UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2014

2

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijska smer: Fizika in matematika SANDRA BOLTA Mentor: doc. dr. Primož Šparl LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2014

Zahvala Zahvaljujem se svojemu mentorju dr. Primožu in spodbudo pri nastajanju diplomskega dela. Šparlu za strokovno svetovanje, potrpežljivost Hvala vsem prijateljem, ki ste verjeli vame in mi nudili podporo, ko sem jo res potrebovala. Iskrena hvala mami ter sestri Tjaši za vso podporo in pozitivno energijo, ki sta mi jo nudili tekom študija. Hvala tebi Matjaž, ki si verjel vame, ko še sama nisem, ker si me optimistično spodbujal ter mi nesebično pomagal. Diplomsko delo posvečam svojemu očetu, ki je moj angel varuh.

POVZETEK V diplomskem delu obravnavamo linearne teorijo grafov. Zanimajo nas predvsem lastne vrednosti tako imenovanih matrik sosednosti danega grafa. V ta namen so v diplomskem delu predstavljeni tudi osnovni pojmi in nekateri rezultati linearne algebre, ter krajši uvod v teorijo grafov. Predstavljeni so pojmi matrike sosednosti, lastnih vrednosti ter spektra danega grafa. Obravnavana so vprašanja kako se lastnosti grafa odražajo na njegovem spektru. Izračunani so tudi spektri znanih družin grafov. Ključne besede: Lastne vrednosti, teorija grafov, matrika sosednosti, spekter grafa, standardne družine grafov. MSC (2010) klasifikacija: 05C50, 11C08, 11C20, 15A18

ABSTRACT In this BSc thesis we deal with matrix graph theory. We are interested primarily in the eigenvalues of the so-called adjacency matrix of a given graph. Because of that, we present the basic concepts and some basic results from linear algebra and a short introduction to a graph theory. We introduce the concepts of adjacency matrices, eigenvalues and the spectrum of a given graph. We investigate how the properties of a given graph reflect on its spectrum. For the well-known families of graphs we calculated their spectra. Key words: eigenvalues, graph theory, adjacency matrix, graph spectrum, well-known graphs. MSC (2010) classification: 05C50, 11C08, 11C20, 15A18

Kazalo 1 UVOD 1 2 OSNOVNI POJMI 3 2.1 Lastne vrednosti in lastni vektorji matrike..................... 3 2.2 Teorija grafov..................................... 7 2.2.1 Osnovni pojmi................................ 7 2.2.2 Standardne družine grafov.......................... 11 3 MATRIKE GRAFOV 13 3.1 Matrika sosednosti.................................. 13 3.2 Incidenčna in Laplaceova matrika.......................... 20 4 SPEKTRI STANDARDNIH DRUŽIN GRAFOV 21 4.1 Polni graf....................................... 21 4.2 Pot........................................... 23 4.3 Cikel.......................................... 24 4.4 Polni dvodelni graf.................................. 26 4.5 Posplošeni Petersenovi grafi............................. 27 5 APLIKACIJE SPEKTRA GRAFA 31

Slike 2.1 Primer grafa...................................... 8 2.2 Graf G, njegov podgraf H in komplement G c.................... 9 2.3 Primer grafa premera 2................................ 10 2.4 Dvodelni graf...................................... 10 2.5 Polni grafi........................................ 11 2.6 Pot........................................... 11 2.7 Cikli C 3, C 6 in C 9................................... 12 2.8 Polni dvodelni grafi K 1,2, K 2,2, K 2,3 in K 3,3..................... 12 2.9 Posplošeni Petersenovi grafi.............................. 12 3.1 Graf G......................................... 13 3.2 Grafa G 1 in G 2..................................... 15 3.3 Grafa G 1 in G 2..................................... 16 4.1 Grafa K 4 in K 5..................................... 21 4.2 Graf P 3......................................... 23 4.3 Graf cikla C 4...................................... 25 4.4 Polni dvodelni graf K 2,3................................ 26 4.5 Polni dvodelni graf K 3,3................................ 27 4.6 Petersenov graf..................................... 28

Poglavje 1 UVOD Teorija grafov je dokaj mlada veja matematike, ki se je začela intenzivno razvijati šele zdaj, ko so računalniki pomemben del našega vsakdana, čeprav je članek, ki velja za začetek teorije grafov in v katerem je Euler rešil problem o sedmih königsberških mostovih, izšel že leta 1741. Teorijo grafov obravnavamo iz različnih zornih kotov. Tako poznamo topološko teorijo grafov, algebrajsko teorijo grafov, kombinatorično teorijo grafov in druge. V diplomskem delu se bomo posvetili delu algebrajske teorije grafov, ki ji pravimo matrična teorija grafov. Matrična oz. spektralna teorija grafov je zelo pomembna veja teorije grafov. Spektralno teorijo grafov srečamo tako v računalništvu kakor tudi v fiziki in kemiji. S pomočjo spektra grafa so se določeni problemi v fiziki in kemiji zelo olajšali. Eno izmed glavnih vprašanj, ki si jih zastavljamo v matrični teoriji grafov, je, kako se lastnosti danega grafa kažejo na lastnostih njegove tako imenovane sosednostne matrike. Zelo velikega pomena v diplomskem delu bodo imele lastne vrednosti te matrike. Seznamu lastnih vrednosti te matrike bomo rekli spekter grafa. Cilji diplomskega dela so predstavitev pojma sosednostne matrtike, lastnih vrednosti in spekter grafa, predstavitev rezultatov, ki pokažejo kako se lastnosti grafa odražajo na njegovem spektru, ter izračun spektrov grafov, ki pripadajo nekaterim standardnim družinam grafov. V drugem poglavju diplomskega dela so predstavljeni osnovni pojmi matrične geometrije, ki jih srečujemo pri obravnavi lastnih vrednosti, in osnovni pojmi teorije grafov. Na koncu drugega poglavja so na kratko predstavljene nekatere bolj znane družine grafov. Nato sledi poglavje, v katerem je predstavljena matrika sosednosti grafa ter pojma lastne vrednosti in spekter grafa. Predstavljenih je tudi nekaj rezultatov v zvezi s temi pojmi. V predzadnjem poglavju so izračunani spektri nekaterih standardnih družin, v zadnjem pa so predstavljene nekatere aplikacije spektralne teorije grafov. 1

2

Poglavje 2 OSNOVNI POJMI V tem poglavju bomo ponovili pojme iz linearne algebre in teorije grafov, ki so pomembni za nadaljnje razumevanje diplomskega dela. Razdelek 2.1 je povzeto po [7] ter [1]. Razdelka 2.2 ter 2.3 sta povzeta po [8]. 2.1 Lastne vrednosti in lastni vektorji matrike Kot smo omenili že v uvodu, sta glavni temi diplomskega dela obravnava matrik sosednosti grafov in določitev njihovih lastnih vrednosti. Zato je ta razdelek namenjen kratki ponovitvi osnovnih pojmov, kot so determinanta, lastna vrednost, lastni vektorji in karakteristični polinom. V tem razdelku navajamo samo najnujnejše pojme in rezultate, večinoma brez dokazov, zato bralcu, ki bi si želel to snov bolj osvežiti, predlagamo [1]. Najprej se spomnimo, kaj so lastne vrednosti matrike. Definicija 2.1.1 Realno število λ imenujemo lastna vrednost matrike A R n n, če obstaja tak neničelni vektor v R n 1, da je Av = λv. Vektor vv tem primeru imenujemo lastni vektor matrike A za lastno vrednost λ. Matriki reda n 1 pravimo matrični stolpec ali stolpični vektor razsežnosti n; matriki reda 1 n pa pravimo matrična vrstica ali vrstični vektor. Uporabljali bomo naslednji oznaki: stolpec: a = a 1 a 2. a n, vrstica: a T = (a 1, a 2,..., a n ). Lastne vrednosti matrike A lahko izračunamo preko karakterističnega polinoma matrike A, tako da poiščemo njegove ničle. Preden pa spoznamo karakteristični polinom, moramo najprej obravnavati determinanto matrike. Dogovorimo se, da bo oznaka a ij pomenila element matrike A v i-ti vrstici in j-tem stolpcu. Definicija 2.1.2 Naj bo A = (a ij ) dana n n matrika. Determinanta matrike A je število deta = π S n ε(π)a 1π(1) a 2π(2)... a nπ(n), 3

pri čemer je za permutacijo π S n število ε(π) definiramo na naslednji način { 1, če je π soda ε(π) = 1, če je π liha. Determinanto matrike A = (a ij ) n n zapišemo kot a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n det(a) =....... a n1 a n2... a nn Izkaže se, da lahko determinanto matrike A računamo po naslednjih postopkih: Determinanta matrike A = [a] je enaka številu a. Determinanto matrike reda 2 2 izračunamo po definiciji: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12, Determinanto matrike reda 3 3 izračunamo po definiciji: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33, Računanje determinant lahko postopoma prevedemo na računanje determinant nižjega reda z razvojem po vrstici ali stolpcu. To storimo tako: izberemo i-to vrstico (stolpec) matrike A = (a ij ) n n, po možnosti s čim več elementi, enakimi 0. Naj A ij pomeni matriko, ki jo iz A dobimo tako, da ji odstranimo i-to vrstico in j-ti stolpec. Za razvoj po i-ti vrstici velja formula: det(a) = n ( 1) i+j a ij det(a ij ), j=1 za razvoj po j-tem stolpcu pa formula: det(a) = n ( 1) i+j a ij det(a ij ). i=1 Kot smo že omenili, lahko lastne vrednosti matrike A izračunamo preko karakterističnega polinoma matrike A. Definicija 2.1.3 Naj bo A R n n matrika. Karakteristični polinom matrike A je definiran kot φ A (λ) = det(a λi n ), kjer je I n enotska matrika reda n n, definirana kot diagonalna matrika z enicami po svoji glavni diagonali in z ničlami povsod drugje. Lastna vrednost mora izpolnjevati polinomsko enačbo φ A (λ) = 0, ki jo imenujemo karakteristična enačba. Lastne vrednosti matrike A so torej natanko ničle njenega karakterističnega polinoma. Za poljubno kvadratno matriko A R n n reda n n velja: Matrika A R n n reda n n ima natanko n kompleksnih lastnih vrednosti λ 1, λ 2,..., λ n, pri čemer moramo šteti ničle glede na njihovo večkratnost, saj ima polinoma stopnje n s kompleksnimi koeficienti natanko n kompleksnih ničel (ki pa so lahko tudi realne). 4

Če je vseh n lastnih vrednosti matrike reda n n med seboj različnih, potem obstaja natanko n linearno neodvisnih vektorjev v, ki predstavljajo rešitve sistema enačb Av = λv. Torej, da lahko izračunamo karakteristični polinom matrike A, moramo izračunati determinanto matrike (A λi n ). Oglejmo si primerizračuna lastnih vrednosti matrike A. 4 3 0 Primer: Izračunajmo lastne vrednosti matrike A = 7 5 3. 2 2 4 Najprej je treba izračunati karakteristični polinom za matriko A. 4 λ 3 0 ( ) φ A (λ) = det(a λi 3 ) = 7 5 λ 3 = 2 2 4 λ Da bomo izračunali dano determinanto, je najbolje, da uporabimo razvoj po prvi vrstici. ( ) = (4 λ) 5 λ 3 2 4 λ 3 7 3 2 4 λ + 0 7 5 λ 2 2 ( ) = Determinante matrik dimenzije 2 2 pa ni težko izračunati. ( ) = (4 λ)((5 λ)(4 λ) 3 2) 3(7(4 λ) 3 2) + 0 ( ) = Izraz lahko malo preuredimo in dobimo: ( ) = (λ 3 13λ 2 + 29λ + 10) = (λ 10)(λ 3 13 2 )(λ 3+ 13 2 ) Ničle karakterističnega polinoma φ A (λ) so ravno lastne vrednosti matrike A. (λ 10)(λ 3 13 2 )(λ 3 + 13 ) = 0 2 Lastne vrednosti matrike A so λ 1 = 10, λ 2 = 3 13 2 in λ 3 = 3+ 13 2. Preden nadaljujemo, je dobro, da spoznamo transponirano matriko. Definicija 2.1.4 Transponirana matrika A T od naslednjih operacij: je matrika, ki nastane iz matrike A pri eni zapišemo vrstice matrike A kot stolpce matrike A T, zapišemo stolpce matrike A kot vrstice matrike A T, zrcalimo matriko A preko glavne diagonale. Za lažje nadaljnje računanje velja omeniti nekaj lastnosti determinante. Determinanta matrike in njene transponiranke sta enaki: det(a) = det(a T ). Če eno vrstico v matriki pomnožimo s skalarjem α, se determinanta pomnoži z α. Če en stolpec v matriki pomnožimo s skalarjem α, se determinanta pomnoži z α. 5

Če v matriki zamenjamo dve vrstici (stolpca), se njena determinanta pomnoži z ( 1). Če sta dve vrstici (stolpca) v matriki A enaki, je njena determinanta enaka 0. Če v matriki prištejemo neničeln skalarni večkratnik ene vrstice (stolpca) drugi vrstici (stolpcu), se determinanta ne spremeni. Za poljubni dve matriki A in B velja: det(a B) = det(a) det(b). V diplomskem delu se bomo srečali le s simetričnimi matrikami (zakaj je temu tako, bomo videli v tretjem poglavju), zato navedimo tudi posebne lastnosti, ki jih imajo simetrične matrike. Definicija 2.1.5 Simetrična matrika je kvadratna matrika, za katero velja, da je A = A T, torej je a ij = a ji za vse i in j. Trditev 2.1.1 Naj bo A R n n simetrična matrika. Tedaj za poljubna vektorja u, v R n velja: Au v = u A T v. V naslednji trditvi bomo obravnavali ortogonalne vektorje. Dva vektorja sta ortogonalna, če je njun skalarni produkt u v = u T v enak 0. Trditev 2.1.2 Naj bo A realna simetrična matrika. Če sta u in v lastna vektorja matrike A, ki pripadata različnima lastnima vrednostma, potem sta u in v ortogonalna. Dokaz: Naj velja Au = λu in Av = τv, kjer λ τ. Ker je A simetrična matrika, velja u T Av = (v T Au) T. Vendar pa je leva stran te enačbe enaka u T Av = τu T v in desna stran je enaka (v T Au) T = λu T v. In ker sta lastni vrednosti različni, to je λ τ, mora veljati u T v = 0. Trditev 2.1.3 Naj bo A realna simetrična matrika. Tedaj so lastne vrednosti matrike A realna števila. Dokaz: Naj bo u lastni vektor matrike A za lastno vrednost λ. Če vzamemo kompleksno konjunkcijo enačbe Au = λu, dobimo Aū = λū, in tako je tudi ū lastni vektor matrike A. Ker so lastni vektorji neničelni in je produkt kompleksnega števila z njegovim konjugirancem enak kvadratu njegove absolutne vrednosti, sledi u T ū > 0. Toda zaradi prejšnje trditve u in ū ne moreta imeti različnih lastnih vrednosti, tako da velja λ = λ, in trditev je dokazana. V nadaljevanju bomo potrebovali še naslednje pojme iz linearne algebre. Definicija 2.1.6 Naj bo A kvadratna matrika reda n n. Sled matrike A, ki jo označimo kot sl(a), je določena kot vsota elementov na diagonali matrike: sl(a) = a 11 + a 22 +... + a nn = n a ii. i=1 Trditev 2.1.4 Naj bo A kvadratna n n matrika. Sled matrike je ravno vsota lastnih vrednosti. 6

Dokaz Po definiciji je krakteristični polinom n n matrike Po drugi strani pa je tudi φ A (λ) = det(a λi) = ( 1) n (λ n sl(a)λ n 1 +... + ( 1) n det(a)). φ A (λ) = ( 1) n (λ λ 1 )(λ λ 2 )... (λ λ n ), kjer je λ i lastni vektor matrike A. Izraza izenačimo in dobimo sl(a) = λ 1 +... + λ n. Izkaže se, da je v matriki A največje število linearno neodvisnih stolpcev enako največjemu številu linearno neodvisnih vrstic. Definicija 2.1.7 Maksimalno število linearno neodvisnih vrstic r dane matrike A imenujemo rang matrike, označimo ga z rang(a). Rang matrike nam pove tudi, koliko lastnih vrednosti, štetih z večkratnostjo, različnih od 0, ima matrika. Za razumevanje trditve, ki jo bomo obravnavali kasneje, je na mestu, da definiramo pojem podobnosti matrik. Definicija 2.1.8 Naj bosta A in B kvadratni n n matriki. Matriki A in B sta si podobni, če velja B = P 1 AP, kjer je P primerna obrnljiva matrika razsežnosti n n. Trditev 2.1.5 Podobne matrike se ujemajo v naslednjih lastnostih: determinanta, lastne vrednosti in karakteristični polinom. Dokaz: Naj bosta A in B podobni matriki, to pomeni, da obstaja matrika P, za katero velja B = P 1 AP. Najprej si oglejmo dokaz za determinanto. det(b) = det(p 1 AP ) = det(p 1 )det(a)det(p ) = (det(p )) 1 det(a)det(p ) = det(a) Če imata matriki enak karakteristični polinom, potem imata tudi enake lastne vrednosti. Dovolj se je torej prepričati, da velja det(b λi) = det(p 1 AP λp 1 P ) = det(p 1 (A λi)p ) = det(a λ). 2.2 Teorija grafov V podrazdelku, ki sledi, bomo najprej spoznali osnovne pojme, ki jih potrebujemo za nadaljevanje. V nadaljevanju pa bomo spoznali še standardne družine grafov, ki jih srečujemo pri teoriji grafov. 2.2.1 Osnovni pojmi Definicija 2.2.1 Graf G = (V (G), E(G)) je urejen par množic, od katerih je prva V (G) neprazna in je imenovana množica vozlišč, druga E(G) pa je podmnožica množice neurejenih parov različnih elementov iz V (G) in jo imenujemo množica povezav grafa G. 7

Če ni nevarnosti za nesporazum, bomo namesto V (G) in E(G) pisali kar V in E. Dogovorimo se tudi, da bomo povezave namesto z {uv} krajše označevali kar z uv. V diplomskem delu bomo torej obravnavali tako imenovane enostavne grafe. Po naši definiciji namreč graf ne vsebuje zank in vzporednih povezav. Graf je torej sestavljen iz množice vozlišč in množice povezav. Najlažje si je graf predstavljati tako, da na list papirja narišemo vozlišča, kot malo odebeljene pike, in jih povežemo med seboj tako, kot nam veleva množica povezav. Za povezavo med vozlišči u in v običajno uporabljamo kar oznako uv. Definicija 2.2.2 Naj bo G = (V (G), E(G)) graf in naj bosta u, v V (G) dve vozlišči. Če je uv E(G), pravimo, da sta u in v sosednji vozlišči, in to dejstvo označimo z u v. Pravimo tudi, da sta vozlišči u in v incidenčni s povezavo uv, ter tudi, da sta u in v njeni krajišči. Številu vozlišč, ki nastopajo v grafu, torej kardinalnosti V (G), rečemo red grafa G. Definicija 2.2.3 Naj bo G = (V, E) graf in v njegovo vozlišče. Stopnja vozlišča v je število povezav, katerih krajišče je v. Stopnjo vozlišča označimo s st(v). Definicija 2.2.4 Regularni graf je graf, v katerem ima vsako vozlišče enako število sosednjih vozlišč oziroma imajo vsa vozlišča enako stopnjo. Regularni graf z vozlišči stopnje k se imenuje k-regularni graf. Slika 2.1: Primer grafa. Iz upodobitve grafa na sliki 2.1 je razvidno, da je njegova množica vozlišč V = {1, 2, 3, 4}, množica povezav pa E = {a, b, c, d, e}, pri čemer smo povezavo 12 preimenovali v a, povezavo 13 v b, itd. Iz te upodobitve so razvidne tudi stopnje vozlišč, ki so: st(1) = 3, st(2) = 2, st(3) = 3 in st(4) = 2. V teoriji grafov je zelo pomembna lema o rokovanju. Njene posledice bodo pomembne pri dokazovanju trditev, s katerimi se bomo srečali kasneje. Lema 1 (Lema o rokovanju) Vsota stopenj vseh vozlišč grafa G je enaka dvakratniku števila vseh povezav v grafu, to je st(v) = 2 E(G). v V (G) Lema o rokovanju ima nekaj pomembnih posledic: vsota vseh stopenj v grafu je sodo število, 8

število vozlišč lihe stopnje je sodo, če je G regularen graf stopnje k in reda n, ima G natanko 1 nk povezav. 2 Definicija 2.2.5 Podgraf grafa G je graf H, za katerega velja: V (H) V (G), E(H) E(G). Torej lahko določen podgraf danega grafa dobimo tako, da izbrišemo nekaj vozlišč in/ali povezav. Pri tem je treba poudariti, da ko izbrišemo vozlišče, moramo izbrisati tudi vse incidenčne povezave. Predstavimo še pojem komplementa grafa. Definicija 2.2.6 Komplement grafa G je graf G c, ki ga dobimo iz grafa G tako, da ohranimo vozlišča (V (G) = V (G c )), povezave E(G c ) pa so ravno tiste povezave med vozlišči, ki jih v grafu G ni. Slika 2.2: Graf G, njegov podgraf H in komplement G c. Na sliki 2 je upodobljen graf G. Množica vozlišč podgrafa H je V (H) = {1, 2, 3, 5}, torej H, ne vsebuje vozlišča 4, odstranili pa smo tudi povezavi 41 in 52. Upodobljen je tudi komplement grafa G. Pri obravnavi grafov so nam v pomoč pojmi, kot so sprehod, pot, obhod in cikel. Definicija 2.2.7 Naj bo G graf. Zaporedje vozlišč (v 0, v 1, v 2,..., v n ) grafa G je sprehod, če za vsak i, 0 i n 1 velja v i v i+1. Dolžina tega sprehoda je n (število korakov). Če so vse pripadajoče povezave sprehoda različne, je to enostaven sprehod. Če so različna tudi vsa vozlišča, je to pot. Če je v 0 = v n, gre za sklenjen sprehod. Enostaven sklenjen sprehod, za katerega so vsa vozlišča (razen seveda v n = v 0 ) različna, je cikel. Za u, v V (G) je razdalja d(u, v) dolžina najkrajše poti od u do v, če ta sploh obstaja. Graf je povezan, če obstaja pot med poljubnima dvema vozliščema v grafu G. V nasprotnem primeru je graf nepovezan. Premer povezanega grafa je maksimalna razdalja v grafu. 9

Slika 2.3: Primer grafa premera 2. Na sliki 3 je upodobljen graf, na katerem bomo obravnavali sprehod, obhod in sklenjen sprehod. Primer sprehoda v tem grafu je (1, 2, 3, 1, 3, 4). To ni enostaven sprehod, saj smo povezavo 13 prehodili dvakrat. Sprehod (1, 2, 3, 4) je pot, ker so vse povezave sprehoda različne, prav tako vsa vozlišča. Sklenjen sprehod v našem primeru bi lahko bil (1, 2, 3, 4, 3, 1). Definicija 2.2.8 Dvodelni graf je graf, ki mu lahko vozlišča razdelimo v dve disjunktni množici U in V, tako da vsaka povezava povezuje vozlišče iz množice U z vozliščem v množici V. Na sliki 2.4 je predstavljen dvodelni graf. Slika 2.4: Dvodelni graf. V teoriji grafov je precej pomembno vprašanje, ali dani graf vsebuje Hamiltonski cikel. To bo zanimalo tudi nas. Definicija 2.2.9 Hamiltonska pot je pot, ki gre skozi vsako vozlišče na grafu. Hamiltonov cikel je cikel, ki vsebuje vsa vozlišča grafa. Graf, ki vsebuje Hamiltonov cikel, imenujemo Hamiltonski graf. Pogosto sta lahko dve upodobitvi grafov videti popolnoma drugače, v resnici pa gre abstraktno gledano za en in isti graf. Tovrstno enakost med grafi vpelje pojem izomorfizma. Definicija 2.2.10 Naj bosta G in H grafa. Bijektivni preslikavi ϕ : V (G) V (H), za katero je uv E(G) natanko tedaj, ko je ϕ(u)ϕ(v) E(H), pravimo izomorfizem grafov. Grafa G in H sta izomorfna, oznaka G = H, če med njima obstaja takšen izomorfizem. 10

2.2.2 Standardne družine grafov V tem podrazdelku bomo spoznali nekatere bolj standardne družine grafov, s katerimi se srečujemo v teoriji grafov. Vsaka družina je le na kratko predstavljena, ker bomo veliko več o njih govorili v 4. poglavju. Polni graf K n Graf K n je graf z množico vozlišč V = {1, 2,..., n} in množico povezav E = {{i, j}, i, j {1, 2,..., n}, i j}. Komplement grafa K n je prazen graf, ki vsebuje n vozlišč in nobene povezave. Slika 2.5: Polni grafi. Slika 2.5 prikazuje upodobitve grafov K 3, K 4, K 9 in K 12. Ker je poljubno vozlišče polnega grafa sosednje z vsemi preostalimi vozlišči, je graf K n (n 1)- regularen graf, kar lahko opazimo tudi na primerih na sliki 2.5. Pot P n Graf P n = (V, E) ima množico vozlišč V = {v 1, v 2,..., v n } in množico povezav E = {v 1 v 2, v 2 v 3,..., v n 1 v n }. Slika 2.6: Pot. Na sliki 2.6 sta upodobljena grafa P 3 in P 9. Cikel C n Graf C n je graf z množico vozlišč {v 0, v 1,..., v n 1 } in množico povezav {v 0 v 1, v 1 v 2,..., v n 1 v 0 }. Število vozlišč v C n je enako številu povezav, vsako vozlišče je stopnje 2, to pomeni, da je vsako vozlišče incidenčno z natanko dvema povezavama. 11

Slika 2.7: Cikli C 3, C 6 in C 9. Na sliki 4.3 so upodobljeni grafi C 3, C 6 in C 9. Opazimo lahko, da gre pri grafih C 3 in K 3 v resnici za isti graf. Poln dvodelni graf K n,m Poln dvodelni graf K n,m je graf na n vozliščih enega tipa in na m vozliščih drugega tipa. Pri tem je vsako vozlišče prvega tipa povezano z vsakim vozliščem drugega tipa in obratno. Slika 2.8: Polni dvodelni grafi K 1,2, K 2,2, K 2,3 in K 3,3. Med bolj pomembne grafe spada graf K 3,3, ki je upodobljen na sliki zgoraj. Gre namreč za enega izmed dveh tako imenovanih prepovedanih minorjev, če želimo dani graf upodobiti v ravnini, ne da bi se povezave križale med seboj. Posplošeni Petersenovi grafi GP (n, k) Posplošeni Petersenov graf GP (n, k), kjer je n 3 in 1 k n, je graf z množico vozlišč 2 V = {u i : i Z n } {v i : i Z n } in množico povezav E = {{u i, u i+1 } : i Z n } {{v i, v i+k }, i Z n } {{u i, v i }, i Z n }. Slika 2.9: Posplošeni Petersenovi grafi. Na sliki 2.9 so upodobljeni grafi GP (4, 2), GP (5, 1), GP (5, 2) ter GP (6, 2). 12

Poglavje 3 MATRIKE GRAFOV Vsak graf lahko predstavimo na več načinov. Lahko ga podamo tako, da navedemo njegovo množico vozlišč in množico povezav. Lahko ga upodobimo in o njegovih lastnostih sklepamo s slike. Graf pa lahko podamo tudi preko ustrezne matrike. V algebrajski teoriji grafov poznamo več vrst matrik, ki jih priredimo grafu. Za nas najpomembnejša bo matrika sosednosti. V tem poglavju si bomo ogledali nekaj njenih lastnosti. Omenili bomo tudi incidenčno matriko in Laplaceovo matriko. To poglavje je povzeto po [8]. 3.1 Matrika sosednosti Definicija 3.1.1 Naj bo G poljuben graf z množico vozlišč V = {v 1, v 2,..., v n }. Matrika sosednosti A(G) grafa G je simetrična n n matrika z vrsticami in stolpci, indeksiranimi z vozlišči grafa G, tako da je element matrike a ij enak 1, če sta vozlišči v i in v j sosednji, in je enak 0, če nista. Ker graf G nima zank, so diagonalni elementi matrike A(G) ničle. V razdelku 2.1 smo omenili, da bomo obravnavali le simetrične matrike. Matrika sosednosti je res simetrična, saj v primeru, ko sta v i in v j sosednji vozlišči, velja a ij = a ji = 1, sicer pa a ij = a ji = 0. Definicija 3.1.2 Naj bo G graf in A(G) pripadajoča matrika sosednosti. Lastne vrednosti grafa G so lastne vrednosti matrike A(G). Seznam lastnih vrednosti grafa G, skupaj z njihovimi kratnostmi, je spekter grafa G. Označimo ga s Spec(G). Preden nadaljujemo, si kar oglejmo primer grafa in njegovega spektra. Primer: Izračunajmo spekter grafa G s slike 3.1. Slika 3.1: Graf G. 13

0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 Matrika sosednosti grafa G je A = 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0. 0 1 0 0 0 Za dano matriko zapišimo karakteristični polinom, ki ga zapišemo s pomočjo enačbe φ A (λ) = det(a λi). Dobimo λ 1 1 0 0 1 λ 1 0 1 ( ) det(a λi) = 1 1 λ 1 0 = 0 0 1 λ 0 0 1 0 0 λ Determinanto razvijemo po zadnjem stolpcu. λ 1 1 0 λ 1 1 0 ( ) = 0 1 1 λ 1 0 0 1 λ + 0 0 + ( λ) 1 λ 1 0 1 1 λ 1 0 1 0 0 0 0 1 λ Obe determinanti bomo razvili po zadnji vrstici. ( ) λ 1 0 = 0 + 1 λ 1 0 1 λ 0 + 0 λ 1 0 λ 0 + 0 1 λ 0 1 1 1 + ( λ) λ 1 1 1 λ 1 1 1 λ Izračunamo vse determinante in dobimo naslednji izraz. ( ) = λ 3 2λ λ( λ 2 + 1 + λ 4 3λ 2 2λ) Izraz poenostavimo in dobimo karakteristični polinom φ A (λ) = λ 5 + 5λ 3 + 2λ 2 3λ. Zapišimo karakteristično enačbo in jo rešimo. φ A (λ) = 0 λ 5 5λ 3 + 2λ 2 + 3λ = 0 λ(λ 1 2 ( 1 5))(λ 1 2 ( 1 + 5))(λ 1 2 (1 13))(λ 1 2 (1 + 13)) = 0 ( ) = ( ) = Lastne vrednosti grafa G so λ 1 = 0, λ 2 = 1( 1 5), λ 2 3 = 1( 1 + 5), λ 2 4 = 1(1 13) in 2 λ 2 = 1(1 + 13). 2 Zdaj pa lahko zapišemo še spekter grafa G. ( 0 1 Spec(G) = ( 1 1 5) ( 1 + 1 5) (1 1 13) (1 + ) 13) 2 2 2 2. 1 1 1 1 1 V podrazdelku 2.2.1 smo omenili, da grafe običajno študiramo le do izomorfizma natančno. Takrat smo izomorfizem definirali kot bijektivno preslikavo, ki ohranja sosednost. Zdaj pa pokažimo, da se izomorfnost grafov kaže tudi preko njihovih matrik sosednosti. 14

Trditev 3.1.1 Naj bosta G 1 in G 2 dva grafa reda n. Tedaj sta G 1 in G 2 izomorfna, če in samo če obstaja taka premutacijska matrika P, da velja: P A(G 1 )P 1 = A(G 2 ). Dokaz Podali bomo le idejo dokaza, podrobnosti pa prepuščamo bralcu. Naj velja V (G 1 ) = {u 1, u 2,..., u n } in V (G 2 ) = {v 1, v 2,..., v n }. Če sta grafa G 1 in G 2 izomorfna, potem obstaja izomorfizem ϕ : V (G 1 ) V (G 2 ). Ker je ϕ bijekcija, lahko definiramo permutacijo α S n, ki je definirana tako, da za vsak i {1, 2,..., n} velja ϕ(u i ) = v α(i). Permutacija α seveda na naraven način definira permutacijsko matriko P. Ni se težko prepričati, da je P ravno permutacijska matrika, za katero velja P A(G 1 )P 1 = A(G 2 ). Dokaz obrata gre povsem podobno, saj ustrezna matrika P na naraven način podaja permutacijo α S n. Bralec se bo prepričal, da je tedaj preslikava ϕ: V (G 1 ) V (G 2 ) definirana s predpisom ϕ(u i ) = v α(i), izomorfizem grafov G 1 in G 2. Trditvi 3.1.1 ter 2.1.5 nam podata naslednjo posledico. Posledica 1 Naj bosta G 1 in G 2 izomorfna grafa. torej imata tudi isti spekter. Izomorfna grafa imata podobni matriki, Primer Na sliki 3.2 sta podana grafa G 1 in G 2. Zanima nas, ali sta grafa izomorfna. Slika 3.2: Grafa G 1 in G 2. Da je temu tako, se zlahka prepričamo. Izomorfizem grafov ϕ ohranja sosednost in med drugim tudi stopnjo vozlišča. S slike je razvidno, da je edino vozlišče v grafu G 1 stopnje 1 vozlišče 5. Če sta grafa izomorfna, se mora vozlišče 5 preslikati v vozlišče stopnje 1. Edino tako vozlišče v grafu G 2 je vozlišče d. Torej velja ϕ(5) = d. Graf G 1 vsebuje eno samo vozlišče stopnje 4, in to je vozlišče 2. Po enakem premisleku kot prej lahko ugotovimo, da je ϕ(2) = c. Ker se preostala vozlišča med seboj ne razlikujejo (imajo enako stopnjo, vsi so sosedi z vozliščem 2 in so od vozlišča 5 oddaljeni natanko za 2), lahko zapišemo izomorfizem kot: ϕ = ( 1 2 3 4 5 a c b e d ). Po zgornji trditvi mora obstajati tudi ustrezna permutacijska matrika. računanjem, moramo zapisati še matrike sosednosti za grafa G 1 in G 2. Preden začnemo z 15

0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 A(G 1 ) = 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 ter A(G 1 0 1 0 1 2) = 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0. 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 Za dani izomorfizem lahko poiščemo permutacijsko matriko, ki je 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 P = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 1 0 Za permutacijske matrike velja P 1 = P T, zato lahko lažje zapišemo P 1. 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 P 1 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 1 0 Za množenje matrik velja asociativni zakon (AB)C = A(BC), zato je vseeno, kako bomo začeli 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 množiti. Najprej zmnožimo matriki P A(G 1 ) in dobimo matriko P A(G 1 ) = 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0. 1 1 1 0 0 Dobljeno matriko pomnožimo še s P 1. Tako dobimo 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 P A(G 1 )P 1 = 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 = A(G 2). 1 1 1 0 0 Torej smo se tudi preko podobnosti sosednosti matrik prepričali, da sta grafa izomorfna. Dva izomorfna grafa imata torej iste lastne vrednosti. Obratno pa ne velja. Dva grafa imata lahko iste lastne vrednosti, vendar nista izomorfna. Primer: Oglejmo si primer, ko imata grafa isti spekter, vendar nista izomorfna. Slika 3.3: Grafa G 1 in G 2. 16

Da grafa, ki sta upodobljena na sliki 3.3, nista izomorfna, je očitno, saj graf G 1 ne vsebuje vozlišča stopnje 6, kot ga vsebuje graf G 2. Imata pa njuni matriki sosednosti isti karakteristični polinom φ A (λ) = (λ + 2)(λ + 1) 2 (λ 1) 2 (λ 2 2λ 6), in posledično tudi spekter Spec(G) = ( 2 1 1 1 ± 7 1 2 2 1 ). (Račun prepuščamo bralcu.) Po prebranem bo bralec morda mislil, da nam matrika sosednosti prav nič ne more pomagati pri razumevanju lastnosti danega grafa, vendar ni tako. Naslednja trditev pokaže, da se v matriki sosednosti in njenih potencah skrivajo podatki o številu sprehodov dane dolžine med izbranimi vozlišči. Dogovorimo se še za oznake. Naj (a ij ) k predstavlja (i, j)-ti element matrike A k. Trditev 3.1.2 Naj bo G graf z množico vozlišč V = {v 1, v 2,..., v n } in naj bo A njegova matrika sosednosti. Za poljuben k 0 je tedaj število sprehodov dolžine k od vozlišča v i do vozlišča v j v grafu G enako (a ij ) k. Dokaz: Trditev bomo dokazali z indukcijo na k. Za k = 0 in k = 1 trditev očitno drži. Če je i j, potem sprehodov dolžine 0 med vozliščema v i in v j očitno ni, če pa i = j, tak sprehod seveda obstaja. Denimo, da za k 1 velja, da je (a ij ) k število sprehodov dolžine k med vozliščema v i in v j za poljubna i in j. Sprehodi dolžine k + 1 med v i in v j so oblike v i v s1 v s2 v s3... v sk v j. Obravnavajmo število sprehodov po nekem fiksnem v sk : če je v sk v j / E(G), potem tak sprehod ne obstaja, torej je odgovor 0. Če je v sk v j E(G), potem je sprehodov natančno toliko, kolikor je sprehodov dolžine k med v i in v sk. Vse možne sprehode dobimo, ko v sk preteče vsa vozlišča grafa G. Seveda sta množici sprehodov pri različnih v sk disjunktni. Če je v s k v j E(G), potem je a sk j = 1, sicer je a sk j = 0. Vseh sprehodov dolžine k med i in j je torej n (a isk ) k a sk j. k=1 To pa je ravno produkt i-te vrstice matrike a k in j-tega stolpca matrike a, torej ravno (a ij ) k+1. Trditev 3.1.3 Naj bo G enostaven graf z m povezavami in t trikotniki in naj bo A njegova matrika sosednosti. Potem velja: sl(a) = 0 sl(a 2 ) = 2m sl(a 3 ) = 6t Dokaz: Ker je G enostaven graf, ne vsebuje nobene zanke, zato je a ii = 0 za i. Zato je sl(a) = n i=1 a ii = 0. 17

Naj bo v V (G) poljubno vozlišče. Po trditvi 3.1.2 vemo, da je (a ij ) 2 število sprehodov dolžine 2 med v i in v j. Sedaj nas zanimajo sprehodi dolžine 2 med v in v. Edini sprehodi dolžine 2 med v in v so oblike vuv, kjer je u sosed vozlišča v. Takih sprehodov je toliko, kolikor sosedov ima vozlišče v, to pa je ravno st(v). Zato je n n sl(a 2 ) = (a ii ) 2 = st(v i ) = 2m. i=1 Zadjna enakost sledi iz leme o rokovanju. Naj bo v V (G). Vsi sprehodi dolžine 3 iz v nazaj v v so nujno oblike vuwv, kjer so u, v in w različna vozlišča. Vsak tak sprehod je torej trikotnik v grafu G. Število ( ii ) 3 je tako po trditvi 3.1.2 enako dvakratniku števila tistih trikotnikov v grafu G, v katerih je v i eno od oglišč. Vsak trikotnik smo namreč šteli dvakrat: enkrat kot sprehod vuwv, drugič pa kot sprehod vwuv. Število vseh trikotnikov v grafu G tako dobimo kot vsoto števil 1 2 (a ii) 3, ko i preteče vsa vozlišča, pri čemer pa smo na ta način vsak trikotnik šteli trikrat. Zato dobimo sl(a 3 ) = 2 1 2 a3 ii = 2(3t) = 6t. Če je graf k-regularen, lahko takoj določimo eno lastno vrednost. Trditev 3.1.4 Če je graf G k-regularen, je k njegova lastna vrednost. Dokaz: Naj bo G k-regularen graf, A matrika sosednosti grafa G, 1 pa stolpični vektor, ki i=1. vsebuje same enice. Ker je G k-regularen, je v vsaki vrstici matrike A natanko k enic. 1 k 1 1 A 1 = A 1. = k 1. = k 1. 1 k 1 1 Ker velja A1 = k1, je k lastna vrednost grafa G. Spomnimo se, da je komplement G c grafa G graf, ki ima enako množico vozlišč kot G, dve vozlišči pa sta sosednji, če nista sosednji v G. Torej, če ima G sosednostno matriko A, ima G c sosednostno matriko A c = J I A, kjer je J matrika, v kateri je vsak element enak 1, matrika I pa je enotska matrika. Trditev 3.1.5 Naj bo G k-regularen graf na n vozliščih z lastnimi vrednostmi k, λ 2,..., λ n. Graf G in njegov komplement G c imata enake lastne vektorje, lastne vrednosti grafa G c pa so n k 1, 1 λ 2,..., 1 λ n. Dokaz: Pokažimo, da je 1 lastni vektor in n k 1 ustrezna lastna vrednost matrike A c = A(G c ): A c 1 = (J I A) 1 = n 1 1 k 1 = (n 1 k) 1. Za lastne vektorje v 1, v 2,..., v n in lastne vrednosti k, λ 2,..., λ n velja: A(G c )v i = (J I A)v i = σ(v i ) 1 v i Av i = v i λ i v i = ( 1 λ i )v i, ker je σ(v i ) vsota vseh komponent vektorja v i in ker sta vektorja v i in 1 ortogonalna, je σ(v i ) = 0. S pomočjo lastnih vrednosti lahko ugotovimo tudi, ali je graf dvodelni ali ne. V pomoč nam je naslednja trditev. 18

Trditev 3.1.6 G je dvodelni graf natanko tedaj, ko je za vsako lastno vrednost λ Spec(G), λ Spec(G), λ in λ pa imata isto kratnost. Dokaz: Graf G je dvodelni, če in samo če je njegova matrika sosednosti oblike A = Naj bo v = (v 1, v 2 ) T lastni vektor matrike A za lastno vrednost λ. Potem lahko zapišemo: [ ] [ ] [ ] [ ] v 1 Bv 2 λv 1 v 1 Av = A v 2 = B T v 1 = λv 2 = λ v 2, [ ] [ ] [ ] [ ] v 1 Bv 2 λv 1 v 1 A v 2 = B T v 1 = λv 2 = λ v 2. [ ] 0 B B T. 0 Torej sledi, da je tudi λ lastna vrednost, in sicer s pripadajočim lastnim vektorjem ( v 1, v 2 ) T. Za drugo smer obravnavajmo sled matrike A k, kjer (i, i)-ti element v A k po naši trditvi 3.1.2 pove, na koliko sklenjenih sprehodih dolžine k leži vozlišče v i. Sled matrike A je vsota lastnih vrednosti λ 1, λ 2,..., λ n. Torej če so λ 1, λ 2,..., λ n lastne vrednosti matrike A, potem so lastne vrednosti matrike A k λ k 1, λ k 2,..., λ k n. Torej je sled matrike A k vsota lastnih vrednosti λ k 1, λ k 2,..., λ k n. Ker λ in λ nastopata v parih, za lihi k velja sl(a k ) = 0. Torej ni lihih ciklov, kar pomeni, da je graf dvodelni. Definicija 3.1.3 Ciklična matrika razsežnostu n n ima obliko a 1 a 2... a n 1 a n a n a 1 a 2... a n 1. C =. a n a 1.... a 3......... a2 a 2 a 3... a n a 1 Ciklična matrika je torej popolnoma določena z enim samim vektorjem, namreč s svojo prvo verstico. Trditev 3.1.7 Naj bo C ciklična matrika reda n, v kateri je prva vrstica enaka (a 1, a 2,..., a n ). Tedaj je Spec(C) = {a 1 + a 2 ω +... + a n ω n 1 ; ω C, ω n = 1} = {a 1 + a 2 ζ r + a 3 ζ 2r +... + a n ζ (n 1)r ; 0 r n 1}, pri čemer je ζ primitivni n-ti koren enote. Dokaz: Karakteristični polinom matrike C je φ C (λ) = det(c λi), zato a 1 λ a 2... a n a n a 1 λ... a n 1 φ C (λ) =....... a 2 a 3... a 1 λ Naj C i določa i-ti stolpec v φ C (λ), 1 i n in naj bo ω n-ti koren enote. Zamenjamo C 1 s C 1 + C 2 ω +... + C n ω n 1. Ker smo s tem stolpcu A 1 prišteli večkratnike drugih stoplcev, se s tem ne spremeni φ C (λ). Naj bo λ ω = a 1 + a 2 ω +... a n ω n 1. Tedaj je prvi stolpec v φ C (λ) enak (λ ω λ, ω(λ ω λ),..., ω n 1 (λ ω λ)) T in zato je λ ω λ faktor v φ C (λ). To nam poda φ C (λ) = ω:ω n =1 (λ ω λ) in Spec(C) = {λ ω : ω n = 1}. 19

3.2 Incidenčna in Laplaceova matrika Kot smo že v uvodu povedali, bomo v diplomskem delu obravnavali le matrike sosednosti in njihove lastnosti. Zgolj kot zanimivost pa navajamo še definiciji incidenčne in Laplaceove matrike. Incidenčna matrika B(G) grafa G je matrika dimenzije n m, kjer ima graf G n vozlišč in m povezav. Matrika ima na vrsticah naštete vse elemente iz množice vozlišč in na stolpcih vse elemente iz množice povezav. Element matrike na i-ti vrstici in j-tem stolpcu je enak 1, če sta elementa i in j v relaciji, to je, če je pripadajoče vozlišče krajišče pripadajoče povezave, drugače pa je enak 0. Naj bo G enostaven graf. Laplaceov matrika L grafa G je matrika dimenzije n n, kjer so stolpci in vrstice matrike zopet indeksirane z vozlišči, in je definirana kot: st(v); če u = v, L(u, v) = 1; če sta u in v soseda 0; sicer. Incidenčna matrika se bolj uporablja ob obravnavi dreves, ki pa jih v diplomskem delu nismo omenili, uporablja pa se tudi v omrežjih. Laplaceova matrika in njene lastne vrednosti se uporabljajo tako v kombinatoriki kot tudi v kemiji in fiziki. 20

Poglavje 4 SPEKTRI STANDARDNIH DRUŽIN GRAFOV Že prej smo spoznali določene družine grafov. Zdaj pa se bomo posvetili njihovim spektrom. Naslednje poglavje je sestavljeno iz povzetkov knjig [4], [3] ter [6]. 4.1 Polni graf Poglejmo si lastne vrednosti za grafa K 4 in K 5. Slika 4.1: Grafa K 4 in K 5. 0 1 1 1 Matrika sosednosti za graf K 4 je A = 1 0 1 1 1 1 0 1. 1 1 1 0 Za dano matriko moramo najprej izračunati karakteristični polinom: φ A (λ) = det(a λi). λ 1 1 1 det(a λi) = 1 λ 1 1 1 1 λ 1 1 1 1 λ Zdaj lahko zadnji stolpec odštejemo od drugega in tretjega ter nato razvijemo po prvi vrstici. λ 0 0 1 det(a λi) = 1 λ 1 0 1 λ 1 0 1 1 0 λ 1 1 = λ 0 λ 1 1 1 0 1 + λ λ 0 1 + λ λ 1 λ 1 0 1 0 λ 1 1 0 1 + λ = 21

= λ( λ 3 + 3λ + 2) (λ 2 + 2λ + 1) + ( λ 2 2λ 1) (λ 2 + 2λ + 1) = λ 4 6λ 2 8λ 3 φ A (λ) = λ 4 6λ 2 8λ 3 Če hočemo poiskati lastne vrednosti matrike A, moramo poiskati ničle karakterističnega polinoma φ A (λ). λ 4 6λ 2 8λ 3 = 0 (λ + 1) 3 (λ 3) = 0 Ničle karakterističnega polinoma so λ 1,2,3 = 1 (3), λ 4 = 3. Torej lastne ( vrednosti ) grafa K 4 so λ 1,2,3 = 1 (3), λ 4 = 3 in tako je njegov spekter 1 3 Spec(K 4 ) =. 3 1 Podobno kot za graf K 4 lahko zapišemo matriko sosednosti za graf K 5 : 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 A = 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1. 1 1 1 1 0 S podobnim računom kot zgoraj ugotovimo, da je karakteristični polinom enak (λ + 1) 4 (λ 4) = 0. Poiščimo ničle karakterističnega polinoma: (λ + 1) 4 (λ 4) = 0 λ 1,2,3,4 = 1; λ 5 = 4 Lastne vrednosti ( grafa ) K 5 so torej λ 1,2,3,4 = 1 in λ 5 = 4, spekter grafa pa 1 4 Spec(K 5 ) =. 4 1 Zgornja dva ( primera nas napeljujeta ) k domnevi, da je spekter polnega grafa K n enak 1 n 1 Spec(K n ) =. n 1 1 Trditev 4.1.1 Naj bo G polni graf K n na n vozliščih. Njegova matrika sosednosti je A = J I, njegov spekter pa je (n 1) 1, ( 1) n 1. Dokaz Ker K n predstavlja polni graf, naj bo Kn c komplement polnega grafa na n vozliščih. [ Komplement polnega grafa je n izoliranih vozlišč. Matrika sosednosti grafa Kn c je A(Kn) c = 0 ], kjer gre za n matriko, ki vsebuje same ničle. Torej je karakteristični polinom komplementa polnega grafa K n enak φ K c ( ) n (λ) = ( λ) n, spekter 0 grafa pa je Spec(Kn) c =. Polni graf K n n je njegov komplement, torej ima po trditvi 3.1.5 spekter n 1 s kratnostjo 1 in potem le še 1, ki pa ima kratnost (n 1). Od tod sledi, da je spekter polnega grafa ( K n podan s ) pomočjo enačbe φ Kn (λ) = (λ n + 1)(λ + 1) n 1, torej je 1 n 1 spekter Spec(K n ) =. n 1 1 22

4.2 Pot Izračunajmo najprej spekter za neki konkreten primer. 0 1 0 Na sliki 4.2 je upodobljen graf P 3. Njegova sosednostna matrika je A = 1 0 1. 0 1 0 Slika 4.2: Graf P 3. Po enakem postopku kakor prej lahko izračunamo njegove lastne vrednosti. Karakteristični polinom grafa P 3 je φ A (λ) = λ(λ 2 2). Lastne vrednosti tega grafa so λ 1 = 0, λ 2 = 2 in λ 3 = 2. Bolj podrobno si oglejmo izračun karakterističnega polinoma, ki pripada grafu P 4. 0 1 0 0 Matrika sosednosti, ki pripada grafu P 4, je A = 1 0 1 0 0 1 0 1. Za dano matriko izračunajmo 0 0 1 0 karakteristični polinom. λ 1 0 0 det(a(p 4 ) λi) = 1 λ 1 0 0 1 λ 1 Determinanto izračunajmo s pomočjo razvoja po prvi 0 0 1 λ vrstici. λ 1 0 det(a(p 4 ) λi) = λ 1 λ 1 0 1 λ 1 1 0 ( ) 0 λ 1 = 0 1 λ Opazimo lahko, da je prva determinanta ravno determinanta za karakteristični polinom grafa P 3. Drugo determinanto pa bomo ponovno razvili po prvi vrstici. ( ) = λ det(a(p 3 ) λi) λ 1 1 λ + 0 1 0 λ = λ det(a(p 3) λi) det(a(p 2 ) λi) + 0 Torej je φ A (λ) = λ 4 3λ 2 + 1. Lastne vrednosti grafa P 4 so λ 1 = 1( 1 5), λ 2 2 = 1( 1 + 2 5), λ3 = 1(1 5) ter λ 2 4 = 1(1 + 5). 2 Trditev 4.2.1 Naj bo P n neusmerjena pot z n vozlišči. Spekter tega grafa je sestavljen iz lastnih vrednosti λ = 2 cos( kπ n + 1 )1 ; k = 1, 2,..., n. Dokaz Oglejmo si izračun karakterističnega polinoma za splošni graf P n. 23

0 1 0 0... 0 0 1 0 1 0... 0 0 0 1 0 1... 0 0 Matrika sosednosti grafa P n je A(P n ) =......., kjer je a ij = 1, če je i j = 1.. 0 0 0 0... 0 1 0 0 0 0... 1 0 in a ij = 0 drugače. Da bi našli lastne vrednosti matrike A(P n ), moramo najprej poiskati karakteristični polinom matrike A(P n ). λ 1 0 0... 0 0 1 λ 1 0... 0 0 0 1 λ 1... 0 0 det(a(p n ) λi) =......... 0 0 0 0... λ 1 0 0 0 0... 1 λ Če uporabimo razvoj po prvi vrstici, dobimo: det(a(p n ) λi) = λdet(a 11 ) 1det(A 21 ) λ 1 0... 0 0 1 1 0... 0 1 λ 1... 0 0 0 λ 1... 0 det(a(p n ) λi) = λ det........ det 0 1 λ... 0 0 0 0... λ 1....... 0 0 0... 1 λ 0 0 0... λ Če si ogledamo det(a 21 ) in determinanto izračunamo po razvoju prvega stolpca, dobimo λ 1 0... 0 1 λ 1... 0 1 det 0 1 λ... 0 = det(a(p n 2 ) λi)........ 0 0 0... λ Iz tega sledi det(a(p n ) λi) = λdet(a(p n 1 ) λi) det(a(p n 2 ) λi). Izkaže se, da je rešitev te rekurzivne polinomske enačbe λ = 2 cos( kπ n + 1 )1 ; k = 1, 2,..., n. 4.3 Cikel Zopet si najprej oglejmo konkreten primer spektra grafa. Primer za C 3 smo že izračunali v razdelku 4.1, ko smo računali spekter grafa K 3. Spec(K 3 ) = Spec(C 3 ) = ( 1 2 2 1 Enako kot prej zapišimo matriko sosednosti in izračunajmo lastne vrednosti grafa C 4. 24 )

Slika 4.3: Graf cikla C 4. Če si ogledamo sliko 4.3, vidimo, da lahko matriko sosednosti grafa C 4 zapišemo kot 0 1 0 1 A = 1 0 1 0 0 1 0 1. 1 0 1 0 Lastne vrednosti matrike A bomo izračunali s pomočjo karakteristične enačbe φ A (λ) = 0. λ 1 0 1 φ A (λ) = det(a λi) = 1 λ 1 0 0 1 λ 1. 1 0 1 λ S pomočjo razvoja po prvi vrstici dobimo karakteristični polinom φ A (λ) = λ 2 (λ 2 4). Iz karakterističnega polinoma dobimo lastne vrednosti grafa C( 4. Njegove ) lastne vrednosti so 2 0 2 λ 1 = 2, λ 2,3 = 0 (2) in λ 4 = 2. Spekter je torej Spec(C 4 ) =. Posvetimo se še 1 2 1 grafu C 5. 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 Zapišimo matriko sosednosti grafa C 5, A = 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 Za dano matriko zapišimo karakteristični polinom, ki ga dobimo iz φ A (λ) = det(a λi). λ 1 0 0 1 1 λ 1 0 0 det(a λi) = 0 1 λ 1 0 0 0 1 λ 1 1 0 0 1 λ Karakteristični polinom je φ A (λ) = λ 5 + 5λ 3 5λ + 2 = (λ 2)(λ 2 + λ 1) 2. Lastne vrednosti so torej λ 1 = 2, λ 2,3 = 1( 1 5) in λ 2 4,5 = 1( 5 1), tako je Spec(A) = ( 2 2 1 ( 1 1 5) ( ) 5 1) 2 2. 1 2 2 Ogledali smo si tri konkretne primere C 3, C 4 in C 5, zdaj pa poiščimo še formulo za splošni cikel C n. V grafu C n označimo vozlišča z 0, 1, 2,..., n 1. Vozlišče i je sosed vozlišča i ± 1 (mod n). 0 1 0 0... 0 1 1 0 1 0... 0 0 Torej je matrika sosednosti A =....... ciklična matrika s prvo vrstico (010... 01)... 1 0 0 0... 1 0 25

Zaradi trditve 3.1.7 je Spec(C n ) = {ζ r + ζ r(n 1) : 0 r n 1}, kjer je ζ primitivni n-ti koren enote. Če vzamemo ω = cos 2π + i sin 2π, dobimo: n n λ r = ω r +ω r(n 1) = (cos 2πr +i sin 2πr 2πr(n 1) )+(cos +i sin 2πr(n 1) ). To pa lahko poenostavimo n ( n n n ) 2 2 cos 2π... 2 cos (n 2)π 2 cos (n 1)π do naslednjega: Spec(C n ) = n n n. 1 2... 2 2 4.4 Polni dvodelni graf [ ] 0 B Graf K n,m je dvodelni, to pa pomeni, da ima matrika sosednosti obliko A = B T. 0 Spomnimo se, da smo v trditvi 3.1.6 pokazali, da je graf dvodelni, če in samo če za vsako lastno vrednost λ obstaja tudi lastna vrednost λ, ki pa imata enako kratnost. Zapišimo še matriko sosednosti in izračunajmo lastne vrednosti grafa K 2,3. Slika 4.4: Polni dvodelni graf K 2,3. 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 A = 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 Za izračun lastnih vrednosti potrebujemo karakteristični polinom. λ 0 1 1 1 0 λ 1 1 1 φ A (λ) = det(a λi) = 1 1 λ 0 0 1 1 0 λ 0 1 1 0 0 λ Ponovno bomo determinanto izračunali tako, da jo bomo razvili po prvi vrstici. λ 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 det(a λi) = λ 1 λ 0 0 1 0 λ 0 0+ λ 1 1 1 1 0 λ 0 λ 1 1 1 1 λ 0 0 + λ 1 1 1 1 λ 0 0 = 1 0 0 λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ 1 0 λ 0 = λ 5 + 6λ 3 = λ 3 (λ 2 6) = λ 3 (λ + 6)(λ 6) Lastne vrednosti te matrike pa so λ 1 = 6. = 2, 5, λ 2 = 6. = 2, 5 in λ 3,4,5 = 0 (3) Zapišimo matriko sosednosti in izračunajmo lastne vrednosti grafa K 3,3, ki je upodobljen na sliki 4.5. 26

Slika 4.5: Polni dvodelni graf K 3,3. 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 Dobimo A = 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0, po krajšem računu pa ugotovimo, da so lastne vrednosti 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 tega grafa λ 1 = 3, λ 2 = 3 in λ 3 6 = 0 (4). Opazimo lahko, da res nastopata lastni vrednosti 3 in 3, ki pa se razlikujeta le v predznaku. Zdaj smo naredili dva konkretna primera, v naslednji trditvi pa bomo določili spekter polnega dvodelnega grafa na splošno. Trditev 4.4.1 Naj bosta n in m naravni števili. Tedaj je spekter polnega dvodelnega grafa enak Spec(K m,n ) = ( mn 0 mn 1 n 2 1 ). [ ] 0 B Dokaz: Matrika sosednosti za polni dvodelni graf ima obliko A = B T, kjer je B pravokotna matrika, sestavljena iz samih enic. Za matriko A velja, da je rang(a) = 2, saj imamo 0 samo dve različni vrstici, in ker nam rang matrike pove, koliko lastnih vrednosti, različnih od 0, ima matrika, ima matrika A samo dve lastni vrednosti različni od 0, ena od teh dveh naj bo λ, druga pa λ, saj ima po trditvi 3.1.6 namreč dvodelni graf komplementarne lastne vrednosti. Če je Av = λv, potem sledi, da je v = [α,..., α, β,..., β] }{{}}{{} T. m n Zdaj pa iz [nβ,..., nβ, mα,..., mα] T = Av = λv = [λα,..., λα, λβ,..., λβ] T }{{}}{{} m n dobimo nβ = λα in mα = λβ, od koder dobimo λ = ± mn. Torej je spekter polnega dvodelnega grafa Spec(K m,n ) = } {{ } m } {{ } n ( mn 0 mn 1 n 2 1 ). 4.5 Posplošeni Petersenovi grafi Kakor smo naredili že v prejšnjih razdelkih, bomo tudi tokrat najprej izračunali spekter za konkreten primer. Najprej bomo izračunali spekter Petersenovega grafa. Spomnimo se, da je Petersenov graf GP (5, 2) graf z množico vozlišč V = {u i : i Z 5 } {v i : i Z 5 } in množico povezav E = {{u i, u i+1 } : i Z 5 } {{v i, v i+2 }, i Z 5 } {{u i, v i }, i Z 5 }. 27

Slika 4.6: Petersenov graf. Petersenov graf, ki je upodobljen na sliki 4.6, ima torej sosednostno matriko 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 A = 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0. 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 Z nekaj dela dobimo njen karakteristični polinom φ A (λ) = (λ 3)(λ 1) 5 (λ + 2) 4. Tako dobimo njegove lastne vrednosti in spekter. Lastne vrednosti: λ 1 = 3, λ 2 6 = 1 ter λ 7 10 = 2 ( ) 3 1 2 Spekter grafa: Spec(GP ) = 1 5 4 Oglejmo si še spektre izbranih posplošenih Petersenovih grafov. Tokrat bomo spektre grafov kar našteli. Graf GP (6, 2) Spec(GP (6, 2)) = ( 5 2 2 0 1 2 5 3 1 2 2 2 1 2 1 1 ) Graf GP (5, 1) ( 1 Spec(GP (5, 1)) = ( 3 1 5) (1 1 5) ( 3 + 5) 1 1(1 + 5) 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ) 28

Graf GP (6, 1) Spec(GP (6, 1)) = ( 3 2 1 0 1 2 3 1 2 1 4 1 2 1 Iz zgoraj prebranega lahko opazimo, da spektra posplošenih Petersenovih grafov ni moč izračunati povsem enostavno. Sicer obstajajo rezultati na to temo, vendar jih ne bomo navajali, saj bi to že preseglo okvirje tega diplomskega dela. Na začetku diplomskega dela smo omenjali Hamiltonske grafe. S pomočjo spektra grafa lahko dokažemo, da Petersenov graf GP (5, 2) ne vsebuje Hamiltonskega cikla, torej ni Hamiltonski. Vendar pa imamo na tem mestu še premalo rezultatov in orodij, da bi to lahko pokazali, zato to navajamo zgolj kot zanimivost. ) 29

30

Poglavje 5 APLIKACIJE SPEKTRA GRAFA V prejšnjih poglavjih smo predstavili nekaj najosnovnejših rezultatov spektralne teorije grafov. Za konec bomo navedli še nekaj primerov uporabe te teorije. Aplikacije v kemiji in fiziki, ki jih na kratko opišemo spodaj, so povzete po knjigi [5]. S pomočjo lastnih vrednostmi lahko pokažemo, da dva grafa nista izomorfna. Če imata grafa drugačen nabor lastnih vrednosti matrike A, grafa nista izomorfna. To dejstvo je najbrž botrovalo velikemu številu znanstvenih člankov, v katerih se avtorji odločajo, kateri lastni vektorji so pomembni in kateri niso. Štetje trikotnikov v grafu oziroma štetje števil zaprtih sprehodov dolžine k, tako da pogledamo lastne vrednosti matrike sosednosti. Pokažemo lahko, da graf ni Hamiltonski. Uporab spektra grafa je še veliko, vendar bi morali za njihovo razlago vpeljati še veliko novih pojmov, zato se omejujemo zgolj na nekaj najpreprostejših. V kemiji se lastne vrednost uporabljajo v Hückelsovi teoriji in sicer za izračun tako imenovane energije grafa, ki je tesno povezana s Hückelsovo teorijo. Energija grafa je koncept, ki je izposojen iz kemije. Vsako molekulo lahko predstavimo z molekulskim grafom. Vsako vozlišče grafa pripada atomu molekule in dve vozlišči v grafu sta povezani, če in samo če obstaja vez med pripadajočima atomoma. Definicija 5.0.1 Energija grafa G, ε(g), je vsota absolutnih vrednosti njegovih lastnih vrednosti. n ε(g) = λ i. Z energijo grafa je zelo povezana Hückelova teorija. Glavni problem v tej teoriji je, kako določiti lastne vektorje in lastne vrednosti grafa, ki predstavljajo ogljikovodikova molekula, in kako na podlagi teh količin izračunati druge količine, ki so zanimive za kemijo. Zdaj pa si poglejmo nekaj matematično zanimivih problemov, ki so povezani s Hückelovo teorijo. i=1 L. Collatz in U. Sinogowitz sta objavila problem vseh grafov, ki imajo v spektru same ničle. Ta problem je zelo zanimiv za kemijo, saj to, da ima graf lastne vrednosti, ki so same ničle, kaže na kemijsko nestabilnost molekule, ki jo graf predstavlja. Problem do danes še ni bil rešen v celoti, delno ga je rešil D. M. Cvetkovič. 31