την αρχή Ο του ΟΧY, που είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Εάν

Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση, όταν οι αποστάσεις των υλικών του σηµείων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς (ε, παραµένουν αµετάβλητες µε τον χρόνο. Για την µελέτη της επίπεδης κίνησης στερεού σώµατος αρκεί να µελετήσουµε την κίνηση µιας τοµής (S αυτού, µε επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο αναφοράς (ε και διερχόµενο από κάποιο χαρακτηριστικό σηµείο του σώµατος, που ονοµάζεται πόλος της επίπεδης κίνησης. Eάν ο πόλος της κίνη σης είναι το κέντρο µάζας του σώµατος, τότε η τοµή (S ονοµάζεται κύρια τοµή του στερεού σώµατος. Κατά την επίπεδη κίνηση η κύρια τοµή µετατοπίζε ται σε σταθερό επίπεδό ΟΧΥ, που σηµαίνει ότι τόσο το κέντρο µάζας του σώµατος όσο και οποιοδήποτε σηµείο Α της κύριας τοµής µετατοπίζεται ως προς την αρχή Ο του ΟΧY, που είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Εάν R R είναι τα διανύσµατα θέσεως των και αντιστοίχως ως προς την αρχή Ο και r το διάνυσµα θέσεως του Α ως προς το, θα ισχύει η σχέση: R = R + r (1 Σχήµα 1 Παραγωγίζοντας την (1 ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: d R = d R + d r v = v + v / ( όπου v, v οι ταχύτητες των Α και αντιστοίχως στο σύστηµα ΟΧY και v / η ταχύτητα του Α ως προς την κινητή αρχή ή το ίδιο ως προς το µη αδρανει ακό σύστηµα αναφοράς xy, που είναι άρρηκτα συνδεδεµένο µε το σώµα. Όµως, αν είναι η γωνιακή ταχύτητα του σηµείου Α περί άξονα κάθετο στην κύρια τοµή και διερχόµενo από το, θα ισχύει v / =( " r και η ( γράφεται: v = v +( " r (3

H σχέση (3 µας επιτρέπει να διατυπώσουµε την εξής πρόταση: H ταχύτητα ένος σηµείου στερεού σώµατος που εκτελεί επίπεδη κίνηση, θεωρούµενη ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, είναι το δια νυσµατικό άθροισµα της ταχύτητας v του κέντρου µάζας του ως προς το σύστηµα αυτό και της ταχύτητας ( " r του σηµείου, της οφειλόµε νης στην περιστροφή του σώµατος περί άξονα διερχόµενο από το κέντ ρο µάζας του και κάθετο στο επίπεδο κίνησης. Παρατήρηση 1η: Εάν η αρχή του κινητού συστήµατος αναφοράς δεν ληφθεί το κέντρο µάζας του σώµατος, αλλά ένα οποιοδήποτε σηµείο P της κύριας τοµής, του οποίου η επιβατική ακτίνα ως προς το είναι, τότε η (3 γράφεται: v = v + [ " ( r # + $ ] = v + ( " $ + ( " r # (4 όπου r το διάνυσµα θέσεως του σηµείου Α ως προς την νέα αρχή P. Όµως η ταχύτητα v µπορεί να εκφρασθεί και ως συνάρτηση της ταχύτητας v P της αρ χής P ως προς το ΟΧY και της νέας γωνιακής ταχύτητας περιστροφής " περί άξονα διερχόµενο από την αρχή P και κάθετο στο επίπεδο κίνησης, δηλαδή θα ισχύει: v = v P + (" # r (5 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4 και (5 παίρνουµε: v P = v + ( " # και " = " δηλαδή η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής είναι ανεξάρτητη από την εκλο γή του κινητού συστήµατος συντεταγµένων. Παρατήρηση η: Είναι δυνατόν να επιλέξουµε µία αρχή P, της οποίας η ταχύτητα v P ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΟXY να είναι µηδενική, οπότε σύµφωνα µε την (5 θα έχουµε για την ταχύτητα v την σχέση: v = (" # r δηλαδή η κίνηση του στερεού θα είναι γνήσια περιστροφή περί άξονα διερχόµε νο από την αρχή P και κάθετο στο επίπεδο κίνησης. Ο άξονας αυτός ονοµάζεται στιγµιαίος άξονας περιστροφής του στερεού η δε σηµείο P ονοµάζεται στιγ µιαίο κέντρο περιστροφής ή στιγµιαίος πόλος της επίπεδης κίνησης. Ο στιγ µιαίος πόλος µπορεί να ανήκει στην κύρια τοµή του σώµατος ή στην επέκτασή της. Ας δέχθούµε τώρα ότι το σηµείο Α της κύριας τοµής αποτελεί κατά την χρονική στιγµή t στιγµιαίο πόλο του στερεού, οπότε η σχέση (3 γράφεται: 0 = v +( " r (1 0 = v +[ " ( R - R ]

[ " ( R - R ] = - v (6 Πολλαπλασιάζοντας εξωτερικά τα δύο µέλη της (6 µε το διάνυσµα παίρνου µε την σχέση: { " [ " ( R - R ]} = -( " v η οποία µε βάση την διανυσµατική ταυτότητα: γράφεται: [( a b c ] = ( a " c b - ( b " c a [ " ( R - R ] - ( R - R ( " = -( # v Όµως το διάνυσµα είναι κάθετο στο ( R - R, οπότε το εωτερικό τους γίνο µενο είναι µηδενικό και η προηγούµενη σχέση γράφεται: - ( R - R = -( " v R = R + ( " v (7 Η (7 επιτρέπει τον καθορισµό της θέσεως του στιγµιαίου πόλου Α ως προς την αρχή Ο κατά µια χρονική στιγµή t σε συνάρτηση µε τα αντίστοιχα στοιχεία R, v, της επίπεδης κίνησης. Η πιο πάνω σχέση (7 γράφεται: R - R = ( " v (1 r = ( " v (8 Η (8 καθορίζει την θέση του στιγµιαίου πόλου Α ως προς το κέντρο µάζας, δηλαδή ως προς το κινητό µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς xy. Με βάση τα Σχήµα προηγούµενα γίνεται αντιληπτό ότι κατά την κίνηση του στερεού το γεωµετρι κό σηµείο που κάθε στιγµή συµπίπτει µε τον αντίστοιχο στιγµιαίο πόλο του δι αγράφει ως προς µεν το αδρανειακό σύστηµα ΟXY µια τροχιά Β που περιγρά φεται από την (7, ως προς δε το κινητό µη αδρανειακό σύστηµα xy µια τροχιά

Κ που περιγράφεται από την (8. Η τροχιά Β είναι µια απόλυτη τροχιά συσχε τισµένη µε το σύστηµα ΟΧY και ονοµάζεται βάση του σώµατος ή κεντρώδες χώρου η δε τροχιά Κ είναι µια σχετική τροχιά συσχετισµένη µε το κινητό σύστηµα xy και ονοµάζεται κυλιόµενη του σώµατος ή κεντρώδες αυτού. Θα δείξουµε ότι οι δύο αυτές τροχιές εφάπτονται κάθε στιγµή στην θέση του αντίστοιχου στιγµιαίου πόλου και ότι τα µήκη των τόξων που διαγράφει επί των τροχιών αυτών ο στιγµιαίος πόλος σε δεδοµένο χρόνο είναι ίσα. Ας δεχθού µε ότι το γεωµετρικό σηµείο Α που κάποια χρονική στιγµή t συµπίπτει µε τον αντίστοιχο στιγµιαίο πόλο του στερεού, έχει ως προς µεν το σύστηµα ΟΧY τα χύτητα v (απόλυτη ταχύτητα ως προς δε το σύστηµα xy ταχύτητα v (σχε τική ταχύτητα. Τότε τα διανύσµατα v, v θα ικανοποιούν την σχέση: v = v " + v µ (9 όπου v µ η µετοχική ταχύτητα του Α, δηλαδή η ταχύτητά του αν αυτό ήταν στα θερά συνδεδεµένο µε το σύστηµα xy και µετείχε της κινήσεώς του. Όµως την χρονική στιγµή t ισχύει v µ = 0, διότι το σηµείο Α κατέχει την θέση του στιγµι αίου πόλου, οπότε η (9 δίνει v = v " που σηµαίνει ότι οι τροχιές Β και Κ έχουν την χρονική στιγµή t κοινή εφαπτοµένη, δηλαδή οι δύο αυτές συνεπίπεδες τροχιές εφάπτονται στην θέση Α του αντίστοιχου στιγµιαίου πόλου. Εξάλλου η τροχιά Β έχει σταθερή θέση στο ΟΧY, ενώ η K µετακινείται συνεχώς ως προς το σύστηµα αυτό, έστω δε ότι κατά τις χρονικές στιγµές t 1, t οι αντίστοιχες θέσεις της Κ 1, Κ είναι αυτές που φαίνονται στο σχήµα (. Το σηµείο επαφής τους θα έχει µετατοπιστεί κατά τον χρόνο t -t 1 επί µεν της τροχιάς Β από την θέση Α 1 στην θέση Α, επι δέ της τροχιάς Κ από την θέση Α 1 στην θέση Α 1, δηλαδή ο στιγµιαίος πόλος στον χρόνο t -t 1 διέγραψε επί µεν της τροχιάς Β το τόξο Α 1 Α επί δε της τροχιάς Κ το τόξο Α 1 Α 1. Για τα µήκη των τόξων αυτών ισχύουν οι σχέσεις: t 1 = " (v και 1 1 = # (v " t 1 t t 1 οι οποίες λόγω της v = v " δίνουν 1 = 1 1. Κατά την επίπεδη λοιπόν κίνη ση του στερεού σώµατος η τροχιά Κ κινείται επί της σταθερής τροχιάς Β εφα πτόµενη συνεχώς αυτής, το δε σηµείο επαφής διαγράφει πάνω σ αυτές ίσα τόξα. Η ιδιότυπη αυτή κίνηση της τροχιάς Κ επί της Β ονοµάζεται κύλιση. Με βάση τα παραπάνω µπορούµε να ισχυριστούµε ότι κάθε επίπεδη κίνηση στερε ού, µε εξαίρεση την µεταφορική κίνηση, µπορεί να παραχθεί διά κυλίσεως µιας καµπύλης γραµµής, σταθερά συνδεδεµένης µε την κύρια τοµή του στερεού, επί µιας σταθερής καµπύλης που βρίσκεται στο επίπεδο της κύριας τοµής. Για την πληρέστερη κατανόηση όσων αναφέρθηκαν στα προηγούµενα, θα εξετάσουµε τα εξής δύο παραδείγµατα: Ένας κύλινδρος κινείται επί οριζοντίου εδάφους εφαπτόµενος αυτού µε την παράπλευρη επιφάνειά του, ώστε ο γεωµε τρικός του άξονας να µετατοπίζεται ευθύγραµµα, ενώ ο κύλινδρος

περιστρέφεται περί τον άξονα αυτόν. Να βρείτε την κυλιόµενη καµπύ λη Κ και την βάση Β της κίνησης του κυλίνδρου. ΛΥΣΗ: Η κίνηση του κυλίνδρου είναι µια επίπεδη κίνηση της οποίας η κύρια τοµή (S είναι κύκλος ακτίνας ίσης µε την ακτίνα r του κυλίνδρου, ο οποίος εφάπτεται του οριζόντιου εδάφους. Εάν v είναι η ταχύτητα του κέντρου µά ζας του κυλίνδρου και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του, τότε το διά νυσµα θέσεως R του στιγµιαίου πόλου Α της κίνησης του κυλίνδρου, ως προς την αρχή Ο του αδρανειακού συστήµατος αναφοράς ΟΧY, θα ικανοποιεί την σχέση: R = R + ( " v (1 Σχήµα 3 όπου R το διάνυσµα θέσεως του κέντρου µάζας ως προς την αρχή Ο. Εάν Χ Α, Y είναι οι συνιστώσες (αλγεβρικές τιµές του διανύσµατος R και Χ η Χ- συνιστώσα του R η (1 γράφεται: X i + Y j = X i + r j + - ( k " v i X i + Y j = X i + r j - v X i + Y j = X i + r j - v j k " i ( X = X " # Y = r - v / $ όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων ΟΧ και ΟY αντιστοίχως. Οι σχέσεις ( εξασφαλίζουν ότι, ο στιγµιαίος πόλος Α βρίσκεται συνεχώς κάτω από το κέντρο µάζας σε απόσταση v /ω από αυτό, που σηµαίνει ότι η βάση (Β της κίνησης του κυλίνδρου είναι µια ευθεία γραµµή παράλληλη πρός το έδα φος σε απόσταση r-v /ω από αυτό. Εξάλλου το διάνυσµα θέσεως R του στιγ µιαίου πόλου Α, ως προς το κέντρο µάζας, ικανοποιεί την σχέση: (

R = ( " # v = -" k # v i " ( = - v " " j (3 δηλαδή η κυλιόµενη (Κ της κίνησης του κυλίνδρου είναι περιφέρεια κέντρου και ακτίνας v /ω. Με βάση τα παραπάνω µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η επίπεδη κίνηση του κυλίνδρου επί του οριζόντιου εδάφους παράγεται διά κυλί σεως της περιφέρειας (, v /ω επί της ευθείας Y =r-v /ω. Στην ειδική περί πτωση που ισχύει v =rω, τότε η κυλιόµενη (Κ είναι η περιφέρεια της κύριας τοµής (S του κυλίνδρου και η βάση (Β η ευθεία ΟΧ του εδάφους. Στην περί πτωση αυτή λέµε ότι ο κύλινδρος κυλίεται επί του εδάφους. Οµογενής σφαίρα ακτίνας r κινείται επί σταθερού ηµισφαιρίου κέντρου Ο και ακτίνας R>r εφαπτόµενη αυτού, ώστε το κέντρο της να διαγράφει επί κατακορύφου επιπέδου κυκλικό τόξο κέντρου Ο και ακτίνας R-r. Εάν η σφαίρα έχει και περιστροφική κίνηση περί οριζόντιο άξονα διερχόµενο από το κέντρο της, να βρεθεί η κυλιόµεµη καµπύλη (Κ και η βάση (Β της επίπεδης κίνησης της σφαίρας. ΛΥΣΗ: Στο παράδειγµα αυτό πρόκειται για επίπεδη κίνηση σφαίρας επί της κυρτής επιφάνειας σταθερού ηµισφαιρίου. Η κύρια τοµή (S της σφαίρας είναι κύκλος ακτίνας r που εφάπτεται του ηµισφαιρίου ακτίνας R, το δε κέντρο του διαγράφει κυκλικό τόξο ακτίνας R-r. Eάν v είναι η στιγµιαία ταχύτητα του Σχήµα 4 κέντρου της σφαίρας και η αντίστοιχη γωνιακή της ταχύτητα, τότε το διάνυσµα θέσεως R του αντίστοιχου στιγµιαίου πόλου Α της σφαίρας ως προς την αρχή Ο του αδρανειακού συστήµατος αναφοράς ΟΧY, θα ικανοποιεί την σχέση: R = R + ( " v (1

όπου R το διάνυσµα θέσεως του κέντρου µάζας ως προς την αρχή Ο. Η πιο πάνω σχέση γράφεται: ( v " X i + Y j = X i + Y j + ( όπου (Χ Α, Y είναι οι συνιστώσες (αλγεβρικές τιµές του διανύσµατος R, (Χ,Y oι συνιστώσες (αλγεβρικές τιµές του R και i, j τα µοναδιαία διανύσ µα τα των αξόνων ΟΧ και ΟY αντιστοίχως. Όµως έχουµε τις σχέσεις: X = ( R + rµ" και Y = ( R + r"#$ όπου φ η γωνία του διανύσµατος R µε τον άξονα ΟY, οπότε η ( γράφεται: X i + Y j = R + r ( µ" i + #$%" (& ' v ( j + Εξάλλου για το εξωτερικό γινόµενο ( " v ισχύει: " ( v = i j k 0 0 - v x v y 0 = i & (3 j k 0 0 - v #µ$ v %&'$ 0 ( " v = -v #µ$ i - v %&'$ j = -v #µ$ i + %&'$ j ( (4 όπου k το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την κάθετη διεύθυνση στo επίπεδο ΟΧY. Mε βάση την (4 η (3 γράφεται: X i + Y j = R + r X i + Y j = ( (µ" i + #$%" j - &v ( i + #$%" j " $ # R + r - v % ' (µ i + *+, j & & µ" ( X Y = ( R + rµ" - v µ" /# ' ( = ( R + r$%&" - v $%&" /# * (5 Οι σχέσεις (5 αποτελούν τις παραµετρικές εξισώσεις του στιγµιαίου πόλου της επίπεδης κίνησης της σφαίρας, ως προς το αδρανειακό σύστηµα ΟΧY. Στην περί πτωση που ισχύει v =ωr οι σχέσεις (5 δίνουν: X = Rµ" και Y = R"#$

δηλαδή στην περίπτωση αυτή η βάση (Β της επίπεδης κίνησης είναι η περιφέ ρεια κέντρου Ο και ακτίνας R. Eξάλλου το διάνυσµα θέσεως R του στιγµιαίου πόλου Α ως προς το κέντρο, ικανοποιεί την σχέση: R = "# (4 R " = - v " #µ$ i + %&'$ j ( v ( R = v " R = v " Στην περίπτωση που ισχύει v =ωr, η προηγούµενη σχέση δίνει R = r δηλαδή η κυλιόµενη καµπύλη (Κ της επίπεδης κίνησης είναι η κύρια τοµή (S. Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι η σφαίρα ακτίνας r κυλίεται επί του σταθερού ηµι σφαιρίου ακτίνας R. P.M. fysikos Οµογενής κύλινδρος ακτίνας r κυλίεται επί κοίλης κυλινδρικής επιφάνειας ακτίνας R>r, ώστε ο άξονας του κυλίνδρου να παραµένει παράλληλος πρός τον άξονα της κυλινδρικής επιφάνει ας. Την στιγµή t=0 που ο κύλινδρος αφήνεται ελεύθερος η ευθεία που συνδέει το κέντρο µάζας του κυλίνδρου µε το κέντρο Ο της κυλινδρ ικής επιφάνειας σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ 0 <π/. i Εάν ο συντελεστής οριακής τριβής στην επαφή των δύο κυλίνδρων είναι n= 3/9, να βρείτε την µέγιστη επιτρεπόµενη τιµή της γωνίας φ 0, ώστε να εξασφαλίζεται η κύλιση του κυλίνδρου. ii Τι θα συµβεί αν φ 0 =π/ και τι αν η γωνία φ 0 είναι πολύ µικρή; Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mr / του κυλίνδρου ως πρoς τον γεωµετ ρικό του άξονα. ΛΥΣΗ: i Εξετάζουµε τον κύλινδρο την χρονική στιγµή t που η ευθεία O σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση Οy γωνία φ. Την στιγµή αυτή ο κύλινδρος δέχεται το βάρος του w και την δύναµη επαφής από την κυλινδρι κή επιφάνεια, η οποία αναλύεται στην στατική τριβή T µε φορέα εφαπτόµενο των δύο κυλίνδρων και στην κάθετη αντίδραση N, µε φορέα την ευθεία O. Το κέντρο µάζας του κυλίνδρου διαγράφει κυκλική τροχιά κέντρου Ο και ακτί νας R-r κινείται δε ως υλικό σηµείο µάζας m=w/g επί του οποίου επιδρούν οι

δυνάµεις w, N και T. Εφαρµόζοντας για κυλιόµενο κύλινδρο το θεώρηµα διατή ρησης της µηχανικής ενέργειας κατά την µετατόπισή του από την αρχική του θέση στην θέση φ, παίρνουµε: U "# + K "# = U (t + K (t Σχήµα 5 -mg( R - r"#$ 0 + 0 = -mg( R - r"#$ + mv + I % mg( R - r ("#$ - "#$ 0 = mv + mr % 4 4g( R - r ("#$ - "#$ 0 = v + r % (1 όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας και γωνιακή ταχύτητα της περισ τροφής του κυλίνδρου περί τον γεωµετρικό του άξονα. Όµως λόγω της κύλι σης ισχύει v =ωr, οπότε η (1 γράφεται: 4g( R-r ("#$-"#$ 0 = v + v v = 4g( R-r ("#$-"#$ 0 / 3 ( Όµως η συνισταµένη των ακτινικών δυνάµεων N και w αποτελεί κεντροµό λο δύναµη για το κέντρο µάζας του κυλίνδρου, οπότε θα ισχύει: N - w = mv R - r N = mg"#$ + mv ( R - r ( ("#$-"#$ 0 ( 4mg R-r N = mg"#$ + 3 R - r N = mg ["#$ + 4 ("#$-"#$ 0 / 3] (3

Εξάλλου η συνισταµένη των εφαπτοµενικών δυνάµεων w 1 και T αποτελεί για την κίνηση του κέντρου µάζας επιτρόχια δύναµη, οπότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: w 1 - T = ma e mgµ" - T = ma e (4 όπου a e η επιτρόχια επιτάχυνση του κέντρου. Eφαρµόζοντας για τον κύλιν δρο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: Tr = I " Tr = mr " / T = mr " / (5 Όµως λόγω της κύλισης ισχύει a e =ω r, οπότε η (5 γράφεται: T = ma e / (6 Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (4 και (6 παίρνουµε: mgµ" - T T = T = mgµ" 3 Επειδή η τριβή T είναι στατική θα ισχύει Τ nn, η οποία συνδυαζόµενη µε τις σχέσεις (3 και (7 δίνει: mgµ" 3 ( ' # nmg $%&" + 4 $%&"-$%&" 0 ( 3 µ" # n[ 3$%&" + 4 ( $%&"-$%&" 0 ] (8 H σχέση (8 πρέπει να ισχύει και κατά την έναρξη της κίνησης, δηλαδή για φ=φ 0, οπότε θα έχουµε: µ" 0 # 3n$%&" 0 µ" 0 /#$%" 0 & 3n "# 0 $ 3n "# 0 $ 3 3 / 9 "# 0 $ 3 / 3 "# 0 $ "(% / 3 ( 0 max = " / 3 ii ν δεχθούµε ότι φ 0 =π/, τότε η σχέση "# 0 $ 3n επιβάλλει θεωρητικά άπειρο συντελεστή οριακής τριβής για να εξασφαλίζεται η κύλιση του κυλίνδρου, που σηµαίνει ότι όταν ο κύλινδρος αφεθεί ελεύθερος αρχικά θα ολισθαίνει περιστρε φόµενος και πιθανόν από κάποια στιγµή και µετά να κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Στην συνέχεια θα εξετάσουµε τι θα συµβεί, όταν η γωνία φ 0 είναι πολύ µικρή (λογουχάρη της τάξεως των πέντε µοιρών. Διαφορίζοντας την ( παίρνουµε: *, +, (7 v dv = -4g(R - rµ" d" /3 v dv g(r - r = - µ" d" 3 (9

Όµως για την ταχύτητα v ισχύει και η σχέση: v = (R -r d dv = (R -r d οπότε η (9 γράφεται: (R -r d (R -r d g(r - r = - 3 "µ d (R -r d + g 3 "µ = 0 (10 Η (10 αποτελεί την διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του κέν τρου µάζας του κυλιόµενου κυλίνδρου. Eάν η αρχική τιµή φ 0 της γωνίας φ είναι πολύ µικρή τότε µπορούµε κάθε στιγµή να γράφουµε την προσεγγιστική σχέση ηµφ φ, όπου η γωνία φ θεωρείται σε rad και τότε η (10 γράφεται: d + g 3(R -r = 0 d +k = 0 (5 µε k =g/3(r-r. H (5 απότελεί την τυπική διαφορική εξίσωση µιας αρµονικής κίνησης, της οποίας η περίοδος Τ * δίνεται από την σχέση: T * = k 3( R -r = g (6 Στην διάρκεια λοιπόν που ο κύλίνδρος κυλίεται χωρίς ολίσθηση στην κοίλη επιφάνεια του κυλίνδρου, το κέντρο µάζας του εκτελεί µε καλή προσέγγιση γραµµική αρµονική ταλάντωση. P.M. fysikos Oµογενής τροχαλία ακτίνας R κυλίεται κατά µή κος κοίλης συρµάτινης τροχιάς που είναι στερεωµένη σε κατακόρυ φο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήµα (6. Εάν η τροχιά έχει την µορ φή κυκλοειδούς καµπύλης µε παραµετρικές εξισώσεις: ( ( x = " - #µ" y = 1 - $%&" ' ( * 0 " # και α>0 να δείξετε ότι, κατά την κύλιση της τροχαλίας ισχύει η σχέση: % R = "#µ $ - R ( ' * & d$

όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της τροχαλίας περί άξονα κάθετο στο επιπεδό της και διερχόµενο από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: Εάν v είναι η ταχύτητα του κέντρου της κυλιόµενης τροχαλίας κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t και η αντίστοιχη γωνιακή της ταχύτητα, θα ισχύει λόγω της κυλίσεως η σχέση: v = R (1 Όµως για το µέτρο της v ισχύει η σχέση: v = dx $ # & " % + dy $ # & " % ( Σχήµα 6 όπου x, y οι συντεταγµένες του κέντρου κατά την στιγµή t. Εξάλλου εάν x, y είναι οι αντίστοιχες συντεταγµένες του σηµείου επαφής Α της τροχαλίας µε την κυκλοειδή τροχιά, από το σχήµα (6 θα έχουµε τις σχέσεις: x = x + B = x + Rµ " / - # y = y - ' = y - R$%& " / - # ( = x + R$%&# ( = y - Rµ# (* + * (3 όπου θ η γωνία που σχηµατίζει η προέκταση της Α µε τον άξονα Οx. Eπειδή η Α είναι ορθογώνια ως προς την εφαπτοµένη (e της κυκλοειδούς τροχιάς στο σηµείο επαφής Α θα ισχύει η σχέση: "(# - $ % dy dx = -1 "# = dx dy (4 Διαφορίζοντας τις παραµετρικές εξισώσεις της κυκλοειδούς τροχιάς παίρνουµε: dx = ( 1 - "#$%d% ' ( dy = &µ%d% οπότε η σχέση (4 γράφεται:

"# = $ ( 1 - %&'( d( $µ( d( µ (( / = µ (( / %&'(( / = µ (( / %&'(( / "# ="($ / =" / (5 Συνδυάζοντας την (5 µε τις σχέσεις (3 έχουµε: x = x + R"#($ / & ' y = y - R%µ ($ / ( x = " - #µ" y = 1 - $%&" ( + R$%& (" / ( - R#µ (" / ' ( * (6 Παραγωγίζοντας τις σχέσεις (6 ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: και dx = ( 1 - "#$% d% dy - R &µ ' % * d%, ( + = ' &µ % - R * ( +, &µ ' % * (, + d# = "µ# - R $%& ' # * d#, ( + = ' $%& # - R * ( +, $%& ' # * (, + d# d% (7 (8 Η ( λόγω των (7 και (8 γράφεται: $ v = "µ # - R ' & % ( $ #' $ d# ' "µ & & % ( % ( $ + *+, # - R ' & % ( $ #' $ d# ' *+, & & % ( % (, # "& # "& / v =.µ % ( +*+ % ( - $ ' $ ' 0 1 µ " - R # & # d" & % $ ( % ( ' $ ' = µ " - R # & # d" & % ( % ( $ ' $ ' $ v = "µ # - R ' $ d# ' & & (9 % ( % ( H (9 συνδυαζόµενη µε την (1 δίνει την αποδεικτέα σχέση: % R = "#µ $ - R ( % d$ ( ' * ' * & & P.M. fysikos