Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση συναρτήσεων που ορίζεται με τον εξής τρόπο: (f + g(s = f(s + g(s για κάθε f g M(S G και κάθε s S. Αν η G είναι αντιμεταθετική τότε και η M(S G είναι επίσης αντιμεταθετική. Ά σ κ η σ η 1.2 Αν G είναι μια ομάδα και a b στοιχεία της G τέτοια ώστε να ισχύει bab 1 = a r για κάποιο r N δείξτε ότι θα έχουμε b k ab k = a rk για κάθε k N. Ά σ κ η σ η 1.3 Δείξτε ότι το υποσύνολο H = {0 2 4 6 8} της ομάδας Z 10 είναι μια υποομάδα της Z 10. Ά σ κ η σ η 1.4 Aν H 1 H 2 H 3 H m είναι μια αύξουσα ακολουθία υποομάδων μιας ομάδας G δείξτε ότι το σύνολο H = n=1 H n είναι υποομάδα της G. Ά σ κ η σ η 1.5 Nα βρεθεί η κυκλική υποομάδα της S 3 που παράγεται από τη μετάθεση σ = Ά σ κ η σ η 1.6 Δείξτε ότι το υποσύνολο K = {( 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ( 1 2 3 4 2 1 4 3 1 2 3 2 3 1 της S 4 αποτελεί αντιμεταθετική υποομάδα της S 4.. ( 1 2 3 4 4 3 2 1 ( 1 2 3 4 3 4 1 2 Ά σ κ η σ η 1.7 Έστω (G τυχούσα ομάδα και a G. Στο σύνολο G ορίζουμε την πράξη x y = xay για κάθε x y G. Δείξτε ότι (G είναι ομάδα και να εξεταστεί αν ισχύει (G = (G. Ά σ κ η σ η 1.8 Δείξτε ότι το σύνολο H = {( 1 n n n 1 + n είναι ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων. /n Z } } 1

2 Ομάδα II Ά σ κ η σ η 2.1 Θεωρούμε την πολλαπλασιαστική ομάδα R των μη μηδενικών πραγματικών αριθμών. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση φ : R R που ορίζεται με τη σχέση φ(a = 5a για κάθε a R είναι ένας ισομορφισμός ομάδων. Ά σ κ η σ η 2.2 Θεωρούμε την προσθετική ομάδα R των πραγματικών αριθμών. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση φ : R R που ορίζεται με τη σχέση φ(a = 5a για κάθε a R είναι ένας ισομορφισμός ομάδων. Ά σ κ η σ η 2.3 Δείξτε ότι οι πολλαπλασιαστικές ομάδες R και C των μη μηδενικών πραγματικών και μιγαδικών αριθμών αντίστοιχα δεν μπορεί να είναι ισόμορφες. Ά σ κ η σ η 2.4 Δείξτε ότι η συνάρτηση φ : R R + η οποία ορίζεται με τη σχέση φ(x = 2 x για κάθε x R είναι ένας ισομορφισμός των ομάδων (R + και (R +. Ά σ κ η σ η 2.5 Δείξτε ότι δεν υπάρχει αντιμεταθετική ομάδα η οποία να είναι ισόμορφη με μια μη αντιμεταθετική ομάδα. Ά σ κ η σ η 2.6 Στο σύνολο Z ορίζουμε μια πράξη με την παρακάτω σχέση: x y = x + y + 1 για κάθε x y Z. Δείξτε ότι (Z είναι μια ομάδα. Δείξτε επίσης ότι οι ομάδες (Z και (Z + είναι ισόμορφες. Ά σ κ η σ η 2.7 Έστω G τυχούσα ομάδα και a ένα στοιχείο της G. Δείξτε ότι η συνάρτηση f a : G G που ορίζεται με τη σχέση f a (x = a 1 xa για κάθε x G είναι ένας αυτομορφισμός της ομάδας G. Ά σ κ η σ η 2.8 Δείξτε ότι υπάρχει ένας μη τετριμμένος ομομορφισμός f : Z 2 Z 4. Δείξτε ότι υπάρχει ένας μη τετριμμένος ομομορφισμός φ : Z 2 Z n για κάθε άρτιο n. Ά σ κ η σ η 2.9 Έστω n τυχαίος ακέραιος. Δείξτε ότι η συνάρτηση f n : Z Z που ορίζεται με τη σχέση f n (a = na για κάθε a Z είναι ένας ενδομορφισμός της προσθετικής ομάδας Z των ακεραίων. Να βρεθεί ο πυρήνας του ενδομορφισμού αυτού. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f n είναι μονομορφισμός επιμορφισμός ή ισομορφισμός. 2

3 Ομάδα III Ά σ κ η σ η 3.1 Θεωρούμε την προσθετική ομάδα Z 12 των ακεραίων mod 12 και την κυκλική υποομάδα της H = 4 που παράγεται από το στοιχείο 4. Να βρεθούν οι κλάσεις της H στην Z 12 και ο δείκτης της υποομάδας H στην Z 12. Ά σ κ η σ η 3.2 (i Αν H είναι η κυκλική υποομάδα της S 3 που παράγεται από το στοιχείο π 3 = ( 1 2 3 2 1 3 δείξτε ότι καμιά αριστερή κλάση της H στην S 3 δεν είναι και δεξιά κλάση της H στην S 3 (με εξαίρεση βέβαια την ίδια την H. Επίσης δείξτε ότι το γινόμενο H (π 2 H των αριστερών κλάσεων H και π 2 H της H στην S 3 δεν είναι αριστερή κλάση της H στην S 3. (ii Αν K είναι η κυκλική υποομάδα της S 3 που παράγεται από το στοιχείο σ 1 = ( 1 2 3 2 3 1 δείξτε ότι κάθε αριστερή κλάση της K στην S 3 είναι ταυτόχρονα και δεξιά κλάση της K στην S 3. Ά σ κ η σ η 3.3 Έστω G μια ομάδα και H K υποομάδες της G τέτοιες ώστε να ισχύει H < K < G. Αν ο δείκτης της H στην G είναι ένας πρώτος αριθμός p δείξτε ότι θα ισχύει K = H ή K = G. Ά σ κ η σ η 3.4 Έστω x και y δύο στοιχεία μιας ομάδας G. Αν υπάρχει κάποιο στοιχείο s G τέτοιο ώστε να ισχύει y = s 1 xs δείξτε ότι τα στοιχεία x και y έχουν την ίδια τάξη. Δείξτε επίσης ότι τα στοιχεία ab και ba έχουν την ίδια τάξη για τυχόντα στοιχεία a και b της G. Ά σ κ η σ η 3.5 Έστω G μια πεπερασμένη αντιμεταθετική ομάδα τάξης n και m ένας σταθερός φυσικός αριθμός. Δείξτε ότι η συνάρτηση f : G G που ορίζεται με τη σχέση f(a = a m για κάθε a G είναι ένας αυτομορφισμός της G αν ισχύει (n m = 1. 4 Ομάδα IV Ά σ κ η σ η 4.1 Θεωρούμε την πολλαπλασιαστική ομάδα GL 2 (R όλων των αντιστρέψιμων 2 2 πινάκων με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς. Δείξτε ότι το υποσύνολο SL 2 (R όλων των 2 2 πινάκων με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς και ορίζουσα 1 αποτελεί υποομάδα της GL 2 (R. Να εξεταστεί επίσης αν η υποομάδα αυτή είναι κανονική υποομάδα της GL 2 (R. 3

Ά σ κ η σ η 4.2 Έστω a τυχόν στοιχείο μια ομάδας G. Θεωρούμε το υποσύνολο C(a = {x G/xa = ax} της ομάδας G που περιέχει όλα τα στοιχεία της G που αντιμετατίθενται με το στοιχείο a. Δείξτε ότι το σύνολο αυτό αποτελεί υποομάδα της G. Να εξεταστεί αν είναι κανονική υποομάδα. (Η υποομάδα C(a λέγεται κεντροποιητής του στοιχείου a. Ά σ κ η σ η 4.3 Έστω G τυχούσα ομάδα και N μια υποομάδα της. Δείξτε ότι N G (ab N αν και μόνον αν ba N για κάθε a b G. Ά σ κ η σ η 4.4 Έστω G τυχούσα ομάδα και a ένα στοιχείο της. Θεωρούμε την κυκλική υποομάδα a της G. Δείξτε ότι η a είναι κανονική υποομάδα της G αν και μόνον αν για κάθε g G υπάρχει k Z τέτοιο ώστε να ισχύει ga = a k g. Ά σ κ η σ η 4.5 Να βρεθούν όλες οι κανονικές υποομάδες της συμμετρικής ομάδας S 3. Ά σ κ η σ η 4.6 Δείξτε ότι το σύνολο Z[x] όλων των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές είναι μια προσθετική αντιμεταθετική ομάδα. Επίσης δείξτε ότι το σύνολο H = {φ(x Z[x]/φ(x έχει άρτιο σταθερό όρο} είναι υποομάδα της Z[x]. Είναι κανονική; 5 Ομάδα V Ά σ κ η σ η 5.1 Να βρεθούν τα συζυγή στοιχεία του στοιχείου π 2 της ομάδας S 3. Επίσης να βρεθούν οι συζυγείς ομάδες της υποομάδας H = π 2 της S 3. Ά σ κ η σ η 5.2 Δείξτε ότι μια υποομάδα H μιας ομάδας G είναι κανονική αν και μόνον αν περιέχει όλες τις συζυγείς ομάδες της H στην G. Ά σ κ η σ η 5.3 Αν H είναι μια γνήσια υποομάδα μιας πεπερασμένης ομάδας G δείξτε ότι το σύνολο a G aha 1 δεν καλύπτει ολόκληρη την ομάδα G. 6 Ομάδα VI Ά σ κ η σ η 6.1 Αν H = σ 1 είναι η κυκλική υποομάδα της S 3 που παράγεται από το στοιχείο σ 1 να προσδιοριστεί η ομάδα πηλίκο S 3 /H. Ά σ κ η σ η 6.2 Να προσδιοριστούν οι ομάδες πηλίκο Z 8 / 2 και Z 8 4. Ά σ κ η σ η 6.3 Δείξτε ότι κάθε ομάδα πηλίκο μιας αντιμεταθετικής ομάδας είναι αντιμεταθετική. 4

Ά σ κ η σ η 6.4 Αν N είναι μια κανονική υποομάδα της πεπερασμένης ομάδας G και a G δείξτε ότι η τάξη του στοιχείου an της ομάδας πηλίκο G/N διαιρεί την τάξη του στοιχείου a. Ά σ κ η σ η 6.5 Δείξτε ότι ισχύει η σχέση Z 12 /H = Z 4 όπου H = 4 η κυκλική υποομάδα της Z 12 που παράγεται από το στοιχείο 4 Z 12. (Υπόδειξη: Δείξτε ότι η συνάρτηση φ : Z 12 Z 4 που ορίζεται με τη σχέση φ(a = a Z 4 για κάθε στοιχείο a Z 12 είναι καλά ορισμένη και επιμορφισμός ομάδων. Ά σ κ η σ η 6.6 Αν G = a είναι μια κυκλική ομάδα και H τυχούσα ομάδα δείξτε ότι κάθε ομομορφισμός f : G H ορίζεται πλήρως από το στοιχείο f(a H. Ά σ κ η σ η 6.7 Αν m 0 είναι ένας σταθερός ακέραιος δείξτε ότι το γνήσιο υποσύνολο {km/k Z} της προσθετικής ομάδας Z των ακεραίων είναι μια προσθετική υποομάδα της Z ισόμορφη με την Z. Ά σ κ η σ η 6.8 Αν k και n είναι θετικοί ακέραιοι και ο k διαιρεί τον n δείξτε ότι θα ισχύει η σχέση Z n /H = Z k όπου H = k. Ά σ κ η σ η 6.9 Θεωρείστε τις υποομάδες 6 και 30 της προσθετικής ομάδας Z των ακεραίων και δείξτε ότι ισχύει 6 / 30 = Z 5. Ά σ κ η σ η 6.10 Έστω G αντιμεταθετική προσθετική ομάδα πεπερασμένης τάξης m. Έστω επίσης n ένας θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε να ισχύει (m n = 1. Δείξτε ότι η συνάρτηση f n : G G που ορίζεται με τη σχέση f n (x = nx για κάθε x G είναι ένας ισομορφισμός ομάδων. Ά σ κ η σ η 6.11 Αν G είναι μια αντιμεταθετική ομάδα τάξης pq όπου p και q είναι πρώτοι αριθμοί δείξτε ότι υπάρχει μια τουλάχιστον μη τετριμμένη υποομάδα H της G διάφορη από την G. Να βρεθεί η ομάδα πηλίκο G/H. Ά σ κ η σ η 6.12 Έστω G μια ομάδα και C(G το κέντρο της G. Αν η G είναι μη αντιμεταθετική δείξτε ότι η ομάδα πηλίκο G/C(G δεν είναι κυκλική. Ά σ κ η σ η 6.13 Έστω G τυχούσα ομάδα και N μια κανονική υποομάδα της. Αν M είναι μια υποομάδα της ομάδας πηλίκο G/N δείξτε ότι το σύνολο M = {a G/aN M} είναι υποομάδα της G η οποία περιέχει την N. Δείξτε επίσης ότι αν η M είναι κανονική υποομάδα της G/N τότε η M είναι κανονική υποομάδα της G. Τέλος δείξτε ότι ισχύει M/N = M. Ά σ κ η σ η 6.14 Έστω G τυχούσα ομάδα και N μια κανονική υποομάδα της. Δείξτε ότι η G/N είναι αντιμεταθετική αν και μόνον αν ισχύει aba 1 b 1 N για κάθε a b G. 5

Ά σ κ η σ η 6.15 Έστω f : G H ένας ομομορφισμός ομάδων με πυρήνα N. Αν K είναι μια υποομάδα της G δείξτε ότι ισχύει f 1 (f(k = NK. Επιπλέον δείξτε ότι θα ισχύει f 1 (f(k = K αν και μόνον αν ο πυρήνας N περιέχεται στην K. Ά σ κ η σ η 6.16 Έστω f : G H ένας επιμορφισμός ομάδων. Θεωρούμε το σύνολο S(G όλων των υποομάδων K της G που περιέχουν τον πυρήνα Ker f του f και το σύνολο S(H όλων των υποομάδων της H. Ορίζουμε μια συνάρτηση Φ : S(G S(H με τη σχέση Δείξτε ότι ισχύουν 7 Ομάδα VII Φ(K = f(k για κάθε στοιχείο K S(G. (i η συνάρτηση Φ είναι αμφιμονότιμη και επί και (ii θα ισχύει Φ(K H αν και μόνον αν ισχύει K G. Ά σ κ η σ η 7.1 Έστω G μια πεπερασμένη ομάδα και x ένα στοιχείο της G. Αν ισχύει ord(x = [G : 1] δείξτε ότι η G είναι κυκλική. Να εξεταστεί αν ισχύει το ίδιο στην περίπτωση μιας μη πεπερασμένης ομάδας. Ά σ κ η σ η 7.2 Να βρεθούν όλα τα στοιχεία που μπορούν να παράγουν την ομάδα πηλίκο Z/ 20. Ά σ κ η σ η 7.3 Έστω G = a μια κυκλική ομάδα τάξης m. Αν n και k είναι θετικοί διαιρέτες του m τέτοιοι ώστε ο n να διαιρεί τον k δείξτε ότι ισχύει H n H k όπου H n και H k είναι οι κυκλικές υποομάδες της G που παράγονται από τα στοιχεία a m n και a m k αντίστοιχα. Ά σ κ η σ η 7.4 Αν G = a είναι μια κυκλική ομάδα και f : G H ένας ομομορφισμός ομάδων δείξτε ότι η εικόνα Im f = f(g του ομομορφισμού f είναι μια κυκλική υποομάδα της H. Ά σ κ η σ η 7.5 Αν G είναι άπειρη κυκλική ομάδα δείξτε ότι η συνάρτηση f : G G που ορίζεται από τη σχέση f(a = a 2 για κάθε στοιχείο a G είναι ένας μονομορφισμός αλλά όχι αυτομορφισμός ομάδων. Ά σ κ η σ η 7.6 Αν G είναι μια κυκλική ομάδα f ένας αυτομορφισμός της G και a ένα στοιχείο της G που παράγει την ομάδα G δείξτε ότι το στοιχείο f(a της G παράγει επίσης την ομάδα G. Ά σ κ η σ η 7.7 Έστω G μια κυκλική ομάδα και a b δύο στοιχεία της G που μπορούν να παράγουν τη G. Δείξτε ότι υπάρχει αυτομορφισμός f της G που ικανοποιεί την ισότητα f(a = b. (Υπόδειξη. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f : G = a G = b 6

που ορίζεται με τη σχέση f(a k = b k για κάθε k Z είναι ένας αυτομορφισμός. Ά σ κ η σ η 7.8 Αν G είναι μια ομάδα δείξτε ότι το σύνολο Aut G = {f : G G/f αυτομορφισμός} είναι μια ομάδα με πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων. Επίσης δείξτε ότι ισχύουν οι παρακάτω ισομορφίες ομάδων: (i Aut Z = Z 2 (ii Aut Z 6 = Z2 (iii Aut Z p = Z p όπου p πρώτος αριθμός και Z p η πολλαπλασιαστική ομάδα των μη μηδενικών στοιχείων του Z p. 8 Ομάδα VIII Ά σ κ η σ η 8.1 Έστω G και H πεπερασμένες κυκλικές ομάδες. Δείξτε ότι το (εξωτερικό ευθύ γινόμενο G H είναι κυκλική ομάδα αν και μόνον αν ισχύει (m k = 1 όπου m = [G : 1] και k = [H : 1]. (Υπόδειξη. Αν ισχύουν G = a και H = b όπου ord(a = m ord(b = k και επιπλέον (m k = 1 δείξτε ότι η τάξη του στοιχείου (a b G H είναι mk. Αντίστροφα αν G H = (g h τότε τάξη του (g h θα πρέπει να είναι ίση με [G H : 1] = mk. Αν τώρα (m k = r και ισχύουν m = m 1 r και k = k 1 r τότε θα έχουμε (g h m 1k 1 r = (e e. Επομένως θα πρέπει να ισχύει mk m 1 k 1 r οπότε προκύπτει r = 1. Ά σ κ η σ η 8.2 Δείξτε ότι κάθε κανονική υποομάδα της ομάδας G H είναι της μορφής K 1 K 2 όπου K 1 G και K 2 H. (Υπόδειξη. Αν K είναι μια κανονική υποομάδα της G H τότε θα ισχύει K = K 1 K 2 όπου K 1 = {a G/(a b K για κάποιο b H} και K 2 = {b H/(a b K για κάποιο a G}. Ά σ κ η σ η 8.3 Δείξτε ότι ισχύουν οι σχέσεις Z 15 = Z3 Z 5 και Z 30 = Z2 Z 3 Z 5. Ά σ κ η σ η 8.4 Αν H και K είναι δύο κανονικές υποομάδες μιας ομάδας G δείξτε ότι η ομάδα G/(H K είναι ισόμορφη με μια υποομάδα της ομάδας (G/H (G/K. Ά σ κ η σ η 8.5 Αν a και b είναι δύο στοιχεία μιας ομάδας G τάξης 2 και 3 αντίστοιχα να βρεθεί η τάξη όλων των στοιχείων της ομάδας H K όπου H = a και K = b. Δείξτε επίσης ότι η ομάδα H K είναι κυκλική και να βρεθεί ένας ισομορφισμός φ : H K Z 6. 7

Ά σ κ η σ η 8.6 Θεωρούμε την πολλαπλασιαστική ομάδα Z 15 όλων των αντιστρέψιμων στοιχείων της ομάδας Z 15 και τα στοιχεία a = 11 και b = 2 της ομάδας Z 15. Δείξτε ότι κάθε στοιχείο g της ομάδας Z 15 μπορεί να εκφραστεί με μοναδικό τρόπο στη μορφή g = a r b s όπου r = 0 1 και s = 0 1 2 3. Αν H = a και K = b είναι οι κυκλικές υποομάδες της Z 15 που παράγονται από τα στοιχεία a και b αντίστοιχα να κατασκευαστεί ένας ισομορφισμός φ : Z 15 H K. Τέλος δείξτε ότι ισχύει η σχέση Z 15 = Z 2 Z 4. 9 Ομάδα IX Ά σ κ η σ η 9.1 Θεωρούμε έναν K -διανυσματικό χώρο V πεπερασμένης διάστασης m και την πολλαπλασιαστική ομάδα K = K {0} του σώματος K. Δείξτε ότι η συνάρτηση K V V η οποία απεικονίζει το τυχόν στοιχείο (λ x K V στο λx V είναι μια δράση της ομάδας K στο σύνολο V. Να βρεθούν οι τροχιές της δράσης αυτής και η ομάδα ευσταθείας των στοιχείων του V. Ά σ κ η σ η 9.2 Θα λέμε ότι η δράση μιας ομάδας G σε ένα σύνολο X είναι μεταβατική αν για τυχόντα στοιχεία x y του X υπάρχει g G τέτοιο ώστε να ισχύει g x = y. Δείξτε ότι η δράση μιας ομάδας G σε ένα σύνολο X είναι μεταβατική αν και μόνον αν υπάρχει μία και μοναδική τροχιά της G στο X. Ά σ κ η σ η 9.3 Έστω H υποομάδα μιας ομάδας G και X = {ah/a G} το σύνολο όλων των κλάσεων της H στη G. Θεωρούμε τη δράση της G στο X που ορίζεται με τη σχέση g ah = gah για κάθε g G και κάθε στοιχείο ah X. Να βρεθούν οι τροχιές και οι ομάδες ευσταθείας των στοιχείων του X. Ά σ κ η σ η 9.4 Θεωρούμε την υποομάδα H της ομάδας G το σύνολο X και τη δράση της G στο X που είδαμε στην άσκηση 9.3. Δείξτε ότι ο πυρήνας του ομομορφισμού f : G S(X που ορίζεται από τη σχέση f(g = τ g για κάθε g G περιέχεται στην υποομάδα H. Ά σ κ η σ η 9.5 Έστω H υποομάδα μιας ομάδας G με δείκτη m. Αν η υποομάδα H δεν περιέχει καμία μη τετριμμένη κανονική υποομάδα της G δείξτε ότι η ομάδα G είναι ισόμορφη με μια υποομάδα της S m. Υπόδειξη: Χρησιμοποιείστε την άσκηση 9.4. Ά σ κ η σ η 9.6 Έστω p > 1 ένας πρώτος αριθμός και G μια ομάδα πεπερασμένης τάξης p 2. Δείξτε ότι η G έχει μη τετριμμένο κέντρο δηλαδή C(G e. Δείξτε επίσης ότι η ομάδα G είναι αντιμεταθετική. Υπόδειξη: Χρησιμοποιείστε την εξίσωση κλάσεων. Ά σ κ η σ η 9.7 Έστω G μια ομάδα τάξης pn όπου p είναι ένας πρώτος αριθμός μεγαλύτερος από τον αριθμό n. Αν η τάξη μιας υποομάδας H της G είναι p δείξτε ότι η H είναι κανονική υποομάδα της G. Υπόδειξη: Χρησιμοποιείστε την άσκηση 9.4. 8