Κρούσεις: Η διατήρηση της ορμής - παρανοήσεις και σμπεράσματα. Γενικά για να ισχύει η διατήρηση της ορμής σε ένα σύστημα πρέπει το σύστημα των σγκροομένων σωμάτων να είναι μονωμένο, δηλαδή να μην ασκούνται στα σώματα εξωτερικές δνάμεις κατά την διάρκεια της κρούσης. Στα προβλήματα των κρούσεων έχομε περιπτώσεις σστημάτων πο είναι «αστηρά» μονωμένα, «προσεγγιστικά» μονωμένα αλλά και σστήματα μη μονωμένα. Α. Κρούσεις σε «αστηρά» μονωμένα σστήματα. Στο σχήμα τα σγκροόμενα σώματα κινούνται πάνω σε λείο δάπεδο. Οι εξωτερικές δνάμεις Ν, και Ν, πο ασκούνται στο ο και ο σώμα αναιρούνται...και έτσι το σύστημα κατά την διάρκεια Δt της κρούσης είναι «αστηρά» μονωμένο. Οι μόνες δνάμεις πο ασκούνται στα σώματα είναι οι εσωτερικές δνάμεις κρούσης F και F πο ως δράση αντίδραση είναι αντίθετες F = -F. Για την διάρκεια της κρούσης εφαρμόζομε τον ο γενικεμένο νόμο Newton. ο σώμα: ΣFΔt = Δ FΔt = () ο σώμα: ΣFΔt = Δ F Δt = () Με πρόσθεση κατά μέλη και λαμβάνοντας πόψη ότι F = -F παίρνομε 0 = πο είναι η σχέση διατήρησης της ορμής το σστήματος κατά την ή διάρκεια της κρούσης. F F Αμέσως πριν πριν την κρούση... η κρούση... Αμέσως μετά την κρούση t Β. Κρούσεις σε «προσεγγιστικά» μονωμένα σστήματα. ο παράδειγμα προσεγγιστικά μονωμένο σστήματος: Στο σχήμα τα σγκροόμενα σώματα κινούνται στο κενό σε κατακόρφο επίπεδο (κατακόρφες βολές). Οι εξωτερικές δνάμεις των βαρών και πο ασκούνται στο ο και ο σώμα δεν αναιρούνται...και έτσι το σύστημα κατά την διάρκεια Δt της κρούσης «αστηρά» δεν Αμέσως πριν είναι μονωμένο. Εκτός βέβαια από τα βάρη πριν την κρούση πάρχον και οι εσωτερικές δνάμεις κρούσης F και F πο ως δράση αντίδραση t είναι αντίθετες F = -F. Για την διάρκεια της κρούσης εφαρμόζομε τον ο γενικεμένο νόμο Newton. F F Αμέσως μετά την κρούση... η κρούση... Βασίλης Τσούνης Φσικός www.btsounis.gr mail@btsounis.gr
ο σώμα: ΣFΔt = Δ FΔt + m gδt = - (3) ο σώμα: ΣFΔt = Δ F Δt + m gδt = (4) Με πρόσθεση κατά μέλη και λαμβάνοντας πόψη ότι F = -F ή m g t m g t = m g t m g t = παίρνομε ή. Από ότι φαίνεται εδώ «αστηρά» δεν ισχύει η σχέση διατήρησης της ορμής το σστήματος κατά την διάρκεια της κρούσης. Επειδή όμως το μέτρο των δνάμεων κρούσης είναι πολύ μεγαλύτερο από τα βάρη των σωμάτων και η διάρκεια της κρούσης σχεδόν μηδενική με ικανοποιητική προσέγγιση ισχύει t F t και t F t. Έτσι οι σχέσεις (3) και (4) προσεγγιστικά γράφονται (3) FΔt = - (3 ) (4) F Δt = - (4 ) Με πρόσθεση κατά μέλη και λαμβάνοντας πόψη ότι F = -F παίρνομε 0 = πο είναι η σχέση διατήρησης της ορμής το σστήματος κατά την ή διάρκεια της κρούσης, μόνο πο εδώ η σχέση διατήρησης της ορμής είναι προσεγγιστική καθόσον το σύστημα θεωρείται «προσεγγιστικά» μονωμένο. ο παράδειγμα προσεγγιστικά μονωμένο σστήματος: Στο σχήμα τα σγκροόμενα σώματα κινούνται πάνω σε μη λείο δάπεδο, οπότε εκτός από τις εξωτερικές δνάμεις Ν, και Ν, πο αναιρούνται πάρχον και οι τριβές Τ και Τ πο ασκούνται στο στα σώματα και δεν αναιρούνται. Το σύστημα ατό κατά την διάρκεια Δt της κρούσης «αστηρά» δεν F Τ Τ είναι μονωμένο. Επειδή όμως το μέτρο των δνάμεων κρούσης είναι πολύ μεγαλύτερο από τις τριβές και η διάρκεια της κρούσης σχεδόν μηδενική με ικανοποιητική προσέγγιση ισχύει Τt F t και Τt F t. Έτσι το σύστημα θεωρείται «προσεγγιστικά» μονωμένο και θεωρούμε ότι ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής κατά την διάρκεια της κρούσης. F 3ο παράδειγμα προσεγγιστικά μονωμένο σστήματος: Στο σχήμα ένα σώμα πέφτει κατακόρφα πάνω σε άλλο πο είναι δεμένο σε ελατήριο, εκτελεί ταλάντωση και τη στιγμή της κρούσης κινείται ανερχόμενο. Εδώ πάρχον οι εξωτερικές δνάμεις των βαρών, και δύναμη το ελατηρίο F ελ πο ασκούνται στο ο και ο σώμα δεν αναιρούνται...και το σύστημα κατά την διάρκεια Δt της κρούσης «αστηρά» δεν είναι μονωμένο. Αλλά και εδώ το μέτρο των δνάμεων κρούσης είναι πολύ μεγαλύτερο από τα βάρη και την δύναμη το ελατηρίο και η διάρκεια της κρούσης σχεδόν μηδενική. Έτσι και ατό το σύστημα θεωρείται «προσεγγιστικά» μονωμένο και δεχόμαστε ότι ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής κατά την διάρκεια της κρούσης. F F ελ F Βασίλης Τσούνης Φσικός www.btsounis.gr mail@btsounis.gr
Γ. Κρούσεις σε μη μονωμένα σστήματα. Στο σχήμα μια σφαίρα κινείται πάνω σε λείο δάπεδο και σγκρούεται με ορμή με άλλη σφαίρα πο είναι ακίνητη και στηρίζεται σε κατακόρφο ακλόνητο τοίχο. Εδώ πέρα από τις εξωτερικές δνάμεις Ν, και Ν, πο ασκούνται στο ο και ο σώμα και αναιρούνται πάρχει και η δύναμη στήριξης από τον τοίχο πο δεν έχει καθορισμένη τιμή αλλά επειδή ο τοίχος είναι ακλόνητος η δύναμη ατή μπορεί να πάρει πολύ μεγάλες τιμές, τιμές το επιπέδο το μέτρο των δνάμεων κρούσης. Εδώ ο παράγοντας t σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να θεωρηθεί πολύ μικρότερος από τον F t και να αγνοηθεί. Έτσι όπο στην κρούση στον άξονα κρούσης πάρχον δνάμεις στήριξης από ακλόνητες επιφάνειες το σύστημα δεν είναι μονωμένο, αλλά και δεν θεωρείται «προσεγγιστικά» μονωμένο και στις περιπτώσεις ατές δεν ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής κατά την διάρκεια της κρούσης. F Ν F Δ. Διατήρηση ορμής κατά την κρούση σε ένα μόνο άξονα. Υπάρχον περιπτώσεις πο οι δνάμεις στήριξης από ακλόνητες επιφάνειες εμποδίζον την κίνηση σε ένα μόνο άξονα αλλά επιτρέπον την ελεύθερη κίνηση σε άλλον άξονα κάθετο στον προηγούμενο. Έτσι έχομε διατήρηση ορμής μόνο σε έναν άξονα τον άξονα της ελεύθερης μετακίνησης πο είναι παράλληλος με το δάπεδο στήριξης. m m N Κ 3 ο παράδειγμα διατήρησης ορμής σε ένα m Κ άξονα: Στο σχήμα ένα σώμα μάζας m εκτελεί ταλάντωση πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο δεμένο σε ένα οριζόντιο ελατήριο. Ένα F βλήμα μάζας m σγκρούεται πλαστικά με το σώμα με ταχύτητα πο σχηματίζει φ με τον ορίζοντα. Το σύστημα ατό μετά την κρούση είναι ελεύθερο για μετακίνηση μόνο στον άξονα. Στον άξονα ατό της ελεύθερης μετακίνησης, αν και πάρχει η εξωτερική δύναμη το ελατηρίο, θεωρούμε το σύστημα προσεγγιστικά μονωμένο και επομένως διατηρήσιμη την ορμή το. Στον άξονα ατό επειδή δεν επιτρέπεται η ελεύθερη μετακίνηση και η δύναμη στήριξης μπορεί να πάρει μεγάλες τιμές το σύστημα δεν είναι μονωμένο και προφανώς δεν έχομε διατήρηση της ορμής. Άρα: ολ, =σταθερή m - m = m ή mσνφ - m = m και ολ, σταθερή... ΣF Δt = Δ F N - m g - m g Δt = 0 - -m Βασίλης Τσούνης Φσικός www.btsounis.gr mail@btsounis.gr
N - m g - m g Δt = 0 + m ημφ... όπο Δt η διάρκεια της κρούσης. 4 ο παράδειγμα διατήρησης ορμής σε ένα άξονα: Στο σχήμα ένα σώμα μάζας m εκτελεί ταλάντωση πάνω στο λείο κεκλιμένο επίπεδο δεμένο στο κάτω άκρο ενός ελατηρίο. Ένα βλήμα μάζας m κινείται οριζόντια και σγκρούεται με ταχύτητα πλαστικά με το σώμα. Το σύστημα ατό μετά την κρούση είναι ελεύθερο για μετακίνηση μόνο στον άξονα. Στον άξονα ατό της ελεύθερης μετακίνησης, αν και πάρχει η εξωτερική δύναμη το ελατηρίο αλλά και η σνιστώσα των βαρών, θεωρούμε ότι το σύστημα είναι προσεγγιστικά μονωμένο και επομένως στον άξονα ατόν έχομε διατήρηση της ορμής το. Στον άξονα ατό επειδή δεν επιτρέπεται η ελεύθερη μετακίνηση και η δύναμη στήριξης μπορεί να πάρει μεγάλες τιμές το σύστημα δεν είναι μονωμένο και προφανώς δεν έχομε διατήρηση της ορμής. Άρα: ολ, =σταθερή m - m = mολ m σνφ - m = m + m 3ο παράδειγμα διατήρησης ορμής σε ένα άξονα: Ένα άλλο παρόμοιο παράδειγμα διατήρησης ορμής σε ένα άξονα είναι ατό το διπλανού σχήματος... και εδώ έχομε διατήρηση ορμής σε ένα μόνο άξονα, ατόν πο είναι παράλληλος με το κεκλιμένο επίπεδο. Βέβαια η διατήρηση της ορμής έστω και στον άξονα ατόν τον είναι προσεγγιστική... το σύστημα δεν είναι αστηρά μονωμένο. ολ, =σταθερή m - m = mολ m ημφ - m = m + m m m m ολ m m m Βασίλης Τσούνης Φσικός www.btsounis.gr mail@btsounis.gr
4ο παράδειγμα διατήρησης ορμής σε ένα άξονα: Άλλο ένα παρόμοιο παράδειγμα διατήρησης ορμής σε έναν μόνο άξονα m είναι ατό της πλαστικής κρούσης το m διπλανού σχήματος. Διατήρηση ορμής έχομε μόνο σε άξονα παράλληλο με το δάπεδο στήριξης, στον άξονα πο το σύστημα μετά την κρούση είναι ελεύθερο για μετακίνηση.... και εδώ η διατήρηση της ορμής στον άξονα ατόν είναι προσεγγιστική... το σύστημα δεν είναι m αστηρά μονωμένο αφού πάρχει η εξωτερική δύναμη το ελατηρίο η οποία όμως μπορεί να αγνοηθεί σε σχέση με την εσωτερική δύναμη κρούσης. ολ, =σταθερή m + 0 = mολ... E. Γενικά σμπεράσματα για την διατήρηση ορμής κατά την κρούση.. Γενικά στην κρούση ένα σύστημα θεωρείται μονωμένο έστω και προσεγγιστικά μόνο αν μετά την κρούση τα σώματα είναι ελεύθερα για μετακίνηση και δεν στηρίζονται σε ακλόνητες επιφάνειες.. Αν κάποιο από τα σγκροόμενα σώματα στηρίζεται σε ακλόνητη επιφάνεια και το σύστημα μετά την κρούση δεν μπορεί να μετακινηθεί, το σύστημα δεν είναι μονωμένο και η ορμή δεν διατηρείται. 3. Αν κάποιο από τα σγκροόμενα σώματα στηρίζεται σε ακλόνητη επιφάνεια και η κρούση δεν είναι μετωπική τότε το σύστημα μπορεί να μετακινηθεί σε διεύθνση παράλληλη με το δάπεδο στήριξης. Σε ατή την περίπτωση έχομε διατήρηση της ορμής - έστω και προσεγγιστικά- σε άξονα παράλληλο με το δάπεδο στήριξης. 4. Η διατήρηση της ορμής εφαρμόζεται μόνο κατά την διάρκεια Δt της κρούσης, εξισώνοντας τις ορμές αμέσως πριν και αμέσως μετά την κρούση... και τούτο διότι το σύστημα μπορεί να είναι «προσεγγιστικά» μονωμένο οπότε πρέπει να δρον στη διάρκεια ατή και οι εσωτερικές δνάμεις κρούσης ώστε να κριαρχούν των όποιων μικρών σχετικά με ατές εξωτερικών δνάμεων πο ασκούνται στο σύστημα....σνεχίζεται... 5 Βασίλης Τσούνης Φσικός www.btsounis.gr mail@btsounis.gr