ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Α1. Γι δύο οποιδήποτε εδεχόμε A, B εός δειγμτικού χώρου Ω, ποδείξετε ότι P A B = P A + P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) Μοάδες 7 Α. Έστω μι συάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η συάρτηση f προυσιάζει τοπικό μέγιστο στο x1 A ; Μοάδες 4 Α3. Τι οομάζετι (πόλυτη) συχότητ v της τιμής x μις μετβλητής X ; Μοάδες 4 Α4. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθού, γράφοτς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράμμ που τιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, η πρότση είι σωστή, ή Λάθ, η πρότση είι λθσμέη. ) Σε μι κοική ή περίπου κοική κτομή το 99,7% περίπου τω πρτηρήσεω βρίσκετι στο διάστημ ( x s, x+ s), όπου x η μέση τιμή κι s η τυπική πόκλιση τω πρτηρήσεω. (μοάδες ) β) Σε ομδοποιημέ δεδομέ το εμβδό του χωρίου που ορίζετι πό το πολύγωο συχοτήτω κι το οριζότιο άξο είι πάτοτε ίσο με έ. (μοάδες ) γ) Έστω μι συάρτηση f πργωγίσιμη στο σημείο x 0. Ο συτελεστής διεύθυσης της εφπτομέης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο της x, f( x ) είι f' ( x 0 ) (μοάδες ) ( 0 0 ) δ) Το εδεχόμεο A B πργμτοποιείτι, ότ πργμτοποιείτι το A λλά όχι το B (μοάδες ) ε) Ο στθμισμέ ριθμητικός μέσ ή στθμικός μέσ είι έ μέτρο δισποράς. (μοάδες ) Μοάδες 10 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Η βθμολογί εξήτ μθητώ εός Λυκείου σε έ διγώισμ Μθημτικώ βρίσκετι στο διάστημ [10, 0) κι έχει ομδοποιηθεί σε πέτε κλάσεις ίσου πλάτους. Γωρίζουμε, επίσης, ότι έξι μθητές έχου πάρει βθμό μικρότερο πό 1, δεκοκτώ μθητές μικρότερο πό 14, έξι μθητές μεγλύτερο ή ίσο του 18 κι δεκοκτώ μθητές μεγλύτερο ή ίσο του 16. Β1. Ν μετφέρετε στο τετράδιό σς το πρκάτω πίκ συχοτήτω κτάλληλ συμπληρωμέο, δικιολογώτς τις πτήσεις σς. Κλάσεις Κετρικές Τιμές x Συχότητ v Σχετική Συχότητ f % Αθροιστική Συχότητ N Αθροιστική Σχετική Συχότητ F % [10, ) [, ) [, ) [, ) [, 0) Σύολο Μοάδες 1 Β. Ν βρείτε τη μέση βθμολογί x τω μθητώ κι τη διάμεσο δ τω βθμολογιώ τους. Μοάδες 8 Β3. Στο 5% τω μθητώ με τη κλύτερη επίδοση πρόκειτι δοθεί έπι. Από ποιο βθμό κι πάω πρέπει έχει γράψει κάποι μθητής γι πάρει έπιο; (Θεωρούμε ότι οι πρτηρήσεις κάθε κλάσης είι ομοιόμορφ κτεμημέες). Μοάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Γ Έστω Ω = { 1, 0, 1, } ο δειγμτικός χώρ εός πειράμτ τύχης. Οι πιθότητες τω πλώ εδεχομέω του Ω δίοτι πό τη σχέση Ρ(κ) =, + κ 1 κ Ω, με > 0 Θεωρούμε τ εδεχόμε Α, Β του Ω με { } { ( )( ) } Α = κ Ω κ > 1 Β = κ Ω κ 1 κ 4 = 0 Γ1. Ν ποδείξετε ότι του Ω. Γ. Ν ποδείξετε ότι Ρ( Α ), ΡΒ ( ) εδεχομέω: 5 = κι βρείτε τις πιθότητες τω πλώ εδεχομέω 11 Γ : «πργμτοποιείτι το B κι όχι το A» Μοάδες 8 1 6 = = κι βρείτε τις πιθότητες τω 11 11 Δ: «μη πργμτοποιείτι το A ή μη πργμτοποιείτι το B». Μοάδες 10 Γ3. Θεωρούμε τη συάρτηση κι το εδεχόμεο 1 3 κ 9 f(x) = x + x + x 1, x, κ Ω 3 4 Ε = { κ Ω η συάρτηση f είι γησίως ύξουσ }. Ν εξετάσετε το εδεχόμεο Ε είι βέβιο. Μοάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Δ Δίετι ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ με μήκ 100 m. Θεωρούμε εσωτερικό σημείο Γ του ΑΒ τέτοιο, ώστε το μήκ του τμήμτ ΑΓ είι x m. Δ1. Κτσκευάζουμε τ τετράγω ΑΓΔΖ κι ΓΒΘΗ, όπως φίετι στο διπλό σχήμ. ) Ν ποδείξετε ότι το άθροισμ τω εμβδώ τω δύο τετργώω, ως συάρτηση του x, είι ( ) Ε(x) = x 00x + 10000, x 0, 100 (μοάδες 3) ) Ν βρείτε γι ποι τιμή του x το εμβδό Ε(x) γίετι ελάχιστο. (μοάδες 5) Μοάδες 8 Στη συέχει, γι x = 50, χωρίζουμε το ευθύγρμμο τμήμ ΑΓ σε v διδοχικά ευθύγρμμ τμήμτ, = 1,,..., v με τίστοιχ μήκη x, = 1,,..., v. Α η μέση τιμή τω μηκώ s = 0, τότε: x, = 1,,..., v είι x = κι η τυπική τους πόκλιση είι Δ. Ν δείξετε ότι v = 5 Δ3. Ν βρείτε τη μέση τιμή τω εμβδώ τω τετργώω που κτσκευάζοτι με πλευρές τ διδοχικά τμήμτ με τίστοιχ μήκη Δίετι ότι: s = t 1 = 1 = 1 t x, όπου = 1,,..., 5 Μοάδες 5 Μοάδες 6 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ4. Επιλέγουμε τυχί έ πό τ διδοχικά ευθύγρμμ τμήμτ, = 1,,..., 5 Ν βρείτε τη πιθότητ του εδεχομέου Λ = {, = 1,,..., 5 τέτοιο, ώστε ο δείκτης είι πολλπλάσιο του 3 ή πολλπλάσιο του 4 }. Μοάδες 6 ΟΔΗΓΙΕΣ (γι τους εξετζομέους) 1. Στο εξώφυλλο του τετρδίου γράψετε το εξετζόμεο μάθημ. Στο εσώφυλλο πάω-πάω συμπληρώσετε τ Ατομικά στοιχεί μθητή. Στη ρχή τω πτήσεώ σς γράψετε πάω-πάω τη ημερομηί κι το εξετζόμεο μάθημ. Ν μη τιγράψετε τ θέμτ στο τετράδιο κι μη γράψετε πουθεά στις πτήσεις σς το όομά σς.. Ν γράψετε το οομτεπώυμό σς στο πάω μέρ τω φωτοτιγράφω μέσως μόλις σς πρδοθού. Τυχό σημειώσεις σς πάω στ θέμτ δε θ βθμολογηθού σε κμί περίπτωση. Κτά τη ποχώρησή σς πρδώσετε μζί με το τετράδιο κι τ φωτοτίγρφ. 3. Ν πτήσετε στο τετράδιό σς σε όλ τ θέμτ μόο με μπλε ή μόο με μύρο στυλό με μελάι που δε σβήει. Μολύβι επιτρέπετι, μόο το ζητάει η εκφώηση, κι μόο γι πίκες, διγράμμτ κλπ. 4. Κάθε πάτηση επιστημοικά τεκμηριωμέη είι ποδεκτή. 5. Διάρκει εξέτσης: τρεις (3) ώρες μετά τη διομή τω φωτοτιγράφω. 6. Ώρ δυτής ποχώρησης: 18.00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 IOYNIΟΥ 014 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A1. Σχολικό βιβλίο σελίδ 151 A. Σχολικό βιβλίο σελίδ 14 A3. Σχολικό βιβλίο σελίδ 65 Α4.. Λάθ, β. Λάθ, γ. Σωστό, δ. Σωστό, ε. Λάθ. ΘΕΜΑ Β B1. = 60 R 0-10 10 c = = = = 5 5 5 = 6 1 Ν = 18 + = 18 6 + = 18 = 1 1 = 6 5 + = 18 + 6 = 18 = 1 4 5 4 4 + + + + = + 36 = 60 = 4 1 3 4 5 3 3 Κλάσεις Κετρικές τιμές x f % N F % x v [10, 1) 11 6 10 6 10 66 [1, 14) 13 1 0 18 30 156 [14, 16) 15 4 40 4 70 360 [16, 18) 17 1 0 54 90 04 [18, 0) 19 6 10 60 100 114 ΣΥΝΟΛΑ - 60 100 - - 900
xv 900 x = = = B. 15 v 60 f 3% f 3% Είι f 1% + f % + = + f 4% + f 5% = 50% άρ δ = x 3 = 15 B3. Στη κλάση [ 18, 0 ) βρίσκετι το 10% τω κλύτερω μθητώ. Θεωρούμε ότι οι πρτηρήσεις είι ομοιόμορφ κτεμημέες μέσ στις κλάσεις, άρ το 5% τω μθητώ με τη κλύτερη επίδοση βρίσκετι στο διάστημ [19, 0). Επομέως γι πάρει κάποι μθητής έπιο έπρεπε γράψει τουλάχιστο 19. ΘΕΜΑ Γ Γ1. Ρ (-1) = = (-1) + 1 0 + 1 1 1 + 1 + 1 5 Ρ (0) = = = Ρ (1) = = Ρ () = = Είι Ρ (-1) + Ρ (0) + Ρ (1) + Ρ () = 1 10 + + + = 1 5 + 10 + 5 + = 10 5 10 5 = 10 = = 11 5 5 5 1 Είι Ρ (-1) =, Ρ (0) =, Ρ (1) =, Ρ () = 11 11
Γ. κ > 1 κ > 1 κ > 1 ή κ < -1 κι επειδή κ Ω, θ είι κ =, άρ Α = { } 1 Ρ (Α) = Ρ () Ρ (Α) = 11 (κ - 1)(κ - 4) = 0 κ - 1 = 0 ή κ - 4 = 0 κ = 1 ή κ = 4 κ = 1 ή κ = κι επειδή κ Ω, θ είι κ = -1 ή 1 ή, άρ Β = { -1, 1, } 5 5 1 6 1 τρόπ Ρ (Β) = Ρ (-1) + Ρ (1) + Ρ () = + + Ρ (Β) = 11 11 ή τρόπ 1 τρόπ τρόπ 1 τρόπ 5 Ρ (Β) = 1 - Ρ (Β ) = 1 - Ρ (0) = 1-11 Γ = Β - Α = { -1, 1 } 5 5 Ρ (Γ) = Ρ (-1) + Ρ (1) = + ή Ρ (Γ) = Ρ (Β - Α) = Ρ (Β) - Ρ (Β Α) κι επειδή Β Α = { } = Α 6 1 Ρ (Γ) = Ρ (Β) - Ρ (Α) = - 11 11 Δ = Α Β Α = { -1, 0, 1 } κι 1 Ρ (Δ) = Ρ (Α ) = 1 - Ρ (Α) = 1-11 6 Ρ (Β) = 11 5 Ρ (Γ) = 11 5 Ρ (Γ) = 11 Β = { 0 }, άρ Δ = { -1, 0, 1 } = Α 10 Ρ (Δ) = 11 τρόπ ή Δ = Α Β = (Α Β) = Α Ρ (Δ) = Ρ (Α ) = 1 - Ρ (Α) = 1-1 11 10 Ρ (Δ) = 11
1 3 κ 9 9 Γ3. f (x) = x + x + x - 1 = x + κx + 3 4 4 Γι είι η f γησίως ύξουσ στο IR, πρέπει f (x) 0, γι κάθε xir, άρ Δ 0 9 κ - 41 0 κ 9 κ 3-3κ3 4 κι επειδή κω, θ είι κ = -1 ή 0 ή 1 ή, άρ Ε = { -1, 0, 1, } = Ω ΘΕΜΑ Δ Δ1. ) Α ΑΓ = x, τότε ΒΓ = 100 - x E (x) = E + Ε = x + (100 - x) ΑΖΔΓ ΒΓΗΘ E (x) = x + 10000-00x + x x > 0 100 - x > 0 βέβιο εδεχόμεο E (x) = x - 00x + 100 00 x < 100 ) E (x) = (x - 00x + 10000) = 4x - 00, x (0,100) E (x) = 0 x (0, 100) 4x - 00 = 0 x = 50 x 0 50 100 f (x) - + f (x) Το εμβδό Ε (x) γίετι ελάχιστο γι x = 50 m.
x x (ΑΓ) x 50 Δ. x = = = = = v = 5 v x 1 x x Δ 3. s = x - s = - x v v x E = s + x = 0, + E = 4,04 m Δ4. Το είι πολλπλάσιο του 3 ή του 4, με = 1,,, 5, άρ = 3 ή 4 ή 6 ή 8 ή 9 ή 1 ή 15 ή 16 ή 18 ή 0 ή 1 ή 4 Λ = { l 3, l 4, l 6, l 8, l 9, l 1, l 15, l 16, l 18, l 0, l 1, l 4 } Ν (Λ) 1 Ρ (Λ) = = Ν (Ω) 5