ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΕΔΑΦΟΥΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ

8 ο Εξάμηνο Πολιτικών Μηχανικών ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΕΔΑΦΟΥΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ Συνοπτικές Σημειώσεις 5 πρώτων μαθημάτων Μάιος 2007 Γιώργος Γκαζέτας

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ του Μαθήματος 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ : Παραδείγματα 2. Το Ακαμπτο Θεμέλιο σε Ελαστικό Συνεχές Μέσον 3. Το Εύκαμπτο Θεμέλιο, Δοκός και Πλάκα επί Εδάφους 4. Πάσσαλος σε Εγκάρσια Φόρτιση 5. Πάσσαλος σε Κατακόρυφη Φόρτιση 6. Εφαρμογές σε Ελληνικά Εργα (Οριζόντια Δύναμη και Ροπή)

Εισαγωγή ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΕΔΑΦΟΥΣ ΘΕΜΕΛΙΟΥ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ

Αλληλεπίδραση Tί Σημαίνει Εδάφους Θεμελίου Κατασκευής Aναφέρεται σε Δομικό Στοιχείο σε επαφή με το Εδαφος, και υπονοεί την εξάρτηση της απόκρισης του συστήματος (δομικού στοιχείου και εδάφους) σέ εξωτερική φόρτιση από : την ενδοσιμότητα του εδάφους την ευκαμψία του δομικού στοιχείου θεμέλιο ανωδομή Δομικό Στοιχείο = θεμέλιο + ανωδομή αντιστήριξη υπόγεια κατασκευή

Παραδείγματα Κατασκευών και Θεμελιώσεων ΚΕΚΛΙΜΕΝΟΣ ΠΑΣΣΑΛΟΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΦΡΕΑΡ Θεμελίωση Βάθρων Γέφυρας : ΠΑΣΣΑΛΟΙ εξαρτάται κυρίως απο τις μεταφερόμενες από την ανωδομή δυνάμεις + ροπές, και το έδαφος θεμελιώσεως

Παραδείγματα Φρεάτων Θεμελιώσεως 51m 217m 51m Kobe Port Island 33 15 990m m P3 P4 P1 P2 P5 P6 TAGUS P7 88 88 m

Είδη πλακών θεμελιώσεως

Αντιστηρίξεις: Τυπική Τομή Σταθμού του Μετρό Τομή Β-Β 47m 15 ο 42m 45.3m 35m 21.2m

Παράδειγμα Κυκλικής Αντιστήριξης: Φρέαρ Τελετής Ενάρξεως Ολυμπιακών Αγώνων 2004 (a) (b1) 26.5 m Κάτοψη 26.5 m (b2) 26.5 m Κάτοψη Κάτοψη -24.5 m -24.5 m -33.7 m -33.7 m Τομή Τομή

Σύνθετη Θεμελίωση Λιμενικού Κρηπιδοτοίχου Προβλήτα Maya Futo στο Κόμπε της Ιαπωνίας caisson Sand Fill

Σημασία, Έννοια και Υπολογισμός Δυσκαμψιών του συστήματος εδάφους θεμελίου Το Άκαμπτο Θεμέλιο σε Ελαστικό Συνεχές Μέσον

ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΕΔΑΦΟΥΣ ΑΚΑΜΠΤΗΣ ΔΟΚΟΥ: Η ενδοσιμότητα του εδάφους καθορίζει τα μεταβιβαζόμενα φορτία καί την ένταση στην ανωδομή q (α) απαραμόρφωτο έδαφος καί ανένδοτη θεμελίωση: A Β C N A = N C = (3/8) ql L L N A N C βράχος N B = (10/8) ql N B -ql 2 /8 [ M ]

ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΕΔΑΦΟΥΣ ΑΚΑΜΠΤΗΣ ΔΟΚΟΥ: Η ενδοσιμότητα του εδάφους καθορίζει τα μεταβιβαζόμενα φορτία καί την ένταση στην ανωδομή q (β) ελαστικό έδαφος ίδιο πλάτος πεδίλου : A Β C Συμβιβαστό παραμορφώσεων K V K V K V δ A = δ B = δ C N A N B N C Ν A / K V = Ν B / K V = Ν C / K V -ql 2 /8 N A = N C = N B = 2qL/3 [ M ] +ql 2 /6

Από Τί εξαρτάται και Πώς Υπολογίζεται το Κ V?? Κεντρικό Θέμα του Μαθήματος

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΔΕΑ της ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ Ρ Κλασσικό Ερώτημα Ν 1 Μ Ν 2 Q Μ Q 1) Πώς μεταβιβάζονται τα (Μ, Q, N) στο έδαφος? Δηλαδή : Πώς μεταβάλλεται η εντατική κατάσταση στο έδαφος? Τί παραμορφώσεις λαμβάνουν χώραν? Πώς μετακινείται (u, w) και στρίβει (θ) το πέδιλο?

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΔΕΑ Ρ Το Ερώτημα Τώρα Ν 1 Μ Ν 2 Q Μ Q 2) Επηρεάζονται τα Μ, Q, N από την ευστρεψία και ευτμησία (με μιά λέξη την ενδοσιμότητα) τού εδάφους?

(α) Συμβατική θεώρηση : πάκτωση στήν βάση (R) P k c δ R h Στην ανωδομή: δ R = P/(2k c ) = P/[2(12EI/h 3 )] M R M R Q R δράσεις στο έδαφος Q R M R = Ph/4, Q R = P/2 Τί γίνεται όμως στο έδαφος? M R Q R u G, v θ θ = M R K Θ 8G R3 Q R, K Θ = u =, 3(1- v) K H K H = 8 G R 2- v

Η υπόθεση πακτωμένης βάσης: ΑΤΟΠΗ (β) Ρεαλιστική θεώρηση : Ενδόσιμο έδαφος (S) P h Αποτέλεσμα δ Η δ S θ θ Κ Η δ Η = Ρ/(2 Κ Η ), Κ Θ Ρ/2 δ S = δ R ( 1 2 Μ S 1-2 K c /K Θ 1 + 4 K c /K Θ + 1 2 ( -1 M S Ρ/2 εδαφικές αντιδράσεις K c = (EI/h) υπόστυλ =k c (h 2 /12) M S = M R 1 + K c /K Θ

M s M R k k=k ζυγώματος /K c (πάκτωση) GR 3 K c K Θ GR 3 0(άρθρωση) δ s k δ R K c K Θ

Το έδαφος καί η θεμελίωση : δέν είναι μόνον απλοί αποδέκτες φορτίων της ανωδομής αλλά : Με την ενδοσιμότητα και την ευκαμψία τους επηρεάζουν την ένταση στην ίδια την ανωδομή και αλλοιώνουν τα μεταβιβαζόμενα φορτία ( Μ S, Q S, N S )

Το έδαφος καί η θεμελίωση : δέν είναι μόνον απλοί αποδέκτες φορτίων της ανωδομής αλλά : επηρεάζουν τις παραμορφώσεις καί την ιδιοπερίοδο της ανωδομής (σε σεισμική διέγερση τροποποιούν τις αναπτυσσόμενες επιταχύνσεις)

(γ) Σε σεισμική διέγερση : Ενδοσιμότητα εδάφους Αύξηση ιδιοπεριόδου συστήματος ανωδομήςθεμελίου εδάφους Φάσμα αποκρίσεως S a Ισχύει ότι: T S = T R (δ S + δ Η )/δ R Τ R Τ S περίοδος Τ T S / T R > 1

Μητρώο Δυσκαμψίας Συστήματος Θεμελίου Εδάφους: Αναλυτική Προσέγγιση, Φυσικό Νόημα, Χρήση-Εφαρμογή Παράρτημα: Διαστατική ανάλυση και εφαρμογή της

y x 1 z 6 4 ΔΥΣΚΑΜΨΙΕΣ 2 5 3 F 1 /δ 1 K v ( ή K z ): κατακόρυφη F 2 /δ 2 K H,x F 3 /δ 3 K H,y Οριζόντιες ( διατμητικές ) M 5 /θ 5 K θ,rx M 4 /θ 4 K θ,ry Περιστροφικές M 6 /θ 6 K t ( ή K rz ): στρεπτική

Θεμελίωση επί Ελαστικού Συνεχούς Μέσου ελεύθερη επιφάνεια άκαμπτη διεπιφάνεια εδάφους θεμελίου ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ Ελαστικό συνεχές μέσον G, ν Ποιά ένταση (σ,τ) επιβάλλεται στα εδαφικά στοιχεία [πλήθους 3 ]? Πώς τα στοιχεία αυτά παραμορφώνονται (ε, γ)? Γενικώς: πολύστρωτο μέσον G i, ν i, H i Πώς οι (ε, γ) συνδυαζόμενες δίνουν την βύθιση (δ) καί στροφή (θ) του θεμελίου?

ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Από την Φυσική εξιδανίκευση στην Μαθηματική διατύπωση καί επίλυση dz σ x y x Ποιές σχέσεις διέπουν τις μεταβολές τών σ, ε, u στόν εδαφικό χώρο? σ y τ xy dx (1) ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ z π.χ. κατά την διεύθυνση x σ x τ zx τ zx τ + z zx dz σ x + σ x x dx σ x σ τ x τ τ zx yx + zx + + = 0= x x z z y ή 0.. = ρu x στο δυναμικό πρόβλημα

(2) ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ: Νόμος του Hooke Ε ε = σ νσ νσ x x Gγ = τ z zx zx y (3) ΣΧΕΣΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ γ ε x = ν x wz u x zx = + x u x z

Από τις (1), (2), (3) Προκύπτουν οι διαφορικές εξισώσεις τού προβλήματος: δηλαδή οι νόμοι τους οποίους υπακούουν οι μεταβολές των σ, ε, u στον χώρο

Ποιό όμως είναι το γενεσιουργό ΑΙΤΙΟ των μεταβολών αυτών στην ένταση? 1) Η επιβολή φορτίου / μετατόπισης στα σύνορα! P δ p x ελεύθερη επιφάνεια z = 0: σ z = τ zx = τ zy 0 z άκαμπτη διεπιφάνεια : w(x,y) δ συνισταμένη εδαφικών αντιδράσεων: p da P

Ποίο όμως είναι το γενεσιουργό ΑΙΤΙΟ των μεταβολών αυτών στην ένταση? 2) Ηβαρύτητα! γεωστατική εντατική κατάσταση (βλ. Εδαφομηχανική ΙΙ, δέν μας αφορά στο παρόν κεφάλαιο) g x z σ z Ζ = ρ g

Το πρόβλημα λοιπόν ανάγεται στο να βρεθεί λύση των διαφορικών εξισώσεων που διέπουν τίς μεταβολές, η οποία λύση να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Γνωστό σας παράδειγμα: Το πρόβλημα της 1-διάστατης στερεοποίησης αργιλικού στρώματος της Εδαφομηχανικής ΙΙ. Η μαθηματική διατύπωση, η παραγωγή της διαφορικής εξίσωσης, η εύρεση γενικής λύσης, καί η εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών έχουν δοθεί στις Σημειώσεις σας του 6 ου εξαμήνου. Επιπλέον όμως εκεί είχαμε πορο-ελαστικό υλικό και εκτός από την ισορροπία είχαμε καί την ροή κατά Darcy, έπαιζαν δε ρόλο και οι αρχικές συνθήκες λόγω της χρονικής εξάρτησης της απόκρισης. (Να μελετηθεί η ανωτέρω ανάλυση υπό την σημερινή οπτική γωνία...)

Εάν υπάρχουν περισσότερες εδαφικές στρώσεις: G 1, ν 1, H 1 G 2, ν 2, H 2 σ z1 τ zx1 τ σ zx2 z2 Συνέχεια των τάσεων καί μετακινήσεων σε κάθε διεπιφάνεια: π.χ., στήν διεπιφάνεια 1 2, δηλαδή για z = H 1 : δράση = αντίδραση σ z1 = σ z2, τ zx1 = τ zx2, τ zy1 = τ zy2 κοινή μετατόπιση u x1 = u x2,u y1 = u y2,w 1 = w 2

Δυσκαμψίες Συστήματος Επιφανειακού Θεμελίου Εδάφους Αναλυτικές Λύσεις σε ομοιογενή ημίχωρο σε ομοιογενές εδαφικό στρώμα επί βράχου σε ανομοιογενή ημίχωρο

Θεμελίωση Τυχόντος σχήματος G, ν, ρ κατόψεως σε Ομοιογενή Ημίχωρο 2 L 2B Στατική Δυσκαμψία K Στατική Δυσκαμψία K Τυχόν Σχήμα (2Β,2L, A b ) Τετράγωνο (2Β x 2B) y x Κατακόρυφη z Οριζόντια y 2 G L K z = ( 0.73 + 1.54 χ 0.75 ) 1 - ν χ = A b / 4 L 2 2 G L K y = 2 - ν ( 2 + 2.5 χ 0.85 ) K z = 4.54 G B 1 - ν K y = 9 G B 2 - ν Οριζόντια x K x = K y 0.2 0.75 - ν GL(1- B/L) K x = K y Περιστροφική rx 0.25 K L θ,rx = G I 0.75 B bx ( ) ( 2.4+0.5 ) 1 - ν B L K θ,rx = 3.6 G B3 1 - ν Περιστροφική ry G K θ,ry = I 0.75 bx L B 0.15 [ 3 ( ) ] 1 - ν K θ,ry = K θ,rx Στρεπτική t 10 K t = G J 0.75 B t [4 + 11 ( 1 - ) ] L K t = 8.3 G B 3

ΠΡΩΤΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Βάθρο Θεμέλιο Γεφύρας Ρίου Αντιρίου

ANTIΡΡIO ΡIO Κορινθιακός Κόλπος

RION ANTIRION 286 560 560 560 286 2252

230 m 90 m 65 m

Αμμοι, Αμμοχάλικα Αργιλος Ιλύς RION ANTIRION 65 m

Απλοποιητικός Μηχανισμός Λειτουργίας του Γέφυρας Ρίου Αντιρρίου Βάθρου της P = P w + P(t) k c u g u e θ e H V H 170 m E p, I p, m p θ e 80 m K.B u g u e Διέγερση Ελαστική μετατόπιση

Επιθυμητοί Μηχανισμοί στην Γέφυρα Ρίου Αντιρρίου Μετατόπιση λόγω αδρανειακής δύναμης Συνισταμένη Κατάσταση : Μετατόπιση + Στροφή δ u δ Στροφή λόγω αδρανειακής ροπής θ δ : μετατόπιση u : μετατόπιση λόγω στροφής

Παράδειγμα: Βάθρο Γέφυρας Ρίου-Αντιρρίου r o 65 m W = 1900 MN ( δομικό βάρος ) A = 1100 MN (άνωση ) W = W A = 800 MN ( ενεργό βάρος ) q μέση = W / πr 2 125 kpa m S a Αδρανειακή δύναμη: m S a 550 MN W = mg R = 45 m 50 m Υδροδυναμική δύναμη: 0.6ρ w π r o2 hs a 300 MN Q βάσης = 550 + 300 = 850 MN A Χονδροειδής προσέγγιση: h υδροδ. h μάζας 50 m M βάσης = 850 x 50 = 42500 MN m

G(z) : MPa 0 0 10 20 30 40-20 -40 z : m -60-80 -100

Εδαφικό Προφίλ G G o (1 + α [z/r]) Από τα δεδομένα (με μεγάλη διασπορά): α 1.5 Κατακόρυφη Δυσκαμψία: (1 ν) Κ ν = 4 G o R (1 + α ) Μέτρηση της καθίζησης μετά την έδραση του βάθρου : δ ν 10 cm Άρα: Κ ν = 800/0.10 = 8000 MN/m Και από την ανωτέρω σχέση: G ο 8000 (1 0.50 ) / [ 4x45 x 2.5 ] 9 MPa

Οριζόντια και Περιστροφική δυσκαμψία K H (2 v) = 8G o R (1 + 0.50 x1.50) = 8 x 9 x 45 x 1.75 5670 MN/m K H 5670/1.5 = 3780 MN/m K Θ (1 v) = 8G o R 3 /3x(1 + 0.33 x1.50) = 8 x9x(45) 3 /3 x 1.50 3280500 MNm/rad K Θ 3280500/0.50 = 6561 GNm/rad

Μετακινήσεις, στροφή βάθρου u βάσης = 850/3780 0.22 m θ βάσης = 42500/6561000 6.5 x 10-3 rad (μόλις 0.37 ο!) Μετατόπιση στην κορυφή του βάθρου: u T = u βάσης + θ βάσης H + ελαστική παραμόρφωση 0.22 + 6.5 x 10-3 x 110 0.22 + 0.72 = 0.94 m!!

Η συμβολή της στροφικής καί μετακινησιακής ενδοσιμότητας του εδάφους ( Κ θ, Κ Η ) στην ιδιοπερίοδο του βάθρου είναι τόσο σημαντική, ώστε απ αυτήν εξαρτάται η αντισεισμική επάρκεια του βάθρου!

Δυσκαμψίες Συστήματος Θεμελίου Εδάφους Επίδραση του βάθους και βαθμού Εγκιβωτισμού της θεμελίωσης

Ταξινόμηση Θεμελιώσεων σύμφωνα με την γεωμετρία τους D d Πάσσαλος D > d 8 D B D Φρέαρ Β B 0.5 3 D 0 1 B D Επιφανειακή Θεμελίωση

Η επίδραση του βάθους καί του βαθμού εγκιβωτισμού του θεμελίου Ρ ο w επιφ Ρ ο D σ τ σ τ w βαθ Κ V,επιφ = P o w επιφ Κ V,βαθ = P o w βαθ D τ s Ρ ο τ s w εγκιβ Κ V, εγκιβ= P o w εγκιβ

Η επίδραση του βάθους καί του βαθμού εγκιβωτισμού του θεμελίου Ρ ο Ρο Κ βαθ > 1 Κ επιφ Κ V,επιφ Κ V,βαθ Ρ ο Ρ ο Κ εγκιβ Κ βαθ > 1 Κ V,βαθ Κ V,εγκιβ

Η επίδραση του βάθους καί του βαθμού εγκιβωτισμού του θεμελίου Ρ ο Ρο Ρ ο Κ V, επιφ Κ V, βαθ Κ V, εγκιβ 4.54GB D D Κv 1+ 0.10 1+ 0.31 1 v B B 2/3 Κ βαθ Κ επιφ Κ επιφ Κ εγκιβ Κ βαθ

Η επίδραση του βαθμού εγκιβωτισμού στην οριζόντια δυσκαμψία του θεμελίου u επιφ Q σ = 0 τ = 0 Κ H,επιφ = Q u επιφ u βαθ Q σ τ Κ H, βαθ = Q u βαθ Κ H, εγκιβ= Q u εγκιβ Q u εγκιβ 0.8 9 GB 1 0.15 D 1 0.90 D ΚΗ + + 2 v B B

Η επίδραση του βαθμού εγκιβωτισμού στην καμπτική δυσκαμψία του θεμελίου Μ θ επιφ τ σ Μ Κ R, επιφ = Μ θ επιφ θ βαθ Κ R,βαθ = Μ θ βαθ σ τ Μ θ εγκιβ Κ R, εγκιβ= Μ θ εγκιβ 3 3.6GB D D Κθ 1+ 1.26 1+ 1 v B B

Q 0 M 0 B τ rψ τ rz ψ r D τ rψ τ rz σ r z y τ xψ τ ψz x σ x σ z τ xz

Εγκιβωτισμένο Τετραγωνικό θεμέλιο + + Κ 3 2 / 0.31 1 0.10 1 1 4.54 B D B D v GB v + + Κ Η 0.8 0.90 1 0.15 1 2 9 B D B D v GB + + Κ B D B D v GB 1 1.26 1 1 3.6 3 θ θ θ θ F u M K DK H H = Κ Η 3 1 + Κ 0.90 3 2.8 1 8.3 B D GB t 2B D

Εφαρμογή: άκαμπτο φρέαρ σε ομοιογενή ημίχωρο με D/B = 2 Ποιά η επίδραση του εγκιβωτισμού? K V / K V,ΕΠΙΦ (1 + 0.10 2)[1 + 0.33 (2) 2/3 ] 1.20 1.53 1.83 K H / K H,ΕΠΙΦ (1 + 0.15 2) [1 + 0.90 (2) 0.80 ] 1.21 2.57 3.78 B D=2B B K Θ / K Θ,ΕΠΙΦ (1 + 1.26 2 [1 + 2]) 8.56 K t / K t,επιφ [1 + 2.80 (2) 0.90 ] 6.22

Ενδιαφέρουσα η γραφική παράσταση: 10 8 8.56 D=2B Κ Κ επιφ 6 4 6.22 3.78 B B 2 0 1.83 D/B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Ερώτηση: Χωρίς να έχετε την ακριβή λύση εάν D/ B = 10, πώς νομίζεται ότι θα άλλαζε ο λόγος Κ/Κ επιφ για D/ B = 2 σε σύγκριση με τον ανωτέρω, και γιατί?

ΔΕΥΤΕΡΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Θεμελίωση Βάθρου Γεφύρας (1) Επιφανειακή θεμελίωση (2) Εγκιβωτισμένη Θεμελίωση [Φρέαρ]

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Διαστατική Ανάλυση Έννοια και εφαρμογή στην Κατακόρυφη και Περιστροφική Δυσκαμψία Εδάφους Θεμελίου σε Ελαστικόν Ομοιογενή Ημίχωρο

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1. Κάθε φυσική ποσότητα χαρακτηρίζεται από το μέγεθοςκαίτιςδιαστάσειςτης. t = 5 sec Φυσική ποσότητα = Χρόνος Μέγεθος Διαστάσεις M = 3 kg Φυσική ποσότητα = Μάζα Μέγεθος Διαστάσεις L = 8 m Φυσική ποσότητα = Μήκος Μέγεθος Διαστάσεις

2. Οποιαδήποτε φυσική ποσότητα της γεωτεχνικής μηχανικής μπορεί να γραφεί ως συνδιασμός των θεμελιωδών ποσοτήτων : Μήκος [ L ], Mάζα [ Μ ], Χρόνος [ Τ ]. Δύναμη : = = 2 2 dt s d m m F α 2 ] [ ] [ ] [ ] [ T L M F = 2 s m kgr N =

2. Οποιαδήποτε φυσική ποσότητα της (γεωτεχνικής) μηχανικής μπορεί να γραφεί ως συνδιασμός των θεμελιωδών ποσοτήτων : Μήκος [ L ], Mάζα [ Μ ], Χρόνος [ Τ ]. Τάση : = A F σ [ F ] [ σ ] = 2 [ L ] 2 Pa = N / m

3. Κάθε αλγεβρική έκφραση ενός φυσικού νόμου είναι διαστατικά ομοιογενής (Fourier 1822) Π.χ. Ενεργητικές τάσεις κατά Rankine σε βάθος z από την επιφάνεια z σ ha = K a ρ g z K a ρgz [Pa] = [1] [kgr/m 3 ] [m/s 2 ] [m] [Pa] = [ kgr/ m s 2 ] [Pa] = [ N / m 2 ] = [kgr] [m/s 2 ]/[m 2 ] = [ kg / m s 2 ] O.K AΞΙΩΜΑ : Κάθε διαστατικά ομοιογενής εξίσωση μπορεί να γραφεί ως γινόμενο αδιάστατων όρων

ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ Π (Βuchingham 1915) Εάν στην αλγεβρική έκφραση μιάς φυσικής σχέσης υπεισέρχονται n μεταβλητές, η έκφραση αυτή μπορεί να γραφεί ως συνάρτηση γινομένου n-m αδιάστατων μονονύμων (Π), όπου m το πλήθος των θεμελιωδών διαστάσεων Απόκριση: y = f (x 1, x 2,.., x n ) x 1, x 2,.., x n (n ανεξάρτητες μεταβλητές) Θεμελιώδεις Διαστάσεις : Μήκος [L], Mάζα [ Μ ], Χρόνος [ Τ ] (m=3) Π y = f (Π 1, Π 2..., Π n-3 )

Eφαρμογή του Θεωρήματος Π καταλήγει : Στην αδιαστατοποίηση της άγνωστης απόκρισης Στην μείωση (συνήθως κατά 2 ήκατά3) του αριθμού των μεταβλητών οι οποίες υπεισέρχονται στο πρόβλημα Το πείραμα (αναλυτικό αριθμητικό ή φυσικό) είναι αναγκαίο για τον ποσοτικό προσδιορισμό της ακριβούς μορφής της συνάρτησης που συνδέει τα αδιάστατα μονώνυμα, διότι η διαστατική ανάλυση οδηγεί γενικώς σε ποιοτική μόνον λύση

Τί προσπαθούμε να κάνουμε με την διαστατική ανάλυση? Να συνάγουμε την μορφή της εξίσωσης που διέπει ένα φυσικό φαινόμενο, προϋποθέτοντας μόνον : γνώση των μεταβλητών του προβλήματος γνώση των διαστάσεων των μεταβλητών

Πλεονεκτήματα Διαστατικής Ανάλυσης Πολύ γενική, εφαρμόσιμη σε οποιοδήποτε σχεδόν πρόβλημα Οδηγεί σε ποιοτικόν προσδιορισμό της σχέσης μεταξύ των αδιάστατων μεταβλητών του προβλήματος. Επομένως καθοδηγεί τα επόμενα βήματα της μελέτης. Η χρησιμοποίηση αδιάστατων όρων κατά την ανάλυση καθιστά τα αποτελέσματα της ανεξάρτητα από την μικρή ή μεγάλη κλίμακα του φαινομένου και από τις μονάδες μέτρησης

Μειονεκτήματα Διαστατικής Ανάλυσης Κατά κανόνα αδυνατεί να φθάσει στον πλήρη ποσοτικό συσχετισμό των μεταβλητών που υπεισέρχονται Δυσκολία επιλογής των κατάλληλων μεταβλητών κάθε προβλήματος Παράλειψη μεταβλητής που επηρεάζει το φαινόμενο οδηγεί σε ΕΛΛΙΠΗ ΣΧΕΣΗ

Α. Εφαρμογή της Διαστατικής Ανάλυσης: παραγωγή των K V, K θ

Καθίζηση άκαμπτου κυκλικού θεμελίου επί ελαστικού ομοιογενούς ημιχώρου Ρ δ = f( P, R, G, ν ) G, v R δ n =4 μεταβλητές m =2 θεμελιώδεις διαστάσεις [Μ, L] 4 2=2 αδιάστατες παράμετροι δ R = f ( P GR 2, ν )

Γνωρίζουμε ότι η καθίζηση είναι ευθέως ανάλογη τουασκούμενουφορτίου: δ R = P GR 2 f(ν) δ GR = P f(ν ) Για ένα συγκεκριμένο έδαφος (με σταθερό ν) χρειαζόμαστε μία μόνον μέτρηση καθίζησηςεπιβαλλόμενου φορτίου γιανακαθορίσουμετην τιμή της f(ν) Ακριβής αναλυτική λύση: (Boussinesq) δ GR 1-ν P = 4

Κατακόρυφη στατική δυσκαμψία Ρ Ορίζεται ώς: G, v R δ K v P = f( R, G, ν ) δ K v GR = f(ν) 4 Αναλυτική επίλυση: f(ν) = 1-ν

Στροφή άκαμπτου κυκλικού θεμελίου επί ελαστικού ομοιογενούς ημιχώρου R θ = f( Μ, R, G, ν ) Μ G, v θ n =4 μεταβλητές m =2 θεμελιώδεις διαστάσεις [Μ, L] 4 2=2 αδιάστατες παράμετροι

Στροφή άκαμπτου κυκλικού θεμελίου επί ελαστικού ομοιογενούς ημιχώρου R Μ K R Εναλλακτικά: Μ θ = f(r, G, ν ) G, ν θ n=3 μεταβλητές m =2 θεμελιώδεις διαστάσεις [Μ, L] 3 2=1 αδιάστατη παράμετρος

Στροφική στατική δυσκαμψία R Μ K R Μ θ = f(r, G, ν ) θ G, v K R GR 3 = f(ν) 8 = 3(1-ν) Θεωρία Ελαστικότητας

Καθίζηση εύκαμπτου κυκλικού θεμελίου επί ελαστικού ομοιογενούς ημιχώρου Ρ δ = f( P, R, r, K r, G, ν ) G, ν R δ(r) r n=6 μεταβλητές m=2 θεμελιώδεις διαστάσεις [Μ, L] 6 2= 4 αδιάστατες παράμετροι δ R = f ( P, R r, GR 3 GR 2, ν) Όπου: K r = E c t c 3 K r

Ρ Kαθίζηση ευθέως ανάλογη του ασκούμενου φορτίου: δ(r) G, v R r δ R = P GR 2 r, R f ( GR 3, ν) K r δ GR P = f ( r, GR 3, ν) R K r Όπου: K r = E c t c 3

Για την διευκόλυνση επιλογής κατάλληλων μεταβλητών σε γεωτεχνικά προβλήματα αλληλλεπίδρασης εδάφους θεμελίου, φροντίζουμε ώστε η μαθηματική περιγραφή του προβλήματος να περιλαμβάνει όλα τα ανεξάρτητα χαρακτηριστικά: (α) Γεωμετρικά Χαρακτηριστικά : μήκη, γωνίες, διάμετροι... (β) Εδαφικά Χαρακτηριστικά : πυκνότητα, μέτρο διάτμησης, λόγος Poisson, γωνία τριβής, συνοχή... (γ) Χαρακτηριστικά Θεμελίωσης καί Ανωδομής : Δυσκαμψίες, μέτρα ελαστικότητας, ροπές αδρανείας... (δ) Φόρτιση : Επιβαλλόμενες Δυνάμεις, Ροπές (ε) Απόκριση : καμπυλότητες, εσωτερικές δυνάμεις (Μ, Q, N) καθιζήσεις, παραμορφώσεις, τάσεις

Τέλος ενότητας