ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ενότητα #6: Σχεδιασμός Ελεγκτών με Χρήση Αναλυτικής Μεθόδου Υπολογισμού Παραμέτρων Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί Ενότητας Η έννοια της σχεδίασης ελεγκτή για επίτευξη ποσοτικώνποιοτικών προδιαγραφών απόκρισης. Εκτίμηση δυνατοτήτων αναλυτικής μεθόδου υπολογισμού παραμέτρων ελεγκτή Σύγκριση με μέθοδο σχεδιασμού ελεγκτή με χρήση Τόπου Ριζών 4
Περιεχόμενα Ενότητας Σχεδιασμός ελεγκτών Αναλυτική μέθοδος υπολογισμού παραμέτρων Αρχικό στάδιο σχεδιασμού: Προδιαγραφές απόκρισης Επόμενο στάδιο σχεδιασμού: Επιθυμητές ιδιότητες κλειστού βρόχου Τελικό στάδιο σχεδιασμού: Υπολογισμός παραμέτρων ελεγκτή Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2 5
Σχεδιασμός Ελεγκτών Αναλυτική Μέθοδος Υπολογισμού Παραμέτρων 6
Σχεδιασμός Ελεγκτών: Αναλυτική Μέθοδος Υπολογισμού Παραμέτρων - 1 Ο ελεγκτής καθορίζει όλα τα χαρακτηριστικά του συστήματος κλειστού βρόχου στο οποίο χρησιμοποιείται. Σχεδιασμός ελεγκτή: 7
Σχεδιασμός Ελεγκτών: Αναλυτική Μέθοδος Υπολογισμού Παραμέτρων - 2 Ο ελεγκτής καθορίζει όλα τα χαρακτηριστικά του συστήματος κλειστού βρόχου στο οποίο χρησιμοποιείται. Σχεδιασμός ελεγκτή: Με τόπο ριζών οπότε από τη γνώση του ανοικτού συστήματος εξάγονται συμπεράσματα για τον υπό κατασκευή κλειστό βρόχο χωρίς εκτεταμένη χρήση της συνάρτησης μεταφοράς αυτού. 8
Σχεδιασμός Ελεγκτών: Αναλυτική Μέθοδος Υπολογισμού Παραμέτρων - 3 Ο ελεγκτής καθορίζει όλα τα χαρακτηριστικά του συστήματος κλειστού βρόχου στο οποίο χρησιμοποιείται. Σχεδιασμός ελεγκτή: Με τόπο ριζών οπότε από τη γνώση του ανοικτού συστήματος εξάγονται συμπεράσματα για τον υπό κατασκευή κλειστό βρόχο χωρίς εκτεταμένη χρήση της συνάρτησης μεταφοράς αυτού. Με αναλυτική μέθοδο υπολογισμού παραμέτρων οπότε από την επιθυμητή συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου συνάγονται οι παράμετροι του ελεγκτή με υπολογιστικό τρόπο. 9
Σχεδιασμός Ελεγκτών Αρχικό Στάδιο Σχεδιασμού: Προδιαγραφές Απόκρισης 10
Αρχικό Στάδιο Σχεδιασμού Προδιαγραφές Απόκρισης - 1 Αρχικό στάδιο σχεδιασμού: Μετάφραση των προδιαγραφών ελέγχου με τον Πίνακα 1 (βλ. επόμενη σελίδα): σε χαρακτηριστικά πόλων κλειστού βρόχου ή ισοδύναμα σε επιθυμητή συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου που πρέπει να επιτυγχάνονται στην ΠΡΑΞΗ. 11
Αρχικό Στάδιο Σχεδιασμού Προδιαγραφές Απόκρισης - 2 Πίνακας 1: Προδιαγραφές απόκρισης και σχέση με συντελεστή απόσβεσης ζ και φυσική συχνότητα ω n Προδιαγραφή υπερύψωση v (ΟΧΙ σε %) 2 χρόνος αποκατάστασης t s χρόνος ανόδου t r μόνιμο σφάλμα Ε v t s t r ζπ 1 ζ e και 4 ζ ω n 1+ 2.5 ζ ω n 1 Ε 1+ Κ Σχέση με ζ και ω n ζ ln ln( v) 2 2 ( v) + π για ±2% της τελικής τιμής απόκρισης ή 1 Ε, Κ αναλόγως του τύπου του συστήματος του κύριου κλάδου του κλειστού βρόχου & Κ το στατικό του κέρδος Ισοδύναμοι επικρατούντες πόλοι κλειστού βρόχου: s d ζ ωn ± j ωn 1 ζ 2 12
Αρχικό Στάδιο Σχεδιασμού Προδιαγραφές Απόκρισης - 3 Από τις προδιαγραφές ελέγχου οι επιθυμητοί πόλοι s d και μηδενιστές z d (Πίνακας 1) μεταφράζονται πρακτικά στην επιθυμητή συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου: Y(s) R(s) (s - s d1 (s - z ) (s - s d2 d1 ) (s - z d2 ) (s - s ) (s - z di ) (s - s dm * di ) ) (s - z dn ) ή ισοδύναμα σε σύστημα με χαρακτηριστικό πολυώνυμο: * (s - s ) (s - s ) (s - s di ) (s - s di ) (s - z dn ) d1 d2 0 13
Σχεδιασμός Ελεγκτών Επόμενο Στάδιο Σχεδιασμού: Επιθυμητές Ιδιότητες Κλειστού Βρόχου 14
Επόμενο Στάδιο Σχεδιασμού: Επιθυμητές Ιδιότητες Κλειστού Βρόχου - 1 Επόμενο στάδιο σχεδιασμού: Με βάση τη δομή του υπό δοκιμή ελεγκτή, υπολογίζονται: Τα χαρακτηριστικά των πόλων κλειστού βρόχου που προκύπτουν, ή (ισοδύναμα) η προκύπτουσα συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου σε παραμετρική μορφή στη ΘΕΩΡΙΑ. 15
Επόμενο Στάδιο Σχεδιασμού: Επιθυμητές Ιδιότητες Κλειστού Βρόχου - 2 Επόμενο στάδιο σχεδιασμού: Με βάση τη δομή του υπό δοκιμή ελεγκτή, υπολογίζονται: Τα χαρακτηριστικά των πόλων κλειστού βρόχου που προκύπτουν, ή (ισοδύναμα) η προκύπτουσα συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου σε παραμετρική μορφή στη ΘΕΩΡΙΑ. 16
Επόμενο Στάδιο Σχεδιασμού: Επιθυμητές Ιδιότητες Κλειστού Βρόχου - 3 Έτσι αν το ανοικτό σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς G(s)P(s)/Q(s), και ο αντίστοιχος «υπό δοκιμή» ελεγκτής έχει συνάρτηση μεταφοράς Gc(s)Pc(s)/Qc(s), τότε, Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου θεωρητικά είναι: Y(s) R(s) C(s) G(s) 1+ C(s) G(s) Pc(s)/Qc(s) P(s)/Q(s) 1+ Pc(s)/Qc(s) P(s)/Q(s) Pc(s) P(s) Qc(s) Q(s) + Pc(s) P(s) 17
Σχεδιασμός Ελεγκτών Τελικό Στάδιο Σχεδιασμού: Υπολογισμός Παραμέτρων Ελεγκτή 18
Τελικό Στάδιο Σχεδιασμού: Υπολογισμός Παραμέτρων Ελεγκτή - 1 Αρκεί, λοιπόν, η θεωρητική συνάρτηση να είναι ίδια (σε βαθμούς πολυωνύμων και συντελεστές δυνάμεων αυτών) με την συνάρτηση μεταφοράς στην πράξη: Pc(s) P(s) Qc(s) Q(s) + Pc(s) P(s) ~ (s - s d1 (s - z ) (s - s d2 d1 ) (s - z d2 ) (s - s ) (s - z di ) (s - s dm * di ) ) (s - z dn ) 19
Τελικό Στάδιο Σχεδιασμού: Υπολογισμός Παραμέτρων Ελεγκτή - 2 Αρκεί, λοιπόν, η θεωρητική συνάρτηση να είναι ίδια (σε βαθμούς πολυωνύμων και συντελεστές δυνάμεων αυτών) με την συνάρτηση μεταφοράς στην πράξη: Pc(s) P(s) Qc(s) Q(s) + Pc(s) P(s) ~ (s - s d1 (s - z ) (s - s d2 d1 ) (s - z d2 ) (s - s ) (s - z di ) (s - s dm * di ) ) (s - z dn ) οπότε και θα έχουμε (m+n+1) εξισώσεις με αντίστοιχο αριθμό αγνώστων (οι συντελεστές των δυνάμεων των πολυωνύμων του ελεγκτή μαζί με όποιες άλλες βοηθητικές παραμέτρους έχουμε χρησιμοποιήσει). 20
Τελικό Στάδιο Σχεδιασμού: Υπολογισμός Παραμέτρων Ελεγκτή - 3 Αρκεί, λοιπόν, η θεωρητική συνάρτηση να είναι ίδια (σε βαθμούς πολυωνύμων και συντελεστές δυνάμεων αυτών) με την συνάρτηση μεταφοράς στην πράξη: Pc(s) P(s) Qc(s) Q(s) + Pc(s) P(s) ~ (s - s d1 (s - z ) (s - s d2 d1 ) (s - z d2 ) (s - s ) (s - z di ) (s - s dm * di ) ) (s - z dn ) οπότε και θα έχουμε (m+n+1) εξισώσεις με αντίστοιχο αριθμό αγνώστων (οι συντελεστές των δυνάμεων των πολυωνύμων του ελεγκτή μαζί με όποιες άλλες βοηθητικές παραμέτρους έχουμε χρησιμοποιήσει). Η λύση αυτών των (συχνά μη γραμμικών) εξισώσεων προσδιορίζει την συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή μας. 21
Παράδειγμα 1 22
Παράδειγμα 1 (1) Έστω G(s)200/[s (s+5) (s+20)] 200/[s 3 +25 s 2 +100 s], να σχεδιαστεί ελεγκτής ώστε σε κλειστό βρόχο να επιτυγχάνεται μόνιμο σφάλμα Ε <0.01 σε είσοδο ράμπας, επιλέγοντας μεταξύ ελεγκτή αναλογίας Kp, LEAD και LAG. 23
Παράδειγμα 1 (2) Έστω G(s)200/[s (s+5) (s+20)] 200/[s 3 +25 s 2 +100 s], να σχεδιαστεί ελεγκτής ώστε σε κλειστό βρόχο να επιτυγχάνεται μόνιμο σφάλμα Ε <0.01 σε είσοδο ράμπας, επιλέγοντας μεταξύ ελεγκτή αναλογίας Kp, LEAD και LAG. Λύση: Η απλούστερη λύση ελεγκτή αναλογίας Kp: Με αύξηση του Kp μειώνεται το σφάλμα, αλλά παράλληλα ελαττώνεται η ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Με Routh εξακριβώνονται τα όρια ευστάθειας κλειστού βρόχου ο οποίος έχει συνάρτηση μεταφοράς 24
Παράδειγμα 1 (3) Y(s) R(s) 200 C(s) G(s) Kp 3 2 s + 25 s + 100 s 3 1+ C(s) G(s) 1+ Kp 200 s 3 2 s + 25 s + 100 s Πίνακας Routh: s 3 1 100 s 2 25 200 Kp s 1 25 100 200 Kp 0 25 s 0 200 Kp + 25 s 200 Kp + 100 s + 200 Kp Ευστάθεια, λοιπόν μόνο αν [25 100-200 Kp]>0 ή Kp<12.5 2 25
Παράδειγμα 1 (4) Εδώ, το σύστημα του κυρίου κλάδου του κλειστού βρόχου θα έχει συνάρτηση μεταφοράς 200Kp s(s + 5)(s + 20) s 3 + 200Kp 25s 2 + 100s δηλαδή τύπου-1. Το στατικό κέρδος αυτού θα είναι Κ2 Kp. 26
Παράδειγμα 1 (5) Η προδιαγραφή μόνιμου σφάλματος προκύπτει από την σχέση Ε 1/Κ<0.01 ή Ε 1/(2 Kp)<0.01 ή τελικά Kp>50. Μια τέτοια τιμή όμως θα οδηγούσε στην αστάθεια, εφόσον πρέπει Kp<12.5. 27
Παράδειγμα 1 (6) Η προδιαγραφή μόνιμου σφάλματος προκύπτει από την σχέση Ε 1/Κ<0.01 ή Ε 1/(2 Kp)<0.01 ή τελικά Kp>50. Μια τέτοια τιμή όμως θα οδηγούσε στην αστάθεια, εφόσον πρέπει Kp<12.5. Άρα Ο απλός ελεγκτής αναλογίας δεν επαρκεί και χρειαζόμαστε ελεγκτή LEAD ή LAG με συνάρτηση μεταφοράς Gc( s) Pc( s) Qc( s) K L s s + + z p 28
Παράδειγμα 1 (7) Έστω η απλούστερη περίπτωση όπου Κ L 1. Το σύστημα κυρίου κλάδου του κλειστού βρόχου έχει συνάρτηση μεταφοράς Gc( s) G( s) s( s + 200( s + z) p)( s + 5)( s + 20) δηλαδή είναι τύπου-1, με στατικό κέρδος Κ2 z/p. 29
Παράδειγμα 1 (8) Με βάση την προδιαγραφή Ε 1/Κ<0.01, είναι p0.02 z, ή, με άλλα λόγια, επιβάλλεται ένας ελεγκτής LAG. Άρα αρκεί να επιλέξουμε κατάλληλα τιμές για τα z και p προσέχοντας την ευστάθεια, ώστε να ικανοποιηθεί η προδιαγραφή μόνιμου σφάλματος που τέθηκε. 30
Παράδειγμα 1 (9) Αν z0.1 τότε p0.002 και η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου προκύπτει: Y(s) Pc(s) P(s) 200 (s + 0.1) R(s) Qc(s) Q(s) + Pc(s) P(s) s (s + 0.002) (s + 5) (s + 20) + 200 (s + 0.1) 200 (s + 0.1) 4 3 2 s + 25 s + 100.1 s + 200.2 s + 200 με ευσταθείς πόλους s 1-20.6, s 2-0.1053, s 3,4-2.139±j 2.153. 31
Παράδειγμα 2 32
Παράδειγμα 2 (1) Έστω G(s)1/(s+1) 2, να υπολογιστεί ελεγκτής LEAD ώστε σε κλειστό βρόχο και βηματική είσοδο να επιτευχθεί υπερύψωση v<20.8% και χρόνος αποκατάστασης t s <2sec. 33
Παράδειγμα 2 (2) Έστω G(s)1/(s+1) 2, να υπολογιστεί ελεγκτής LEAD ώστε σε κλειστό βρόχο και βηματική είσοδο να επιτευχθεί υπερύψωση v<20.8% και χρόνος αποκατάστα-σης t s <2sec. Λύση: Προδιαγραφές ελέγχου σε επιθυμητούς πόλους με τη χρήση του Πίνακα 1. ζ ln ln( v) 2 2 ( v) + π ln ln(0.208) 2 2 (0.208) + π Άρα επιθυμητοί πόλοι: 0.447 και ts 4 2 ω 4.4723 ζ ω n n r/s s d -ζ ω n ±j ω n (1-ζ 2 )-2±j 4. 34
Παράδειγμα 2 (3) Θεωρητική συνάρτηση κλειστού βρόχου: 35 p) z (K s K) 1 p (2 s p) (2 s z) (s K z) (s K 1) (s p) (s z) (s K P(s) Pc(s) Q(s) Qc(s) P(s) Pc(s) G(s) Gc(s) 1 G(s) Gc(s) R(s) Y(s) 2 3 L 2 L + + + + + + + + + + + + + + +
Παράδειγμα 2 (4) Θεωρητική συνάρτηση κλειστού βρόχου: Y(s) R(s) Gc(s) G(s) Pc(s) P(s) 1+ Gc(s) G(s) Qc(s) Q(s) + Pc(s) P(s) K L (s + z) 3 2 s + (2 + p) s + (2 p + 1+ K) s + (K z + p) K L (s + z) 2 (s + p) (s + 1) + K (s + z) Πολυώνυμο κλειστού βρόχου στην πράξη θα πρέπει να είναι: * 2 Qd (s) (s -sd ) (s -sd ) [s - (-2 + j 4)] [s - (-2- j 4)] s + 4 s + 20 36
Παράδειγμα 2 (5) Θεωρητική συνάρτηση κλειστού βρόχου: Y(s) R(s) Gc(s) G(s) Pc(s) P(s) 1+ Gc(s) G(s) Qc(s) Q(s) + Pc(s) P(s) K L (s + z) 3 2 s + (2 + p) s + (2 p + 1+ K) s + (K z + p) K L (s + z) 2 (s + p) (s + 1) + K (s + z) Πολυώνυμο κλειστού βρόχου στην πράξη θα πρέπει να είναι: * 2 Qd (s) (s -sd ) (s -sd ) [s - (-2 + j 4)] [s - (-2- j 4)] s + 4 s + 20...Προφανώς αδύνατο να ισχύει ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΑΞΗ. (ΓΙΑΤΙ;;;) 37
Παράδειγμα 2 (6) Άρα Επιλέγουμε βοηθητικό πολυώνυμο δηλαδή q d (s) (s+α)... εισάγουμε ακόμα έναν πόλο κλειστού βρόχου σε κάποια μακρινή τοποθεσία σε σχέση με τους επιβληθέντες πόλους s d - 2±j 4. 38
Παράδειγμα 2 (7) Άρα Επιλέγουμε βοηθητικό πολυώνυμο δηλαδή q d (s) (s+α)... εισάγουμε ακόμα έναν πόλο κλειστού βρόχου σε κάποια μακρινή τοποθεσία σε σχέση με τους επιβληθέντες πόλους s d - 2±j 4. Με τη χρήση του q d (s) το «νέο» πολυώνυμο κλειστού βρόχου στην πράξη θα είναι: Q' d * 3 2 (s) (s + α) (s -s ) (s -s ) s + (4 + α) s + (20 + 4 α) s + 20 α d d 39
Παράδειγμα 2 (8) Έστω α10 (θέτοντας, έτσι, έναν «επιθυμητό πόλο» στο -10, δηλαδή αρκετά μακριά σε σχέση με τους πόλους s d -2±j 4). Τότε είναι εφικτό: ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΑΞΗ!! 40
Παράδειγμα 2 (9) Έστω α10 (θέτοντας, έτσι, έναν «επιθυμητό πόλο» στο -10, δηλαδή αρκετά μακριά σε σχέση με τους πόλους s d -2±j 4). Τότε είναι εφικτό: ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΑΞΗ!! και εξισώνοντας συντελεστές δυνάμεων του s: 2+p14 p12 2 p+1+κ L 60 > z5.37 Κ L z+p200 Κ L 35 Άρα ελεγκτής LEAD με συνάρτηση μεταφοράς Gc( s) s + 5.37 35 s + 12 41
Τέλος Ενότητας