ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Οδηγός Επιβίωσης 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διαφοριός Λογισμός ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Στατιστιή Οδηγός Επιβίωσης Περιλαμβάνει: Ερωτήσεις Θεωρίας Όλες τις Αποδείξεις Χρήσιμο Τυπολόγιο ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗ Μ ΣΧΟΛΗ Γιαννόπουλος 05-6

Μαθηματιά αι Στοιχεία Στατιστιής ΘΕΩΡΙΑ Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία, Δ με ισχύει f f Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία, Δ με ισχύει f f Παρατήρηση: Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπιό μέγιστο στο A ; Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπιό μέγιστο στο A, όταν f f για άθε σε μια περιοχή του Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπιό ελάχιστο σε ένα σημείο A ; Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπιό ελάχιστο στο A, όταν f f για άθε σε μια περιοχή του Παρατηρήσεις: - Ένα τοπιό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπιό μέγιστο - Τα μέγιστα αι τα ελάχιστα μιας συνάρτησης, τοπιά ή ολιά, λέγονται αρότατα της συνάρτησης

Οδηγός Επιβίωσης Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής; Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, αν για άθε 0 A ισχύει lm f f 0 0 Παρατηρήσεις: - Το χαρατηριστιό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα λειστό διάστημα είναι ότι η γραφιή της παράσταση είναι μια συνεχής αμπύλη, δηλαδή για το σχεδιασμό της δε χρειάζεται να σηώσουμε το μολύβι από το χαρτί - Οι γνωστές μας συναρτήσεις, πολυωνυμιές, τριγωνομετριές, αλλά αι όσες προύπτουν από πράξεις μεταξύ αυτών είναι συνεχείς συναρτήσεις Τι ονομάζουμε παράγωγο της f στο 0 αι πως συμβολίζεται αυτή; Παράγωγος της f στο 0 ονομάζουμε το όριο lm 0 f 0 Δηλ, f 0 lm f 0 f o 0 f 0 f o αι συμβολίζεται με Παρατηρήσεις: - Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού, όταν το όριο lm f 0 f o 0 - υπάρχει αι είναι πραγματιός αριθμός Η παράγωγος της f στο 0 εφράζει το ρυθμό μεταβολής του y f ως προς, όταν 0 - Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ αι ισχύει f 0 για - άθε εσωτεριό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ αι ισχύει f 0 για - άθε εσωτεριό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f 0 0 για 0,, f 0 στο, 0, αι f 0 στο 0,, τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα, για 0 μέγιστο - Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f 0 0 για 0,, f 0 στο, 0, αι f 0 στο 0,, τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα, για 0 ελάχιστο - Αν για την f ισχύει f 0 0 για 0, αι η παράγωγός της f διατηρεί πρόσημο εατέρωθεν του 0, τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο, αι δεν παρουσιάζει αρότατο στο διάστημα αυτό

3 Μαθηματιά αι Στοιχεία Στατιστιής ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f c είναι 0, δηλαδή c 0, για άθε Έχουμε f f c c 0 αι για 0, Επομένως, lm f f f f 0 0 0 Άρα c 0 Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτιής συνάρτησης f είναι, δηλαδή, για άθε Έχουμε f f αι για 0, Επομένως, lm f f f f 0 lm 0 Άρα Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f είναι, δηλαδή, για άθε Έχουμε f f αι για 0, Επομένως, lm f f f f 0 Άρα lm 0

Οδηγός Επιβίωσης 4 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R αι c πραγματιή σταθερά, να αποδείξετε ότι c f c f, για άθε Έστω η συνάρτηση F c f Έχουμε F F c f c f c f f αι για 0, F F F F Επομένως, lm 0 c f f c f f f f lm c c f 0 Άρα c f c f Αν οι συναρτήσεις f αι g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι f g f g, για άθε Έστω η συνάρτηση F f g Έχουμε F F f g f g f f g g αι για 0, F F Επομένως, lm 0 F F f f lm 0 g g f f g g lm f g 0 Άρα f g f g

5 Μαθηματιά αι Στοιχεία Στατιστιής ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Πράξεις συναρτήσεων Αν δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται αι οι δύο σε ένα σύνολο Α, τότε ορίζονται οι συναρτήσεις: Το άθροισμα S f g Η διαφορά D f g, με S f g, A, με D f g, A Το γινόμενο P f g, με P f g, A Το πηλίο R f g, με f R, A αι g 0 g Γραφιές παραστάσεις βασιών συναρτήσεων Μονοτονία Αν η f είναι γν αύξουσα () στο Δ, τότε, Δ Αν η f είναι γν φθίνουσα () στο Δ, τότε, Δ ισχύει: f f ισχύει: f f (Ισχύουν αι τα αντίστροφα)

Οδηγός Επιβίωσης 6 Αρότατα Αν η f παρουσιάζει τοπ μέγιστο στο A, τότε f f σε μια περιοχή του Αν η f παρουσιάζει τοπ μέγιστο στο A, τότε f f σε μια περιοχή του (Ισχύουν αι τα αντίστροφα) Όρια Αν lm f 0 αι lm lm 0 lm 0 g 0 f g, όπου,, τότε: 0 f lm g k lm f k f 0 lm f g lm f 0 0 Συνέχεια Αν η f είναι συνεχής στο 0 A, τότε lm f f (Ισχύει αι το αντίστροφο) 0 0 Παράγωγος Αν το f 0 f lm 0 παραγωγίσιμη στο σημείο 0 Ρυθμός μεταβολής o υπάρχει αι είναι πραγματιός αριθμός, τότε η f είναι αι ισχύει f f 0 f 0 lm 0 Παράγωγος της f στο 0 Ρυθμός μεταβολής της f ως προς, όταν 0 Παράγωγος της f στο 0 Συντελεστής διεύθυνσης (λίση) της εφαπτομένης της C f στο 0 Παράγωγος της f στο 0 εφω, όπου ω η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της στο 0 με τον ημιάξονα Ο o C f Θέση Ταχύτητα Επιτάχυνση Αν τη χρονιή στιγμή t, η θέση, η ταχύτητα αι η επιτάχυνση ενός ινητού είναι t, t αι t t t t t t αντίστοιχα, τότε ισχύουν: αι

7 Μαθηματιά αι Στοιχεία Στατιστιής Τύποι παραγώγισης c 0 ημ συν συν ημ εφ συν σφ ημ Κανόνες παραγώγισης f g f g c f c f f g f g f g f f g f g g g f g f g g

Οδηγός Επιβίωσης 8 ΘΕΩΡΙΑ Σε ποιες ατηγορίες διαρίνονται οι μεταβλητές; Τις μεταβλητές τις διαρίνουμε: Σε ποιοτιές ή ατηγοριές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές τους δεν είναι αριθμοί Σε ποσοτιές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί αι διαρίνονται: Σε διαριτές μεταβλητές, που παίρνουν μόνο μεμονωμένες τιμές Σε συνεχείς μεταβλητές, που μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος πραγματιών αριθμών α, β Τι ονομάζεται συχνότητα αι με τι ισούται το άθροισμα όλων των συχνοτήτων; (Απόλυτη) συχνότητα ονομάζεται ο φυσιός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος, του δείγματος, δηλαδή: Τι ονομάζεται σχετιή συχνότητα f της τιμής ; Ποιες είναι οι ιδιότητες της σχετιής συχνότητας; Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα με το μέγεθος του δείγματος, προύπτει η σχετιή,,,, Για τη σχετιή συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: ) 0 f για,,, συχνότητα f της τιμής, δηλαδή f ) f f f Διαγράμματα Πολύγωνα: - Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση των τιμών μιας ποιοτιής μεταβλητής - Το διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση των τιμών μιας ποσοτιής μεταβλητής - Ενώνοντας τα σημεία, σε ένα διάγραμμα συχνοτήτων ή, f σε ένα διάγραμμα σχετιών συχνοτήτων έχουμε το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο

9 Μαθηματιά αι Στοιχεία Στατιστιής σχετιών συχνοτήτων, αντίστοιχα, που μας δίνουν μια γενιή ιδέα για τη μεταβολή της συχνότητας ή της σχετιής συχνότητας όσο μεγαλώνει η τιμή της μεταβλητής που εξετάζουμε - Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τόσο των ποιοτιών όσο αι των ποσοτιών δεδομένων, όταν οι διαφορετιές τιμές της μεταβλητής είναι σχετιά λίγες - Όταν έχουμε λίγες παρατηρήσεις, η ατανομή τους μπορεί να περιγραφεί με το σημειόγραμμα, στο οποίο οι τιμές παριστάνονται γραφιά σαν σημεία υπεράνω ενός οριζόντιου άξονα - Το χρονόγραμμα ή χρονολογιό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή απειόνιση της διαχρονιής εξέλιξης ενός οιονομιού, δημογραφιού ή άλλου μεγέθους - Ιστόγραμμα συχνοτήτων ονομάζεται η γραφιή παράσταση ενός πίναα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα - Αν στα ιστογράμματα συχνοτήτων θεωρήσουμε δύο αόμη υποθετιές λάσεις, στην αρχή αι στο τέλος, με συχνότητα μηδέν αι στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα, σχηματίζεται το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων αι τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος ν Όμοια ατασευάζεται από το ιστόγραμμα σχετιών συχνοτήτων αι το πολύγωνο σχετιών συχνοτήτων με εμβαδόν ίσο με - Αν ενώσουμε σε ένα ιστόγραμμα αθροιστιών συχνοτήτων τα δεξιά άρα (όχι μέσα) των άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα βρίσουμε το πολύγωνο αθροιστιών συχνοτήτων της ατανομής Ποιες ατανομές συχνοτήτων γνωρίζετε; Η ατανομή (β), με ωδωνοειδή μορφή λέγεται ανονιή ατανομή αι παίζει σπουδαίο ρόλο στη Στατιστιή Όταν οι παρατηρήσεις ατανέμονται ομοιόμορφα σε ένα διάστημα [α, β], όπως στην ατανομή (α), η ατανομή λέγεται ομοιόμορφη Όταν οι παρατηρήσεις δεν είναι συμμετριά ατανεμημένες, η ατανομή λέγεται ασύμμετρη αι θετιή ασυμμετρία όπως στην ατανομή (γ) ή αρνητιή ασυμμετρία όπως στην ατανομή (δ)

Οδηγός Επιβίωσης 0 Ποια είναι τα ποιο συνηθισμένα μέτρα θέσης; Τα πιο συνηθισμένα μέτρα που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός συνόλου δεδομένων πάνω στον οριζόντιο άξονα O, εφράζοντας την ατά μέσο όρο απόστασή τους από την αρχή των αξόνων, είναι ο αριθμητιός μέσος ή μέση τιμή, η διάμεσος αι η ορυφή ή επιρατούσα τιμή Τι ονομάζουμε μέση τιμή; Η μέση τιμή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων αποτελεί το σπουδαιότερο αι χρησιμότερο μέτρο της Στατιστιής αι ορίζεται ως το άθροισμα των παρατηρήσεων διά του πλήθους t t t t t των παρατηρήσεων, δηλ Σε μια ατανομή συχνοτήτων, αν,,, είναι οι τιμές της μεταβλητής X με συχνότητες,,, αντίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύναμα από τη σχέση: Η παραπάνω σχέση ισοδύναμα γράφεται: f, όπου f οι σχετιές συχνότητες Παρατήρηση: Η μέση τιμή επηρεάζεται από τις αραίες παρατηρήσεις Τι ονομάζουμε σταθμιό μέσο; Στις περιπτώσεις που δίνεται διαφορετιή βαρύτητα στις τιμές,,, ενός συνόλου δεδομένων, τότε αντί του αριθμητιού μέσου χρησιμοποιούμε τον σταθμισμένο αριθμητιό μέσο ή σταθμιό μέσο Εάν σε άθε τιμή,,, δώσουμε διαφορετιή βαρύτητα, που εφράζεται με τους λεγόμενους συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) w, w,, w, τότε ο σταθμιός μέσος βρίσεται από τον τύπο: w w w w w w w w

Μαθηματιά αι Στοιχεία Στατιστιής Τι ονομάζουμε διάμεσο (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, όταν το ν είναι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το ν είναι άρτιος αριθμός Παρατηρήσεις: - Η διάμεσος δεν επηρεάζεται από τις αραίες παρατηρήσεις - Η διάμεσος είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μιρότερες από αυτήν αι το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από την τιμή αυτή Τι ονομάζουμε μέτρα διασποράς αι ποια είναι τα σπουδαιότερα; Τα μέτρα διασποράς εφράζουν τις απολίσεις των τιμών μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα εντριής τάσης Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς είναι το εύρος, η ενδοτεταρτημοριαή απόλιση, η διαύμανση αι η τυπιή απόλιση Τι ονομάζουμε εύρος; Το απλούστερο από τα μέτρα διασποράς είναι το εύρος ή ύμανση (R), που ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή: Εύρος R = Μεγαλύτερη παρατήρηση Μιρότερη παρατήρηση Παρατήρηση: Το εύρος είναι ένα αρετά απλό μέτρο, που υπολογίζεται εύολα, δε θεωρείται όμως αξιόπιστο μέτρο διασποράς, γιατί βασίζεται μόνο στις αραίες παρατηρήσεις Τι ονομάζουμε διαύμανση; Ως ένα μέτρο διασποράς παίρνουμε το μέσο όρο των τετραγώνων των απολίσεων των t από τη μέση τιμή τους Το μέτρο αυτό αλείται διαύμανση ή διασπορά (arance) αι ορίζεται από τη σχέση: s t t Ο τύπος αυτός παίρνει την ισοδύναμη μορφή: s t, η οποία διευολύνει

Οδηγός Επιβίωσης σημαντιά τους υπολογισμούς υρίως όταν η μέση τιμή δεν είναι αέραιος αριθμός Όταν έχουμε πίναα συχνοτήτων ή ομαδοποιημένα δεδομένα, η διαύμανση ορίζεται από τη σχέση: s ή την ισοδύναμη μορφή: s όπου,,, οι τιμές της μεταβλητής (ή τα έντρα των λάσεων) με αντίστοιχες συχνότητες,,,, Παρατήρηση: Η διαύμανση είναι μια αξιόπιστη παράμετρος διασποράς, αλλά έχει ένα μειονέτημα Δεν εφράζεται με τις μονάδες με τις οποίες εφράζονται οι παρατηρήσεις Για παράδειγμα, αν οι παρατηρήσεις εφράζονται σε cm, η διαύμανση εφράζεται σε cm Τι ονομάζουμε τυπιή απόλιση; Αν πάρουμε τη θετιή τετραγωνιή ρίζα της διαύμανσης, έχουμε ένα άλλο μέτρο διασποράς που ονομάζεται τυπιή απόλιση, συμβολίζεται με s αι δίνεται από τη σχέση: s s Παρατήρηση: Η τυπιή απόλιση εφράζεται με την ίδια μονάδα μέτρησης του χαρατηριστιού Τι γνωρίζεται για την ανονιή ατανομή; Αν η αμπύλη συχνοτήτων για το χαρατηριστιό που εξετάζουμε είναι ανονιή ή περίπου ανονιή, τότε η τυπιή απόλιση s έχει τις παραάτω ιδιότητες: ) το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσεται στο διάστημα s, s ) το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσεται στο διάστημα s, s ) το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων βρίσεται στο διάστημα 3 s, 3s ) το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπιές απολίσεις, δηλαδή R 6s

3 Μαθηματιά αι Στοιχεία Στατιστιής Τι ονομάζουμε συντελεστή μεταβολής; Ένα μέτρο το οποίο μας βοηθά στη σύγριση ομάδων τιμών, που είτε εφράζονται σε διαφορετιές μονάδες μέτρησης είτε εφράζονται στην ίδια μονάδα μέτρησης, αλλά έχουν σημαντιά διαφορετιές μέσες τιμές, είναι ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής τυπιή απόλιση s μεταβλητότητας, ο οποίος ορίζεται (για 0 ) από το λόγο: CV μέση τιμή Αν 0 τότε αντί της χρησιμοποιούμε την Παρατήρηση: Ο συντελεστής μεταβολής είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης, εφράζεται επί τοις εατό αι παριστάνει ένα μέτρο σχετιής διασποράς των τιμών αι όχι της απόλυτης διασποράς Πότε ένα δείγμα είναι ομοιογενές; Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα είναι ομοιογενές, εάν ο συντελεστής μεταβολής δεν ξεπερνά το 0%, δηλ CV 0% Παρατήρηση: Μεταξύ δύο δειγμάτων μεγαλύτερη ομοιογένεια έχει εείνο το δείγμα με το μιρότερο συντελεστή μεταβολής

Οδηγός Επιβίωσης 4 ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Να αποδείξετε ότι 0 f για,,, Από τον τύπο της σχετιής συχνότητας f,,,, ισχύει 0 f για,,, αφού 0 Να αποδείξετε ότι f f f f f f ν Έστω t, t,, t οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν μέση τιμή Να αποδείξετε ότι ο αριθμητιός μέσος των διαφορών t, t,, t είναι ίσος με μηδέν t t t t t t 0

5 Μαθηματιά αι Στοιχεία Στατιστιής ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Πίναες ατανομής συχνοτήτων f f f f N 0 F f f f N f% 00 f f F f Τόξο υλιού τμήματος σε υλιό διάγραμμα 360 α 360 f Μέτρα θέσης Μέση τιμή Διάμεσος Αναλυτιά Τιμές Πιναάι Ομαδοποίηση t Σταθμιός Μέσος: w Γράφουμε τις παρατηρήσεις Κατασευάζουμε το πολύγωνο σε αύξουσα σειρά! αθρ σχετιών συχνοτήτων % % Αν ν περιττός, η διάμεσος ισούται με τη μεσαία παρατήρηση f F δ Αν ν άρτιος, η διάμεσος ισούται με το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων

Οδηγός Επιβίωσης 6 Μέτρα διασποράς Εύρος Αναλυτιά Τιμές Πιναάι Ομαδοποίηση Ανώτερο όριο τελευταίας τάξης R t t ατώτερο όριο πρώτης τάξης R ma mn s t s Διαύμανση s s t t s Τυπιή απόλιση s (δίνεται) s s (δίνεται) Κανονιή ατανομή R 6s Συντελεστής μεταβολής s CV ή s CV (αν 0 ) (Αν CV 0%, τότε το δείγμα είναι ομοιογενές) Βασιή εφαρμογή Αν y c, τότε: y c αι sy s Αν y c, τότε: y c αι s y c s