ΜΑΘΗΜΑ 8: Ο ΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER 8. Εισαγωγή Έχουµε ήδη γνωρίσει τον Μετασχηµατισµό Fourir ιακριτού Χρόνου (ΜΦ Χ) ο οοίος µετασχηµατίζει µια ακολουθία σε µια συνάρτηση της συνεχούς µεταβλητής ω ου αντιροσωεύει την διακριτή συχνότητα σύµφωνα µε τις σχέσεις: ω ω ) ( (ευθύς µετασχηµατισµός Fourir της ακολουθίας ) (8.) ω ω ω d ) ( (αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourir) (8.) Ο χειρισµός συνεχών συναρτήσεων µε υολογιστές δεν είναι αοδοτικός. Για τον λόγο αυτό ανατύχθηκε µια εναλλακτική µορφή του µετασχηµατισµού Fourir µε την οοία ακολουθίες εερασµένου µήκους µετασχηµατίζονται σε άλλες ακολουθίες οι οοίες αντιροσωεύουν δείγµατα (στο χώρο της συχνότητας) του ΜΦ Χ. Το ζεύγος του µετασχηµατισµού αυτού ονοµάζεται ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourir ( ΜΦ) και ορίζεται αό τις σχέσεις: W (8.3) W (8.4) όου W Ο ΜΦ εκτός αό τη σηµασία του για την ανααράσταση ακολουθιών διακριτού χρόνου στο χώρο της συχνότητας αοτελεί τη βάση ολλών εφαρµογών για την εεξεργασία σήµατος όως η ανάλυση φάσµατος και η κωδικοοίηση δεδοµένων (εικόνες JPEG, MP3, vido MPEG). 8. Ανααράσταση εριοδικών ακολουθιών µε ιακριτές Σειρές Fourir Η ανάλυση του ΜΦ είναι ευκολότερη αν ξεκινήσουµε αό τις ιακριτές Σειρές Fourir ( ΣΦ). Έστω η ακολουθία η εριοδική µε ερίοδο Ν. Προφανώς ισχύει r + (όου, r) ακέραιοι. Όως και στην ερίτωση των σηµάτων συνεχούς χρόνου µια εριοδική ακολουθία µορεί να ανααρασταθεί αό µια σειρά Fourir, δηλαδή αό ένα άθροισµα µιγαδικών εκθετικών όρων η συχνότητα των οοίων είναι ακέραιο ολλαλάσιο της βασικής συχνότητας /Ν όως φαίνεται αό την κατωτέρω σχέση: (8.) Σε αντίθεση µε την ερίτωση των σηµάτων συνεχούς χρόνου η ανααράσταση µε σειρές Fourir δεν ααιτεί άειρες αρµονικές (ολλαλάσια της βασικής συχνότητας) αλλά µόνο Ν µιγαδικούς εκθετικούς όρους. Η αιτία είναι ότι οι µιγαδικοί εκθετικοί όροι είναι εριοδικοί ως ρος Ν: l l l l + + (8.6) όου l ακέραιος. Οι συντελεστές της ΣΦ δίνονται αό τη σχέση:
(8.7).8.6.4. - - - - (α) 6 4 3 - - - - Σχήµα : (α) Ακολουθία Ορθογωνικών Παλµ.ών, (β) Το λάτος των συντελεστών της σειράς Fourir. (β) 8.3. Περιοδική Συνέλιξη Έστω οι εριοδικές ακολουθίες και µε ερίοδο Ν, και µε συντελεστές ΣΦ και αντίστοιχα. Η ακολουθία 3 m m m (8.8) αοτελεί την εριοδική συνέλιξη των και και οι συντελεστές της ΣΦ της, δίνονται αό τη σχέση: (8.9) 3
8.4 Ο ΜΦ Χ εριοδικών ακολουθιών Έστω η εριοδική ακολουθία µε συντελεστές ΣΦ ο µετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου (ΜΦ Χ) της ακολουθίας δίνεται αό τη σχέση: ω ( ) δ ( ω ) (8.) 3. 3... - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Σχήµα : Ο ΜΦ Χ της ακολουθίας ορθογωνικών αλµών (ο οριζόντιος άξονας είναι σε ακτίνια ) 8. Η σχέση των συντελεστών ΣΦ και του ΜΦ Χ µιας εριόδου Έστω η εριοδική ακολουθία µε συντελεστές ΣΦ και ( ω ) ο µετασχηµατισµός Fourir διακριτού χρόνου (ΜΦ Χ) µιας εριόδου της ακολουθίας. Στην ερίτωση αυτή ισχύει η σχέση: ω ( ) (8.) ω 4. 4. 4 4 3. 3. 3 3...... - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 - -4-3 - - 3 4 (α) (β) Σχήµα 3: (α) Ο ΜΦ Χ µιας εριόδου της ακολουθίας ορθογωνικών αλµών, (β) οι συντελεστές ΣΦ της ακολουθίας
4. 4 3. 3... - - - - - Σχήµα 4: Ο ΜΦ µήκους, µιας εριόδου της ακολουθίας ορθογωνικών αλµών 8.3 Ζεύγη Μετασχηµατισµού Fourir Ακολουθία Μετασχηµατισµός Fourir δ δ- ω ( < < ) δ ( ω + κ ) a u ( a < ) ω a u ( + ) a u ( a < ) + δ ( ω + κ ) ω ( a ) ω r si ω p ( + ) u si ω p siω c ( r < ) ω ω r cos ω + r ( ω p, ω ωc ), ωc < ω M ω, M ( ), othrwis ω M + si ω ω si δ ( ω ω + κ ) φ φ cos(ω +φ) δ ω ω + κ ) + δ ( ω + ω + ) ( κ
ΜΑΘΗΜΑ 9: ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 9. Εισαγωγή Ο ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourir ( ΜΦ) χρησιµοοιείται για την συχνοτική ανααράσταση σηµάτων εερασµένου χρόνου. Στην ραγµατικότητα αυτό ου ειδιώκεται είναι ο υολογισµός του Μετασχηµατισµού Fourir ιακριτού Χρόνου (ΜΦ Χ) αλλά αυτό ου µορεί στην ράξη να υολογιστεί είναι ο ΜΦ (δεδοµένου ότι ΜΦ Χ είναι µιας συνεχής συνάρτηση της διακριτής συχνότητας ω). εδοµένου ότι (για σήµατα εερασµένου µήκους) ο ΜΦ ροέρχεται αό δειγµατοληψία στο χώρο της συχνότητας του ΜΦ Χ οι συνέειες της δειγµατοληψίας ρέει να γίνουν λήρως σαφείς. Ειλέον σε ολλές εριτώσεις (όως σε εφαρµογές ανάλυσης φάσµατος αλλά και φιλτραρίσµατος), τα σήµατα δεν είναι εερασµένου µήκους και η εφαρµογή του ΜΦ ααιτεί την χρήση κάοιου χρονικού αραθύρου, την εεξεργασία ανά τµήµατα, ή την χρήση µιας εναλλακτικής µορφής του ΜΦ, κατάλληλης για χρονικά µεταβαλλόµενα σήµατα, η οοία καλείται Χρονικά Εξαρτηµένος ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourir (ΧΕ ΜΦ). 9. Ανάλυση Συχνοτικού Περιεχοµένου Σηµάτων µε χρήση του ΜΦ Μια αό τις βασικές εφαρµογές του ΜΦ είναι στην ανάλυση του συχνοτικού εριεχοµένου σηµάτων συνεχούς χρόνου όως τα σήµατα οµιλίας. Η βασική διάταξη ου χρησιµοοιείται φαίνεται στο Σχήµα. w s c (t) Atialiasig Lowpass Filtr (H aa (Ω)) c (t) Cotiuous to Discrt tim covrsio v Discrt Fourir Trasform V Σχήµα : Η εφαρµογή του ΜΦ για την συχνοτική ανάλυση σηµάτων συνεχούς χρόνου Το αντιαναδιλωτικό φίλτρο εφαρµόζεται για να αοκότει τις υψηλές συχνότητες αό το αρχικό σήµα συνεχούς χρόνου έτσι ώστε να µορεί να εφαρµοστεί το θεώρηµα του yguist στον δειγµατολήτη ου ακολουθεί. Στην έξοδο του δειγµατολήτη έχουµε ένα σήµα διακριτού χρόνου () το οοίο ολλαλασιάζεται µε ένα σήµα αραθύρου (w) για να ροκύψει ένα σήµα εερασµένου µήκους (v) στο οοίο και εφαρµόζεται ο ΜΦ. Ο ΜΦ Χ του σήµατος v ροκύτει αό την εριοδική συνέλιξη των µετασχηµατισµών Fourir του σήµατος και του αραθύρου w: V ( ω θ ( ω θ ) ) ( ) W ( ) dθ (9.) Όως φαίνεται αό το Σχήµα, η εφαρµογή αραθύρου στο σήµα οδηγεί σε εξοµάλυνση (.χ. διαλάτυνση αλµών) του αντίστοιχου ΜΦ Χ. Ο αντίστοιχος ΜΦ δίνεται αό τη σχέση V v,,,... (9.) ή ισοδύναµα αό τη σχέση
ω V V ( ) (9.3) ω Στη σχέση (9.) έχουµε υοθέσει ότι το µήκος L του αραθύρου είναι µικρότερο αό το µήκος Ν του ΜΦ. εδοµένου ότι η διακριτή συχνότητα ω σχετίζεται µε τη φυσική συχνότητα Ω µε τη σχέση ωωτ όου Τ η ερίοδος δειγµατοληψίας και ότι η αόσταση ανάµεσα στις συχνότητες του ΜΦ είναι /Ν, οι συντελεστές του ΜΦ αντιστοιχούν στις φυσικές συχνότητες σύµφωνα µε τις σχέσεις: Ω,,,..., (9.4) T και ( ) Ω,,..., (9.) T.9.9.8.8.7.7.6.6...4.4.3.3.... - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 (α) (β).9.8.7.6..4.3.. - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 (γ) Σχήµα 6: Η είδραση της εφαρµογής αραθύρου (α) το λάτος του ΜΦ Χ για το αρχικό σήµα, (β) το λάτος του ΜΦ Χ µετά την εφαρµογή αραθύρου, (γ) ο ΜΦ του σήµατος µετά την εφαρµογή αραθύρου
9.3 Η είδραση της εφαρµογής αραθύρου στην ανάλυση συχνοτικού εριεχοµένου σηµάτων µε χρήση του ΜΦ Η εφαρµογή αραθύρου για τον υολογισµό του ΜΦ έχει δύο βασικές ειτώσεις στην ανάλυση του συχνοτικού εριεχοµένου σηµάτων: (α) την διάχυση, και (β) την µειωµένη διακριτική ικανότητα. Έστω το σήµα συνεχούς χρόνου s c ( t) A cos( Ωt + θ ) + A cos( Ωt + θ). Θεωρώντας ιδεώδη δειγµατοληψία και µηδενικό σφάλµα κβαντισµού ροκύτει το σήµα διακριτού χρόνου A cos( ω + θ ) + A cos( ω + ), όου ω Ω Τ και ω Ω Τ. θ Μετά την εφαρµογή αραθύρου w λαµβάνουµε το σήµα v A w cos( ω + θ ) + A w cos( ω + ). θ Στα εόµενα σχήµατα φαίνεται η είδραση του αραθύρου στην συχνοτική ανάλυση του σήµατος s c (t). Στο Σχήµα 3 εικονίζεται το λάτος του ΜΦ Χ για το ορθογωνικό αράθυρο µήκους 64. Στο Σχήµα 4 αρατηρούµε το λάτος του ΜΦ Χ του σήµατος v (θ θ, ω /, ω /). Αό το Σχήµα 4 αρατηρούµε ότι το ροκύτον φάσµα συχνοτήτων αοτελείται αό αντίτυα του φάσµατος συχνοτήτων του αραθύρου κεντραρισµένα στις συχνότητες ω και ω. ιάχυση συµβαίνει όταν κάοιος αό τους λευρικούς λοβούς του αντίτυου ου είναι κεντραρισµένο στη συχνότητα ω υεισέρχεται στον κεντρικό λοβό ου βρίσκεται στη συχνότητα ω και το ανάοδο. Στην ράξη αυτό συµβαίνει άντοτε αλλά είναι αντιλητό µόνο όταν ο λευρικός λοβός είναι αρκετά ισχυρός. Η µειωµένη διακριτική ικανότητα οφείλεται στο λάτος του κεντρικού λοβού του φάσµατος του αραθύρου το οοίο οδηγεί σε εικάλυψη των κεντρικών λοβών. Για να αοφευχθεί η εικάλυψη των κεντρικών λοβών ρέει οι συχνότητες ω και ω να αέχουν ερισσότερο αό το λάτος ml του κεντρικού λοβού του αραθύρου: ω ω ml (9.6) 6 4 3 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Σχήµα 7: Το λάτος του ΜΦ Χ για το ορθογωνικό αράθυρο µήκους 64. Σηµειώνεται ότι το λάτος του κεντρικού λοβού δίνεται αό τη σχέση 4/64.
3 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Σχήµα 8: Το λάτος του ΜΦ Χ του σήµατος v (θ θ, ω /, ω /) Στο Σχήµα αρατηρούµε ότι υάρχει µερική εικάλυψη των κεντρικών λοβών στις συχνότητες 4 4 ω /, ω /8. Είναι φανερό ότι ω ω < ml, αρόλα αυτά αό το Σχήµα 8 64 είναι ευδιάκριτες οι δύο συχνότητες. 3 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Σχήµα 9: Το λάτος του ΜΦ Χ του σήµατος v (θ θ, ω /, ω /8). Έναρξη εικάλυψης κεντρικών λοβών Στο Σχήµα 6 αρατηρούµε την µεγιστοοίηση του φαινοµένου της διάχυσης. Ο µέγιστος λευρικός λοβός στη συχνότητα ω / συντίθενται µε τον κεντρικό λοβό στη συχνότητα ω /8. µε αοτέλεσµα το λάτος του ΜΦ Χ στη συχνότητα ω να εµφανίζεται αυξηµένο (6/3 αντί 4/3 ου είναι η ραγµατική τιµή). Σηµειώνεται είσης ότι υάρχει και εικάλυψη 3 4 κεντρικών λοβών δεδοµένου ότι ω ω < ml. 64 64
3 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Σχήµα : Το λάτος του ΜΦ Χ του σήµατος v (θ θ, ω /, ω /8.). Φαινόµενο ιάχυσης 3 3 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Σχήµα : Το λάτος του ΜΦ Χ του σήµατος v (θ θ, ω /, ω /9.). Ολική εικάλυψη κεντρικών λοβών οι συχνότητες δεν είναι λέον διαχωρίσιµες. 9.4 Χρήση αραθύρων Kaisr για ανάλυση συχνοτικού εριεχοµένου Με την χρήση αραθύρων Kaisr µορούµε να ελέγξουµε το φαινόµενο της διάχυσης µέσω του λάτους του λευρικού λοβού (αράµετρος β) και να αυξήσουµε την διακριτική ικανότητα αυξάνοντας το µήκος του φίλτρου (αράµετρος L). Η ειλογή του β και του L γίνεται σύµφωνα µε τις σχέσεις:, Asl < 3.6.4 β.7669( Asl 3.6) +.9834( Asl 3.6), 3.6 < Asl 6 (9.7).438( Asl + 6.3), 6 < Asl
L 4( A sl + ) + ml (9.8) όου A sl είναι το ύψος του µέγιστου λευρικού λοβού (σε db σε σχέση µε τον κεντρικό λοβό), και ml είναι το εύρος του κεντρικού λοβού. 9. ειγµατοληψία Φάσµατος (ροσέγγιση του ΜΦ Χ αό τον ΜΦ) - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Σχήµα : Ο ΜΦ 64 σηµείων του σήµατος v (θ θ, ω /, ω /). Παρατηρούµε ότι οι συχνότητες µε το µέγιστο λάτος δεν αντιστοιχούν στις ω και ω και ότι το λάτος της ω αρουσιάζεται µειωµένο. 3 3 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Σχήµα 3: Ο ΜΦ 8 σηµείων του σήµατος v (θ θ, ω /, ω /). Παρατηρούµε ότι οι συχνότητες µε το µέγιστο λάτος είναι ολύ κοντά στις ω και ω και ότι το λάτος της ω αρουσιάζεται είναι σχεδόν σωστό.
3 3 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Σχήµα 4: Ο ΜΦ 64 σηµείων του σήµατος v (θ θ, ω /6, ω /8). Παρατηρούµε ότι οι µη µηδενικού λάτους συχνότητες αντιστοιχούν εακριβώς στις ω και ω και ότι οι υόλοιες συχνότητες εµφανίζουν µηδενικό λάτος. 3 3 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Σχήµα : Ο ΜΦ 8 σηµείων του σήµατος v (θ θ, ω /6, ω /8). Παρατηρούµε ότι τα µέγιστα λάτη αντιστοιχούν εακριβώς στις ω και ω αλλά και ότι ενεργειακό εριεχόµενο εµφανίζουν και αρκετές αό τις υόλοιες συχνότητες.
3 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Σχήµα 6: Ο ΜΦ 64 σηµείων του σήµατος v (θ θ, ω /, ω /9.). Παρατηρούµε ότι οι συχνότητες µε το µέγιστο λάτος δεν αντιστοιχούν στις ω και ω, ότι το λάτος της ω αρουσιάζεται µειωµένο και ότι υάρχει εικάλυψη των κεντρικών λοβών. 3 3 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Σχήµα 7: Ο ΜΦ 8 σηµείων του σήµατος v (θ θ, ω /, ω /9.). Παρατηρούµε ότι οι συχνότητες µε το µέγιστο λάτος αντιστοιχούν χονδρικά στις ω και ω, ότι το λάτος της ω αρουσιάζεται σχεδόν σωστό αλλά ότι εξακολουθεί να υάρχει εικάλυψη των κεντρικών λοβών.
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣ ΙΣΧΥΟΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Εισαγωγή Για τα ερισσότερα αό τα σήµατα ου συναντώνται στην ράξη η εακριβής µαθηµατική µοντελοοίηση τους είναι ιδιαίτερα ολύλοκη και δύσκολη. Στις εριτώσεις αυτές είναι ερισσότερο αοτελεσµατικό να µοντελοοιήσουµε τα σήµατα ως στοχαστικές ανελίξεις. Με τον τρόο αυτό λαµβάνουµε υόψη και την ερίτωση τυχαίου θορύβου ο οοίος είναι δυνατό να εηρεάζει τα σήµατα αυτά. Οι στοχαστικές ανελίξεις αλλά και τα σήµατα γενικότερα διακρίνονται σε µεταβαλλόµενα (ostatioary) και µη µεταβαλλόµενα (statioary). Στην ρώτη ερίτωση το φάσµα των σηµάτων εξαρτάται αό και εριγράφεται αό φασµατογράµµατα (spctrograms) τα οοία υολογίζονται µε την βοήθεια του Χρονικά Εξαρτηµένου ιακριτού Μετασχηµατισµού Fourir (ΧΕ ΜΦ). Η εκτίµηση του φάσµατος ισχύος για µη µεταβαλλόµενες χρονικά στοχαστικές ανελίξεις ραγµατοοιείται µε την µέθοδο των εριοδογραµµάτων ή µε την µέθοδο της αυτοσυσχέτισης. Σε κάθε ερίτωση χρειάζεται ο υολογισµός του ΜΦ είτε του ιδίου του σήµατος είτε της αυτοσυσχέτισης του.. Ο Χρονικά Εξαρτηµένος ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourir (ΧΕ ΜΦ) Ο Χρονικά Εξαρτηµένος Μετασχηµατισµός Fourir ιακριτού Χρόνου (ΧΕΜΦ Χ) ορίζεται άντοτε µε την βοήθεια της εφαρµογής ενός αραθύρου w στο µη µεταβαλλόµενο σήµα και είναι µια συνάρτηση τόσο του χρόνου όσο και της συχνότητας ω. O ΧΕΜΦ Χ ορίζεται αό τη σχέση: ωm, ω ) + m w m (.) m Το σήµα µορεί να ανακατασκευαστεί αό τον ΧΕ ΜΦ µε βάση τη σχέση.., ω) dω (.) w.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 - Σχήµα 8: Χρονικά µεταβαλλόµενο ηµιτονοειδές σήµα
Αντίστοιχα ο Χρονικά Εξαρτηµένος ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourir (ΧΕ ΜΦ) ορίζεται αό τη σχέση: L, m + m w m m,,,... όου L το µήκος του αραθύρου w και Ν ο αριθµός των συχνοτήτων στις οοίες υολογίζεται ο ΜΦ (ως γνωστό ρέει να ισχύει Ν L). 4 4 4 4 3 3 3 3 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 (α) (β) 4 4 4 4 3 3 3 3 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 (γ) Σχήµα 9: Ο ΜΦ του σήµατος του Σχήµατος για το τµήµα: (α) αό τα δείγµατα :, (β) αό τα δείγµατα :6, (γ) αό τα δείγµατα :, (δ) αό τα δείγµατα 4: (δ).3 Φασµατόγραµµα (Spctrogram) H αεικόνιση του ΧΕ ΜΦ γίνεται σε διαγράµµατα µε άξονες τον χρόνο και την συχνότητα τα οοία ονοµάζονται φασµατογράµµατα. Η ισχύς του σήµατος σε κάθε συχνότητα αεικονίζεται µε αντίστοιχο γκρι είεδο (έντονο µαύρο υοδεικνύει µεγάλη ισχύ ενώ το λευκό δηλώνει µηδενική ισχύ)
.4 Ανάλυση µη χρονικά µεταβαλλόµενων στοχαστικών σηµάτων: Περιοδόγραµµα Η εκτίµηση φάσµατος ισχύος ενός µη χρονικά µεταβαλλόµενου στοχαστικού σήµατος συνεχούς χρόνου ραγµατοοιείται µε την βοήθεια της διάταξης του Σχήµατος 3. w s c (t) Atialiasig Lowpass Filtr (H aa (Ω)) c (t) Cotiuous to Discrt tim covrsio v Discrt Fourir Trasform V Σχήµα : ιάταξη για την εκτίµηση φάσµατος ισχύος µη χρονικά µεταβαλλόµενων στοχαστικών σηµάτων συνεχούς χρόνου Το φάσµα ισχύος P ss (Ω) για το σήµα s c (t) σχετίζεται µε το φάσµα ισχύος P (ω) του διακριτού σήµατος µέσω της σχέσης (υοθέτουµε ότι η ερίοδος δειγµατοληψίας υακούει στο θεώρηµα yquist): ω P ( ω ) Pss ( ), ω < T T όου Τ είναι η ερίοδος δειγµατοληψίας. Η οσότητα ω I ( ω) V ( ) (.3) LU ω ονοµάζεται εριοδόγραµµα, V ( ) είναι ο ΜΦ Χ του σήµατος v: V ( ω ) L w ω (.4) L είναι το µήκος του αραθύρου, και L L U ( w ) (.) είναι µια σταθερά κανονικοοίησης. Στην ράξη το εριοδογραµµά ροσεγγίζεται αό τη σχέση: I ( ω ) V ( ) (.6) LU όου V () είναι ο ΜΦ Ν σηµείων (Ν L) του σήµατος v και ω,,,...ν-.