ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Όταν μελετούμε έναν συγκεκριμένο μηχανισμό ή μια φυσική διεργασία επικεντρώνουμε το ενδιαφέρον μας στα φυσικά μεγέθη του μηχανισμού τα οποία μας ενδιαφέρει να παρακολουθούμε πως μεταβάλλονται. Τα φυσικά αυτά μεγέθη που είναι παράμετροι του μηχανισμού τα ονομάζουμε εξόδους. Οι μεταβολές στις εξόδους δημιουργούνται πάντα σαν αντίδραση σε συγκεκριμένες διεγέρσεις που προκαλούνται σε άλλα μεγέθη του μηχανισμού αυτού ή της διεργασίας. Δηλαδή οι μεταβολές των εξόδων αποτελούν πάντα την ανταπόκριση ή απόκριση του μηχανισμού ή τις διεργασίας στις μεταβολές κάποιων άλλων φυσικών μεγεθών στα οποία παρεμβαίνουμε εκ των έξω. Τα φυσικά μεγέθη τα οποία προκαλούν τις μεταβολές στις εξόδους τα οποία ονομάζομαι εισόδους. Το μηχανισμό αυτόν η οποιοδήποτε φυσική διεργασία στην οποία έχουμε καθορίσει τις εισόδους και εξόδους, το ονομάζουμε ΣΥΣΤΗΜΑ. Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι το σύστημα είναι στην πραγματικότητα ένα μοντέλό το οποίο καθορίζουμε «εμείς» και όχι κάτι που είναι αυθύπαρκτο. Το σύστήμα το καθορίζουμε τη στιγμή που ορίζουμε ποιες είναι οι είσοδοι και ποιες οι έξοδοι του. Με αυτή τη λογική μπορεί ο ίδιος «φυσικός» μηχανισμός να περιγραφεί με διάφορους τρόπους και ανάλογα με τις εισόδους και τις εξόδους που θα ορίσουμε να μας δώσει διαφορετικά συστήματα. Σε ένα σύστημα μπορεί να έχουμε πολλές εισόδους και πολλές εξόδους (σύστημα ΜΙΜΟ = Multiple Inputs Multiple Outputs), ή να αποτελεί ένα απλό σύστημα μια είσοδο και μία έξοδο (σύστημα SISO = Single Input Single Output). Ένα Σύστημα λέμε ότι «το γνωρίζουμε πλήρως», όταν για κάθε μεταβολή της εισόδου που προκαλούμε σε αυτό, μπορούμε να βλέπουμε την απόκρισης της εξόδου. Αυτό μπορεί να γίνει αν έχουμε μπροστά μας το πραγματικό σύστημα του οποίου παρακολουθούμε τη συμπεριφορά. Για να μπορέσουμε να μελετήσουμε ένα σύστημα, να προβλέψουμε και να ελέγξουμε τη συμπεριφορά του πρέπει να μπορούμε κατ αρχήν να το περιγράψουμε με μαθηματικές εξισώσεις. Στην περίπτωση της μελέτης των συστημάτων μας ενδιαφέρει η δυναμική συμπεριφορά τους, δηλαδή να γνωρίζουμε πως μεταβάλλεται η έξοδος αποκρινόμενη στις μεταβολές της εισόδου. Το μαθηματικό εργαλείο με το οποίο μπορούμε να περιγράψουμε δυναμικές καταστάσεις είναι οι διαφορικές εξισώσεις. Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 6

Σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων με το οποίο περιγράφουμε ένα Σύστημα, οι συναρτήσεις των λύσεων (οι άγνωστες συναρτήσεις) είναι οι έξοδοι του συστήματος. Οι γνωστές συναρτήσεις στις διαφορικές εξισώσεις αποτελούν τις διεγέρσεις δηλαδή τις εισόδους του συστήματος. Στα μαθηματικά υπάρχουν πάρα πολλές μορφές διαφορικών εξισώσεων, η πιο εύκολη από αυτές τις μορφές είναι η γραμμική διαφορική εξίσωση. Όταν η περιγραφή ενός συστήματος γίνεται με γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, τότε το ονομάζουμε γραμμικό σύστημα. Μέχρι και σήμερα όλη η τεχνολογία στηρίχθηκε στα γραμμικά συστήματα, αυτό σημαίνει ότι τα μαθηματικά μοντέλα που δημιουργούμε για να μελετήσουμε οτιδήποτε είναι γραμμικά. Όλα αυτά γιατί μέχρι και τη δεκαετία του 99 η επίλυση ακόμα και των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ήταν μια πάρα πολύ δύσκολη υπόθεση. Βέβαια η «φύση» είναι κατά κανόνα «μη γραμμική», τα γραμμικά συστήματα αποτελούν μια εξαιρετικά χονδροειδή προσέγγιση της. Κι όμως η προσέγγιση αυτή εξυπηρέτησε την ανθρωπότητα και ακόμα εξυπηρετεί την επιστήμη στην αντιμετώπιση των καθημερινών τεχνολογικών αναγκών. Σήμερα η μελέτη των μη γραμμικών συστημάτων αποτελεί τη βάση της νέας επιστήμη των μη γραμμικών συστημάτων ή της επιστήμης του ΧΑΟΥΣ (Chaos) όπως ονομάζεται διεθνώς. Το μέλλον σίγουρα ανήκει στη μελέτη και μοντελοποίηση της φύσης με τη χρήση των μη γραμμικών συστημάτων και τα γραμμικά συστήματα θα αποτελούν ένα πολύ μικρό υποσύνολό τους. Για να διευκολύνουμε τη μελέτη των συστημάτων και την πρακτική εφαρμογή τους και για να έχει ο μηχανικός ένα πρακτικό εργαλείο εργασίας στην πράξη, μετασχηματίζουμε τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις του συστήματος, έτσι ώστε να εξυπηρετούν κάποιες πρακτικές μεθόδους και τεχνικές. Με αυτό τον τρόπο προκύπτουν τα διάφορα μαθηματικά μοντέλα των συστημάτων τα οποία έχουν αναπτυχθεί κατά καιρούς στη θεωρία των ΣΑΕ. Δυο από τα πιο παλιά μοντέλα περιγραφής των γραμμικών συστημάτων είναι, η Συνάρτηση Μεταφοράς (Transfer Function) και η περιγραφή στο χώρο καταστάσεως (state space). Γραμμικά συστήματα - Η Συνάρτηση Μεταφοράς Η γραμμική διαφορική εξίσωση έχει τη μορφή: a y( t) a y( t)... a y( t) x a y( t) f ( t) n ( n) ( n ) n Αρχικές τιμές είναι οι τιμές της άγνωστης συνάρτησης στη χρονικής στιγμή μηδέν δηλαδή: Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 7

y()... y()... y()...... ( n ) y ()... Σημείωση : Μια διαφορική εξίσωση για να έχει πρακτικό νόημα (δηλαδή η λύση της να παριστάνει τις μεταβολές της εξόδου ενός συστήματος) πρέπει να έχουμε ορίσει τις αρχικές συνθήκες. Χωρίς τις αρχικές συνθήκες ή λύση που προκύπτει είναι καθαρά μαθηματική (γενική λύση) και δεν έχει πρακτικό νόημα. Έστω ότι ένα σύστημα με μια είσοδο και μία έξοδο περιγράφεται από μία γραμμική διαφορική εξίσωση. Η έξοδος του συστήματος είναι λύση της διαφορικής ενώ η είσοδος η γνωστή συνάρτηση του δευτέρου μέλους. ΕΙΣΟΔΟΣ f(t) ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΞΟΔΟΣ y(t) Σχήμα 8: Ορισμός συστήματος Θα χρησιμοποιήσουμε το Μετασχηματισμό Laplace για να δώσουμε στη γραμμική διαφορική εξίσωση μια άλλη μορφή πιο πρακτική και πιο εύχρηστη. Ο Μετασχηματισμός Laplace. Ο Μετασχηματισμός στα μαθηματικά είναι μια έννοια η οποία χρησιμοποιείται πάρα πολύ συχνά είτε για να διευκολύνει κάποιες μαθηματικές πράξεις, είτε για να κατανοήσουμε καλύτερα κάποιες φυσικές έννοιες. Στους μετασχηματισμούς κάποια μαθηματική ποσότητα «μετασχηματίζεται» με βάση κάποιον μαθηματικό τύπο σε μια άλλη ποσότητα η οποία έχει τελείως διαφορετική μορφή. Στο μετασχηματισμό οι δύο ποσότητες αποτελούν ένα μοναδικό και αποκλειστικό ζευγάρι και μπορούμε ανά πάσα στιγμή να μετατρέψουμε τη μία στην άλλη και το αντίστροφο. Ένας από τους πιο διάσημους μετασχηματισμούς είναι ο λογάριθμος, ο οποίος είναι μετασχηματισμός αριθμών. Με τον λογάριθμό μπορούμε να κάνουμε εύκολα πολλαπλασιασμούς διότι ως γνωστόν ο πολλαπλασιασμός δύο αριθμών μετατρέπεται στο «πεδίο» των λογαρίθμων σε πρόσθεση, έτσι μπορούμε να Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 8

μετατρέψουμε τους αριθμούς σε λογαρίθμους να κάνουμε πρόσθεση αντί για πολλαπλασιασμό και στη συνέχεια να βρούμε τον αντιλογάριθμο του αριθμού, έτσι θα έχουμε κάνει ευκολότερα τον πολλαπλασιασμό. Σίγουρα κάποιος στη σημερινή εποχή θα γελάει ακούγοντας αυτό το παράδειγμα, όμως καλό είναι να γνωρίζουμε ότι το «κομπιουτεράκι» της προηλεκτρονικής εποχής ήταν ο λογαριθμικός κανόνας, ένας μαγικός «χάρακας-μηχανισμός» με τον οποίο μπορούσαμε να κάνουμε ταχύτατα αριθμητικές πράξεις. αυτό μετασχηματισμό που λέγεται λογάριθμος. Ο λογαριθμικός κανόνας στηρίζονταν στο μαγικό Ο Μετασχηματισμός Laplace είναι μετασχηματισμός συναρτήσεων. Δηλαδή κάθε συνάρτηση f() t βάσει του παρακάτω τύπου δίδει μια ένα συνάρτηση Fs ().Το ζευγάρι είναι μοναδικό και μπορούμε να πάμε από την συνάρτηση στο Μετασχηματισμό Laplace και τι αντίστροφο: Ο παρακάτω τύπος μας δίνει την συνάρτηση f() t αν έχουμε την συνάρτηση Laplace Fs: () Ο Μετασχηματισμός Laplace έχει κάποιες πολύ σημαντικές ιδιότητες, οι οποίες αποδεικνύονται σαν θεωρήματα. Οι ιδιότητες αυτές είναι:. Ο μετασχηματισμός Laplace (ML) αθροίσματος συναρτήσεων είναι το άθροισμα των ML των συναρτήσεων αυτών. Μετασχηματισμός γινομένου συνάρτησης με αριθμό: Ισχύει: af ( t) a f ( t) L LË st F( s) f ( t) e dt st f ( t) F( s) e ds j j j f ( t) f ( t) f ( t) f ( t) L LË L 3. Μετασχηματισμός γινομένου συνάρτησης με Αν f t L ( ) F( s) τότε ισχύει: e at at L e f ( t) F( s a) 4. Ιδιότητα των μετατοπίσεων: Αν f t L ( ) F( s) τότε ισχύει: L f t t u t t e F s ts ( ) ( ) ( ) Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 9

Αυτό με απλά λόγια δείχνει μία συνάρτηση f() t η οποία ξεκινάει από το χρόνο t όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. f(t) to t 5. Η ιδιότητα της διαφόρισης (παραγώγισης). Είναι η ιδιότητα στην οποία στηριζόμαστε για να μετατρέψουμε τις διαφορικές εξισώσεις και να φτάσουμε στην συνάρτηση μεταφοράς. Αν f t L ( ) F( s) τότε ισχύει: df () t L sf( s) f () dt, δηλαδή η παράγωγος της συνάρτησης έχει μετασχηματισμό: sf( s) f () όπου με το f () εννοούμε την αρχική τιμή της συνάρτησης f() t. Για την η L d f () t ' s F s sf f dt παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύει: ( ) () () Με ανάλογο τρόπο για την n-οστη παράγωγο έχουμε: n d f () t L s F s s f s f sf f n dt n n n n n '' ' ( ) () ()... () () Αν θεωρήσουμε ότι όλες οι αρχικές τιμές είναι μηδέν τότε ισχύει: n d f () t n L s F() s n dt Ακριβώς αυτόν τον τύπο θα χρησιμοποιήσουμε για να μετατρέψουμε μια διαφορική εξίσωση κατά Laplace. 6. Η ιδιότητα της ολοκλήρωσης Τότε ισχύει: Αν f t L ( ) F( s) τότε ισχύει: F( s) f () L f ( t) d( t) s s Παρατηρούμε ότι ενώ στην παράγωγο ο ML είναι πολλαπλασιασμός με την μεταβλητή s, στην περίπτωση του ολοκληρώματος είναι διαίρεση. 7. Θεώρημα της αρχικής τιμής Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης

Για την αρχική τιμής f () μιας συνάρτησης ισχύει: f () lim sf( s) s 8. Θεώρημα της τελικής τιμής. Για την τελική τιμή μιας συνάρτησης ισχύει: lim f ( t) lim sf( s) t s Στο σημείο αυτό θα πρέπει να τονίσουμε ότι η συνάρτηση Laplace δεν είναι μια απλή συνάρτηση όπως η αρχική μας συνάρτηση, μάλλον θα λέγαμε ότι είναι μια «εξωτική» συνάρτηση για τη διαίσθηση μας. Αυτό συμβαίνει γιατί η συνάρτηση Fs () είναι μια μιγαδική συνάρτηση, μιγαδικής μεταβλητής! Αυτό σημαίνει ότι το s δεν λαμβάνει τιμές στο πεδίο των πραγματικών αριθμών, αλλά σε αυτό των μιγαδικών. Δηλαδή αν υποθέσουμε ότι στην συνάρτηση f() t το t είναι χρόνος και επομένως μπορεί να λαμβάνει πραγματικές τιμές το s είναι μιγαδικό και επομένως έχει πραγματικό και μιγαδικό μέρος, δηλαδή s=σjω. Αν λοιπόν θέλαμε να σχεδιάσουμε να πάρουμε μια εικόνα για την συνάρτηση Fs, () αυτή θα ήταν όχι μια γραμμή, αλλά μια επιφάνεια αφού οι τιμές των μεταβλητών σ και ω, κινούνται στο επίπεδο των μιγαδικών αριθμών. Παρόλα αυτά όμως και πάλι δεν μπορούμε να σχεδιάσουμε την συνάρτηση Fs () διότι και οι τιμές τις είναι μιγαδικοί αριθμοί! Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να πάρουμε το μέτρο Fs () ή τη γωνία Fs () και να τα σχεδιάσουμε. Άρα αν θέλαμε να δούμε το σχέδιο μιας συνάρτηση Fs () θα είχαμε το σχέδιο επιφανειών, η μία θα μας έδειχνε το μέτρο και η άλλη τη γωνία της συνάρτησης Fs. () Η συνάρτηση Μεταφοράς. Ας επανέλθουμε τώρα στο σύστημα τη συμπεριφορά του οποίου περιγράφουμε με μια γραμμική διαφορική εξίσωση: ΕΙΣΟΔΟΣ f(t) ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΞΟΔΟΣ y(t) Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης

a y( t) a y( t)... a y( t) x a y( t) f ( t) n ( n) ( n) n Αρχικές συνθήκες = οι τιμές της αγνωστής συνάρτησης στην χρονική στιγμή δηλαδή: y()... y y () () ()... ( n) ()...... y ()... Παρατηρείστε ότι η έξοδος είναι η άγνωστη συνάρτηση της διαφορικής και η είσοδος η γνωστή συνάρτηση f(t). Θεωρούμε κατ αρχή ότι όλες οι αρχικές συνθήκες είναι μηδέν, δηλαδή: y() y y () () ( n ) y () ()... () Στη συνέχεια Μετασχηματίζουμε κατά Laplace και τα δύο μέλη της διαφορικής εξίσωσης, σύμφωνα με τις ιδιότητες που παρουσιάσαμε παραπάνω και αν έχουμε L y ( t) Y( s) και L f t ( ) F( s), τότε η μετασχηματισμένη εξίσωση είναι: n a s Y ( s) a s Y ( s)... a sy ( s) a F( s) n n n Τι πετύχαμε; διώξαμε από την εξίσωση τις αντιπαθητικές παραγώγους και μετατρέψαμε την εξίσωση από διαφορική σε αλγεβρική και ακόμα δεν ασχολούμαστε πια με τις αρχικές συνθηκες. Ορίζουμε σαν Συνάρτηση Μεταφοράς το μετασχηματισμό Laplace της εξόδου προς το Μετασχηματισμό της εισόδου του συστήματος. Συνάρτηση Μεταφοράς : H( s) Ys () Fs () Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης

Όπως γίνεται κατανοητό, όταν γνωρίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος για κάθε είσοδο μπορούμε να υπολογίσουμε την έξοδο. Η διαδικασία είναι η εξής: Έστω η γνωστή είσοδος : f( t) η έξοδος τότε υπολογίζεται ώς εξής: Υπολογίζουμε τον ML: Fs ( ) τότε ισχύει απο τον ορισμό : Y( s) F( s). H ( s) και τελικά η έξοδος ειναι ο αντίστροφος ML του Y( s) Σημείωση: To s της Συνάρτησης Μεταφοράς, είναι η μεταβλητή του Laplace, όπως είπαμε είναι μια μιγαδική μεταβλητή, δηλαδή: s j. Ένας τεχνικός θα αναρωτηθεί αμέσως ότι ποια είναι η φυσική σημασία της μεταβλητής s της συνάρτηση μεταφοράς. Εκ πρώτης όψεων μπορούμε να πούμε ότι το s είναι η μεταβλητή του Laplace και δεν έχει καμία φυσική σημασία. Παρ όλα αυτά θα δούμε ότι κάποιες τιμές τις μεταβλητής s καθορίζουν τον τρόπο με τον οποίο συμπεριφέρεται το σύστημα. Ονομάζουμε το s μιγαδική συχνότητα και θα δούμε παρακάτω πως εξηγείται αυτή η ονομασία. Χρονική απόκριση Μόνιμη και μεταβατική κατάσταση συστημάτων Όταν έχουμε τη συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος λέμε ότι γνωρίζουμε πλήρως το σύστημα, δηλαδή για κάθε μεταβολή της εισόδου μπορούμε να δούμε τις μεταβολές της εξόδου. Βέβαια όταν λέμε ότι μπορούμε να δούμε τις μεταβολές της εξόδου, εννοούμε ότι πρέπει να υπολογίσουμε την έξοδο από την συνάρτηση μεταφοράς (δηλαδή από τη λύση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης). Σήμερα οι υπολογισμοί αυτοί γίνονται εύκολα από τους υπολογιστές, σε τέτοιο σημείο μάλιστα που να μπορούμε πλέον να μιλάμε για ψηφιακή προσομοίωση. Δηλαδή σήμερα πραγματικά έχοντας τη συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος είναι σα να έχουμε το πραγματικό σύστημα στο εργαστήριο. Ας μη ξεχνάμε μόνο ότι μιλάμε για μια εξιδανικευμένη προσέγγιση, γιατί έχουμε προσεγγίσει ένα πραγματικό σύστημα με γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Στην πράξη όταν ασχολούμαστε με τη μελέτη και το σχεδιασμό ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου μας ενδιαφέρει να μελετούμε την απόκριση του συστήματος για συγκεκριμένες συναρτήσεις εισόδου. Λέμε τότε ότι μελετούμε την χρονική απόκριση (time response) του συστήματος. Η μελέτη της χρονικής απόκρισης γίνεται κυρίως για δύο συναρτήσεις εισόδου όπως φαίνεται στη συνέχεια, Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 3

. Βηματική απόκριση (step response) Τις περισσότερες φορές αυτό που μας ενδιαφέρει είναι να μελετήσουμε τη χρονική απόκριση σε μια βηματική συνάρτηση. Η βηματική συνάρτηση είναι η σταθερή συνάρτηση που ξεκινάει από τη χρονική στιγμή μηδέν. Όταν η τελική τιμή είναι, τότε μιλάμε για την μοναδιαία βηματική συνάρτηση και συμβολίζεται με ut (). Η απόκριση σε μια μοναδιαία βηματική συνάρτηση ονομάζεται βηματική απόκριση (step response) u(t) Βηματική συνάρτηση Σχήμα 9: Βηματική απόκριση t. Κρουστική απόκριση (impulse response) Η κρουστική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που έχει μόνο μαθηματική υπόσταση, ονομάζεται δ(t) και πρόκειται για μια συνάρτηση η οποία έχει στιγμιαία άπειρη τιμή, όταν λέμε στιγμιαία εννοούμε ότι συμβαίνει σε χρόνο μηδέν. Μπορούμε να κατανοήσουμε την κρουστική συνάρτηση διαισθητικά ως εξής: Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια παλμική συνάρτηση όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο παλμός έχει πλάτος Α και διάρκεια τ. Αν υποθέσουμε ότι λαμβάνουμε ένα παλμό που να έχει διάρκεια τ/, και πλάτος Α τότε και οι δύο παλμοί αν πολλαπλασιάσουμε διάρκεια επί πλάτος έχουν το ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή το εμβαδόν τις επιφάνειας που περικλείει ο παλμός είναι το ίδιο. Αν συνεχίσουμε να μικραίνουμε τη διάρκεια του παλμού με την προϋπόθεση ότι το εμβαδόν είναι σταθερό, κάθε φορά που μικραίνει η διάρκεια αυξάνει η ένταση. Όσο η διάρκεια τείνει στο μηδέν η ένταση θα τείνει στο άπειρο. Στην πράξη όσο πιο μικρή διάρκεια έχει ένας παλμός και όσο μεγαλύτερη ένταση τόσο πλησιάζει την ιδανική κρουστική συνάρτηση. Y(t) Παλμική συνάρτηση δ(t) Κρουστική συνάρτηση Σχήμα : Κρουστική Απόκριση t t Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 4

Amplitude Amplitude Η κρουστική απόκριση ενός συστήματος είναι η απόκριση σε είσοδο κρουστική συνάρτηση. 3. Απόκριση σε γραμμική συνάρτηση και συνάρτηση δευτέρου βαθμού. Αν και οι βασικές αποκρίσεις που χρησιμοποιούμε για τη μελέτη ενός συστήματος είναι η βηματική και η κρουστική, μερικές φορές ίσως να υπάρξει ανάγκη να χρησιμοποιήσουμε την γραμμική συνάρτηση και τη συνάρτηση δευτέρου βαθμού οι οποίες φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. r(t)=tu(t) Γραμμική συνάρτηση ή ράμπα y t ( ) t u( t) Συνάρτηση δευτέρου βαθμού t Σχήμα :(α) Συνάρτηση αναρρίχησης (ράμπα) (β) συνάρτηση δευτέρου βαθμού t Μόνιμη κατάσταση συστήματος: Όταν η έξοδος ενός συστήματος είναι σταθερή λέμε ότι το σύστημα ισορροπεί ή ότι βρίσκεται στη μόνιμη του κατάσταση. Μεταβατική κατάσταση συστήματος:όταν ένα σύστημα διαταράσσεται από την ισορροπία του και μέχρι να επανέλθει σε νέα ισορροπία λέμε ότι το σύστημα βρίσκεται σε μεταβατική κατάσταση. Στη βηματική και στην κρουστική απόκριση ενός συστήματος μπορούμε να διακρίνουμε τη μεταβατική και τη μόνιμη κατάσταση του. Στο παρακάτω σχήμα, βλέπουμε την βηματική και την κρουστική απόκριση ενός συστήματος, και στις δύο αποκρίσεις μπορούμε να διακρίνουμε την μεταβατική και τη μόνιμη κατάσταση του..8 Impulse Response.6.4 Μόνιμη κατάσταση.8.6 Μόνιμη κατάσταση..4..8.6 -..4 -.4. Μεταβατική κατάσταση 3 4 5 6 -.6 Μεταβατική κατάσταση -.8 3 4 5 6 Βηματική απόκριση Κρουστική απόκριση Σχήμα : βηματική και κρουστική απόκριση Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 5

Έχουμε τη μεταβατική κατάσταση όσο η έξοδος μεταβάλλεται και τη μόνιμη όταν η έξοδος σταθεροποιείται. ΠΡΟΣΟΧΗ: Παρατηρείστε ότι η κρουστική και η βηματική απόκριση έχουν την ίδια μορφή ως προς τη μεταβατική κατάσταση, διαφέρουν όμως ως προς την μόνιμη κατάσταση. Πόλοι, μηδενικά και κέρδος συστήματος και πρακτική σημασία Δίνουμε στη συνέχεια κάποιους ορισμούς πάνω στη συνάρτηση μεταφοράς. Ονομάζουμε Κέρδος η απολαβή τον σταθερό αριθμό στον οποίο τείνει η συνάρτηση μεταφοράς όταν S. Το κέρδος μας δίνει μια εικόνα της μόνιμης κατάστασης του συστήματος και εκφράζει την μόνιμη τιμή της εξόδου προς τη μόνιμη τιμή της εισόδου. Ονομάζουμε πόλους του συστήματος, τις ρίζες του παρανομαστή, δηλαδή αν θέσουμε όπου S τις τιμές των πόλων η Συνάρτηση Μεταφοράς απειρίζεται. Ονομάζουμε μηδενικά του συστήματος, τις ρίζες του αριθμητή, δηλαδή αν θέσουμε όπου S τις τιμές των μηδενικών η Συνάρτηση Μεταφοράς μηδενίζεται. Οι πόλοι καθορίζουν την μεταβατική κατάσταση του συστήματος. Το πραγματικό μέρος των πόλων μας δείχνει την απόσβεση ενώ το φανταστικό την συχνότητα των ταλαντώσεων. Θα δούμε σε επόμενη παράγραφο πως ακριβώς τα μηδενικά και οι πόλοι καθορίζουν την μεταβατική κατάσταση των συστημάτων. Παραδείγματα: 5( s 7) ) Συνάρτηση μεταφοράς : H() s ( s)( s5) Έχουμε Κέρδος: Βάζουμε όπου s= και έχουμε: K 5.7 35 35 3,5.( 5) Μηδενικά είναι οι ρίζες του αριθμητή: -7 Πόλοι είναι οι ρίζες του παρανομαστή: -, 5 ) Συνάρτηση μεταφοράς Hs () s( s s 5) Έχουμε Κέρδος: Βάζουμε όπου s= και έχουμε: Μηδενικά είναι οι ρίζες του αριθμητή: Δεν έχει Πόλοι είναι οι ρίζες του παρανομαστή:, j, -j K 5 Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 6

Χρονική απόκριση συστημάτων πρώτου βαθμού Ας ξεκινήσουμε να δούμε την βηματική απόκριση του συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς. H() s s Η εν λόγω συνάρτηση έχει: Κέρδος:, πόλος :-/ και μηδενικά: δεν έχει: Η απόκριση σαν μαθηματική έκφραση και σαν εικόνα δίνεται παρακάτω: y( t) t e Μόνιμη τιμή =Κέρδος*είσοδο.9.8.7.6,6378.5.4.3.. 4 6 8 Σταθερά χρόνου Σχήμα : Απόκριση συστήματος πρώτου βαθμού Στην απόκριση της συνάρτησης αυτής τονίζουμε τα εξής: Ονομάζουμε σταθερά χρόνου τον χρόνο Τ στον οποίο η μεταβατική κατάσταση φτάνει στο,6378 της τελικής τιμής. Η σταθερά χρόνου είναι το αντίθετο της τιμής του μοναδικού πόλου της Συνάρτηση Μεταφοράς. (Η τιμή αυτή προκύπτει αν στην μαθηματική έκφραση της εξόδου βάλουμε t=. Τότε έχουμε y () e, 6378 Από την πρακτική σημασία του κέρδους επίσης πρέπει να σημειώσουμε ότι η μόνιμη τιμή του συστήματος προκύπτει από το γινόμενο της τιμής της βηματικής συνάρτηση επί το κέρδος. Στη συνέχεια βρίσκουμε τις βηματικές αποκρίσεις των παρακάτω συστημάτων: H() s 4 H () s s 5 H () s s 4 H () s 3 s 5 4 s Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 7

Το κέρδος σε όλες τις παραπάνω συναρτήσεις είναι. Άρα όλες οι αποκρίσεις έχουν τελική τιμή Οι πόλοι με τη σειρά είναι: -,-4, -6, -8 Και άρα οι σταθερές χρόνου είναι: /, /4, /5 και / ή,5,5, και,.9.8.7.6.5.4.3.....3.4.5.6.7.8.9 Σχήμα 3: Αποκρίσεις συστήματος πρώτου βαθμού με πόλους αρνητικούς και διαφορετικές σταθερές χρόνου με Το συμπέρασμα που μπορούμε να βγάλουμε εδώ είναι ότι: όταν οι πόλοι είναι αρνητικοί, όσο μεγαλώνουν κατ απόλυτη τιμή τόσο το σύστημα γίνεται πιο γρήγορο ως προς τη μεταβατική του κατάσταση. Ας δούμε τώρα τι γίνεται όταν οι πόλοι είναι θετικοί και ας δούμε τη συνάρτηση: H() s η οποία έχει κέρδος - και πόλο /. Η μαθηματική έκφραση της s εξόδου και η εικόνα έχουν ως εξής: Αν βάλουμε όπου t την τιμή της σταθεράς χρόνου, δηλαδή Τ= έχουμε: y () e,78. y( t) e Στη συνέχεια βρίσκουμε τις βηματικές αποκρίσεις των παρακάτω συστημάτων: t H() s 4 H () s s 5 H () s s 4 H () s 3 s 5 4 s Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 8

3.5 Δεν υπάρχει μόνιμη τιμή 3.5,78.5.5.5.5.5 3 Σταθερά χρόνου Σχήμα 4: Μεταβατική απόκριση του συστήματος με πόλο / Στις συναρτήσεις αυτές το κέρδος είναι σε όλες -, και οι πόλοι:,4,5, Στο σχήμα 5 βλέπουμε την βηματική απόκριση των παραπάνω συναρτήσεων: 7 6 5 4 3,78...3.4.5.6.7.8.9 Σχήμα 5: Αποκρίσεις συστήματος πρώτου βαθμού με πόλους θετικούς και με διαφορετικές σταθερές χρόνου Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 9

Amplitude Το συμπέρασμα που βγάζουμε για τη βηματική απόκριση των συναρτήσεων πρώτου βαθμού είναι: όταν οι πόλοι είναι θετικοί η έξοδος αυξάνει εκθετικά, και τόσο πιο γρήγορα αυξάνει όσο μεγαλώνουν οι πόλοι. Είδαμε τι γίνεται σε μια συνάρτηση πρώτου βαθμού, όταν αλλάζει ο μοναδικός της πόλος, όταν η τιμή του απομακρύνεται προς τα αρνητικά και προς τα θετικά. Ποια είναι η βηματική απόκριση όταν ο πόλος είναι μηδέν; Δηλαδή στη συνάρτηση : Hs () Η συνάρτηση αυτή μας δίνει ένα ολοκληρωτή s Στη συνέχεια δίνουμε την μαθηματική σχέση και την εικόνα της βηματικής απόκρισης του ολοκληρωτή. Όσο παράξενο και αν φαίνεται εκ πρώτης όψεως, η βηματική απόκριση του ολοκληρωτή είναι μια γραμμική συνάρτηση: y() t t 6 4 8 6 4 5 5 Σχήμα 6: Αποκρίσεις συστήματος y() t t Στη συνέχεια έχει ενδιαφέρον να δούμε πως είναι κρουστική απόκριση των συναρτήσεων πρώτου βαθμού. Ας δούμε την μαθηματική έκφραση και την εικόνα των συναρτήσεων: H() s και s t y() t e t και y() t e (σχήμα 7) H() s. Έχουμε αντίστοιχα λοιπόν: s Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 3

Amplitude Amplitude Τιμή εκκίνησης = με την απόλυτη τιμή του πόλου.5.45 Impulse Response.5,78* αρχική τιμή Impulse Response.4.35.3.5..5,6378* αρχική τιμή Τιμή εκκίνησης = με την απόλυτη τιμή του πόλου..5.5 4 6 8 Σχήμα 7: Σταθερά χρόνου.5.5.5 3 Σταθερά χρόνου Παρατηρούμε ότι η απόκριση ξεκινάει από μια τιμή, η οποία ισούται με την απόλυτη τιμή του πόλου. Η σταθερά χρόνου μας δίνει και πάλι ένα μέτρο για το ρυθμό πτώσης ή αύξησης της εξόδου. Όσο ο πόλος μεγαλώνει σε απόλυτη τιμή το σύστημα γίνεται πιο γρήγορο είτε είναι αρνητικοί οι πόλοι οπότε έχουμε αποσβενύμενη εκθετική έξοδο, είτε είναι θετικοί οπότε έχουμε αύξουσα εκθετική έξοδο. Αξιοπρόσεκτη σημείωση: Η κρουστική απόκριση ενός ολοκληρωτή ( Hs () ) είναι s μια μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Χρονική απόκριση συνάρτησης μεταφοράς με πολλούς πραγματικούς πόλους - Επικρατούντες πόλοι Στη συνέχεια θα δούμε την βηματική απόκριση σε μια συνάρτηση η οποία έχει δύο πραγματικούς πόλους ως εξής: H() s,δηλαδή έχει πόλους στο -/ (s)(4s) και στο -/4. Δίνουμε παρακάτω την μαθηματική έκφραση της βηματικής απόκρισης: t t 4 y( t) e e Στην εικόνα βλέπετε την βηματική απόκριση της συνάρτησης Η(s), αλλά και τις συναρτήσεις μια με πόλο -/ και μια με πόλο -/4. Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 3

.9.8.7.6.5.4.3.. 4 6 8 4 6 8 Σχήμα 8: Αποκρίσεις συστήματος δευτέρου βαθμού Βλέποντα τις εικόνες της βηματικής απόκρισης παρατηρούμε ότι η απόκριση της συνάρτησης με τους δύο πόλους δεν είναι ακριβώς εκθετική. Αν διατηρήσουμε όμως τον ορισμό για τη σταθερά χρόνου, βλέπουμε ότι θα μπορούσαμε να πούμε ότι περίπου είναι το άθροισμα των δύο καθυστερήσεων (4 =6). Αυτό που λέμε δεν είναι ακριβές μαθηματικό, αλλά στο περίπου. Στις επόμενες εικόνες του σχήματος 9 έχουμε τις ίδιες αποκρίσεις αλλάζονται τον ένα πόλο, έτσι διαδοχικά έχουμε συναρτήσεις με πόλους, -/ και -/, -/ και - /, διατηρώντας όμως τους πόλους αρνητικούς..9.8.7.6.5.4.3...9.8.7.6.5.4.3. Πόλοι: -/ και -/ Πόλοι: -/ και -/. 3 4 5 6 5 5 5 3 35 4 Σχήμα 9: Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 3

Από τις δύο αυτές εικόνες παρατηρούμε ότι: Όσο ο ένας εκ των δύο πόλων απομακρύνεται από τον άλλον, η απόκριση της συνάρτησης με του δύο πόλους, τείνει να γίνει σχεδόν ίδια με την απόκριση της συνάρτησης με τον πιο μεγάλο σε απόλυτη τιμή πόλο. Δηλαδή θα μπορούσαμε να πούμε ότι η επίδραση που ασκεί ο «απομακρυσμένος» πόλος εξασθενεί πολύ γρήγορα και μένει η επίδραση του πόλου που βρίσκεται πιο κοντά προς το μηδέν. Ο πόλος αυτός ονομάζεται επικρατών πόλος. Αυτό είναι ένα γενικό συμπέρασμα και στην πράξη έχει πολύ μεγάλη σημασία και εφαρμογή. 9 8 7 6 5 4 3 Πόλοι: -/ και /4 3 4 5 6 Σχήμα : Στην εικόνα του σχήματος.. βλέπουμε τις αποκρίσεις των συναρτήσεων με πόλους, -/, /4 και της συνάρτηση με τους δύο πόλους. Βλέπουμε ότι και στην περίπτωση αυτή, επικρατών είναι ο πόλος /4, διότι η συνάρτηση με του δύο πόλους είναι αύξουσα. Άρα το γενικό συμπέρασμα που μπορούμε για τους επικρατούντες πόλους είναι το εξής: Επικρατούντες πόλοι Ένα σύστημα το οποίο έχει πολλούς πραγματικούς πόλους, λέμε ότι έχει επικρατούντες πόλους όταν υπάρχουν πόλοι οι οποίοι απέχουν πολλοί μεταξύ τους (όταν ο λόγος τους είναι πάνω από ). Επικρατούντες είναι η πόλοι οι οποίοι έχουν πιο μεγάλη τιμή (αλγεβρικά) ή λέμε ότι βρίσκονται πιο δεξιά στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Σε περίπτωση που έχουμε επικρατούντες πόλους μπορούμε να προσεγγίσουμε την βηματική απόκριση του συστήματος με εκείνη των επικρατούντων πόλων. Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 33

Χρονική απόκριση συνάρτησης μεταφοράς δευτέρου βαθμού με μιγαδικούς πόλους Είμαστε έτοιμοι τώρα να δούμε ποια είναι η βηματική απόκριση μιας συνάρτησης δευτέρου βαθμού η οποία έχει μιγαδικές ρίζες. Ας πάρουμε τη συνάρτηση μεταφοράς: Hs () s.s και,,995 j η οποία έχει κέρδος και πόλους,,995 j Η μαθηματική λύση και η εικόνα της βηματικής απόκρισης δίνονται στη συνέχεια. t y( t) e (33cos(,995 t) 3,3sin(.995 t)) 33.8.6.4. Περίοδος.8.6.4. Σχήμα : 3 4 5 6 Σταθερά χρόνου Τα συμπεράσματα που μπορούμε να βγάλουμε βλέποντας την εικόνα είναι: Η βηματική απόκριση είναι μια αποσβενύμενη ταλάντωση η οποία έχει σταθερά χρόνου ως προς την απόσβεση το αντίστροφο του πραγματικού μέρους των πόλων (στην προκειμένη περίπτωση ). Η κυκλική συχνότητα δε της αποσβενύμενης ταλάντωσης δίνεται από το μιγαδικό μέρος των συζηγών πόλων (,995). Στην προκειμένη περίπτωση η περίοδος της αποσβενύμενης ταλάντωσης είναι : T 6,3 sec πράγμα το οποίο διαπιστώνουμε στο σχήμα,995 Η συχνότητα της αποσβενύμενης ταλάντωσης ονομάζεται φυσική ιδιοσυχνότητα με απόσβεση και θα την παριστάνουμε με το d. Ας δώσουμε τώρα τη συνάρτηση: Hs () s.s και πόλους η οποία έχει πάλι κέρδος,, 3,6 j και, 3,6 j, δηλαδή η νέα συνάρτηση έχει πόλους με Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 34

Amplitude Amplitude ίδιο πραγματικό μέρος, αλλά με φυσική ιδιοσυχνότητα απόσβεσης μεγαλύτερη. Στην εικόνα βλέπουμε και τις δυο συναρτήσεις έτσι ώστε να τις συγκρίνουμε:.8.6.4..8.6.4. Σχήμα : 3 4 5 6 Ας δούμε και τη εικόνα της κρουστικής απόκρισης των δύο αυτών συναρτήσεων στο σχήμα. Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή είναι δύσκολο να διακρίνουμε ότι οι δύο αποκρίσεις έχουν την ίδια σταθερά χρόνου απόσβεσης, παρόλα αυτά είναι πράγματι ίδια. Παρατηρούμε ακόμα ότι το πλάτος της πρώτης ταλάντωσης στις φθάνει περίπου στην απόλυτη τιμή του μιγαδικού μέρους των πόλων. 4 Impulse Response 3 - - -3 3 4 5 6 Σχήμα 3: Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 35

Μια γενική ανάλυση της απόκρισης των συστημάτων δευτέρου βαθμού Ας υποθέσουμε ότι τη συνάρτηση μεταφοράς δευτέρου βαθμού τη γράφουμε με μορφή τέτοια που να ταιριάζει στην παρακάτω γενική μορφή: Hs () s J s n n n Στην περίπτωση αυτή το κέρδος είναι και οι πόλοι: J J j n ( n ) Σε αυτή την ανάλυση το αν θα έχουμε πραγματικές ή μιγαδικές ρίζες εξαρτάται μόνο από την τιμή του J το οποίο ονομάζεται συντελεστής απόσβεσης, ως εξής: Όταν το J τότε το σύστημα έχει δύο μιγαδικές ρίζες και άρα η απόκριση είναι αποσβενύμενη ταλάντωση με σταθερά χρόνου απόσβεσης J n και ιδιοσυχνότητα απόσβεσης. Επίσης η d n J J αποσβενύμενη ταλάντωση έχει διαφορά φάσης: tan. Το J σύστημα στην περίπτωση αυτή λέμε ότι είναι με υποαπόσβεση (Underdumped) Όταν J τότε έχουμε δυο πραγματικούς πόλους ίδιους με τιμή n, η οποία ονομάζεται φυσική ιδιοσυχνότητα του συστήματος χωρίς απόσβεση. Η απόκριση όπως καταλαβαίνουμε είναι χωρίς ταλάντωση. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το σύστημα είναι σε κρίσιμη αποσβεση (Ctitically damped). Όταν J τότε το σύστημα έχει δύο πραγματικές ρίζες και άρα η απόσβεση δεν έχει ταλαντώσεις όπως προείμαμε. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το σύστημα είναι σε Υπεραποσβεση (Overdamped). Όταν J τότε το σύστημα έχει δύο καθαρά φανταστικές ρίζες με τιμή jn. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το σύστημα κάνει μόνιμες ταλαντώσεις με κυκλική συχνότητα την ιδιοσυχνότητα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το σύστημα είναι σε μηδενική απόσβαση (Undamped). Ας δούμε παραδείγματα συναρτήσεων μεταφοράς σε όλες τις δυνατές καταστάσεις. Ας πάρουμε την συνάρτηση μεταφοράς: H() s s s τη γράψουμε με τη γενική μορφή: αν βάλουμε n και J δηλαδή: Hs () s J s H () s s n n n..s αν προσπαθήσουμε να θα δούμε ότι αυτό γίνεται Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 36

Η συνάρτηση H () s μας δίνει ένα σύστημα σε κρίσιμη απόσβεση. Αν θέσουμε J. έχουμε H() s και είναι σε υποαπόσβεση s.s Αν θέσουμε J έχουμε H3() s και είναι σε υπεραπόσβεση s 4s Αν θέσουμε J έχουμε H4() s s και είναι σε μηδενική απόσβεση Στο Σχήμα 5 φαίνονται οι βηματικές αποκρίσεις και των τεσσάρων συναρτήσεων..8.6 Η4(s).4. Η(s).8.6 Η(s).4 Σχήμα 5:. Η3(s) 4 6 8 4 6 8 Χρονική απόκριση συστημάτων με πολλούς πόλους Η χρονική απόκριση συστημάτων με πολλούς πόλους θα πρέπει να προκύψει από τη λύση των εξισώσεων. Μπορούμε όμως χρησιμοποιώντας όσα ξέρουμε για τους επικρατούντες πόλους να κάνουμε προσεγγίσεις οι οποίες στην πράξη μας βοηθούν σημαντικά. Γενικεύουμε όσα είπαμε για τους επικρατούντες πόλους μιλώντας για το πραγματικό μέρος των πόλων, το οποίο όπως είδαμε μας δίνει την απόσβεση της εξόδου. Άρα επικρατούντες είναι οι πόλοι οι οποίοι βρίσκονται όσο πιο δεξία στο επίπεδο των μιγαδικών αριθμών. Μια συνάρτηση μεταφοράς με πολλούς πόλους έχει απόκριση η οποία ταυτίζεται με μια συνάρτηση η οποί έχει σαν πόλους μόνο τους επικρατούντες. Στη συνέχεια δίνουμε κάποια παραδείγματα. Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 37

Amplitude Amplitude. H() s ( s.s )(s ) οι πόλοι είναι :,,995 j,,,995 j και, Στην περίπτωση αυτή η έξοδος επηρεάζεται από όλους του πόλους..8.8.6.6.4.4...8.8.6.6.4.4. H(S) 3 4 5 6 7 Σχήμα 7:. H(S) και επιμέρους συναρτήσεις 3 4 5 6 7. Hs () ( s.s )( s ) οι πόλοι είναι :,,995 j,,,995 j και, Στην περίπτωση αυτή η έξοδος είναι σχεδόν η ίδια με τη συνάρτηση που έχει επικρατούντα πόλο στο,..8.8.6.6.4.4...8.8.6.6.4.4. H(S). H(S) και επιμέρους συναρτήσεις 3 4 5 6 3 4 5 6 Σχήμα 8: 3. H() s ( s.s )(,s ) οι πόλοι είναι :,,995 j,,,995 j και, Στην περίπτωση αυτή η έξοδος είναι σχεδόν η ίδια με τη συνάρτηση που έχει επικρατούντα πόλο στο, Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 38

Amplitude Amplitude.8.8.6.6.4.4...8.8.6.6.4.4. H(S). H(S) και επιμέρους συναρτήσεις 5 5 5 3 5 5 5 3 Σχήμα 9: Παράσταση πόλων και μηδενικών στο μηγαδικό επίπεδο Πάρα πολύ εύχρηστη εικόνα είναι να παραστήσουμε τα μηδενικά και τους πόλους ενός συστήματος στο επίπεδο των μιγαδικών αριθμών. Στο σχήμα φαίνεται ο τρόπος με τον οποίο παριστάνουμε τους πόλους και τα μηδενικά ενός συστήματος στο μηγαδικό επίπεδο. Im Αξονας φανταστικών αριθμών Σύμβολα μηδενικών Σύμβολα πόλων Αξονας πραγματικών αριθμών Re Σχήμα 3: Στο Σχήμα 3 Φαίνεται συνοπτικά ο τρόπος με τον οποίο οι πόλοι καθορίζουν τη μεταβατική κατάσταση του συστήματος. Όπως γίνεται κατανοητό όταν το πραγματικό μέρος είναι θετικός αριθμός η μεταβατική κατάσταση είναι αύξουσα. Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 39

Amplitude Amplitude.9.8.7-5 - -5-9 8 7 5 5.6.5 6 5.4 4.3.. 3 3 4 5 6.5.5.5-5 - -5-5 5 Η αλλαγή στη μεταβατική κατάσταση Όταν το σύστημα έχει έναν πόλο πραγματικό αριθμό Σχήμα 3 : Πόλοι και μεταβατική απόκριση (πραγματικοί πόλοι) Όταν το σύστημα έχει περισσότερους από ένα πόλους η έξοδος επηρεάζεται σύνθετα από όλους τους πόλους. Αν ένας μόνο πόλος είναι θετικός είναι φανερό ότι θα οδηγήσει το σύστημα στην αστάθεια. Όταν οι πόλοι είναι μιγαδικοί τότε η απόκριση είναι αποσβενύμενη η αύξουσα ταλάντωση. Το πραγματικό μέρος καθορίζει την απόσβεση (σταθερά χρόνου) ενώ το φανταστικό μέρος την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης. Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 4

Amplitude 5 - - -5.8.6.4 Η αλλαγή στη μεταβατική κατάσταση Όταν το σύστημα έχει ένα ζεύγος πόλων μιγαδικών και αλλάζει το μιγαδικό μέρος Ίδια απόσβεση Η οποία δίδεται από το πραγματικό μέρος..8.6.4...4.6.8...4.6.8. Διαφορετική συχνότητα η οποία παριστάνεται από το μιγαδικό μέρος Σχήμα 3 : Πόλοι και μεταβατική απόκριση (μιγαδικοί πόλοι) Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 4

H επίδραση των μηδενικών στο σύστημα Μέχρι στιγμής είδαμε πως οι πόλοι επηρεάζουν την χρονική απόκριση ενός συστήματος. Σε όλες τις συναρτήσεις δεν υπήρχαν καθόλου μηδενικά. Πως επηρεάζουν άραγε τα μηδενικά την χρονική απόκριση ενός συστήματος; Κατ αρχή ας δούμε μια συνάρτηση μεταφοράς η οποία έχει μόνο μηδενικά, έστω δηλαδή ότι έχουμε μια συνάρτηση μεταφοράς ως εξής: H( s) (5s ). Ας δούμε ποια είναι η «διαφορική» εξίσωση που προέρχεται από αυτή τη συνάρτηση μεταφοράς: Ys () H ( s) (5s ) Y ( s) (5s ) X ( s) αν πάρουμε τον Αντίστροφο X() s Μετασχηματισμό Laplace έχουμε: ' y( t) 5 x ( t) x( t) αν το γράψουμε διαφορετικά dx() t έχουμε: y( t) 5 x( t) dt Παρατηρούμε δηλαδή ότι δεν έχουμε διαφορική εξίσωση, αλλά την είσοδο και παραγώγιση της εισόδου, επομένως σε μια συνάρτηση μεταφοράς θα πρέπει ο βαθμός του παρανομαστή να είναι μεγαλύτερος από αυτόν του αριθμητή ή άλλως ο αριθμός των πόλων να είναι μεγαλύτερος εκείνου των μηδενικών, διαφορετικά δεν έχουμε συνάρτηση μεταφοράς. Οποιαδήποτε συνάρτηση μεταφοράς και αν πάρουμε θα δούμε ότι τα μηδενικά εμφανίζονται στο δεύτερο μέλος της διαφορικής εξίσωσης. Ας δούμε ένα παράδειγμα: s 3s Y ( s) 4 ( ) ( )( 3 ) ( )( 3 ) 4 H s Y s s s s X s s s s 3s s X ( s) Παίρνουμε τον Αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και έχουμε: (4) () () () () y t y t y t y t x t x t x t ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) () () (3) Και αρχικές συνθήκες : y(), y (), y (), y () Παρατηρούμε δηλαδή ότι η διαφορική εξίσωση αντιστοιχεί μόνο στον παρανομαστή της συνάρτηση μεταφοράς, ενώ ο αριθμητής εμφανίζεται στο δεύτερο μέλος. Για αυτό το λόγο τα μηδενικά δεν επηρεάζουν ριζικά την χρονική απόκριση των συστημάτων, δηλαδή το αν η έξοδος θα είναι αύξουσα, η συχνότητα και ο χρόνος απόσβεσης καθορίζονται από τους πόλους και παραμένουν τα ίδια με την ύπαρξη μηδενικών, εκείνο που επηρεάζεται είναι η μεταβατική κατάσταση κυρίως στην αρχή της. Για το λόγο αυτό τα μηδενικά παίζουν σημαντικό ρόλο κατά την διαδικασία αντιστάθμισης ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου. Στη συνέχεια θα δούμε μερικά παραδείγματα για το πώς τα μηδενικά επηρεάζουν την μεταβατική κατάσταση ενός συστήματος. Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 4

Διασύνδεση συστημάτων Το στάδιο της ανάλυσης ενός συστήματος, η προσπάθεια δηλαδή να δημιουργήσουμε μία συνάρτηση μεταφοράς που να περιγράφει τη λειτουργία του συστήματος, είναι πάρα πολύ δύσκολη υπόθεση. Άλλωστε δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι η διαδικασία αυτή είναι μια προσπάθεια μεγάλων προσεγγίσεων, αφού η φύση είναι πάρα πολύ πολύπλοκη για να περιγραφεί από τις απλές γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Για να διευκολυνθούμε σε αυτή την διαδικασία συνήθως χωρίζουμε το σύστημα που μελετάμε σε επιμέρους ολοκληρωμένες ενότητες και προσπαθούμε από τη φυσική τους εικόνα, να εξάγουμε τις συναρτήσεις μεταφοράς του κάθε τμήματος. Για παράδειγμα αν έχουμε να εξάγουμε τις συναρτήσεις μεταφοράς σε έναν ηλεκτρικό κινητήρα, μπορούμε να μελετήσουμε πρώτα το ηλεκτρικό του τμήμα από το οποίο θα καταλήξουμε σε κάποιες συναρτήσεις μεταφοράς, και στη συνέχεια να μελετήσουμε το μηχανολογικό του τμήμα. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας προκύπτουν επιμέρους συστήματα τα οποία στο τέλος φαίνονται συνδεδεμένα μεταξύ τους. Από τη συνδεσμολογία αυτή μπορούμε να εξάγουμε την συνάρτηση μεταφοράς του συνολικού συστήματος. Η μεθοδολογία της εξαγωγής της συνολικής συνάρτησης μεταφοράς από μια συνδεσμολογία συστημάτων ονομάζεται απλοποίηση συστημάτων. Τα σχέδια μιας συνδεσμολογίας συστημάτων στηρίζονται σε κάποιες βασικές σχεδιαστικές αρχές και σε δύο βασικά σύμβολα τα οποία παρατίθενται στα σχήματα. και.3 xt () xt () xt () xt () ΚΟΜΒΟΣ : το σήμα xt () το οποίο εισέρχεται στον κόμβο διακλαδίζεται ακριβώς το ίδιο σε διάφορες κατευθύνσεις Σχήμα 33 : Κόμβος Προσοχή: Στον κόμβο ενός σχεδίου διασύνδεσης συστημάτων έχουμε διαμοιρασμό μόνο του «σήματος» της πληροφορίας. Δεν πρέπει να συγχέεται ο κόμβος αυτός με τον κόμβο ενός ηλεκτρολογικού κυκλώματος, όπου έχουμε διαμοιρασμό ρευμάτων, Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 43

x() t yt () y( t) z( t) x( t) zt () ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ : Το σύμβολο αυτό δείχνει πρόσθεση σημάτων, έχουμε πολλά εισερχόμενα σήματα, αλλά πάντα ένα μόνο εξερχόμενο, το οποίο μας δίνει το αλγεβρικό άθροισμα. Προσοχή τα πρόσημα σημειώνονται στα εισερχόμενα σήματα. Σχήμα 34 : Αθροιστικό σημείο Στο σχήμα.4 δίνουμε το παράδειγμα μιας συνδεσμολογίας συστημάτων H () s H () s 3 H () s 5 H () s H () s 4 H () s 6 Σχήμα 35 : Παράδειγμα συνδεσμολογίας συστημάτων Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 44

Μεθοδολογία απλοποίησης συστημάτων Η μεθοδολογία απλοποίησης των συστημάτων στηρίζεται σε κάποιες βασικές αρχές και 3 απλές, βασικές συνδεσμολογίες για τις οποίες είναι εύκολο να υπολογίσουμε την ολική συνάρτηση μεταφοράς, την οποία από τώρα και στο εξής θα τη θεωρούμε δεδομένη. Οι 3 βασικές συνδεσμολογίες και οι ολικές συναρτήσεις μεταφοράς παρουσιάζονται στη συνέχεια : Συστήματα στη σειρά Λέμε ότι κάποια συστήματα είναι στη σειρά όταν η έξοδος του ενός γίνεται είσοδος του άλλου. Στην περίπτωση αυτή η Ολική συνάρτηση μεταφοράς είναι το γινόμενο όλων των επιμέρους συστημάτων. Είσοδος H () s H () s H () s 3 Έξοδος H ( s) H ( s). H ( s). H ( s) 3 Σχήμα 36 : Συστήματα στη σειρά Προσοχή: Δεν υπάρχει περιορισμός πόσα συστήματα στη σειρά θα έχουμε Είναι πολύ σημαντικό να τονίζουμε κάθε φορά ότι για να ισχύσουν οι τύποι υπολογισμού της ολικής συνάρτησης μεταφοράς σε ένα πρακτικό σύστημα, πρέπει όταν τα συστήματα συνδέονται μεταξύ τους, να μη αλλάζει η συνάρτηση μεταφοράς την οποία έχουν όταν είναι μεμονωμένα. Αυτό είναι ένα πάρα πολύ σημαντικό θέμα στην πράξη, διότι κάθε φορά που δυο συστήματα συνδέονται μεταξύ τους η συνάρτηση μεταφοράς τους, αλλάζει. Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 45

Λέμε σε αυτή την περίπτωση ότι το επόμενο σύστημα «φορτίζει» το προηγούμενο. Για να ισχύουν λοιπόν οι κανόνες συνδεσμολογίας συστημάτων θα πρέπει το ένα σύστημα να μη φορτίζει το άλλο, όπως λέμε στην τεχνική ορολογία τα συστήματα να είναι απομονωμένα μεταξύ τους. Αυτό στην πράξη ισχύει απόλυτα σε σπάνιες περιπτώσεις και έτσι και σε αυτή την περίπτωση προσπαθούμε να έχουμε μια καλή προσέγγιση Για να πούμε ότι κάποια συστήματα είναι στη σειρά δε θα πρέπει στις ενδιάμεσες συνδέσεις από την ολική είσοδο στην ολική έξοδο να υπάρχει ούτε κόμβος ούτε αθροιστικό σημείο Συστήματα παράλληλα Λέμε ότι κάποια συστήματα είναι συνδεδεμένα παράλληλα όταν έχουμε την ίδια είσοδο σε όλα τα συστήματα (κόμβος στην είσοδο) και οι έξοδοι οδηγούνται σε ένα αθροιστικό σημείο. Είσοδος H () s Έξοδος H () s H () s 3 H ( s) H( s) H( s) H3( s) Σχήμα 37 : Συστήματα παράλληλα Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 46

Προσοχή: Τα πρόσημα στον τύπο πρέπει να σημειώνονται δίπλα στο αθροιστικό σημείο Όπως και στη σύνδεση σειρά δεν υπάρχει περιορισμός πόσα συστήματα θα έχουμε συνδεδεμένα παράλληλα. Ισχύουν και εδώ η ίδιες παρατηρήσεις σχετικά με την απομόνωση των συστημάτων. Για να ισχύει στην πράξη ο τύπος της ολικής συνάρτησης της παράλληλης συνδεσμολογίας πρέπει τα συστήματα να είναι «απομονωμένα» Όπως και στην συνδεσμολογία σειρά για να είναι παράλληλα τα συστήματα μεταξύ ολικής εισόδου και ολικής εξόδου δεν πρέπει να υπάρχει άλλος κόμβος και άλλο αθροιστικό σημείο. Συστήματα συνδεδεμένα σε θετική και αρνητική ανάδραση (feedback) Η συνδεσμολογία της ανάδρασης δεν είναι απλά μία ακόμα συνδεσμολογία. Τα συστήματα αρνητικής ανάδρασης αποτελούν τη βάση των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου. Η ανάδραση είναι μια από τις σημαντικότερες λειτουργίες της φύσης την οποία ο άνθρωπος ανακάλυψε μόλις τον 9 ο αιώνα και την χρησιμοποίησε για να χτίσει πάνω της τους αυτοματισμούς. Η ανάδραση θα μας απασχολήσεις εκτεταμένα σε επόμενες εργαστηριακές ασκήσεις. Προς το παρών βλέπουμε την ανάδραση σαν μια ακόμα βασική συνδεσμολογία συστημάτων. Θετική ανάδραση έχουμε όταν τα πρόσημα στο αθροιστικό σημείο είναι ίδια (ομόσημα H () s H () s H () s H () s H () s H () s H () s ( ). ( s) H () s H( s). H ( s) H s H Σχήμα 38 : Συνδεσμολογία θετικής ανάδρασης Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 47

Αρνητική ανάδραση έχουμε όταν τα πρόσημα στο αθροιστικό σημείο είναι διαφορετικά (ετερόσημα) H () s H () s H () s H () s H () s H () s H () s ( ). ( s) H () s H( s). H ( s) H s H Σχήμα 39 : Συνδεσμολογία αρνητικής ανάδρασης Προσοχή: Στην ανάδραση έχουμε επιστροφή σήματος από την έξοδο στην είσοδο όπου το σήμα προστίθεται (θετική ανάδραση) ή αφαιρείται (αρνητική ανάδραση). Δηλαδή έχουμε ένα κύκλο του σήματος από την είσοδο στην έξοδο και πάλι στην είσοδο, γι αυτό το λόγο τα συστήματα ανάδρασης ονομάζονται και συστήματα κλειστού βρόχου. Δεν πρέπει να γίνεται μπέρδεμα με την παράλληλη συνδεσμολογία όπου το αθροιστικό σημείο είναι στην έξοδο και ο κόμβος στην έξοδο, ενώ στην ανάδραση είναι ανάποδα. Στη συνδεσμολογία της ανάδρασης λαμβάνουν μέρος μόνο συστήματα σε αντίθεση με τις άλλες δύο συνδεσμολογίες όπου μπορούμε να έχουμε απεριόριστο αριθμό συστημάτων. Ισχύουν και εδώ η ίδιες παρατηρήσεις σχετικά με την απομόνωση των συστημάτων. Για να ισχύει στην πράξη ο τύπος της ολικής συνάρτησης της παράλληλης συνδεσμολογίας πρέπει τα συστήματα να είναι «απομονωμένα» Προσέξτε το πρόσημο του παρανομαστή στον τύπο της ανάδρασης. Στη θετική ανάδραση είναι μείον και στην αρνητική σύν. Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 48

Κανόνες για τους κόμβους και τα αθροιστικά σημεία Όταν έχουμε κόμβους δίπλα δίπλα τότε μπορούμε να τους τοποθετήσουμε στο ίδιο σημείο, η να τους αλλάξουμε θέση. Μπορούμε ακόμα να αναλύσουμε έναν πολλαπλό κόμβο σε μικρότερους επιμέρους. Παραδείγματα δίνονται στο σχήμα.8 Ισοδύναμα σχήματα με κόμβους Σχήμα 4 : Ισοδύναμες συνδεσμολογίες με κόμβους Τα αθροιστικά σημεία όταν είναι δίπλα δίπλα μπορούν να αλλάζουν θέση η να έρχονται το ένα πάνω στο άλλο αρκεί οι συνολικές είσοδοι να είναι πάντα οι ίδιες και η έξοδος να βγάζει πάντα το ίδιο άθροισμα. ` yt () yt () xt () zt () xt () yt () zt () zt () xt () w( t) x( t) y( t) z( t) w( t) x( t) y( t) z( t) w( t) x( t) y( t) z( t) Ισοδύναμα σχήματα με αθροιστικά σημεία Σχήμα 4: Ισοδύναμες συνδεσμολογίες με αθροιστικά σημεία Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 49

Διαδικασία απλοποίησης συστημάτων. Είπαμε ότι η διαδικασία υπολογισμού της ολικής συνάρτησης μεταφοράς μιας συνδεσμολογίας συστημάτων ονομάζεται απλοποίηση συστημάτων. Για να απλοποιήσουμε μια συνδεσμολογία στηριζόμαστε στις τρεις βασικές συνδεσμολογίες που περιγράψαμε, δηλαδή στο συνολικό σύστημα προσπαθούμε να εντοπίσουμε υποσυστήματα συνδεδεμένα στη σειρά, παράλληλα η σε ανάδραση τα οποία αντικαθιστούμε με ένα σύστημα που να έχει τη συνολική συνάρτηση μεταφοράς. Με τον τρόπο αυτό λαμβάνουμε μια πιο απλοποιημένη συνδεσμολογία στην οποία επαναλαμβάνουμε τα ίδια μέχρι να καταλήξουμε σε ένα και μοναδικό σύστημα. Ας δούμε βήμα προς βήμα πως απλοποιούμε την παραπάνω συνδεσμολογία. Παράδειγμα απλοποίησης Στη συνδεσμολογία του σχήματος εντοπίζουμε υποσυστήματα τα οποία αποτελούν συγκεκριμένες συνδεσμολογίες, όπως φαίνεται στο σχήμα. Παρατήρηση: όταν έχουμε σύνδεση χωρίς να υπάρχει σύστημα, εννοείται ότι υπάρχει σύστηνα νε συνάρτηση μεταφοράς τη μονάδα Θετική μοναδιαία ανάδραση Θετική ανάδραση H(s) H3(s) H5(s) -- H(s) H4(s) -- H6(s) Σχήμα 4: Απλοποίηση διαγραμμάτων Παράλληλο Στις συνδεσμολογίες των υποσυστημάτων που εντοπίσαμε και σημειώνουμε στο σχήμα μέσα σε κύκλους, υπολογίζουμε τις συναρτήσεις των νέων συστημάτων με τα οποία τα αντικαθιστούμε και καταλήγουμε στο επόμενο σχήμα: F() s H () s H ( s) H ( s) έχουμε θετικά ανάδραση. Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 5

F () s H () s H ( s) 5 έχουμε θετική ανάδραση. 3 4 6 5 F ( s) H ( s) H (6) έχουμε παράλληλη σύνδεση. F(s) H3(s) F(s) -- Σχήμα 43: Απλοποίηση διαγραμμάτων F3(s) Στο απλοποιημένο σύστημα βλέπουμε μια παράλληλη σύνδεση το F(s) και το F3(s) και στη συνέχεια όλα είναι στη σειρά. Άρα η τελική συνάρτηση μεταφοράς είναι: H ( s) F ( s) H ( s)( F ( s) F ( s)) 3 3 κάνοντας τις αντικαταστάσεις έχουμε τελικά: H () s H () s H ( s) F ( s) H ( s)( F ( s) F ( s)) ( ) H ( s)[( ) ( H ( s) H ( s))] 5 3 3 3 4 6 H( s) H ( s) H5( s) Δεν συνεχίζουμε τις πράξεις, απλά θέλουμε να δείξουμε πόσο επίπονες είναι. Και να σκεφτείτε ότι η κάθε συνάρτηση μεταφοράς πρέπει στο τέλος να αντικατασταθεί, Θα δούμε βέβαια στη συνέχεια πως θα χρησιμοποιούμε τα σύγχρονα εργαλεία για να επιλύουμε σήμερα τα προβλήματα αυτά. Το παράδειγμα απλοποίησης που μόλις επιλύσαμε είναι πάρα πολύ απλό και αυτό οφείλεται στο ότι μπορούσαμε στο κάθε βήμα να εντοπίσουμε επιμέρους κάποια από τις γνωστές συνδεσμολογίες. Τι γίνεται όταν δεν μπορούμε να εντοπίσουμε καμία από τις γνωστές συνδεσμολογίες. Όπως είναι το παράδειγμα που φαίνεται στο σχήμα. Στη συνδεσμολογία αυτή παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να εντοπίσουμε καμία επιμέρους συνδεσμολογία σειράς, παράλληλης ή ανάδρασης. Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να μετακινήσουμε σύμφωνα με καθορισμένους κανόνες κάποιον κόμβο ή κάποιο αθροιστικό σημείο έτσι ώστε να δημιουργήσουμε κάποια συνδεσμολογία και να ξεκινήσουμε. Μερικοί από αυτούς τους κανόνεςδίνονται παρακάτω στο σχήμα-πινακα. Παράδειγμα : θα εφαρμόσουμε τις εξής μετακινήσεις. Θα μεταφέρουμε τον κόμβο Α στην έξοδο του συστήματος Η7(s) και το αθροιστικό σημείο ΑΣ από την είσοδο στην έξοδο του H(s). Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 5

H3(s) -- AΣ -- H(s) H(s) H5(s) H7(s) κόμβος A H4(s) H6(s) Σχήμα 44: Πίνακας μεταφοράς κόμβων και αθροιστικών σημείων H H H H H /H H H /H H H H Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 5

Μετά τη μετακίνηση των σημείων αυτών προκύπτει το παρακάτω σχήμα. στο οποίο μπορούμε πλέον να βρούμε σειρές και να πάμε στο επόμενο απλοποιημένο σχήμα. H3(s) /H7(s) -- H(s) H(s) H5(s) H7(s) -- H(s) H4(s) H6(s) Σχήμα 45: Απλοποίηση διαγραμμάτων Έτσι πάμε στο επόμενο απλοποιημένο σχήμα, όπου βλέπουμε τις δύο αναδράσεις και έχουμε: H3(s)/H7(s) -- H(s) H(s) H5(s)H7(s) -- H(s)H4(s) H6(s) Σχήμα 46: Απλοποίηση διαγραμμάτων H() s F () s H ( s) H ( s) H ( s) F () s 4 H ( s) H ( s) ( ) ( ) ( ) 5 7 H 5 s H 7 s H 6 s η μία θετική ανάδραση και η άλλη Και έτσι οδηγούμαστε στο πιο κάτω απλοποιημένο σύστημα Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 53

H3(s)/H7(s) -- H(s) F(s) F(s) Σχήμα 47: Απλοποίηση διαγραμμάτων και τελικά έχουμε μια συνδεσμολογία αρνητικής ανάδρασης η οποία είναι στη σειρά με το H () s : H s H s F ( s) F ( s) ( ) ( )( ) F ( s) F ( s) H3( s) H () s μεταφοράς απαιτούνται πολλές πράξεις ρουτίνας! Παράδειγμα 3 7 για να βρούμε την τελική συνάρτηση ΑΣ H(s) H(s) -- ΑΣ -- H3(s) Σχήμα 48: Απλοποίηση διαγραμμάτων Στο σύστημα του παραδείγματος 3 τα αθροιστικά σημεία ΑΣ και ΑΣ επειδή είναι δίπλα δίπλα μπορούν να τοποθετηθούν το ένα πάνω στο άλλο οπότε έχουμε το σύστημα του σχήματος. Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 54

-- Κόμβος Β H(s) H(s) -- Κόμβος Α H3(s) Σχήμα 48: Απλοποίηση διαγραμμάτων Στο σύστημα αυτό δεν υπάρχει καμία συνδεσμολογία που να μπορούμε να απλοποιήσουμε και για αυτό θα μετακινήσουμε τον κόμβο Α από την έξοδο στην είσοδο του Η(s). Επίσης θα μετακινήσουμε τον κόμβο Β από την είσοδο του Η(s) στην έξοδο. Και έτσι θα έχουμε: /H(s) -- H(s) H(s) -- H3(s) H(s) Σχήμα 49: Απλοποίηση διαγραμμάτων Ήδη στο σύστημα που προέκυψε έχουμε σημειώσει την σειρά των Η3 και Η και την παράλληλη σύνδεση των /Η, Η και μονάδα. Τέλος μένει μια αρνητική ανάδραση του Η με τη σειρά των Η και Η, Άρα έχουμε: H () s H s H s ( ) ( )( ( )) H( s) H3( s) H ( s) H( s) Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 55

Τι συμβαίνει στην πράξη όταν συνδέουμε συστήματα στη σειρά, παράλληλα, με θετική ανάδραση και αρνητική ανάδραση. Είναι πολύ σημαντικό στην πράξη, όλα αυτά που μας δίνουν τα μαθηματικά και οι θεωρίες να βλέπουμε τι σημαίνουν και πως τα αντιλαμβανόμαστε. Στην παράγραφο αυτή θα σχολιάσουμε ακριβώς τι γίνεται με την χρονική απόκριση όταν διασύνδεουμε συστήματα, πάντα με την παραδοχή ότι το ένα δε φορτίζει το άλλο. Αυτό που μας ενδιαφέρει κυρίως είναι τι γίνεται με την ταχύτητα της απόκρισης και με το αν έχει ταλαντώσεις η μεταβατική κατάσταση, το θέμα της τελικής τιμής της απόκρισης της περισσότερε φορές δε μας ενδιαφέρει. Αν το σκεφτούμε με την απλή διαίσθηση θα λέγαμε ότι όταν τα συστήματα συνδέονται στη σειρά η καθυστέρηση του κάθε συστήματος αυξάνει την καθυστέρηση της τελικής απόκρισης. Αντίθετα στα συστήματα στη σειρά φαίνεται ότι η καθυστέρηση της τελικής θα είναι περίπου ίδια με την καθυστέρηση του χειρότερου συστήματος που συμμετέχει στην παράλληλη σύνδεση. Η διαίσθησή όμως δεν μας βοηθάει καθόλου όταν έχουμε διασύνδεση ανάδρασης, αρνητική ή θετική. Ας δούμε λοιπόν πρακτικά σε δύο παραδείγματα τι γίνεται όταν συνδέσουμε μεταξύ τους δύο συστήματα. Βέβαια θα επιλέξουμε συστήματα των οποίων οι έξοδοι θα έχουν σταθερή τελική τιμή (ευσταθή συστήματα όπως θα δούμε σε επόμενα κεφάλαια) Παράδειγμα Έχουμε δύο συστήματα με συναρτήσεις μεταφοράς H() s s και H() s στη συνέχεια συνδέουμε τα συστήματα όπως φαίνεται στα σχήματα 4s 5 και 5, και παίρνουμε τις αντίστοιχες εικόνες, οι αποκρίσεις είναι σχεδιασμένες σε κλίμακες χρόνου ίδιες, έτσι που άσχετα με τις τιμές της εξόδου, οι χρόνοι να είναι συγκρίσιμοι. Παρατηρώντας με τη σειρά τις εικόνες παρατηρούμε: Στην συνδεσμολογία σειράς πράγματι η τελική απόκριση του συστήματος Hολ έχει καθυστέρηση περίπου το άθροισμα των καθυστερήσεων του κάθε επιμέρους συστήματος. Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Γιώργος Σούλτης 56