Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής: Πειράµατα για Οινολόγους 5 Εργαστηριακή άσκηση : «Μετρήσεις από βίντεο» O ΠΙΝΑΚΑΣ του GALTON Μετρήσεις µε τυχαία γεγονότα: Κατανοµές ποσοτήτων Ο πίνακας, το πρόγραµµα και η τεκµηρίωση προσφέρθηκαν και παραχωρήθηκαν ευγενώς για χρήση από τον γερµανό συνάδελφο κ. Dr. Bernd Pompe από το Ernst-Moritz-Arndt- Universität Greifswald, Institut für Physik) Πάνω. Το 0-µάρκο όπου απεικονίζεται ο Gauss και η κωνοειδής καµπύλη της κανονικής κατανοµής Αριστερά. Ο πίνακας Galton 5
Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής: Πειράµατα για Οινολόγους 6.Εισαγωγή Ο Άγγλος Επιστηµόνας Στατιστικολόγος Γκάλτον (Galton) παρουσίασε το 889 ένα πείραµα τυχαιότητας. Στο σχήµα παριστάνεται η διάταξη που χρησιµοποιήθηκε για ένα τέτοιο πείραµα. Το παραλληλόγραµµο από plexiglas γνωστό ως πίνακας Galton αποτελείται από 256 σφαιρίδια και τον αρχικά σιγµοειδή διαδροµή που ενώνεται µε 5 εξαγωνικές κυψέλες (λαβύρινθος) και καταλήγει σε (0-0) κατακόρυφες θυρίδες. Μετακινούµενα τα σφαιρίδια από το επάνω µέρος του πίνακα προς τα κάτω ακολουθώντας την περιγραφείσα διαδροµή συγκρουόµενα είτε µεταξύ τους είτε στις ακµές των εξαγώνων καταλήγουν το καθένα σε µία από τις κατακόρυφες θυρίδες. Η καµπύλη της κατανοµής των σφαιριδίων στις θυρίδες έχει τη µορφή καµπάνας. Αυτή η καµπανοειδής κατανοµή είναι τόσο πιο ξεκάθαρη όσο µεγαλύτερος είναι ο αριθµός των σφαιριδίων και λόγω των πολλών εφαρµογών που βρίσκει είναι γνωστή και ως κανονική κατανοµή. 6
Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής: Πειράµατα για Οινολόγους 7 Για παράδειγµα είναι πολύ σηµαντική στην περίπτωση που πολλές διαφορετικές τυχαίες παράµετροι υπεισέρχονται στη µέτρηση ενός φυσικού µεγέθους. Οι παράµετροι αυτές προκαλούν τυχαία απόκλιση του µετρούµενου φυσικού µεγέθους από την πραγµατική του τιµή. Επαναλαµβάνοντας τη µέτρηση του µεγέθους πολλές φορές η µέση τιµή που προκύπτει µε βάση τη θεωρία της κανονικής κατανοµής πλησιάζει όσο γίνεται καλύτερα την αληθινή τιµή του µεγέθους. 2.Στοιχεία θεωρίας Κατανοµή ως προς τις θυρίδες Επιστέφοντας στο σχήµα ας σχολιάσουµε ποια από τις θυρίδες έχει τη µεγαλύτερη πιθανότητα να καταληφθεί από ένα σφαιρίδιο. Για να βρεθεί ένα σφαιρίδιο στη θυρίδα F 0 πρέπει µε κάθε του κρούση να στρίβει προς αριστερά. Αν µία και µόνο φορά µετά από κρούση στρίψει προς τα δεξιά τότε θα καταλήξει στη θυρίδα F. Στη θυρίδα F µπορούν να καταλήξουν και άλλα σφαιρίδια που εκτρέπονταν αρχικά δεξιά αλλά µε κάποιες κρούσεις προς τα αριστερά είναι πιο πιθανό να πάνε στο F από το F 0. Βέβαια θεωρώντας ότι οι αποκλίσεις προς τα αριστερά και δεξιά είναι ισοπίθανες τα περισσότερα σφαιρίδια αναµένεται να συγκεντρωθούν στη µεσαία θυρίδα F 5. Πιο συγκεκριµένα ας υπολογίσουµε σε τρία βήµατα την πιθανότητα ενός σφαιριδίου σε µία συγκεκριµένη θυρίδα. Για αυτό ας σκεφτούµε πρώτα µέσα από ποια διαδροµή ένα σφαιρίδιο θα φθάσει σε µία από τις θυρίδες και µε τι πιθανότητα. Το άθροισµα όλων των πιθανοτήτων όλων των δρόµων που οδηγούν στη συγκεκριµένη θυρίδα µας δίνει τη ζητούµενη πιθανότητα. βήµα Κατευθυνόµενα τα σφαιρίδια προς τις Ν+ θυρίδες καθένα από αυτά εκτρέπεται Ν φορές προς τα αριστερά και προς τα δεξιά παρατηρώντας τις κρούσεις από την κορυφή του λαβυρίνθου. Συµβολίζουµε µε την εκτροπή του σφαιριδίου προς τα δεξιά και µε 0 την εκτροπή του προς τα 7
Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής: Πειράµατα για Οινολόγους 8 αριστερά. Σύµφωνα µε το σχήµα 2 η διαδροµή ενός σφαιριδίου που καταλήγει στη θυρίδα 6 περιγράφεται κωδικοποιηµένα ως = 0000. Υπάρχουν βέβαια 2 0 = 02 ισοδύναµες διαφορετικές διαδροµές, δηλ. 0000000000, 000 000000,...,. Πιο γενικά για να φθάσει ένα σφαιρίδιο στη θυρίδα F6 πρέπει να εκτραπεί n φορές δεξιά και N-n φορές αριστερά. Από τη θεωρία πιθανοτήτων οι συνδυασµοί αυτοί είναι N = n N! n! ( N n)! Σχήµα 2. Η (0000) ενός σφαιριδίου που ξεκινά από την ηρεµία και καταλήγει στη θυρίδα F 6 2 0 βήµα Εάν θεωρήσουµε ότι η πιθανότητα εκτροπής του σφαιριδίου προς τα δεξιά είναι p τότε η πιθανότητα εκτροπής προς τα αριστερά θα είναι - p. Εάν τοποθετήσουµε το plexiglas κάθετα τότε p=0.5. 8
Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής: Πειράµατα για Οινολόγους 9 Για παράδειγµα η πιθανότητα το σφαιρίδιο να ακολουθήσει τη διαδροµή (0000) = (-p) p 6. Όµως η παραπάνω διαδροµή είναι ισοπίθανη µε τη (0000). Άρα, πιο γενικά ανεξαρτήτου διαδροµής η πιθανότητα των διαδροµών του σφαιριδίου προς τη θυρίδα F n είναι (-p) Ν-n p n όπου n και N-n ο αριθµός των εκτροπών του σφαιριδίου προς τα δεξιά και αριστερά αντίστοιχα. 3 0 βήµα Λαµβάνοντας υπόψη τα βήµατα και 2 η συνολική πιθανότητα να φθάσει ένα σφαιρίδιο στη θυρίδα F n είναι p N N n N n n ( n) = ( p) p µε n=0,,2...ν () Ο παραπάνω τύπος εκφράζει τη διωνυµική κατανοµή. Η µέση τιµή µ σε αυτήν την κατανοµή υπολογίζεται µ = Ν p (2α) και η διακύµανση γύρω από τη µέση τιµή είναι σ 2 =Ν p (- p) (2β) Η τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης ονοµάζεται τυπική απόκλιση της κατανοµής και είναι ο = N p ( p) (2γ) Στον παρακάτω πίνακα βλέπουµε τις πιθανότητες p Ν (n) και τον αντίστοιχο αριθµό M p Ν (n) των σφαιριδίων σε κάθε θυρίδα Μ=256 και για κάθετη τοποθέτηση του plexiglas οπότε p=0.5. Στο σχήµα (3) απεικονίζεται ο ανεµενόµενος αριθµός M p Ν (n) των σφαιριδίων σε κάθε µία από τις θυρίδες F n 9
Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής: Πειράµατα για Οινολόγους 20 ΠΙΝΑΚΑΣ n 0 2 3 5 6 7 8 9 0 p Ν (n) /02 M p Ν (n) 0/02 5/02 / 2 και 2/ και 2/ 20/02 20/02 30 52και 2/ 252/0 2 20/02 63 52και 2/ 20/02 5/02 30 και 2/ 0/02 /02 2 και 2/ / Λαµβάνοντας υπόψη τη διακύµανση έχουµε ότι ο αριθµός σφαιριδίων σε κάθε µία από τις θυρίδες F n είναι M p Ν (n) ± σ Ν,Μ (n) µε n) = M p (n) ( p (n)) σ, Μ ( N N Ν (3α) Με βάση τις µαθηµατικές εκφράσεις (,2) εάν θέλουµε να υπολογίσουµε την πιθανότηταν m από τα M=256 σφαιρίδια να καταλήξουν σε µία από τις θυρίδες F n είναι q N,n,M M M m m (m) = ( pn (n)) pn ( n) (3β) m µε n=0,,2...ν 20
Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής: Πειράµατα για Οινολόγους 2. Σχήµα 3. Κανονική Κατανοµή Εάν N τότε pn(n) f (n) e σ 2π ( n µ ) 2 2σ () 2 2 µε µ = Np και σ = Np( p) Η συνάρτηση f(n) ονοµάζεται πυκνότητα πιθανότητας της κανονικής κατανοµής µε µέση τιµή µ και τυπική απόκλιση σ. Ο πίνακας Galton ακολουθεί την κανονική κατανοµή. Με βάση τη θεωρία αυτής της κατανοµής ο τύπος που δίνει τη µέση τιµή ενός µεγέθους Χ το οποίο έχει µετρηθεί Χ,Χ 2,...Χ t φορές είναι 2
Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής: Πειράµατα για Οινολόγους 22 T x = x t (5) T t= Η τυπική απόκλιση από τη µέση τιµή είναι σ x = T(T ) T ( x t x) t= 2 (6) 22