Πεξηερόκελα 7. ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ... 7-7.. ΔΞΗΧΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ... 7-7... Δηζαγσγή... 7-7... Δμίζσζε Διαζηηθήο Γξακκήο... 7-5 o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν... 7-6 o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν... 7-9 o Ακθίπαθηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν... 7- o πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν... 7- o πλνξηαθέο πλζήθεο δηάθνξσλ ζηεξίμεσλ... 7-7 o Ακθηέξηζηε Γνθόο Σξηγσληθό Φνξηίν... 7-8 7... Διαζηηθή Γξακκή γηα κε πλερή Φνξηία... 7- o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλνπ Φνξηίνπ P... 7- o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλεο Ρνπήο Μ... 7-4 o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a... 7-5 o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλε Ρνπή Μ ζε απόζηαζε a... 7-8 o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a θαη θαηαλεκεκέλν θνξηίν... 7- o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε... 7-5 o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε... 7-8 7..4. Λύζεηο ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο ηεο Διαζηηθήο Γξακκήο γηα δηάθνξνπο ηύπνπο θνξηίσλ... 7-4 7.. ΤΠΟΛΟΓΗΜΟ ΥΔΣΗΚΧΝ ΣΡΟΦΧΝ ΚΑΗ ΜΔΣΑΣΟΠΗΔΧΝ (MOMENT AREA METHOD)... 7-4 7... Δηζαγσγή... 7-4 7... Θεσξήκαηα... 7-4 o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο πξνβόινπ... 7-45 o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε ζπγθεληξσκέλν θνξηίν... 7-48 7.. ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ... 7-49 7... Δηζαγσγή Μέζνδνο ησλ Γπλάκεσλ... 7-49 7... Παξάδεηγκα Μνλόπαθηε δνθόο... 7-5 7... Παξάδεηγκα Ακθίπαθηε δνθόο Καηαλεκεκέλν Φνξηίν... 7-54 7..4. Παξάδεηγκα Ακθίπαθηε δνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν... 7-56 7..5. Παξάδεηγκα ύλζεηε δνθόο... 7-58 ρήκαηα Υ. 7.: ΣΟΗΥΔΗΟ ΓΟΚΟΤ, ΦΟΡΣΗΖ ΚΑΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΖ ΣΟΤ ΟΤΓΔΣΔΡΟΤ ΆΞΟΝΑ.... 7- Υ. 7.: ΤΜΠΔΡΗΦΟΡΑ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΟΚΟΤ Δ ΚΑΜΦΖ.... 7- Υ. 7.: ΓΗΑΣΟΜΖ ΓΟΚΟΤ, ΚΑΣΑΝΟΜΖ ΣΧΝ ΣΑΔΧΝ ΚΑΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΧΔΧΝ.... 7-4 Υ. 7.4: ΓΗΑΓΡΑΜΜΑ ΔΛΔΤΘΔΡΟΤ ΧΜΑΣΟ ΣΟΗΥΔΗΧΓΟΤ ΜΖΚΟΤ DX.... 7-5 Υ. 7.5: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ, ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ.... 7-6 Υ. 7.6: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ)... 7-9 Υ. 7.7: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ)... 7-9 Υ. 7.8: ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ.... 7-9 Υ. 7.9: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ)... 7- Υ. 7.: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ)... 7- Υ. 7.: ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ.... 7- Υ. 7.: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ)... 7- Υ. 7.: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ)... 7- Υ. 7.4: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ.... 7-4 Υ. 7.5: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ (ΤΜΜΔΣΡΗΚΟ ΦΟΡΔΑ).... 7-4 Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-
Υ. 7.6: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΗΟ ΦΟΡΔΑ)... 7-6 Υ. 7.7: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΓΟΚΟ ΓΤΟ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΗΟ ΦΟΡΔΑ)... 7-6 Υ. 7.8: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ ΠΟΛΛΧΝ ΑΝΟΗΓΜΑΣΧΝ ΤΝΟΡΗΑΚΔ ΤΝΘΖΚΔ ΣΗ ΔΝΓΗΑΜΔΔ ΣΖΡΗΞΔΗ.... 7-7 Υ. 7.9: ΘΔΣΗΚΔ ΦΟΡΔ ΔΝΣΑΣΗΚΧΝ ΜΔΓΔΘΧΝ ΓΗΑ ΔΝΓΟΣΗΚΔ ΣΖΡΗΞΔΗ.... 7-8 Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ, ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ.... 7-8 Υ. 7.: ΡΟΠΖ ΚΑΗ ΣΔΜΝΟΤΑ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΣΡΗΓΧΝΗΚΟ ΦΟΡΣΗΟ)... 7- Υ. 7.: ΒΤΘΗΖ ΚΑΗ ΚΛΗΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ (ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΣΡΗΓΧΝΗΚΟ ΦΟΡΣΗΟ)... 7- Υ. 7.: ΤΓΚΡΗΖ ΣΔΜΝΟΤΑ... 7- Υ. 7.4: ΤΓΚΡΗΖ ΡΟΠΖ... 7- Υ. 7.5: ΤΓΚΡΗΖ ΚΛΗΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ... 7- Υ. 7.6: ΤΓΚΡΗΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ... 7- Υ. 7.7: ΠΡΟΟΜΟΗΧΔΗ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΖ ΓΤΝΑΜΖ ΚΑΗ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΖ ΡΟΠΖ.... 7- Υ. 7.8: ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΑΟΡΗΣΗΑ ΣΤΠΗΚΔ ΜΟΡΦΔ ΟΛΟΚΛΖΡΧΖ.... 7-4 Υ. 7.9: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P.... 7-5 Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P.... 7-8 Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P.... 7- Υ. 7.: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ, ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔ ΔΝΓΟΣΗΚΖ ΣΖΡΗΞΖ.... 7-5 Υ. 7.: ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ.... 7-8 Υ. 7.4: ΓΡΑΦΗΚΖ ΑΠΔΗΚΟΝΗΖ ΣΖ ΜΔΘΟΓΟΤ ΣΧΝ ΓΤΝΑΣΧΝ ΔΡΓΧΝ ΣΟ ΔΜΒΑΓΟΝ ΠΟΤ ΠΔΡΗΚΛΔΗΔΣΑΗ ΜΔΣΑΞΤ ΣΟΤ ΓΗΑΓΡΑΜΜΑΣΟ ΣΖ ΠΟΟΣΖΣΑ M/EI ΚΑΗ ΣΟΤ ΑΞΟΝΑ Υ ΚΑΘΟΡΗΕΔΗ ΣΟ ΜΔΓΔΘΟ ΣΖ ΜΔΣΑΒΟΛΖ ΣΖ ΓΧΝΗΑ Θ (DΘ).... 7-4 Υ. 7.5: ΥΔΖ ΜΔΣΑΞΤ ΣΟΤ ΓΗΑΓΡΑΜΜΑΣΟ ΣΖ ΠΟΟΣΖΣΑ M/EI ΚΑΗ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ.... 7-4 Υ. 7.6: ΔΠΔΞΖΓΖΖ ΣΟΤ ΠΡΟΖΜΟΤ ΣΖ ΣΗΜΖ ΣΖ ΑΠΟΚΛΗΖ ΑΠΟ ΣΖΝ ΔΦΑΠΣΟΜΔΝΖ... 7-45 Υ. 7.7: ΠΡΟΒΟΛΟ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ.... 7-45 Υ. 7.8: ΡΟΠΖ ΚΑΜΦΖ ΠΡΟΒΟΛΟΤ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ.... 7-47 Υ. 7.9: ΓΗΑΓΡΑΜΜΑ Μ/ΕΙ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ.... 7-47 Υ. 7.4: ΥΔΣΗΚΖ ΣΡΟΦΖ Θ ΚΑΗ ΥΔΣΗΚΖ ΜΔΣΑΣΟΠΗΖ Γ ΟΜΟΗΟΜΟΡΦΟ ΦΟΡΣΗΟ ΜΔΣΑΒΛΖΣΖ ΓΗΑΣΟΜΖ.... 7-47 Υ. 7.4: ΑΜΦΗΔΡΗΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ P ΤΠΟΛΟΓΗΜΟ ΥΔΣΗΚΧΝ ΣΡΟΦΧΝ ΚΑΗ ΜΔΣΑΚΗΝΖΔΧΝ.... 7-48 Υ. 7.4: ΜΟΝΟΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV).... 7-5 Υ. 7.4: ΓΗΑΓΡΑΜΜΑΣΑ M/EΗ ΓΗΑ ΣΟ ΠΡΟΒΛΖΜΑ ΣΟΤ Υ. 7.4.... 7-5 Υ. 7.44: ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΚΑΣΑΝΔΜΖΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV)... 7-54 Υ. 7.45: ΑΜΦΗΠΑΚΣΖ ΓΟΚΟ ΤΓΚΔΝΣΡΧΜΔΝΟ ΦΟΡΣΗΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV)... 7-56 Υ. 7.46: ΤΝΔΥΖ ΓΟΚΟ (ΠΡΟΑΡΜΟΓΖ ΑΠΟ EGOR POPOV)... 7-59 Πίλαθεο ΠΗΝ. 7.: ΤΝΟΡΗΑΚΔ ΤΝΘΖΚΔ ΓΗΑ ΓΗΑΦΟΡΟΤ ΣΤΠΟΤ ΣΖΡΗΞΖ... 7-7 ΠΗΝ. 7.: ΦΟΡΣΗΟ ΓΗΔΠΟΤΑ ΚΑΗ ΜΔΡΗΚΔ ΛΤΔΗ ΣΖ ΓΗΑΦΟΡΗΚΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΓΗΑ ΣΖΝ ΣΔΜΝΟΤΑ, ΡΟΠΖ, ΚΛΗΖ ΒΔΛΟΤ ΚΑΗ ΒΔΛΟ ΚΑΜΦΖ.... 7-4 ΠΗΝ. 7.: ΦΟΡΣΗΟ ΓΗΔΠΟΤΑ ΚΑΗ ΜΔΡΗΚΔ ΛΤΔΗ ΣΖ ΓΗΑΦΟΡΗΚΖ ΣΖ ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΓΗΑ ΣΖΝ ΣΔΜΝΟΤΑ, ΡΟΠΖ, ΚΛΗΖ ΒΔΛΟΤ ΚΑΗ ΒΔΛΟ ΚΑΜΦΖ.... 7-4 Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-
7. ΕΛΑΣΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ ΤΠΕΡΣΑΣΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙ 7.. ΕΞΙΩΗ ΕΛΑΣΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ 7... Ειζαγυγή ην ρ. 7., παξνπζηάδεηαη ε δηακήθεο (θαηά κήθνο) ηνκή δνθνύ θαζώο θαη ε παξακόξθσζε ηνπ Οπδέηεξνπ Άμνλα (Ο.Α.). ην ρ. 7., παξνπζηάδεηαη ε ζπκπεξηθνξά δνθνύ ζε θάκςε. ην ρ. 7., παξνπζηάδεηαη ζε εγθάξζηα ηνκή ε δηαηνκή ηεο δνθνύ θαη ε θαηαλνκή ηάζεο. Τ p P m M k Ο.Α. m k Υ υ ζηξνθή πεξί Ζ υ κεηαθίλεζε θαηά Υ ρ. 7.: ηνηρείν Γνθνύ, Φόξηηζε θαη παξακόξθσζε ηνπ Οπδέηεξνπ Άμνλα. ρ. 7.: πκπεξηθνξά ειαζηηθήο δνθνύ ζε θάκςε. Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-
Οη παξαδνρέο ernoulli (πνπ παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζην Κεθάιαην ), ζπλνςίδνληαη σο :. Ζ δνθόο είλαη ζπλερήο,. Ζ θαηαλνκή ησλ ηάζεσλ, θαζ ύςνο ηεο δηαηνκήο, κεηαβάιιεηαη γξακκηθά ζηε δηεύζπλζε ηεο θάκςεο.. Ζ δνθόο απνηειεί από ηζόηξνπν πιηθό. 4. Σα θνξηία είλαη θάζεηα ζηελ Οπδέηεξε Γξακκή (Ο.Γ.) ηεο δνθνύ θαη δξνπλ ζε έλα θαη κόλνλ επίπεδν. 5. Δπίπεδεο δηαηνκέο πξν ηεο παξακόξθσζεο παξακέλνπλ επίπεδεο θαη ζηελ παξακνξθσκέλε θαηάζηαζε. 6. Οη παξακνξθώζεηο είλαη αξθνύλησο κηθξέο ώζηε λα είλαη δπλαηή ε ζύληαμε ησλ εμηζώζεσλ ηζνξξνπίαο ζηελ απαξακόξθσηε θαηάζηαζε ρσξίο ηελ πξόθιεζε ζεκαληηθνύ ζθάικαηνο. P, p Y Υ X V M Ο.Γ. M Ζ Ο.Γ. K.. y ε ζ = Δ*ε Καηαλνκή παξακνξθώζεσλ (ε) θαη ηάζεσλ (ζ) (πξνβνιή επηπέδνπ ΧΥ) Γηαηνκή (επίπεδν ΥΖ) ρ. 7.: Γηαηνκή Γνθνύ, Καηαλνκή ησλ ηάζεσλ θαη παξακνξθώζεσλ. Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκή δίδεηαη (ζύκθσλα κε ην Κεθάιαην ) σο: d d M (7.) EI ύκθσλα κε ηελ αλαιπηηθή γεσκεηξία ε θακππιόηεηα δίδεηαη ζύκθσλα κε ηε ζρέζε : http://en.wikipedia.org/wiki/euler-ernoulli_beam_equation Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4
d d d d Καζώο γηα ηα ειαζηηθά πξνβιήκαηα νη παξακνξθώζεηο είλαη πνιύ κηθξέο (νπόηε θαη αληίζηνηρα κηθξέο είλαη νη ηηκέο ησλ παξαγώγσλ) νπόηε ν όξνο: (7.) d d Από ηνλ νπνίν πξνθύπηεη ε ζρέζε ηεο θακππιόηεηαο σο: d d d d d d d d Ζ ηέκλνπζα δύλακε δίδεηαη σο ε ε παξάγσγνο ηεο ξνπήο: M E I (7.) (7.4) dm d V E I (7.5) d d Καη ζύκθσλα κε ηελ ηζνξξνπία ηνπ ζηνηρεηώδνπο ηκήκαηνο όπσο παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7.4. p V M+dM dv=p*d dm=v*d M d V+dV ρ. 7.4: Γηάγξακκα ειεπζέξνπ ζώκαηνο ζηνηρεηώδνπο κήθνπο d. Πξνθύπηεη ε δηαθνξηθή εμίζσζε ηεο δνθνύ σο: 4 d E I p 4 (7.6) d 7... Εξίζυζη Ελαζηικήρ Γπαμμήρ Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη από ηε ζρέζε (7.6). Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο απηήο νδεγεί ζε: d V ( ) E I d p d c d 4 4 (7.7) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5
(7.8) M ( ) V ( ) d p d d c c d d E I E I M ( ) d pd d d c c c (7.9) p dddd c c c c E I 6 p H 4 (7.) Παξαηεξνύκε από ηε ζρέζε (7.) όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο εμαξηάηαη από α) ην θνξηίν ηεο δνθνύ ην νπνίν θαη απνηειεί ηε κεξηθή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο θαη β) από έλα πξόζζεην πνιπώλπκν εο ηάμεο πνπ απνηειεί ηελ αληίζηνηρε νκνγελή ιύζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ ε ακθηέξηζηε δνθόο ηνπ ρ. 7.5, ππνβαιιόκελε ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Υ ρ. 7.5: Ακθηέξηζηε Γνθόο, Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Ζ ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: 4 4 4 d d d q 4 4 4 d d d E I E I p E I q (7.) Ζ νινθιήξσζε σο πξνο d (ε νπνία θαη ζα καο δώζεη ηε ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο) νδεγεί ζηε ζρέζε: 4 d d V ( ) q d 4 c V ( ) q c d d E I E I (7.) Όπνπ ε c είλαη απζαίξεηε ζηαζεξά ε νπνία ζα ππνινγηζηεί από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηε ζρέζε ε νπνία καο δίδεη ηε θακπηηθή ξνπή: d d E I d M ( ) V ( ) d q c c (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6
Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηνλ ππνινγηζκό ηεο εο παξαγώγνπ ηεο ζπλάξηεζεο βύζηζεο σο: d d E I E I d d d d d E I q c c c q c c c d 6 d E I 6 (7.4) Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: d d q c c c c 4 4 (7.5) d E I 4 6 Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I 4 6 4 q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.6) (7.7) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.8) q c c c (7.9) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.9) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c E I 4 6 (7.) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 4 q c c E I 4 6 (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7
4 4 q c c q c c 4 6 4 6 EI E I q c c q c c 4 6 4 6 Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c (7.) q q c q c c q c (7.4) Βάζεη ηεο (7.4) ε ζρέζε (7.) γξάθεηαη σο: q q c c q q c q (7.5) 4 6 4 4 Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.), (7.4) θαη (7.5) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q E I 4 4 4 q q q 4EI (7.6) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d d 4q 6q q 4E I (7.7) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M q q M q q (7.8) 4 Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: q V q q q (7.9) Γηα =m θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.6. εκεηώλεηαη όηη ε ξνπή παξνπζηάδεηαη βάζεη ηνπ πξόζεκνπ ηεο (ζεηηθέο ξνπέο) άξα θαη κε αληίζεηε πξνζήκαλζε από απηή ηεο θιαζζηθήο ζηαηηθήο (όπνπ ε ζεηηθή ξνπή εθειθύεη ηηο θάησ ίλεο). Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.7. Ζ ηηκή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ιακβάλεη αξλεηηθέο ηηκέο (βύζηζε). ην κέζνλ ηεο δνθνύ όπνπ θαη ε ξνπή ιακβάλεη ηε κέγηζηε ηεο ηηκή έρνπκε θαη ηελ αθξόηαηε ηηκή ηεο βύζηζεο. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8
ρ. 7.6: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (ακθηέξηζηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) ρ. 7.7: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (ακθηέξηζηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ πξόβνινο, ππνβαιιόκελνο ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Υ ρ. 7.8: Πξόβνινο Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.) σο (7.5). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I 4 6 4 q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.) (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9
Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c c d E I 6 (7.) c (7.) Μέζσ ησλ (7.) θαη (7.) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c q c c E I 4 6 E I (7.4) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζην ειεύζεξν άθξν νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η ξνπή ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.5) q c c (7.6) Η ηέκλνπζα ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: V( ) q c (7.7) q c c q (7.8) Βάζεη ηεο (7.8) ε ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: q c c q q c c q (7.9) Σειηθά ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q EI (7.4) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q q q d E I (7.4) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: M q q q (7.4) V q q (7.4) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-
Γηα =m, θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.9. Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Ζ ηηκή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ιακβάλεη αξλεηηθέο ηηκέο (βύζηζε) κε κέγηζηε ηηκή (θαηά απόιπηε ηηκή) λα παξνπζηάδεηαη ζην ειεύζεξν άθξν ηεο δνθνύ. ρ. 7.9: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (πξόβνινο νκνηόκνξθν θνξηίν) ρ. 7.: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (πξόβνινο νκνηόκνξθν θνξηίν) o Ακθίπαθηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ ακθίπαθηε δνθόο, ππνβαιιόκελε ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Υ ρ. 7.: Ακθίπαθηε Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.) σο (7.5). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I 4 6 (7.44) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-
4 q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.45) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c c d E I 6 (7.46) c (7.47) Μέζσ ησλ (7.) θαη (7.) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c q c c E I 4 6 E I (7.48) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζην ειεύζεξν άθξν νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: q c c EI (7.49) 4 q c c (7.5) Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c d E I (7.5) q c c (7.5) Μέζσ ησλ (7.5) θαη (7.5) κνξθώλνπλ έλα γξακκηθό ζύζηεκα (c θαη c ): Ζ ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο δίδεηαη σο: 4 q c c q (7.5) q q c c (7.54) Σειηθά ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-
4 q q q EI 6 (7.55) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q q q d E I 6 (7.56) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: 6 M q q q Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: V (7.57) q q (7.58) Γηα =m, θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Ζ κέγηζηε ηηκή θαηά απόιπηε ηηκή ηεο βύζηζεο παξνπζηάδεηαη ζην κέζνλ ηεο δνθνύ. ρ. 7.: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (ακθίπαθηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) ρ. 7.: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (ακθίπαθηε δνθόο νκνηόκνξθν θνξηίν) o πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν Έζησ ζπλερήο δνθόο δύν αλνηγκάησλ, ππνβαιιόκελε ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-
Τ p Α Β Γ Υ ρ. 7.4: πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Λόγσ ηεο ζπκκεηξίαο παξαηεξείηαη όηη ε δνθόο ζηε ζηήξημε Β πέξαλ ηεο κεδεληθήο βύζηζεο παξνπζηάδεη θαη κεδεληθή ζηξνθή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. Γηα ην ιόγν απηό είλαη δπλαηόλ ε δνθόο απηή θαηά ηζνδύλακν ηξόπν λα ιπζεί σο ε κηζή δνθόο (ΑΒ) κε ηε πξνζνκνίσζε ηεο ζηήξημεο Β σο πάθησζεο. Τ p Α Β Υ ρ. 7.5: πλερήο Γνθόο δύν Αλνηγκάησλ Οκνηόκνξθν Φνξηίν (ζπκκεηξηθόο θνξέαο). Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.) σο (7.5). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 4 q c c c c4 E I 4 6 4 q c c c c4 c4 c4 4 6 E I E I Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: (7.59) (7.6) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.6) q c c c (7.6) Από ηα παξαπάλσ πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4
4 q c c E I 4 6 (7.6) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: 4 q c c E I 4 6 Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 4 q c c q c c 4 6 4 6 Η ζηξνθή ζηελ πάθησζε (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: d q c c d E I 6 (7.64) (7.65) (7.66) q c c (7.67) Μέζσ ησλ (7.65) θαη (7.67) κνξθώλνπλ έλα γξακκηθό ζύζηεκα (c θαη c ): Ζ ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο δίδεηαη σο: q c 4 6 c q (7.68) q q c c (7.69) 8 48 Σειηθά ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q E I 4 8 6 48 4 q q q 4EI (7.7) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: 9 d q q 4q d 4E I (7.7) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5
q 9 M q 9q q (7.7) 4 4 Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: 9 V 4q 9q q q (7.7) 4 4 Γηα =m, θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.6. Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.7. Ζ ηηκή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ιακβάλεη αξλεηηθέο ηηκέο (βύζηζε). Ζ κέγηζηε ηηκή θαηά απόιπηε ηηκή ηεο βύζηζεο παξνπζηάδεηαη ζε απόζηαζε /8 από ηε ζηήξημε Α. ρ. 7.6: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (δνθόο δύν αλνηγκάησλ ρ. 7.7: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο νκνηόκνξθν θνξηίν κηζόο θνξέαο) (δνθόο δύν αλνηγκάησλ νκνηόκνξθν θνξηίν κηζόο θνξέαο) Γεληθεύνληαο γηα ζπλερή δνθό πνιιώλ αλνηγκάησλ (ρσξίο θαη αλάγθε ζπκκεηξία ζην θνξέα) ε όιε δηαδηθαζία ζπλνςίδεηαη σο εμήο:. Γηαρσξηζκόο ηεο δνθνύ n αλνηγκάησλ ζε n ην πιήζνο δνθνύο κε ειαζηηθέο παθηώζεηο ζηα άθξα απηώλ.. Καηάζηξσζε n ην πιήζνο εμηζώζεσλ ειαζηηθώλ γξακκώλ γηα ηηο n ην πιήζνο δνθνύο.. Λήςε ζρέζεσλ ζπκβηβαζηνύ ησλ παξακνξθώζεσλ (ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο απηήο ζην πέξαο ηεο i--νζηήο δνθνύ είλαη ίζε κε ηε ζηξνθή ζηελ αξρή ηεο i-νζηήο δνθνύ θαη ηειηθά ίζε κε ηε ηηκή ππνρώξεζεο ηεο ζηήξημεο) θαη ησλ εληάζεσλ (ε ξνπή θάκςεο θαη θαηά ζπλέπεηα θαη ε ε παξάγσγνο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην πέξαο ηεο i--νζηήο δνθνύ είλαη ίζε κε ηε ξνπή θάκςεο ζηελ αξρή ηεο i-νζηήο δνθνύ) ζηηο ελδηάκεζεο δνθνύο γηα ηε ιήςε ησλ επηπιένλ ζρέζεσλ ζπκβηβαζηνύ ησλ παξακνξθώζεσλ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6
i n- n i- i Ελαστική Γπαμμή τηρ i--οστήρ δοκού Ελαστική Γπαμμή τηρ i-οστήρ δοκού η Σςνθήκη i i i s η Σςνθήκη E I E I M, i i i, i i s ρ. 7.8: πλερήο δνθόο πνιιώλ αλνηγκάησλ πλνξηαθέο πλζήθεο ζηηο ελδηάκεζεο ζηεξίμεηο. o πλνξηαθέο πλζήθεο δηάθνξσλ ζηεξίμεσλ ηνλ Πίλ. 7., παξνπζηάδνληαη νη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο γηα ηνπο πιένλ δηαδεδνκέλνπο ηύπνπο ζηήξημεο. Πίλ. 7.: πλνξηαθέο ζπλζήθεο γηα δηάθνξνπο ηύπνπο ζηήξημεο Σύπνο Μνξθή πλνξηαθέο Σύπνο Μνξθή πλνξηαθέο Άξζξσζε Κύιηζε Πάθησζε Κπιηόκελε Πάθησζε V Διεύζεξν Άθξν M V Δζσηεξηθή Άξζξσζε M left M right Διαζηηθή Πάθησζε M Δλδνηηθή ηήξημε K V K V Κ θ ζηαζεξά ζηξνθηθνύ ειαηεξίνπ Κ V ζηαζεξά θαηαθόξπθνπ ειαηεξίνπ ην ρ. 7.9, παξνπζηάδνληαη νη ζεηηθέο θνξέο γηα ηηο ελδνηηθέο ζηεξίμεηο. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7
V V M V M M V M d Στήπιξη Στήπιξη ρ. 7.9: Θεηηθέο θνξέο εληαηηθώλ κεγεζώλ γηα ελδνηηθέο ζηεξίμεηο. o Ακθηέξηζηε Γνθόο Σξηγσληθό Φνξηίν Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο, ππνβαιιόκελε ζε ηξηγσληθό θνξηίν p()=-q/. Να ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p=-q/ Α Β Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο, Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Ζ ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: 4 4 4 d d q d q 4 4 4 d d d E I E I p E I (7.74) Ζ νινθιήξσζε σο πξνο d (ε νπνία θαη ζα καο δώζεη ηε ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο) νδεγεί ζηε ζρέζε: d d V ( ) q q 4 d 4 c V ( ) c d d E I E I (7.75) Όπνπ ε c είλαη απζαίξεηε ζηαζεξά ε νπνία ζα ππνινγηζηεί από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο. Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηε ζρέζε ε νπνία καο δίδεη ηε θακπηηθή ξνπή: M ( ) V ( ) d q c c 6 (7.76) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8
Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.) νδεγεί ζηνλ ππνινγηζκό ηεο εο παξαγώγνπ ηεο ζπλάξηεζεο βύζηζεο σο: d d E I 4 q c c c 4 (7.77) Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: 5 q c c c c4 E I 6 (7.78) Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: 5 q c c c c4 E I 6 Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: (7.79) c4 (7.8) M ( ) q c c (7.8) 6 c (7.8) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.9) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 5 q c c E I 6 (7.8) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 5 q c c E I 6 (7.84) q c c (7.85) 6 Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c (7.86) 6 Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9
q q c c q c (7.87) 6 6 6 Βάζεη ηεο (7.4) ε ζρέζε (7.) γξάθεηαη σο: 7 q q c c q q c q (7.88) 6 6 6 6 Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.), (7.4) θαη (7.5) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 5 q 7 q q E I 6 6 (7.89) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: 4 7 d q q q d E I 4 6 (7.9) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M q q q q 6 6 6 Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: (7.9) V q q (7.9) 6 Γηα =m θαη q=5kn/m ε ξνπή θαη ηέκλνπζα παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. Γηα γηλόκελν E*I =knm ε βύζηζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ε θιίζε απηήο παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.. ρ. 7.: Ρνπή θαη Σέκλνπζα (ακθηέξηζηε δνθόο ρ. 7.: Βύζηζε θαη θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-
ηξηγσληθό θνξηίν) (ακθηέξηζηε δνθόο ηξηγσληθό θνξηίν) Ζ ζύγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ ζηελ νπνία επηβάιιεηαη νκνηόκνξθε θόξηηζε κε ηελ πεξίπησζε όπνπ ε ίδηα δνθνύ εληείλεηαη από ηξηγσληθά θαηαλεκεκέλν θνξηίν παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7. σο ην ρ. 7.6. ρ. 7.: ύγθξηζε Σέκλνπζαο ρ. 7.4: ύγθξηζε Ρνπήο ρ. 7.5: ύγθξηζε θιίζεο ειαζηηθήο γξακκήο ρ. 7.6: ύγθξηζε Διαζηηθήο Γξακκήο Από ηελ ζύγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ παξαηεξείηαη όηη ν κεδεληζκόο ηνπ δηαγξάκκαηνο ησλ ηεκλνπζώλ δελ ηαπηίδεηαη ζηηο δύν πεξηπηώζεηο κε απνηέιεζκα θαη ε κέγηζηε ξνπή λα εκθαλίδεηαη ζε δηαθνξεηηθά ζεκεία. 7... Ελαζηική Γπαμμή για μη ςνεσή Φοπηία ηελ πεξίπησζε ζπγθεληξσκέλσλ θνξηίσλ ή θνξηίσλ πνπ επηβάιινληαη ζε κέξνο ηεο δνθνύ πέξαλ ηεο κεζόδνπ ηνπ απινύ δηαρσξηζκνύ ηεο δνθνύ ζε κηθξόηεξεο δνθνύο θαη ηεο εθαξκνγήο ηεο Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-
κεζόδνπ ηεο άκεζεο νινθιήξσζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (όπσο απηή παξνπζηάζηεθε ζηελ πξνεγνύκελε παξάγξαθν) είλαη δπλαηόλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ νη ζπλαξηήζεηο αζπλέρεηαο ανξηζηίαο (singularity functions) 4. Ζ ζπλάξηεζε αζπλέρεηαο (ζύκθσλα θαη κε ηνπο Macaulay- Föppl) νξίδεηαη σο: a n a n a n n, a n a n, a (7.9) όπνπ a ε ηεηαγκέλε ηνπ ζεκείνπ ηεο δηαηαξαρήο, n ν εθζέηεο ηεο ζπλάξηεζεο, δ(_) είλαη ε ζπλάξηεζε Dirac 5 θαη δ (_) ε πξώηε παξάγσγνο ηεο ζπλάξηεζεο Dirac. Ζ νινθιήξσζε ηεο ζπλάξηεζεο αζπλέρεηαο-ανξηζηίαο (singularity function). δηέπεηαη από ηνπο αθόινπζνπο θαλόλεο: n f a n n f a d n f a (7.94) n n o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλνπ Φνξηίνπ P Έλα ζπγθεληξσκέλν θνξηίν κπνξεί λα πξνζνκνησζεί σο έλα θαηαλεκεκέλν θνξηίν πνιύ κεγάιεο (~άπεηξεο) έληαζεο ην νπνίν δξα ζε έλα πνιύ κηθξό κήθνο ε (ρ. 7.7). Αλ ην κήθνο ε ζεσξεζεί σο ζηαζεξά ε ζρέζε πνπ δίδεη ην θνξηίν κπνξεί λα γξαθεί (ζε κνξθή νινθιεξώκαηνο) σο: ε a+ P P lim d ε (7.95) ε a- ε Ζ ηηκή ε κπνξεί λα γξαθεί κέζσ ηεο ζπλάξηεζεο ανξηζηίαο σο: a a * * (7.96) 4 http://en.wikipedia.org/wiki/singularity_function 5 http://en.wikipedia.org/wiki/dirac_delta_function Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-
q q O a ε P/ε O a ε ε Μ/ε ρ. 7.7: Πξνζνκνηώζεηο πγθεληξσκέλεο δύλακεο θαη ζπγθεληξσκέλεο ξνπήο. Οπόηε θαη ην θαηαλεκεκέλν θνξηίν q=p/ε γξάθεηαη σο: P q P a (7.97) * Ο αζηεξίζθνο ζηε ζρέζε (7.97) δειώλεη όηη ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο απηήο ζην εύξνο ε ιακβάλεη πεπεξαζκέλε ηηκή. Λόγσ θαη ηεο ηδηαίηεξεο κνξθήο ηεο ζπλάξηεζεο ε νινθιήξσζε γηα ηηκέο ηνπ εθζέηε κηθξόηεξεο ηνπ κεδελόο νξίδεηαη σο: n n f a * d f a (7.98) Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.97) καο δίδεη ην θνξηίν. ηελ πξνθεηκέλε πεξίπησζε ηζρύεη όηη: P a * d P a (7.99) ηελ πεξίπησζε ησλ ζπλαξηήζεσλ αζπλέρεηαο γηα ηελ νινθιήξσζε όπνπ n ηζρύεη όηη: n n f a f a d (7.) n Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.99) ζα καο δώζεη ηελ παξαγόκελε ξνπή ηεο δύλακεο απηήο σο: P a d P a (7.) Σα απνηειέζκαηα ηεο νινθιήξσζεο (ζρέζεηο (7.98) θαη (7.)) παξνπζηάδνληαη ζην ρ. 7.8. Σν απνηέιεζκα ηεο ζρέζεο (7.) βάζεη ηεο (7.9) γξάθεηαη σο: a P a (7.) P a a Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-
ρ. 7.8: πλαξηήζεηο Ανξηζηίαο Σππηθέο κνξθέο νινθιήξσζεο 6. o Πξνζνκνίσζε πγθεληξσκέλεο Ρνπήο Μ ε αληηζηνηρία ε ξνπή κπνξεί λα γξαθεί σο θαηαλεκεκέλν θνξηίν σο (ρ. 7.7): Σν νινθιήξσκα ηεο ζρέζεο (7.) δίδεηαη θαηά εηδηθό ηξόπν σο: q M a (7.) * 6 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4
Καη ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) νδεγεί ζηε ζρέζε: M a d M a (7.4) * * M a d M a (7.5) * o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο κήθνπο ζηελ νπνία ζε απόζηαζε a από ηε ζηήξημε Α επηβάιιεηαη έλα ζπγθεληξσκέλν θνξηίν P. Τ a P Α Β Υ ρ. 7.9: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P. Ζ ζρέζε (7.6) κεηά ηελ αληηθαηάζηαζε ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ βάζεη ηεο ζρέζεο (7.97) γξάθεηαη σο: 4 4 d d E I q 4 E I P a 4 d d 4 d P a 4 d E I (7.6) Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο θαη ν πνιιαπιαζηαζκόο ηεο κε ην γηλόκελν δηαθνξηθή ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο σο: E I καο δίδεη ηε d E I V P a c (7.7) d πλερίδνληαο ε ζπλάξηεζε ηεο ξνπήο δίδεηαη σο: d E I M P a c c (7.8) d Ζ ζπλάξηεζε ηεο θιίζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: P a c c c E I d d Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.9) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: (7.9) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5
P a c c c c4 E I 6 6 Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: P a c c c c4 E I 6 6 (7.) (7.) Γηα = (δειαδή <a) ν όξνο P 6 a νπόηε από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.) M ( ) P a c c (7.) Από ηε ζρέζε απηή θαζώο P a γηα = (δειαδή <a) πξνθύπηεη: c (7.4) Μέζσ ησλ (7.) θαη (7.4) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: P a c c E I 6 6 (7.5) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: P a c c E I 6 6 (7.6) a c P 6 6 Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: c (7.7) M ( ) P a c (7.8) P a P a c c P a c (7.9) Βάζεη ηεο (7.9) ε ζρέζε (7.7) γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6
a a a a P P P P c c (7.) 6 6 6 Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.5), (7.9) θαη (7.) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: P a P a P a P a 6E I Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: a a a P P P E I 6 Ζ ζρέζε (7.) γηα =a δίδεη θαη ην κέγηζην βέινο θάκςεο ηεο δνθνύ σο: Ζ ζρέζε (7.) γηα a=/ γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a a a a a E I 6 (7.) (7.) (7.) (7.4) (7.5) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7 P P 4EI 48EI P a P a P a P a 6E I Ζ ζρέζε (7.5) γηα = γξάθεηαη σο: a a a P (7.6) 6E I Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a P a P a P a d d E I 6 a a a P P P d d E I 6 a a a a P P P P d d E I 6 Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: P a (7.7) (7.8) (7.9) M P a (7.)
Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: M Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a (7.) P a M P a (7.) V P a P a (7.) V V P a (7.4) P a P (7.5) o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλε Ρνπή Μ ζε απόζηαζε a Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο κήθνπο ζηελ νπνία ζε απόζηαζε a από ηε ζηήξημε Α επηβάιιεηαη κία ζπγθεληξσκέλε ξνπή Μ. Τ a Α Μ Β Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P. Ζ ζρέζε (7.6) κεηά ηελ αληηθαηάζηαζε ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ βάζεη ηεο ζρέζεο (7.) γξάθεηαη σο: 4 4 d d E I q 4 E I M a 4 * d d 4 d M a 4 d E I * (7.6) Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο θαη ν πνιιαπιαζηαζκόο ηεο κε ην γηλόκελν δηαθνξηθή ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο σο: E I καο δίδεη ηε Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8
d E I V M a c * (7.7) d πλερίδνληαο ε ζπλάξηεζε ηεο ξνπήο δίδεηαη σο: d E I M M a c c (7.8) d Ζ ζπλάξηεζε ηεο θιίζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: c M a c c E I d d (7.9) Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.9) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: M a c c c c4 E I 6 Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: M a c c c c4 E I 6 (7.4) (7.4) Γηα = (δειαδή <a) ν όξνο M a νπόηε από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε απηή θαζώο c4 (7.4) M ( ) M a c c (7.4) M a γηα = (δειαδή <a) πξνθύπηεη: c (7.44) Μέζσ ησλ (7.4) θαη (7.44) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: M a c c E I 6 (7.45) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M a c c E I 6 (7.46) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9
a c M 6 Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: c (7.47) M ( ) M a c (7.48) Βάζεη ηεο (7.49) ε ζρέζε (7.47) γξάθεηαη σο: M M c c (7.49) a M M a M c c (7.5) 6 6 Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.49) θαη (7.5) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: a M a M M E I 6 6 6 E I M a a (7.5) Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: 6 E I M a Ζ ζρέζε (7.) γηα =a δίδεη θαη ην κέγηζην βέινο θάκςεο ηεο δνθνύ σο: a M a a a E I 6 (7.5) (7.5) Ζ ζρέζε (7.) γηα a=/ γξάθεηαη σο: M 6 E I 8 M 6 E I 8 4 M 6 E I 8 8 Κάηη ην αλακελόκελν ιόγσ ηεο ζπκκεηξίαο. Γηα a ε ζρέζε (7.5)γξάθεηαη σο: 6 E I M a a (7.54) (7.55) Ζ ζρέζε (7.5) γηα = γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-
M a a 6 E I (7.56) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d M 6 a a d E I 6 (7.57) Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: 6 d M d E I a d M 6 a a d E I 6 (7.58) (7.59) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M M M a (7.6) Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: M M (7.6) Καη γηα a γξάθεηαη σο: M M M (7.6) Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: V M M M a (7.6) * o Παξάδεηγκα πγθεληξσκέλν Φνξηίν ζε απόζηαζε a θαη θαηαλεκεκέλν θνξηίν Έζησ ακθηέξηζηε δνθόο κήθνπο ζηελ νπνία ζε απόζηαζε a από ηε ζηήξημε Α επηβάιιεηαη έλα ζπγθεληξσκέλν θνξηίν P θαη νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Τ a P p=-q Α Β Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P. Ζ ζρέζε (7.6) κεηά ηελ αληηθαηάζηαζε ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ βάζεη ηεο ζρέζεο (7.97) θαη ιακβάλνληαο ππόςε θαη ην νκνηόκνξθν θνξηίν p γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-
4 4 d d E I q 4 E I P a q 4 d d 4 d P a q 4 d E I Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο θαη ν πνιιαπιαζηαζκόο ηεο κε ην γηλόκελν δηαθνξηθή ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο δύλακεο σο: (7.64) E I καο δίδεη ηε d E I V P a q c (7.65) d πλερίδνληαο ε ζπλάξηεζε ηεο ξνπήο δίδεηαη σο: d E I M P a q c c (7.66) d Ζ ζπλάξηεζε ηεο θιίζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: P a c q c c E I 6 d d Σέινο ε νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.67) καο δίδεη ηε ζρέζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: 4 P a c c q c c4 E I 6 4 6 Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: 4 P a c c q c c4 E I 6 4 6 (7.67) (7.68) (7.69) Γηα = (δειαδή <a) ν όξνο P 6 a θαη θαζώο ην ζύλνιν ησλ ινηπώλ όξσλ πνπ πεξηέρνπλ ηνλ όξν είλαη ίζν κε κεδέλ νπόηε από ηε ζρέζε πξνθύπηεη όηη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.7) M ( ) P a q c c (7.7) Από ηε ζρέζε απηή θαζώο P a γηα = (δειαδή <a) θαη θαζώο ην ζύλνιν ησλ ινηπώλ όξσλ πνπ πεξηέρνπλ ηνλ όξν είλαη ίζν κε κεδέλ πξνθύπηεη: c (7.7) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.7) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-
4 P a c q c E I 6 4 6 (7.7) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: q c Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: 4 P a c E I 6 4 6 (7.74) 4 a c P q c (7.75) 6 4 6 Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) P a q c (7.76) P a P a q c c P a q c q (7.77) Βάζεη ηεο (7.9) ε ζρέζε (7.7) γξάθεηαη σο: a a 4 4 a a P P q q c 6 4 6 c P P q 6 4 (7.78) Άξα βάζεη ησλ απνηειεζκάησλ ησλ ζρέζεσλ (7.7), (7.77) θαη (7.78) πξνθύπηεη όηη ε εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: 4 P a q 6 4 P a q E I 6 P a P a q 6 4 (7.79) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-
Καη γηα a γξάθεηαη σο: 4 q 4 P a q E I 6 P a P a q 6 4 (7.8) 4 P a q 6 4 P a q E I 6 P a P a q 6 4 (7.8) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: P a q 6 d P a q d E I P a P a q 6 4 Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a q q d 6 d E I P a P a q 6 4 (7.8) (7.8) P a q 6 d P a q d E I (7.84) P a P a q 6 4 Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4
Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a M P a q q P a M q q P a M P a q q Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: Ζ νπνία γηα <a γξάθεηαη σο: Καη γηα a γξάθεηαη σο: P a V P a q q P a V q q P a V P q q (7.85) (7.86) (7.87) (7.88) (7.89) (7.9) Οη ζπληειεζηέο ηεο νκνγελνύο απνηεινύλ γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ αληίζηνηρσλ ζπληειεζηώλ ησλ επηκέξνπο θνξηίζεσλ. Απηό ηζρύεη ζε θάζε πεξίπησζε ιόγσ ηεο ειαζηηθήο απόθξηζεο. Άξα νη ζπληειεζηέο ηεο νκνγελνύο γηα κία ζύλζεηε θόξηηζε πξνθύπηνπλ από ην γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ επηκέξνπο απινύζηεξσλ θνξηίζεσλ. o Ακθηέξηζηε Γνθόο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε Ζ ακθηέξηζηε δνθόο ηνπ ρ. 7., ππνβάιιεηαη ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Δθόζνλ ε ζηήξημε Β παξνπζηάδεη ελδνηηθόηεηα κε ζηαζεξά ειαηεξίνπ Κ, λα ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Α Β Κ Υ ρ. 7.: Ακθηέξηζηε Γνθόο, Οκνηόκνξθν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-5
Οη ζρέζεηο ηεο δηέπνπζαο εμίζσζεο, ηεο ηέκλνπζαο, ηεο ξνπήο θάκςεο, ηεο ζηξνθήο ηνπ βέινπο θαη ηνπ βέινπο θάκςεο δελ επεξεάδνληαη ζηε γεληθόηεηα ηνπο από ηελ ύπαξμε ηεο ελδνηηθήο ζηήξημεο άξα ε ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: Ζ ηέκλνπζα σο: Ζ θακπηηθή ξνπή σο: 4 d q 4 d E I (7.9) V( ) q c (7.9) M ( ) q c c (7.9) Ζ ζηξνθή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: d d q c c c E I 6 (7.94) Σέινο, ε ειαζηηθή γξακκή γξάθεηαη σο: 4 q c c c c4 E I 4 6 (7.95) Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο ηνπ πξνβιήκαηνο έρνπλ σο εμήο: Η Βύζηζε ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Η ξνπή ζηελ άξζξσζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.96) c (7.97) Μέζσ ησλ (7.7) θαη (7.9) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c E I 4 6 (7.98) Εεηνύληαη άιιεο δύν ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζηε ζηήξημε Β νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η ξνπή ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c (7.99) q q c q c c q c (7.) Η Βύζηζε ζηελ θύιηζε (ζηήξημε Β) είλαη ίζε κε ζπγθεθξηκέλε ηηκή: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-6
4 V V q c c K E I 4 6 K (7.) Βάζεη ηεο ζρέζεο (7.9) θαη (7.) ε ηέκλνπζα ζηε ζηήξημε Β δίδεηαη σο: V ( ) q q q (7.) Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: q c c q c E I E I K K 4 4 q q q 4 6 q c 4 6 4 q q q q c E I q c E I c E I q 4 K 4 K K 4 Βάζεη ηεο (7.4) ε ζρέζε (7.) γξάθεηαη σο: (7.) E I c q q (7.4) K 4 Πνπ ζηνλ όξν ηεο c ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε θαηαλεκεκέλν θνξηίν πξνζζέηεη ηνλ όξν Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: E I q. K 4 q E I q q q (7.5) E I 4 K 4 Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q E I q q q (7.6) d E I 6 K 4 Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: M q q (7.7) ε νπνία ζπκπίπηεη κε ηελ αληίζηνηρε ζρέζε γηα ηελ ακθηέξηζηε δνθό ρσξίο ελδνηηθή ζηήξημε θάηη πνπ επηβεβαηώλεηαη από ην γεγνλόο όηη νη ππνρσξήζεηο ησλ ζηεξίμεσλ (όπσο θαη νη ζεξκνθξαζηαθέο κεηαβνιέο) ζε ηζνζηαηηθνύο θνξείο δελ πξνθαινύλ εληάζεηο. Απηό θπζηθά δελ ηζρύεη ζηελ πεξίπησζε ησλ κεηαηνπίζεσλ όπνπ ε ππνρώξεζε ηεο ζηήξημεο έρεη σο απνηέιεζκα ηε κεηαβνιή ηεο κνξθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ηεο θιίζεο απηήο. Σέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: q V q q q (7.8) Ζ ζρέζε (7.5) γηα = γξάθεηαη σο: Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-7
4 4 q E I q q q E I 4 K 4 4 4 4 q E I q q q E I 4 K 4 E I q q E I K K (7.9) Ζ ηηκή απηή αληηζηνηρεί ζηε ηηκή ηεο βύζηζεο ιόγσ ηεο ελδνηηθόηεηαο ηεο ζηήξημεο. Σν αξλεηηθό πξόζεκν θαηαδεηθλύεη όηη ζηε ζηήξημε Β ε ειαζηηθή γξακκή βπζίδεηαη. o Πξόβνινο Οκνηόκνξθα Καηαλεκεκέλν Φνξηίν κε ελδνηηθή ζηήξημε Έζησ πξόβνινο, ππνβαιιόκελνο ζε νκνηόκνξθν θνξηίν p=-q. Δθόζνλ ε ζηήξημε Α παξνπζηάδεη ζηξνθηθή ελδνηηθόηεηα κε ζηαζεξά ειαηεξίνπ Κ φ, λα ππνινγηζηεί ε ζρέζε ηεο βύζηζεο (ειαζηηθή γξακκή). Τ p Κ θ Α Β Υ ρ. 7.: Πξόβνινο Οκνηόκνξθν Φνξηίν. Όζνλ αθνξά ηηο θαηαζηαηηθέο εμηζώζεηο ηζρύεη όηη θαη ζηηο ζρέζεηο (7.9) σο (7.95). Οη ζηαζεξέο ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Γηα ην πξόβιεκα ππό εμέηαζε: Η Βύζηζε ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: c4 (7.) Μέζσ ηεο (7.) πξνθύπηεη όηη ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή δίδεηαη σο: 4 q c c c E I 4 6 (7.) Εεηνύληαη άιιεο ηξεηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο θαη απηέο πξνθύπηνπλ από ηνπο πεξηνξηζκνύο ζην ειεύζεξν άθξν νη νπνίνη έρνπλ σο εμήο Η ξνπή ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε ην κεδέλ ήηνη: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: M ( ) q c c (7.) q c c (7.) Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-8
Η ηέκλνπζα ζην ειεύζεξν άθξν (Β) είλαη ίζε κε κεδέλ: Από ηε ζρέζε πξνθύπηεη: V( ) q c (7.4) q c c q (7.5) Βάζεη ηεο (7.8) ε ζρέζε (7.6) γξάθεηαη σο: q c c q q c c q (7.6) Ζ εμίζσζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο δίδεηαη σο: 4 q q q c E I Απνκέλεη κία αθόκα ζπλζήθε γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. Η ηξνθή ζηελ πάθησζε (ζηήξημε Α) είλαη ίζε κε ζπγθεθξηκέλε ηηκή: d M d K q q q E I q q q c 6 K q c q c E I E I K K (7.7) (7.8) Άξα ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή γξάθεηαη σο: 4 q q q q E I E I K (7.9) Ζ ζρέζε ηεο πξώηεο παξαγώγνπ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο (θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) δίδεηαη σο: d q d E I K q q q E I 6 (7.) Ζ ζρέζε ηεο ξνπήο θάκςεο δίδεηαη σο: Καη ηέινο ε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ηέκλνπζα δίδεηαη σο: M q q q (7.) V q q (7.) Παξαηεξώ όηη όπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ηεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε ελδνηηθή ζηήξημε έηζη θαη ζηελ πεξίπησζε ηνπ πξνβόινπ κε ελδνηηθή ζηήξημε ε ζηξνθή ηεο ζηήξημεο δελ κεηαβάιεη ηηο εληάζεηο ηεο δνθνύ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-9
7..4. Λύζειρ ηηρ διαθοπικήρ εξίζυζηρ ηηρ Ελαζηικήρ Γπαμμήρ για διάθοποςρ ηύποςρ θοπηίυν ην Πίλ. 7. θαη Πίλ. 7., παξνπζηάδεηαη ε ζπλάξηεζε ηνπ θνξηίνπ ηεο δηέπνπζαο εμίζσζεο θαη νη ιύζεηο ηεο κεξηθήο δηαθνξηθήο εμίζσζεο γηα ηε ζρέζε ηεο ηέκλνπζαο, ξνπήο, θιίζεο ηνπ βέινπο θάκςεο θαη ηνπ βέινπο θάκςεο ζύκθσλα κε ηηο ζρέζεηο (7.7) σο (7.). Πίλ. 7.: Φνξηίν Γηέπνπζαο θαη κεξηθέο ιύζεηο ηεο δηαθνξηθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο γηα ηελ Σέκλνπζα, Ρνπή, θιίζε βέινπο θαη βέινο θάκςεο. Πεξίπησζε Καηαλνκή Φνξηίν Γηέπνπζαο V() Σέκλνπζα M() Ρνπή π () Κιίζε βέινπο Κάκςεο π() Βέινο Κάκςεο Οκνηόκνξθ ν p5( ) := q q q q 6 q 4 4 Σξηγσληθό p( ) := q q q 6 q 4 4 q 5 Σξηγσληθό () p4( ) q q := q q q q 6 q q 4 6 4 q 4 4 q 5 Σξαπεδνεηδέ ο ( qq ) p6( ) := q ( qq) q q ( qq) 6 q 6 ( qq) 4 4 q 4 4 ( qq) 5 Ζκηηνλνεηδέ ο p( ) := q sin n q cos n Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4 n q sin n n q cos n n Πίλ. 7.: Φνξηίν Γηέπνπζαο θαη κεξηθέο ιύζεηο ηεο δηαθνξηθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο γηα ηελ Σέκλνπζα, Ρνπή, θιίζε βέινπο θαη βέινο θάκςεο. q 4 sin n n 4 4 Πεξίπησζε Καηαλνκή Φνξηίν Γηέπνπζαο V() Σέκλνπζα M() Ρνπή π () Κιίζε βέινπο Κάκςεο π() Βέινο Κάκςεο πλεκίηνλ. p( ) := q cos n q sin n n q cos n n q sin n n q 4 cos n n 4 4
Πεξίπησζε Καηαλνκή Φνξηίν Γηέπνπζαο V() Σέκλνπζα M() Ρνπή π () Κιίζε βέινπο Κάκςεο π() Βέινο Κάκςεο νπ Βαζκνύ p7( ) := q q q 4 q 5 6 q 6 6 νπ Βαζκνύ () p8( ) q q q q 4 q q 5 q 4 q 6 := q q 6 6 4 6 νπ Βαζκνύ p9( ) := q q 4 4 q 5 q 6 q 7 84 νπ Βαζκνύ () p( ) q q 4 q q 5 q q 6 q 4 q 7 := q q 4 6 4 84 Ν νπ Βαζκνύ p( ) := q N q N N q N ( N ) ( N ) q N ( N ) ( N ) ( N ) 4 q N ( N4 ) ( N ) ( N ) ( N ) Ν νπ Βαζκνύ () p( ) := qq N q ( N ) q N q ( N ) q ( N ) ( N ) ( N ) q q 6 ( N ) ( N ) ( N ) ( N4 ) q 4 q 4 4 ( N ) ( N ) ( N ) ( N4 ) Σπρνύζα θόξηηζε q() πξνζεγγίδεηαη σο ζεηξά Fourier δειαδή ζπλδπαζκόο θνξηίσλ εκηηνλνεηδνύο θαη ζπλεκηηνλνεηδνύο κνξθήο: n n n q q ancos bnsin n (7.) κε ηα q, a n, b n νη άγλσζηεο παξάκεηξνη. Οη ιύζεηο ηεο ειαζηηθήο πξνθύπηεη από αληίζηνηρν ζπλδπαζκό ησλ επηκέξνπο ιύζεσλ Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4
7.. ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΥΕΣΙΚΩΝ ΣΡΟΦΩΝ ΚΑΙ ΜΕΣΑΣΟΠΙΕΩΝ (MOMENT AREA METHOD) 7... Ειζαγυγή ε πνιιά πξνβιήκαηα όπνπ δεηείηαη ε ειαζηηθή γξακκή νη θνξηίζεηο είλαη πνιύπινθεο θαη ε δηαηνκή ζπλήζσο κεηαβάιιεηαη θαηά κήθνο ηνπ θνξέα. Ζ κέζνδνο ησλ Γπλαηώλ Έξγσλ αλαπηύρζεθε ηελ ίδηα πεξίνδν αλεμάξηεηα από ηνπο Greene θαη Mohr ζην ηειεπηαίν κηζό ηνπ 9 νπ αηώλα. 7... Θευπήμαηα Βάζεη ηεο ζρέζεο πνπ ζπλδέεη ηε ε παξάγσγν ηεο ειαζηηθήο γξακκήο κε ηε ξνπή θάκςεο ηεο δηαηνκήο ε ζηξνθή ηεο δνθνύ (ε θιίζε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο) γξάθεηαη σο: d d d d M M d d d d d EI EI d (7.4) Γξαθηθά ε ζρέζε (7.4) παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7.4. Σν εκβαδόλ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηνπ ιόγνπ ηεο θακπηηθήο ξνπήο πξνο ην γηλόκελν ηνπ κέηξνπ ειαζηηθόηεηαο κε ηε ξνπή αδξάλεηαο ηεο δηαηνκήο (M/EI) (ρ. 7.4a) ηζνύληαη κε ηε κεηαβνιή ηεο γσλίαο ζ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ηεο δνθνύ (ρ. 7.4b). Ζ νινθιήξσζε ηεο ζρέζεο (7.4) νδεγεί ζηνλ ππνινγηζκό ηεο ζπλνιηθήο γσλίαο ζηξνθήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο σο: M M d d d EI (7.5) A EI A A A Ζ ζρέζε κεηαμύ ηεο ειαζηηθήο γξακκήο θαη ηεο πνζόηεηαο M/EI παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7.5. Ζ ζηξνθή ζε κία ζέζε Β ζε ζπλάξηεζε ηεο ζηξνθήο ηεο ζέζεο Α θαη ηνπ δηαγξάκκαηνο ηεο πνζόηεηαο M/EI δίδεηαη σο: M A A d (7.6) EI Καζώο ιακβάλνληαη ππόςε κόλνλ κηθξέο κεηαηνπίζεηο, ε θάζεηε απόζηαζε ηνπ ρ. 7.4b dδ (ε απόθιηζε ηνπ ζεκείνπ πέξαηνο από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν αξρήο) δίδεηαη από ηνλ ηύπν: d d (7.7) A Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4
ρ. 7.4: Γξαθηθή Απεηθόληζε ηεο κεζόδνπ ησλ δπλαηώλ έξγσλ Σν εκβαδόλ πνπ πεξηθιείεηαη κεηαμύ ηνπ δηαγξάκκαηνο ηεο πνζόηεηαο M/EI θαη ηνπ άμνλα Υ θαζνξίδεη ην κέγεζνο ηεο κεηαβνιήο ηεο γσλίαο ζ (dζ) 7. ρ. 7.5: ρέζε κεηαμύ ηνπ δηαγξάκκαηνο ηεο πνζόηεηαο M/EI θαη ηεο ειαζηηθήο γξακκήο 8. Άξα βάζεη ηεο ζρέζεο (7.5) ε ζπλνιηθή κεηαβνιή ηνπ βέινπο ιόγσ θάκςεο κεηαμύ δύν ζεκείσλ θαη εηδηθόηεξα ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Β δίδεηαη σο: 7 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall 8 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-4
M M d d d d EI (7.8) A/ EI A A A A Οη ζρέζεηο (7.6) θαη (7.8) πνπ δίδνπλ ην ν θαη ν ζεώξεκα ηεο κεζόδνπ ησλ δπλαηώλ έξγσλ αληίζηνηρα κπνξνύλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ζρεηηθήο ζηξνθήο θαη κεηαηόπηζεο δύν ζεκείσλ ζε κία δνθό ρσξίο λα απαηηείηαη ε γλώζε ηεο ζρέζεο πνπ δηέπεη ηελ ειαζηηθή γξακκή. εκεηώλεηαη όηη:. Σα ζπγθεθξηκέλα ζεσξήκαηα εθαξκόδνληαη κεηαμύ νπνηνλδήπνηε δύν ζεκείσλ ζπλερνύο ειαζηηθήο γξακκήο γηα νπνηαδήπνηε δνθό θαη νπνηνδήπνηε θνξηίν.. Σα ζεσξήκαηα ππνινγίδνπλ κόλνλ ηε ζρεηηθή ζηξνθή κεηαμύ δύν ζεκείσλ θαζώο θαη ηε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ πέξαηνο από ηελ εθαπηνκέλε ηνπ ζεκείνπ αξρήο.. Σν πξόζεκν ηεο ηηκήο ηεο ζρεηηθήο ζηξνθήο νξίδεηαη ζύκθσλα κε ην δεμηόζηξνθν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ. Θεηηθή ζρεηηθή ζηξνθή έρεη σο απνηέιεζκα ηε πεξηζηξνθή ηεο εθαπηνκέλεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζε θνξά αληίζεηε απηήο ηεο θνξάο ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ. 4. Θεηηθό πξόζεκν ηεο ηηκήο ηεο κεηαηόπηζεο εξκελεύεηαη σο κεηαηόπηζε θαηά ηε ζεηηθή θνξά ηνπ άμνλα Τ ηνπ ζεκείνπ ηνπ πέξαηνο από ηελ εθαπηνκέλε ηνπ ζεκείνπ ηεο αξρήο. ην ρ. 7.6, παξνπζηάδνληαη δηάθνξα παξαδείγκαηα πνπ ζρεηίδνληαη κε ην πξόζεκν ηεο ηηκήο. Δηδηθόηεξα παξαηεξνύκε όηη ην πξόζεκν ηεο ζρεηηθήο κεηαηόπηζεο ηνπ ζεκείνπ Α (δ Α/Β ) από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Β είλαη ζεηηθό θαζώο ην ζεκείν βξίζθεηαη ζε πεξηνρή κε ηεηαγκέλε θαηά Τ κεγαιύηεξε απηήο ηνπ αληίζηνηρνπ ζεκείνπ ηεο εθαπηνκέλεο κε ην νπνίν έρνπλ ηελ ίδηα ηεηκεκέλε Υ (ρ. 7.6a). Αληίζηνηρα θαη ε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ Β από ηελ εθαπηνκέλε ηνπ ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Α (δ Β/Α ) είλαη ζεηηθή θαζώο ε ηεηαγκέλε θαηά Τ ηνπ ζεκείνπ Β από ην αληίζηνηρν ζεκείν ηεο εθαπηνκέλεο κε ην νπνίν κνηξάδνληαη ηελ ίδηα ηεηκεκέλε Υ είλαη κεγαιύηεξε (άξα ε δηαθνξά απηώλ είλαη ζεηηθή). ην ρ. 7.6c παξνπζηάδεηαη ε πεξίπησζε όπνπ ε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ Β από ηελ εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Α (δ Β/Α ) είλαη αξλεηηθή θαζώο ε ηεηαγκέλε θαηά Τ ηνπ ζεκείνπ Β είλαη κηθξόηεξε ηνπ ζεκείνπ ηεο εθαπηνκέλεο κε ην νπνίν κνηξάδνληαη ηελ ίδηα ηεηκεκέλε Υ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-44
ρ. 7.6: Δπεμήγεζε ηνπ πξόζεκνπ ηεο ηηκήο ηεο απόθιηζεο από ηελ εθαπηνκέλε 9. Ζ ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηεο ζρέζεο (7.8) κπνξεί λα γξαθεί σο: (7.9) A/ Όπνπ ε απόζηαζε ηνπ θεληξνεηδνύο ηνπ ρσξίνπ Μ/ΔΗ από ην ζεκείν Α. Αληίζηνηρα γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ δ Β/Α ε ζρέζε δίδεηαη σο: (7.) / A Όπνπ ε απόζηαζε από ην ζεκείν Β ηνπ θεληξνεηδνύο ηνπ ρσξίνπ Μ/ΔΗ. Ζ ηηκή Φ δίδεηαη σο ην εκβαδό ηνπ ρσξίνπ κεηαμύ Α θαη Β θαη είλαη απηό πνπ θαζνξίδεη θαη ην πξόζεκν ηεο ζρεηηθήο κεηαηόπηζεο. Οη απνζηάζεηο θαη ιακβάλεηαη σο απόιπηεο ηηκέο. Οη ζρέζεηο (7.9) θαη (7.) είλαη αλάινγεο ησλ ζρέζεσλ ηεο ζηαηηθήο ξνπήο αδξάλεηαο ηνπ απνθνπηόκελνπ ηκήκαηνο κίαο δηαηνκήο. o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο πξνβόινπ Έζησ ν πξόβνινο ηνπ ρ. 7.7. κε ζπλνιηθό κήθνο.8m απνηεινύκελν από ηξία επηκέξνπο ηκήκαηα θνίιεο θπθιηθήο δηαηνκήο. Τ p=-q Α 4m Β Γ 4m.8m Γ Υ Φ64./4. Φ48./. Φ48./. ρ. 7.7: Πξόβνινο Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή. 9 Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-45
Σν ν ηκήκα (ΑΒ) είλαη από ράιπβα όπσο θαη ην ν ηκήκα (ΒΓ). Σν ν ηκήκα είλαη από αινπκίλην. ην ρ. 7.7 νη δηαζηάζεηο ηεο θνίιεο θπθιηθήο δηαηνκήο παξνπζηάδνληαη ζε ρηιηνζηά. Σν θαηαλεκεκέλν θνξηίν ιακβάλεη ηηκή ίζε κε p=-.kn/m. Βήκα ν : Τπνινγηζκόο ησλ γεσκεηξηθώλ δεδνκέλσλ ηεο δηαηνκήο Γηα ηνλ ππνινγηζκό ησλ ξνπώλ αδξάλεηαο εθαξκόδεηαη ν γλσζηόο ηύπνο: I 64 4 D D t Γηα ηηο δηαθνξεηηθέο δηαηνκέο ηα γεσκεηξηθά ζηνηρεία ζπλνςίδνληαη σο: Τμήματα Διατομή D (m) t (m) (m) Υλικό Ε (kn/m) Ι (m4) ΕΙ (kn*m) Φ64./4..64.4 4. Φάλυβας.48E-7 7.568 Φ48./..48. 4. Φάλυβας.57E-7.849 Φ48./..48..8 Αλουμίνιο 7.57E-7 7.95 Βήκα ν : Τπνινγηζκόο ησλ Μ, Μ/ΕΙ, θ θαη δ Ζ εμίζσζε ηεο ξνπήο θάκςεο είλαη αλεμάξηεηε ηεο ηηκήο ηνπ γηλνκέλνπ EI θαη δίδεηαη σο: 4 M q q q Σν δηάγξακκα ηεο ξνπήο θάκςεο ηνπ πξνβόινπ παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7.8. Σν δηάγξακκα ηνπ Μ/ΔΗ ην νπνίν θαη θαζνξίδεη ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ζρεηηθήο ζηξνθήο παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7.9. ύκθσλα κε ηε ζρέζε (7.6) ε γσλία ζηξνθήο δίδεηαη σο: Αληίζηνηρα ε ζρέζε (7.8) γξάθεηαη σο: M d EI / M d EI Ζ εμέιημε ηεο κεηαβνιήο ηεο ζηξνθήο θαη ηεο κεηαθίλεζεο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7.4. Παξαηεξνύκε όηη ε ζηξνθή έρεη ηηκή αξλεηηθή κε κέγηζηε ηηκή ζ ma =.475 rad ήηνη.7. Καζώο ε ηηκή είλαη αξλεηηθή ε θνξά είλαη απηή ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ νπόηε θαη ε ειαζηηθή γξακκή βπζίδεηαη όιν θαη πεξηζζόηεξν θαζώο απμάλεηαη ε απόζηαζε από ην ζεκείν ηεο ζηήξημεο (θόθθηλε γξακκή). Άξα ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α ηεο ζηήξημεο από εθαπηνκέλε ηεο ειαζηηθήο γξακκήο ζην ζεκείν Γ (ην άθξν ηεο δνθνύ) είλαη ίζε κε -9. cm θαζώο ε πξνβνιή ηνπ ζεκείνπ Α ζηελ εθαπηνκέλε (ίδηα ηεηκεκέλε θαηά Υ) έρεη κεγαιύηεξε ηεηαγκέλε από απηή ηνπ ζεκείνπ Α. Καζώο ε κεηαηόπηζε θαη ε ζηξνθή ηνπ ζεκείν Α (ηεο ζηήξημεο) είλαη ίζε κε ην κεδέλ θαη ε αληίζηνηρε ζηξνθή ηνπ ζεκείνπ Α είλαη ίζε κε ην κεδέλ ην δηάγξακκα παξνπζηάδεη ην ζρεηηθή ζηξνθή ηνπ ζεκείνπ Α (=) ζε ζρέζε κε νπνηνδήπνηε άιιν ζεκείν ηεο δνθνύ θαη ηε ζρεηηθή κεηαηόπηζε ηνπ ζεκείνπ Α (=) από νπνηνδήπνηε ζεκείν ηεο δνθνύ. Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-46
θ (rad) δ (m) Μ/ΕΙ Ροπή (knm) Μάζεκα: Αληνρή ησλ Τιηθώλ (Μεραληθή ΗΗ). Ροπή Κάμτηρ -. -. -. -.4 -.5 -.6 -.7 4 6 8 Υ ρ. 7.8: Ρνπή θάκςεο πξνβόινπ Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή..e+ Διάγπαμμα Μ/ΕΙ -.E- -4.E- -6.E- -8.E- -.E- -.E- 4 6 8 Υ ρ. 7.9: Γηάγξακκα Μ/ΕΙ Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή..e+ -5.E- -.E- -.5E- -.E- -.5E- -.E- -.5E- -4.E- -4.5E- σεηική ηποθή θ και σεηική Μεηαηόπιζη δ θ (rad) δ (m) (=/) δ' (m) (/=). -.5 -. -.5 -. -.5 -. -5.E- 4 6 8 Υ -.5 ρ. 7.4: ρεηηθή ηξνθή ζ θαη ρεηηθή Μεηαηόπηζε δ Οκνηόκνξθν Φνξηίν Μεηαβιεηή δηαηνκή. Αληίζηνηρα γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο / ε ζρέζε γξάθεηαη σο: / M d EI Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-47
Ζ καύξε γξακκή δίδεη ηελ εμέιημε ηεο πνζόηεηαο /. Καζώο δ(=)= όπσο θαη θ(=)= ε πνζόηεηα απηή ηαπηίδεηαη κε ηε ζρέζε πνπ δίδεη ηελ ειαζηηθή γξακκή. To βέινο θάκςεο κεηξηέηαη ζε. cm ζην άθξν ηεο δνθνύ. o Τπνινγηζκόο ρεηηθήο ηξνθήο θαη κεηαθίλεζεο ακθηέξηζηεο δνθνύ κε ζπγθεληξσκέλν θνξηίν Έζησ ην παξάδεηγκα ηνπ ρ. 7.4a. Να βξεζεί ε ζρεηηθή κεηαθίλεζε ζην θέληξν ηεο δνθνύ εμαηηίαο ηνπ ζπγθεληξσκέλνπ θνξηίνπ ζε απόζηαζε a=/4 από ηε ζηήξημε Α. Ζ ηηκή ΔΗ είλαη ζηαζεξή ρ. 7.4: Ακθηέξηζηε Γνθόο πγθεληξσκέλν Φνξηίν P Τπνινγηζκόο ρεηηθώλ ηξνθώλ θαη Μεηαθηλήζεσλ. Ζ εμίζσζε ηεο ξνπήο θάκςεο είλαη αλεμάξηεηε ηεο ηηκήο ηνπ γηλνκέλνπ EI θαη δίδεηαη σο: P a M P a Σν δηάγξακκα ησλ ξνπώλ παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7.4b. Καζώο ην γηλόκελν ΕΙ είλαη ζηαζεξό ε κνξθή ηνπ δηαγξάκκαηνο Μ/ΕΙ είλαη αληίζηνηρε ηνπ δηαγξάκκαηνο ηνπ ρ. 7.4b. ην ρ. 7.4c παξνπζηάδεηαη ε κνξθή ηεο ειαζηηθήο γξακκήο. Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο κεηαηόπηζεο ππάξρνπλ ελαιιαθηηθέο πξνζεγγίζεηο. Ζ πξώηε πξνζέγγηζε παξνπζηάδεηαη ζην ρ. 7.4c. Ζ απόζηαζε πνπ δεηείηαη δίδεηαη σο: Σα κήθε CC θαη CC δίδνληαη σο: C CC CC CC Popov, E. (99) Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall Κεθάιαην 7ν ΔΛΑΣΗΚΖ ΓΡΑΜΜΖ ΤΠΔΡΣΑΣΗΚΟΗ ΦΟΡΔΗ 7-48