Ν161_(262)_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_02_t-κατανοή Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Αν δεν είναι γνωτή η τυπική απόκλιη του πληθυού (), τότε θα πρέπει να χρηιοποιηθεί ένας εκτιητής της. η τυπική απόκλιη του δείγατος i1 2 (X X) i 1 είναι ένας εροληπτικός εκτιητής της τυπικής απόκλιης του πληθυού () 2 1
Όταν το έγεθος του δείγατος είναι εγάλο (Ν Ν > 30) Όταν το έγεθος του δείγατος είναι ικρό (Ν Ν < 30) η εταβλητή X X X z x x ακολουθεί την κανονική κατανοή γιατί οι διαφορές που προκαλούνται τον τύπο η εταβλητή X X X z x x ΔΕΝ ακολουθεί την κανονική κατανοή i1 2 (X X) i 1 από την αντικατάταη του Ν ε Ν 1, δεν δηιουργούν οβαρά προβλήατα 3 Όταν το έγεθος του δείγατος είναι ικρό (Ν Ν < 30) αν δεν είναι γνωτή η τυπική απόκλιη του πληθυού () και είναι γνωτή η τυπική απόκλιη όλ του δί δείγατος () () για τον καθοριό των διατηάτων επιτούνης δεν χρηιοποιείται η z τυπική κατανοή, όπως την περίπτωη όπου ο πληθυός ακολουθεί την κανονική κατανοή ή όπου ο πληθυός δεν ακολουθεί την κανονική κατανοή αλλά είναι εγάλο το έγεθος του δείγατος, αλλά χρηιοποιείται ια άλλη ορφή κατανοής, η t-κατανοή. 4 2
Σ αυτές τις περιπτώεις αντί για την z τιή χρηιοποιείται η t τιή: t X X x 5 H t κατανοή έχει πολλές οοιότητες ε τη z τυπική κατανοή. Η t κατανοή εξαρτάται από το έγεθος του δείγατος (Ν) και εποένως πρόκειται για ια για οικογένεια κατανοών. Όλα τα ηεία της t κατανοής βρίκονται πιο κάτω από τα ηεία της z τυπικής κατανοής. Όταν όως το έγεθος του δείγατος είναι εγαλύτερο από 30 (Ν > 30), οι δύο κατανοές αρχίζουν να ταυτίζονται. Για ικρά δείγατα ωτόο, η διαπορά που παρατηρείται την t κατανοή είναι εγαλύτερη από αυτή της z τυπικής κατανοής. 6 3
Στην t κατανοή, οι αποτάεις των τιών ιας εταβλητής από το έο όρο, ετριούνται ε ονάδες τυπικής απόκλιης Χ και εκφράζονται ε t τιές, οι οποίες βρίκονται από τον πίνακα της t κατανοής για Ν-1 βαθούς ελευθερίας, όπου Ν = το έγεθος του δείγατος. 7 Πίνακας t κατανοής df \ p.60.70.80.90.95.975.99.995 1.325.727 1.367 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 2.289.617 1.061 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3.277.584.978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4.271.569.941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.267.559.920 1.476 2.015 2.571 3.365365 4.032 6.265.553.906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7.263.549.896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8.262.546.889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9.261.543.883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 10.260.542.879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 11.260.540.876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 12.259.539.873 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 13.259.538.870 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 14.258.537.868 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 15.258.536.866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 16.258.535.865 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 17.257.534.863 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 18.257.534.862 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 19.257.533.861 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 20.257.533.860 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 8 4
Διάτηα επιτούνης του έου όρου ενός πληθυού 9 Αν ο πληθυός ακολουθεί κανονική κατανοή και είναι γνωτή η τυπική απόκλιη του πληθυού (), X X z z X Αν δεν είναι γνωτή η τυπική απόκλιη του πληθυού (), και το δείγα είναι εγάλο (Ν > 30) X X z x Αν δεν είναι γνωτή η τυπική απόκλιη του πληθυού (), και το δείγα είναι ικρό (Ν < 30) X X t x 10 5
Αν ο πληθυός ακολουθεί κανονική κατανοή και είναι γνωτή η τυπική απόκλιη του πληθυού (), Θέλουε να εκτιήουε εταξύ ποιών τιών θα βρίκεται ο αριθητικός έος του πληθυού, βάει του αριθητικού έου του δείγατος πληθυός ακολουθεί κανονική κατανοή Σύφωνα ε το Κ.Ο.Θ. οι δειγατικοί αριθητικοί έοι τυχαίων δειγάτων, ίου εγέθους, ακολουθούν και αυτοί την κανονική κατανοή γύρω από τον αριθητικό έο του πληθυού, ανεξάρτητα από το έγεθος των δειγάτων. 11 Η δειγατική κατανοή, που είναι ια κανονική κατανοή, πορεί να εταχηατιτεί ε z τυπική κατανοή, εταχηατίζοντας τις τιές Χ ε z τιές. z X z X X όπου: Χ X = η έη τιή του δείγατος = ηέητιήτου πληθυού = η τυπική απόκλιη του δειγατικού έου (τυπικό φάλα) = η τυπική απόκλιη του πληθυού Ν = το έγεθος του δείγατος. 12 6
Παράδειγα: Ένας προπονητής καταγράφει τις επιδόεις 5 αθλητών του (= 5) ε ένα τετ ευτοχίας. Οι επιδόεις των αθλητών του είναι: 3, 5, 5, 4 και 3. Αν ο πληθυός από τον οποίο προέρχεται το υγκεκριένο δείγα ακολουθεί την κανονική κατανοή και η τυπική απόκλιη του πληθυού είναι = 1.5, ο υγκεκριένος προπονητής θέλει να προδιοριτεί το διάτηα των τιών εταξύ των οποίων θα βρίκεται ο έος όρος του πληθυού, ε πιθανότητα 95%. Θέλει δηλαδή να προδιορίει το διάτηα επιτούνης του έου όρου του πληθυού () ε πιθανότητα επιτυχούς προδιοριού 95%. 13 Η έη τιή των επιδόεων του υγκεκριένου δείγατος των πέντε αθλητών είναι: 3 5 5 4 3 20 X 4 5 5 Εφόον ο πληθυός από τον οποίο προέρχεται το δείγα ακολουθεί την κανονική κατανοή και γνωρίζουε την τυπική απόκλιη του πληθυού () τότε χρηιοποιούε τις τυπικές τιές της δειγατικής κατανοής. z X z X X 14 7
«το διάτηα των τιών εταξύ των οποίων θα βρίκεται ο έος όρος του πληθυού, ε πιθανότητα 95%» Πίνακας z τυπικής κατανοής 15 95% 0.95/2 = 0.4750 Άρα το 95% του πληθυού βρίκεται εταξύ των τιών -1.96 και 1.96 16 8
Συνεπώς το διάτηα επιτούνης του έου όρου του πληθυού, ε πιθανότητα 95%, θα βρίκεται εταξύ των τιών Χ 4 z 1.96 1.5 5 Χ z Χ z 1.5 1.5 4 1.96 4 1.96 5 5 2.685 5.315 17 Συνεπώς το διάτηα επιτούνης του έου όρου του πληθυού, ε πιθανότητα 95%, θα βρίκεται εταξύ των τιών Χ 4 z 1.96 1.5 5 Χ z Χ z 1.5 1.5 4 1.96 4 1.96 5 5 2.685 5.315 18 9
Αν δεν είναι γνωτή η τυπική απόκλιη του πληθυού (), και το δείγα είναι εγάλο (Ν > 30) Θέλουε να εκτιήουε εταξύ ποιών τιών θα βρίκεται ο αριθητικός έος του πληθυού, βάει του αριθητικού έου του δείγατος Δεν γνωρίζουε την τυπική απόκλιη του πληθυού (ο πληθυός πορεί να ην ακολουθεί την κανονική κατανοή το έγεθος του δείγατος είναι εγάλο (Ν > 30) Σύφωνα ε το Κ.Ο.Θ. οι δειγατικοί αριθητικοί έοι τυχαίων δειγάτων, ίου εγέθους, ακολουθούν και αυτοί την κανονική κατανοή γύρω από τον αριθητικό έο του πληθυού 19 Παράδειγα: Μια εταιρεία αθλητικών παπουτιών καταγράφει το χρόνο ζωής ενός δείγατος Ν = 120 αθλητικών παπουτιών, τα οποία έχουν χρηιοποιηθεί κατά έο όρο X 335 ώρες Η τυπική απόκλιη του δείγατος είναι 70 ώρες Η υγκεκριένη εταιρεία θέλει να προδιοριτεί εταξύ ποιών τιών θα βρίκεται ο έος όρος του πληθυού (=;), ε πιθανότητα 95%; 20 10
Εφόον το δείγα είναι εγάλο (Ν=120 > 30) για το καθοριό του διατήατος επιτούνης του έου όρου του πληθυού χρηιοποιούε την z τυπική κατανοή: X X z x Χ z Χ z 21 95% 0.95/2 = 0.4750 Άρα το 95% του πληθυού βρίκεται εταξύ των τιών -1.96 και 1.96 22 11
Συνεπώς το διάτηα επιτούνης του έου όρου του πληθυού, ε πιθανότητα 95%, θα βρίκεται εταξύ των τιών Χ 335 Χ z Χ z z 1.96 70 335 1.96 70 335 1.96 120 70 120 120 335 1.96 6.39 335 1.96 6.39 335 12.52 335 12.52 322.48 347.52 23 Συνεπώς το διάτηα επιτούνης του έου όρου του πληθυού, ε πιθανότητα 95%, θα βρίκεται εταξύ των τιών Χ 335 Χ z Χ z z 1.96 70 335 1.96 70 335 1.96 120 70 120 120 335 1.96 6.39 335 1.96 6.39 335 12.52 335 12.52 322.48 347.52 24 12
Αν δεν είναι γνωτή η τυπική απόκλιη του πληθυού (), και το δείγα είναι ικρό (Ν < 30) εφόον το δείγα είναι ικρό (Ν < 30), αντί για τις z τιές (z τυπική κατανοή) χρηιοποιούνται οι t τιές (t κατανοή). 25 Παράδειγα: Μια εταιρεία αθλητικών παπουτιών καταγράφει το χρόνο ζωής ενός δείγατος Ν = 16 αθλητικών παπουτιών, τα οποία έχουν χρηιοποιηθεί κατά έο όρο X 320 ώρες Η τυπική απόκλιη του δείγατος είναι 120 ώρες Η υγκεκριένη εταιρεία θέλει να προδιοριτεί εταξύ ποιών τιών θα βρίκεται ο έος όρος του πληθυού (=;), ε πιθανότητα 95%; 26 13
Εφόον το δείγα είναι ικρό (Ν=16 < 30) για το καθοριό του διατήατος επιτούνης του έου όρου του πληθυού δεν χρηιοποιούε την z τυπική κατανοή, αλλά την t- κατανοή: Χ t Χ t 27 Για τον υπολογιό των διατηάτων επιτούνης θα πρέπει να καθοριτεί η t τιή που αντιτοιχεί ε Ν 1 βαθούς ελευθερίας και ε επίπεδο ηαντικότητας που αντιτοιχεί την πιθανότητα των 95%, το οποίο ορίζεται ως α = 0.05. 28 14
Το υνολικό εβαδόν κάτω από την καπύλη της t κατανοής ιούται ε 1. Κατά υνέπεια για να εντοπιτεί η t τιή που αντιτοιχεί το επίπεδο ηαντικότητας α = 0.05 θα πρέπει να δηιουργηθεί η διαφορά: 1 α = 1-0.05. Επειδή όως ας ενδιαφέρουν οι τιές οι οποίες βρίκονται και δεξιά και αριτερά από τον έο όρο, θα πρέπει να υπολογιτεί η διαφορά: 1 α/2= 1-0.05/2= 1-0.025 = 0.975. 29 1 α/2= 1-0.05/2= 1-0.025 = 0.975. Ν 1 = 16 1 = 15 df \ p.60.70.80.90.95.975.99.995 1.325.727 1.367 3.08 6.31 12.71 31.82 63.66 2.289.617 1.061 1.89 2.92 4.30 6.96 9.92 3.277.584.978 1.64 2.35 3.18 4.54 5.84 4.271.569.941 1.53 2.13 2.78 3.75 4.60 5.267.559.920 1.48 2.02 2.57 3.36 4.03 6.265.553.906 144 1.44 194 1.94 245 2.45 314 3.14 371 3.71 7.263.549.896 1.42 1.90 2.36 3.00 3.50 8.262.546.889 1.40 1.86 2.31 2.90 3.36 9.261.543.883 1.38 1.83 2.26 2.82 3.25 10.260.542.879 1.37 1.81 2.23 2.76 3.17 11.260.540.876 1.36 1.80 2.20 2.72 3.11 12.259.539.873 1.36 1.78 2.18 2.68 3.06 13.259.538.870 1.35 1.77 2.16 2.65 3.01 14.258.537.868 1.34 1.76 2.14 2.62 2.98 15.258.536.866 1.34 1.75 2.13 2.60 2.95 16.258.535.865 1.34 1.75 2.12 2.58 2.92 17.257.534.863 1.33 1.74 2.11 2.57 2.90 18.257.534.862 1.33 1.73 2.10 2.55 2.88 19.257.533.861 1.33 1.73 2.09 2.54 2.86 20.257.533.860 1.32 1.72 2.09 2.53 2.84 30 15
Συνεπώς, το διάτηα επιτούνης το οποίο θα βρίκεται ο έος όρος του πληθυού ε πιθανότητα 95%, θα είναι X 320 ώρες ρς t( 1; 1 (α/2)) = 2.13. Ν = 16 120 ώρες Χ t Χ t 120 120 320 2.13 320 2.13 16 16 320 2.1330 320 2.1330 320 63.9 320 63.9 256.1 383.9 31 Συνεπώς, το διάτηα επιτούνης το οποίο θα βρίκεται ο έος όρος του πληθυού ε πιθανότητα 95%, θα είναι X 320 ώρες ρς t( 1; 1 (α/2)) = 2.13. Ν = 16 120 ώρες Χ t Χ t 120 120 320 2.13 320 2.13 16 16 320 2.1330 320 2.1330 320 63.9 320 63.9 256.1 383.9 32 16
33 17