ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy 3 +x είναι αρμονική στο R. Στη συνέχεια να βρεθεί η συζυγής αρμονική v της u καθώς επίσης και η ακέραια συνάρτηση f u + iv, με f(0) i. Να εκφράσετε την f σαν συνάρτηση του x + iy. (,5 μον.) (βʹ) Θεωρούμε τη λωρίδα { Ω C : I π } του -επιπέδου. Να βρεθεί οι εικόνα του συνόρου της λωρίδας Ω, καθώς επίσης και του ευθ. τμήματος x x 0 R, π/ y π/, μέσω του μετασχηματισμού w e. Ποια είναι η εικόνα της λωρίδας Ω μέσω του μετασχηματισμού w e ; ( μον.) (αʹ) Είναι u xx + u yy 6axy + 4xy. Για να είναι η u αρμονική θα πρέπει να ισχύει u xx + u yy 0 και ισοδύναμα 6axy + 4xy 0 για κάθε (x, y) R. Επομένως a 4 και κατά συνέπεια u(x, y) 4x 3 y + 4xy 3 + x. Ως γνωστόν, στο απλά συνεκτικό πεδίο C υπάρχει συζυγής αρμονική v της u. Δηλαδή η f u + iv είναι ακέραια συνάρτηση. Από την εξίσωση Cauchy Riemann u x v y έχουμε v y x y + 4y 3 +. Επομένως, v(x, y) 6x y + y 4 + y + c(x). Από τη δεύτερη εξίσωση Cauchy Riemann v x u y προκύπτει ότι xy + c (x) 4x 3 xy c (x) 4x 3. Άρα c(x) x 4 + c. Δηλαδή v(x, y) 6x y + y 4 + y + x 4 + c και κατά συνέπεια c R. Ομως f(0) i, οπότε c. Άρα, f() u(, 0) + iv(, 0) + i( 4 + c), f() i 4 + i. (βʹ) Ως γνωστόν ο περιορισμός της w e στη λωρίδα Ω είναι αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση με w 0. Αν y ±π/, τότε w e x±iπ/ ±ie x. Επομένως η ευθεία y π/ απεικονίζεται στο θετικό φανταστικό ημιάξονα και η η ευθεία y π/ απεικονίζεται στον αρνητικό φανταστικό ημιάξονα. Δηλαδή το σύνορο της λωρίδας Ω απεικονίζεται στο φανταστικό άξονα. Αν x x 0 R, π/ y π/, τότε w e x0 e iy, π/ y π/, είναι ημικύκλιο με κέντρο O και ακτίνα R e x0 στο δεξιό ημιεπίπεδο του w-επιπέδου. Επομένως, καθώς το x 0 μεταβάλλεται στο R, τα ημικύκλια καλύπτουν το δεξιό ημιεπίπεδο του w-επιπέδου. Άρα, η εικόνα της λωρίδας Ω μέσω του μετασχηματισμού w e είναι το χωρίο Ω {w C : Rw 0, w 0}.
Θέμα. Εστω f : C C ακέραια συνάρτηση, δηλαδή f() a n n n0 n0 f (n) (0) n! n f(0) + f (0)! + + f (n) (0) n +, για κάθε C. n! (αʹ) (Γενίκευση του θεωρήματος Liouville) Υποθέτουμε ότι για κάποιο k 0 υπάρχουν σταθερές A 0 και B > 0, τέτοιες ώστε (βʹ) Αν f() A + B k για κάθε > R 0 > 0. () Αν R > R 0, χρησιμοποιώντας τις ανισότητες Cauchy αποδείξτε ότι a n A + BRk R n. Στη συνέχεια αποδείξτε ότι η f είναι πολυώνυμο βαθμού το πολύ k. Τι συμπεραίνετε αν η f είναι φραγμένη για κάθε C; (,3 μον.) Απόδειξη. f() lim 0, αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή συνάρτηση. (, μον.) (αʹ) Εστω C(0, R) { C : R} κύκλος με ακτίνα R > R 0. Αν M max R f(), από την () έχουμε M A + BR k. Τότε, από τις ανισότητες Cauchy για κάθε n > k είναι a n f (n) (0) n! M R n A + BRk R n A R n + B Rn k 0. R Επομένως a n 0 για κάθε n > k. Άρα, η f είναι πολυώνυμο βαθμού το πολύ k. Αν η f είναι φραγμένη για κάθε C, τότε η () ισχύει για k 0 και επομένως η f είναι σταθερή(κλασικό θεώρημα Liouville).
f() (βʹ) Επειδή lim 0, υπάρχει R 0 > 0 τέτοιο ώστε f() f() < για κάθε > R 0. < για κάθε > R 0. Ισοδύναμα, Από το (α ) έπεται ότι το f είναι πολυώνυμο βαθμού το πολύ, έστω f() a + b με a, b C. Ομως από την υπόθεση είναι ( ) ( a + b lim lim a + b ) 0 και επομένως a 0. Άρα f() b για κάθε C, δηλαδή η f είναι σταθερή συνάρτηση. Θέμα 3. (αʹ) Διατυπώστε την αρχή μεγίστου για ένα ανοικτό, συνεκτικό και φραγμένο υποσύνολο του C. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f είναι αναλυτική στο δακτύλιο : < < 3 και συνεχής στο σύνορο του. Αν f() για κάθε και f() 9 για κάθε 3, αποδείξτε ότι f(i) 4. (, μον.) (βʹ) Εστω f : D(0, ) C αναλυτική συνάρτηση στο μοναδιαίο δίσκο D(0, ) { C : < } και έστω C η καμπύλη με εξίσωση (t) re it, 0 t 4π, όπου 0 < r <. Αν το 0 είναι απλή ρίζα της συνάρτησης f, υπολογίστε το ολοκλήρωμα f() πi C 3 d με δύο τρόπους: (i) με τον ολοκληρωτικό τύπο Cauchy για παραγώγους και (ii) με το θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων. (,3 μον.) (αʹ) Αρχή μεγίστου: Αν η συνάρτηση f είναι αναλυτική στο ανοικτό, συνεκτικό και φραγμένο σύνολο G C και συνεχής στο σύνορο G του G, τότε η f παίρνει τη μέγιστη τιμή της στο σύνορο G του G εκτός και αν η f είναι σταθερή στο G. Εστω g() : f(). Η g είναι αναλυτική στο ανοικτό, συνεκτικό και φραγμένο σύνολο : < < 3 καθώς επίσης και στο σύνορο του που είναι οι κύκλοι και 3. Από την υπόθεση έχουμε g() για κάθε και g() για κάθε 3. Από την αρχή μεγίστου θα είναι g() για κάθε. Άρα, f() για κάθε και κατά συνέπεια f(i) i 4. (βʹ) Ο δείκτης στροφής της κλειστής καμπύλης C ως προς το σημείο 0 είναι I(C, 0). (i) Από τον ολοκληρωτικό τύπο Cauchy για παραγώγους έχουμε f() πi C 3 d { }! f() πi C 3 d I(C, 0) f (0) f (0). 3
(ii) Επειδή το 0 είναι απλή ρίζα της f, δηλαδή f(0) 0, f (0) 0 και ρίζα τάξης 3 της 3, το 0 είναι πόλος τάξης της w f()/ 3. Άρα, από το θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουμε ( ) f() f() πi C 3 d I(C, 0) Res 3, 0 [ lim f() ] 0 lim 0 [ f() 3 ] f () f() lim 0 f () lim 0 f (0). (κανόνας L Hôpital) Θέμα 4. (αʹ) Εστω η συνάρτηση f () ( + 5). Να βρεθεί το ανάπτυγμα(η σειρά) Laurent της f με κέντρο το 0 0 στο μεγαλύτερο δυνατό δακτύλιο που περιέχει το σημείο i. ( μον.) (βʹ) Διατυπώστε το θεώρημα Laurent για τη συνάρτηση f() στο δακτύλιο cos π { C : < < 3 } με κέντρο το 0 0. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων να υπολογιστούν οι συντελεστές των και στο ανάπτυγμα(στη σειρά) Laurent της f() στο δακτύλιο. (,5 μον.) cos π (αʹ) Εχουμε τους δακτυλίους : 0 < < 5 και : > 5. Το σημείο i ανήκει στο δακτύλιο. Παραγωγίζοντας τη γεωμετρική σειρά / ( + w) n0 ( )n w n, w <, έχουμε Επομένως, ( + w) ( ) n nw n ( + w) ( ) n nw n, w <. n f() 5 ( + 5/ ) 5 ( ) n n n ( ) n n5 n n n ( ) n 5 ( 5/ < > 5) n+3 ( ) n (n + )5 n n+5. n0 4
Ο μεγαλύτερος δακτύλιος στον οποίο το παραπάνω ανάπτυγμα Laurent της f ισχύει είναι ο : > 5. (βʹ) Η f() / cos π είναι αναλυτική στο δακτύλιο και αναπτύσσεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή cos π a n n για κάθε, n όπου η σειρά συγκλίνει απόλυτα στο και ομοιόμορφα σε συμπαγή υποσύνολα του. συντελεστές a n δίνονται από τον τύπο a n πi n+ cos π d, C + (0, r) όπου ο κύκλος C + (0, r) με κέντρο 0, ακτίνα r, / < r < 3/ και θετική φορά διαγραφής ανήκει στο δακτύλιο. (i) n : Είναι a πi C + (0, r) cos π d. Τα ανώμαλα σημεία / και / της f() / cos π βρίσκοντα στο εσωτερικό του κύκλου C + (0, r) και είναι απλοί πόλοι. Από το θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουμε a πi C + (0, r) cos π d ( ) ( Res cos π, + Res cos π, ) (cos π) + / (cos π) (ii) n : Είναι a πi π π 0. C + (0, r) / cos π d πi C + (0, r) cos π d. Τα ανώμαλα σημεία / και / της g() / cos π βρίσκοντα στο εσωτερικό του κύκλου C + (0, r) και είναι απλοί πόλοι. Από το θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων έχουμε a πi C + (0, r) cos π d ( ) ( Res cos π, + Res cos π, ) (cos π) + / (cos π) π π π. / Οι Θέμα 5. (αʹ) Αν 0 C και R > 0, υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f είναι αναλυτική στο διάτρητο δίσκο και δεν είναι αναλυτική στο 0. 0 < 0 < R 5
(i) Αν το 0 είναι πόλος τάξης N N της f, αποδείξτε ότι το 0 είναι πόλος τάξης N + της f. (0,8 μον.) (ii) Πότε το 0 είναι επουσιώδες (απαλείψιμο) ανώμαλο σημείο της f; Δώστε τουλάχιστον δύο ικανές και αναγκαίες συνθήκες για να είναι το 0 επουσιώδες ανώμαλο σημείο της f. (0,7 μον.) (βʹ) Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f : C \ N C είναι αναλυτική και φραγμένη. συνάρτηση f. Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Να βρεθεί η ( μον.) (αʹ) (i) Το 0 είναι πόλος τάξης N της f αν και μόνο αν υπάρχει αναλυτική συνάρτηση g στο δίσκο D( 0, R) { C : 0 < R}, τέτοια ώστε g( 0 ) 0 και Τότε, Επομένως f() g() ( 0 ) N για κάθε D( 0, R), 0. f () ( 0)g () Ng() ( 0 ) N+ για κάθε D( 0, R), 0. f () h() ( 0 ) N+ για κάθε D( 0, R), 0, όπου η συνάρτηση h() : ( 0 )g () Ng() είναι αναλυτική στο D( 0, R) με h( 0 ) Ng( 0 ) 0. Άρα, το 0 είναι πόλος τάξης N + της f. (ii) Το 0 είναι επουσιώδες (απαλείψιμο) ανώμαλο σημείο της f αν στο ανάπτυγμα Laurent f() n a n( 0 ) n, 0 < 0 < R, είναι a n 0 για κάθε n. Δηλαδή f() a n ( 0 ) n, για 0 < 0 < R. n0 Παρατήρηση. Αν ορίσουμε f( 0 ) a 0, τότε παίρνουμε μία συνάρτηση η οποία είναι αναλυτική σ όλο το δίσκο 0 < R. Το 0 είναι επουσιώδες ανώμαλο σημείο της f αν και μόνο αν Το όριο lim 0 f() υπάρχει και είναι πεπερασμένο Υπάρχουν M > 0, δ > 0, τέτοια ώστε f() < M για 0 < 0 < δ lim 0 ( 0 )f() 0. (βʹ) Από την υπόθεση υπάρχει M > 0, τέτοιο ώστε f() M για κάθε C \ N. Εστω n οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός. Η συνάρτηση f είναι αναλυτική και φραγμένη στη διάτρητη περιοχή 0 < n < του n και κατά συνέπεια το n είναι επουσιώδες ανώμαλο σημείο της f. Δηλαδή f() a k ( n) k, για 0 < n <. k0 Επειδή lim n f() a 0, είναι a 0 M. Αν ορίσουμε f(n) a 0, τότε παίρνουμε μία συνάρτηση η οποία είναι αναλυτική στο n. Επειδή αυτό ισχύει για κάθε n N, η f επεκτείνεται αναλυτικά σ όλο το C(ακέραια συνάρτηση) με f() M για κάθε C. Άρα, από το θεώρημα Liouville η f είναι σταθερή. 6
Να επιλέξετε 4 θέματα Συμβολισμός : I Im, R Re Σημείωση : Αν το 0 C είναι πόλος τάξης k N της συνάρτησης f, το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f στο 0 δίνεται από τον τύπο Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες Res (f, 0 ) (k )! [ lim ( 0 ) k f() ] (k ). 0 7