Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012

Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές Η Χρήση των Θεωρητικών κατανομών Είδη Θεωρητικώς Κατανομών

Η Χρήση των Θεωρητικών κατανομών Γιατί χρησιμοποιούμε θεωρητικές Κατανομές; Η εμπειρική ανάλυση, μέσω δειγματοληψίας, μας καθορίζει τα χαρακτηριστικά (μέτρα θέσης-διασποράς-πιθανότητες) μιας τυχαίας μεταβλητής για κάποιο συγκεκριμένο δείγμα. Ομως, η ανάγκη εξαγωγής γενικευμένων συμπερασμάτων, ανεξαρτήτως δείγματος, μας οδηγεί στον προσδιορισμό και την χρήση γενικευτικών κατανομών πιθανοτήτων, των Θεωρητικών κατανομών.

Είδη Θεωρητικώς Κατανομών Διακριτές Θεωρητικές κατανομές 1 Ομοιόμορφη 2 Bernouli 3 Διωνψμική 4 Poisson Μη-Διακριτές Θεωρητικές κατανομές 1 Ομοιόμορφη 2 Εκθετική 3 Κανονική 4 χ 2 5 t Student 6 F

Ομοιόμορφη Η Ομοιόμορφη θεωρητική κατανομή ορίζεται όταν οι τψχαίες μεταβλητές {x 1, x 2,..., x k }είναιισοπίθανες. Παραδείγματα Ομοιόμορφων τ.μ. 1 Τα διακριτά απότελέσματα της ρίψης ενός ζαριού 2 Τα διακριτά απότελέσματα μιας λοταρίας Εαν μια τ.μ. X κατανέμεται ως μια ομοιόμορφη, τότε έχει συνάρτηση πιθανότητας: P(X = x) = 1 k, x = x 1, x 2,..., x k

Bernoulli Η Bernouli θεωρητική κατανομή ορίζεται όταν η τυχαία μεταβλητή δυαδικού αποτελέσματος παίρνει τιμές: 0 για την μή-ύπαρξη και 1 για την ύπαρξει ενός γεγονότος.μεάλλαλόγια,ητ.μ.παίρνειτηλογικήτιμή ΟΡΘΟ για X = 1 και ΛΑΘΟΣ για X = 0. Παραδείγματα για Bernoulli τ.μ 1 Ηαπάντησηστοερώτημαεανέναπροιόνείναι καλής ή κακής ποιότητας. 2 Τογεγονόςτης αγοράς ή πώλησης σεμιαεμπορικήπράξη. 3 Το γεγονός της εξυπηρέτησης ή μη-εξυπηρέτησης σε μια ουρά αναμονής. 4 Το γεγονός της πραγματοποίησης ή μη-πραγματοποίησης μιας συναλλαγής.

Bernoulli(συν.) Εαν μια τ.μ. X κατανέμεται σύμφωνα με Bernouli κατανομή, τότε έχει συνάρτηση πιθανότητας: j p x = 1 P(X = x) = 1 p x = 0 Η μέση τιμή και η διακύμανσης μιας Bernoulli τ.μ. εκφράζεται ως: E(X) = p V(X) = p (1 p)

Διωνυμική Η Διωνυμική θεωρητική κατανομή αναφέρεται σε n ανεξάρτητα Bernoulli τ.μ.ςδυαδικούαποτελέσματοςμετιμές 0γιατηνμή-ύπαρξηκαι 1γιατην ύπαρξειενόςγεγονότος.επομένως,ητ.μ. Xπαίρνειτιμές {0, 1,..., n}. Παραδείγματα για Διωνυμική τ.μ. 1 Το σύνολο των θετικών απαντήσεων στο ερώτημα εαν n προιόντα είναι καλής ποιότητας. 2 Το σύνολο των απαντήσεων αγορά στο σύνολο n πράξεων για αγορά ή πώληση. 3 Το σύνολο των εξυπηρετήσεων στα n άτομα που αναμένουν εξυπηρέτηση ή μη-εξυπηρέτηση. 4 Το σύνολο των πραγματοποιήσεων στα ενδεχόμενα πραγματοποίησης ή μη-πραγματοποίησης στο σύνολο των n συναλλαγών.

Διωνυμική(συν.) Εαν μια τ.μ. X κατανέμεται σύμφωνα με Διωνυμική κατανομή, τότε έχει συνάρτηση πιθανότητας: «n P(X = x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1,... n x Η μέση τιμή και η διακύμανσης μιας Διωνυμικής τ.μ. εκφράζεται ως: E(X) = n p V(X) = n p (1 p)

Poisson Μια Poisson θεωρητική Κατανομή αναφέρεται στο αποτέλεσμα ανεξάρτητων Bernoulli τ.μ. δυαδικού αποτελέσματος των οποίων ο αριθμός προσεγγίζει το άπειρο( )ήότανοαριθμόςτουςείναιάγνωστος.επομένως,ητ.μ. X παίρνειτιμές {0, 1,..., } Παραδείγματα για Poisson τ.μ 1 Ο αριθμός των θετικών απαντήσεων στην ερώτηση σχετικά με το πόσα προιόντα χαρακτηρίζονται καλής ποιότητας. 2 Ο αριθμός εμφάνισης γεγονότων(όπως σεισμοί) 3 Ο αριθμός των ατόμων που εξυπηρετούνται όταν είναι άγνωστος ο αριθμός των ατόμων που είναι σε αναμονή. 4 Ο αριθμός των συναλλαγων που πραγματοποιούνται στη διάρκεια μιας ημέρας συναλλαγών.

Poisson(συν.) Εαν μια τ.μ. X κατανέμεται σύμφωνα με Poisson κατανομή, τότε έχει συνάρτηση πιθανότητας: P(X = x) = e λ λ x, x = 0, 1,... x! Η μέση τιμή και η διακύμανσης μιας Poisson τ.μ. εκφράζεται ως: E(X) = λ V(X) = λ