Κεφάλαιο 5. ράση οµάδας. 5.1 Ορισµοί - Βασικές έννοιες. i. g 1 (g 2 α) = (g 1 g 2 ) α, g 1, g 2 G, α A

Κεφάλαιο 5 ράση οµάδας Από τον ορισµό της οµάδας συµµετρίας, S(X), ενός συνόλου Χ και ιδιαίτερα όταν το Χ είναι ένα γεωµετρικό σχήµα στον διδιάστατο ή τριδιάστατο χώρο διαπιστώνουµε ότι η οµάδα S(X) «δρα» κατά κάποιον τρόπο στο σύνολο Χ. Κάθε στοιχείο g S(X) έχει την ιδιότητα g(x) = X, ενώ g(x) X, για x X, χωρίς απαραίτητα g(x) = x. Ενα απλούστερο αλλά συχνότερο ϕαινόµενο «δράση» είναι αυτή της οµάδας S n στο σύνολο των n αντικειµένων {1, 2,..., n}. Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε µε αυστηρά µαθηµατικό τρόπο το ϕαινό- µενο της δράσης οµάδας σε σύνολο. Μία από τις εφαρµογές της δράσης είναι η µελέτη της δράσης οµάδας στον εαυτό της µε πολύ ενδιαφέροντα συµπεράσµατα για την ίδια την οµάδα, όπως είναι τα ϑεωρήµατα του Sylow. Η δράση οµάδας σε σύνολο είναι από τα ϑέµατα της Άλγεβρας µε τις περισσότερες εφαρµογές τόσο στα Μαθηµατικά όσο και σε άλλες επιστήµες όπως η Φυσική, η Χηµεία, κ.λ.π. 5.1 Ορισµοί - Βασικές έννοιες Ορισµός 5.1.1 Εστω (G, ) µία οµάδα και Α ένα µη κενό σύνολο. Η οµάδα G δρα (act) στο σύνολο Α, αν υπάρχει συνάρτηση µε τις ιδιότητες : G A A, (g, α) g α (5.1.1) i. g 1 (g 2 α) = (g 1 g 2 ) α, g 1, g 2 G, α A ii. e α = α, α A, όπου e είναι το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας G. 117

118 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Παρατήρηση Στον Ορισµό 5.1.1 ορίστηκε η από αριστερά δράση της οµάδας G στο σύνολο Α. Ανάλογα µπορούµε να ορίσουµε και την από δεξιά δράση ως µία συνάρτηση A G A, (α, g) α g µε τις ιδιότητες : i. (α g 1 ) g 2 = α (g 1 g 2 ), ii. α e = α, για g 1, g 2 G, α A και e το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας G. Οµως, αν είναι µία από αριστερά δράση της G σύνολο Α, όπως στον Ορισµό 5.1.1, µπορούµε να ορίσουµε µία από δεξια δράση της G στο Α ως εξής : ορίζουµε τη συνάτηση τότε A G A, α g = g 1 α, (α g 1 ) g 2 = (g 1 1 α) g 2 = g 1 2 (g 1 1 α) = (g 1 2 g 1 1 ) α = (g 1 g 2 ) 1 α = α (g 1 g 2 ) και α e = e 1 α = e α = α, για g 1, g 2 G και α A. Βέβαια και από µία από δεξιά δράση οδηγούµαστε ανάλογα σε µία από αριστερά δράση. εν υπάρχει εποµένως λόγος διάκρισης στην ανάπτυξη της ϑεωρίας από αριστερά δράση και από δεξιά δράση οµάδας. Στο εξής όταν λέµε δράση οµάδας σε σύνολο εννοούµε και συµβολίζουµε µία από αριστερά δράση. Παραδείγµατα 5.1.2 1. Εστω Α ένα µη κενό σύνολο και G µία τυχούσα υποοµάδα της οµάδας µετασχηµατισµών S A του συνόλου Α. Η G δρα στο σύνολο Α. Πράγµατι, η αντιστοιχία G A A, (g, α) g(α) είναι ϕανερά µία συνάρτηση που ικανοποιεί τα i. και ii. του Ορισµού 5.1.1. 2. Η οµάδα S n δρα στο σύνολο {1, 2,..., n} µε την S n {1, 2,..., n} {1, 2,..., n}, (σ, i) σ(i).

Κεφάλαιο 5 Εδάφιο 5.1 Ορισµοί - Βασικές έννοιες 119 Αυτό διαπιστώνεται όπως στο προηγούµενο παράδειγµα. 3. Εστω V (0) ένας R διανυσµατικός χώρος. Θεωρούµε την πολλαπλασιαστική οµάδα (R, ) του σώµατος των πραγµατικών αριθµών και τη συνάρτηση R V V, (r, v) rv. Είναι ϕανερό από τις ιδιότητες του R διανυσµατικού χώρου ότι : i. (r 1 r 2 )v = r 1 (r 2 v) και ii. 1v = v, για r 1.r 2 R και v V. Άρα η R δρα στον V. Ας ϑεωρήσουµε τώρα την προσθετική οµάδα (R, +). Είναι λογικό να αναρωτηθούµε αν η (R, +) δρα στον V µε τη συνάρτηση R V V, (r, v) r v = rv. (5.1.2) Παρατηρούµε ότι αν η (R, +) δρα στον V µε αυτόν τον τρόπο, τότε, για r 1, r 2 R και v V, ϑα ισχύει (r 1 + r 2 ) v = r 1 (r 2 v) (r 1 + r 2 )v = r 1 (r 2 v) (r 1 + r 2 )v = (r 1 r 2 )v (r 1 + r 2 r 1 r 2 )v = 0. Άρα, από τις ιδιότητες του R διανυσµατικού χώρου έπεται ότι r 1 + r 2 = r 1 r 2 r 2 = r 1 (r 2 1) r 1 = r 2 (r 2 1) 1, αν r 2 1 0. Είναι ϕανερό ότι η τελευταία αυτή σχέση δεν ισχύει για όλα τα r 1, r 2 R. Από την άλλη µεριά, επειδή το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της (R, +) η σχέση ii) του Ορισµού 5.1.1 γίνεται 0 v = v, δηλ. 0v = v, για όλα τα v V, η οποία δεν ισχύει. Ετσι, αφού για τη συνάρτηση (5.1.2) µία από τις δύο ιδιότητες i) ή ii) του Ορισµού 5.1.1 δεν ισχύει, έπεται ότι η (R, +) δε δρα µε αυτόν τον τρόπο στον V. Το επόµενο ϑεώρηµα αποδεικνύει ότι η ύπαρξη δράσης οµάδας G σε ένα σύνολο A ισοδυναµεί µε την ύπαρξη ενός οµοµορφισµού G S A. Ετσι όλα τα ϕαινόµενα δράσης που συναντούµε στο ϕυσικό κόσµο γύρω µας µαθηµατικοποιούνται µε την ϑεωρία οµάδων. Θεώρηµα 5.1.3 Εστω G µία οµάδα και Α ένα µη κενό σύνολο. Αν G A A, (g, α) g α (5.1.3) είναι µία δράση της G στο Α, τότε η αντιστοιχία f G S A, g f g µε f g (α) = g α, α A, (5.1.4)

120 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων όπου S A είναι η οµάδα µετασχηµατισµών του συνόλου Α, είναι ένας οµοµορφισµός οµάδων. Αντίστροφα, αν φ G S A, g φ g (5.1.5) είναι ένας οµοµορφισµός οµάδων, τότε ορίζεται η δράση G A A, (g, α) g α = φ(g)(α). (5.1.6) Απόδειξη Θεωρούµε ότι δίνεται η δράση (5.1.3). Θα αποδείξουµε ότι η f που ορίζεται στη σχέση (5.1.4) είναι οµοµορφισµός οµάδων. Αποδεικνύουµε καταρχήν ότι η f G S A, για κάθε g G. Εστω α 1, α 2 A, τότε α 1 = α 2 g α 1 = g α 2 f g (α 1 ) = f g (α 2 ), αφού η είναι συνάρτηση, άρα η f g είναι συνάρτηση. Εστω, για α 1, α 2 A και g G, ότι ισχύει f g (α 1 ) = f g (α 2 ) g α 1 = g α 2 g 1 (g α 1 ) = g 1 (g α 2 ) α 1 = α 2. Άρα η f g είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση. Ακόµη, αν α A, τότε υπάρχει το α 1 α A, ώστε f g (g 1 α) = g (g 1 α) = α. Εποµένως η f g είναι επί συνάρτηση και συµπεραίνουµε ότι f g S A. Θα αποδείξουµε, τώρα, ότι η f, όπως δίνεται από τη σχέση (5.1.3), είναι οµοµορφισµός οµάδων. Η f είναι συνάρτηση γιατί αν g 1, g 2 G και α A, τότε g 1 = g 2 g 1 α = g 2 α f g1 (α) = f g2 (α) f g1 = f g2, δηλ. η f είναι συνάτηση. Εστω πάλι g 1, g 2 G, τότε για κάθε α A, ισχύει Άρα f(g 1 g 2 )(α) = f g1 g 2 (α) = (g 1 g 2 ) α = g 1 (g 2 α) = = f g1 (g 2 α) = f g1 (f g2 (α)) = f g1 f g2 (α) = [f(g 1 )f(g 2 )](α) f(g 1 g 2 ) = f(g 1 )f(g 2 ), δηλ. η f είναι οµοµορφισµός οµάδων. Αντίστροφα, τώρα, έστω ότι δίνεται ο οµοµρφισµός οµάδων (5.1.5). Θα α- ποδείξουµε ότι η απεικόνιση, όπως δίνεται από τη σχέση (5.1.6), είναι δράση. Είναι ϕανερό ότι η είναι συνάρτηση. Μένει να αποδείξουµε ότι ισχύουν τα i) και ii) του Ορισµού 5.1.1. Εστω α A και g 1, g 2 G, τότε g 1 (g 2 α) = φ(g 1 )(g 2 α) = φ(g 1 )[φ(g 2 )(α)] = = (φ(g 1 )φ(g 2 )(α) = φ(g 1 g 2 )(α) = (g 1 g 2 ) α.

Κεφάλαιο 5 Εδάφιο 5.1 Ορισµοί - Βασικές έννοιες 121 Άρα ισχύει το i) του Ορισµού 5.1.1. Για το ii), e α = φ(e)α = α, για κάθε α A, όπου e είναι το ουδέτερο στοιχείο της G. Άρα πράγµατι η σχέση (5.1.5) δίνει µία δράση της G στο σύνολο Α. Ορισµός 5.1.4 Η συνάρτηση f, όπως δίνεται από τη σχέση (5.1.4) του Θεωρή- µατος 5.1.3, λέγεται παράσταση της G µε µετασχηµατισµούς. presentation of G with transformations Ο παραπάνω ορισµός χρησιµοποιείται ανεξάρτητα αν το σύνολο Α είναι πεπερασµένο ή όχι. Ιδιαίτερα, όµως, όταν A < χρησιµοποιείται ο ό- ϱος παράσταση της G µε µεταθέσεις (presentation of G with permutations). Παραδείγµατα 5.1.5 1. Εστω G µία οµάδα. Εύκολα µπορούµε να αποδείξουµε ότι η αντιστοιχία G G G, (g, α) gα είναι µία δράση της οµάδας G στον εαυτό της. 2. Η αντιστοιχία G G G, (g, α) gαg 1, για µία οµάδα G, είναι δράση της G στον εαυτό της, όπως προκύπτει από τον ορισµό της οµάδας. 3. Εστω G µία οµάδα και H G. Τότε η H G G, (h, g) fg είναι δράση της οµάδας Η στην οµάδα G. Οι πράξεις επαλήθευσης παραλείπονται και αφήνονται για τον αναγνώστη. Στη συνέχεια ϑα δούµε ότι µε τη ϐοήθεια µίας δράσης, όπως στη σχέση (5.1.1), ορίζεται µία σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο Α. Οπως έχουµε διαπιστώσει οι σχέσεις ισοδυναµίας προσφέρουν σηµαντικές κατασκευές στη ϑεω- ϱία οµάδων. Εστω µία δράση, όπως στη σχέση (5.1.1). Ορίζουµε µία σχέση στο σύνολο Α ως εξής : α, β A, α β β = g α, (5.1.7)

122 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων για κάποιο g G. Η είναι µία σχέση ισοδυναµίας στο Α. Πράγµατι, α α, αφού e α = α, για κάθε α A, δηλ. η είναι ανακλαστική. Αν α, β A και α β g G β = g α g 1 β = α β α, δηλ. η είναι συµµετρική. Τέλος η είναι µεταβατική, γιατί αν α, β, γ A και α β, β γ g 1, g 1 G β = g 1 α και γ = g 2 β γ = g 2 (g 1 α) γ = (g 1 g 2 ) α α γ. Εποµένως η είναι σχέση ισοδυναµίας στο Α. Ας υπολογίσουµε τις κλάσεις ισοδυναµίας της σχέσης (5.1.7). Εστω α A, τότε α = {β A β α} = {g α g G}. (5.1.8) Η κλάση α, για α A, ως προς τη σχέση ισοδυναµίας (5.1.7) λέγεται τροχιά (orbit) του α A και το α λέγεται µήκος (lengh) της τροχιάς α. Από τη ϑεωρία των σχέσεων ισοδυναµίας, προκύπτει ότι A = α, (5.1.9) α X όπου Χ είναι ένα πλήρες σύστηµα αντιπροσώπων των κλάσεων στο Α. Ιδιαίτερα αν υπάρχει µία µόνον τροχιά, δηλ. X = 1 και συνεπώς α = A για κάθε α A, τότε η δράση λέγεται µεταβατική (transitive). Παραδείγµατα 5.1.6 1. Θεωρούµε το Παραδειγµα 5.1.2.1. Βλέπουµε ότι αν α G, τότε, α = {gα g G} = G. (ϐλ. Πρόταση 1.2.5 ii.), δηλ. υπάρχει µία µόνον τροχιά. 2. Ας ϑεωρήσουµε τη δράση του Παραδείγµατος 5.1.5.3. Η τροχιά του στοιχείου α G είναι το α = {hα h H} = Hα, δηλ. είναι η δεξιά κλάση της υποοµάδας Η στης G µε αντιπρόσωπο το α. Ακόµη G = α = Hα, α X α X (ϐλ. σχέση (5.1.9) ), δηλ. ξαναβρίσκουµε το Θεώρηµα του Lagrange. 3. Ας ϑεωρούσουµε τη δράση της οµάδας R στον R διανυσµατικό χώρο V = R 2, όπως στο Παράδειγµα 5.1.2.3. Τότε αβ = {(rα, rβ) r R }.

Κεφάλαιο 5 Εδάφιο 5.1 Ορισµοί - Βασικές έννοιες 123 4. Ας ϑεωρήσουµε την οµάδα G των στροφών του επιπεδου R 2 ως προς την αρχή των αξόνων (0, 0) και τη δράση G R 2 R 2, (ρ, (α, β)) ρ(α, β). Παρατηρούµε ότι η τροχιά του σηµείου (0, 0) = {(0, 0)}, ενώ αν (α, β) R 2, τότε (α, β) είναι η περιφέρεια κύκλου µε κέντρο το (0, 0) που διέρχεται από το σηµείο (α, β). Ακόµη ϐλέπουµε ότι το σύνολο R 2 είναι ένωση όλων των περιφερειών οµόκεντρων κύκλων µε κέντρο το (0, 0). 5. Η οµάδα S n δρα µεταβατικά στο σύνολο {1, 2,..., n}. Πράγµατι αν i {1, 2,..., n} τότε η µετάθεση (1, i) απεικονίζει το i στο 1, η (2, i) απεικονίζει το i στο 2 κ.ο.κ. η (n, i) απεικονίζει το i στο n. Άρα i = {1, 2,..., n}, για κάθε i {1, 2,..., n}. Συνεπώς η δράση αυτή είναι µεταβατική. Προκειµένου να εκτιµήσουµε το µέγεθος του συνόλου Χ στη σχέση (5.1.9) είναι ϕυσικό να αναρωτηθούµε, υπάρχει στοιχείο α A τέτοιο ώστε g α = α, για κάποια στοιχεία g G; Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα αυτό ας εξετάσουµε το σύνολο G α = {g G g α = α}, δηλ. το σύνολο των στοιχείων της οµάδας G που αφήνουν σταθερό το συγκεκριµένο στοιχείο α A. Θα αποδείξουµε ότι G α G και για το σκοπό αυτό ϑα χρησιµοποιήσουµε το κριτήριο της υποοµάδας. Εστω g 1, g 2 G α, τότε g 1 α = α και g 2 α = α. Από τη σχέση δηλ. Εποµένως Άρα, αν g 1, g 2 G α, τότε g 2 α = α g 1 2 (g 2 α) = g 1 2 α α = g 1 2 α, g 1 2 G α. (g 1 g 1 2 ) α = g 1 (g 1 2 α) = g 1 α = α. g 1 g 1 2 G α, δηλ. G α G. Ετσι οδηγούµαστε στον επόµενο ορισµό. Ορισµός 5.1.7 Εστω ότι δίνεται η δράση (5.1.1) και α A. Η υποοοµάδα G α = {g G g α = α} G λέγεται οµάδα ευστάθειας (stability group) του στοιχείου α A.

124 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Είµαστε έτοιµοι να υπολογίσουµε το σύνολο Χ της σχέσης (5.1.9) καθώς και το µήκος α της τροχιάς του α. Θεώρηµα 5.1.8 Εστω ότι δίνεται η δράση της σχέσης (5.1.1). Η τροχιά ενός στοιχείου α A έχει την ίδια ισχύ µε το σύνολο των αριστερών κλάσεων της οµάδας ευστάθειας G α στην οµάδα G. Απόδειξη Θεωρούµε τη δράση (5.1.1) και έστω g 1, g 2, G και α A. Τότε g 1 α = g 2 α α = (g 1 1 g 2 ) α g 1 1 g 2 G α g 2 g 1 G α. Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει µία αµφιµονότιµη συνάρτηση φ α G/G α, g α gg α. Η συνάρτηση φ είναι ϕανερό ότι είναι επί. Άρα α = G/G α. Πόρισµα 5.1.9 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα και G A A η δράση της σχέσης (5.1.1). i. Το µήκος της τροχιάς του στοιχείου α A διαιρεί την τάξη της G. ii. Αν υπάρχουν πεπερασµένου πλήθους τροχιές, δηλ. για κάποιο s N. A = s α i, τότε A = i=1 s i=1 [G G αi ] Τέλος αναφέρουµε µία ακόµη ιδιότητα της δράσης οµάδας. Πρόταση 5.1.10 Εστω G µία οµάδα και η δράση της σχέσης (5.1.1). Αν τα στοιχεία α, β A ανήκουν στην ίδια τροχιά, τότε έχουν συζυγείς οµάδες ευστάθειας, δηλ. α = β G β = gg α g 1, για κάποιο g G. Απόδειξη Παρατηρούµε ότι από τον ορισµό της οµάδας ευστάθειας G β β = β και G α α = α. Εποµένως, αν α = β, τότε υπάρχει g G τέτοιο ώστε β = g α. Άρα G β β = β G β (g α) = g α (g 1 G β g) α = α g 1 G β g G α G β gg α g 1. (5.1.10)

Κεφάλαιο 5 Εδάφιο 5.1 Ορισµοί - Βασικές έννοιες 125 Επίσης G α α = α G α (g 1 β) = g 1 β (gg α g 1 ) β = β gg α g 1 G β (5.1.11) Από τις σχέσεις (5.1.10) και (5.1.11) έπεται ότι G β = gg α g 1, για κάποιο g G. Άρα οι οµάδες G α και G β είναι συζυγείς. Παραδείγµατα 5.1.11 1. Θεωρούµε τη δράση του Παραδείγµατος 5.1.5.1. Παρατηρούµε ότι G α = {e}, α G. 2. Για τη δράση του Παραδείγµατος 5.1.5.2, παρατηρούµε ότι για α G, α = {gαg 1 g G}, δηλ. είναι το σύνολο των συζυγών στοιχείων του α στην οµάδα G. Ακόµη και G α = {g G gαg 1 = α} = {g G gα = αg} G α = [G G α ]. Ιδιαίτερα η οµάδα G α λέγεται κεντροποιητής (centralizer) του στοιχείου α G και συµβολίζεται C G (α), δηλ. C G (α) = {g G gα = αg}. Ετσι οι παραπάνω παρατηρήσεις οδηγούν στο ακόλουθο. Θεώρηµα 5.1.12 Το σύνολο των συζυγών στοιχείων ενός στοιχείου µίας οµάδας G έχει την ίδια ισχύ µε το σύνολο πηλίκο G/C G (α). 3. Θεωρούµε πάλι τη δράση του προηγούµενου Παραδείγµατος, δηλ. G G G, (g, α) gαg 1. Θα περιγράψουµε λεπτοµερέστερα το πλήθος των στοιχείων της οµάδας G µε τη ϐοήθεια αυτής της δράσης. Παρατηρούµε ότι αν α Z(G), τότε α = {α}. Ετσι, από τη σχέση (5.1.9) συµπεραίνουµε ότι G = α = Z(G) ( α), α X α Ψ

126 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων όπου Χ είναι ένα πλήρες σύστηµα αντιπροσώπων των τροχιών στη G και Ψ = {x X x Z(G)}. Ετσι αν η οµάδα G είναι πεπερασµένη εξ αιτίας του Θεωρήµατος 5.1.12 καταλήγουµε στη σχέση G = Z(G) + [G C G (x)]. (5.1.12) x Ψ Η σχέση (5.1.12) λέγεται εξίσωση κλάσεων (class equation) της G. Θα αποδείξουµε αµέσως δύο πολύ ενδιαφέροντα συµπεράσµατα για µία οµάδα G ως εφαρµογή της σχέσης (5.1.12). Θεώρηµα 5.1.13 Κάθε οµάδα µε τάξη δύναµη πρώτου αριθµού έχει µη τετριµµένο κέντρο. Απόδειξη Εστω G µία οµάδα µε G = p n, όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός και n N {0}. Αν η οµάδα G είναι αβελιανή, τότε G = Z(G) {e}. Ας υποθέσουµε ότι η G δεν είναι αβελιανή. Από το Θεώρηµα του Lagrange γνωρίζουµε ότι [G C G (x)] G, για κάθε x G. Αυτό σηµαίνει ότι [G C G (x)] = p n(x), για κάποιον ϕυσικό αριθµό n(x) που εξαρτάται από το στοιχείο x. Ετσι από την εξίσωση κλάσεων της G, σχέση (5.1.12), συµπεραίνουµε ότι p n = Z(G) + p n(x), (5.1.13) x Ψ όπου το Ψ ορίζεται όπως στη σχέση (5.1.12). Ας παρατηρήσουµε ότι n(x) = 0 [G C G (x)] = 1 G = C G (x) x Z(G). Εποµένως, για κάθε x Ψ, έχουµε ότι n(x) > 1. Τώρα από τη σχέση (5.1.13) ο πρώτος p διαιρεί την G καθώς και το x Ψ p n(x), συνεπώς ο p διαιρεί την τάξη της υποοµάδας Z(G) της G. Γεγονός που σηµαίνει ότι το κέντρο της G είναι µη τετριµµένο. Πόρισµα 5.1.14 Κάθε οµάδα τάξης p 2, όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός, είναι αβελιανή.

Κεφάλαιο 5 Εδάφιο 5.1 Ορισµοί - Βασικές έννοιες 127 Απόδειξη Εστω G µία οµάδα µε G = p 2 και Z(G) το κέντρο της. Γνωρίζουµε ότι Z(G) G, ϐλ. Πρόταση 3.2.13, και ότι Z(G) {e}, ϐλ. Θεώρηµα 5.1.13. Άρα η οµάδα G/Z(G) έχει τάξη 1 ή p. Αν G Z(G) = 1, τότε G = Z(G) και εποµένως η G είναι αβελιανή. Αν G/Z(G) = p, τότε η οµάδα G/Z(G) είναι κυκλική (ϐλ. Πρόταση 3.1.11). Τώρα από το Θεώρηµα 3.2.18 προκύπτει ότι η G είναι αβελιανή. Άρα σε κάθε περίπτωση µία οµάδα τάξης p 2 είναι αβελιανή. Το επόµενο ϑεώρηµα είναι γενίκευση της Πρότασης 3.2.5 και προκύπτει από τη ϑεωρία δράσης οµάδας. Θεώρηµα 5.1.15 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα και p ο ελάχιστος πρώτος ϕυσικός αριθµός που διαιρεί την τάξη της G. Αν H G µε [G H] = p, τότε H G. Απόδειξη Εστω H G µε [G H] = p, όπως στο Θεώρηµα. Θεωρούµε την δράση G G/H G/H, (g, αh) gαh και την παράσταση f G S G/H της G µε µεταθέσεις που αντιστοιχεί σε αυτήν την δράση. Είναι ϕανερό ότι S G/H S p, αφού δεν µας ενδιαφέρει η ϕύση των αντικειµένων. Εστω K = Kerf, τότε από το πρώτο ϑεώρηµα ισοµορφίας έπεται ότι G/K S p, και από Θεώρηµα του Lagrange έχουµε ότι G/K p!, (5.1.14) αφού S p = p!. Είναι ϕανερό ότι K H G και από την άσκηση 3.1.13 προκύπτει ότι [G K] = [G H][H K]. (5.1.15) Από τις σχέσεις (5.1.14) και (5.1.15) συµπεραίνουµε ότι δηλ. [G H][H K] p!, [H K] (p 1)! αφού [G H] = p. Αν q είναι ένας πρώτος που διαιρεί τον [H K], τότε ο q G και q (p 1)! όµως αυτό είναι αδύνατον από τον ορισµό το p. Άρα [H K] = 1, δηλ. H = K και H G ως πυρήνας οµοµορφισµού της G και αποδείχθηκε το ϑεώρηµα.

128 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Παράδειγµα 5.1.16 Εστω 1 α β G = 0 0 γ α, β, γ Z p GL 3 (Z 3 ). 0 0 1 Είναι εύκολο να δούµε ότι G GL 3 (Z p ), εφαρµόζοντας το κριτήριο της υποοµάδας. Ακόµη η αντιστοιχία G Z p Z p Z p, 1 α β 0 0 γ (α, β, γ) 0 0 1 είναι αµφιµονότιµη και επί. Άρα G = p 3. Με απλές πράξεις διαπιστώνουµε ότι η G είναι µη αντιµεταθετική, άρα Z(G) G. Ακόµη, λόγω του Θεωρήµατος 5.1.13, ισχύει ότι Z(G) {e}. Άρα οι δυνατές τιµές για την Z(G) είναι p ή p 2. Αν Z(G) = p 2 G/Z(G) = p, δηλ. η G/Z(G) ϑα ήταν κυκλική οµάδα και εποµένως η G ϑα ήταν αβελιανή, που είναι άτοπο. Άρα Z(G) p 2 και εποµένως Z(G) = p. Εύκολα διαπιστώνουµε ότι υποοµάδα 1 0 β H = 0 0 0 β Z p Z(G) 0 0 1 και H = p = Z(G). Συνεπώς H = Z(G). Αν ϑεωρήσουµε πάλι µία δράση G A A, (g, α) g α, όπως στη σχέση 5.1.1. Από τη δράση αυτή µπορούµε να ορίσουµε µία νέα δράση της οµάδας G στο δυναµοσύνολο P(A) του συνόλου Α ως εξής : G P(A), P(A), (g, X) g X, όπου X A και g X = {g x x X}. Ο αναγνώστης εύκολα διαπιστώνει ότι η είναι πράγµατι δράση, εφαρµόζονας τον Ορισµό (5.1.1). Θα δούµε αµέσως µία ενδιαφέρουσα εφαρµογή αυτής της δράσης. Ας ξεκινήσουµε από τη δράση G G G, (g, α) gαg 1

Κεφάλαιο 5 Εδάφιο 5.1 Ορισµοί - Βασικές έννοιες 129 όπως στο Παράδειγµα 5.1.5.2. Από αυτήν τη δράση οδηγούµαστε στη δράση G P(G) P(G), (gh) ghg 1 (5.1.16) της οµάδας G στο δυναµοσύνολο του συνόλου G. Το σύνολο ghg 1 ορίζεται ανεξάρτητα αν το Η είναι υποοµάδα της G ή όχι. Για H G και g τυχαίο στοιχείο της G, το σύνολο ghg 1 λέγεται υποσύνολο συζυγές (conjugate subset) του Η, ϐέβαια το ενδιαφέρον µας επικεντρώνεται στην περίπτωση που H G. Η οµάδα ευστάθειας G H του Η είναι η G H = {g G ghg 1 = H} G. Η G H λέγεται σε αυτή την περίπτωση κανονικοποιητής (normalizator) του συνόλου Η και συµβολίζεται N G (H). Αν H G, από τον ορισµό της N G (H) ισχύει ότι H N G (H) G, δηλ. η N G (H) είναι η µέγιστη υποοµάδα της G στην οποία η Η είναι κανονική υποοµάδα. Βέβαια η Η δεν είναι απαραίτητα κανονική υποοµάδα της G, όµως, διαπιστώνουµε αµέσως ότι : H G N G (H) = G. Μπορούµε να πούµε ότι ο κανονικοποιητής N G (H) της Η «µετράει» κατά κάποιον τρόπο πόσο απέχει η Η από το να είναι κανονική. Ετσι η Η «απέχει» πολύ από το να είναι κανονική αν H = N G (H). Ας δούµε τώρα την τροχιά H της Η ως προς τη δράση της σχέσης (5.1.16). Αν, λοιπόν, H G, τότε H = {ghg 1 g G}, δηλ. η τροχιά H αποτελείται από τις διακεκριµένες συζυγείς υποοµάδες της Η. Ας συγκεντρώσουµε τις παραπάνω παρατηρήσεις στο ακόλουθο συµπέρασµα. Θεώρηµα 5.1.17 Εστω G µία οµάδα και Η ένα µη κενό υποσύνολο της G. Τότε ο κανονικοποιητής N G (H) του Η στην G είναι υποοµάδα της G. Επιπλέον το σύνολο των συζυγών υποσυνόλων του Η έχει την ισχύ του συνόλου G/N G (H) των αριστερών (ή δεξιών) κλάσεων της N G (H) στην G. Ιδιαίτερα, αν H G, τότε H N G (H) G και η N G (H) είναι η µέγιστη υποοµάδα της G µε την ιδιότητα αυτή.

130 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Ασκήσεις 1. Εστω ότι η οµάδα G δρα τετριµµένα στο σύνολο A, δηλ. g α = α, g G. Να αποδείξετε ότι α = {α}, α A. Πότε η δράση αυτή είναι µετα- ϐατική ; 2. Να υπολογίσετε τις τροχιές της δράσης της οµάδας G = (12), (34) < S 4 στο σύνολο {1, 2, 3, 4} η οποία δίνεται όπως στο Παράδειγµα 5.1.5.2. 3. Να αποδείξετε ότι η διεδρική οµάδα D 2 4 δρα µεταβατικά στο σύνολο {1, 2, 3, 4} των κορυφών ενός τετραγώνου. Να υπολογίσετε την οµάδα αυστά- ϑειας µίας κορυφής του τετραγώνου. 4. Εστω ότι η οµάδα G δρα στο σύνολο A. Να αποδείξετε ότι όλα τα στοιχεία της τροχιάς έχουν την ίδια οµάδα ευστάθειας G α, για κάποιο στοιχείο α της τροχιάς, αν και µόνον αν G α G. 5. Εστω Z[x 1, x 2, x 3, x 4 ] το σύνολο των πολυωνύµων τεσσάρων ανεξάρτητων µεταβλητών µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση S 4 Z[x 1, x 2, x 3, x 4 ] Z[x 1, x 2, x 3, x 4 ], (σ, f(x 1, x 2, x 3, x 4 )) = f(x σ(1), x σ(2), x σ(3), x σ(4) ) είναι δράση. Να υπολογίσετε την οµάδα ευστάθειας των πολυωνύµων x 1 + x 2, (x 1 + x 2 )(x 3 + x 4 ), και x 1 x 2 + x 3 x 4. 6. Εστω G A A, (g, α) g α µία δράση της οµάδας G στο σύνολο A και f G S A η παράσταση της G µε µετασχηµατισµούς που αντιστοιχεί στη δράση. Να αποδείξετε ότι Kerf = G α. α A Ιδιαίτερα αν η δράση είναι µεταβατική, να αποδείξετε ότι Kerf = gg α g 1. g G 7. Εστω G µία οµάδα και H G. Θεωρούµε τη δράση και G G/H G/H, (g, αh) gαh f G S G/H στην παράσταση της G µε µετασχηµατισµούς. Να αποδείξετε ότι : i. Η G δρα µεταβατικά στο σύνολο G/H.

Κεφάλαιο 5 Εδάφιο 5.2 Τύπος του Burnside και εφαρµογές στη δράση 131 ii. Η οµάδα ευστάθειας της Η είναι η ίδια η Η. iii. Η οµάδα Kerf = g G ghg 1 είναι η µέγιστη κανονική υποοµάδα της G που περιέχει την οµάδα Η. 8. Εστω G µία οµάδα η οποία δρα στα µη κενά σύνολα X, Y ως εξής : G X X, (g, x) g x και Να αποδείξετε ότι η G Y Y, (g, y) g y. G (X Y ) (X Y ), (g, (xy)) (g x, g y) είναι δράση. Ακόµη να αποδείξετε ότι G (x,y) = G x G y. 5.2 Τύπος του Burnside και εφαρµογές στη δράση Στο εδάφιο αυτό ϑα δούµε µερικές εφαρµογές της έννοιας της δράσης. Ξεκινούµε µε το επόµενο ϑεώρηµα που δίνει το πλήθος των τροχιών µίας δράσης. Θεώρηµα (Τύπος του Burnside) 5.2.1 Εστω G A A, (g, α) g α µία δράση της πεπερασµένης οµάδας G στο µη κενό σύνολο Α και Τότε : Γ g = {α A g α = α} A. i. Το πλήθος τ των τροχιών της δράσης ισούται µε τ = 1 Γ g. G g G ii. Αν τα στοιχεία g 1, g 2 G είναι συζυγή, τότε Γ g1 = Γ g2.

132 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων iii. Εστω C 1, C 2,..., C s οι κλάσεις συζυγών στοιχείων της G µε g i έναν αντιπρόσωπο της C i και C i = k i, 1 i s. Τότε τ = 1 G (k 1 Γ g1 + + k s Γ gs ). Απόδειξη i.θεωρούµε το σύνολο B = {(g, α) G A g α = α}. Για τη απόδειξη του Θεωρήµατος ϑα µετρήσουµε µε δύο διαφορετικούς τρόπους το πλήθος των στοιχείων του συνόλου Β. Παρατηρούµε ότι Οµως B = {(g, α) g α = α} και B = {(g, α) g α = α}. g G α A {(g, α) g G, g α = α} = G α και {(g, α) α A, g α = α} = Γ g. Εποµένως, και όπου G α είναι η οµάδα ευστάθειας του α A. Εστω B = G α (5.2.1) α A B = Γ g. (5.2.2) g G A = τ A i, i=1 όπου A i. 1 i τ, είναι οι τροχιές της δράσης. Μπορούµε, τότε, να γράψουµε τη σχέση (5.2.2) ως εξής B = G α = α A τ i=1 ( α A i G α ) = τ i=1 A i G α, (5.2.3) γιατί τα στοιχεία της ίδιας τροχιάς έχουν συζυγείς οµάδες ευστάθειας (ϐλ. Πρόταση 5.1.10) και εποµένως το ίδιο πλήθος στοιχείων. Άρα από τη σχέση (5.2.3) και το Θεώρηµα (4.1.5) έχουµε B = G α = α A τ i=1 α G α = τ[g G α ] G α = τ G,

Κεφάλαιο 5 Εδάφιο 5.2 Τύπος του Burnside και εφαρµογές στη δράση 133 δηλ. Από τις σχέσεις (5.2.1) και (5.2.4) προκύπτει ότι δηλ. B = τ G. (5.2.4) τ G = Γ g, g G τ = 1 Γ g, G g G που αποδεικνύει το i). ii. Εστω ότι τα στοιχεία g 1, g 2 G είναι συζυγή και g 2 = xg 1 x 1, για κάποιο x G. Αν α Γ g1, τότε g 1 α = α και g 2 (x α) = xg 1 x 1 (x α) = (xg 1 ) α = x (g 1 α) = x α. Άρα αν α Γ g1, τότε x α Γ g2. Θεωρούµε, τώρα, την αντιστοιχία f Γ g1 Γ g2, α x α. Είναι εύκολο να δούµε ότι η f είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση. Θα αποδείξου- µε ότι είναι και επί συνάρτηση µε αποτέλεσµα Γ g1 = Γ g2 που αποδεικνύει το ii). Εστω, λοιπόν, ότι α Γ g2 g 2 α = α (xg 1 x 1 ) α = α (xg 1 ) (x 1 α) = α g 1 (x 1 α) = x 1 α. Άρα αν α Γ g2, τότε x 1 α Γ g1 και f(x 1 α) = x (x 1 α) = α, δηλ. για το α Γ g2 υπάρχει το x 1 α Γ g1 έτσι ώστε f(x 1 α) = α 2. Εποµένως η f είναι επί συνάρτηση. iii. Από τα i) και ii) του Θεωρήµατος προκύπτει ότι τ 1 Γ g = 1 G g G G (k 1 Γ g1 + + k s Γ gs ) όπου g i είναι ένας αντίπρόσωπος της κλάσης C i, 1 i s, γεγονός που αποδεικνύει το iii).

134 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Παραδείγµατα 5.2.2 1. Εστω D ένα κανονικό δωδεκάεδρο, δηλ. ένα στερεό µε 12 πλευρές και κάθε πλευρά του είναι κανονικό πεντάγωνο. Θα υπολογίσουµε την οµάδα G των στροφών του D, δηλ. των µετασχηµατισµών του συνόλου D που είναι στροφές ως προς ένα σηµείο. Θεωρούµε το σύνολο Π όλων των πλευρών του D και τη δράση G Π Π, (g, π) g(π). (5.2.5) Η οµάδα ευστάθειας G π της πλευράς π Π αποτελείται από τα στοιχεία g G µε την ιδιότητα g(π) = π, δηλ. από τις στροφές που αφήνουν σταθερό το κανονικό πεντάγωνο Π. Από τη µελέτη µας για την οµάδα συµµετρίας του κανονικού n-γώνου, συµπεραίνουµε ότι η οµάδα G π αποτελείται ακριβώς από τις στροφές της π ως προς το κέντρο της κατά γωνίες 2π 5 k, 0 k 4. Άρα G π = 5. Η δράση (5.3.6) είναι µεταβατική, αφού η G είναι οµάδα στροφών, εποµένως µία µόνο τροχιά µήκους π = 12. Εποµένως και [G G π ] = π = 12 G = G π [G G π ]. Εποµένως G = 12 5 = 60. Ας δούµε, τώρα, ένα δεύτερο τρόπο εύρεσης της τάξης της G. Η οµάδα G δρα µεταβατικά στο σύνολο, έστω Α, των ακµών του D. Βέβαια A = 20. Η οµάδα ευστάθειας G α µίας ακµής α είναι ακριβώς οι στροφές ως προς την ακµή α κατά γωνία 3π 5 k, 0 k 2. Άρα G α = 3 και G = G α [G G α ], όµως [G G α ] = A = 20 άρα G = 3 20 = 60. 2. Ενας δίσκος χωρίζεται σε p ίσους κυκλικούς τοµείς, όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός. Κάθε κυκλικός τοµέας χρωµατίζεται µε n πλήθους χρώµατα. ύο χρωµατισµοί του δίσκου ϑεωρούνται ίδιοι αν ο ένας προκύπτει από τον άλλο µετά από µία στροφή του δίσκου ως προς το κέντρο του. Θα εξετάσουµε πόσοι διαφορετικοί χρωµατισµοί υπάρχουν. Α τρόπος Εστω Α το σύνολο όλων των δυνατών χρωµατισµών του δίσκου, όπως αναφέρονται παραπάνω. Εφόσον n πλήθους χρώµατα ϑα τοποθετηθούν σε p πλήθους κυκλικούς τοµείς, υπάρχουν n p τέτοιοι χρωµατισµοί, δηλ. A = n p. Θεωρούµε, τώρα, την οµάδα των στροφών του δίσκου ως προς το κέντρο κατά γωνία 2π p k, 0 k p 1. Ας τη συµβολίσουµε µε C p, δηλ. C p = {p i 0 i p 1} = p,

Κεφάλαιο 5 Εδάφιο 5.3 Θεωρήµατα του Sylow 135 όπου µε p συµβολίζουµε τη στροφή ως προς το κέντρο κατά γωνία 2π p. Η C p είναι µία κυκλική οµάδα τάξης p. Η οµάδα C p δρα στο σύνολο Α ως εξής : C p A A, (p, α) p(α). Εστω α η τροχιά ενός στοιχείου α A. Γνωρίζουµε ότι α C p, (ϐλ. Πόρισµα 5.1.9i.), δηλ. α p. Ετσι το µήκος της τροχιάς ενός στοιχείου α A είναι 1 ή p. Τροχιά µήκους 1 έχει προφανώς κάθε χρωµατισµό του δίσκου µε ένα µόνον χρώµα. Καθώς υπάρχουν n πλήθους χρώµατα, έπεται ότι υπάρχουν n πλήθους τροχιές πλήθους 1. Ετσι όλες οι άλλες τροχιές έχουν µήκος p. Τα στοιχεία που έχουν τροχιά µήκους p είναι πλήθους n p n, άρα οι διαφορετικές τροχιές µήκους p είναι πλήθους np n p. Τόσοι είναι ακριβώς οι διαφορετικοί χρωµατισµοί του δίσκου. Ας παρατηρήσουµε στο σηµείο αυτό ότι ο αριθµός np n p είναι ϕυσικός αριθµός, αφού αναφέρεται σε πλήθος καταστάσεων. Άρα p (n p n) για κάθε ϕυσικό αριθµό n. Με άλλα λόγια αποδείξαµε µε ένα ακόµη τρόπο το επόµενο. Θεώρηµα (Fermat) 5.2.3 Εστω p ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός και n ένας τυχαίος ϕυσικός αριθµός. Τότε p (n p n). Για περισσότερες και πολύ ενδιαφέρουσες εφαρµογές του Θεωρήµατος του Burnside στα γραφήµµατα και στη Χηµεία µπορεί ο ενδιαφερόµενος να συνδεθεί µε το : http://elocus.lib.uoc.gr/dlib/b/9/1/metadata-dlib-1443600937-923050-26263.tkl 5.3 Θεωρήµατα του Sylow Το κίνητρο για την ανάπτυξη αυτού του εδαφίου είναι το ερώτηµα αν ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήµατος του Lagrange, δηλ. αν ένας ϕυσικός αριθµός m διαιρεί την τάξη µίας πεπερασµένης οµάδας G, υπάρχει υποοµάδα της G µε τάξη m; Ως παράδειγµα προς την καταφατική απάντηση έχουµε τις πεπερασµένες κυκλικές οµάδες, ϐλ. Θεώρηµα 3.1.12. Οµως, δεν υπάρχει υποοµάδα της οµάδας A 4, των άρτιων µεταθέσεων των τεσσάρων αντικειµένων, τάξης 6. Την απόδειξη αυτού του γεγονότος ϑα την δούµε στο Κεφάλαιο 8. Ετσι συµπεραίνουµε ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήµατος του Lagrange. Συνεπώς πρέπει να αναζητήσουµε µία ϑεωρία που να απαντά σε ερωτήµατα εύρεσης ή ύπαρξης υποοµάδων µε κάποια ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τα οποία είναι αναµενόµενο να εξαρτώνται από την τάξη της οµάδας.

136 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Σηµαντική συνεισφορά στην έρευνα αυτή είναι τα συµπεράσµατα του L.Sylow (1832-1918). Τα ϐασικά σχετικά συµπεράσµατα του Sylow αναφέρονται συχνά στη ϐι- ϐλιογραφία ως «τα τρία Θεωρήµατα του Sylow». Σε όλο το εδάφιο αυτό ϑα ακολουθίσουµε τον ακόλουθο συµβολισµό. Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα G = n = t i=1 p s i i, (5.3.1) σύµφωνα µε το ϑεµελιώδες ϑεώρηµα της αριθµητικής, όπου p 1, p 2,..., p t είναι οι διακεκριµένοι ϕυσικοί αριθµοί που διαιρούν τον n. Ακόµη η σχέση (5.3.1) µπορεί να γραφτεί ως G = n = p s m, (5.3.2) όπου p m, δηλαδή s > 0 είναι η µεγαλύτερη δύναµη του p που διαιρεί τον n και p = {p 1, p 2,..., p t }. Ξεκινάµε µε τον επόµενο ορισµό. Ορισµός 5.3.1 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα τάξης n <. Μία υποοµάδα Ρ της G λέγεται Sylow p-υποοµάδα της G, αν έχει τάξη p s µε τον συµβολισµό της σχέσης (5.3.2). Θεώρηµα (1ο Θεώρηµα του Sylow) 5.3.2 Υπάρχει πάντα Sylow p-υποοµάδα της G µε G = mp s. Θεώρηµα (2ο Θεώρηµα του Sylow) 5.3.3 Ολες οι Sylow p-υποοµάδες της πεπερασµένης οµάδας G είναι συζυγείς. Θεώρηµα (3ο Θεώρηµα του Sylow) 5.3.4 Το πλήθος N(p s ) των Sylow p- υποοµάδων της πεπερασµένης οµάδας G είναι ϕυσικός αριθµός ισοδύναµος του 1modp, ο οποίος διαιρεί την τάξη της G. Ας δούµε µερικά παραδείγµατα πριν από τις αποδείξεις αυτών των ϑεωρηµάτων. Παραδείγµατα 5.3.5 1. Εστω G µία οµάδα τάξης 120 = 2 3 3 5. Τότε οι Sylow 2-υποοµάδες της G έχουν τάξη 2 3, οι Sylow 3-υποοµάδες έχουν τάξη 3 και οι Sylow 5- υποοµάδες έχουν τάξη 5. 2. Εστω < g g n = e > µία κυκλική οµάδα. Από το Θεώρηµα 3.1.12 για κάθε k n υπάρχει ακριβώς µία υποοµάδα τάξης k. Ετσι υπάρχει ακριβώς µία Sylow p-υποοµάδα, για κάθε πρώτο ϕυσικό αριθµό p τέτοιον ώστε p n.

Κεφάλαιο 5 Εδάφιο 5.3 Θεωρήµατα του Sylow 137 3. Θεωρούµε την οµάδα S 3 από τον πίνακα υποοµάδων της (ϐλ. Παράδειγµα 3.1.13.2 και Παράδειγµα 3.2.7.1) υπάρχει µία ακριβώς υποοµάδα τάξης 3, δηλ. Sylow 3-υποοµάδα. Επίσης υπάρχουν τρεις υποοµάδες τάξης 2, δηλ. Sylow 2-υποοµάδες και N(2) = 3 6. 4. Η οµάδα D 2 4 έχει τάξη 2 3. Μία Sylow 2-υποοµάδα της D 2 4 έχει τάξη 2 3, άρα είναι η ίδια η D 2 4. Υπάρχουν τρεις υποοµάδες της D 2 4 µε τάξη 2 2, οι οποίες είναι κανονικές (ϐλ. Παράδειγµα 3.1.13.3 και Παράδειγµα 3.2.7.2). Επίσης υπάρχουν πέντε υποοµάδες τάξης 2. δηλ. N(2) = 5 1mod2. 5. Η τετραδική οµάδα Q 8 (ϐλ. Παράδειγµα 3.1.13.4) έχει N(2 2 ) = 3 και N(2) = 1. Στη ϐιβλιογραφία αναφέρονται διάφορες αποδείξεις των Θεωρηµάτων του Sylow (ϐλ. [15],[32],[9]). Εδώ αναφέρουµε µία από τις συντοµότερες αποδείξεις η οποία στηρίζεται σε ένα µεταγενέστερο και γενικότερο συµπέρασµα του H.Wielandt (1959). Θεώρηµα (Wielandt) 5.3.6 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα τάξης n, όπως στη σχέση (5.3.2). Υπάρχουν υποοµάδες της G µε τάξη p r, 1 r s. Αν N(p r ) συµβολίζει το πλήθος των υποοµάδων της G µε τάξη p r, τότε N(p r ) 1modp. Απόδειξη Για την απόδειξη του ϑεωρήµατος ϑα χρησιµοποιήσουµε τη ϑεωρία δράσης οµάδας σε σύνολο. Εστω G µία οµάδα όπως στο ϑεώρηµα και έστω A = {H H G, H = p r }, το σύνολο όλων των υποσυνόλων της G µε p r στοιχεία. Θεωρούµε τη δράση της G στο Α που δίνεται από τη σχέση G A A, (g, H) gh. Είναι ϕανερό ότι η είναι δράση. Τότε A = H, (5.3.3) H X όπου H = {gh g G} είναι η τροχιά του H A και Χ ένα πλήρες σύστηµα αντιπροσώπων των τροχιών. Ακόµη, έστω G H = {g G gh = H} G η οµάδα ευστάθειας του Η. Γνωρίζουµε ότι H = [G G H ]

138 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων (ϐλ. Θεώρηµα 5.1.8) και είναι ϕανερό ότι, G H H = H H = v G H g i, (5.3.4) i=1 για κάποια στοιχεία g i H, 1 i v, δηλ. γράφουµε το σύνολο Η ως ένωση δεξιών κλάσεων της G H στην G. Εποµένως p r = H = v G H G H = p r H p r, για κάποιον εκθέτη r H που εξαρτάται από το Η και r H r. Παρατηρούµε τότε ότι H = [G G H ] = G G H = mps = p r r H t, p r (5.3.5) H όπου t είναι ένας ϕυσικός όχι απαραίτητα πρώτος του p. Από τη σχέση (5.3.5) έπεται ότι G H = p r H = t. (5.3.6) Επίσης από τη σχέση (5.3.5) έπεται ότι αν G H < p r H 0modpt. (5.3.7) Από τον ορισµό, τώρα, του συνόλου Α και τις σχέσεις (5.3.6) και (5.3.7) προκύπτει ότι ( G p r ) = A = H H X H modpt. (5.3.8) H X, H =t Ας υποθέσουµε ότι έχουµε µία τροχιά H µήκους t. (5.3.4) και (5.3.6) ϑα έχουµε, για κάποιο g G, Τότε από τις σχέσεις H = G H g g 1 H = g 1 (G H )g. Το g 1 (G H )g είναι µία συζυγής υποοµάδα της G H η οποία προφανώς έχει p r στοιχεία. Ετσι από µία τροχιά µήκους t, αν ϕυσικά υπάρχει, οδηγηθήκαµε σε µία υποοµάδα τάξης p r. Αλλά και αντίστροφα κάθε υποοµάδα L G µε p r στοιχεία έχει µία τροχιά L = {gl g G} µήκους Εστω [G L] = G p r = t. Ψ = {H G H = p r }

Κεφάλαιο 5 Εδάφιο 5.3 Θεωρήµατα του Sylow 139 και Φ το σύνολο των τροχιών µήκους t. Η αντιστοιχία f Ψ Φ, H H{gH g G} είναι αµφιµονότιµη και επί. Πράγµατι αν H 1, H 2 Ψ και H 1 = H 2 είναι ϕανερό ότι H 1 = H 2, δηλ. η f είναι συνάρτηση. Εστω H 1, H 2 Φ και H 1 = H 2 H 1 H 2 H 1 = αh 2, για κάποιο α G Εποµένως από τη σχέση e = αh 2, για κάποιο h 2 H α = h 1 2 H 2. H 1 = αh 2 H 1 = h 1 2 H 2 H 1 = H 2, δηλ. η f είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση. Είδαµε ήδη, ότι από µία τροχιά µήκους t ορίζεται µία υποοµάδα τάξης p r. Άρα η f είναι αµφιµονότιµη και επί. Εποµένως υπάρχουν τόσες τροχιές µήκους t όσες και οι υποοµάδες της G τάξης p r, έτσι η σχέση (5.3.8) γίνεται ( G p r ) tn(pr )modpt. (5.3.9) Η ισοδυναµία (5.3.9) ισχύει για κάθε πεπερασµένη οµάδα G, άρα ϑα ισχύει και για την περίπτωση που η G είναι κυκλική οµάδα. Τότε, όµως, ο αριθµός N(p r ) είναι ίσος µε 1 (ϐλ. Θεώρηµα 3.1.12), έτσι η σχέση (5.3.9) γίνεται ( G pr ) t 1modpt (5.3.10) για την περίπτωση της κυκλικής οµάδας. Τα αριστερά µέλη των σχέσεων (5.3.9) και (5.3.10) είναι ίσα, άρα και τα δεξιά. Συνεπώς tn(p r ) tmodpt N(p r ) 1modp. (5.3.11) Αφού ο αριθµός N(p r ) είναι ισοδύναµος του 1modp, έπεται ότι είναι διάφο- ϱος του µηδενός. Εποµένως υπάρχουν υποοµάδες τάξης p r, 0 r s, και N(p r ) 1modp. Θα αποδείξουµε τώρα τα Θεωρήµατα του Sylow. Το πρώτο Θεώρηµα του Sylow προκύπτει άµεσα από το Θεώρηµα 5.3.6. Θα αποδείξουµε τώρα το εύτερο Θεώρηµα Sylow. Απόδειξη Εστω Ρ µία p Sylow υποοοµάδα της οµάδας G µε G = n, όπως

140 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων στη σχέση (5.3.2) και Q µία υποοµάδα της G µε τάξη δύναµη του p, έστω Q = p k µε k s. Η ύπαρξη των υποοµάδων P και Q προκύπτει από το Θεώρηµα (5.3.6). Θεωρούµε το σύνολο πηλίκο Q/P = {g i P g i X}, όπου Χ είναι ένα πλήρες σύνολο των αριστερών κλάσεων της P στην οµάδα G, ϕυσικά X <. Επίσης ϑεωρούµε τη δράση της Q στο σύνολο G/P, η οποία ορίζεται από τη σχέση Q G/P G/P, q qg i P. Εστω g i P η τροχιά του στοιχείου g i P G/P, g i X. Το µήκος κάθε τροχιάς διαιρεί την τάξη της Q (ϐλ. Πόρισµα 5.1.6 i.), εποµένως g i P = p λ i, για κάποιο λ i N. Παρατηρούµε ότι G/P = G P = mps p s και από το Πόρισµα 5.1.6 ii., έχουµε ότι = m m = G/P = p λ i. (5.3.12) i X Αν λ i 1, για κάθε i X, τότε το p ϑα διαιρούσε το δεξιό µέλος της σχέσης (5.3.12), άρα και το αριστερό. Οµως, p m (ϐλ. σχέση (5.3.2) ). Συνεπώς υπάρχει κάποιο g i X τέτοιο ώστε λ j = 0, δηλ. η τροχιά g i P έχει µήκος 1. Αυτό σηµαίνει ότι Qg j P = g j P Qg j P g 1 j = g j P g 1 j Q g j P g 1 j Q g j P g 1 j. (5.3.13) Συµπεραίνουµε, λοιπόν, ότι η Q είναι υποοµάδα µίας συζυγούς υποοµάδας της P. Αν, τώρα, ϑεωρήσουµε ότι η ίδια η Q είναι επίσης µία Sylow p- υποοµάδα της G, τότε Q = p s και από τη σχέση (5.3.13) προκύπτει ότι Q = g j P g 1 j. Άρα κάθε Sylow p-υποοµάδα της G είναι συζυγής µε µία εξ αυτών, της P, δηλ. όλες οι Sylow p-υποοµάδες της G είναι συζυγείς. Απόδειξη του 3ου Θεωρήµατος του Sylow Από το Θεώρηµα 5.3.6 προκύπτει ότι N(p s ) 1modp. Οµως, όλες οι Sylow p-υποοµάδες της G είναι συζυγείς σύµφωνα µε το δεύτερο ϑεώρηµα του Sylow, δηλ. οι Sylow p- υποοµάδες της G είναι οι {gp g 1 g G},

Κεφάλαιο 5 Εδάφιο 5.3 Θεωρήµατα του Sylow 141 όπου P είναι µία Sylow p-υποοµάδα. Τώρα, από το Θεώρηµα 5.1.11, προκύπτει ότι το πλήθος των Sylow p-υποοµάδων της G ισούται µε [G N G (P )], δηλ. διαιρεί την G. Από την απόδειξη του 2ου Θεωρήµατος του Sylow προκύπτει το επόµενο συµπέρασµα. Πόρισµα 5.3.7 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα και p πρώτος ϕυσικός α- ϱοθµός τέτοιος ώστε p G. Τότε κάθε υποοµάδα της G µε τάξη δύναµη του p περιέχεται σε µία Sylow p-υποοοµάδα της G. Πόρισµα 5.3.8 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα µε τάξη n, όπως στη σχέση (5.3.2). Τότε το πλήθος N(p s ) όλων των Sylow p-υποοµάδων της G διαιρεί τον m. Απόδειξη Το συµπέρασµα προκύπτει από τις σχέσεις N(p s ) 1modp και N(p s ) = [G N G (P )], όπου P είναι µία Sylow p-υποοµάδα της G (ϐλ. Θεώρηµα 5.1.17 ). Πόρισµα 5.3.9 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα µε τάξη n. Εστω p είναι πρώτος ϕυσικός αριθµός τέτοιος ώστε p n. Μία Sylow p-υποοµάδα της G είναι κανονική αν και µόνον αν είναι µοναδική Sylow p-υποοµάδα. Απόδειξη Εστω P µία Sylow p-υποοµάδα της πεπερασµένης οµάδας G. Αν P G, τότε η Ρ ταυτίζεται µε τις συζυγείς της υποοµάδες. Ετσι από το Θεώ- ϱηµα 5.3.3 η Ρ είναι µοναδική. Αντίστροφα αν η Ρ είναι µοναδική Sylow p-υποοµάδα της G, τότε ταυτίζεται µε τις συζυγείς της και συνεπώς είναι κανονική. Ο επόµενος ορισµός είναι χρήσιµος. Ορισµός 5.3.10 Εστω p ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός. Μία οµάδα G λέγεται p οµάδα αν κάθε στοιχείο της έχει τάξη δύναµη του p. Παραδείγµατα p-υποοµάδων, για έναν πρώτο ϕυσικό αριθµό p, είναι τα ακόλουθα : i. Κάθε κυκλική οµάδα τάξης p. ii. Κάθε οµάδα τάξης p s, για έναν ακέραιο αριθµό s 0.

142 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων iii. Η οµάδα C p C p C p... όπου C p είναι µία κυκλική οµάδα τάξης p. Τα Θεωρήµατα του Sylow µας δίνουν έναν χαρακτηρισµό για τις πεπερασµένες p-οµάδες, όπως αναφέρεται στην επόµενη πρόταση. Πρόταση 5.3.11 Εστω p ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός και G µία πεπερασµένη οµάδα. Η G είναι p-οµάδα αν και µόνον αν η τάξη της είναι δύναµη του p. Απόδειξη Εστω G µία οµάδα µε G = n< και έστω ότι η G είναι µία p-οµάδα για κάποιον πωτο αριθµό p. Επειδή η τάξη κάθε στοιχείου της G διαιρεί τον n έπεται από το Ορισµό 4.3.10 και το Θεώρηµα 5.3.6 ότι p n. Ας υποθέσουµε τώρα ότι η τάξη της G δεν είναι δύναµη του p, αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον πρώτος αριθµός, έστω q, τέτοιος ώστε q n. Από το Θεώρηµα του Wielandt υπάρχει υποοµάδα της G τάξης q, άρα υπάρχει στοιχείο της G τάξης q. Αυτό, όµως, είναι αδύνατον αφού η G είναι µία p-οµάδα. Άρα, ο µόνος πρώτος που διαιρεί τον G = n είναι ο p και εποµένως, n = p s για κάποιον ϕυσικό αριθµό s. Αντίστροφα, έστω ότι G = p s για κάποιον ϕυσικό αριθµό s. Τότε, για κάθε a G, ord(a) p s και εποµένως η ord(a) είναι δύναµη του p, δηλαδή η G είναι µία p-οµάδα. Τα Θεωρήµατα του Sylow καθώς και το Θεώρηµα (5.3.6) µας επιτρέπουν να διαπιστώσουµε αν µία οµάδα είναι απλή, καθώς και να έχουµε πληροφο- ϱίες για τις κανονικές υποοµάδες, αν υπάρχουν, ή τη δοµή των υποοµάδων µίας οµάδας. Ακολουθούν σχετικά παραδείγµατα. Παραδείγµατα 5.3.12 1. Υπάρχει απλή οµάδα τάξης 40; Απάντηση : Επειδή 40 = 2 3 5, από το Θεώρηµα (5.3.2) υπάρχουν Sylow 2-υποοµάδες και Sylow 5-υποοµάδες. Από το Θεώρηµα (5.3.4) ισχύει ότι N(5) = 1 + 5k και N(5) 2 3. Οι σχέσεις αυτές ισχύουν µόνον για k = 0, άρα N(5) = 1. Εποµένως, υπάρχει µοναδική Sylow 5-υποοµάδα και αυτή είναι κανονική (Πόρισµα 5.3.9) για κάθε οµάδα τάξης 40. Άρα δεν υπάρχει απλή οµάδα τάξης 40. 2. Θα αποδείξουµε ότι µία οµάδα τάξης 12 έχει µία κανονική υποοµάδα τάξης 3 ή 4. Από το συµπέρασµα αυτό προκύπτει ότι δεν υπάρχει απλή οµάδα τάξης 12. Απόδειξη Εστω G µία οµάδα τάξης 12. Επειδή 12 = 2 2 3 υπάρχουν Sylow 2-υποοµάδες τάξης 4 και Sylow 3-υποοµάδες τάξης 3. Ακόµη N(3) = (1 + 3k) 4 k = 0 οπότε N(3) = 1 ή k = 1 οπότε N(3) = 4. Άλλες δυνατές

Κεφάλαιο 5 Εδάφιο 5.3 Θεωρήµατα του Sylow 143 περιπτώσεις για τον αριθµό N(3) δεν υπάρχουν. Αν N(3) = 1, τότε υπάρχει µοναδική Sylow 3-υποοµάδα και εποµένως (Πρόταση 5.3.9) αυτή ϑα είναι κανονική. Στην περίπτωση αυτή η οµάδα G δεν είναι απλή. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε την άλλη δυνατή τιµή για τον N(3), δηλαδή N(3) = 4. Τότε, υπάρχουν τέσσερεις οµάδες τάξης 3, έστω οι H i, i = 1, 2, 3, 4. Επειδή ο 3 είναι πρώτος αριθµός έπεται ότι κάθε µία από τις οµάδες H i, 1 i 4, είναι κυκλικές. Εστω ότι H i = <α i α 3 i = e> Η οµάδα H i παράγεται ακόµη από το στοιχείο αi 2, αφού (2, 3) = 1 (ϐλ. Πρόταση 2.2.5 i.). Αυτό σηµαίνει ότι H i H j = {e}, για 1 i, j 4 και i j, γιατί αν υπήρχε e x H i H j, τότε <x> = 3 και H i = <x> = H j που είναι αδύνατο. Εποµένως, οι H i, 1 i 4, έχουν ανά δύο τοµή το {e}, δηλαδή {e, α 1, α 2 1, α 2, α 2 2, α 3, α 2 3, α 4, α 2 4} G. Συνεπώς το σύνολο G περιέχει ακόµα τρία στοιχεία, έστω τα α, β, γ. Οµως, υπάρχει τουλάχιστον µία Sylow 2-υποοµάδα της G, έστω η K. Τα στοιχεία της K έχουν τάξη έναν αριθµό που διαιρεί το K = 4, άρα κανένα δεν ανήκει σε µία από τις οµάδες H i, 1 i 4. Αυτό σηµαίνει ότι τα στοιχεία {e, α, β, γ} αναγκαστικά αποτελούν µία υποοµάδα τάξης 4 και επειδή δεν υπάρχουν άλλα στοιχεία της G µε τάξη 1,2 ή 4, έπεται ότι η K είναι η µοναδική Sylow 2-υποοµάδα της G και συνεπώς K G. Συµπεραίνουµε, έτσι, ότι κάθε οµάδα τάξης 12 έχει µία κανονική υποοµάδα τάξης 3 ή µία κανονική υποοµάδα τάξης 4. 3. ίνεται µία οµάδα τάξης pq, όπου p, q είναι πρώτοι ϕυσικοί αριθµοί τέτοιοι ώστε p q και q / 1modp. Θα αποδείξουµε ότι η οµάδα αυτή έχει µία κανονική υποοµάδα τάξης p και εποµένως δεν είναι απλή. Εστω G µία οµάδα µε τάξη pq, όπως παραπάνω. Τότε N(p) = 1 + kp, για κάποιον k N και N(p) q. Οµως, q / 1modp, άρα N(p) = 1. Εποµένως, η G έχει µοναδική Sylow p-υποοµάδα, η οποία αναγκαστικά είναι κανονική. 4. Θα αποδείξουµε ότι µία κανονική p-υποοµάδα µίας πεπερασµένης οµάδας G περιέχεται σε κάθε Sylow p-υποοµάδα της G. Πράγµατι, έστω H µία κανονική p-υποοµάδα της πεπερασµένης οµάδας G. Από την Πρόταση 5.3.7 έπεται ότι η H περιέχεται σε µία Sylow p-υποοµάδα της G, έστω την S. Τότε, για ένα τυχαίο α G, αhα 1 αsα 1 H αsα 1. Άρα, η Hπεριέχεται σε κάθε συζυγή υποοµάδα της S, δηλαδή σε κάθε Sylow p-υποοµάδα της G (ϐλ. Θεώρηµα 5.3.3).

144 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων 5. Θα αποδείξουµε ότι µία οµάδα τάξης 2p, όπου p 2 είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός, έχει µία κανονική υποοµάδα µε τάξη p. Πράγµατι, έστω G µία οµάδα µε τάξη 2p, όπου p 2 είναι πρώτος και H µία Sylow p-υποοµάδα της G. Τότε N(p) = 1 + kp και N(p) 2, για κάποιον ϕυσικό αριθµό k (ϐλ. Θεώρηµα 5.3.4 και Πρόταση 5.3.8). Άρα N(p) = 1 και H G. Ας παρατηρήσουµε ότι για p = 2 το συµπέρασµα ισχύει γιατί κάθε οµάδα τάξης 4 είναι αβελιανή. Τότε, όµως, δεν εφαρµόζεται η επιχειρηµατολογία των Θεωρηµάτων του Sylow. 6. Εστω G µία οµάδα µε τάξη p n, όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός. Αν η G έχει µία ακριβώς υποοµάδα τάξης p s, 1 s n 1, ϑα αποδείξουµε ότι η G είναι κυκλική. Πράγµατι, έστω H η µοναδική υποοµάδα της G µε τάξη p n 1 και α G /H. Είναι ϕανερό ότι ord(α) = p t, µε 2 t n. Αν ord(α) = p t, µε 2 t n 1, τότε <α> = p t. Εποµένως, η <α> είναι η µοναδική υποοµάδα τάξης p t. Οµως, κάθε υποοµάδα της H έχει τάξη p t, µε 1 t n 1, και είναι µοναδική µε αυτήν την τάξη γιατί είναι και υποοµάδα της G. Αυτό, όµως, είναι άτοπο λόγω της επιλογής του α. Άρα, ord(α) = p n, δηλ. α = G και α G. Εποµένως G = α, δηλ. η G είναι κυκλική. 7. Αποδεικνύουµε ότι οι µόνες απλές αβελιανές οµάδες είναι οι κυκλικές οµάδες τάξης πρώτου αριθµού p. Πράγµατι, έστω G µία αβελιανή οµάδα. Αν η G δεν είναι κυκλική τότε παράγεται από δύο τουλάχιστον στοιχεία, έστω α, β ώστε β < α >. Εποµένως, η G έχει τουλάχιστον δύο κανονικές υποοµάδες τις < α >, < β > µε τις ιδιότητες : 0 < α > G και 0 < β > G και συνεπώς η G δεν είναι απλή. Εστω ότι η G είναι κυκλική και G =< g >. Αν ord(g) =, τότε {e} < g k > G, για k 0, 1, 1 (ϐλ. Πρόταση 2.2.5,ii) και η G δεν µπορεί να είναι απλή. Τέλος αν G =< g > και ord(g) = n < τότε για κάθε s n και s 1, {e} < g n/s > G (ϐλ. Θεώρηµα 3.1.12). Εποµένως η G είναι απλή αν και µόνον αν το n είναι πρώτος ϕυσικός αριθµός. Συµπερασµατικά µία αβελιανή οµάδα είναι απλή αν και µόνον αν είναι τάξης πρώτου ϕυσικού αριθµού και συνεπώς κυκλική (ϐλ. Πρόταση 3.1.11).

Κεφάλαιο 5 Εδάφιο 5.3 Θεωρήµατα του Sylow 145 Ασκήσεις 1. Να υπολογίσετε τις τάξεις των Sylow υποοµάδων µίας οµάδας τάξης 1064800. 2. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν απλές οµάδες τάξης 28 ή 56 ή 196 ή 200. 3. Να αποδείξετε ότι µία οµάδα τάξης 42 έχει κανονική Sylow 7-υποοµάδα. 4. ίνεται µία απλή οµάδα τάξης 60. Να ϐρείτε το πλήθος των υποοµάδων της µε τάξη 5 και να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς 24 στοιχεία της µε τάξη 5. 5. Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα και H G µε [G H] = t. Αν (t, p) = 1, όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός, να αποδείξετε ότι η H περιέχει καθε Sylow p-υποοµάδα της G. 6. Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα και H µία κανονική Sylow p-υποοµάδα της G. Αν K είναι µία p-υποοµάδα της G, να αποδείξετε ότι K H. 7. Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα µε την ιδιότητα : για κάθε πρώτο ϕυσικό αριθµό p που διαιρεί την G, κάθε Sylow p-υποοµάδα της G είναι κανονική. Να αποδείξετε ότι η G είναι το ευθύ γινόµενο των Sylow υποοµάδων της.

146 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων