Curs 6 Relatii de cointegrare Intuitie: Doua serii de timp sunt in relatie de cointegrare daca nu sunt neaparat corelate, dar o combinatie liniara a lor este de medie si varianta constante: mai devreme sau mai tarziu se va intoarce la medie (mean reversion). Intuitiv inseamna ca cele doua serii de timp sunt intr-o relatie de echilibru relativ pe termen lung.
1. Integrare si cointegrare Notiunile de integrare si cointegrare sunt folosite indeosebi in finantele cantitative dar si in cosmologie sau in biologie (exemplu: echilibrul pe termen lung intre anumite elemente climatice si dinamica populatiei unei specii dintr-o regiune geografica). Tehnicile de detectie a acestor relatii de echilibru insa se pot aplica oricarei perechi de semnale, atata timp cat existenta unei astfel de proprietati de tip long term equillibrium merita investigata. Tipul de intrebari la care putem raspunde cautand aceste relatii sunt: In perioada 1780 1850, ce a cauzat revolutia industriala in Marea Britanie? a) Exporturile; b) Demografia; c) Progresul tehnologic sau d) alti factori. Exista vreo legatura intre temperatura apei si concentratia de plancton dintr-o anumita regiune a oceanelor? Exista o relatie de cointegrare intre pretul aurului si pretul argintului? Dar intre pretul aurului si pretul diamantelor? Raspundem acestor intrebari legate de existenta unui echilibru pe termen lung intre doua semnale (serii de timp) dar si de perspectiva unei relatii de cauzalitate in acest curs,
urmand ca problema cauzalitatii sa fie detaliata in cursul urmator. Integrare Spunem ca o serie de timp x[n] este integrata de ordin 0 daca: In general spunem ca o serie este integrata de ordin p daca seria de timp (1) (1-L) P x[n] (2) este integrata de ordin 0, unde L este operatorul lag (intarziere): (1-L) x[n] = x[n]-x[n-1] (3) Cum se creaza o serie integrata de ordin p? Fie aceasta serie z[n]. Ca sa fie integrata de ordin p, trebuie ca z[n]-z[n-1] sa fie integrata de ordin p-1. Cea mai simpla varianta de a satisface aceasta conditie este ca z[n] sa fie o suma de n termeni ai unei serii de timp integrate de ordin p-1, astfel incat z[n]-z[n-1] =x[n]. Asadar ca sa construim o serie integrata de ordin p, intuitiv este necesar ca pornind de la o serie integrata de ordin 0 sa construim iterativ serii integrate de ordin 1,2 p. Sa luam un exemplu:
Fie x[n] o serie integrata de ordin 0 (stationara) si dorim sa construim o serie integrata de ordin 2. 1) Construim 2) Aratam ca z[n] este integrata de ordin 0. Intr-adevar, seria (1-L)z[n] = z[n]-z[n-1] = x[n] este integrata de ordin 0. 3) Construim Aratam ca (1-L)y[n] este integrata de ordin 1: (1-L)y[n] = y[n]-y[n-1] = z[n] este integrata de ordin 1. Am obtinut astfel y[n] integrata de ordin 2. Care este utilitatea unei astfel de constructii in aplicatiile practice? Daca gasim ca doua serii de timp sunt integrate I(1), atunci intre ele poate exista o relatie de echilibru pe termen lung (cointegrare). Cointegrare Conceptul de cointegrare a fost introdus de Granger (1983), Granger and Weiss (1983), Engle si Granger (1987).
Notiunea a fost larg acceptata si este o unealta de actualitate folosita in finantele cantitative. Cointegrarea este o proprietate a seriilor de timp nonstationare (care nu sunt integrate de ordin 0, intuitiv: care au trend). Spunem ca doua serii de timp integrate de ordin 1 sunt cointegrate daca o combinatie liniara a celor doua este stationara (integrata de ordin 0), desi fiecare din ele nu este stationara. Fie x[n]si y[n] doua serii de timp non-stationare integrate de ordin 1. Cele doua serii sunt cointegrate daca z[n]= a x[n] + b y[n] (4) are medie C si deviatie standard σ. De obicei in aplicatii se aleg a si b astfel incat C sa aiba medie 0. In sensul general, extindem definitia pentru serii de timp integrate de ordin p: Definitie: Doua serii de timp x[n] si y[n] integrate de ordin p sunt cointegrate daca exista o combinatie liniara z[n] = a x[n] + b y[n] integrata de ordin mai mic decat p. Intuitiv, daca doua serii de timp sunt cointegrate, atunci exista factori fundamentali care le afecteaza componenta non-stationara (trend) pe termen lung in mod egal, si atunci cele doua serii de timp sub influenta aceluiasi factor
fundamental se vor ajusta la un echilibru relativ (combinatia lor liniara se va intoarce la 0). Care este utilitatea unei astfel de constructii in aplicatiile practice? x[n] = 98 y[n]= 105 Fie pretul aurului : x[n] si pretul argintului: y[n]. De obicei pretul acestor metale se exprima in dolari: Daca exista o combinatie liniara care scaleaza x[n] in raport cu y[n] astfel incat diferenta (mai este numita si spread) este stationara: Spread[n] = x[n]*a - y[n] sa aiba medie 0 si deviatie standard constanta, atunci aceasta relatie va exprima supra-evaluarea sau sub-evaluarea pretului argintului relativ la pretul aurului. Spre exemplu: sa presupunem ca in 2014 se vor demara operatiuni de extragere a argintului de pe fundul oceanelor din globuli metalici. Cu o viteza destul de mare piata va reactiona si pretul argintului x[n] va scadea brusc fata de pretul aurului, la un minim de diferenta relativa astfel incat Spread[n] la un moment dat sa fie -100$, fata de deviatia standard istorica σ=50$.
Acest eveniment este destul de rar sa se intample, dar se poate intampla. Probabilitatea ca Spread[n] sa depaseasca (in modul) valoarea 2σ este: 4.55%. P( spread[n] >2σ)= 1-0.9544997 = 0.0455, adica sub (v. http://mathworld.wolfram.com/confidenceinterval.html) Ulterior acestei scaderi dramatice a pretului argintului, urmeaza o perioada de disipare a informatiei la nivel global. Participantii la piata realizeaza ca s-ar putea ca sa se gaseasca intr-o buna masura si zacaminte de aur, deci pretul aurului incepe sa scada si el, si Spread[n] creste inapoi spre 0. Este doar o chestiune de timp pana cand cererea si oferta vor face ca pretul celor doua metale sa se ajusteze astfel incat Spread[n] sa se apropie de 0. De notat ca pretul in general este integrat de ordin 1, deci Spread[n] va fi stationar cu medie 0 (daca constantele din expresia sa se aleg corect) si deviatie standard σ. Cointegrare si cauzalitate Engle si Granger (1987) demonstreaza ca daca doua serii de timp sunt I(1) integrate si intre ele exista o relatie de cointegrare de ordin 1, atunci variatia unei serii de timp intro anumita directie va cauza o variatie in cealalta serie de timp in aceeasi directie. Engle si Granger insa nu specifica directia cauzalitatii : x[n] cauzeaza y[n] sau invers.
Daca insa cele doua serii de timp x[n] si y[n] sunt I(1) dar intre ele nu exista relatie de cointegrare, atunci relatiile de cauzalitate se pot determina daca: 1) Aplicam (1-L)x[n] si (1-L) y[n] astfel incat sa transformam seriile de timp in serii cu diferente, adica serii stationare 2) Testam ipoteze de tip daca X=a atunci Y=b, unde X si Y sunt vectorii de stare in phase space-ul reconstruit al seriilor (1-L)x[n] si (1-L)y[n]. Acest tip de cauzalitate (in lipsa relatiei de cointegrare) poate fi determinata doar pentru un numar finit de situatii si se numeste cauzalitate intamplatoare (spurious causality). Existenta relatiei de cointegrare poate stabili relatia de cauzalitate peste intreg domeniul de variatie al celor doua serii de timp.