ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2013 2 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 2.1 [2 μονάδες] Έστω μεταβλητές και σταθερές στο σύνολο των ανθρώπων και η προτασιακή μορφή Ρ(x, y) με το νόημα "o x αγαπά τον y". Αποδώστε το νόημα των παρακάτω προτάσεων με προτάσεις του κατηγορηματικού λογισμού. 1. Όλοι αγαπούν τον Νίκο. x P(x,Νίκος) 2. Όλοι αγαπούν κάποιον. x y P(x,y) 3. Υπάρχει κάποιος τον οποίο όλοι αγαπούν. y x P(x,y) 4. Κανείς δεν αγαπά τους πάντες. x y P(x,y) 5. Υπάρχει κάποιος τον οποίο ο Νίκος δεν τον αγαπά. x P(Νίκος,x) 6. Υπάρχει κάποιος τον οποίον κανείς δεν αγαπά. y x P(x,y) 7. Υπάρχει ακριβώς ένα άτομο το οποίο όλοι αγαπούν. 1 ος τρόπος x y P(x,y) Λ χ z ( (P(x,y) Λ P(x,z) ) y=z) 2 ος τρόπος x y (P(x,y) Λ z (P(x,y) Λ y z)) 8. Ο Νίκος αγαπά ακριβώς δύο άτομα. x y (( P(Νίκος,x) Λ P(Νίκος,y) Λ x y) Λ z (P(Νίκος,z) (z=x v z=y)))) 9. Όλοι αγαπούν τον εαυτό τους. x P(x,x) 10. Υπάρχει κάποιος που αγαπά μόνο τον εαυτό του. x (P(x,x) Λ y (P(x,y)Λy x))
Άσκηση 2.2 [1.5 μονάδες] Έστω x,y μεταβλητές στο σύνολο των ανθρώπων και προτασιακή μορφή Ρ(x,y) με το νόημα "ο x αγαπά τον y ". Για καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις, (α) διατυπώστε την σε φυσική γλώσσα (β) διατυπώστε την άρνησή της ως πρόταση του κατηγορηματικού λογισμού (γ) διατυπώστε το αποτέλεσμα του (β) σε φυσική γλώσσα. 1. x y P( χ, y) Υπάρχει κάποιος άνθρωπος που τους αγαπά όλους 2. x y P( χ, y) Όλοι αγαπιούνται από όλους 3. x y P( χ, y)) Υπάρχει κάποιος άνθρωπος που αγαπάει κάποιον άνθρωπο 4. x y P( χ, y) Όλοι αγαπάνε κάποιον άνθρωπο 5. x y (P( χ, y) P(y,x)) Για όλους τους ανθρώπους, η αγάπη είναι αμοιβαία Άσκηση 2.3 [1 μονάδα] Διατυπώστε σε κατηγορηματικό λογισμό το θεώρημα σύμφωνα με το οποίο «Αν ένας πρώτος αριθμός p διαιρεί το γινόμενο αβ δύο ακέραιων α και β, τότε διαιρεί έναν, τουλάχιστον, από τους ακεραίους αυτούς». Μην ξεχάσετε να ορίσετε με σαφήνεια το νόημα των κατηγορημάτων που θα χρησιμοποιήσετε καθώς και τα πεδία ορισμού των μεταβλητών σας. Κατηγορήματα Π(x): O x είναι πρώτος αριθμός Δ(x,y): O x διαιρεί τον y A(x): O x είναι ακέραιος Π.Ο. x R, y Z Υπόθεση Συμπέρασμα x α β ((( Π(x) Λ Α(α) Λ Α(β) Λ (χ,α*β)) ( (χ,α) v (χ,β)))
Άσκηση 2.4 [2 μονάδες] Έστω οι προϋποθέσεις p q, r p και r. Προκύπτει από αυτές ότι q; Προσπαθήστε να απαντήσετε στο ερώτημα με δύο τρόπους (α) κάνοντας χρήση πίνακα αληθείας (β) χρησιμοποιώντας κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων. α)πίνακες αληθείας Προϋπόθεση p q : p q p q F F T F T T T F F T T T Προϋπόθεση r p : r p p r p F F T T F T F T T F T F T T F T Προϋπόθεση r: r T F Από τους παραπάνω πίνακες αληθείας βλέπουμε ότι όταν συναληθεύουν και οι 2 προϋποθέσεις η τιμή του q (άρα και του q) είναι ακαθόριστη (T ή F). Άρα δεν προκύπτει η ισχύς του q. β) Κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων Γνωρίζουμε ότι ισχύει (p q) Λ (r p) Λ r r Λ (p q) Λ (r p) r Λ ( pvq) Λ ( r v p) r Λ ( r v p) Λ ( pvq) επιμ. Ιδ. (r Λ r) v (r Λ p) Λ ( pvq) F v (r Λ p) Λ ( pvq) (r Λ p) Λ ( pvq) A Λ B, όπου Α=(r Λ p),β=( pvq). Για να ισχύει η τελευταία πρέπει να συναληθεύουν η Α και η Β Α=(r Λ p), αληθεύει όταν συναληθεύει η r (ισχύει από υπόθεση) και η p Β=( p v q), αληθεύει όταν αληθεύει η p ή η q. Λόγω του λογικού ή συμπεραίνουμε ότι δεν είναι απαραίτητο να αληθεύει η q και κατά συνέπεια και η q. Άρα δεν προκύπτει η q.
Άσκηση 2.5 [1.5 μονάδες] Αξιολογείστε την ορθότητα του παρακάτω συλλογισμού: "Ο Νίκος είναι είτε μπασκετμπωλίστας είτε ποδοσφαιριστής, αλλά όχι και τα δύο. Αν είναι μπασκετμπωλίστας, τότε είναι ψηλός. Ο Νίκος δεν είναι ψηλός. Επομένως, ο Νίκος είναι ποδοσφαιριστής". Έστω Β(x): O x είναι μπασκετμπωλίστας, F(x): Ο y είναι ποδοσφαιριστής. Ψ(x): O x είναι ψηλός. Τότε οι παραπάνω συλλογισμοί εκφράζονται σε κατηγορηματικό λογισμό 1. (Β(Νίκος) v F(Νίκος)) Λ ( Β(Νίκος) Λ F(Νίκος)) 2. x B(x) Ψ(x) 3. Ψ(Νίκος) Και εξετάζουμε αν προκύπτει η 4. F(Νίκος) H 2 εφόσον ισχύει για όλα τα x θα ισχύει και για x= Νίκος. Άρα B(Νίκος) Ψ(Νίκος) B(Νίκος) v Ψ(Νίκος). Επομένως έχουμε τα παρακάτω βήματα 2 Λ 3 ( B(Νίκος) v Ψ(Νίκος)) Λ ( Ψ(Νίκος)) Επιμ. Ιδ. ( Ψ(Νίκος) Λ Ψ(Νίκος)) v ( Ψ(Νίκος) Λ B(Νίκος)) F v ( Ψ(Νίκος) Λ B(Νίκος)) ( Ψ(Νίκος) Λ B(Νίκος)). Άρα θα πρέπει ο Νίκος και να μην είναι ψηλός και να μην είναι μπασκετμπωλίστας. Από την 1 έχουμε (Β(Νίκος) v F(Νίκος)) Λ ( Β(Νίκος) Λ F(Νίκος)) F v F(Νίκος) Λ ( Β(Νίκος) v F(Νίκος)) F(Νίκος) Λ ( Β(Νίκος) v F(Νίκος)) F(Νίκος) Λ (T v F(Νίκος)) F(Νίκος) από όπου προκύπτει σύμφωνα με τις προϋποθέσεις ότι ο Νίκος είναι ποδοσφαιριστής. Άσκηση 2.6 [1 μονάδες] Έστω οι παρακάτω προτασιακές μορφές P( χ, y): "O x διαιρεί τον y χωρίς υπόλοιπο", R(x) : "O x είναι πρώτος", S(x) : "Ο x είναι περιττός". Θεωρώντας ότι οι μεταβλητές χ, y παίρνουν τιμές στο σύνολο των ακεραίων αριθμών, δώστε την τιμή αληθείας των παρακάτω προτάσεων, δικαιολογώντας την απάντησή σας: 1. x y P( χ, y) : Όλοι οι αριθμοί διαιρούν χωρίς υπόλοιπο τουλάχιστον ένα ακέραιο Τ γιατί υπάρχει πάντα κάποιος αριθμός με αυτή την ιδιότητα. 2. x y P( χ, y) : Υπάρχει κάποιος ακέραιος αριθμός που διαιρεί χωρίς υπόλοιπο όλους τους υπόλοιπους ακεραίους Τ είναι ο 1
3. x y (P( χ, y) v P( y,x)) : Για οποιοδήποτε ακέραιο ισχύει ότι θα διαιρεί ή θα διαιρείται από κάποιο ακέραιο) ή αυτοί οι ακέραιοι διαιρούν χωρίς υπόλοιπο τους προαναφερθέντες ακεραίους False πχ 2 και 3 ούτε ο 2 διαιρεί ακέραια τον 3 ούτε ο 3 τον 2. 4. y x (S (y) Λ P( χ, y) : Υπάρχει κάποιος περιττός ο οποίος διαιρείται από όλους τους ακεραίους χωρίς υπόλοιπο False 5. x y [(R(x) Λ S(y)) P( χ, y)] : Για οποιουσδήποτε ακεραίους x και y, αν ο x είναι περιττός και ο y πρώτος, τότε ο ένας διαιρεί τον άλλο False Άσκηση 2.7 [1 μονάδα] 1. Δείξτε χρησιμοποιώντας κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων ότι αν ισχύει ότι x P( χ)τότε ισχύει ότι x P(χ) 2. Δείξτε ότι οι προϋποθέσεις x P( χ)και x (P( χ) Q(x)) οδηγούν στο συμπέρασμα ότι x Q(x). 1. x P(χ) Άρα P(O) για κάποια σταθερά Ο (καθολική συγκεκριμενοποίηση) Άρα x P(χ) (υπαρξιακή γενίκευση) Άλλος τρόπος Έστω ότι ισχύει x P(χ) και δεν ισχύει xp(x) δηλαδή x P(x) x P(x) το οποίο είναι αντίφαση γιατί ξέρουμε από την υπόθεση ότι ισχύει x P(x). Άρα αν ισχύει x P(x) τότε ισχύει ότι x P(x) 2. A: x P( χ) B: x (P( χ) Q(x)) x ( P( χ) v Q(x)) από ά ερώτημα προκύπτει ότι x ( P( χ) v Q(x)) x P( χ) Επομένως P(O) για κάποια σταθερά Ο Εφόσον ισχύει x (P( χ) Q(x)) θα ισχύει και ότι P( Ο) Q(Ο) Και επειδή ισχύει P( Ο), θα ισχύει (modus ponens) Q(Ο) Άρα x Q(χ)