέη χροικά λύση µ τη πιβάλλι τη πίλυση του ατιστρόφου προβλήµατος µ τη χρήση ός τλστή µ πρισσότρο µταδοτικό χαρακτήρα. Στη ργασία αυτή για τη πίλυση του ατιστρόφου προβλήµατος βαθιάς καθίζησης προτίται ο τλστής zz, πολλαπλασιασµέος µ κάποια παράµτρο

87 καοικοποίησης, µ χρήση κατάλληλω αρχικώ και συοριακώ συθηκώ τόσο ως προς το φυσικό πρόβληµα αλλά και ως προς το µαθηµατικό προσοµοίωµα. Η πρόσθτη αρχική συθήκη που χρησιµοποιίται ααφέρται στα πρώτα δύο πίπδα βάθους από τη πιφάια και απλά θέτι τη καθίζηση γωστή σ αυτά τα στρώµατα αφού µπορί α υπολογιστί από γωτρήσις. Για αυτή τη µέθοδο καοικοποίησης οι τιµές της παραµέτρου που χρησιµοποιήθηκα κυµαίοται από 0.0 έως. Για µικρότρς τιµές της παραµέτρου, µφαίζται σηµατική αστάθια στη λύση, αφού ο συτλστής της καοικοποίησης τίι στο 0 οπότ το καοικοποιηµέο πρόβληµα τίι στο µη καοικοποιηµέο, ώ για τιµές µγαλύτρς του τα αποτλέσµατα, τουλάχιστο ως προς τη κτρική καθίζηση, αποκλίου σηµατικά από το υθύ πρόβληµα. Σ σύγκριση µ τα αποτλέσµατα από τη προηγούµη µέθοδο, χρησιµοποιώτας τη µέθοδο καοικοποίησης zz µπορούµ α πιλύσουµ το ατίστροφο πρόβληµα για πρισσότρο βάθος (µγαλύτρο από το διπλάσιο. Παρατηρίται, πίσης µικρότρη απόκλιση της καµπυλότητας της λύσης κοτά στο διό σύορο, από τη προηγούµη µέθοδο καοικοποίησης.

88

89 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3. Latté, R. a Lio, J.L. The metho of qai-reveribility. America Elevier Pb. Co., New York, 969. Tomée, V., (970. Topic i Stability Theory for Partial Differece Operator, Lectre Note i Mathematic, Sympoim o the Theory of Nmerical Aalyi, Dee, Scotla

90