Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη ψυχής, ώστε στο τέλος να έχετε την μεγαλύτερη δυνατή επιτυχία!» Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ον ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, αφού το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός Για να ξεπεράσουμε την «αδυναμία» αυτή, διευρύνουμε το σύνολο σε ένα σύνολο, το οποίο θα έχει τις ίδιες πράξεις αλλά και τις ίδιες ιδιότητες των πράξεων αυτών με το, και στο οποίο θα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης, δηλαδή ένα στοιχείο, τέτοιο, ώστε Στο σύνολο, δεχόμαστε ότι η εξίσωση επιλύεται ως εξής: ή Σύμφωνα με τις παραδοχές αυτές το διευρυμένο σύνολο θα έχει ως στοιχεία: Όλους τους πραγματικούς αριθμούς Όλα τα στοιχεία της μορφής β, δηλαδή όλους τους αριθμούς που είναι που είναι γινόμενα των στοιχείων β του με το και τα οποία καλούνται φανταστικοί αριθμοί Το σύνολο των φανταστικών αριθμών συμβολίζεται με», δηλαδή»{β, όπου β και } Όλα τα αθροίσματα της μορφής α β, με α και β πραγματικούς αριθμούς Τα στοιχεία του λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Επομένως: Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι, ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο, με το μηδέν (0) να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα () το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, Υπάρχει ένα στοιχείο τέτοιο, ώστε, Κάθε στοιχείο του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή α β, όπου α, β Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Μάθε καλά τα επόμενα Κάθε μιγάδας έχει την μορφή α β με α, β Είναι λοιπόν αλγεβρικό άθροισμα δυο αριθμών, του πραγματικού α και του φανταστικού αριθμού β Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του και σημειώνεται Re( ) Ο β λέγεται φανταστικό μέρος του και σημειώνεται Im( ) Στο σύνολο στο, κάθε πραγματικός αριθμός α εκφράζεται ως α 0, ενώ κάθε φανταστικός αριθμός β εκφράζεται ως 0 β Στη συνέχεια, όταν λέμε ο μιγαδικός α β, εννοούμε ότι οι α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και το γεγονός αυτό δε θα τονίζεται ιδιαίτερα Καθαρός μιγαδικός λέγεται ο α β, όταν α 0 και β 0 Το σύνολο των καθαρών μιγαδικών το συμβολίζουμε με - Ισότητα Μιγαδικών Αριθμών Επειδή κάθε μιγαδικός αριθμός γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφή α β, δύο μιγαδικοί αριθμοί α β και γ δ είναι ίσοι, αν και μόνο αν α γ και β δ Δηλαδή ισχύει: α β γ δ α γ και β δ Επειδή 0 0 0, έχουμε α β 0 α 0 και β 0 Μετά τον ορισμό της ισότητας μιγαδικών αριθμών δημιουργείται το ερώτημα αν διατάσσονται οι μιγαδικοί αριθμοί Γνωρίζουμε ότι, κατά την επέκταση από το Õ στο Ÿ, οι πράξεις, η διάταξη και οι ιδιότητες αυτών οι οποίες ισχύουν στο Õ, μεταφέρονται και στο Ÿ Τα ίδια συμβαίνουν και για τις επεκτάσεις από το Ÿ στο και από το στο Στην επέκταση, όμως, από το στο, ενώ οι πράξεις και οι ιδιότητες αυτών που ισχύουν στο εξακολουθούν να ισχύουν και στο, εν τούτοις η διάταξη και οι ιδιότητές της δεν μεταφέρονται, δηλαδή οι έννοιες >,, <, μεταξύ δυο μιγαδικών ή δυο φανταστικών, ή μεταξύ ενός μιγαδικού και ενός φανταστικού δεν έχουν νόημα Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσεξε λοιπόν ότι αν ισχύει η σχέση α β γ δ, αυτό θα σημαίνει ότι βρίσκεσαι στους πραγματικούς αριθμούς, οπότε: β δ 0 και α γ Αντίστοιχα συμπεράσματα έχουμε και στις σχέσεις α β > γ δ, α β γ δ, α β < γ δ Επίσης δεν υπάρχουν θετικοί ή αρνητικοί μιγαδικοί ή φανταστικοί αριθμοί Πρόσεξε λοιπόν ότι αν ισχύει η σχέση α β 0, αυτό θα σημαίνει ότι βρίσκεσαι στους πραγματικούς αριθμούς, οπότε: β 0 και α 0 Αντίστοιχα συμπεράσματα έχουμε και στις σχέσεις α β > 0, α β 0, α β < 0 Γεωμετρική Παράσταση Μιγαδικών Kάθε μιγαδικό αριθμό α β μπορούμε να y τον αντιστοιχίσουμε στο σημείο M( α, β) ενός καρτεσιανού επιπέδου και αντίστροφα, M(α,β) ή Μ() β κάθε σημείο M( α, β) του καρτεσιανού αυτού επιπέδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε στο μιγαδικό α β Το σημείο M λέγεται εικόνα του μιγαδικού α β Aν θέσουμε Ο a α β, τότε το σημείο M( α, β) μπορούμε να το συμβολίζουμε και με M () Ένα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών θα αναφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο Ο άξονας λέγεται πραγματικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M( α,0) που είναι εικόνες των πραγματικών αριθμών α α 0, ενώ ο άξονας y y λέγεται φανταστικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M(0, β ) που είναι εικόνες των φανταστικών β 0 β Ένας μιγαδικός α β παριστάνεται επίσης και με τη διανυσματική ακτίνα, OM, του σημείου M( α, β) Οι πράξεις στο σύνολο σύνολο των μιγαδικών αριθμών Σύμφωνα με τον ορισμό του, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικών αριθμών γίνονται όπως ακριβώς και οι αντίστοιχες πράξεις με διώνυμα α β στο, όπου βέβαια αντί για έχουμε το Έτσι: Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Για την πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμών α β και γ δ ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) έχουμε: Για παράδειγμα, ( 4) (5 6) ( 5) (4 6) 8 Για την πρόσθεση ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες: Αντιμεταθετική, δηλαδή, για κάθε, Προσεταιριστική, δηλαδή ( ) ( ), για κάθε,, Έχει ουδέτερο στοιχείο το 0, δηλαδή 0 0, για κάθε 4 Για κάθε μιγαδικό αριθμό υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός τέτοιος ώστε να ισχύει: 0 Ο καλείται αντίθετος του και συμβολίζεται με Ισχύει λοιπόν ότι ( ) ( ) 0 Αν α β, τότε α β, δηλαδή Re( ) Re() και Im( ) Im() Για την αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού γ δ από τον α β, επειδή ο αντίθετος του μιγαδικού γ δ είναι ο μιγαδικός γ δ, έχουμε: ( α β) ( γ δ) ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) Δηλαδή ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) Για παράδειγμα ( 4) (5 6) ( 5) (4 6) 0 Αν M ( α, β) και M ( γ, δ) είναι οι εικόνες των α β και γ δ αντιστοίχως στο y μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) παριστάνεται με το σημείο M( α γ, β δ) M (γ,δ) M(αγ,βδ) Επομένως, OM OM OM, δηλαδή: Ο M (α,β) Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α β και γ δ είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 4

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Επίσης, η διαφορά ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β δ) παριστάνεται με το σημείο N( α γ, β δ) y Ο Μ (γ,δ) Μ (α,β) Επομένως, ON OM OM, δηλαδή: Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α β και γ δ είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους Για τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών α β και γ δ έχουμε: ( α β)( γ δ) α( γ δ) β( γ δ) αγ αδ βγ ( β)( δ) αγ αδ βγ βδ αγ αδ βγ βδ ( αγ βδ) ( αδ βγ) Δηλαδή, ( α β)( γ δ) ( αγ βδ) ( αδ βγ) Για παράδειγμα, Μ ( γ, δ) Ν(α γ,β δ) ( 4) ( 5 6) 5 8 0 4 ( 5 4) ( 0 8) 9 α β Τέλος, για να εκφράσουμε το πηλίκο, όπου γ δ 0, στη μορφή γ δ κ λ, πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παρονομαστή και έχουμε: α β ( α β)( γ δ) ( αγ βδ) ( βγ αδ) αγ βδ βγ αδ γ δ ( γ δ)( γ δ) γ δ γ δ γ δ Δηλαδή, α β γ δ γ αγ βδ δ βγ αδ γ δ Για παράδειγμα: ( )( ) 6 ( )( ) 9 7 0 Δύναμη Μιγαδικού Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού με εκθέτη ακέραιο ορίζονται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς, δηλαδή ορίζουμε:,,, και γενικά ν ν, για κάθε θετικό ακέραιο ν, με ν > Επίσης, αν 0, ορίζουμε 0 ν, για κάθε θετικό ακέραιο ν ν 0 7 0 Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 5

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Για τις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες που ισχύουν και για τις δυνάμεις των πραγματικών αριθμών Ιδιαίτερα για τις δυνάμεις του έχουμε: 0,,, Στη συνέχεια, παρατηρούμε ότι είναι: 4, 5 4, 6 4, 7 4, 4 ν δηλαδή, μετά το οι τιμές του επαναλαμβάνονται Άρα, για να υπολογίσουμε συγκεκριμένη δύναμη του, γράφουμε τον εκθέτη ν στη μορφή ν 4 ρ υ, όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το 4, οπότε έχουμε:, αν υ 0 ν 4ρυ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ, αν υ ( ) -, αν υ, αν υ 4 4 Για παράδειγμα: 6 4 4 0 Ο συζυγής ενός μιγάδα 0 9 4 4, 4 5, Έστω ο μιγαδικός αριθμός α β Τον μιγαδικό με το ίδιο πραγματικό μέρος και αντίθετο φανταστικό, δηλαδή τον α β τον λέμε συζυγή του α β και τον συμβολίζουμε α β α β Ιδιότητες Συζυγών Επειδή οι συζυγείς μιγαδικοί, όπως θα δούμε στις επόμενες παραγράφους, μας διευκολύνουν στη μελέτη των μιγαδικών αριθμών, θα αναφερθούμε ιδιαιτέρως σε αυτούς Ειδικότερα, έχουμε: ( α β)( α β) α β, δηλαδή α β Επειδή είναι και α β α β, οι α β, α β λέγονται συζυγείς μιγαδικοί Πρόσεξε ότι ισχύει η σχέση Επίσης ισχύει α β, α β και α β Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 6

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M( α, β) και M ( α, β) δύο συζυγών μιγαδικών α β και α β είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα y Ο M() Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς α β και α β μπορούμε εύκολα, με εκτέλεση των πράξεων, να διαπιστώσουμε ότι: α Re() και β Im() Αν α β και γ δ είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε: M () 4 Οι ιδιότητες αυτές μπορούν να αποδειχτούν με εκτέλεση των πράξεων Για παράδειγμα έχουμε: ( α β) ( γ δ) ( α γ) ( β ) δ ( α γ) ( β δ) ( α β) ( γ δ) Οι παραπάνω ιδιότητες και ισχύουν και για περισσότερους από δυο μιγαδικούς αριθμούς Είναι δηλαδή: Αν είναι Για παράδειγμα, ν ν και ν ν ν ν, τότε η τελευταία ισότητα γίνεται: ( ) ( ) 4 5 4 5 4 5 ν Μέθοδος Να ξέρεις ότι αν τότε και αντίστροφα Να ξέρεις ότι αν τότε» και αντίστροφα Απόδειξη Έστω α β, οπότε α β Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 7

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Αν Αν α β α β β 0 β 0 α β ( α β) α β α β α 0 α 0» Επίλυση της Εξίσωσης α βγ0 με α,β και α 0 Επειδή και ( ), η εξίσωση έχει στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών δύο λύσεις, τις και Ομοίως, η εξίσωση 4 έχει στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών δύο λύσεις, τις και, αφού 4 4 () ή Εύκολα, όμως, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι και κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο C Πράγματι, έστω η εξίσωση α β γ 0, με α, β, γ και α 0 Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο και τη μετασχηματίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη μορφή: β Δ, όπου Δ β 4αγ η διακρίνουσα της εξίσωσης α 4α Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Δ > 0 Tότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις: Δ 0 Tότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: Δ < 0 Tότε, επειδή γράφεται: Δ ( )( Δ) β α Δ), 4α 4α (α) ( β ± Δ α Δ, η εξίσωση α β Δ Άρα οι λύσεις της είναι: α α β ± Δ,, οι οποίες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί α Για παράδειγμα, η εξίσωση 5 6 0 έχει Δ 5 4 > 0 και οι λύσεις 5 5 της είναι:, Όμως, η εξίσωση 0 έχει Δ 4 8 4 < 0 και οι λύσεις της είναι οι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί: 4 4, ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Παρατηρούμε ότι και εδώ ισχύουν οι σχέσεις: (Τύποι του Vetta) β και α γ α Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 8

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓH Για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου ν να υπολογιστεί το ν άθροισμα S ΛΥΣΗ Οι προσθετέοι του αθροίσματος έχουν πλήθος ν και είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο και λόγο επίσης Επομένως, ν S, οπότε, λόγω της ισότητας ν 4 ρ υ της ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το 4, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: υ 0 Τότε ν 4 ρ, οπότε S 0 υ Τότε ν 4 ρ, οπότε S ( ) υ Τότε ν 4 ρ, οπότε S υ Τότε ν 4 ρ, οπότε S ΕΦΑΡΜΟΓH Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών στις περιπτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός είναι α) φανταστικός β) πραγματικός ΛΥΣΗ ( ) y ( y y) ( y ) Αν y, τότε: (y ) (y ) y y y (y ) (y ) Επομένως: y y α) Ο αριθμός είναι φανταστικός, αν και μόνο αν 0, (y ) δηλαδή, αν και μόνο αν y y 0 και (y ) 0 ή, ισοδύναμα, 5 (y ) και (, y) (0,) 4 Άρα, το σύνολο των εικόνων του είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο 5 K, και ακτίνα, με εξαίρεση το σημείο ( 0,) Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 9

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ y β) Ο αριθμός είναι πραγματικός, αν και μόνο αν 0, (y ) δηλαδή, αν και μόνο αν y 0 και (y ) 0 Άρα, το σύνολο των εικόνων του είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση y 0, με εξαίρεση το σημείο ( 0,) ος Τρόπος Για να ορίζεται το κλάσμα αρκεί 0 y 0 Για να ισχύει αυτό αρκεί να μην ισχύει ταυτόχρονα ότι 0 και y α) Για να είναι ο αριθμός φανταστικός αρκεί και πρέπει ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0() 0 Ξέρουμε ότι αν y τότε y, και y, οπότε αντικαθιστώντας στην () έχουμε: ( y ) y 0 y 4y 0 και διαιρώντας και τα δυο μέλη δια του, έχουμε y y 0 που είναι εξίσωση του κύκλου 5 (y ) Όμως το σημείο (0,) επαληθεύει την εξίσωσή του 5 5 διότι 0 ( ) 4 4, οπότε πρέπει να το εξαιρέσουμε β) Για να είναι ο αριθμός πραγματικός αρκεί και πρέπει ( )( ) ( )( ) 4 0 ( ) ( ) 4 0 () Ξέρουμε ότι αν y τότε y, και y, οπότε αντικαθιστώντας στην () έχουμε: y 4 0 (y ) 0 y 0 Όμως το σημείο (0,) επαληθεύει την εξίσωση γιατί 0 0, οπότε πρέπει να το εξαιρέσουμε Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 0

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε τις τιμές του λ R, ώστε ο ( λ )( ) να είναι: α) πραγματικός αριθμός β) φανταστικός αριθμός Υπόδειξη Θα φέρουμε τον μιγαδικό αριθμό στην μορφή α β, οπότε: για να είναι πραγματικός αρκεί β 0 και για να είναι φανταστικός αρκεί α 0 Έχουμε λ λ 6 λ 6 λ (λ ) (6 λ), οπότε: α) πραγματικός αν και μόνο αν 6 λ 0, δηλαδή λ 6 β) φανταστικός αν και μόνο αν λ 0, δηλαδή λ ΛΑ Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α) ( y) ( y) β) 6 ( ) γ) 9 7 ( y) y, y για τους οποίους ισχύει: Υπόδειξη Οι μιγαδικοί α β και γ δ είναι ίσοι τότε και μόνον τότε όταν αγ και βδ, οπότε θα εξισώσουμε τα πραγματικά και τα φανταστικά τους μέρη και θα επιλύσουμε το σύστημα που θα προκύψει Πρόσεξε ότι η ισότητα δυο μιγαδικών αριθμών καταλήγει πάντα σε δυο ισότητες πραγματικών! y α) Είναι: ( y) ( y) (, y) (, ) y β) Είναι: 6 ( 6 0 ) 6 Όμως η () 4 ή Άρα, αφού μόνο αυτή επαληθεύει τις () και () () () () Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ 9 y 9 54 y 9 γ) Είναι: 9 7 ( y) y 7 y y 7 y 7 45 5 (, y) ( 5,7) y 7 Aσκήσεις προς λύση Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) - y - - y β) y - ( ) γ) 4y - y - - 5 9 δ) ( ) - - Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί - - 9 και w - y,, y R α) Να βρείτε τους, y ώστε w, β) Να βρείτε τον Δίνεται ο μιγαδικός 6 - ( - 4) - y - ( - ) (4 - y),, y R α) Να γράψετε τον στη μορφή α β β) Να λύσετε τις εξισώσεις: ) Re () 0 ) Im () 0 ) Re () Im () v) 0 4 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός ( ) (y - ) - 5,, y R α) Να τον γράψετε στη μορφή α β β) Να γράψετε τον συναρτήσει του, αν Im () 0 γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα και y, αν Re () Im () 5 Η ισότητα (y - ) 4 ισχύει αν και μόνο αν Α ή y 5 Β και y 4 Γ ή y 4 Δ και y 5 Ε y 7 6 Αν η εικόνα του μιγαδικού w ( ) (y - ),, y R, στο μιγαδικό επίπεδο είναι η αρχή των αξόνων, τότε ο y ισούται με Α - Β Γ - - Δ - E ΛΑ Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις: α) Το πραγματικό μέρος του είναι ίσο με μηδέν β) Το φανταστικό μέρος του είναι ίσο με μηδέν γ) Το πραγματικό μέρος του είναι ίσο με το φανταστικό του μέρος Υπόδειξη Μάθε τους πρώτους απλούς γεωμετρικούς τόπους! Κάνε επανάληψη και μάθε τις εξισώσεις: ευθείας, κύκλου, έλλειψης, παραβολής, υπερβολής γιατί θα σου χρειασθούν στη συνέχεια! Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ α) Αν y, τότε 0 Άρα, οι εικόνες του είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση 0, δηλαδή τα σημεία M (0, y), οπότε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών με πραγματικό μέρος ίσο με το μηδέν είναι τα σημεία του άξονα y y β) Αν y, τότε y 0 Άρα, οι εικόνες του είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση y 0, δηλαδή τα σημεία M (,0), οπότε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών με φανταστικό μέρος ίσο με το μηδέν είναι τα σημεία του άξονα Είναι 0 Άρα, οι εικόνες του είναι τα σημεία M (,0), δηλαδή τα σημεία του άξονα γ) Αν y, τότε y Άρα, οι εικόνες του είναι τα σημεία της ευθείας με εξίσωση y, δηλαδή τα σημεία M (, ), οπότε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών με πραγματικό μέρος ίσο με το φανταστικό είναι τα σημεία της ευθείας που είναι διχοτόμος της ης και ης γωνίας των αξόνων Aσκήσεις προς λύση Η εικόνα κάθε φανταστικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση Α y Β y - Γ y 0 Δ 0 Ε σε καμία από τις προηγούμενες Οι εικόνες των μιγαδικών και στο μιγαδικό επίπεδο έχουν άξονα συμμετρίας την ευθεία Α Β y Γ y Δ y - Ε 0 Αν η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο έχει φορέα τη διχοτόμο της ης και 4ης γωνίας των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου, τότε ο μπορεί να είναι ο Α Β - Γ Δ - - Ε - - 4 Αν η εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημείο της ευθείας y - 0, τότε ο δεν μπορεί να είναι ο Α Β - Γ 5 - Δ Ε ΛΑ4 Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να εκτελέσετε τις πράξεις που σημειώνονται και να γράψετε το αποτέλεσμα στη μορφή α β α) ( 4 6) (7 ) β) ( ) (6 4) γ) ( 4) ( 8 7) (5 ) δ) ( )(4 5) ε) (6 ) στ) ( 4 )(4 ) ζ) ( )( ) Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Υπόδειξη Ας μάθουμε να κάνουμε απλές πράξεις με μιγαδικούς! α) ( 4 6) (7 ) ( 4 7) (6 ) 4 β) ( ) (6 4) ( 6) ( 4) 6 γ) ( 4) ( 8 7) (5 ) ( 8 5) (4 7 ) 0 0 0 δ) ( )(4 5) 4 5 4 5 0 5 8 ε) (6 ) 6 8 στ) (4 )(4 ) 4 () 6 9 6 9( ) 6 9 5 ζ) ( )( ) (6 ) (6 ) 7 7 ΛΑ5 Να γράψετε τους παρακάτω μιγαδικούς στη μορφή α) β) 6 γ) ( ) δ) ( ) ε) Υπόδειξη Ας κάνουμε και άλλες πράξεις! α β : στ) 6 ( ) α) ( )( ) 6 4 β) ( ) 0 γ) ( ) 0 δ) ( ) ( ) ( ) 6 5 5 5 5( ) ε) ( )( ) 4 5 στ) 6 (6 ( ) ( ) ( ) 6 7 ) 6 7 4 7 ΛΑ6Αν, να βρείτε την τιμή της παράστασης Υπόδειξη Και άλλες πράξεις! Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 4

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Έχουμε, οπότε: 4 Άρα: 0 ΛΑ7Να αποδείξετε ότι ( α β) 0 ( β α) 0, όπου α, β R Υπόδειξη Ας κάνουμε κάτι πιο δύσκολο! Πρέπει να ξέρεις ότι: β α ( ) β α β α ( α β) Είναι β α ( α β) Επομένως: ( α β) 0 ( β α) 0 ( α β) 0 0 ( α β) 0 ( α β) 0 ( α β) 0 0 Aσκήσεις προς λύση Δίνονται οι μιγαδικοί,, 4 9, 4, 5, 8 7 6 54 Να βρείτε το άθροισμα των απείρων όρων w 4 5 Να γράψετε στη μορφή α β τους μιγαδικούς αριθμούς: α) 5 - - β) - - (- ) Να γράψετε στη μορφή α β τους μιγαδικούς αριθμούς: α) (- 5) β) ( ) (- ) γ) 4 δ) - ε) - - ζ) ( ) (- ) - 4 Να γράψετε στη μορφή α β τους μιγαδικούς αριθμούς: Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 5

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ α) ( - ) (4-5) 7 - β) - γ) δ) - ε) ( - ) - ΛΑ8 Να βρείτε τους, y R, για τους οποίους ισχύει: α) ( ) ( y) y, β) y γ) ( )( y) ( y) Υπόδειξη Οι μιγαδικοί α β και γ δ είναι ίσοι τότε και μόνον τότε όταν αγ και βδ, οπότε θα εξισώσουμε τα πραγματικά και τα φανταστικά τους μέρη και θα επιλύσουμε το σύστημα που θα προκύψει Πρόσεξε ότι η ισότητα δυο μιγαδικών αριθμών καταλήγει πάντα σε δυο ισότητες πραγματικών! α) Είναι: ( ) ( y) y 9 4 y y 9 4 (5 ) 0 Αυτή όμως είναι αδύνατη, αφού το 0 β) Είναι: Άρα η σχέση γράφεται: y y και y y 5 5 y 5 γ) Είναι: ( )( y) ( y) ( )( y) ( y) ( )( y) ( ) y και y 0 Ασκήσεις προς λύση Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε οι μιγαδικοί α β και 8-5 να είναι ίσοι Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 6

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε να ισχύει: (α β) 5 Να υπολογιστεί το R ώστε να ισχύει: - ΛΑ9 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) 6 6 6 6 46 56 β) 4 75 0 Υπόδειξη Ας θυμηθούμε τις δυνάμεις του 0 4, 5 6 7 υ και γενικά n, όπου υ το υπόλοιπο της διαίρεσης του φυσικού αριθμού n δια του 4, οπότε υ 0,,, Επίσης n, και γενικά n υ 6 6 6 6 46 56 0 0 0 α) 0 β) 4 75 0 ΛΑ0Να βρείτε την τιμή της παράστασης ( 0 0 ) ( ) Υπόδειξη Πρέπει να ξέρεις ότι: ( ), διότι ( ) ( ), διότι ( ) 0 ( ) ( ) (), 0 0 0 0 0 0 Είναι ( ) 0 0 0 0 0 0 (( ) ) ( ) ( ) 0 ( ) Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 7

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ 0 0 0 0 0 0 Άρα ( ) ( ) ( ) 0 ΛΑΠόσες διαφορετικές τιμές μπορεί να πάρει η παράσταση ν ν ; Υπόδειξη Θα διακρίνουμε σε τέτοιες ασκήσεις 4 περιπτώσεις για το φυσικό ν η ν περίπτωση να είναι της μορφής ν 4 κ 0, οπότε η ν περίπτωση να είναι της μορφής ν 4 κ, οπότε η ν περίπτωση να είναι της μορφής ν 4 κ, οπότε 4 η ν περίπτωση να είναι της μορφής ν 4 κ, οπότε ν ν ν Έχουμε A Επομένως: ν Αν ν 4 κ, τότε ν, οπότε A Αν ν 4 κ, τότε ν, οπότε A 0 ν Αν ν 4 κ, τότε, οπότε A ν Αν ν 4 κ, τότε, οπότε A 0 Aσκήσεις προς λύση Αν - και [( ] ) κ, τότε η μικρότερη τιμή του θετικού ακεραίου κ είναι Α Β Γ 6 Δ Ε 5 Αν ν Ν, από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι σωστή η Α 4ν Β 4ν - Γ 4ν - Δ ν4 ν Ε 4ν - Για τις διάφορες τιμές του ν Ν να βρεθεί η τιμή της παράστασης ν f (ν) 4 Να αποδείξετε ότι για κάθε ν Ν ισχύει ( ) 0ν ( - ) 0ν ΛΑ Ποιος είναι ο, όταν: α) 5 7, β) 4 9, γ) 4, δ), ε), στ) 0 Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 8

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπόδειξη Ας θυμηθούμε ότι Ο συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού α β είναι ο α β Αν τότε και αντίστροφα Αν» τότε και αντίστροφα Οι εικόνες δυο συζυγών μιγάδων στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα των α) Για 5 7 είναι 5 7, β) Για 4 9 είναι 4 9 γ) Για 4 είναι 4, δ) Για είναι ε) Για είναι, στ) Για 0 είναι 0 ΛΑΜε ποιες συμμετρίες μπορούν να προκύψουν από την εικόνα του μιγαδικού y οι εικόνες των μιγαδικών, και ; Υπόδειξη Μάθε τις συμμετρίες που έχουν οι εικόνες των,,, Αν M (, y) είναι η εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο του μιγαδικού y, τότε η εικόνα του y είναι το σημείο M (, y), του y είναι το σημείο M (, y) και, τέλος, του y y είναι το σημείο M (, y) Έτσι, μπορούμε M (-,y) M(,y) να πούμε ότι: Ο προκύπτει από τον με συμμετρία ως προς τον άξονα Ο προκύπτει από τον με συμμετρία ως προς κέντρο το O (0,0) και τέλος: M (-,-y) M (,-y) y Ο προκύπτει από τον με συμμετρία ως προς τον άξονα y y 5 9 5 9 ΛΑ4Αν και, να δείξετε ότι ο είναι πραγματικός 7 4 7 4 αριθμός, ενώ ο φανταστικός αριθμός Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 9

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Ας θυμηθούμε ότι Αν τότε Αν τότε» Υπόδειξη 5 9 5 9 Είναι, άρα είναι πραγματικός αριθμός 7 4 7 4 Ομοίως 5 9 5 9 ( ), άρα ο 7 4 7 4 είναι φανταστικός ΛΑ5Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις: α) 6 β) γ) δ) Υπόδειξη Να ξέρουμε ότι στους απλούς γεωμετρικούς τόπους θέτουμε y και αναζητούμε τη σχέση (συνήθως σχέση ισότητας) που συνδέει το με το y Αν y τότε: α) 6 y y 6 y 6 y y Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία της οριζόντιας ευθείας με εξίσωση y β) ( y) ( y) ( y) ( y) 0 ( y y)( y y) 0 y 0 0 ή y 0 Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία των δύο αξόνων y y και γ) ( y) ( y) (y) y ( y y y y y ( y ) 0 y ± y) Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία των διχοτόμων των τεσσάρων τεταρτημορίων δ) y ( y) y ( ) y y y, y R y Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών είναι τα σημεία της κατακόρυφης ευθείας Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 0

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΑ6Αν α β, γ α β είναι πραγματικός αριθμός γ δ, και δ είναι πραγματικοί αριθμοί, να εξετάσετε πότε το πηλίκο Ας θυμηθούμε ότι Αν τότε Υπόδειξη α β Αφού θέλουμε το να είναι πραγματικός αριθμός θα είναι και γ δ β α β α β α β αγ αδ βγ βδ γ δ γ δ γ δ γ δ βγ αδ βγ αδ α ος Τρόπος α β ( α β)( γ δ) ( αγ βδ) ( βγ αδ) Έχουμε: γ δ ( γ δ)( γ δ) γ δ Άρα: R βγ αδ 0 αδ βγ αγ αδ βγ βδ ΛΑ7Έστω ο μιγαδικός με 0 Να δείξετε ότι ο ότι είναι πραγματικός και Ας θυμηθούμε ότι αν Υπόδειξη τότε και αντίστροφα, οπότε ο είναι πραγματικός αφού ισούται με τον συζυγή του Στη συνέχεια θέλουμε να δείξουμε ότι Αν y, τότε θέλουμε να δείξουμε ότι (y) y (y) y ( y ) y y Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα y y y y ) y ( y 0 0 y y y y που ισχύουν και οι δύο Άρα ισχύει και η αρχική διπλή ανισότητα ΛΑ8Αν και και, να αποδείξετε ότι ο αριθμός u είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός v είναι φανταστικός Αρκεί να δείξουμε ότι u u και v v Επειδή και θα είναι: u u v ) ( v Aσκήσεις προς λύση Αν α β με αβ 0 και ο συζυγής του ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι σωστή; Α πραγματικός αριθμός Β - φανταστικός αριθμός Γ φανταστικός αριθμός Δ - πραγματικός αριθμός Ε πραγματικός αριθμός Στο μιγαδικό επίπεδο, οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι σημεία συμμετρικά Α ως προς τον άξονα y y Β ως προς τον άξονα Γ ως προς την ευθεία y Δ ως προς την ευθεία y - Ε ως προς την αρχή των αξόνων Υπόδειξη Ας θυμηθούμε για μια ακόμη φορά ότι αν τότε και αντίστροφα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Να βρεθούν τα, y R ώστε οι μιγαδικοί: y - και - (4 - y) να είναι συζυγείς 4 Αν φανταστικός αριθμός με - δείξτε ότι ο αριθμός ω πραγματικός αριθμός - είναι αρνητικός 5 Αν οι εικόνες δύο μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών και στο μιγαδικό επίπεδο είναι στο ίδιο τεταρτημόριο, ποια από τις παρακάτω σχέσεις μπορεί να ισχύει; Α - B Γ - Δ Ιm ( ) Im ( ) 0 E κανένα από τα παραπάνω 6 Να δείξετε ότι αν ω και ω R τότε ο είναι φανταστικός αριθμός ΛΑ9 Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών τις εξισώσεις: α) 0 β) 0 γ) Υπόδειξη Να ξέρουμε ότι τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις με πραγματικούς συντελεστές τις λύνουμε κατά τον γνωστό τρόπο Αν αυτή έχει ρίζες μιγαδικές τότε οι ρίζες είναι συζυγείς μιγαδικοί Υπενθυμίζουμε ότι η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού υπάρχει στο Για παράδειγμα 6 6 (4) ± 4 ± 9 8 ± α) 0 ή ± 4 ± 8 ± 4 ± β) 0 ( ± ) ± γ) Είναι 0 και έχουμε: ± 4 ± ± 0 ΛΑ0Αν μια ρίζα της εξίσωσης β γ 0, όπου β, γ R, είναι, να βρείτε τις τιμές των β και γ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Υπόδειξη Να ξέρουμε ότι για τις ρίζες ρ, ρ μιας δευτεροβάθμιες εξίσωσης α β γ 0 με α 0, ισχύουν οι τύποι του Vetta: β γ ρ ρ και ρ ρ α α Αφού οι συντελεστές της εξίσωσης β γ 0 είναι πραγματικοί αριθμοί και μία ρίζα της είναι η, η άλλη θα είναι η, οπότε θα ισχύει: β β 6 β γ γ γ 6 Aσκήσεις προς λύση Η εξίσωση - 6 λ 0, λ R, μπορεί να έχει ρίζα τον αριθμό Α Β - Γ Δ - Ε Η εξίσωση α 5 0, α R μπορεί να έχει ρίζα τον Α - Β - Γ - Δ - Ε - - Αν η εξίσωση - κ λ 0, κ, λ Ζ έχει ρίζα τον τότε ισχύει Α κ 6 και λ 5 Β κ 4 και λ Γ κ και λ 4 Δ κ 4 και λ 5 Ε κ 5 και λ 4 4 Η εξίσωση α β 0, α, β R έχει ρίζα τον μιγαδικό αριθμό - α) Να βρείτε την άλλη ρίζα β) Να βρείτε τα α και β ΛΑΝα λύσετε τις εξισώσεις α), β) Υπόδειξη Πρέπει να ξέρεις ότι τις απλές εξισώσεις και ανισώσεις τις λύνουμε θέτοντας y, οπότε καταλήγουμε σε σύστημα εξισώσεων με δυο αγνώστους τους, y το οποίο αφού το επιλύσουμε βρίσκουμε τα, y, άρα τον α) Αν y τότε έχουμε: Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 4

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ( )y 0 ( y ) ( )y 0 y 0 y ( y) y (y) y y y 0 ή y y 0 y 0 () () Αν 0, δηλαδή αν, τότε η () γράφεται: y 0 y y ± Άρα: ή 4 4 Αν y 0, τότε η () γράφεται: 0 ( ) 0 0 ή Άρα: 0 ή β) Αν y, έχουμε: y ( y) y y (y) (y) y y y y y ( y ) ( y )y y ( y )y y ( y y( y ) 0 ) 0 0 y( ή y ) 0 y 0 () () Αν 0, τότε η () γράφεται: y( y ) 0 y 0 ή y ± Άρα: 0 ή ή Αν y, τότε η () γράφεται: y[(y ) y ] y(8y 4) 0 y 0 Άρα, οπότε ή και επομένως ή Aσκήσεις προς λύση α) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα ( - ) β) Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την ισότητα - Να βρείτε τους μιγαδικούς y,, y R, για τους οποίους ισχύει: 0 Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 5

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ ΛΑΝα βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: α) Re 5Re() β) Im Im() Υπόδειξη Να ξέρουμε ότι στους απλούς γεωμετρικούς τόπους θέτουμε y και αναζητούμε τη σχέση (συνήθως σχέση ισότητας) που συνδέει το με το y Κάνε ακόμα μια φορά επανάληψη και μάθε τις εξισώσεις: ευθείας, κύκλου, έλλειψης, παραβολής, υπερβολής γιατί θα σου χρειασθούν στη συνέχεια! y α) Έστω y Τότε Επομένως: y y Re 5 Re() 5 4 0 0 y y ή y 4 0 ή y Άρα, ο γεωμετρικός τόπος είναι ο άξονας y y με εξαίρεση το σημείο O (0,0) ή ο κύκλος με κέντρο O(0,0) και ακτίνα ρ y y β) Έχουμε: Im Im() y y 4y 0 y y y 4 0 y y 0 ή 4 y 0 ή y y Άρα, ο γεωμετρικός τόπος είναι ο άξονας με εξαίρεση το σημείο O (0,0) ή κύκλος με κέντρο O (0,0) και ακτίνα ρ Ασκήσεις προς λύση Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός y,, y R α) Να γράψετε στη μορφή α β τον μιγαδικό w 8 6 β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα και y, αν Im (w) 0 γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα και y, αν Re (w) 0 δ) Να δείξετε ότι η προηγούμενη σχέση (γ) είναι εξίσωση κύκλου και να βρείτε το κέντρο του και την ακτίνα του ε) Να δείξετε ότι ο προηγούμενος κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 6

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η εξίσωση α β 0, α, β R έχει ρίζα τον μιγαδικό αριθμό - α) Να βρείτε την άλλη ρίζα β) Να βρείτε τα α και β Αν η εικόνα του μιγαδικού λ (λ - ) στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία y 4, να βρεθεί ο λ R 4 Να συμπληρώσετε το διπλανό σχήμα με το σημείο Μ () Μετά να βρείτε τα σημεία Μ ( ), Μ (-) και Μ 4 (- ) Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου Μ Μ Μ Μ 4 5 Ο μιγαδικός να αναλυθεί σε άθροισμα δύο μιγαδικών, που οι εικόνες τους βρίσκονται αντίστοιχα στις ευθείες y - και y - Ερωτήσεις αντιστοίχισης Αν α β, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί στην ίση της που βρίσκεται στη στήλη Β Στήλη Α Α α Στήλη Β Β α β Γ - α β 4 α - β Δ 5 β 6 α Α Β Γ Δ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 7

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε σχέση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του που βρίσκεται στη στήλη Β Στήλη Α σχέση που ικανοποιεί ο μιγαδικός αριθμός Α το πραγματικό μέρος του είναι Στήλη Β γεωμετρική περιγραφή των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο ο άξονας Β το πραγματικό μέρος του είναι ίσο με το φανταστικό μέρος του η ευθεία y η ευθεία y - Γ το πραγματικό μέρος του είναι αντίθετο του φανταστικού μέρους του 4 η ευθεία 5 η ευθεία y - Α Β Γ Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο είναι το σημείο Μ (, ), να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε μιγαδικός αριθμός της στήλης Α να αντιστοιχεί στην εικόνα του που βρίσκεται στη στήλη Β Στήλη Α μιγαδικός αριθμός Στήλη Β σημείο στο μιγαδικό επίπεδο Α (-, ) Β - ( 5, - 5 4 ) Γ (, 5 4 ) Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 8

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 (-, ) 5 ( 5, 5 4 ) Α Β Γ 4 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε δύναμη του που υπάρχει στη στήλη Α να αντιστοιχεί στην τιμή της που βρίσκεται στη στήλη Β Στήλη Α δύναμη του Α - Στήλη Β Β 4 - Γ 5 4 0 Δ 0 5 6 Α Β Γ Δ 5 Αν y,, y 0 και c σταθερός πραγματικός αριθμός, διάφορος του μηδενός, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε παράσταση της στήλης Α να αντιστοιχεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του που βρίσκεται στη στήλη Β Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 9

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Στήλη Α σχέση που ικανοποιεί ο μιγαδικός αριθμός Α Re () c Στήλη Β γεωμετρικός τόπος του στο μιγαδικό επίπεδο y c Β Im () c y c Γ Re () Im () c y c 4 c y 0 5 c Α Β Γ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» Αν α β, α, β R και 0, τότε α 0 και β 0 Σ Λ Αν α β και αβ 0, τότε α β Σ Λ Αν κ λ κ, λ R, τότε Re () κ Σ Λ 4 Αν (y - ) και Ιm () 0, τότε y Σ Λ 5 Αν, C με Re ( ) 0, τότε Re ( ) Re ( ) 0 Σ Λ 6 Οι εικόνες των φανταστικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται πάνω στον άξονα y y Σ Λ 7 Αν - τότε 00 Σ Λ 8 Οι εικόνες των αντίθετων μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα Σ Λ 9 Για κάθε μιγαδικό αριθμό 0 ορίζεται Σ Λ 0 Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών και αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο και ο άξονας είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος Μ Μ, τότε είναι Σ Λ Αν α β, C, και α, τότε Σ Λ Αν Re() τότε οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται πάνω στην ευθεία Σ Λ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 0

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Αν Ιm ( ) 8 τότε οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία y 8 Σ Λ 4 Η εξίσωση - λ 0, λ R, μπορεί να έχει ρίζες τους μιγαδικούς και - Σ Λ 5 Αν η εξίσωση α β γ 0, α 0, α, β, γ R έχει 5 ρίζα τον θα έχει και τον Σ Λ 6 Η εξίσωση α β γ 0, α, β, γ, R * έχει πάντοτε λύση στο C Σ Λ 7 Αν Re ( ) 0 τότε ισχύει πάντα Re ( ) Re ( ) 0 Σ Λ Επιλεγμένα Θέματα Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί ώστε να ισχύουν: α) β)» Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί να βρεθούν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε ο αριθμός να είναι πραγματικός Αν y, όπου, y,θ, να βρεθούν τα, y συναρτήσει συνθ ημθ του θ και να δειχθεί ότι ( ) 9y 4 Αν,w και w 0, να δειχθεί ότι ο αριθμός w w 5 Να λυθεί η εξίσωση 0, αν γνωρίζουμε ότι έχει μια ρίζα πραγματική 6 Να λυθεί στο η εξίσωση: 0 7 Να δειχθεί ότι αν οι συζυγείς μιγαδικοί w y και w y είναι ρίζες της εξίσωσης α β 0, τότε α, β 8 Να δειχθεί ότι ο αριθμός ν ν ( ) ( ), είναι πραγματικός για κάθε ν Õ 9 Αν α β γ ( αβ βγ γα) δ δ, όπου α, β, γ, δ, να δειχθεί ότι α β γ α 0 Αν y, με α, β,, y * και θ, να δειχθεί ότι β συνθ ημθ ( β )( y ) α αβ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Μάθημα ον ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ορισμός Έστω ο μιγαδικός αριθμός y Ορίζουμε ως μέτρο του και συμβολίζουμε, τον μη αρνητικό αριθμό y 0 Τι εκφράζει γεωμετρικά το μέτρο ενός μιγαδικού; Αν M (, y) η εικόνα του μιγαδικού y στο μιγαδικό επίπεδο, τότε το μέτρο εκφράζει το μήκος της διανυσματικής ακτίνας OM του σημείου Μ, δηλαδή εκφράζει την απόσταση του σημείου Μ από την αρχή των αξόνων, οπότε OM y 0 y β Ο a M(,y) Για παράδειγμα, 4 ( 4) 5 Όταν ο μιγαδικός είναι πραγματικός, δηλαδή είναι της μορφής 0, τότε 0, που είναι η γνωστή μας απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού Όταν ο μιγαδικός είναι φανταστικός, δηλαδή είναι της μορφής 0 y y, τότε 0 y y Πρόσεξε! ότι αν, δηλαδή αν δυο μιγαδικοί είναι ίσοι τότε και τα μέτρα τους θα είναι ίσα Πρόσεξε! ότι το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή αν δυο μιγαδικοί έχουν ίσα μέτρα, τότε δεν είναι κατ ανάγκη ίσοι Αυτό σημαίνει ότι: από ισότητα μιγάδων περνάμε άφοβα σε ισότητα μέτρων, από ισότητα μέτρων δεν περνάμε σε ισότητα μιγάδων! Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ξέρουμε ότι στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση λύση ρ ή ρ Πρόσεξε! τώρα το εξής: ρ, με ρ > 0, έχει Στο σύνολο των μιγαδικών η αντίστοιχη εξίσωση ρ, με ρ > 0, έχει για λύση όλους τους μιγαδικούς αριθμούς των οποίων οι εικόνες βρίσκονται πάνω στο κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και ακτίνα τον θετικό αριθμό ρ, δηλαδή η εξίσωση ρ με ρ > 0, είναι εξίσωση γεωμετρικού τόπου και μάλιστα κύκλου! Απόδειξη ος τρόπος (αλγεβρικός): ρ y ρ y ρ ος τρόπος (γεωμετρικός): ρ OM ρ, οπότε αφού η εικόνα Μ του μιγαδικού απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ρ, συμπεραίνουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ είναι ο κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας ρ > 0 Ποιες ιδιότητες έχει το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού;,, 0, 4, 5, 6, ν ν 7 ν ν Επίσης, από τη γνωστή μας τριγωνική ανισότητα και από τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος και της διαφοράς δύο μιγαδικών προκύπτει ότι: y M ( ) M ( ) M( ) Ο Είναι OM ( OM ) και N( ) M ( ) Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ ON M M ( M M ) Σχόλιο: Μάθε τα ακόλουθα πάρα πολύ καλά!!! Το μέτρο του διανύσματος ON είναι ίσο με το μέτρο του διανύσματος M M Επομένως: Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους, δηλαδή: M M ) ( Έστω η εξίσωση ( ) () Αν καλέσουμε Μ την εικόνα του και Κ την εικόνα του, τότε η σχέση () παίρνει τη μορφή (ΜΚ), που σημαίνει ότι η εικόνα Μ του απέχει από το σημείο Κ σταθερή απόσταση ίση με, άρα η () είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο K (,) και ακτίνα ρ y K(,) Ο Γενικά, η εξίσωση: 0 ρ, ρ > 0, παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο K( 0 ) και ακτίνα ρ Αν λοιπόν καλέσεις y και 0 α β, τότε η εξίσωση του κύκλου είναι ( α) (y β) ρ Τον κύκλο αυτό μπορεί να τον βρίσκεις και αλγεβρικά ως εξής: 0 ρ ( y) ( α β) ρ ( α) (y β) ρ ( α) (y β) ρ ( α) (y β) ρ εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ(α,β) και ακτίνας ρ > 0, που ως γνωστόν είναι Πρόσεξε! Αν σου δίνεται εξίσωση της μορφής λ 0 κ, κ > 0 και λ 0, τότε και αυτή είναι εξίσωση κύκλου, που θα την επεξεργάζεσαι ως εξής: κ λ 0 κ λ( 0 κ λ 0 κ 0, η οποία είναι λ λ λ λ εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο Κ που είναι η εικόνα του μιγαδικού κ 0 και έχει ακτίνα ρ Η αλγεβρική της εξίσωση είναι: λ λ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 4

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ α β y κ λ, όπου y και 0 α β λ λ y Έστω η εξίσωση ( ) ( ) () Αν καλέσουμε Μ την εικόνα του, Α την B(,) εικόνα του, Β την εικόνα του,τότε η σχέση () παίρνει τη μορφή (ΜΑ)(ΜΒ), που σημαίνει ότι η εικόνα Μ του ισαπέχει από τα σημεία Α(,) και Β(-,), άρα η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος K Λ A(,) Ο Την εξίσωση της μεσοκαθέτου θα την βρίσκουμε αλγεβρικά ως εξής: Έστω y, α β και γ δ, έχουμε: Γενικά, η εξίσωση παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία A( ) και B( ), εφόσον ( y) ( α β) ( y) ( γ δ) ( α) (y β) ( γ) (y δ) ( α) (y β) ( γ) (y δ ) α α y βy β γ γ y δy δ ( γ α) ( δ β)y 0 ( γ α) ( δ β)y 0 (), η οποία εφόσον, θα είναι τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς γ α και δ β θα είναι διάφορος του μηδενός οπότε η () θα είναι εξίσωση ευθείας, δηλαδή η εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος με άκρα τα Α ( α, β) και Β ( γ, δ) Πρόσεξε! Αν σου δίνεται εξίσωση της μορφής λ λ και λ 0, τότε και αυτή είναι εξίσωση μεσοκαθέτου, την οποία την βρίσκεις ως εξής: λ λ λ λ, που είναι η λ λ λ λ εξίσωση της μεσοκάθετης του τμήματος με άκρα τα σημεία A και λ B λ Πρόσεξε! Τέλος η εξίσωση λ κ με κ, λ 0 και κ λ, είναι εξίσωση κύκλου (Απολλώνιος Κύκλος), την οποία θα την βρίσκεις μόνον αλγεβρικά! Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 5

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ 4 Στις ασκήσεις που έχουν μέτρα και θέλουμε να απαλλαγούμε από αυτά, αφού εξασφαλίσουμε ότι και τα δυο μέλη είναι ομόσημα, υψώνουμε στο τετράγωνο (μέθοδος του τετραγωνισμού) και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα, για κάθε μέτρο μιγάδα που είναι υψωμένο στο τετράγωνο Τη σχέση αυτή την χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να περάσουμε από μια σχέση που περιέχει τον ή τον σε μια σχέση που περιέχει μόνο τον 5 Όταν ένας μιγάδας έχει μέτρο κ, με κ > 0, να ξέρεις ότι: κ κ κ κ ή Συνήθως μας δίνεται ότι, οπότε: ή () κ κ κ () Πρόσεξε! μην κάνεις το λάθος και θεωρήσεις ότι, επειδή στους πραγματικούς ισχύει η σχέση η αντίστοιχη σχέση, θα ισχύει και στους μιγαδικούς, γιατί δεν ισχύει! Θυμήσου ότι ισχύει Πρόσεξε! 6 Αν αν, τότε ο είναι πραγματικός και αντίστροφα, ενώ, τότε ο είναι φανταστικός και αντίστροφα! Απόδειξη 0 Αν 0 ( ) 0 ή 0 Αν 0 ( ) 0 ή» Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 6

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Έλεγχος των γνώσεων Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει - Σ Λ Για κάθε, C ισχύει Σ Λ Η εξίσωση - -, C, παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος που έχει άκρα τα σημεία Α ( ) και B ( ) Σ Λ 4 Η εξίσωση - - με άγνωστο το C και, C έχει μόνο μια λύση Σ Λ 5 Η εξίσωση - 0 ρ, ρ > 0 παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο κύκλο με κέντρο Κ ( 0 ) και ακτίνα ρ Σ Λ 6 Στο μιγαδικό επίπεδο η εικόνα του μιγαδικού αριθμού είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου 4 Σ Λ 7 Στο μιγαδικό επίπεδο του διπλανού σχήματος η εξίσωση του κύκλου είναι - 4 Σ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Αν y ποια από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι πάντα σωστή; Α Β - Γ Δ (-y ) Ε Αν και 4 τότε η μεγαλύτερη τιμή του είναι Α 5 Β 8 Γ 9 Δ Ε 4 Αν και - 5 τότε η ελάχιστη τιμή του είναι Α B Γ 5 Δ 7 E 0 4 Αν y και 5, τότε μια τιμή του y είναι η Α 5 B 5 Γ - 4 Δ E 5 Αν το σημείο Ρ (, y) είναι εικόνα του μιγαδικού y στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει - 5, το Ρ βρίσκεται πάνω σε Α ευθεία B έλλειψη Γ κύκλο Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 7

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Δ παραβολή E υπερβολή 6 Η εξίσωση - ( ) 4 παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο κύκλο με Α κέντρο (-, ) και ακτίνα 4 B κέντρο (, - ) και ακτίνα Γ κέντρο (, - ) και ακτίνα 4 Δ κέντρο (, ) και ακτίνα E κέντρο (, ) και ακτίνα 4 7 Θεωρούμε στο μιγαδικό επίπεδο τον κύκλο με κέντρο το Ο (αρχή των αξόνων) και ακτίνα 0 Από τους παρακάτω αριθμούς έχει εικόνα πάνω στον κύκλο ο μιγαδικός αριθμός Α B 7 Γ - 8 Δ 8 6 E 8 8 Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει - - είναι Α ο άξονας y y B η ευθεία y Γ ο άξονας Δ η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία (, 0) και (0, ) E η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία (0, ) και (, 0) 9 Στο μιγαδικό επίπεδο ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (, ) και ακτίνα είναι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού για τον οποίο ισχύει Α - ( - ) B - ( ) Γ - ( ) 9 Δ - ( ) E ( ) 0 Οι μιγαδικοί αριθμοί που οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στο γραμμοσκιασμένο τμήμα του σχήματος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει Α < και < B < και < Γ > και > Δ < και < Ε < και < Αν η εξίσωση κ επαληθεύεται από τους μιγαδικούς αριθμούς που η εικόνα τους στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία y, ο πραγματικός αριθμός κ ισούται με Α B - Γ Δ - E 4 Αν οι εικόνες των μιγαδικών,, στο μιγαδικό επίπεδο δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε το πλήθος των λύσεων του συστήματος με άγνωστο τον είναι Α B Γ Δ 4 Ε 0 Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 8

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Οι μιγαδικοί αριθμοί που οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στο γραμμοσκιασμένο τμήμα του σχήματος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει Α < και < B < και > Γ < και > Δ < και > Ε > και < Ερωτήσεις αντιστοίχισης Αν -, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε στοιχείο της στήλης Α να αντιστοιχεί στο ίσο του που βρίσκεται στη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β Α Β - Γ () 0-0 4 5 4 Α Β Γ Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο της στήλης Α να αντιστοιχεί στη σχέση που βρίσκεται στη στήλη Β Στήλη Α γεωμετρική περιγραφή των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο Α κύκλος κέντρου Κ (, ) και ακτίνας Β μεσοκάθετος του τμήματος με άκρα τα σημεία (, 0), (0, - ) Γ κύκλος κέντρου Ο (0, 0) και ακτίνας Στήλη Β σχέση που ικανοποιεί ο μιγαδικός αριθμός 4 Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 9

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Α Β Γ 5 Στα σχήματα της στήλης Α φαίνονται τόξα κύκλων στα οποία βρίσκεται η εικόνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε σχήμα της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β Στήλη Α Στήλη Β Α, Im () 0 και Re () 0 - και Im () 0 και Re () 0 Β 4 και Re () < 0 Γ Α Β Γ Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 40

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις Πρόσεξε να μάθεις να υπολογίζεις σωστά το μέτρο! Αν y, τότε y και όχι (y)!!! Μελέτησε τις ασκήσεις ΛΑ,ΛΑ ΛΑΝα βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών αριθμών:,, 4, 4, 5, 4,, 4 ( ) ( ), ( ) ( ) και 4 Έχουμε:, αφού 4 4 5 5 4 5 0 ( 5) 5 5 4 4,, αφού 4 4 ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 4 4 4 4 ( ) 0 5 0 5 ΛΑΝα βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών αριθμών: ( ), Έχουμε, ( ), λ μ λ μ, όπου λ, μ με λ μ 0 Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 4

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ λ μ λ μ λ μ λ μ λ μ λ μ Ασκήσεις προς λύση Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: ( ) α) β) - Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: α) - β) 5 ν - 4, ν Õ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: α) εφ β) συν ημ 4 Να βρεθεί το μέτρο του μιγαδικού αριθμού, αν α, β, γ και α β γ, όπου α β α γ ΛΑΝα βρείτε τους μιγαδικούς y για τους οποίους ισχύει: α) β) α τρόπος: α) Ας ερμηνεύσουμε τι μας δίνεται! Το πρώτο μέλος της ισότητας είναι 0, άρα και το δεύτερο μέλος είναι πραγματικός αριθμός και μάλιστα μη αρνητικός, άρα, 0, οπότε θα έχουμε: ή Άρα, β) Ας ερμηνεύσουμε τι μας δίνεται! Αν Πρόσεξε να μάθεις να ερμηνεύεις αυτό που σου δίνεται!, τότε ο θα είναι μη αρνητικός πραγματικός Επομένως θα είναι, 0, y 0, οπότε θα έχουμε: 4, αφού 0 Άρα, β τρόπος: Μιας και είναι απλές εξισώσεις ας θέσουμε y, οπότε: Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 4

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ α) ( ) y y ( ) y y ( ) y 0 y Άρα, y 0 y 0 β) Θέστε y και δουλέψτε κατά τα γνωστά Ασκήσεις προς λύση Να βρείτε τους μιγαδικούς y για τους οποίους ισχύει: α) β) Να βρείτε τους μιγαδικούς y για τους οποίους ισχύει: α) 5 β) () Μάθε να ξεχωρίζεις και να ερμηνεύεις τις σχέσεις που περιέχουν μέτρα της διαφοράς δυο μιγαδικών αριθμών, δηλαδή σχέσεις της μορφής (AB), όπου Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών Μελέτησε πολύ καλά τις ασκήσεις ΛΑ4,ΛΑ5,ΛΑ6,ΛΑ7,ΛΑ8,ΛΑ9 ΛΑ4Να βρείτε πού ανήκουν οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει: α) β) γ) δ) < < ε) α) Αν, τότε ο θα απέχει από το O (0,0) απόσταση ίση με Άρα, ο θα βρίσκεται σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ, ο οποίος έχει εξίσωση y β) Αν, ο θα απέχει από τον μιγαδικό (δηλαδή από το σημείο Κ(0,)) απόσταση σταθερή ίση με Άρα, ο θα βρίσκεται σε κύκλο κέντρου Κ(0,) και ακτίνας ρ, ο οποίος έχει εξίσωση: (y ) γ) Ομοίως, αν, δηλαδή αν ( ), τότε ο θα απέχει από τον μιγαδικό απόσταση ίση με Άρα, ο θα βρίσκεται σε κύκλο κέντρου K(, ) και ακτίνας ρ, ο οποίος έχει εξίσωση ( ) (y ) 9 δ) Αν < <, τότε ο θα βρίσκεται μεταξύ των κύκλων με κέντρο το O (0,0) και ακτίνες ρ και ρ ε) Αν, τότε ο θα βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου κέντρου O (0,0) και ακτίνας ρ ή πάνω στον κύκλο αυτό ΛΑ5Να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 4

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ α) β) > α) Έχουμε ( ) Άρα, οι αποστάσεις του μιγαδικού από τους μιγαδικούς 0 και 0, δηλαδή από τα σημεία A(,0) και B (0,) είναι ίσες Επομένως ο θα ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ β) Έχουμε > > ( ) Επομένως, η απόσταση του μιγαδικού από τον, είναι μεγαλύτερη από την απόσταση του από τον μιγαδικό 0 Άρα ο θα βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από τη μεσοκάθετο του ΑΒ και από το σημείο Β, όπου Α και Β τα σημεία με συντεταγμένες (0, ) και (, 0) αντιστοίχως Πρόσεξε να μάθεις καλά την τεχνική της ΛΑ6!!! ΛΑ6Αν για το μιγαδικό ισχύει, ( ) να βρεθεί: α) Ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του στο μιγαδικό επίπεδο β) Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του α) Η ισότητα ( ) επαληθεύεται από όλους τους μιγαδικούς που έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να απέχουν από το σημείο K (,) σταθερή απόσταση ίση με και μόνο από αυτούς Επομένως, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο K (,) και ακτίνα ρ, δηλαδή ο κύκλος ( ) (y ) β) Το είναι η απόσταση της εικόνας M () από την αρχή O (0,0), δηλαδή το μήκος OM Από τη Γεωμετρία, όμως, γνωρίζουμε ότι αν η ευθεία O Κ τέμνει τον κύκλο στα A και B, y y B K(,) τότε ( OA) (OM) (OB), που σημαίνει ότι η Μ() A μέγιστη τιμή του είναι το μήκος ( OB) και η ελάχιστη το μήκος ( OA) Πρέπει λοιπόν να βρούμε την εξίσωση της ευθείας OK και να λύσουμε το σύστημα της Ο ευθείας και του κύκλου ( ) (y ), για να βρούμε τα κοινά σημεία τους που είναι τα A, B Η ευθεία OK θα έχει εξίσωση y y0 λ( 0 ), όπου ( 0, y0 ), ένα σημείο από το οποίο διέρχεται και λ ο συντελεστής διεύθυνσής της Ένα σημείο από το οποίο διέρχεται είναι το O (0,0), άρα 0 0 και y 0 0 Ο yk yo 0 συντελεστής διεύθυνσής της είναι ο λ, μιας και διέρχεται K O 0 από τα σημεία O (0,0) και K (,), οπότε η εξίσωση της OK είναι: y 0 λ( 0) y λ Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων A και B Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 44

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ θα είναι οι λύσεις του συστήματος ( ) (y ) y, που είναι τα ζεύγη (,) και (,) Άρα, η μέγιστη τιμή του είναι ίση με (OB) και η ελάχιστη ίση με (OA) ΛΑ7Από τους μιγαδικούς, για τους οποίους ισχύει 4, ποιος έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο δυνατό μέτρο; Από την ισότητα 4 προκύπτει ότι η απόσταση του M () από το σημείο K (0,4) είναι σταθερή και ίση με Επομένως το Μ ανήκει σε κύκλο με κέντρο K (0,4) και ακτίνα ρ Σύμφωνα με την προηγούμενη άσκηση ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι ο και ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο είναι ο 6 y Β(0,6) Κ(0,4) Α(0,) O Θυμήσου ότι η εξίσωση λ κ με κ, λ 0 και κ λ, είναι εξίσωση κύκλου (Απολλώνιος Κύκλος), την οποία θα την βρίσκεις μόνον αλγεβρικά! Μελέτησε την ΛΑ8 ΛΑ8Αν για το μιγαδικό ισχύει, να δείξετε ότι η εικόνα του ανήκει στον κύκλο με κέντρο O (0,0) και ακτίνα ρ α! τρόπος: (μέθοδος του τετραγωνισμού) Έχουμε: ( )( ) ( )( ) 4 4 Άρα, η εικόνα του ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο β! τρόπος: με αντικατάσταση Αν y, έχουμε: ( y) y ( ) y ( ) y ( ) (y) ( ) y 4 4 4y 4 4 y y Άρα, η εικόνα του ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο y Πρόσεξε να μάθεις καλά την τεχνική της ΛΑ9!!! ΛΑ9Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών, για τους οποίους ισχύει: 4 Να βρεθεί ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο και το ελάχιστο μέτρο Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 45

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ Η σχέση που μας δίνεται 4 μετατρέπεται στην ( 0) (0 4), που ως γνωστόν είναι εξίσωση της μεσοκάθετης του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα A(,0) και B(0, 4) Επειδή όμως θα χρειασθούμε την εξίσωσή της εργαζόμαστε αλγεβρικά Αν y, τότε θα έχουμε: ε y Α(-,0) O 5 60 Γ (, ) 4 4 Β(0,-4) 4 ( ) y (y 4) ( ) y (y ( ) y (y 4) y y 8y 6 5 8y 6 y Άρα, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η 4 8 5 ευθεία ε : y 4 8 Ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι αυτός που έχει για εικόνα το ίχνος της καθέτου από την αρχή Ο στην ε Η κάθετος αυτή διέρχεται από την αρχή των αξόνων O(0,0) και έχει συντελεστή διεύθυνσης τον αντιθετοαντίστροφο του συντελεστή 5 διεύθυνσης της ε : y, άρα λ 4, οπότε έχει εξίσωση y y0 λ( 0 ) 4 8 με y 0 και λ 4, άρα y 4 και επομένως οι συντεταγμένες του σημείου 0 0 y 4 τομής της με την ε βρίσκεται από τη λύση του συστήματος 5, που είναι y 4 8 5 60 5 60 το ζεύγος, Άρα ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι ο 4 4 4 4 και το ελάχιστο μέτρο είναι το 5 60 4 4 Παρατήρηση: Επειδή ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ των μιγάδων είναι ευθεία και επεκτείνεται απεριόριστα, δεν μπορούμε να βρούμε τον μιγάδα με το μεγαλύτερο μέτρο Το ίδιο συμβαίνει αν ο γτ είναι υπερβολή ή παραβολή! Εν αντιθέσει στις ασκήσεις ΛΑ6 και ΛΑ7 που ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος μπορούμε να βρούμε τον μιγάδα και με το μικρότερο και με το μεγαλύτερο μέτρο! Το ίδιο συμβαίνει αν ο γτ είναι έλλειψη! 4) Ασκήσεις προς λύση Ο μιγαδικός αριθμός ικανοποιεί τις σχέσεις: - Re () () Im () () () Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 46

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Να γραμμοσκιάσετε στο μιγαδικό επίπεδο το χωρίο που αντιπροσωπεύει το σύνολο των εικόνων του και να βρείτε το εμβαδόν του Να βρεθεί στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού για τον οποίο ισχύει: α) - β) -- < 4 γ) < - < Ο κύκλος του διπλανού σχήματος εφάπτεται του άξονα των τετμημένων και είναι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού y K y,, y R στο μιγαδικό επίπεδο α) Από τις παρακάτω εξισώσεις, να 0 4 επιλέξετε δύο που τον αντιπροσωπεύουν: ) ( - ) (y - ) 9 ) y 4 ) - 4 v) y - 6-4y 9 0 v) - - β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας 4 Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο που ικανοποιούν τη σχέση - - 4 βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Ο (0, 0) και ακτίνας 5 Στο διπλανό σχήμα η μεσοκάθετος y (ε) (ε) του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού y,,y R στο μιγαδικό επίπεδο 0 Α Μ Β 4 α) Από τις παρακάτω εξισώσεις, να επιλέξετε τρεις που τον αντιπροσωπεύουν: ) - y 4 Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 47

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘMΟΙ ) - - 4 ) - - - 4 0 5 v) y 4 - v) Re () Im () v) 8Re () 5 Im () β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Πρόσεξε να μάθεις τις ασκήσεις ΛΑ0, ΛΑ γιατί είναι βασικές! ΛΑ0Για δύο μιγαδικούς αριθμούς και να αποδείξετε ότι: α) Re( ) Re( ) β) Re( ) Re( ) γ) Re( ) Re( ) α) Γνωρίζουμε ότι Re(), για κάθε μιγαδικό αριθμό Έχουμε λοιπόν τα εξής: () Re() ή ( ) Re( ) β) ( )( ) Re( ) Re( ) γ) ( )( ) ( ) Re() Re( ) ΛΑΓια δύο μιγαδικούς αριθμούς και να αποδείξετε ότι α τρόπος: αλγεβρικός Έστω y και y Τότε: ( ) (y y ) και ( ) (y y ) Άρα: ( (y y ( (y y ) ) ) ) ( y ) ( y ) β τρόπος: εφαρμόζουμε την ΛΑ0 Έχουμε: Re( ) () και Re( ) () Προσθέτοντας κατά μέλη τις () και () έχουμε: Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 48

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ασκήσεις προς λύση Αν w w 0, δείξτε ότι w Για δύο μιγαδικούς αριθμούς και να αποδείξετε τη σχέση: 4Re( ) 4Re( ) Για δύο μιγαδικούς αριθμούς και 0 να αποδείξετε τη σχέση: 0 4 Για δύο μιγαδικούς αριθμούς και 0 να αποδείξετε τη σχέση: 0 5 Να αποδειχθεί η σχέση: Μερικές ασκήσεις γεωμετρικών τόπων Πρόσεξε να μάθεις την τεχνική της άσκησης ΛΑ! Μελέτησε τις ασκήσεις ΛΑ, ΛΑ, ΛΑ4, ΛΑ5 ΛΑΑν για τους μιγαδικούς ισχύει, να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w με w Σχόλιο! Στην άσκηση αυτή έχουμε τον μιγάδα που ξέρουμε τον γεωμετρικό του τόπο γιατί αφού, συμπεραίνουμε ότι οι εικόνες του θα βρίσκονται στον κύκλο κέντρου O (0,0) και ακτίνας ρ, και αναζητάμε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w που εκφράζεται συναρτήσει του Στις ασκήσεις αυτής της κατηγορίας θα εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε α β, οπότε α β α β () και w y Αναζητάμε τη σχέση που συνδέει το με το y Έχουμε: α w y ( α β) y (α ) β και y β () Πρόσεξε τώρα! Αν και ζητάμε την σχέση που συνδέει το με το y, θα επιλύσουμε το σύστημα ως προς τα α και β και στη συνέχεια αυτά που θα Θωμάς Ραϊκόφτσαλης Σελίδα 49