Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih decimalk. Z izborom čedalje boljših aproksimacij pridemo do zaporedja števil a = 3., a 2 = 3.4, a 3 = 3.4, a 4 = 3.45,... Več kot je decimalk, boljša je aproksimacija. Čeprav niti teoretično ne moremo števila π predstaviti s številom, ki ima samo končno mnogo neničelnih decimalk, pa ga lahko na ta način poljubno dobro aproksimiramo. Kot bomo spoznali v tem poglavju, smo s tem postopkom pravzaprav konstruirali zaporedje, ki konvergira k številu π. V klasični fiziki pridemo v podobno situacijo pri merjenju kakšne količine. Rezultati meritev nam predstavljajo zaporedje približnih vrednosti dane količine. Če bi lahko eksperiment izvedli poljubno natančno, bi bila dejanska vrednost količine limita zaporedja čedalje boljših približkov. Osnovne definicije in primeri Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil. Definicija. Zaporedje kompleksnih števil je funkcija a : N C. Zaporedje a : N C ponavadi označimo z a, a 2, a 3,...) ali pa še krajše kar z a n ), kjer je a n = an) za vse n N. Številu a n rečemo n-ti člen zaporedja a n ). Če so vsi členi zaporedja a n) realna števila, rečemo, da je a n ) zaporedje realnih števil. Zgled. ) Konstantno zaporedje števil a, a, a, a,...) je podano s predpisom a n = a, kjer je a C izbrano število. 2) Zaporedje naravnih števil je podano s predpisom a n = n oziroma, 2, 3, 4,...). 3) Izberimo kompleksni števili a in d. Aritmetično zaporedje z začetnim členom a in z razliko d je zaporedje s splošnim členom a n = a + n )d oziroma a, a + d, a + 2d, a + 3d,...). Aritmetično zaporedje lahko podamo tudi rekurzivno s predpisom: a = a, a n+ = a n + d.
4) Izberimo sedaj kompleksni števili a in q. Geometrijsko zaporedje z začetnim členom a in s količnikom q je dano s predpisom a n = aq n ali a, aq, aq 2, aq 3,...). Lahko ga podamo tudi z rekurzivnim predpisom: a = a, a n+ = a n q. 5) Poglejmo si še zaporedje s splošnim členom a n = n oziroma, 2, 3, 4,... ). Vsi členi tega zaporedja so različni od nič, kljub temu pa lahko število nič poljubno dobro aproksimiramo z dovolj poznim členom zaporedja. Pri obravnavi zaporedij je pomemben vrstni red členov, včasih pa nas zanima samo množica števil, ki jo tvorijo členi zaporedja. Definicija 2. Naj bo a n ) zaporedje kompleksnih števil. Slika zaporedja a n ) je množica Im a n ) = {a, a 2, a 3, } = {a n n N}. Slika kompleksnega zaporedja je podmnožica kompleksnih števil, slika realnega zaporedja pa podmnožica realnih števil. i e V nadaljevanju nas bodo zanimale točke v kompleksni ravnini ali pa na realni premici, okrog katerih se kopičijo členi zaporedja. Da bi lahko ta pojav natančno definirali, moramo najprej vpeljati nekaj pomožnih pojmov. Naj bo z C in r [0, ). Krog s središčem v z in s polmerom r je podmnožica kompleksne ravnine Kz, r) = {w C z w < r}. Če smo natančni, je množica Kz, r) odprt krog, saj ne vsebuje robne krožnice. Podobno lahko definiramo zaprt krog Kz, r) = {w C z w r}. 2
K z,r i r z e Naj bo sedaj A C poljubna podmnožica in z A. Množica A je okolica točke z, če obstaja tak r > 0, da je Kz, r) A. Množica A je odprta, če je okolica vsake svoje točke. Množica A je zaprta, če je A c odprta. Odprte ali pa zaprte podmnožice kompleksne ravnine so v splošnem lahko precej komplicirane. Kot preproste primere pa si lahko predstavljamo like, kot so npr. krogi, elipse in pa večkotniki. Takšen lik je odprta podmnožica, če vsebuje samo svojo notranjost. Če zraven štejemo tudi robno krivuljo, pa dobimo primer zaprte podmnožice. Odprte podmnožice kompleksne ravnine so dvodimenzionalne in imajo pozitivno oziroma neskončno ploščino. Zaprte podmnožice so lahko precej manjše. Vsaka končna množica kompleksnih števil je npr. zaprta, prav tako pa so zaprte sklenjene krivulje. Naslednja pomembna lastnost nekaterih podmnožic kompleksne ravnine je omejenost. Množica A C je omejena, če obstaja tak M R +, da je A K0, M). To pomeni, da so vse točke množice A oddaljene za manj kot M od koordinatnega izhodišča, med drugim pa od tod sledi, da sta poljubni točki množice A med sabo oddaljeni za manj kot 2M. K 0,M i A e Primeri omejenih množic v kompleksni ravnini so krogi, elipse, trikotniki, daljice, sklenjene krivulje in končne množice točk. Neomejene pa so npr. premice, polravnine in poltraki. 3
Sedaj lahko naštejemo nekaj osnovnih tipov zaporedij. Definicija 3. Zaporedje kompleksnih števil a n ) je omejeno, če je Im a n ) omejena podmnožica C. Definicija 4. Zaporedje realnih števil a n ) je: Navzgor/navzdol omejeno, če je Im a n ) navzgor/navzdol omejena. Strogo) naraščajoče, če velja a n+ > a n ) a n+ a n za vse n N. Strogo) padajoče, če velja a n+ < a n ) a n+ a n za vse n N. Strogo) monotono, če je bodisi strogo) naraščajoče bodisi strogo) padajoče. Zaporedje realnih števil a n ) je omejeno natanko takrat ko je navzdol in navzgor omejeno. Če je zaporedje a n) navzgor omejeno, je če pa je navzdol omejeno, pa je sup a n ) = sup Im a n ), inf a n ) = inf Im a n ). Zgled. ) Zaporedje naravnih števil, 2, 3, 4,...) je navzdol omejeno, navzgor pa ne. 2) Zaporedje s splošnim členom a n = n je omejeno in velja inf a n) = 0 ter sup a n ) =. Stekališča in limita zaporedja V tem razdelku bomo spoznali dva izmed ključnih pojmov matematične analize. Točkam v kompleksni ravnini, okrog katerih se kopičijo členi zaporedja, rečemo stekališča zaporedja. To so tiste točke, ki jih lahko poljubno dobro aproksimiramo z neskončno členi zaporedja. Če lahko dano točko poljubno dobro aproksimiramo z vsemi členi zaporedja od nekod naprej, je ta točka posebna vrsta stekališča, ki jo imenujemo limita zaporedja. i e 4
Na zgornji sliki imamo kandidata za stekališče zaporedja, ki pa morda ni limita, saj je precej členov zaporedja precej oddaljeno od njega. Zares bi to lahko preverili, če bi poznali ekspliciten opis členov zaporedja. Formalno lahko definiramo stekališča zaporedja na več ekvivalentnih načinov. Definicija 5. Točka a C je stekališče zaporedja kompleksnih števil a n ), če v vsaki okolici točke a leži neskončno mnogo členov zaporedja a n ). Po definiciji je torej točka a stekališče zaporedja a n ), če je za vsako okolico V C točke a množica {n N a n V } neskončna. Intuitivno si okolico V predstavljamo kot željeno natančnost, na katero bi radi aproksimirali stekališče dobesedno je to res, ko je V kar krog s središčem v stekališču). Množica {n N a n V } nam potem pove, kateri členi zaporedja dovolj dobro aproksimirajo stekališče, glede na izbrano natančnost. Po tej definiciji je točka a stekališče zaporedja, če jo lahko pri poljubni izbrani natančnosti dovolj dobro aproksimiramo z neskončno členi zaporedja. Pri preverjanju, ali je neka točka a stekališče zaporedja a n ), se lahko omejimo samo na okolice tipa Ka, ϵ) za poljuben ϵ > 0. Trditev 6. Točka a je stekališče zaporedja a n ) natanko takrat, ko za vsak ϵ > 0 in za vsak N N obstaja tak n N, da je n N in a n a < ϵ. Dokaz. = ) Naj bo a stekališče zaporedja a n ) po Definiciji 5. Izberimo poljuben ϵ > 0 in poljuben N N. Radi bi našli tak n N, da je n N in a n a < ϵ. Odprt krog Ka, ϵ) je okolica točke a, zato je po definiciji stekališča množica {n N a n Ka, ϵ)} neskončna. Torej lahko najdemo tak n, ki je v tej množici in je hkrati večji od N. Za ta n je potem a n Ka, ϵ) oziroma a n a < ϵ. =) Izberimo sedaj poljubno okolico V točke a in predpostavimo, da za vsak ϵ > 0 in za vsak N N obstaja tak n N, da je n N in a n a < ϵ. Radi bi pokazali, da je množica {n N a n V } neskončna. Ker je V okolica točke a, obstaja po definiciji okolice) ϵ > 0, da je Ka, ϵ) V. Trdimo, da krog Ka, ϵ) vsebuje neskončno členov zaporedja. Če bi jih vseboval samo končno mnogo, npr. {a n, a n2,..., a nk }, bi namreč obstajal tak N, ki bi bil večji od vseh n j za j {, 2,..., k}. Za ta N pa potem ne bi mogli najti nekega n N, ki bi bil večji od N in da bi bil a n Ka, ϵ). To bi bilo v protislovju z našo predpostavko. Torej krog Ka, ϵ) vsebuje neskončno členov zaporedja, od tod pa sledi, da neskončno členov zaporedja vsebuje tudi množica V, saj je Ka, ϵ) V. Zgled. ) Zaporedje naravnih števil, 2, 3, 4,...) nima nobenega stekališča, saj poljubna omejena odprta množica vsebuje samo končno mnogo členov. 5
2) Zaporedje s splošnim členom a n = n ima stekališče v točki 0. V krogu K0, ϵ) je za poljuben ϵ > 0 neskončno členov. V njem so celo vsi členi a n, za katere je n > ϵ, kar pomeni, da je točka 0 celo limita zaporedja. 3) Zaporedje s splošnim členom a n = ) n oziroma {,,,,,,...} ima stekališči {, }. V poljubni okolici točke so namreč vsi členi zaporedja z lihimi indeksi, medtem ko so v poljubni okolici točke vsi členi zaporedja s sodimi indeksi. Zaporedje naravnih števil je primer zaporedja brez stekališč, medtem ko imata obe preostali zaporedji po vsaj eno stekališče. Razlog tiči v tem, da sta zadnji dve zaporedji omejeni, medtem ko je zaporedje naravnih števil neomejeno. Pokazati se da, da ima poljubno omejeno zaporedje kompleksnih števil vsaj eno stekališče, mi pa si bomo zaenkrat pogledali to dejstvo samo v primeru realnih omejenih zaporedij. Izrek 7. Vsako omejeno zaporedje realnih števil ima vsaj eno stekališče. Dokaz. Naj bo a n ) omejeno zaporedje realnih števil. Označimo m = inf a n ) ter M = sup a n ). Izrek lahko dokažemo na dva načina..način: Definirajmo množico U = {x R x > a n le za končno mnogo n N}. V množici U so tista realna števila x, ki imajo na realni premici levo od sebe le končno mnogo členov zaporedja a n ). x Zagotovo vemo je v množiči U točka m, saj levo od nje sploh ni členov zaporedja. Prav tako hitro opazimo, da točke, ki so desno od M, niso v množici U, saj so levo od njih vsi členi zaporedja. Če se torej sedaj zvezno premikamo po realni premici od točke m proti desni, bomo nekje med potjo prišli iz območja točk, ki imajo levo od sebe končno členov zaporedja v območje točk, ki imajo levo od sebe neskončno členov zaporedja. Pokazali bomo, da je točka na meji obeh območij stekališče zaporedja a n ). Formalno se dokaza lotimo na naslednji način. Opazili smo že, da je množica U neprazna in navzgor omejena. Zato ima supremum a = supu). Pokazali bomo, da je točka a stekališče zaporedja a n ). Po Trditvi 6 je dovolj pokazati, da za poljuben ϵ > 0 leži v intervalu a ϵ, a+ϵ) neskončno členov zaporedja a n ). Izberimo torej poljuben ϵ > 0. Točka a je natančna zgornja meja množice U, zato obstaja nek x U, da je a ϵ < x. Ker je x U, je levo od x le končno mnogo členov zaporedja, levo od a ϵ pa jih je kvečjemu manj 6
in zato prav tako le končno mnogo. Po drugi strani je a < a + ϵ. Ker je a zgornja meja množice U, točka a + ϵ zagotovo ni v U, od koder sledi, da je levo od a + ϵ neskončno členov zaporedja. Izmed teh jih je hkrati levo od a ϵ le končno mnogo, kar pomeni, da je v intervalu a ϵ, a + ϵ) neskončno členov zaporedja a n ). 2.način: Izrek lahko dokažemo tudi s pomočjo bisekcije. Definirali bomo neskončno družino čedalje manjših zaprtih intervalov, izmed katerih bo vsak vseboval neskončno členov zaporedja a n ). Presek teh intervalov bo potem eno izmed stekališče zaporedja. Najprej definiramo m 0 = m, M 0 = M ter začetni interval I 0 = [m 0, M 0 ]. Denimo sedaj, da že imamo definirane m n, M n ter I n = [m n, M n ] za nek n N, tako da vsebuje interval I n neskončno členov zaporedja. Interval I n sedaj razpolovimo na dva enako velika podintervala. Ker vsebuje interval I n neskončno členov zaporedja, jih neskončno vsebuje tudi eden izmed teh dveh podintervalov. Če neskončno členov vsebuje levi podinterval, definiramo sicer pa definiramo m n+ = m n, M n+ = m n + M n, 2 I n+ = [m n+, M n+ ], m n+ = m n + M n, 2 M n+ = M n, I n+ = [m n+, M n+ ]. Na ta način induktivno dobimo družino intervalov I 0 I I 2, kjer je dolžina n-tega intervala enaka M n m n = M m 2 n. I 0 I 2 Iz konstrukcije sledi, da je zaporedje m, m 2, m 3,...) levih krajišč intervalov naraščajoče, zaporedje M, M 2, M 3,...) desnih krajišč pa padajoče. Poleg tega je vsako izmed desnih krajišč zgornja meja zaporedja levih krajišč, vsako izmed levih krajišč pa spodnja meja zaporedja desnih krajišč. Od tod dobimo sup m n ) inf M n ). 7
Če bi veljala neenakost, bi bilo inf M n ) sup m n ) = d > 0, od koder bi sledilo, da za vsak n N velja M n m n d, kar pa je v protislovju z dejstvom, da je število M n m n = M m 2 n pri dovolj velikem n poljubno majhno. Torej je sup m n ) = inf M n ). Pokažimo sedaj, da je a = sup m n ) = inf M n ) stekališče zaporedja a n ). Pokazali bomo, da za poljuben ϵ > 0 leži v intervalu a ϵ, a + ϵ) neskončno členov zaporedja a n ). Naj bo ϵ > 0 poljuben. Po definiciji natančne zgornje meje in natančne spodnje meje iz enakosti a = sup m n ) = inf M n ) sledi, da obstaja nek n N, da je a ϵ < m n < M n < a + ϵ. Interval a ϵ, a + ϵ) torej vsebuje interval [m n, M n ], ki pa po konstrukciji vsebuje neskončno členov zaporedja a n ). Izrek 7 nam zagotavlja, da ima vsako omejeno zaporedje realnih števil vsaj eno stekališče. Večina omejenih zaporedij, s katerimi se srečamo v praksi, ima natanko eno stekališče, ki je hkrati tudi limita zaporedja. Zato se lahko vprašamo, koliko stekališč lahko neko zaporedje sploh ima. Odgovor je morda nekoliko presenetljiv, saj lahko konstruiramo zaporedja, ki imajo neskončno stekališč. Če bi vzeli zaporedje, ki vsebuje vsako racionalno število natanko enkrat, bi bilo vsako realno število stekališče tega zaporedja. Analogno lahko konstruiramo tudi zaporedje kompleksnih števil, ki ima vsako kompleksno število za svoje stekališče. Pri dokazu Izreka 7 smo uporabili ključno lastnost realnih števil, ki sledi iz Dedekindovega aksioma. Vsaka omejena podmnožica realnih števil ima namreč natančno zgornjo mejo in natančno spodnjo mejo. Analognega izreka ne moremo dokazati za racionalna zaporedja, saj bi lahko npr. vzeli zaporedje.4,.4,.44,.442,...) decimalnih približkov števila 2. To zaporedje je omejeno, v racionalnih številih pa nima stekališča. Je pa realno število 2 stekališče in hkrati tudi limita tega zaporedja. Poglejmo si sedaj formalno definicijo pojma limite zaporedja. Definicija 8. Točka a C je limita zaporedja kompleksnih števil a n ), če v vsaki okolici točke a ležijo vsi členi zaporedja, z izjemo morda končno mnogo členov. V definiciji torej zahtevamo, da v vsaki okolici limite zaporedja ležijo vsi členi zaporedja od nekod naprej. Med drugim to pomeni, da v vsaki okolici limite leži neskončno členov zaporedja, kar pa pomeni, da je limita zaporedja zmeraj tudi stekališče zaporedja. Še več, če ima zaporedje limito, je ta limita hkrati tudi edino stekališče zaporedja. Torej ima zaporedje lahko največ eno limito. 8
Podobno kot Trditev 6 lahko dokažemo tudi naslednjo ekvivalentno definicijo pojma limite. Trditev 9. Točka a je limita zaporedja a n ) natanko takrat, ko za vsak ϵ > 0 obstaja tak N N, da za vsak n N velja a n Ka, ϵ) oziroma a n a < ϵ). Definicija 0. Zaporedje a n ) je konvergentno, če ima limito. Limito zaporedja a n ) označimo z lim a n) C. Če zaporedje ni konvergentno, je divergentno. Kadar imamo člene zaporedja podane eksplicitno, ponavadi spustimo oklepaja in limito zaporedja označimo kar z lim a n. Zgled. ) Konstantno zaporedje a, a, a, a,...) ima limito lim a n) = a. 2) Zaporedje s splošnim členom a n = n ima limito lim n = 0. 3) Zaporedje s splošnim členom a n = ) n ima dve stekališči {, }, kar pomeni, da nima limite in je divergentno. Pri delu z limitami in stekališči si pogosto pomagamo s podzaporedji. Kot osnovni primer si lahko predstavljamo na primer soda števila ali pa liha števila kot podzaporedji zaporedja naravnih števil. V splošnem primeru pa postopamo takole. Naj bo n k ) k N strogo naraščajoče zaporedje naravnih števil. Konstruiramo lahko novo zaporedje a nk ) k N, ki ga dobimo, tako da iz zaporedja a n ) vzamemo samo tiste člene, ki ustrezajo indeksom n k ). To zaporedje imenujemo podzaporedje zaporedja a n ), ki pripada zaporedju n k ). Zgled. Poglejmo si zaporedje s splošnim členom a n = n. Če vzamemo samo sode člene zaporedja oziroma n k = 2k), dobimo podzaporedje 2, 4, 6, ) 8,.... Vzamemo lahko tudi podzaporedje, 2, 4, 8, ) 6,..., 9
ki ustreza potencam števila 2. Če v danem zaporedju zamenjamo vrstni red prvih dveh členov, pa dobimo primer zaporedja 2,, 3, ) 4,..., ki ni podzaporedje zaporedja a n ). V naslednji trditvi si bomo pogledali povezavo med limito stekališči) osnovnega zaporedja in pa limito stekališči) njegovih podzaporedij. Trditev. Naj bo a nk ) podzaporedje zaporedja a n ). ) Če je lim a n) = a, je tudi lim k a n k ) = a. 2) Če je b stekališče zaporedja a n k ), je b tudi stekališče zaporedja a n ). 3) Število b je stekališče zaporedja a n) obstaja podzaporedje a nk ), za katerega je b limita. Dokaz. ) Če je a limita zaporedja a n), so v vsaki okolici točke a vsi členi zaporedja a n ) od nekod naprej. Potem so v vsaki okolici točke a tudi vsi členi podzaporedja a nk ) od nekod naprej, le da je morda indeks, kjer se to zgodi, drugačen. Če so npr. v neki okolici točke a vsi členi zaporedja a n ) od N-tega naprej, so v tej okolici tudi vsi členi zaporedja a nk ) od K-tega naprej, kjer je K tak, da velja n K > N. 2) Če je b stekališče podzaporedja a n k ), je v vsaki okolici točke b neskončno členov zaporedja a nk ), ki pa so hkrati tudi členi zaporedja a n ). 3) =) Naj bo b limita nekega podzaporedja a nk ) zaporedja a n ). Potem je b hkrati stekališče zaporedja a nk ), po točki 2) pa od tod sledi, da je b tudi stekališče zaporedja a n ). = ) Naj bo b stekališče zaporedja a n ). Skonstruirati moramo podzaporedje a nk ) zaporedja a n ), ki bo imelo točko b za limito. Uporabili bomo podobno idejo kot pri aproksimaciji iracionalnega števila z racionalnimi decimalnimi približki. Induktivno bomo konstruirali podzaporedje a nk ), katerega k-ti člen bo aproksimiral točko b na k -natančno. a n K b, i b a n2 K b, 2 e 0
Za začetek izberimo takšen n, da bo a n Kb, ). To gre, ker poljubna okolica točke b vsebuje neskončno členov zaporedja a n ), saj je b stekališče zaporedja a n ). Denimo sedaj, da smo že izbrali člene a n, a n2,..., a nk, tako da velja n < n 2 < < n k in a nl Kb, l ) za vse l {, 2,..., n}. Ker leži v okolici Kb, k+ ) neskončno členov zaporedja a n), lahko najdemo tak indeks n k+, da je n k+ > n k in a nk+ Kb, k+ ). Na ta način smo induktivno konstruirali podzaporedje a nk ) zaporedja a n ). Preverimo sedaj, da velja b = lim k a n k ). Uporabili bomo ekvivalentno definicijo limite zaporedja iz Trditve 9. Izberimo poljuben ϵ > 0. Potem obstaja K N, da je K < ϵ. Za k K pa potem velja a nk Kb, k ) Kb, ) Kb, ϵ). K Videli smo že, da ima vsako omejeno zaporedje števil vsaj eno stekališče. Če pa je zaporedje hkrati še monotono, pa je to stekališče eno samo in je posledično limita zaporedja. Trditev 2. Vsako omejeno, monotono realno zaporedje je konvergentno. Dokaz. Privzemimo, da je a n ) omejeno, naraščajoče zaporedje realnih števil. Pokazali bomo, da je število a = supa n ) limita zaporedja a n ). 2 3 4 Vzemimo poljuben ϵ > 0. Pokazati moramo, da so vsi členi zaporedja a n od nekega naprej v intervalu a ϵ, a + ϵ). Število a je natančna zgornja meja zaporedja a n ), zato lahko najdemo tak N N, da je a N a ϵ, a + ϵ). Ker je zaporedje a n ) naraščajoče, za vse n N tako velja a n > a ϵ. Hkrati pa po definiciji zgornje meje zaporedja velja a n a za vse n N. Oboje skupaj nam pove, da za n N velja a n a ϵ, a] a ϵ, a + ϵ). Če je zaporedje a n ) omejeno in padajoče, lahko na podoben način pokažemo, da je število a = infa n ) limita zaporedja a n ). S pomočjo zgornje trditve lahko za konkretna zaporedja pokažemo, da so konvergentna. Ko enkrat vemo, da je neko zaporedje konvergentno, pa limito v praksi pogosto izračunamo s pomočjo osnovnih pravil pri računanju z zaporedji.
Trditev 3 Pravila za računanje z limitami). Naj bosta a n ) in b n ) konvergentni zaporedji kompleksnih števil in naj bo α C. Tedaj velja: ) Zaporedje a n + b n ) je konvergentno in lim a n + b n ) = lim a n) + lim b n). 2) Zaporedje αa n ) je konvergentno in lim αa n) = α lim a n). 3) Zaporedje a n b n ) je konvergentno in lim a nb n ) = lim a n) 4) Če je b n 0 za vsak n N in je lim konvergentno in an lim b n ) = ) ) lim b n). b n lim a n) lim b n). 0, je zaporedje a n bn ) Dokaz. Označimo a = lim a n) in b = lim b n). ) Pokazali bomo, da je število a+b limita zaporedja a n +b n ). Izberimo poljuben ϵ > 0. Najprej uporabimo dejstvo, da sta obe zaporedji v vsoti konvergentni. Po definiciji limite zaporedja torej obstajata N N, da za vsak n N velja a a n < ϵ 2, N 2 N, da za vsak n N 2 velja b b n < ϵ 2. Naj bo sedaj N večje izmed števil N, N 2. Za n N potem velja a + b) a n + b n ) = a a n ) + b b n ) a a n + b b n < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ, oziroma a + b) a n + b n ) < ϵ. V izpeljavi smo uporabili trikotniško neenakost in pa dejstvo, da iz n N sledi n N in n N 2. 3) Pokazali bomo, da je ab limita zaporedja a n b n ). Izberimo poljuben ϵ > 0. Najdemo lahko tak δ > 0, da je δ < ϵ + a + b in δ < od tod med drugim sledi, da je δ 2 < δ). Podobno kot pri ) lahko najdemo tak N N, da za n N velja a n a < δ in b n b < δ. Računajmo: a n b n ab = a n a)b n b) + ab n b) + ba n a), a n a b n b + a b n b + b a n a, < δ 2 + a δ + b δ, < δ + a + b ) = ϵ. 2
Pokazali smo torej, da za n N velja a n b n ab < ϵ, kar dokazuje našo trditev. 2) Sledi iz 3), če za b n ) izberemo konstantno zaporedje s splošnim členom b n = α. 4) Po predpostavki so vsi členi zaporedja b n ) in posledično tudi b n )) neničelni. Zaporedje b n ) je navzdol omejeno z 0, zato ima natančno spodnjo mejo m = inf b n ) 0. Če bi bil m = 0, bi lahko število 0 poljubno dobro aproksimirali s členi zaporedja b n ), kar bi pomenilo, da je 0 stekališče zaporedja b n ). To pa bi bilo v nasprotju s predpostavko, da ima zaporedje b n ) eno samo stekališče limito) b 0. Torej je m > 0. Dokažimo trditev najprej v primeru, ko je a n = za vse n N. Izberimo poljuben ϵ > 0 in definirajmo δ = ϵ b m. Pokazati želimo, da je b limita zaporedja b n ). Najdemo lahko tak N N, da za vsak n N velja b n b < δ. Za n N potem velja tudi b b n = b n b bb n < δ b b n δ b m = ϵ. Pri izpeljavi smo uporabili, da je b n m oziroma b n m za vse n N. Dokaz trditve v splošnem primeru sledi iz obravnavanega posebnega primera in pa trditve 3). Velja namreč an lim b n ) ) ) = lim a n = lim b a n) lim = n b n lim a n) lim b n). Pri dokazovanju zgornje trditve smo nekajkrat brez pojasnila definirali ustrezen δ, s katerim smo začeli dokaz. V praksi dokazovanje ne poteka tako. Ponavadi skušamo najprej najti idejo dokaza in šele na koncu primerno določimo konstante, da se vse prav izide. Dokaze nato običajno predstavimo v čim bolj strnjeni obliki, iz katere je še mogoče brez večjih težav razbrati glavne ideje. Preprosta posledica zgoraj naštetih pravil za računanje z limitami nam pove, da so konvergentna zaporedja kompleksnih števil pravzaprav le pari konvergentnih zaporedij realnih števil. Trditev 4. Naj bosta a n ) in b n ) realni zaporedji in z n ) = a n + ib n ) zaporedje kompleksnih števil. Potem je zaporedje z n ) konvergentno natanko takrat, ko sta konvergentni zaporedji a n ) in b n ). V tem primeru velja lim z n) = lim a n) + i lim b n). 3
Dokaz. =) To je posledica kombinacije Trditev 3 ) in 2). = ) Predpostavimo sedaj, da ima zaporedje kompleksnih števil z n ) limito z. Enakost z n z = z n z = z n z nam pove, da člen z n aproksimira število z isto natančno kot člen z n aproksimira število z. Od tod sledi, da je zaporedje z n ) konvergentno z limito z. Sedaj lahko za vsak n N zapišemo a n = z n + z n, 2 b n = z n z n 2i in z uporabo Trditev 3 ) in 2) sklepamo, da sta zaporedji a n ) in b n ) konvergentni. Pokazali smo že, da ima vsako omejeno zaporedje realnih števil vsaj eno stekališče, sedaj pa bomo pokazali, da isto velja tudi za omejena zaporedja kompleksnih števil. Izrek 5. Vsako omejeno zaporedje kompleksnih števil ima vsaj eno stekališče. Dokaz. Naj bo z n ) = a n + ib n ) omejeno zaporedje kompleksnih števil. Najprej opazimo, da za vsak n N velja a n z n in b n z n. Od tod sklepamo, da sta a n ) in b n ) omejeni zaporedji realnih števil. Po Izreku 7 ima zaporedje a n ) neko stekališče a, zato lahko po Trditvi 3) najdemo podzaporedje a nk ), ki konvergira k a. Podzaporedje b nk ) zaporedja b n ), ki ustreza tako dobljenemu naraščajočemu zaporedju n k ), je omejeno in ima zato neko stekališče b. Torej lahko po Trditvi 3) spet najdemo neko podzaporedje b nkl ) zaporedja b nk ), ki konvergira k b. Našli smo torej strogo naraščajoče zaporedje naravnih števil n kl ) l N, za katerega velja: lim a n kl ) = a, l lim b n kl ) = b. l Od tod sklepamo, da podzaporedje z nkl ) zaporedja z n ) konvergira k a+ib, kar pa po Trditvi 3) pomeni, da je a + ib stekališče zaporedja z n ). Poglejmo si še en rezultat o povezavi med omejenostjo in pa konvergenco zaporedij. 4
Trditev 6. Naj bo a n ) zaporedje kompleksnih števil. ) Če je zaporedje a n) konvergentno, je omejeno. 2) Če je zaporedje a n) omejeno in ima natanko eno stekališče, je tudi konvergentno. Dokaz. ) Denimo, da je zaporedje a n ) konvergentno z limito a. a 3 K 0,M a i a N a K a, a 2 K 0, a a N e Po definiciji limite potem obstaja tak N N, da za vsak n N velja a n Ka, ). Krog Ka, ) je vsebovan v krogu K0, a + ), zato so vsi členi od N-tega naprej po absolutni vrednosti manjši od a +. Kakšen izmed prvih N členov je sicer lahko od izhodišča oddaljen za več kot a +, vendar pa med njimi zagotovo obstaja tak, ki je najdlje od izhodišča. Če definiramo M = max{ a, a 2,..., a N, a + }, bodo vsi členi zaporedja a n ) ležali v krogu K0, M), kar pa pomeni, da je zaporedje a n ) omejeno. 2) Denimo sedaj, da je a n ) omejeno zaporedje kompleksnih števil z natanko enim stekališčem a. Pokazali bomo, da je potem a tudi limita zaporedja a n ). Glavna ideja dokaza je opazka, da bi se v primeru, ko a ne bi bila limita zaporedja a n ), členi zaporedja kopičili še okrog neke druge točke, ki bi bila različna od a. To pa bi bilo v protislovju s predpostavko o enem samem stekališču. Formalno bomo trditev dokazali s protislovjem. Če a ne bi bila limita zaporedja a n ), bi obstajal tak ϵ > 0, da bi neskončno členov zaporedja ležalo izven kroga Ka, ϵ). Potemtakem bi lahko konstruirali podzaporedje a nk ), katerega vsi členi bi ležali izven kroga Ka, ϵ). Zaporedje a nk ) bi tudi bilo omejeno, zato bi imelo stekališče b za realna zaporedja smo to že dokazali, za kompleksna pa bomo v kratkem), ki pa bi moralo ležati izven kroga Ka, ϵ) in bi bilo zatorej različno od a. Ker je stekališče podzaporedja tudi stekališče zaporedja, bi tako v prišli v protislovje s predpostavko, da ima zaporedje a n ) natanko eno stekališče. 5
a n3 K 0,M a n a n2 i a K a,ε e a n4 Zgled. ) Najprej si poglejmo geometrijsko zaporedje s splošnim členom a n = aq n, kjer sta a, q C. Geometrijsko zaporedje lahko podamo tudi z rekurzivnim predpisom a n+ = a n q. Če bi geometrijsko zaporedje a n ) bilo konvergentno tega še ne vemo), bi bilo konvergentno tudi podzaporedje a n+ ), iz rekurzivnega predpisa pa bi dobili enačbo lim a n+) = lim a nq) = q lim a n). Ker imata zaporedje a n ) in podzaporedje a n+ ) isto limito, od tod sledi q) lim a n) = 0. Če je geometrijsko zaporedje konvergentno, ima torej limito 0, ali pa je q =. Poglejmo sedaj, kdaj geometrijsko zaporedje sploh konvergira. a = 0: V tem primeru imamo konstantno zaporedje s splošnim členom a n = 0, ki konvergira k 0. a 0: Če je q =, imamo konstantno zaporedje s splošnim členom a n = a, ki konvergira k a. Če pa je q, pa ločimo naslednje možnosti: q = : a n = aq n = a = limita ne more biti 0 = a n ) divergira. q > : a n = aq n > a = limita ne more biti 0 = a n ) divergira. q < : Iz enakosti a n = aq n = a q n sledi, da je zaporedje a n ) padajoče in navzdol omejeno z 0. Zato konvergira k 0, kar pa pomeni, da tudi zaporedje a n ) konvergira k 0. n 2) lim n + n + ) = lim n + + ) n n = + lim + lim n 6 = lim ) n + n lim + n, = + 0) = 0. + 0
n 2 + 3n 2 3) lim 5n 2 + 3 n 2 n 2 5 = lim = 5 = + 3 0 2 5 lim + 3 lim ) ) 2 n = 5 n 2 lim ) n 2, 2 0 2 ) = 5. V zgornjih zgledih smo videli, da pogosto vnaprej ne vemo, ali neko zaporedje konvergira, pač pa se to pokaže šele tekom računanja, ko hkrati pokažemo, da je zaporedje konvergentno in tudi izračunamo njegovo limito. V zvezi z zaporedji si bomo pobliže pogledali še eno pomembno lastnost konvergentnih zaporedij. Definicija 7. Zaporedje a n ) je Cauchyjevo, če za vsak ϵ > 0 obstaja tak N N, da za poljubna m, n N velja a n a m < ϵ. Zaporedje je torej Cauchyjevo, če so poljubno blizu skupaj vsi členi od nekega naprej. Definicija je zelo podobna definiciji limite zaporedja, le da nam tukaj limite ni treba eksplicitno poznati. Če bi vzeli npr. čedalje boljše decimalne približke nekega realnega števila, bi lahko hitro ugotovili, da se približki poljubno dobro ujemajo, čeprav ne bi nujno vedeli, katero število dejansko aproksimirajo. Trditev 8. Zaporedje kompleksnih števil je konvergentno natanko takrat ko je Cauchyjevo. Dokaz. = ) Denimo, da je zaporedje kompleksnih števil a n ) konvergentno z limito a. Pokazati moramo, da je potem zaporedje a n ) Cauchyjevo. Izberimo poljuben ϵ > 0. Ker je a limita zaporedja a n ), obstaja tak N N, da je a n a < ϵ 2 za vse n N. Če izberemo sedaj poljubna m, n, ki sta oba večja od N, lahko z uporabo trikotniške neenakosti dokažemo neenakost a n a m = a n a) + a a m ) a n a + a a m < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ, ki dokazuje, da je zaporedje a n ) Cauchyjevo. =) Naj bo sedaj zaporedje a n ) Cauchyjevo. Pokazali bomo, da je potem tudi konvergentno. Dokaz bo precej podoben dokazu Trditve 6. Najprej bomo pokazali, da je zaporedje a n ) omejeno. Ker je Cauchyjevo, lahko pri izbiri ϵ = najdemo tak N N, da za vse n, m N velja a n a m <. Med drugim pri m = N to pomeni, da za vse n N velja a n a N < oziroma a n < a N +. S tem smo pokazali, da je zaporedje a n ) omejeno od N-tega člena naprej. To pa že pomeni, da je omejeno. Če namreč definiramo M = max{ a, a 2,..., a N, a N + }, bodo vsi členi zaporedja a n ) ležali v krogu K0, M). 7
Ker je zaporedje a n ) omejeno, ima vsaj eno stekališče. Če pokažemo, da ima natanko eno stekališče, bo po Trditvi 6 2) to pomenilo, da je konvergentno. Uporabili bomo dokaz s protislovjem. K b,ε b a m Ε Ε i Im Ε a a n K a,ε e Recimo, da ima zaporedje a n ) dve različni stekališči a in b. Definirajmo ϵ = b a 3. Kroga Ka, ϵ) in Kb, ϵ) sta potem disjunktna in razdelita daljico ab na tri enake dele. Ker je zaporedje a n ) Cauchyjevo, obstaja tak N N, da za vsaka m, n N velja a n a m < ϵ. Ker pa sta a in b stekališči zaporedja a n ), pa lahko najdemo tak n N, da je a n a < ϵ, oziroma tak m N, da je a m b < ϵ. To pomeni, da leži točka a n v krogu Ka, ϵ), točka a m pa v krogu Kb, ϵ). Ker je razdalja med tema dvema krogoma enaka ϵ, tako pridemo v protislovje s predpostavko, da je razdalja med a n in a m manjša od ϵ. Formalno lahko to dokažemo z uporabo trikotniške neenakosti. Iz naših predpostavk bi namreč sledilo b a = b a m ) + a m a n ) + a n a), b a m + a m a n + a n a, < ϵ + ϵ + ϵ, = b a, oziroma b a < b a, kar pa je protislovje. Za zaporedja kompleksnih števil se torej konvergenca ujema s Cauchyjevo lastnostjo. Podobno velja tudi za zaporedja realnih števil, ni pa to res za poljubna zaporedja. Kot protiprimer vzemimo zaporedje čedalje boljših racionalnih decimalnih približkov nekega iracionalnega števila. To je Cauchyjevo zaporedje racionalnih števil, ki pa nima racionalne limite. Malo bolj komplicirani primeri, ki jih bomo spoznali kasneje, se pojavijo pri aproksimaciji funkcij s polinomi. Analogno kot pri realnih/racionalnih številih lahko vsako zvezno funkcijo na omejenem zaprtem intervalu poljubno dobro aproksimiramo s polinomi. Torej obstajajo Cauchyjeva zaporedja polinomov, ki pa niso konvergentna. Omenimo še, da zmeraj velja, da je konvergentno zaporedje Cauchyjevo. Prostori, v katerih velja tudi obrat v slogu Trditve 8) se imenujejo polni prostori. Poleg realnih in kompleksnih števil so polni tudi Evklidski prostori. 8
Poseben primer divergentnih zaporedij realnih števil so zaporedja, kjer členi rastejo čez vse meje. Oznaka lim a n) = bo za nas pomenila, da za vsak M R obstaja tak N N, da je a n M za vsak n N. To pomeni, da so za vsak M R vsi členi zaporedja od nekod naprej večji od M. Zgornji pogoj lahko vzamemo kar za definicijo konvergence zaporedja a n ) k. Analogno definiramo lim a n) =, če za vsak m R obstaja tak N N, da je a n m za vsak n N. Za konec razdelka si poglejmo še definicijo števila e, ki igra ključno vlogo v matematični analizi in pri uporabi matematike v tehniških vedah. Zgled. Definirajmo zaporedji realnih števil a n ) in b n ) s predpisoma a n = + n) n, b n = ) n n za n 2. Pokazali bomo, da sta obe zaporedji konvergentni in da imata isto limito. Dokaz bomo razdelili na tri dele. ) V prvem koraku bomo pokazali, da neenakost + x) n > + nx ) velja za vsak x R, za katerega je 0 < x < in za vse n Z, n 2. Za pozitivne n-je si bomo pomagali z matematično indukcijo. n = 2: + x) 2 = + 2x + x 2 > + 2x. n n + : + x) n+ = + x) n + x) I.P. > + nx) + x), = + n + )x + nx 2, > + n + )x. Pri dokazu smo dvakrat upoštevali, da je pri naših predpostavkah x 2 > 0. Naj bo sedaj n 2. Za poljuben 0 < x < velja + x) x) = x 2 <, x < + x. 9
Od tod dobimo + x) n = ) n > x) n > + n) x) = + nx. + x Pri izpeljavi smo uporabili že dokazano neenakost ) za število n 2. 2) V naslednjem koraku bomo dokazali, da je zaporedje a n ) strogo naraščajoče, zaporedje b n ) pa strogo padajoče. Z uporabo neenakosti ) najprej dobimo, da za vsak n Z, n 2, velja + ) n n = n n) ) n n 2 > + n n ) 2 = n. 2) Torej je za vsak n 2 + n) n > n) n = n n) n+ ) n n = = + ) n n n oziroma a n > a n, kar pomeni, da je zaporedje a n ) strogo naraščajoče. Če v neenakost 2) vstavimo n = m, kjer je m 2, dobimo m) m > + m) m+ ) m m+) = = m + m + ) m+) oziroma b m > b m+ za vsak m 2. To pomeni, da je zaporedje b n ) strogo padajoče. 3) Sedaj bomo še pokazali, da je zaporedje a n ) omejeno navzgor, zaporedje b n ) pa omejeno navzdol. Za vsak n imamo b n+ = ) n+) = n + Ker je zaporedje b n ) padajoče, je za n ) n n+) = + ) n+ = a n + ) > a n. n + n n a n < b n+ b 2 = 4, kar pomeni, da je zaporedje a n ) navzgor omejeno s 4. Podobno dobimo, da za n 2 velja b n > a n a = 2. a 2.0 Trditev 2 sedaj zagotavlja, da sta zaporedji a n ) in b n ) konvergentni, izkaže pa se, da imata isto limito. To sledi iz enakosti b n+ = a n + n), ki smo jo pokazali pri izpeljavi monotonosti obeh zaporedij lim b n) = lim b n+) = lim a n) lim + ) = lim n a n). 20
Skupno limito obeh zaporedij označimo z e = lim + n = lim n) n. n) Število e je iracionalno, njegova približna vrednost pa je e 2.7828 2