Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι Α - Φ 9 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014 Ασκηση 1. Έστω (R, +, ) μια τριάδα η οποία ικανοποιεί όλα τα αξιώματα του ορισμού δακτυλίου με μονάδα, εκτός από την μεταθετικότητα της πρόσθεσης. Να δείξετε οτι ισχύει η μεταθετικότητα της πρόσθεσης και η τριάδα (R, +, ) είναι ένας δακτύλιος. Λύση. Έστω a, b R. Θα δείξουμε ότι: a + b b + a. Χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση του R, υπολογίζουμε με δύο τρόπους το γινόμενο: (a + 1 R )(b + 1 R ): (a + 1 R )(b + 1 R ) a(b + 1 R ) + 1 R (b + 1 R ) ab + a1 R + 1 R b + 1 R 1 R ab + a + b + 1 R (a + 1 R )(b + 1 R ) (a + 1 R )b + (a + 1 R )1 R ab + 1 R b + a1 R + 1 R 1 R ab + b + a + 1 R Χρησιμοποιώντας τον νόμο της διαγραφής στην ομάδα (R, +), βλέπουμε άμεσα ότι θα έχουμε: a, b R : a + b b + a Σχόλιο 1. Αν στην Άσκηση 1 για την τριάδα (R, +, ) δεν απαιτήσουμε την ύπαρξη μονάδας, τότε το συμπέρασμα της Άσκησης δεν ισχύει. Πράγματι, έστω (R, +) μια (προσθετική) μηαβελιανή ομάδα με παραπάνω από ένα στοιχεία, για παράδειγμα η συμμετρική ομάδα S 3 τάξης 6. Ορίζουμε πράξη πολλαπλασιασμού ως εξής: r s 0 R, r, s R. Τότε η τριάδα (R, +, ) ικανοποιεί όλα τα αξιώματα του ορισμού δακτυλίου χωρίς μονάδα (αν υπάρχει μονάδα 1 R, τότε 1 R 1 R 1 R 0 R και επομένως R {0 R } το οποίο είναι άτοπο διότι R > 1), εκτός από την μεταθετικότητα της πρόσθεσης. Η τελευταία ιδιότητα δεν είναι δυνατόν να ισχύει, διότι η ομάδα R δεν είναι αβελίανή. Η παραπάνω ανάλυση δείχνει ότι κάθε αβελιανή ομάδα R μπορεί να θεωρηθεί ως δακτύλιος (χωρίς μονάδα αν R > 1) με τετριμμένο πολλαπλασιασμό. Υπενθύμιση για υποδακτυλίους: Ένα μη-κενό υποσύνολο S R ενός δακτυλίου R, καλείται υποδακτύλιος του R αν: (1) x, y S: x y S. (2) x, y S: xy S. Ισοδύναμα το υποσύνολο S R είναι υποδακτύλιος του R αν και μόνον αν 0 S και ισχύουν οι παραπάνω συνθληκες (1) και (2). Αν S είναι ένας υποδακτύλιος του R, τότε επειδή το S είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού του R, οι πράξεις επάγουν πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού επί του S, και με αυτές τις πράξεις το σύνολο S είναι ένας δακτύλιος. Επισημαίνουμε κάποιες χρήσιμες πληροφορίες για υποδακτυλίους:

2 (1) Ε R S R: Πράγματι ο δακτύλιος R M 2 (Z) έχει μονάδα τον πίνακα 1 0 I 2 0 1 και το υποσύνολο S { a 0 M 0 0 2 (Z) a Z } είναι ένας υποδακτύλιος του R με μονάδα τον πίνακα 1 0 I 0 0 2 (2) Ε R S : Πράγματι ο δακτύλιος Z έχει μονάδα, και το υποσύνολο 2Z είναι υποδακτύλιος του Z ο οποίος δεν έχει μονάδα. (3) Ε R S : Πράγματι ο δακτύλιος R { a b M 0 0 2 (Z) a, b Z } δεν έχει μονάδα, και το υποσύνολο S { a 0 M 0 0 2 (Z) a Z } 1 0 είναι ένας υποδακτύλιος του R με μονάδα τον πίνακα. 0 0 Ασκηση 2. Ποια από τα επόμενα σύνολα μαζί με τις αναφερόμενες πράξεις αποτελούν δακτύλιους; (1) R { a+b 3 a, b Z } μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών (2) R { a + bi a, b Q }, όπου i 2 1, μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού { μιγαδικών } αριθμών a b (3) R a, b R μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού{( πινάκων) } a b 0 a (4) R a, b R μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πινάκων b a (5) R { A M 2 (R) Det(A) 0 } μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πινάκων (6) R { m n Q n περιττός} μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού ρητών αριθμών (7) R { ri r R }, όπου i 2 1, μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού μιγαδικών αριθμών Λύση. (1) Το σύνολο R {a + b 3 a, b Z} είναι ένα μη κενό υποσύνολο του σώματος R των πραγματικών αριθμών και εύκολα βλέπουμε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις

πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Επομένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του R και επομένως είναι δακτύλιος. (2) Το σύνολο R {a + bi a, b Q}, είναι ένα μη-κενό υποσύνολο του σώματος C των μιγαδικών αριθμών και εύκολα βλέπουμε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Επομένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του C και επομένως είναι δακτύλιος. { } a b (3) Το σύνολο R a, b R είναι ένα μη-κενό υποσύνολο του δακτυλίου 0 a M 2 (R) των 2 2 πινάκων με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς και εύκολα βλέπουμε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πινάκων. Επομένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του M 2 (R) και επομένως είναι δακτύλιος. { } a b (4) Το σύνολο R a, b R είναι ένα μη-κενό υποσύνολο του δακτυλίου b a M 2 (R) των 2 2 πινάκων με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς και εύκολα βλέπουμε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πινάκων. Επομένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του M 2 (R) και επομένως είναι δακτύλιος. (5) Το σύνολο R {A M 2 (R) det A 0} μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και 1 0 πολλαπλασιασμού πινάκων δεν είναι δακτύλιος, διότι, π.χ., οι πίνακες και 0 ( 0 ) 0 0 1 0 ανήκουν στο σύνολο R αλλά το άθροισμά τους είναι ο πίνακας ο 0 1 0 1 οποίος δεν ανήκει στο υποσύνολο R. (6) Το σύνολο R {m/n Q n περιττός } είναι ένα μη κενό υποσύνολο του σώματος Q των ρητών αριθμών και εύκολα βλέπουμε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού. Επομένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του Q και επομένως είναι δακτύλιος. (7) Το σύνολο R {ri r R}, μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού μιγαδικών αριθμών δεν είναι δακτύλιος διότι, π.χ., ο μιγαδικός αριθμός i ανήκει στο R αλλά ii i 2 1 / R (ο μόνος πραγματικός αριθμός ο οποίος ανήκει στο R είναι το 0). { } u v Ασκηση 3. Να δειχθεί ότι το σύνολο πινάκων H u, v C M v u 2 (C) εφοδιασμένο με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πινάκων αποτελεί έναν δακτύλιο διαίρεσης. Ο δακτύλιος H καλείται ο δακτύλιος διαίρεσης των τετρανίων του Hamilton. Λύση. Εύκολα βλέπουμε ότι το υποσύνολο H του δακτυλίου M 2 (C) των 2 2 πινάκων μιγαδικών αριθμών είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πινάκων. Επομένως το σύνολο H είναι υποδακτύλιος του δακτυλίου M 2 (C) ( και) άρα είναι δακτύλιος. 1 0 Επιπλέον ο δακτύλιος H έχει μονάδα τον μοναδιαίο 2 2 πίνακα ο οποίος προφανώς 0 1 ανήκει στο H. Μένει να δείξουμε ότι κάθε μη-μηδενικό στοιχείο z w 0 A H w z είναι αντιστρέψιμο. Επειδή ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος ως στοιχείο του δακτυλίου M 2 (C) αν και μόνον αν η ορίζουσα Det(A) 0, για να δείξουμε ότι ο μη-μηδενικός πίνακας A είναι αντιστρέψιμο στοιχείο του δακτυλίου H, αρκεί να δείξουμε διαδοχικά ότι: 3

4 (1) Det(Α) 0, οπότε υπάρχει ο πίνακας Α 1 M 2 (C), και (2) Ο πίνακας A 1 ανήκει στο H. Υπολογίζοντας την ορίζουσα του πίνακα A βλέπουμε z w Det zz + ww z 2 + w 2 w z και άρα Det(Α) 0 αν και μόνον αν z 2 + w 2 0 αν και μόνον αν z w 0 αν και μόνον αν A 0. Επομένως, επειδή A 0, θα έχουμε ότι πράγματι Det(Α) 0. Επομένως υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας A 1, ο οποίος όπως μπορούμε να υπολογίσουμε εύκολα είναι: A 1 1 z w z 2 + w 2 w z Ο πίνακας A 1 προφανώς ανήκει στον υποδακτύλιο H. Επομένως δείξαμε ότι κάθε μη-μηδενικό στοιχείο του H είναι αντιστρέψιμο, και άρα ο δακτύλιος H είναι δακτύλιος διαίρεσης. Ο δακτύλιος διαίρεσης H δεν είναι σώμα διότι δεν είναι μεταθετικός, πχ. οι πίνακες i 0 0 i και ανήκουν στο H αλλά ( i 0 0 i 0 i ) 0 i i 0 ( 0 1 1 0 i 0 ) 0 1 1 0 ( 0 i i 0 ) i 0 0 i Σχόλιο 2. Στον ορισμό του δακτυλίου H των τετρανίων του Hamilton, { } u v H u, v C M v u 2 (C) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε 4 4 πίνακες πραγματικών αριθμών, και τότε μπορούμε να ταυτίσουμε: a b c d H b a d c c d a b a, b, c, d R M 4 (C) d c b a a b όπου χρησιμοποιήσαμε την ταύτιση του μιγαδικού αριθμού a + bi με τον 2 2 πίνακα b a c d και την ταύτιση του μιγαδικού αριθμού c + di με τον 2 2 πίνακα. Επιπλέον θέτοντας d c 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I 4 0 1 0 0 0 0 1 0, I 1 0 0 0 0 0 0 1, J 0 0 0 1 1 0 0 0, K 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 έπεται ότι: H { } ai 4 + bi + cj + dk a, b, c, d R M 4 (R) Εύκολα βλέπουμε ότι το σύνολο H, εκτός από δακτύλιος διαίρεσης, είναι και υπόχωρος του R-διανυσματικού χώρου M 4 (R) και το σύνολο πινάκων {I 4, I, J, K} είναι μια βάση του H υπεράνω του R.

Σχόλιο 3. Αν στον ορισμό του δακτυλίου H των τετρανίων του Hamilton στο παραπάνω σχόλιο όπου χρησιμοποιήσαμε 4 4 πίνακες πραγματικών αριθμών, χρησιμοποιήσουμε το πεπερασμένο σώμα Z p, p: πρώτος, αντί του σώματος των πραγματικών αριθμών R, αποκτούμε έναν μημεταθετικό δακτύλιο με μονάδα } H(Z p ) {ai 4 + bi + cj + dk a, b, c, d Z p M 4 (Z p ) ο οποίος έχει p 4 στοιχεία, και τα μόνα του ιδεώδη (έννοια την οποία θα συναντήσουμε στα επόμενα Κεφάλαια) είναι τα τετριμμένα: {0} και H(Z p ). Όμως σε αντίθεση με τον δακτύλιο H των τετρανίων του Hamilton, ο δακτύλιος H(Z p ) δεν είναι δακτύλιος διαίρεσης. Αν ο δακτύλιος H(Z p ) ήταν δακτύλιος διαίρεσης, τότε επειδή το σύνολο H(Z p ) είναι πεπερασμένο, σύμφωνα με ένα (δύσκολο) Θεώρημα το οποίο οφείλεται στον Wedderburn (κάθε πεπερασμένος δακτύλιος διαίρεσης είναι μεταθετικός, και άρα σώμα), ο δακτύλιος H(Z p ) θα ήταν μεταθετικός το οποίο είναι άτοπο. Μπορείτε να αποδείξετε, χωρίς τη χρήση του θεωρήματος του Wedderburn, ότι ο δακτύλιος H(Z p ) δεν είναι δακτύλιος διαίρεσης; Σύμφωνα με την Άσκηση 16, αρκεί να δειχθεί ότι ο δακτύλιος H(Z p ) δεν έχει διαιρέτες του μηδενός. 5 Ασκηση 4. Έστω (R, +, ) ένας δακτύλιος. Να δείξετε ότι το υποσύνολο Z(R) { r R r x x r, x R } είναι ένας υποδακτύλιος του R. Ο υποδακτύλιος Z(R) καλείται κέντρο του δακτυλίου R. Λύση. Επειδή x0 R 0 R x0 R, x R, έπεται ότι 0 R Z(R) και ιδιαίτερα Z(R). Έστω r 1, r 2 Z(R), και x R. Τότε θα έχουμε: (1) (2) (r 1 r 2 )x r 1 x r 2 x xr 1 xr 2 x(r 1 r 2 ) r 1 r 2 Z(R) (r 1 r 2 )x r 1 (r 2 x) r 1 (xr 2 ) (r 1 x)r 2 (xr 1 )r 2 x(r 1 r 2 ) r 1 r 2 Z(R) Επομένως το υποσύνολο Z(R) είναι ένας υποδακτύλιος του R. Σ : αν ο δακτύλιος R έχει μονάδα, τότε επειδή 1 R x x x1 R, x R, θα έχουμε ότι 1 R Z(R). Έτσι αν ο δακτύλιος R έχει μονάδα, τότε και ο υποδακτύλιος Z(R) έχει μονάδα, την μονάδα του δακτυλίου R: 1 Z(R) 1 R. Ασκηση 5. Να υπολογιστεί το κέντρο Z(H) του δακτυλίου των τετρανίων του Hamilton, και να δείξετε ότι: Z(H) Z(M 2 (R)) Λύση. (1) Έστω z w A Z(H) w z 1 1 Επειδή H, θα έχουμε: 1 1 z w 1 1 1 1 z w z + w z + w z + w w z w z 1 1 1 1 w z w + z w + z z w w + z

6 Η παραπάνω ισότητα πινάκων δίνει άμεσα ότι: w w και z z z a R και w b R Επομένως: z w a b A M w z b a 2 (R) i 0 Από την άλλη πλευρά, επειδή H, θα έχουμε: 0 i a b i 0 i 0 a b ai bi ia bi b a 0 i 0 i b a bi ai bi ai bi bi b 0 και επομένως z w a 0 A, a R w z 0 a z w a 0 Άρα αν ο πίνακας A ανήκει στο κέντρο Z(H), τότε A, για κάποιο w z 0 a a R. a 0 Αντίστροφα αν Α H, a R, τότε εύκολα βλέπουμε ότι A Z(H). 0 a Άρα: { } { } a 0 1 0 Z(H) a R a a R 0 a 0 1 a b (2) Από την άλλη πλευρά αν A Z(M c d 2 (R)), θα έχουμε: 1 0 a b a b 1 0 a b a 0 b c 0 0 0 c d c d 0 0 0 0 c 0 a 0 και άρα A. Επίσης θα έχουμε: 0 d 0 1 a 0 a 0 0 1 0 d 0 a a d 0 0 0 d 0 d 0 0 0 0 0 0 a 0 1 0 και επομένως A a ai 0 a 0 1 2. Αντίστροφα είναι προφανές ότι κάθε πίνακας της μορφής ai 2 μετατίθεται με κάθε 2 2 πίνακα, και επομένως: Z(M 2 (R)) { ai 2 M 2 (R)) a R } Z(H) Ασκηση 6. Να προσδιοριστούν όλοι οι διαιρέτες του μηδενός των επόμενων δακτυλίων: (1) Z 4, (2) Z 8, (3) Z 11, (4) Z 4 Z 4 Λύση. (1) Υπενθυμίζουμε ότι ένα στοιχείο [k] n Z n είναι διαιρέτης του μηδενός αν και μόνον αν (k, n) > 1. (Το μηδενικό στοιχείο ενός δακτυλίου δεν θεωρείται διαρέτης του μηδενός). Έτσι για τους δακτυλίους Z 4, Z 8, και Z 11, θα έχουμε: (αʹ) 1 k 3 και (k, 4) > 1 k 2. Άρα ο μόνος διαιρέτης του μηδενός στον δακτύλιο Z 4 είναι το στοιχείο [2] 4.

7 (βʹ) 1 k 8 και (k, 8) > 1 k 2, 4, 6. Άρα οι διαιρέτες το μηδενός στον δακτύλιο Z 8 είναι τα στοιχεία [2] 8, [4] 8, [6] 8. (γʹ) 1 k 11 και (k, 11) > 1. Προφανώς κανένα στοιχείο του δακτυλίου Z 11 δεν είναι διαιρέτης του μηδενός. (2) Για τον δακτύλιο Z 4 Z 4, προφανώς τα στοιχεία: ([1] 2, [0] 2 ), ([0] 2, [1] 2 ), ([2] 2, [0] 2 ), ([0] 2, [2] 2 ), ([3] 4, [0] 4 ), ([0] 4, [3] 4 ), είναι διαιρέτες του μηδενός, διότι: [r] 4 Z 4 : ([r] 4, [0] 4 ) ([0] 4, [r] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) Επίσης το στοιχείο ([2] 4, [2] 4 ) είναι διαιρέτης του μηδενός διότι: ([2] 4, [2] 4 ) ([2] 4, [2] 4 ) ([4] 4, [4] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) Τα παραπάνω στοιχεία μαζί με το μηδενικό στοιχείο ([0] 4, [0] 4 ) του δακτυλίου Z 4 Z 4 (το οποίο δεν θεωρείται διαιρέτης του μηδενός), δίνουν 8 στοιχεία. Ο δακτύλιος Z 4 Z 4 έχει πλήθος στοιχείων ίσο με 4 4 16. Έτσι μένουν άλλα 8 στοιχεία. Εξ αυτών, τα στοιχεία ([1] 4, [1] 4 ), ([1] 4, [3] 4 ), ([3] 4, [1] 4 ), ([3] 4, [3] 4 ) είναι προφανώς όλα τα αντιστρέψιμα στοιχεία του δακτυλίου Z 4 Z 4, και τα οποία δεν είναι διαιρέτες του μηδενός. Έτσι μένουν προς εξέταση τα στοιχεία ([2] 4, [3] 4 ), ([3] 4, [2] 4 ), ([1] 4, [2] 4 ), ([2] 4, [1] 4 ). Αυτά τα σοιχεία είναι διαιρέτες του μηδενός διότι: ([1] 4, [2] 4 ) ([0] 4, [2] 4 ) ([0] 4, [4] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) ([2] 4, [1] 4 ) ([2] 4, [0] 4 ) ([4] 4, [0] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) ([2] 4, [3] 4 ) ([2] 4, [0] 4 ) ([4] 4, [0] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) ([3] 4, [2] 4 ) ([0] 4, [2] 4 ) ([0] 4, [4] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) Συνοψίζουμε: οι διαιρέτες του μηδενός στον δακτύλιο Z 4 Z 4 είναι: ([1] 2, [0] 2 ), ([0] 2, [1] 2 ), ([2] 2, [0] 2 ), ([0] 2, [2] 2 ), ([3] 4, [0] 4 ), ([0] 4, [3] 4 ), ([2] 4, [2] 4 ), ([2] 4, [3] 4 ), ([3] 4, [2] 4 ), ([1] 4, [2] 4 ), ([2] 4, [1] 4 ) Σχόλιο 4. Στον δακτύλιο Z 4 Z 4 είδαμε ότι το σύνολο Z 4 Z 4 είναι ξένη ένωση: Z 4 Z 4 { 0 Z4 Z 4 } { αντιστρέψιμα στοιχεία } { διαιρέτες του μηδενός } Μπορείτε να βρείτε τους διαιρέτες του μηδενός στον δακτύλιο ευθύ γινόμενο Z n Z m ; Ισχύει η παραπάνω ισότητα σ αυτή την περίπτωση; Ασκηση 7. Έστω R ένας δακτύλιος με μονάδα. (1) Αν για κάθε r R ισχύει r 2 r, να δείξετε ότι ο R είναι μεταθετικός. (Ένας δακτύλιος για τον οποίο ισχύει r 2 r, r R, καλείται δακτύλιος του Boole). (2) Αν για κάθε r R ισχύει r 3 r, να δείξετε ότι ο R είναι μεταθετικός.¹ ¹Ένα σημαντικό Θεώρημα του Jacobson πιστοποιεί ότι αν R είναι ένας δακτύλιος για τον οποίο ισχύει ότι: x R, n x N : x n x x τότε ο δακτύλιος R είναι μεταθετικός. Nathan Jacobson (1910-1999): σπουδαίος Αμερικανός Μαθηματικός, Πολωνικής καταγωγής, με θεμελιώδη συμβολή στην Άλγεβρα και ιδιαίτερα στην Θεωρία Δακτυλίων.

8 Λύση. (1) Έστω r R. Θα δείξουμε πρώτα ότι, r R: r + r 0 R ή ισοδύναμα: r r. (r + r) 2 r + r (r + r)(r + r) r + r r 2 + r 2 + r 2 + r 2 r + r r + r + r + r r + r Επομένως από την τελευταία σχέση, με χρήση του Νόμου Διαγραφής στην ομάδα (R, +), θα έχουμε: Έστω τώρα r, s R. Θα έχουμε: r R : r + r 0 R ή ισοδύναμα r r ( ) (r + s) 2 r + s (r + s)(r + s) r + s r 2 + rs + sr + s 2 r + s r + rs + sr + s r + s Επομένως από την τελευταία σχέση, με χρήση του Νόμου Διαγραφής στην ομάδα (R, +), θα έχουμε: r, s R : rs + sr 0 R ή ισοδύναμα rs sr ( ) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ( ) και ( ), θα έχουμε: r, s R : rs sr δηλαδή ο δακτύλιος R είναι μεταθετικός Σχόλιο: Παρατηρούμε ότι στην παραπάνω απόδειξη δεν χρησιμοποιήσαμε πουθενά ότι ο δακτύλιος R έχει μονάδα. Έτσι η συνεπαγωγή r R : r 2 r r, s R : rs sr ισχύει και για δακτυλίους οι οποίοι δεν έχουν απαραίτητα μονάδα. Αυτό το συμπέρασμα θα μας φανεί χρήσιμο στο δεύτερο μέρος της Άσκησης. (2) Για κάθε x R έχουμε x 3 x. Συνεπώς: (x + x) 3 (x + x) x 3 + 3x 2 x + 3xx 2 + x 3 x + x x 3 + 3x 3 + 3x 3 + x 3 x + x 8x 3 2x 8x 2x Με χρήση του Νόμου διαγραφής στην αβελιανή ομάδα (R, +) θα έχουμε: x R : 6x 0 R (a) Χρησιμοποιώντας την ευκόλως αποδεικνυόμενη ταυτότητα σε τυχόντα δακτύλιο R: a, b R : (a b) 3 a 3 a 2 b aba + ab 2 ba 2 + bab + b 2 a b 3 θα έχουμε: (x 2 x) 3 x 6 x 5 x 5 + x 4 x 5 + x 4 x 3 x 6 3x 5 + 3x 4 x 3 (x 2 ) 3 3x 3 x 2 + 2x 3 x x 3 x 2 3xx 2 + 3xx x x 2 3x 3 + 2x 2 x x 2 3x + 3x 2 x 4x 2 4x Όμως από την υπόθεση έχουμε: (x 2 x) 3 x 2 x 4x 2 4x x 2 x και επομένως από τον Νόμο Διαγραφής στην αβελιανή ομάδα (R, +) θα έχoυμε: Θεωρούμε το σύνολο Τότε x, y R, θα έχουμε: και x R : 3x 2 3x (b) S { 3x x R } 3x + 3y 3(x + y) S (c 1 ) (3x)(3y) (x + x + x)(y + y + y) xy + xy + xy + xy + xy + xy + xy + xy + xy

9xy 6xy + 3xy Επειδή από τη σχέση (a) έχουμε 6x 0 R, x R, από την παραπάνω σχέση έπεται ότι: (3x)(3y) 3xy S (c 2 ) Οι σχέσεις (c 1 ) και (c 2 ) δίνουν ότι το υποσύνολο S είναι ένας υποδακτύλιος του R. Επιπρόσθετα, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (a), (b), και (c 2 ), για κάθε z 3x S θα έχουμε z 2 (3x)(3x) 9x 2 3x 2 3x z Επομένως σύμφωνα με το πρώτο μέρος της Άσκησης, ο υποδακτύλιος S, ο οποίος δεν έχει απαραίτητα μονάδα, είναι μεταθετικός. Συνεπώς θα έχουμε: x, y R : (3x)(3y) (3y)(3x) 9xy 9yx 6xy + 3xy 6yx + 3yx Επειδή από τη σχέση (a) ισχύει: 6x 0 R, x R, από την παραπάνω σχέση έπεται ότι 3xy 3yx (d) Εργαζόμενοι όπως παραπάνω, αναπτύσσοντας τη σχέση (x + y) 3 x + y, μετά από αναγωγές ομοίων όρων, θα έχουμε ότι xy 2 + x 2 y + xyx + yx 2 + yxy + y 2 x 0 και παρόμοια από την σχέση (x y) 3 x y θα έχουμε ότι xy 2 x 2 y xyx yx 2 + yxy + y 2 x 0 Προσθέτοντας τις σχέσεις (e) και (f), παίρνουμε τηn εξής σχέση: 2xy 2 + 2yxy + 2y 2 x 0 Πολλαπλασιάζουμε τη σχέση (g) πρώτα από αριστερά με y και μετά από δεξιά με y, και χρησιμοποιώντας ότι y 3 y, θα έχουμε τις σχέσεις 2xy + 2yxy 2 + 2y 2 xy 0 (h 1 ) 2yxy 2 + 2y 2 xy + 2yx 0. (h 2 ) Αφαιρώντας από την σχέση (h 1 ) την (h 2 ), θα έχουμε: 2xy 2yx Τέλος αφαιρώντας την τελευταία σχέση από την (d), θα έχουμε, x, y R: xy yx Επομένως ο δακτύλιος R είναι μεταθετικός. 9 (e) (f) (g) (i) Ασκηση 8. Να δειχθεί ότι οι επόμενοι δακτύλιοι αποτελούν ακέραιες περιοχές: (1) Z[i] { a + bi a, b Z }, όπου i 2 1, μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού μιγαδικών αριθμών (2) Q(i) { a + bi a, b Q }, όπου i 2 1, μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού μιγαδικών αριθμών

10 (3) Z( 5) { a + b 5 a, b Z }, μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών (4) Q( 2, 3) { a + b 2 + c 3 + d 2 3 a, b, c, d Q }, μαζί με τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών Λύση. Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής απλή παρατήρηση: «αν R είναι μια ακέραια περιοχή και S R είναι ένας υποδακτύλιος του R, τότε ο δακτύλιος S είναι ακέραια περιοχή.» (1) Το σύνολο Z[i] είναι προφανώς ένας υποδακτύλιος του σώματος C των μιγαδικών αριθμών, και άρα σύμφωνα με την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Z[i] είναι ακέραια περιοχή. (2) Το σύνολο Q[i] είναι προφανώς ένας υποδακτύλιος του σώματος C των μιγαδικών αριθμών, και άρα σύμφωνα με την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Q[i] είναι ακέραια περιοχή. (3) Εύκολα βλέπουμε ότι το σύνολο Z( 5) είναι ένας υποδακτύλιος του σώματος R των πραγματικών αριθμών, και άρα σύμφωνα με την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Z( 5) είναι ακέραια περιοχή. (4) Επειδή, όπως μπορούμε να δούμε εύκολα, το σύνολο Q( 2, 3) περιέχει το 0, και είναι κλειστό στην πράξη της αφαίρεσης και πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών, έπεται ότι το σύνολο Q( 2, 3) είναι ένας υποδακτύλιος του σώματος R των πραγματικών αριθμών. Άρα σύμφωνα με την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Q( 2, 3) είναι ακέραια περιοχή. Ασκηση 9. Έστω (R, +, ) ένας δακτύλιος με τουλάχιστον δύο στοιχεία και ο οποίος ικανοποιεί την επιπλέον ιδιότητα ότι για κάθε a R, a 0, υπάρχει ένα μοναδικό στοιχείο b R έτσι ώστε aba a. Να δειχθεί ότι: (1) ο R δεν διαθέτει διαιρέτες του μηδενός. (2) bab b. (3) ο R διαθέτει μοναδιαίο στοιχείο. (4) ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Λύση. (1) Έστω a, c R έτσι ώστε ac 0 R. Θα δείξουμε ότι: a 0 R ή c 0 R. Υποθέτουμε ότι a 0 R. Έστω b R το μοναδικό στοιχείο του δακτυλίου R έτσι ώστε aba a. Τότε θα έχουμε: a(b + c)a aba + aca aba + 0 R a(b + c)a aba a(b + c)a a Λόγω μοναδικότητας του στοιχείου b έτσι ώστε aba a, θα έχουμε b b + c και επομένως από τον Νόμο Διαγραφής, έπεται ότι c 0 R. Παρόμοια δείχνουμε ότι αν c 0 R, τότε a 0 R. Άρα ο R δεν έχει διαιρέτες του μηδενός. (2) Επειδή, από το (1), ο R δεν έχει διαιρέτες του μηδενός, από τη Θεωρία γνωρίζουμε ότι θα ισχύουν οι Νόμοι της Διαγραφής στον R. Επομένως για κάθε a R, a 0 R, θα έχουμε: aba a baba ba bab b (3) Θα δείξουμε ότι ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο και μάλιστα αυτό είναι το στοιχείο ab, όπου 0 R a R και b R το μοναδικό στοιχείο έτσι ώστε: aba a. Έστω c R. Επειδή aba a, έπεται ότι ca caba και άρα c c(ab) ( )

11 Επειδή από το (2) έχουμε b bab, έπεται ότι bc babc και άρα c (ab) Από τις σχέσεις ( ) και ( ) έχουμε ότι ( ) (ab)c c c(ab), c R και άρα το ab R είναι το μοναδιαίο στοιχείο του R. (4) Έστω a 0. Τότε, επειδή aba a και λόγω του προηγούμενου ερωτήματος (3) έπεται ότι ab 1 R, δηλαδή το στοιχείο b είναι ένα δεξιά αντίστροφο στοιχείο του a. Σημειώνουμε ότι a, b 0 R, διότι διαφορετικά θα έχουμε 1 R 0 R και τότε ο R έχει μόνο ένα στοιχείο: R {0 R } το οποίο είναι άτοπο, διότι R > 1. Επίσης χρησιμοποιώντας τον Νόμο Διαγραφής (διότι a, b 0 R ), έχουμε: ab 1 R ab abab 1 R b b bab 1 R ba και άρα δείξαμε ότι ab 1 R ba, δηλαδή το στοιχείο a 0 R είναι αντιστρέψιμο και a 1 b είναι το αντίστροφό του. Συνεπώς κάθε μη-μηδενικό στοιχείο του R είναι αντιστρέψιμο και άρα ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Ασκηση 10. Να προσδιοριστούν τα αντιστρέψιμα στοιχεία των επόμενων δακτυλίων: (1) Z 10, (2) Z 2 Z 4, (3) Z[i], όπου i 2 1, (4) Z Z, (5) H. Λύση. Συμβολίζουμε με U(R) την ομάδα των αντιστρεψίμων στοιχείων ενός δακτυλίου με μοναδα R. (1) Ως γνωστόν ένα στοιχείο [k] n Z n είναι αντιστρέψιμο αν και μόνον αν (k, n) 1. Άρα για n 10 θα έχουμε: U(Z 10 ) { [1] 10, [3] 10, [7] 10, [9] 10 } (2) Εύκολα βλέπουμε ότι θα έχουμε U(Z 2 Z 4 ) { ([1] 2, [1] 4 ), ([1] 2, [3] 4 ) } Γενικά ισχύει ότι αν R 1 R 2 είναι το ευθύ γινόμενο δύο δακτυλίων με μονάδα, τότε εύκολα προκύπτει ότι: U(R 1 R 2 ) U(R 1 ) U(R 2 ) Επειδή U(Z 2 ) {[1] 2 } και U(Z 4 ) {[1] 4, [3] 4 }, έπεται πάλι ότι U(Z 2 Z 4 ) { ([1] 2, [1] 4 ), ([1] 2, [3] 4 ) }. (3) Έστω a + bi U(Z[i]). Τότε υπάρχει στοιχείο c + di Z[i] έτσι ώστε: (a + bi)(c + di) 1 Επειδή κάθε στοιχείο a + bi του δακτυλίου Z[i] είναι ιδιαίτερα ένας μιγαδικός αριθμός, μπορούμε να θεωρήσουμε το μέτρο του a + bi (a + bi)(a bi) a 2 + b 2. Ως γνωστόν ισχύει: Επομένως (a + bi) (c + di) a + bi c + di (a + bi)(c + di) 1 (a + bi) (c + di) a + bi c + di 1 (a 2 + b 2 ) (c 2 + d 2 ) 1 Επειδή αναζητούμε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης (a 2 + b 2 ) (c 2 + d 2 ) 1, προφανώς θα έχουμε ότι το στοιχείο a + bi είναι της μορφής 1 + 0i 1, 1 + 0i 1, 0 + 1i i, 0 1i i

12 Αντίστροφα τα στοιχεία ±1, ±i είναι προφανώς αντιστρέψιμα στοιχεία του δακτυλίου Z[i]. Συνοψίζουμε: U(Z[i]) {1, 1, i, i} (4) Θα έχουμε: (n, m) U(Z Z) (k, l) Z Z : (n, m)(k, l) (1, 1) (k, l) Z Z : (nk, ml) (1, 1) n ±1 και m ±1 Επομένως: U(Z Z) { (1, 1), (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1) } Διαφορετικά: U(Z Z) U(Z) U(Z) {1, 1} {1, 1} { (1, 1), (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1) }. (5) Τέλος θα έχουμε U(H) H διότι ο δακτύλιος H είναι δακτύλιος διαίρεσης, και άρα τα αντιστρέψιμα στοιχεία του είναι τα μη-μηδενικά στοιχεία του. Ασκηση 11. Ποιοι από τους επόμενους δακτύλιους είναι σώματα; (1) Z[i], (2) Q Q, (3) Z 13. Λύση. (1) Ο δακτύλιος Z[i] είναι μια ακέραια περιοχή η οποία δεν είναι σώμα διότι διαφορετικά κάθε μη-μηδενικό στοιχείο του θα ήταν αντιστρέψιμο. Σύμφωνα με την προηγούμενη Άσκηση 9, τα μόνα αντιστρέψιμα στοιχεία του Z[i] είναι τα ±1, ±i. Άρα ο δακτύλιος Z[i] δεν είναι σώμα. (2) Ο δακτύλιος Q Q δεν είναι ακέραια περιοχή διότι έχει διαιρέτες του μηδενός, π.χ. τα μη-μηδενικά στοιχεία (1, 0) και (0, 1) τα οποία ικανοποιούν τη σχέση (1, 0)(0, 1) (0, 0). Επομένως ο δακτύλιος Q Q δεν είναι σώμα. (3) Επειδή ο δακτύλιος Z n είναι σώμα (αν και μόνον αν ο δακτύλιος Z n είναι ακέραια περιοχή) αν και μόνον αν ο φυσικός αριθμός n είναι πρώτος, έπεται ότι ο δακτύλιος Z 13 είναι σώμα. Ασκηση 12. Ποια είναι η χαρακτηριστική των επόμενων δακτυλίων; (1) Z 10 Z 8, (2) C, (3) Z Z, (4) H, (5) Z 2 Z Z 3. Λύση. (1) Έστω ότι υπάρχει k 1 έτσι ώστε k1 Z10 Z 8 0 Z10 Z 8. Τότε: ([0] 10, [0] 8 ) 0 Z10 Z 8 k1 Z10 Z 8 k([1] 10, [1] 8 ) (k[1] 10, k[1] 8 ) ([k] 10, [k] 8 ) και επομένως: [k] 10 [0] 10 και [k] 8 [0] 8 10 k και 8 k 40 [10, 8] k k 40 t, τ 1 Αντίστροφα αν k 40 t 10(4 t) 8(5 t), t 1, τότε προφανώς [k] 10 [0] 10 και [k] 8 [0] 8, και τότε θα έχουμε k([1] 10, [1] 8 ) ([0] 10, [0] 8 ). Επειδή ο αριθμός k 40 είναι ο μικρότερος φυσικός με αυτή την ιδιότητα, θα έχουμε: char(z 10 Z 8 ) 40 (2) Προφανώς char(c) 0 διότι δεν υπάρχει φυσικός n 1 έτσι ώστε nz 0, z C.

(3) Προφανώς char(z Z) 0 διότι δεν υπάρχει φυσικός n 1 έτσι ώστε n(k, m) (0, 0), (k, m) Z Z. (4) Προφανώς char(h) 0 διότι δεν υπάρχει φυσικός n 1 έτσι ώστε na 0 H, A H. (5) Προφανώς char(z 2 Z Z 3 ) 0 διότι δεν υπάρχει φυσικός n 1 έτσι ώστε n([k] 2, l, [m] 3 ) ([0] 2, 0, [0] 3 ), ([k] 2, l, [m] 3 ) Z 2 Z Z 3. 13 Ασκηση 13. Να δειχθεί ότι σε ένα σώμα F χαρακτηριστικής p > 0 ισχύει a, b F: (a+b) p a p + b p. Λύση. Επειδή ένα σώμα είναι μεταθετικός δακτύλιος, θα έχουμε ότι ab ba, a, b R. Τότε όμως ισχύει ο διωνυμικός τύπος του Νεύτωνα: p 1 p (a + b) p a p + b p + a p k b k k Από την Θεωρία Αριθμών γνωρίζουμε ότι²: p ( ( p k). Αυτό σημαίνει ότι p k) p r για κάποιον θετικό ακέραιο r. Τότε χρησιμοποιώντας ότι η χαρακτηριστική του R είναι ίση με p, θα έχουμε: p k 1, 2,, p 1 : a p k b k p r a p k b k k Επειδή σε έναν δακτύλιο R χαρακτηριστικής p ισχύει p r 0, r R, θα έχουμε: και επομένως: k1 k 1, 2,, p 1 : p r a p k b k 0 p 1 p (a + b) p a p + b p + a p k b k a p + b p k k1 Ασκηση 14. Έστω R ένας δακτύλιος, όχι απαραίτητα με μονάδα. Να δείξετε ότι το σύνολο Z R { (n, r) n Z & r R } εφοδιασμένο με τις πράξεις: (n, r) + (m, s) (n + m, r + s) και (n, r) (m, s) (nm, ns + rm + rs) είναι ένας δακτύλιος με μονάδα. ²Υπενθυμίζουμε την απόδειξη: Θα έχουμε ( p p! k) k!(p k)! p! ( p ( p k!(p k)! & p p! p k!(p k)! k) k) Επειδή p είναι πρώτος, έπεται προφανώς ότι p k! και p (p k)!. Πράγματι, διαφορετικά θα είχαμε p l για κάποιο 1 l k ή p t για κάποιο t p k αντίστοιχα, δηλαδή p l k ή p t p k. Και οι δύο περιπτώσεις μας οδηγούν σε άτοπο διότι 1 k p 1. Επομένως θα έχουμε p ( p k).

14 Λύση. Είναι πολύ εύκολο να διαπιστωθεί ότι το σύνολο Z R εφοδιασμένο με τις παραπάνω πράξεις ικανοποιεί τα αξιώματα δακτυλίου. Σημειώνουμε ότι rm συμβολίζει το στοιχείο mr, δηλαδή rm mr r + + r (m παράγοντες αν m 1), r0 0r 0 R (αν m 0), και rm mr ( r) + + ( r) ( m παράγοντες αν m < 0). Επιπρόσθετα το στοιχείο (1, 0 R ) είναι η μονάδα του δακτυλίου Z R διότι: (n, r) Z R : (n, r)(1, 0 R ) (n1, n0 R + r1 + r0 R ) (n, r) (1, 0 R )(n, r) Ασκηση 15. Θεωρούμε τον δακτύλιο πινάκων M 2 (Z 2 ). (1) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z 2 ). (2) Βρείτε όλα τα αντιστρέψιμα στοιχεία του δακτυλίου M 2 (Z 2 ). (3) Να βρεθεί η χαρακτηριστική του δακτυλίου M 2 (Z 2 ). Λύση. Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι αν V είναι ένας διανυσματικός χώρος διάστασης n υπεράνω ενός πεπερασμένου σώματος Z p, p: πρώτος, τότε V p n. Επειδή ο δακτύλιος M 2 (Z 2 ) είναι διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος Z 2 διάσταση 2 2 4, με βάση τους πίνακες [1]2 [0] E 11 2 [0]2 [1], E [0] 2 [0] 12 2 [0]2 [0], E 2 [0] 2 [0] 21 2 [0]2 [0], E 2 [1] 2 [0] 22 2 2 [0] 2 [1] 2 έπεται ότι το πλήθος των στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z 2 ) είναι 2 4 16. Τα αντιστρέψιμα στοιχεία του M 2 (Z 2 ) είναι όλοι οι αντιστρέψιμοι 2 2 πίνακες με στοιχεία από το σώμα Z 2, δηλαδή όλοι οι πίνακες A M 2 (Z 2 ) έτσι ώστε det(a) [0] 2. Εύκολα βλέπουμε ότι οι αντιστρέψιμοι πίνακες είναι οι εξής: [1]2 [0] 2, [0] 2 [1] 2 Παρατηρώντας ότι [1]2 [1] 2, [0] 2 [1] 2 [1]2 [0] 2, [1] 2 [1] 2 2 [0]2 [1] 2 [1]2 [0 2 [1] 2 [0] 2 [0] 2 [1] 2 και [0]2 [1] 2, [1] 2 [0] 2 [1]2 [1] 2, [1] 2 [0] 2 3 [1]2 [1] 2 [1]2 [0] 2 [1] 2 [0] 2 [0] 2 [1] 2 [0]2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 εύκολα βλέπουμε ότι η ομάδα των αντιστρεψίμων στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z 2 ) είναι ισόμορφη με την συμμετρικη ομάδα S 3 : U ( M 2 (Z 2 ) ) S3 ( Μπορείτε να κατασκευάσετε έναν ισομορφισμό f: U ( M2 (Z 2 ) ) S 3 ; ) Τέλος αν a11 a A 12 M a 21 a 2 (Z 2 ) 22 τότε επειδή 2a ij 0 Z2, έπεται άμεσα ότι 2A 0 M2(Z 2) και επομένως: char(m 2 (Z 2 )) 2 Σχόλιο 5. Γενικότερα το πλήθος των στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z p ), p: πρώτος, είναι p 4 και η τάξη της ομάδας των αντιστρεψίμων στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z p ) είναι: o ( U ( M 2 (Z 2 ) )) (p 2 1)(p 2 p) Μπορείτε να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του δακτυλίου πινάκων M n (Z p ) υπεράνω του σώματος Z p και (κυρίως) της ομάδας των αντιστρεψίμων στοιχέιων του U ( M n (Z p ) ) ;

15 Ασκηση 16. Έστω R ένας πεπερασμένος δακτύλιος με μονάδα. Να δείξετε ότι ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης αν και μόνον ο R δεν έχει διαιρέτες του μηδενός. Λύση. Έστω ότι ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Έστω r, s R έτσι ώστε rs 0. Αν r 0, τότε, επειδή ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης, υπάρχει το αντίστροφο r 1 R. Επομένως r 1 (rs) 0 (r 1 r)s 0 1 R s 0 s 0 Παρόμοια αν s 0, τότε δείχνουμε ότι r 0. Επομένως ο δακτύλιος R δεν έχει διαιρέτες του μηδενός. Έστω r 0 R και r 0 0. Ορίζουμε απεικόνιση f : R R, f(r) rr 0 Χρησιμοποιώντας ότι r 0 0 R και ότι ο R δεν έχει διαιρέτες του μηδέν, θα έχουμε: f(r) f(s) rr 0 sr 0 (r s)r 0 0 R r s και άρα η απεικόνιση f είναι 1-1. Επειδή το σύνολο R είναι πεπερασμένο έπεται ότι η f είναι επί³. Τότε όμως 1 R f(r) και άρα υπάρχει ακριβώς ένα x R έτσι ώστε: f(x) 1 R, δηλαδή xr 0 1 R Επιπλέον χρησιμοποιώντας ότι η f είναι 1-1, θα έχουμε: f(r 0 x) (r 0 x)r 0 r 0 (xr 0 ) r 0 1 R r 0 1 R r 0 f(1 R ) r 0 x 1 R Επομένως το r 0 είναι αντιστρέψιμο, και άρα ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Ασκηση 17. Έστω R ένας δακτύλιος με μονάδα. Αν ένα στοιχείο a R έχει περισσότερα από ένα δεξιά αντίστροφα στοιχεία (δηλαδή στοιχεία a R έτσι ώστε αα 1 R ) τότε να δείξετε ότι το a έχει άπειρα δεξιά αντίστροφα στοιχεία⁴. Λύση. Σταθεροποιούμε ένα στοιχείο a R, και υποθέτουμε ότι το a έχει περισσότερα από ένα δεξιά αντίστροφα στοιχεία. Συμβολίζουμε με X(a) το σύνολο των δεξιά αντίστροφων στοιχείων του a: X(a) { a R aa 1 R } Τότε X(a) 2. Θα δείξουμε ότι το σύνολο X(a) είναι άπειρο. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει 1-1 απεικόνιση από το X(a) στο X(a) η οποία δεν είναι επί (βλέπε την υποσημείωση 3). Σταθεροποιούμε ένα στοιχείο a 0 X(a), δηλαδή aa 0 1 R, και ορίζουμε απεικόνιση f : X(a) X(a), f(a ) a a 1 R + a 0 Η απεικόνιση f είναι καλά ορισμένη, δηλαδή f(a ) X(a), a X(a). Πράγματι: af(a ) a(a a 1 R + a 0 ) a(a a) a1 R + aa 0 (aa )a a + aa 0 1 R a a + 1 R a a + 1 R 1 R Η απεικόνιση f είναι 1-1 διότι: f(a ) f(a ) a a 1 R +a 0 a a 1 R +a 0 a a a a (a a)a (a a)a a (aa ) a (aa ) a 1 R a 1 R a a ³ Χρησιμοποιούμε ότι: αν ένα σύνολο X είναι πεπερασμένο τότε κάθε 1-1 απεικόνιση f: X X είναι επί. Ισοδύναμα, αν σε ένα σύνολο X υπάρχει 1-1 απεικόνιση f: X X η οποία δεν είναι επί, τότε το σύνολο X είναι άπειρο. ⁴Το αποτέλεσμα αυτό οφείλεται στον Irving Kaplansky (1917-2006): Καναδός Μαθηματικός ο οποίος έζησε και εργάσθηκε στις ΗΠΑ, με σημαντική συμβολή στην Άλγεβρα.

16 Η απεικόνιση f δεν είναι επί. Πράγματικά το στοιχείο a 0 / X(a), διότι διαφορτετικά: a X(a) : f(a ) a 0 a a 1 R + a 0 a 0 a a 1 R 0 R a a 1 R Τότε όμως θα έχουμε a a 1 R aa και επομένως το στοιχείο a είναι αντιστρέψιμο και a a 1. Τότε όμως για κάθε δύο δεξιά αντίστροφα a 1, a 2 X(a) του a, θα έχουμε: aa 1 1 R aa 2 a 1 (aa 1 ) a 1 (aa 2 ) (a 1 a)a 1 (a 1 a)a 2 1 R a 1 1 R a 2 a 1 a 2 Επομένως υπάρχει ακριβώς ένα δεξιά αντίστροφο στοιχείο του a, δηλαδή X(a) 1. Αυτό όμως είναι άτοπο διότι από την υπόθεση έχουμε X(a) 2. Συμπεραίνουμε ότι η απεικόνιση f δεν είναι επί. Επομένως επειδή κατασκευάσαμε μια 1-1 απεικόνιση επί του συνόλου X(a) η οποία δεν είναι επί, συνάγουμε ότι το σύνολο X(a) είναι άπειρο. Ασκηση 18. Έστω R μια ακέραια περιοχή και υποθέτουμε ότι: nr 0 R, για κάποιο r R, r 0 και κάποιο n Z +, n 0. Να δείξετε ότι: char(r) p για κάποιον πρώτο διαιρέτη p του n. Λύση. Χρησιμοποιώντας την υπόθεση, θα έχουμε; nr 0 R n(1 R r) 0 R 1 R r + 1 R r 0 R (n παράγοντες) (1 R + + 1 R )r 0 R (n παράγοντες) (n1 R )r 0 R Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή και r 0 R, θα έχουμε n1 R 0 R. Αυτό σημαίνει ότι char(r) <. Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, γνωρίζουμε ότι char(r) p, όπου p είναι ένας πρώτος αριθμός. Θα δείξουμε ότι p n. Θεωρούμε την προσθετική αβελιανή ομάδα (R, +). Επειδή nr 0 R, έπεται ότι κάθε στοιχείο r R έχει πεπερασμένη τάξη και μάλιστα o(r) n. Επειδή char(r) p, έπεται ότι o(r) p, r R, και άρα o(r) 1 ή o(r) p, r R. Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραι περιοχή, έπεται ότι ο R έχει τουλάχιστον δύο στοιχεία, και άρα υπάρχει r 0 R έτσι ώστε o(r) p, και επομένως p n. Ασκηση 19. Έστω R ένας δακτύλιος με περισσότερα από ένα στοιχεία. Υποθέτουμε ότι η εξίσωση ax b έχει λύση για κάθε 0 a R και για κάθε b R. Να δείξετε ότι ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Λύση. Θα δείξουμε το ζητούμενο σε τρία βήματα: (1) Ο δακτύλιος R δεν έχει διαιρέτες του μηδενός. Έστω a, b R έτσι ώστε: ab 0 R. Υποθέτουμε ότι a, b 0 R, και θα καταλήξουμε σε άτοπο. Θα έχουμε abx 0 R, x R. Επειδή b 0 R, η εξίσωση bx c έχει λύση για κάθε c R. Επομένως θα έχουμε: ac 0 R, c R ( ) Όμως a 0 R, και άρα η εξίσωση ax a έχει λύση, την οποία συμβολίζουμε με e: ae a. Θέτοντας c e στη σχέση ( ), θα έχουμε a ae 0 R και επομένως a 0 R το οποίο είναι άτοπο. Στο άτοπο καταλήξαμε υποθέτοντας ότι a, b 0 R. Επομένως είτε a 0 R ή b 0 R και άρα ο δακτύλιος R δεν έχει διαρέτες του μηδενός.

(2) Ο δακτύλιος R έχει μονάδα. Επειδή ο δακτύλιος R έχει παραπάνω από ένα στοιχεία, έπεται ότι υπάρχει ένα στοιχείο a R, a 0 R. Τότε όπως παραπάνω, έστω e R η λύση της εξίσωσης ax a. Θα έχουμε ae a aee ae a ae 2 ae a(e 2 e) 0 R Επειδή από το (1) ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή και a 0 R, θα έχουμε e 2 e. Προφανώς e 0 R, διότι διαφορετικά θα έχουμε a ae a0 R 0 R το οποίο είναι άτοπο διότι a 0 R. Θα δείξουμε ότι το στοιχείο e R είναι η μονάδα του δακτυλίου R. Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραι περιοχή και e 2 e 0, θα έχουμε x R : (xe x)e xe 2 xe xe xe 0 R xe x 0 R xe x x R : e(ex x) e 2 x ex ex ex 0 R ex x 0 R ex x Επομένως: x R : xe x ex το στοιχείο e R είναι η μονάδα του δακτυλίου την οποία από τώρα συμβολίζουμε με e 1 R. (3) Ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Δηλαδή θα δείξουμε ότι κάθε μη-μηδενικό στοιχείο a R είναι αντιστρέψιμο. Επειδή a 0 R, η εξίσωση ax 1 R έχει λύση a R: aa 1 R. Επιπρόσθετα θα έχουμε a(a a 1 R ) a(a a) a1 R (aa )a a 1 R a a a a 0 R. Επειδή a 0 R και ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, έπεται ότι a a 1 R 0 R και άρα a a 1 R. Έτσι aa 1 R a a και το στοιχείο a είναι αντιστρέψιμο. Επομένως ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος διαίρεσης. 17