A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου: p,, r, s,.. Κάθε πρόταση που χαρακτηρίζεται αληθής, λέµε ότι έχει τιµή αλήθειας α και κάθε πρόταση που χαρακτηρίζεται ψευδής, λέµε ότι έχει τιµή αλήθειας ψ. ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Οι λογικές πράξεις που χρησιµοποιούµε στα Μαθηµατικά είναι: I. Η ΑΡΝΗΣΗ Άρνηση µιας πρότασης p λέγεται η πρόταση «όχι p», συµβολίζεται p η οποία είναι: Αληθής όταν η p είναι ψευδής Ψευδής όταν η p είναι αληθής p α ψ p ψ α II. Η ΙΑΖΕΥΞΗ ιάζευξη (ή εγκλειστική διάζευξη) δύο προτάσεων p, λέγεται η πρόταση «p ή», συµβολίζεται p, η οποία είναι: Αληθής όταν µία τουλάχιστον από τις προτάσεις p, είναι αληθής Ψευδής όταν η p και η είναι ψευδείς. III. Η ΣΥΖΕΥΞΗ Σύζευξη δύο προτάσεων p, λέγεται η πρόταση «p και», συµβολίζεται p, η οποία είναι: Αληθής όταν και οι δύο προτάσεις p, είναι αληθείς Ψευδής σε άλλη περίπτωση. p p α α α α ψ α ψ α α ψ ψ ψ p p α α α α ψ ψ ψ α ψ ψ ψ ψ p p α α α ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 1
IV. Η ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ Συνεπαγωγή δύο προτάσεων p, λέγεται η πρόταση «αν p τότε», συµβολίζεται p, η οποία είναι: Ψευδής όταν η p είναι αληθής και η είναι ψευδής Αληθής σε άλλη περίπτωση. α ψ ψ ψ α α ψ ψ α Σχόλιο Στη συνεπαγωγή p η πρόταση p λέγεται υπόθεση και η πρόταση λέγεται συµπέρασµα. Παρατηρήσεις 1. Αν η πρόταση p είναι αληθής και η συνεπαγωγή p είναι αληθής τότε είναι αληθής και η.. Αν η πρόταση p είναι αληθής και είναι αληθείς οι συνεπαγωγές p p 1, p1 p,, p ν 1 p, ν pν τότε και η συνεπαγωγή p είναι αληθής. 3. Αν η συνεπαγωγή p είναι αληθής και η πρόταση είναι ψευδής, τότε η πρόταση p είναι ψευδής. 4. Η συνεπαγωγή p λέγεται αντίστροφη συνεπαγωγή της p. Η συνεπαγωγή p λέγεται αντίθετη συνεπαγωγή της p. Η συνεπαγωγή p λέγεται αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή της p. 5. Η συνεπαγωγή p εκφράζεται και ως εξής: «Η p είναι ικανή συνθήκη της» ή «Η είναι αναγκαία συνθήκη της p» ή «p πρέπει» ή «αρκεί p». V. Η ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑ Ισοδυναµία δύο προτάσεων p, λέγεται η πρόταση «p αν και µόνο αν», συµβολίζεται p, η οποία είναι: Αληθής όταν οι προτάσεις p, είναι οµότιµες Ψευδής όταν οι προτάσεις p, είναι ετερότιµες. Παρατηρήσεις 1. Η ισοδυναµία p εκφράζεται και ως εξής: «Η p είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη της» ή «p αν και µόνο αν» ή «p τότε και µόνο τότε» ή «p πρέπει και αρκεί» ή «η p είναι ισοδύναµη µε την» ή «η p συνεπάγεται την και αντίστροφα». p p α α α α ψ ψ ψ α ψ ψ ψ α ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
. Αν οι ισοδυναµίες p p 1, p1 p,, p ν 1 p, ν pν είναι αληθείς, τότε και η ισοδυναµία p είναι αληθής. ΠΟΣΟ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ I. ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Έστω p(x) ένας προτασιακός τύπος µε σύνολο αναφοράς Ω. Η πρόταση «Για κάθε x Ω ο προτασιακός τύπος p(x)είναι πρόταση αληθής» γράφεται συµβολικά : για κάθε x Ω, p(x) (1). Αν Α είναι το σύνολο αλήθειας του προτασιακού τύπου p(x), είναι φανερό ότι η πρόταση (1) θα είναι αληθής όταν Α Ω και ψευδής όταν Α Ω. Παραδείγµατα Η πρόταση: x + 1> 0 για κάθε x R είναι αληθής. Η πρόταση: ν+ > 10για κάθε ν N είναι ψευδής. II. ΥΠΑΡΞΙΑΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Έστω p(x) ένας προτασιακός τύπος µε σύνολο αναφοράς Ω. Η πρόταση «Υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του Ω που επαληθεύει τον προτασιακό τύπο p(x)» γράφεται συµβολικά: υπάρχει x Ω ώστε p(x) (). Αν Α είναι το σύνολο αλήθειας του προτασιακού τύπου p(x), είναι φανερό ότι η πρόταση () θα είναι αληθής όταν Α και ψευδής όταν Α=. Παραδείγµατα Η πρόταση: Υπάρχει ν N, ν> α όπου α R είναι αληθής. Η πρόταση: Υπάρχει x R, x + 3= 0είναι ψευδής. Παρατηρήσεις 1. Η άρνηση της πρότασης «για κάθε x Ω, p(x)» είναι η πρόταση «υπάρχει x Ω, p(x)». Η άρνηση της πρότασης «υπάρχει x Ω, p(x)» είναι η πρόταση «για κάθε x Ω, p(x)». ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ Σκοπός των Μαθηµατικών είναι να δηµιουργήσουν και να µελετήσουν αν είναι αληθείς ή όχι προτάσεις που είναι λογικές συνέπειες των αξιωµάτων ή άλλων γνωστών προτάσεων. Οι προτάσεις αυτές όπως αναφέραµε προηγούµενα λέγονται θεωρήµατα. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 3
(τυπική) σε µία Μαθηµατική θεωρία λέγεται κάθε πεπερασµένη διαδοχή προτάσεων της θεωρίας, τέτοια ώστε κάθε πρόταση είναι ένα αξίωµα ή προέρχεται από µία ή περισσότερες προηγούµενες προτάσεις µε εφαρµογή ενός κανόνα συµπεράσµατος της Λογικής. Μία πρόταση της θεωρίας λέγεται Θεώρηµα, όταν υπάρχει απόδειξη µε τελευταία πρόταση την. Η απόδειξη αυτή λέγεται απόδειξη του θεωρήµατος. Επειδή στα Μαθηµατικά η λογική θεωρείται γνωστή (εµπειρικά) στις αποδείξεις δεν τονίζονται οι νόµοι και οι κανόνες της λογικής και δεν αναφέρονται όλα τα βήµατα των τυπικών αποδείξεων. ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ Οι προς απόδειξη προτάσεις στα Μαθηµατικά έχουν σχεδόν πάντοτε µορφή: «Αν p τότε» δηλαδή p. Η πρόταση p λέγεται «Υπόθεση» και η πρόταση λέγεται «Συµπέρασµα». Μερικές φορές η υπόθεση p δεν είναι φανερή αλλά συνάγεται από τα δεδοµένα. Για να αποδείξουµε µία πρόταση της µορφής p θεωρούµε µόνο την περίπτωση κατά την οποία η πρόταση p είναι αληθής, γιατί αν η p είναι ψευδής η συνεπαγωγή p είναι πάντοτε αληθής. Είναι φανερό ότι αν οι προτάσεις p και p είναι αληθείς τότε είναι αληθής και η πρόταση p. Επίσης αν οι προτάσεις p και είναι αληθείς τότε είναι αληθής και η πρόταση p. I. ΕΥΘΕΙΑ ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω ότι µία πρόταση p είναι αληθής και θέλουµε να αποδείξουµε ότι µια πρόταση p είναι αληθής. Γνωρίζουµε ότι: Αν η πρόταση p είναι αληθής και η συνεπαγωγή p είναι αληθής τότε και η είναι αληθής. Αν η πρόταση είναι αληθής p και είναι αληθείς οι συνεπαγωγές p p 1, p1 p,, p ν 1 p, ν pν τότε και η συνεπαγωγή p είναι αληθής. Ξεκινάµε λοιπόν από την πρόταση p (υπόθεση) που είναι αληθής και µε λογικά βήµατα (αληθείς συνεπαγωγές) που βασίζονται σε γνωστούς ορισµούς ή αξιώµατα ή θεωρήµατα, που έχουν αποδειχθεί, καταλήγουµε τελικά στην πρόταση (συµπέρασµα). Παραδείγµατα 1. Να αποδειχθεί ότι αν ν είναι περιττός ακέραιος, τότε και ο ν είναι περιττός. Γνωρίζουµε ότι ένας ακέραιος αριθµός ν είναι περιττός αν και µόνο αν έχει µορφή ν= κ+ 1µε κ Z. Εποµένως αν ν είναι περιττός αριθµός έχουµε: ν= κ+ 1, κ Z ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 4
ν = (κ+ 1) ν = 4κ + 4κ+ 1 ν = κ + κ + 1 ( ) ν = λ+ 1µε λ= κ + κ Z. Άρα ο ν είναι περιττός αριθµός. Η προηγούµενη διαδικασία µπορεί να γραφεί και ως εξής : ν= κ+ 1, κ Z ν = (κ+ 1) ν 4κ 4κ 1 ν = κ + κ + 1 ( ) ( ν λ 1, µε λ κ κ ) = + = + Z. = + + ( ). Να αποδειχθεί ότι η διχοτόµος που αντιστοιχεί στην βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι διάµεσος και ύψος του τριγώνου. Α Έστω Α διχοτόµος ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, ΑΒ= ΑΓ. Τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΓ είναι ίσα γιατί 1 ( ) έχουν: ΑΒ= ΑΓ, Α = Α και Α 1= Α. Εποµένως Β= Γ, άρα Α διάµεσος του τριγώνου 1= και επειδή 1+ = 180 έχουµε 1= = 90, άρα Α ύψος του τριγώνου. Β 1 Γ II. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ Έστω ότι µία πρόταση p είναι αληθής και θέλουµε να αποδείξουµε ότι µια πρόταση p είναι αληθής. Γνωρίζουµε ότι : Αν οι προτάσεις p και είναι αληθείς τότε είναι αληθής και η πρόταση p. Αν η ισοδυναµία r είναι αληθής και η πρόταση r είναι αληθής, τότε η πρόταση είναι αληθής. Αφού η πρόταση p είναι αληθής και η πρόταση είναι αληθής, θα είναι αληθής η συνεπαγωγή p. Αρκεί λοιπόν να αποδείξουµε ότι η πρόταση είναι αληθής. Ξεκινάµε από την πρόταση ( συµπέρασµα) που θέλουµε να αποδείξουµε και µε ισοδυναµίες της µορφής: 1, 1,, ν 1, ν ν r καταλήγουµε σε µια πρόταση r πού είναι αληθής. Σχόλιο Για να είναι αληθής η πρόταση όταν είναι αληθής η πρόταση r είναι αρκετό να είναι αληθείς οι συνεπαγωγές 1, 1,, ν 1, ν ν r. Οι Συνεπαγωγές 1, 1,, ν 1, ν ν r χρησιµεύουν για να βρούµε την αληθή πρόταση r. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 5
Παράδειγµα 1. Να αποδειχθεί ότι: α + 1 α, α R. Για να αποδείξουµε ότι α + 1 α, αρκεί να δείξουµε ότι: α α+ 1 0ή (α 1) 0. Όµως ή τελευταία σχέση είναι αληθής οπότε είναι αληθής και η αρχική. Η προηγούµενη διαδικασία µπορεί να γραφεί και ως εξής : Έχουµε α + 1 α α α+ 1 0 (α 1) 0. Όµως ή τελευταία σχέση είναι αληθής οπότε είναι αληθής και η αρχική. 3. Αν α 1, να αποδειχθεί ότι: α + 1 α + α. 3 Αρκεί να αποδείξουµε ότι: α + 1 α + α 3 α + 1 α α 0 α (α 1) (α 1) 0 Η τελευταία σχέση είναι αληθής γιατί είναι αληθής και η 3 α + 1 α + α. III. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ (α 1)(α 1) 0 (α 1)(α 1)(α+ 1) 0 (α 1) (α+ 1) 0 (α 1) 0και α+ 1 0 αφού α 1. Άρα Όταν θέλουµε να αποδείξουµε ότι µια πρόταση της µορφής «p αν και µόνο αν» δηλαδή η ισοδυναµία p είναι αληθής, έχουµε τους εξής τρόπους: Βάση του κανόνα της ισοδυναµίας αποδεικνύουµε ότι οι προτάσεις: p και p είναι αληθείς, δηλαδή ευθύ και αντίστροφο. Αποδεικνύουµε ότι οι ισοδυναµίες p p 1, p1 p,, p ν 1 p, ν pν είναι αληθείς. Παραδείγµατα 1.Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της διχοτόµου µιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας και αντίστροφα. Ευθύ: Έστω Μ σηµείο της διχοτόµου Oz της γωνίας xoψ (p). Φέρνουµε τις ΜΑ, ΜΒ κάθετες στις Οx και Οψ αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ΟΑΜ και ΟΒΜ είναι ίσα γιατί είναι ορθογώνια και έχουν κοινή υποτείνουσα ΟΜ και Ο 1= Ο. Άρα ΜΑ= ΜΒ δηλαδή το σηµείο Μ ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας (). ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6 Ο 1 B A ψ M x z
Αντίστροφo: Έστω Μ σηµείο στο εσωτερικό µιας γωνίας xoψ το οποίο ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας () δηλαδή είναι ΜΑ= ΜΒ, όπου ΜΑ, ΜΒ κάθετες στις Οx και Οψ αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ΟΑΜ και ΟΒΜ είναι ίσα γιατί είναι ορθογώνια και έχουν κοινή υποτείνουσα ΟΜ και ΜΑ= ΜΒ. Άρα Ο 1= Ο δηλαδή το σηµείο Μ σηµείο βρίσκεται στη διχοτόµο Oz της γωνίας xoψ (p).. Αν α, β, γ πραγµατικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: α = β α + γ = β + γ. Έχουµε α+ γ= β+ γ (α γ) ( γ) (β γ) ( γ) α+ 0= β+ 0 α= β. + + = + + α [ γ ( γ) ] β [ γ ( γ) ] + + = + + IV. ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΑΠΑΓΩΓΗΣ ΣΕ ΑΤΟΠΟ Έστω ότι µία πρόταση p είναι αληθής και θέλουµε να αποδείξουµε ότι µια πρόταση p είναι αληθής. Γνωρίζουµε ότι : Αν οι προτάσεις p και είναι αληθείς τότε είναι αληθής και η πρόταση p. Αν η πρόταση p είναι αληθής και η πρόταση είναι ψευδής, τότε και η πρόταση p είναι ψευδής. Για να είναι λοιπόν αληθής η πρόταση p, αρκεί να αποδείξουµε ότι η πρόταση είναι αληθής ή ισοδύναµα ότι η πρόταση είναι ψευδής (νόµος της αποκλίσεως τρίτου). Θεωρούµε λοιπόν ότι η πρόταση είναι αληθής και αποδεικνύουµε µία πρόταση της µορφής w, όπου η πρόταση w είναι ψευδής, γεγονός το οποίο χαρακτηρίζουµε ως άτοπο. Το συµπέρασµα ότι η πρόταση w είναι ψευδής συνάγεται από την υπόθεση ή από άλλη πρόταση την οποία γνωρίζουµε. Κατόπιν αυτού συµπεραίνουµε ότι η πρόταση είναι ψευδής και άρα η πρόταση είναι αληθής. Παραδείγµατα 1. Να αποδειχθεί ότι αν Υποθέτουµε ότι + = τότε x= 0 και ψ= 0 x ψ 0 x + ψ = 0και x 0, τότε έχουµε x > 0και ψ 0 οπότε x + ψ > 0 που είναι άτοπο. Άρα x= 0. Όµοια αποδεικνύουµε ότι ψ= 0.. Να αποδειχθεί ότι αν ο ν είναι περιττός ακέραιος, τότε και ο ν είναι περιττός. Υποθέτουµε ότι ο ν είναι άρτιος, τότε: ν άρτιος ν= κ, κ Z ( ) ν = (κ) ν = 4κ ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 7
Άρα ον είναι περιττός. ( ) ν = κ ν = λ, λ= κ Z ν άρτιος, άτοπο. 3. Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες σε µία τρίτη ευθεία τότε είναι και µεταξύ τους παράλληλες. η τέτοιες ώστε ζ ε και η ε. Έστω οι ευθείες ( ε ),( ζ ), ( ) Υποθέτουµε ότι οι ευθείες ( ζ) και ( η ) δεν είναι µεταξύ τους παράλληλες, οπότε ζ θα τέµνονται στο σηµείο Α. Τότε όµως από το σηµείο Α θα διέρχονται δύο ευθείες ε παράλληλες προς την ευθεία ε που είναι άτοπο, από το αξίωµα της παραλληλίας. η είναι µεταξύ τους παράλληλες. Άρα οι ευθείες ( ζ) και ( ) η Α 1. Να βρείτε τις τιµές αλήθειας των παρακάτω προτάσεων: (i) 3< 5 (ii) ( < 3) ( + 1= 3) (iii) ( 5= 3) ( 7< 10) (iv) ( 7= 4+ 3) ( 7> 4) (v) ( 15= 8+ 6) ( 5> 0) (vi) ( 1< 8) ( 3> 0) (vii) ( + 1= 4) ( 3 = 8) (viii) ( = 4) ( 3 1= 8). ίνονται οι προτάσεις: p : «ο αριθµός διαιρεί τον αριθµό 6» και : «ο αριθµός 6 είναι άρτιος». (i) Να διατυπώσετε µε λόγια τις προτάσεις: p, p, p, p, p (ii) Να συµπληρώσετε τον πίνακα: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόταση p p p p p p Τιµή Αλήθειας 3. ίνονται οι προτάσεις: p : «το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο» και : «στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α = β + γ». (i) Να διατυπώσετε µε λόγια τις προτάσεις: p,, p, p, p, p ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 8
(ii) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα θεωρώντας ότι η πρόταση p είναι αληθής : Πρόταση p p p p p p Τιµή Αλήθειας 4. Να διατυπώσετε τις αρνήσεις των παρακάτω σύνθετων προτάσεων (i) x 0και ψ 0 (ii) x= ή ψ= 5 (iii) x = 9 και x 3 (iv) «για κάθε x R ισχύει x x+ = 0» (v) «υπάρχει x R ώστε 5. Να βρείτε τις τιµές αλήθειας των παρακάτω προτάσεων: (i) α β= 0 ( α= 0 και β= 0) (ii) α β= 0 ( α= 0 ή β= 0) (iii) α β 0 ( α 0 και β 0) (iv) α β 0 ( α 0 ή β 0) (v) α + β = 0 ( α= 0 ή β= 0) (vi) α + β 0 ( α= 0 και β= 0) x x» 6. Να διατυπώσετε τις αντίστροφες συνεπαγωγές των παρακάτω προτάσεων και να βρείτε αν είναι αληθείς ή ψευδείς. Επίσης να εξετάσετε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι συνεπαγωγές που δίνονται (i) Αν x = 100, τότε x 10 x R (ii) Αν 3 x = 8, τότε x (iii) Αν x ψ= 7, τότε x = ( ) = ( x R ) > ψ ( x,ψ R ) (iv) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο µε ορθή γωνία την Α, τότε α = β + γ (v) Αν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΖ έχουν ίσες βάσεις και ίσα ύψη, τότε έχουν ίσα εµβαδά 7. Να διατυπώσετε τις αντιθετοαντίστροφες συνεπαγωγές των παρακάτω προτάσεων και να βρείτε αν είναι αληθείς ή ψευδείς. (i) Αν 5x= 10, τότε x= (ii) Αν x = 5, τότε x= 5 ή x= 5 (iii) Αν α + β = 0, τότε α= 0 και β= 0 (iv) Αν οι ευθείες ε και ζ δεν είναι παράλληλες τότε τέµνονται (v) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο τότε όλες οι γωνίες του είναι ίσες 8. Να διατυπώσετε προτάσεις ισοδύναµες µε τις παρακάτω. (i) 3x= 15 (ii) x= 4ή x= 4 (iii) α β= 0 (iv) α β 0 (v) x + ψ = 0 (vi) (vii) «Οι ευθείες ε και ζ δεν τέµνονται» x + ψ 0 (viii) «Το σηµείο Μ βρίσκεται πάνω στην µεσοκάθετο του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ» ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 9
9. Με την µέθοδο της ευθείας απόδειξης να αποδείξετε ότι: αν α, β, γ είναι ακέραιοι αριθµοί και ο α διαιρεί τους β και γ, τότε ο α διαιρεί τον β+ γ. 10. Αν α, β είναι άρτιοι ή περιττοί ακέραιοι µεγαλύτεροι από την µονάδα, να αποδείξετε ότι ο αριθµός α + β είναι σύνθετος. 11. Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο α, ο αριθµός α + 3α+ είναι ακέραιος. 1. Αν ν> 3, και ακέραιος. Α= ν + 3ν ν, να βρείτε τις τιµές του ν N, ώστε ο Α να είναι 13. Με την αναλυτική µέθοδο απόδειξης να αποδείξετε ότι: αν α> 0, τότε 1 α+. α 14. Με την µέθοδο της απαγωγής σε άτοπο να αποδείξετε ότι: αν δύο ευθείες ε, ζ είναι παράλληλες και µια τρίτη ευθεία η τέµνει την µία από αυτές, τότε θα τέµνει και την άλλη. 15. (i) Με την µέθοδο της ευθείας απόδειξης να αποδείξετε ότι: αν α, β είναι θετικοί αριθµοί και α> β, τότε ν ν α β > για κάθε θετικό ακέραιο ν. (ii) Με την µέθοδο της απαγωγής σε άτοπο να αποδείξετε ότι: αν α, β είναι θετικοί αριθµοί και ν ν α β >, τότε α> β για κάθε θετικό ακέραιο ν. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 10