Testimi i hipotezave/kontrollimi i hipotezave Mostra e madhe Ligjërata e tetë 1 Testimi i hipotezave/mostra e madhe Qëllimet Pas orës së mësimit ju duhet ë jeni në gjendje që të: Definoni termet: hipotezë dhe testimi i hipotezave Përshkruani hapat në procedurën e testimit të hipotezave Bëni dallimin në mes të testimit të hipotezave të testit njëanësor dhe dy-anësor. Testoni hipotezën rreth mesatares së populacionit dhe proporcionit të populacionit Testoni hipotezën rreth dallimeve në mes të dy mesatareve të populacionit dhe dy proporcioneve të populacionit. Definoni gabimet e Llojit të Parë dhe Llojit të Dytë. 2 1
Testimi i hipotezave Analizojmë një rast jostatistikor: Ekziston dyshimi se personi i caktuar ka kryer vepër penale dhe për këtë duhet të gjykohet. Në bazë të dhënave dhe dëshmive, gjykatësi do të bjerë një nga vendimet e mundshme: 1. Personi është i pafajshëm 2. Personi është i fajshëm. Në fillim të gjykimit gjithmonë konsiderohet se personi nuk është fajtor. 3 Testimi i hipotezave Dy hipoteza: Në statistikë shprehja: Personi është i pafajshëm, quhet Hipotezë zero, derisa shprehja Personi është i fajshëm quhet hipotezë alternative Hipoteza zero: H 0 Personi është i pafajshëm Hipoteza alternative: H 1 Personi është i fajshëm 4 2
Çka është hipoteza? Hipoteza: Supozim (pohim) rreth vlerës së parametrit të populacionit e zhvilluar për qëllime të testimit. Shembuj të parametrave janë mesatarja e populacionit ose proporcioni i populacionit Parametrat duhet të identifikohen para analizës Unë pohoj se nota mesatare e kësaj klase është µ= 3.5! 5 9-4 Çka është testimi i hipotezave? Testimi i hipotezave: Procedurë, e bazuar në të dhënat e mostrës dhe teorinë e probabilitetit, të përdoruara për të përcaktuar se hipoteza a është një deklarim i arsyeshëm dhe nuk duhet të refuzohet, ose është i paarsyeshëm dhe duhet të refuzohet. 6 3
Hipoteza zero H 0 Hipoteza zero H 0 : Pohimi (Supozimi) rreth vlerës së parametrit të populacionit Fillon me supozimin se hipoteza zero është e vërtetë. - Ngjashëm me rastin e personit që do të jetë i pafajshëm derisa të vërtetohet fajësia e tij. Gjithmonë e përmban shenjën e =, ose Mundet ose nuk mund të refuzohet. Zakonisht formulohet: Nuk ka dallime signifikante në mes të.. 7 Hipoteza alternative H 1 Hipoteza alternative H 1 : Pohimi/supozimi që pranohet nëse të dhënat e mostrës sigurojnë evidencën se hipoteza zero nuk është e vërtetë. Është e kundërta e hipotezës zero. Kurrë nuk e përmban shenjën e =, ose Gjithmonë përmban njërën nga shenjat:, < ose > Mund ose jo të pranohet. Në përgjithësi është hipotezë që besohet (ose ka nevojë të provohet) të jetë e vërtetë nga hulumtuesi. 8 4
Procesi i testimit të hipotezave Supozojmë se mosha mesatare e populacionit është 50. ( H0 : 50 ) Identifikimi i populacionit Nëse X 20 a është e mundur? Jo, nuk është e mundshme! Zgjedhja e mostrës Refuzo Hipotezën zero X 20 Arsyet për refuzimin e H 0 Distribucioni sampling i X 20 Nuk ka mundësi që të fitojmë mesataren nga mostra në këtë vlerë... μ = 50 Nëse H 0 është e vërtetë... Në se në të vërtetë kjo do të ishte mesatarja e popullimit X... Për këtë ne refuzojmë hipotezën zero μ = 50. 10 5
Niveli i signifikancës/rrezikut (α) Niveli i signifikancës: Probabiliteti i hedhjes së hipotezës zero kur ajo është e vërtetë. Quhet regjioni i hedhjes së distribucionit të mostrave. Shënohet me α (niveli i signifikancës) Vlerat tipike janë 0.01, 0.05, 0.10 Zgjedhet nga hulumtuesi që në fillim Siguron vlerat kritike të testit. 11 Niveli i signifikancës dhe regjioni i refuzimit Niveli i signifikancës = a H 0 : μ = 3 H 1 : μ 3 H 0 : μ 3 H 1 : μ > 3 H 0 : μ 3 H 1 : μ < 3 Testi dyanësor a a /2 Testi i epërm/ i djathtë -Test i njëanësor Testi i poshtëm/ i majtë- Test i njëanësor 0 0 0 a (Vlerat kritike) /2 a Regjioni i refuzimit është me hije 12 6
Gabimet në marrjen e vendimeve Gabimi i Llojit të Parë Refuzimi i hipotezës zero kur ajo është e vërtetë Ka pasoja serioze Probabiliteti për Gabimin e llojit të Parë është α Quhet niveli i signifikancës Vendoset nga hulumtuesi Gabimi i Llojit të Dytë Dështimi në refuzimin e hipotezës zero kur ajo nuk është e vërtetë. Probabiliteti i Gabimit të llojit të dytë është β Fuqia e testit është (1- β) 13 Gabimet në marrjen e vendimeve Probabiliteti për të mos bërë gabimin e Llojit të Parë është 1a Quhet koeficienti i besueshmërisë ose konfidencës. (vazhdim 7
Qasjet në tesitimin e hipotezave Qasja e vlerës kritike Qasja e vlerës së probabilitetit/ vlera p 15 Qasja e Vlerës kritike për testim të hipotezave Konvertimi i statistikave të mostrës (p.sh. : X ) në teste statistikore (p.sh. Z, t ose F testi) Sigurimi i vlerave kritike) për një vlerë të specifikuar të nga tabela ose kompjutori a Nëse testi statistikor gjindet në regjionin kritik, atëherë refuzohet H 0 Në të kundërtën nuk refuzohet H 0 8
Qasja e probabilitetit- Vlerës p - për testimin e hipotezave Konvertimi i statistikave të mostrës (p.sh. ) në teste statistikore (p.sh. Z, t ose F testi) Sigurimi i vlerave të p nga tabela ose përmes kompjuterit Nëse vlera e p është më e madhe se niveli i signifikancës α, H 0 nuk refuzohet. Nëse vlera e p është më e vogël se niveli i signifikancës α, H 0 refuzohet. Krahasohen vlerat e p me α Nëse vlera e p a, Mos refuzo H 0 Nëse vlera e p a Refuzo H 0 X Fazat e Testimit të hipotezave Hapi I. Formulimi i Hipotezës Zero (H 0 ) dhe Hipotezës Alternative (H 1 ) Hapi 2. Zgjedhja e nivelit të signifikancës/rrezikut Hapi 3. Identifikimi i Testit statistikor ( Z, t, F, Testi hi në katror) Hapi 4. Formulimi i Rregullës së vendosjes Hapi 5. Zgjedhja e mostrës dhe marrja e vendimit Mos e refuzo hipotezën zero H 0 Refuzo H 0 dhe prano H 1 18 9
Testimi për mesataren aritmetike: Mostra e madhe, Devijimi standard i populacionit është i njohur Kur bëjmë testimin për mesataren e populacionit nga mostra e madhe dhe kur dihet devijimi standard i populacionit testi statistikor jepet me këtë formulë: X X X m Z ose T ( si ne liber, fq.334) / n g( X) 19 9-13 Shembull 1 Procesori i firmës për prodhimin e keçapit tregon shenjën se një shishe keçap ka 16 ons (28,35gr) keçap. Një mostër prej 36 shisheve është matur dhe ka dalë se pesha mesatare është 16.12 ons keçap me devijim standard 0.5 ons. Me nivel të signifikancës 0.05 a është procesi jashtë kontrollit? 20 10
9-14 Shembull 1 vazhdim Hapi 1: Formulimi i hipotezës zero dhe hipotezës alternative H : 16 H : 16 0 1 Hapi 2: Niveli i signifikancës 0.05, kurse probabiliteti është 0,95, testi është dyanësor, ɑ/2=0.05/2=0.025, vlera kritike është 1.96 Hapi 3: Vendosja e rregullës së marrjes së vendimit: H 1.96 0 refuzohet nese z Hapi 4: Llogaritja e testit statistikor Z: z [16.12 16]/[0.5/ 36] 1.44 Hapi 5: Vendimi për H 0 : H 0 nuk refuzohet sepse vlera e Z=+ 1.44 është më e vogël se vlera kritike 1.96 21 Shembull : Testi dyanësor Kutia me drithëra në mesatare a përmban 368 gram drithëra? Një mostër e rastësishme prej 25 kutive ka treguar peshën X = 372.5. Kompania ka specifikuar që të jetë 15 gram. Testoni në nivelin e signifikanës a 0.05. 368 gm. H 0 : 368 H 1 : 368 11
Zgjedhja e shembullit: Testi dyanësor/qasja e vlerës kritike H 0 : 368 H 1 : 368 a = 0.05 n = 25 Vlera kritike: ±1.96.025-1.96 0 1.96 Z=1.50 Refuzo.025 Z Testi statistikor: X 372.5 368 Z 1.50 15 n 25 Vendimi: Mos refuzo në nivelin a =.05 Konkluzion: Nuk ka të dhëna që mesatarja e vërtetë nuk është 368 Zgjedhja përmes vlerës së P (Vlera e p = 0.1336) (a = 0.05) Mos refuzo. Vlera e p = 2 x 0.0668 Refuzo Refuzo a = 0.05 0 1.50 Z 1.96 Testi statistikor 1.50 është në regjionin Mos refuzo 12
Testi njëanësor Z për mesatare Supozimet ( dihet ) Populacioni ka shpërndarje normale Nëse nuk është normal kërkohen mostra më të mëdha Vetëm Hipoteza zero ka shenjën Z Testi statistikor Z X X X X / n ose Shembull : Testi njëanësor Kutia me drithëra në mesatare a përmban më shumë se 368 gram drithëra? Një mostër e rastësishme prej 25 kutive ka treguar peshën X = 372.5. Kompania ka specifikuar që të jetë 15 gram. Testoni në nivelin e signifikanës a 0.05 368 gm. H 0 : 368 H 1 : > 368 13
Gjetja e Vlerës kritike: Njëra anë a = 0.05? Pjesë e Tabeles se distribucionit standard normal Z 1.45 a =.05 Z.04.05.06 1.6 0.4495.4505.4515 1.7.4591.4599.4608 Vlera kritike = 1.645 0 1.645 Z 1.8.4671.4678.4686 1.9.4738.4744.4750 Zgjedhja e shembullit : Testi një anësor H 0 : 368 H 1 : > 368 a = 0.5 n = 25 Vlera kritike: 1.645 0 1.645 1.50 Test Statistic: X 372.5 368 Z 1.50 15 / 25 n Refuzo.05 Z Vendimi: Mos refuzo në nivelin a =.05 Konkluzion: Nuk ka evidencë se mesatarja e vërtetë është më e madhe se 368 gr. 14
Zgjedhja përmes vlerës së P Vlera e p është P(Z 1.50) = 0.0668 Përdorë hipotezën alternative për të gjetur drejtimin e regjionit të refuzimit. Vlera ep =0.0668 0.5000-0.4332.0668 Nga tabela Z: shiko te 1.50 për të gjetur 0.4332 0 1.50 Z Vlera e Z për statistikën e mostrës Zgjedhja përmes vlerës së P (Vlera e P = 0.0668) (a = 0.05) Mos refuzo. Vlera e p = 0.0668 (vazhdim) Refuzo a = 0.05 2002 Prentice-Hall, Inc. 0 1.50 1.645 Testi statistikor 1.50 është në Regjionin Mos refuzo Z 15
9-20 Testimi i hipotezave për barabarësinë e Dy mesatareve të populacionit Supozojmë parametrat për dy populacione janë : 1, 2, 1, dhe 2 Për mostra të mëdha testi statistikor është: X1 X2 z 2 2 1 2 n n 1 2 31 9-21 Testimi i hipotezave për barabarësinë e Dy mesatareve të populacionit Kur 1 dhe 2 nuk dihen mirëpo madhësia e mostrës n1 dhe n2 janë më të mëdha ose të babrabarta me 30, testi statistikor është: z X n X 1 2 n 2 2 1 2 1 2 32 16
Shembull Supozojmë se ekziston dyshimi se bateritë e telefonave mobil te firmave Samsung dhe Nokia nuk janë të kualitetit të njëjtë në kuptimin e qëndrueshmërisë. Për të verifikuar këtë supozim kemi marrë mostra nga dy llojet e baterive. Të dhënat e fituara janë dhenë në tabelën vijuese Testoni se a është i arsyeshëm supozimi, në nivelin e signifikancës 0.01 Samsung Nokia Mesatarja - 9.7 h 10.0 h X Varianca - σ 2 (1 h ) 2 (1.2 h ) 2 Madhësia e mostrës (n) 25 16 33 9-23 Zgjedhja përmes vlerës kritike vazhdim Hapi 1: H : H : 0 1 2 1 1 2 Hapi 2 Niveli i signifikancës 0,01, testi dyanësor, α/2= 0.01/2=0.005, Vlera akritike 2.58 X1 X2 9.7 10.0 Hapi 3: Zgjedhim testin Z; z 0.88 2 2 1 2 1 1.2 n n 25 16 1 2 Hapi 4: Rregulla e vendosjes: Refuzo H 0 nëse z >2.58 Hapi 5: Meqenëse Z = -0.88<2.58, H 0 nuk refuzohet. Nuk ka arsye që të dyshojmë se bateritë e telefonave Samsung dhe Nokia janë të kualitetit të ndryshëm. 34 17
Zgjidhje përmes vlerës së probabilitetit (Vlera p) Për z=-0.88, sipërfaqja nën lakoren normale është 0,3106. Vlera e probabilitetit 0.5-0,3106=0.1894 Meqe testi është dyanësor atëherë vlera e p është 2x0.1894=0.3788 p=0.3788; α=0.01 Meqenëse p> α, atëherë nuk e refuzojmë hipotezën zero, dhe konkludojme se nuk ka dallime ne kualitetin e baterive në mes të Samsung dhe Nokia. 35 9-24 Testet në lidhje me proporcionin/përpjesën p Proporcioni: Pjesa ose përqindja që tregon pjesën e populacionit ose mostrës që është me interes të veçantë për të trajtuar. Proporcioni/përpjesa i mostrës m numri i rasteve te volitshme numri i elementeve te mostres m n 36 18
9-25 Testi statistikor për testimin e një proporcioni të populacionit z p p m p m p pq n proporcioni i populacionit - proporcioni i mostres 37 9-26 Shembull Në të kaluarën, 15% e kërkesave të rregullta për ndihma bamirësie ka rezultuar në kontribute financiare. Një letër e re e kërkesave është përpiluar dhe është dërguar te 200 njerëz dhe 45 prej tyre janë përgjigjur duke ofruar ndihmë financiare. Me nivel të signifikancës 0.05, gjegjësisht me probabilitet 0,95 a mund të përfundohet se letra e re është më efektive? 38 19
9-27 Shembull vazhdim Hapi 1: Hapi 2: Niveli i signifikancës 0,05, Hapi 3: H 0 refuzohet kur z>1.645 Hapi 4: H : P 0.15 H : P 0.15 z 0 1 45 0.15 200 2.97 (0.15)(0.85) 200 Hapi 5: Meqë z = 2.97 >1.645, H 0 Refuzohet. Letra e re ka qenë më efektive 39 9-28 Testi që përfshin dallimet në mes të proporcioneve e dy populacioneve Testi statistikor në këtë rast është : z p p 1 2 p q p q n n 1 1 2 2 1 2 40 20
9-30 Shembull Shembulli nga libri, fq. 340 Një ndërmarrje ka blerë bateri elektrike prej dy prodhuesve. Nga prodhuesi i parë janë zgjedhur 220 bateri dhe është konstatuar se 35 janë defekte. Nga prodhuesi i dytë janë zgjedhur 260 bateri dhe 26 prej tyre janë me defekt. Me probabilitet 90% ose nivel të signifikancës 10% të vërtetohet se a ekziston dallim i rëndësishëm në cilësinë e baterive në mes të këtyre dy prodhuesve. 41 9-31 shembull 5 vazhdim Hapi 1: Hapi 2: Niveli i signifikances 0,10, probabiliteti 90%, vlera kritike është 1.645 Hapi 3: H 0 refuzohet nëse z >1.645 Hapi 4: z H : P P H : P P 0 1 1 1 1 1 0,159 0.10 1,916 0.1590,841 0,10 0,90 220 260 42 21
9-32 Shembull 5 vazhdim Hapi 5: H 0 nuk pranohet dhe hidhet poshtë, dmth. pranohet hipoteza alternative se dallimi në mes të kualitetit të baterive në mes të dy prodhuesve është signifikant. Meqenëse vlera e llogaritur e testit është më e madhe se vlera kritike tabelore hedhet poshtë hipoteza zero. 1,916>1,645. 43 Shënim Testi dyanësor Nëse Z<-z ɑ/2 ose Z>z ɑ/2 refuzo hipotezën zero dhe prano hipotezën alternative. Testi një anësor i majtë Nëse Z<-z ɑ refuzo hipotezën zero.. Testi një anësor i djathtë Nëse Z>z ɑ refuzo hipotezën zero 44 22