Βασική θεωρία & μεθοδολογία

Ελεύθερη πτώση Σημειώσεις Φσικής Βασική θεωρία & μεθοδολογία Οριζόντια βολή Αν από κάποιο ύψος h εκτοξεύσομε ένα σώμα με οριζόντια ταχύτητα 0 και κατά τη διάρκεια της κίνησής το δέχεται μόνο το βάρος το, τότε το σώμα ατό θα εκτελέσει μια σύνθετη κίνηση η οποία αποτελείται από δύο απλές κινήσεις: μια κατακόρφη κίνηση πο είναι ελεύθερη πτώση μια οριζόντια κίνηση πο είναι εθύγραμμη ομαλή. Η σύνθετη ατή κίνηση ονομάζεται οριζόντια βολή. 0 Εθύγραμμη ομαλή h Όταν ένα κινητό εκτελεί τατόχρονα δύο ή περισσότερες κινήσεις, καθεμία από ατές εκτελείται εντελώς ανεξάρτητα από τις πόλοιπες και η θέση στην οποία φτάνει το κινητό μετά από χρόνο t είναι η ίδια είτε οι κινήσεις εκτελούνται τατόχρονα είτε εκτελούνται διαδοχικά σε χρόνο t η καθεμία. Ατό αποτελεί τη διατύπωση της αρχής ανεξαρτησίας των κινήσεων ή αρχής της επαλληλίας. 0 θ y h y x x Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 1

Στον οριζόντιο άξονα το σώμα εκτελεί εθύγραμμη ομαλή κίνηση με σταθερή ταχύτητα 0. Σνεπώς ισχύον οι τύποι: x = 0 t και x = 0 (σνεχώς) Η οριζόντια απόσταση x πο διανύει το σώμα λέγεται και βεληνεκές της οριζόντιας βολής. Στον κατακόρφο άξονα το σώμα εκτελεί ελεύθερη πτώση. Σνεπώς ισχύον οι τύποι: y = 1 2 gt2 και y = gt Αν θέλομε να πολογίσομε την ταχύτητα ενός σώματος κάποια χρονική στιγμή (και όχι μόνο τις σνιστώσες x και y), εφαρμόζομε τον κανόνα το παραλληλογράμμο όπως φαίνεται στο σχήμα και πθαγόρειο θεώρημα για τον πολογισμό της τιμής της: = x 2 + y 2 Και επειδή κάθε διάνσμα χρειάζεται και τον προσδιορισμό της κατεύθνσης, ατή καθορίζεται από τη γωνία θ: εφθ = y 0 ΠΡΟΣΟΧΗ: Δεν πρέπει να σγχέομε το ύψος h με την κατακόρφη απόσταση y. To ύψος h είναι η απόσταση το σώματος από το έδαφος τη χρονική στιγμή t=0, ενώ η κατακόρφη απόσταση y είναι το διάστημα πο έχει διανύσει το σώμα σε κάποιο χρονικό διάστημα. Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 2

Εάν θέλομε να πολογίσομε το χρόνο πο χρειάζεται το σώμα πο εκτελεί οριζόντια βολή για να φτάσει στο έδαφος, κάνομε τα εξής: y = 1 2 gt2 (όπο y = h) h = 1 2 gt2 2h = gt 2 t 2 = 2h g t = 2h g Από την τελεταία σχέση σμπεραίνομε ότι ο χρόνος κίνησης για να φτάσει το σώμα στο έδαφος εξαρτάται μόνο από το αρχικό ύψος από το οποίο εκτοξεύομε το σώμα. Στην οριζόντια βολή σχνά μας ζητείται να γράψομε την εξίσωση τροχιάς το σώματος. Η εξίσωση τροχιάς είναι η εξίσωση πο σνδάζει τις σντεταγμένες x,y της θέσης όπο βρίσκεται το σώμα κάθε χρονική στιγμή. Για να βρούμε την εξίσωση της τροχιάς, γράφομε τις εξισώσεις x=f(t) και y=f(t) και από τις ατές εξισώσεις απαλείφομε το χρόνο έτσι ώστε να προκύψει μια εξίσωση της μορφής y=αx. Δηλαδή: y = 1 2 gt2 (Με αντικατάσταση στην πάνω σχέση, προκύπτει:) y = 1 2 g( x 0 ) 2 x = 0 t ή t = x 0 y = 1 x2 g 2 2 0 y = g 2 0 2 x2 Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 3

Ομαλή κκλική κίνηση Μια κκλική κίνηση ονομάζεται ομαλή, όταν το μέτρο της ταχύτητας το σώματος πο εκτελεί την κίνηση παραμένει σταθερό. (Η κατεύθνση της ταχύτητας αλλάζει σνεχώς αφού η τροχιά είναι καμπλόγραμμη). Περίοδος Τ ονομάζεται ο χρόνος πο χρειάζεται το κινητό ώστε να εκτελέσει μία πλήρη περιφορά. Μονάδα μέτρησης το 1 s. Σχνότητα f ονομάζεται ο αριθμός περιφορών πο εκτελεί το σώμα στη μονάδα το χρόνο. Η σχνότητα πολογίζεται από τη σχέση: Ν ο αριθμός των περιφορών f = N Δt Μονάδα μέτρησης της σχνότητας είναι το 1 Hz (1 κύκλος το δετερόλεπτο). Δt η χρονική διάρκεια στην οποία πραγματοποιήθηκαν οι περιφορές ατές Τι σημαίνει η έκφραση «σώμα εκτελεί κκλική κίνηση με σχνότητα 5 Hz»; Σημαίνει ότι το σώμα εκτελεί 5 κύκλος κάθε ένα δετερόλεπτο. Θέτοντας στον τύπο f = N όπο Ν=1 περιφορά, τότε η χρονική διάρκεια Δt ισούται Δt με την περίοδο Τ, σνεπώς ισχύει και: f = 1 T Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 4

H γραμμική ταχύτητα για ένα σώμα το οποίο εκτελεί κκλική κίνηση είναι ένα διάνσμα εφαπτόμενο στην κκλική τροχιά στο σημείο όπο βρίσκεται κάθε χρονική στιγμή το κινητό, το οποίο έχει τη φορά της κίνησης και σταθερό μέτρο πο πολογίζεται από τη σχέση: Μήκος τόξο πο διανύει = s Δt Χρονική διάρκεια κίνησης ΠΡΟΣΟΧΗ: Είπαμε ότι στην ομαλή κκλική κίνηση το μέτρο της ταχύτητας παραμένει σταθερό. Επομένως η έκφραση «η ταχύτητα στην ομαλή κκλική κίνηση παραμένει σταθερή», ενώ φαίνεται σωστή, στην οσία είναι λανθασμένη!! Λανθασμένη διότι στην ομαλή κκλική κίνηση, μπορεί το μέτρο της ταχύτητας να μη μεταβάλλεται, η κατεύθνση το διανύσματος της ταχύτητας όμως μεταβάλλεται σνεχώς. Σωστή είναι η έκφραση «το μέτρο της ταχύτητας στην ομαλή κκλική κίνηση παραμένει σταθερό». Άρα η ομαλή κκλική κίνηση είναι μια μεταβαλλόμενη κίνηση. Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 5

Αν στη σχέση = s Δt βάλομε όπο s = 2πR δηλαδή το μήκος το κύκλο για μια πλήρη περιστροφή και Δt = T (μιας και το σώμα χρειάζεται μια περίοδο για να εκτελέσει μια πλήρη περιστροφή), τότε προκύπτει η σχέση: = 2πR T ή = 2πRf αν θέσομε 1 Τ = f Η γραμμική ταχύτητα είναι η «κανονική» ταχύτητα ενός κινητού πο εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση, δηλαδή η ταχύτητα πο δείχνει το ταχύμετρο ενός ατοκινήτο πο κινείται ομαλά σε μια κκλική πλατεία. Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 6

Η γωνιακή ταχύτητα είναι ένα διάνσμα πο έχει σημείο εφαρμογής το κέντρο της κκλικής τροχιάς, διεύθνση κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς ατής, φορά πο πολογίζεται με τον κανόνα το δεξιού χεριού και μέτρο πο πολογίζεται από τον τύπο: H επίκεντρη γωνία πο διαγράφει η επιβατική ακτίνα σε rad. ω = θ Δt Η χρονική διάρκεια για να διαγραφεί η γωνία θ. Μονάδα μέτρησης της γωνιακής ταχύτητας στο S.I. είναι το 1 rad/s. ω Η γωνιακή ταχύτητα (μέτρο & κατεύθνση) παραμένει σταθερή στην ομαλή κκλική κίνηση, διότι η επιβατική ακτίνα διαγράφει ίσες γωνίες σε ίδιες χρονικές διάρκειες, το διάνσμα της γωνιακής ταχύτητας είναι πάντοτε κάθετο στο επίπεδο της κκλικής τροχιάς και η φορά της πάντα ίδια αφού δεν αλλάζει η φορά κίνησης το σώματος. Ο κανόνας το δεξιού χεριού αναφέρει ότι το διάνσμα ω έχει τη φορά το αντίχειρα το δεξιού χεριού όταν τα πόλοιπα δάκτλα ακολοθούν τη φορά περιστροφής το κινητού. Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 7

Επίσης, επιβατική ακτίνα είναι η ακτίνα πο γρίζει μαζί με το σώμα, μια νοητή ακτίνα δηλαδή πο περιστρέφεται μαζί με το σώμα. Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας μετρά το πόσο γρήγορα το σώμα πο εκτελεί την κκλική κίνηση διαγράφει τόξα, ένω το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας μετρά τα πόσο γρήγορα η επιβατική ακτίνα διαγράφει επίκεντρες γωνίες. Η σχέση πο σνδέει το μήκος ενός τόξο με την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία πο βαίνει στο τόξο ατό είναι: s = r θ Η σχέση πο σνδέει τα μέτρα της γωνιακής και της γραμμικής ταχύτητας σε μια κκλική κίνηση είναι: = ω r Απόδειξη: Στη σχέση = s αντικαθιστούμε με s = rθ, οπότε προκύπτει Δt = rθ Δt ή = θ Δt r και επειδή ισχύει ότι ω = θ, προκύπτει η σχέση: = ωr Δt Για τον πολογισμό της γωνιακής ταχύτητας σνήθως δε χρησιμοποιούμε τη σχέση το ορισμού της, αλλά δύο τύπος πο τη σνδέον με την περίοδο και τη σχνότητα αντίστοιχα: ω = 2π Τ και ω = 2πf H πρώτη σχέση προκύπτει αν στον τύπο ω = θ θέσομε όπο Δt=T, όπο η Δt επιβατική ακτίνα διαγράφει ένα πλήρη κύκλο, δηλαδή θ=2π rad (360 ). Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 8

Η επιτάχνση ενός σώματος πο εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση είναι η κεντρομόλος επιτάχνση ακ. Έχει σημείο εφαρμογής το σώμα πο εκτελεί την κίνηση, διεύθνση πο τατίζεται με τη διεύθνση της επιβατικής ακτίνας, φορά προς το κέντρο της κκλικής τροχιάς και μέτρο πο πολογίζεται από τη σχέση: α κ = 2 r Η επιτάχνση ατή δεν οφείλεται στην αλλαγή το μέτρο της ταχύτητας, αλλά στην αλλαγή της κατεύθνσης το διανύσματος της ταχύτητας, δηλαδή μετράει το πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η κατεύθνση της γραμμικής ταχύτητας το σώματος. H κεντρομόλος επιτάχνση προκαλείται από μια δύναμη, η οποία είναι η σνισταμένη των δνάμεων πο ασκούνται στο σώμα στη διεύθνση της επιβατικής ακτίνας και ονομάζεται κεντρομόλος δύναμη Fκ. Έχει την ίδια κατεύθνση με την κεντρομόλο επιτάχνση, δηλαδή προς το κέντρο της κκλικής τροχιάς. Σύμφωνα με το 2 ο νόμο το Νεύτωνα ισχύει: F κ = ma κ ή F κ = m 2 r ή F κ = m2 r Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 9

Παρατηρήσεις Ένα σώμα πο εκτελεί ομαλή κκλική κίνηση γύρω από ένα καθορισμένο κέντρο, έχει σνεχώς το ίδιο μέτρο γραμμικής ταχύτητας, γωνιακής ταχύτητας, κεντρομόλο επιτάχνσης και δύναμης κτλ. Διαφορετικά σημεία όμως τα οποία ανήκον σε έναν κκλικό δίσκο (πχ δίσκος cd), μπορεί να έχον διαφορετικές τιμές των προηγούμενων μεγεθών, αφού καθοριστικός παράγοντας είναι η ακτίνα r πο απέχον από το κέντρο της κκλικής τροχιάς. Τα μεγέθη πο δε μεταβάλλονται είναι η γωνιακή ταχύτητα, η περίοδος και η σχνότητα, τα οποία δεν εξαρτώνται από την ακτίνα r. Όταν θέλομε να βρούμε τη σχέση πο σνδέει δύο μεγέθη (πχ τη σχέση των γραμμικών ταχτήτων δύο σημείων), σνήθως κάνομε διαίρεση κατά μέλη. Η κεντρομόλος δύναμη δεν είναι απαραίτητα μία δύναμη, αλλά η σνισταμένη δνάμεων πο ασκούνται σε ατό. F 1 F 2 Στο παραπάνω σχήμα η κεντρομόλος δύναμη είναι: F κ = ΣF = F 1 F 2 Για τον πολογισμό των περιστροφών Ν πο εκτελεί το σώμα χρησιμοποιούμε δύο τύπος της λογικής: Ν = θ 2π και Ν = s 2πr Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 10