Μαθηµατικές Μέθοδοι (Μοντελοποίηση) Μεθοδολογία Μοντελοποίησης Αρχές ιατήρησης Βαθµοί Ελευθερίας και Ρύθµιση Μη Γραµµικά / Γραµµικά Συστήµατα Τεχνικές Γραµµικοποίησης 1
Μεθοδολογία Μοντελοποίησης! Ορισµός Ζητουµένων σκοποί της ανάλυσης επιθυµητή ακρίβεια! Νοητικό Μοντέλο σχήµα διεργασίας (εποπτικό διάγραµµα) καταγραφή παραδοχών προσδιορισµός µεταβλητών-κλειδιών 2
Μεθοδολογία Μοντελοποίησης! ιατύπωση µοντέλου εξισώσεις διατήρησης καταστατικές σχέσεις ανάλυση βαθµών ελευθερίας αδιαστατοποίηση! Επίλυση αναλυτική (επαλήθευση) αριθµητική (επαλήθευση) 3
Μαθηµατική Μοντελοποίηση! Επαλήθευση µοντέλου επαλήθευση προβλέψεων του µοντέλου µε ανεξάρτητα δεδοµένα! Ανάλυση αποτελεσµάτων και ερµηνεία γραφική παράσταση δεδοµένων αναζήτηση τάσεων στη συµπεριφορά και εξήγηση 4
Μαθηµατική Μοντελοποίηση! Παραµετρική µελέτη και εξερεύνηση εξερεύνηση επίδρασης των παραµέτρων του µοντέλου επίδραση της αβεβαιότητας των δεδοµένων πάνω στα αποτελέσµατα σενάρια what-if (αλλαγές στις συνθήκες λειτουργίας, στρατηγική ρύθµισης, κλπ.) 5
Μαθηµατική Μοντελοποίηση! ύο βασικοί τύποι µηχανιστικών µοντέλων: µοντέλα χονδρικών παραµέτρων (bulk) αγνοούν µεταβολές στο χώρο µοντέλα κατανεµηµένων παραµέτρων (distributed) θεωρούν µεταβολές στο χώρο! Θα εστιάσουµε σε µοντέλα χονδρικών παραµέτρων 6
Αρχές ιατήρησης! Γενική εξίσωση διατήρησης της µάζας (εξίσωση συνέχειας) Μεταβολή µαζικής παροχής = µαζική παροχή εισόδου - µαζική παροχή εξόδου = ρυθµός εισροής - ρυθµός εκροής 7
Αρχές ιατήρησης! Ειδική εξίσωση διατήρησης της µάζας (mole) κάθε στοιχείου ή συστατικού Μεταβολή της µαζικής (mole) παροχής = µαζική (mole) παροχή εισόδου - µαζική (mole) παροχή εξόδου + παραγωγή µαζικής (mole) παροχής 8
Αρχές ιατήρησης! Γενική εξίσωση διατήρησης της ενέργειας Μεταβολή ρυθµού ενέργειας στο σύστηµα = ρυθµός ενέργειας από την µαζική παροχή στην είσοδο - ρυθµός ενέργειας από την µαζική παροχή στην έξοδο + προστιθέµενη θερµότητα στο σύστηµα - επιτελούµενο έργο από το σύστηµα 9
Αρχές ιατήρησης! Παραδείγµατα καταστατικών σχέσεων Ο νόµος του Νεύτωνα για το ιξώδες Ο νόµος του Fourier για την αγωγή της θερµότητας Ο νόµος του Fick για τη διάχυση της µάζας Σχέσεις µεταφοράς σε οριακά στρώµατα Σχέσεις PVT (θερµοδυναµικής) Σχέσεις ροής στις βαλβίδες, κλπ... 10
Αρχές ιατήρησης! Παράδειγµα: : µη-ισοθερµοκρασιακός αντιδραστήρας ανάδευσης (CSTR = continuous flow stirred-tank tank chemical reactor) w 0 C 0,C B0 T 0 T J V, T, C,C B w, T, C, C B 11
Αρχές ιατήρησης! Παραδοχές: πλήρης ανάµειξη µη αµελητέοι όροι ενέργειας: εσωτερική ενέργεια, έργο PV, µεταφορά θερµότητας χηµική κινητική 2ης τάξης αµελητέα επίδραση της πίεσης θερµοκρασία τοιχωµάτων σταθερή T J 12
Αρχές ιατήρησης! Εξίσωση διατήρησης της µάζας (ολική) d( ρv) dt = ρ w 0 0 ρw 13
Αρχές ιατήρησης! Εξισώσεις διατήρησης της µάζας (mole) κάθε συστατικού ( ) dcv dt ( ) dcv B dt ( ) 2 0 0 = C w C w k T C V ( ) 2 B0 0 B = C w C w+ k T C V 14
Αρχές ιατήρησης! Εξίσωση διατήρησης της ενέργειας de ( ) dt = wh wh+ Q! W! 0 0 15
Αρχές ιατήρησης! Καταστατικές σχέσεις ενθαλπία ( ) 0 Hi = Hi Tref + CpidT ενέργεια του συστήµατος T T ref ( ) E ΣU = Σ HV PV i i i i 16
Αρχές ιατήρησης! Καταστατικές σχέσεις έργο αναδευτήρα W! = f (συνθήκες λειτουργίας) µεταφορά θερµότητας από τα τοιχώµατα!q = U T T ( ) J 17
Αρχές ιατήρησης! Καταστατικές σχέσεις... εξίσωση για την πυκνότητα ρ= ρ( C, T) i εξίσωση για την ειδική θερµότητα ( ) C = C T pi pi 18
Βαθµοί Ελευθερίας! Ανάλυση βαθµών ελευθερίας για τον προσδιορισµό της συνέπειας του µοντέλου: NF = NV NE N F : βαθµοί ελευθερίας του συστήµατος N V : αριθµός µεταβλητών του συστήµατος N E : αριθµός εξισώσεων 19
Βαθµοί Ελευθερίας! Πέρα από τις µεταβλητές της διεργασίας, υπάρχουν επίσης παράµετροι που χαρακτηρίζουν το σύστηµα (π.χ., πυκνότητα ρευστού, διαστάσεις αντιδραστήρα, κλπ.) που πρέπει να καθοριστούν.! Αν οι παράµετροι συνδέονται µε τις µεταβλητές του συστήµατος (π.χ., εξάρτηση της πυκνότητας από τη θερµοκρασία), τότε πρέπει να θεωρηθούν σαν µεταβλητές της διεργασίας. 20
Βαθµοί Ελευθερίας! Τρεις περιπτώσεις: (i) N F = 0 : πλήρως καθορισµένο (ii) N F > 0 : ελλιπώς καθορισµένο (iii) N F < 0 : υπερπλήρως καθορισµένο 21
Βαθµοί Ελευθερίας! Επίδραση της ρύθµισης στους βαθµούς ελευθερίας: συσχετίζοντας τη µεταβλητή χειρισµού µε τη ρυθµιζόµενη µεταβλητή, κάθε βρόχος ρύθµισης προσθέτει µια παραπάνω εξίσωση στο σύστηµα και µειώνει τους βαθµούς ελευθερίας κατά 1. 22
Βαθµοί Ελευθερίας! Παράδειγµα: : θερµαντήρας δοχείου ανάδευσης T i w i M T w 23
Βαθµοί Ελευθερίας! Η εξίσωση διατήρησης της ενέργειας Vρ C dt wc ( T T) p = p i + Q! dt 24
Βαθµοί Ελευθερίας! Παράµετροι µοντέλου: V, ρ, C p! Μεταβλητές µοντέλου: T, w, T i, Q! Αριθµός εξισώσεων: 1! Βαθµοί ελευθερίας: 4-1=34 25
Βαθµοί Ελευθερίας! Στην περίπτωση αυτή το σύστηµα έχει 3 δεδοµένα εισόδου: w, T i, Q και ένα δεδοµένο εξόδου: T! προσθήκη βρόχου ρύθµισης για τη θερµότητα Q στην έξοδο του θερµαντήρα θα µειώσει τους βαθµούς ελευθερίας στους 2 (w( και T i παραµένουν ως διαταραχές) 26
Βαθµοί Ελευθερίας! Για τη µοντελοποίηση του συστήµατος, οι διαταραχές πρέπει να καθοριστούν αναφέρονται ως συναρτήσεις φορτίου µε τον προσδιορισµό τους, είναι δυνατός ο έλεγχος της απόδοσης του σχεδιασµού ρύθµισης Στην πράξη, αυτές δεν είναι γνωστές καθορίζονται εδώ για να γίνει εφικτή η µοντελοποίηση του συστήµατος (ανάλυση σεναρίου what-if) 27
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Εστιάζουµε εδώ την προσοχή µας στη γραµµική ρύθµιση διεργασιών θεωρούµε γραµµικά συστήµατα αν τα συστήµατα είναι µη γραµµικά, πρέπει να εφαρµόσουµε µεθόδους γραµµικοποίησης 28
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Ορισµός γραµµικού τελεστή, L ( + ) = ( ) + ( ) Lax bx alx blx Παραδείγµατα: 1 2 1 2 Lx ( ) Lx ( ) = 2x = 2x 3 γραµµικός τελεστής µη γραµµικός τελεστής 29
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Γραµµικές διαφορικές εξισώσεις a n n d y n dt n d dt () t + a () t +... a () t y = a () t n 1 1 y n 1 1 0 30
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Παράδειγµα γραµµικής διαφορικής εξίσωσης Vρ C dt wc ( T T) p = p i + Q! dt θεωρούµε ότι C p και ρ είναι ανεξάρτητα της T, το Q είναι το πολύ γραµµική συνάρτηση της T 31
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Παράδειγµα µη γραµµικής διαφορικής εξίσωσης V dc dt ( ) 2 0 0 = C w C w k T C V ο όρος του ρυθµού αντίδρασης εισάγει µη γραµµικότητα, ακόµα και αν το k είναι σταθερά 32
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Σε ορισµένες περιπτώσεις, η µη γραµµικότητα συσχετίζεται µε τη σύζευξη δύο εξισώσεων από τις οποίες η µία είναι µη γραµµική: d ( ρv) dt ( ) ( ) = ρ w ρw V 0 0 dcv = C0w0 Cw kcv dt Η εξίσωση για το V µπορεί να είναι µη γραµµική η σύζευξη εξίσωσης διατήρησης των συστατικών µε το V δηµιουργεί παραπάνω δυσκολίες 33
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Για να εφαρµόσουµε τη θεωρία γραµµικής ρύθµισης διεργασιών, χρειάζεται να γραµµικοποιήσουµε το σύστηµα! Ακολουθούµε την παρακάτω διαδικασία: µετατρέπουµε το σύστηµα σε ένα σύστηµα διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης αποµονώνουµε τους όρους µε παραγώγους εφαρµόζουµε τη θεωρία ανάπτυξης σειρών κατά Taylor γύρω από τις συνθήκες µόνιµης κατάστασης για όλα τα µη γραµµικά στοιχεία, και κρατάµε µόνο όρους 1ης τάξης 34
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Παράδειγµα: : Μη-ισοθερµοκρασιακός αντιδραστήρας CSTR µε θερµαινόµενα τοιχώµατα θεωρούµε οµοιόµορφη ροή, w,, µε σταθερές ιδιότητες θεωρούµε κινητική 2ης τάξης τοιχώµατα παραµένουν σε σταθερή θερµοκρασία, T J V dc dt ( ) E/ RT = wc C Vke C 0 0 2 ρvc dt dt ( ) ( ) E/ RT 2 ( ) = ρwc T T + H k e C U T T P P 0 R 0 J 35
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Θεωρούµε ότι µπορούν να µεταβληθούν οι παρακάτω παράµετροι (διαταραχές): συγκέντρωση εισόδου C 0 θερµοκρασία εισόδου T 0! Οι διαταραχές αυτές θα οδηγήσουν σε µεταβολές σε C και T 36
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! ιαµορφώνουµε τις εξισώσεις ως εξής: dc dt w ( ) V C C k e E/ RT = C 0 0 2 dt dt w ( ) ( ) V T T HR k 0 C E RT U = + 0 / 2 e C CV T ρ ρ P P ( T ) J 37
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Έστω F w ( ) V C C k e E/ RT = C 0 0 2 ( ) G w ( ) V T T HR k E RT U = + 0 / 2 e C C CV T 0 ρ ρ P P ( T ) J 38
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Εφαρµόζουµε ανάπτυξη σειράς κατά Taylor γύρω από συνθήκες µόνιµης κατάστασης, θεωρώντας µεταβολές σε C 0, T 0, C, και T,, π.χ., F F F = F C T C T + + C T ( ) ( C C ) ( T T ) 0, 0,, 0 0, 0 0, 0 F F + + C T ( C ) C, ( T T ) 0 39
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Παρόµοια για το G... G G G = G C T C T + + C T ( ) ( C C ) ( T T ) 0, 0,, 0 0, 0 0, 0 G G + + C T ( C ) C, ( T T ) 0 40
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Ορισµένα σχόλια προτού προχωρήσουµε: αφού έχουµε αναπτύξει τα F και G γύρω από τις συνθήκες µόνιµης κατάστασης, παρατηρούµε ότι dc FC ( T C T),,, = = dt 0 0 0 dt GC ( T C T),,, = = dt 0 0 0 41
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Οι ποσότητες C 0 - C 0, 0,, T 0 - T 0,, κλπ., αντιπροσωπεύουν την χρονική µεταβολή των C 0, T 0, κλπ., και καλούνται µεταβλητές απόκλισης (deviation variables) ή µεταβλητές διαταραχής (perturbation variables)... 42
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Αρχική µεταβλητή και µεταβλητή διαταραχής steady-state value perturbation variable 1.4 0.4 F 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 transient value F' 0.2 0.0 0.0-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.4-0.6 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Time (s) -0.8 Time (s) 43
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Σηµειώνουµε επίσης ότι αν είναι x µια χρονικά εξαρτηµένη µεταβλητή και x p είναι η διαταραγµένη µορφή της µεταβλητής αυτής, τότε ισχύει dx dt = dx dt p 44
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Στο παράδειγµά µας... Υπενθυµίζουµε ότι dc dt w F ( ) V C C k e E/ RT = C 0 0 2 45
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Παραγώγιση του F ως προς τις µεταβλητές C 0, C, T 0, T, δίνει F C 0 = w V F C w = V ke E/ RT 2 0 C, F T0 = 0 F T = k E RT e E/ RT C 0 2 2, 46
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Η γραµµικοποιηµένη µορφή του dc /dt τότε γίνεται dc dt F p F p F p F( C 0, T0, C, T) + C C T 0 + + 0 + C C T w V C p w E/ RT p = 0 + + 2ke C, C + 0 k V 0 0 0 0 2 0 F T E RT e E/ RT C 2 T, T p p 47
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Η εξίσωση αυτή είναι πλέον γραµµική για όλες τις χρονικά εξαρτηµένες µεταβλητές, και έχει εκφραστεί σαν συνάρτηση των µεταβλητών απόκλισης 48
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Σαν άσκηση να αποδειχθεί ότι dt dt ( ) w V T p 2k0 H 0 + ρc p R E/ RT e C C, p + k 0 ( H ) ρc p R E RT e E/ RT C w 2 2, V U ρcv T p p 49
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Σύγκριση µη ρυθµισµένης, µη γραµµικής απόκρισης µε µια γραµµικοποιηµένη: µη ισοθερµοκρασιακός αντιδραστήρας CSTR ( ) V dc E/ RT = FC0 C Vke 0 C dt VC dt E/ RT ρ p = ρcft p ( 0 T) UT ( Tc) + ( HR) Vke 0 C dt Παράδειγµα µε το λογισµικό MTLB... 50
Γραµµικά Συστήµατα και Γραµµικοποίηση! Ανακεφαλαιώνοντας: για την εφαρµογή της κλασικής θεωρίας γραµµικής ρύθµισης, τα δυναµικά συστήµατα πρέπει να είναι γραµµικά αν το σύστηµα δεν είναι γραµµικό, εφαρµόζονται τεχνικές γραµµικοποίησης η γραµµικοποίηση είναι εφικτή, αφού ο αντικειµενικός σκοπός της ρύθµισης είναι να διατηρήσει το σύστηµα κοντά σε τιµές µόνιµης κατάστασης βολεύει να περιγραφεί το σύστηµα υπό µορφή µεταβλητών απόκρισης 51