Θεώρηµα Sylow. Κεφάλαιο ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήµατος. (x, y) R x = ayb

Κεφάλαιο 7 Θεώρηµα Sylow Σύνοψη. Αποδεικνύεται το Θεώρηµα Sylow και αναπτύσσονται δύο τεχνικές που προκύπτουν από την εφαρµογή του. Γίνεται η ταξινόµηση των οµάδων µε τάξη το πολύ 15. Προαπαιτούµενη γνώση. Η εξίσωση των κλάσεων συζυγίας µιας πεπερασµένης οµάδας, η οµάδα πηλίκο, το Θεώρηµα Lagrange, ο κανονικοποιητής υποοµάδας σε οµάδα, η δράση οµάδας σε σύνολο, καθώς και η ταξινόµηση των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων. 7.1 ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήµατος Αν G είναι µία πεπερασµένη οµάδα, τότε, από το Θεώρηµα Lagrange, κάθε υ- ποοµάδα της G έχει τάξη που διαιρεί την τάξη της G. Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά (δες, παραδείγµατος χάρη, Άσκηση 8, Παράγραφος 7.4). ηλαδή, αν m διαιρεί την τάξη n = G δεν υπάρχει πάντα υποοµάδα της G µε τάξη m. Αλλά, αν ο διαιρέτης m είναι δύναµη ενός πρώτου αριθµού, τότε πάντοτε υπάρχουν υποοµάδες τάξης m. Το 1872 ο Νορβηγός µαθηµατικός Sylow ανέπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτοντας µερικά αξιόλογα ϑεωρήµατα για κάποιες συγκεκριµένες υποοµάδες τυχαίας πεπερασµένης οµάδας. Εστω G µία οµάδα και A, B υποοµάδες της. Ορίζουµε µία σχέση R πάνω στο G µε τη ϐοήθεια των A, B ως εξής : (x, y) R x = ayb για κάποιο a A και b B. Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέση ισοδυναµίας πάνω στο G. Οι κλάσεις ισοδυναµίας γράφονται AyB = {ayb : a A, b B}, όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης. Οι κλάσεις AyB ονοµάζονται διπλά σύµπλοκα. Από εδώ και στο εξής, στο παρόν κεφάλαιο, όλες οι οµάδες ϑα ϑεωρούνται πεπερασµένες. Εστω G µία οµάδα και A, B υποοµάδες της G. Θεωρούµε την απεικόνιση χ : AxB x 1 AxB µε χ(axb) = x 1 axb για όλα τα a A και b B. Είναι απλό να δειχθεί ότι η χ είναι 1 1 και επί. Ετσι, AxB = 147

148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW x 1 AxB. Παρατηρώντας ότι το x 1 AxB είναι γινόµενο των υποοµάδων x 1 Ax και B, έχουµε ότι (x 1 Ax)B = x 1 Ax B (x 1 Ax) B = A B (x 1 Ax) B. Εστω Ax 1 B,..., Ax κ B οι διαφορετικές κλάσεις ισοδυναµίας της R πάνω στο G. Τότε, κ κ A B G = Ax B = (x 1 Ax ) B και έτσι, =1 =1 =1 κ 1 (x 1 Ax ) B = G A B. Θεώρηµα 7.1 ( Sylow) Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα. 1. Εστω G = p m r, p πρώτος και µκδ(p, r) = 1. Τότε, η οµάδα G έχει υποοµάδες τάξης p για κάθε {0,..., m}. (Μία υποοµάδα τάξης p m ονοµάζεται p-υποοµάδα Sylow.) 2. ύο υποοµάδες Sylow είναι συζυγείς. Επιπλέον, υπάρχει ακριβώς µία p- υποοµάδα Sylow της G αν και µόνο αν αυτή είναι κανονική. 3. Ο πληθικός αριθµός των p-υποοµάδων Sylow της G είναι της µορφής 1 + kp και είναι διαιρέτης της τάξης της G. Απόδειξη. 1. Θα χρησιµοποιήσουµε επαγωγή στην τάξη n = G. Θυµίζουµε ότι n = G = ζ + µ 1 +... + µ k, όπου ζ = Z(G), µ = C, = 1,..., k, και C, = 1,..., k, είναι οι κλάσεις της G µε C > 1. Ο αριθµός µ είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενός στοιχείου της C και έτσι, ο µ διαιρεί τον n, = 1,..., k. Αν n = 1, το αποτελέσµα είναι προφανές. Υποθέτουµε ότι το αποτέλεσµα ισχύει για όλες τις οµάδες τάξης < n και ότι G = n. Μπορούµε να υ- ποθέσουµε ότι m > 0. Αν ο p διαιρεί τον ζ, τότε, επειδή η Z(G) είναι πεπερασµένη αβελιανή, έχουµε ότι η Z(G) έχει µία υποοµάδα H τάξης p (ϐλ. Πόρισµα 7.1). Επειδή H Z(G), έχουµε ότι H G. Η οµάδα πηλίκο G/H έχει τάξη p m 1 r και λόγω της επαγωγικής µας υπόθεσης, έχει υποοµάδα τάξης p µε {0,..., m 1}. Εστω N/H < G/H µε N/H = p, µε {0, 1,..., m 1}, και έστω π : G G/H ο ϕυσικός επιµορφισµός από την G στην G/H. Τότε, π 1 (N/H) = N. Από το Θεώρηµα Lagrange, N = p H = p +1 και εποµένως, αποδείξαµε τον ισχυρισµό µας στην περίπτωση που ο p διαιρεί τον ζ. Υποθέτουµε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου. Επειδή ο p m διαι- ϱεί τον n και µκδ(p m, ζ) = 1, έχουµε ότι για κάποιο µ πρέπει να ισχύει

7.1. ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 149 µκδ(p m, µ ) = 1. Αλλά, µ = G : N, όπου N η κανονικοποιούσα υποο- µάδα ενός στοιχείου της κλάσης συζυγίας C. Επειδή µκδ(p m, µ ) = 1 και µ > 1, έχουµε ότι ο p m διαιρεί τον N και N = n µ < n. Άρα, υπάρχουν υποοµάδες της N τάξης p, = 0,..., m. 2. Εστω P 1, P 2 δύο p-υποοµάδες Sylow. Θέλουµε να δείξουµε ότι P 1 και P 2 είναι συζυγείς. Γράφουµε την G ως ξένη ένωση διπλών συµπλόκων ως προς P 1 και P 2, G = P 1 x 1 P 2 P 1 x 2 P 2... P 1 x κ P 2 µε x 1 = 1 G. Επειδή P 1 = P 2 = p m, έχουµε ότι G = p m r = pm p m d 1 +... + pm p m d κ, όπου d = (x 1 P 1 x ) P 2, = 1,..., κ. Ετσι, r = pm d 1 +... + pm d κ. Επειδή d p m, = 1,..., κ, κάθε pm d είναι ακέραιος. Επειδή µκδ(p m, r) = 1, δεν είναι δυνατόν να ισχύει d < p m για όλα τα διαφορετικά, το p διαιρεί το r, που είναι άτοπο. Άρα, d = p m για κάποιο. Εποµένως, (x 1 P 1 x ) P 2 = P 2 και έτσι, P 2 x 1 P 1 x. Επειδή P 1 = x 1 P 1 x = P 2, έχουµε ότι x 1 P 1 x = P 2, δηλαδή, οι P 1 και P 2 είναι συζυγείς. Ετσι, η P είναι η µόνη p-υποοµάδα Sylow αν και µόνο αν είναι αυτο-συζυγής, δηλαδή, g 1 P g = P για όλα τα g G. Εποµένως, η P είναι η µόνη p-υποοµάδα Sylow αν και µόνο αν η P είναι κανονική. 3. Αν υπάρχει µόνο µία p-υποοµάδα Sylow, τότε το αποτέλεσµα ισχύει για k = 0. Υποθέτουµε ότι έχουµε τουλάχιστον δύο. Συµβολίζουµε µε P 1,..., P s όλες τις p-υποοµάδες Sylow της G. Από το Θεώρηµα 7.1(2), το σύνολο {P 1,..., P s } είναι ίσο µε το σύνολο των συζυγών του P 1. Συνεπώς, s = G : N G (P 1 ) και άρα, το s είναι διαιρέτης του G (από το Θεώρηµα Lagrange). Θα δείξουµε ότι το s έχει την µορφή 1 + λp, µε λ 1. Εστω P {P 1,..., P s } και N G (P ) η κανονικοποιούσα της P στην G. Ισχυρι- Ϲόµαστε ότι η P είναι η µόνη p-υποοµάδα του Sylow της N G (P ). Εχουµε ότι P N G (P ) και εποµένως, η P συµπίπτει µε όλες τις συζυγείς της στην N G (P ). Ετσι, από το Θεώρηµα 7.1(2), η P είναι η µόνη p-υποοµάδα του Sylow στην N G (P ). Εστω, µε 1. Παρατηρούµε ότι P 1 = a 1 P a, µε a P 1, συνεπάγεται P 1 = P και έτσι, οι υποοµάδες της µορφής a 1 P a, µε a P 1, ϐρίσκονται µεταξύ των P 2,..., P s. Επειδή N P1 (P ) = P 1 N G (P ), από την Πρόταση 17, το πλήθος αυτών είναι P 1 : P 1 N G (P ). Αλλά, επειδή η P είναι η µόνη p-υποοµάδα Sylow της N G (P ), έχουµε ότι η P 1 N G (P ) είναι γνήσια υποοµάδα της P 1 και εποµένως, P 1 : P 1 N G (P ) = p α για κάποιο α > 0. Στο σύνολο {P 2,..., P s }, ορίζουµε µία σχέση S ως εξής : P P j αν και µόνο αν P = a 1 P j a για κάποιο a P 1. Η S είναι σχέση ισοδυναµίας και άρα, το {P 2,..., P s } διαµερίζεται σε t το πλήθος κλάσεις ισοδυναµίας. Κάθε κλάση περιέχει p β j p-υποοµάδες Sylow µε β j > 0 για j = 1,..., t. Εποµένως, το s είναι της µορφής s = 1 + p β 1 +... + p βt, β > 0, = 1,..., t. Συνεπώς, s = 1 + kp. Συνέπεια του Θεωρήµατος 7.1(1) είναι το παρακάτω Θεώρηµα Cauchy.

150 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW Πόρισµα 7.1 (Θεώρηµα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθµός p διαιρεί τη τάξη της οµάδας G, τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p. Θα αναπτύξουµε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν από την εφαρµογή του Θεωρήµατος Sylow. Πόρισµα 7.2 (Κυκλική) Εστω G µία οµάδα τάξης pq, όπου p και q είναι πρώτοι αριθµοί µε p < q. Τότε, η G έχει ακριβώς µία υποοµάδα τάξης q και, µάλιστα, είναι κανονική στην G. Αν το p δεν διαιρεί τον q 1, τότε η G είναι κυκλική. Απόδειξη. Υπάρχουν 1 + k 1 p, p-υποοµάδες Sylow, όπου (1 + k 1 p) pq και 1 + k 2 q, q-υποοµάδες Sylow, όπου (1 + k 2 q) pq. Επειδή q δεν διαιρεί τον 1 + k 2 q, έχουµε ότι (1 + k 2 q) p. Αλλά, q > p. Ετσι, 1 + k 2 q = 1. Εποµένως, υπάρχει ακριβώς µία q-υποοµάδα Sylow H. Από το Θεώρηµα 7.1(2), η H είναι κανονική. Υποθέτουµε ότι το p δεν διαιρεί τον q 1. ηλαδή, q 1 + k 1 p. Επειδή (1 + k 1 p) pq και p (1 + k 1 p), έχουµε ότι (1 + k 1 p) q. Ετσι, 1 + k 1 p = q ή 1 + k 1 p = 1 και άρα, 1+k 1 p = 1. Συνεπώς, υπάρχει ακριβώς µία p-υποοµάδα Sylow K, η οποία πρέπει να είναι κανονική. Ισχυριζόµαστε ότι H K = {1 G }. Πράγµατι, από το Θεώρηµα Lagrange, H K διαιρεί και το p και το q. Επειδή µκδ(p, q) = 1, έχουµε ότι H K = {1 G }. Επειδή p, q πρώτοι, H = h και K = k. Από την άλλη, εφόσον και οι δύο υποοµάδες H, K είναι κανονικές στην G και H K = {1 G }), έχουµε ότι (h, k) = h 1 k 1 hk = 1 G. Με άλλα λόγια, hk = kh. Θα δείξουµε ότι η τάξη του hk είναι pq. Γράφουµε m την τάξη του hk. Επειδή (hk) pq = 1, το m διαιρεί τον pq. Οι µόνοι ϕυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1, p, q, pq και εποµένως, m = pq. Άρα, G = hk. Πόρισµα 7.3 (Απαρίθµηση) Εστω G µία οµάδα τάξης 30. Τότε, η G έχει τουλάχιστον µία γνήσια κανονική υποοµάδα. Απόδειξη. Γράφουµε 30 = 2 3 5. Από το Θεώρηµα 7.1(3) έπεται ότι η G έχει 1 + 2k 1, 2-υποοµάδες Sylow τάξης 2, 1 + 3k 2, 3-υποοµάδες Sylow τάξης 3 και 1 + 5k 3, 5-υποοµάδες Sylow τάξης 5, όπου k 1, k 2 και k 3 είναι µη αρνητικοί ακέραιοι. Επιπλέον, 1+2k 1, 1+3k 2 και 1+5k 3 διαιρούν το 30. ίνοντας τιµές στα k 1, k 2 και k 3, συµπεραίνουµε ότι οι δυνατές υποοµάδες Sylow της G τάξης 2, 3 και 5 αντίστοιχα, είναι 1, 3, 5 ή 15, 2-υποοµάδες Sylow τάξης 2, 1 ή 10, 3-υποοµάδες Sylow τάξης 3 και 1 ή 6, 5-υποοµάδες Sylow τάξης 5. Υποθέτουµε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3, 2-υποοµάδες Sylow τάξης 2, 10, 3-υποοµάδες Sylow τάξης 3 και 6, 5-υποοµάδες Sylow τάξης 5. Εστω H και K δύο από τις διαφορετικές υποοµάδες, όπου H = p, K = q, p, q {2, 3, 5}. Θεωρούµε την H K. Χρησιµοποιώντας ίδια επιχειρήµατα όπως στην απόδειξη του Πορίσµατος 7.2, αποδεικνύουµε ότι H K = {1 G }. Συνεπώς, µόνο το ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοµάδων. Ο αριθµός των στοιχείων που είναι διαφορετικά από το ουδέτερο και περιέχονται στις τρεις υποοµάδες τάξης 2 είναι 3, στις 10 υποοµάδες τάξης 3 είναι 20 και στις 6 υποοµάδες τάξης 5 είναι 24. Ετσι, ο ολικός αριθµός είναι 48, που είναι άτοπο. Άρα, υπάρχει ακριβώς µία υποοµάδα τάξης 2, 3 ή 5. Από το Θεώρηµα 7.1(2), έχουµε ότι η υποοµάδα αυτή είναι κανονική. Ετσι, σε µία τυχαία οµάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον µία κανονική υποοµάδα.

7.2. ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW ΚΑΙ ΥΠΟΟΜΑ ΕΣ 151 7.2 Θεώρηµα Sylow και υποοµάδες Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα και H υποοµάδα της G. Στην παρούσα πα- ϱάγραφο ϑα διατυπώσουµε και ϑα αποδείξουµε µία σειρά προτάσεων σχετικά µε τις p-υποοµάδες Sylow της H και τις p-υποοµάδες Sylow της G. Πρόταση 7.1 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα και H µία υποοµάδα της G. 1. Κάθε p-υποοµάδα Sylow της H περιέχεται σε p-υποοµάδα Sylow της G. Επιπλέον, δεν υπάρχουν δύο διαφορετικές p-υποοµάδες Sylow της H που να περιέχονται στην ίδια p-υποοµάδα Sylow της G. 2. Υποθέτουµε ότι η H είναι κανονική στην G και ότι P είναι µία p-υποοµάδα Sylow της G. Τότε, H P είναι µία p-υποοµάδα Sylow της H και η HP/H είναι µία p-υποοµάδα Sylow της G/H. Απόδειξη. 1. Μία p-υποοµάδα Sylow της H είναι µία p-υποοµάδα της G και έτσι, περιέχεται σε µία p-υποοµάδα Sylow της G, σύµφωνα µε το Θεώρηµα 7.1(1). Εστω P 1, P 2 δύο p-υποοµάδες Sylow της H και έστω P, p-υποοµάδα Sylow της G, τέτοια, ώστε P 1, P 2 P. Τότε, H P είναι µία p-υποοµάδα της H και επειδή P 1 H P, P 2 H P, συµπεραίνουµε ότι P 1 = H P = P 2. 2. Υποθέτουµε ότι η H είναι κανονική στην G και ότι η P είναι µία p-υποοµάδα Sylow της G. Τότε, η H P είναι p-υποοµάδα της H και, από το Θεώρηµα 7.1(1), περιέχεται σε µία p-υποοµάδα Sylow P 1 της H. Από την Πρόταση 7.1(1), υπάρχει µία p-υποοµάδα Sylow P της G έτσι, ώστε P 1 P. Από το Θεώρηµα 7.1(2), P = g 1 P g για κάποιο g G. Αφού H G, P 1 = P H = g 1 P g H = g 1 (P H)g. Άρα, P H = P 1 και, επειδή P H P 1, έχουµε ότι P H = P 1. Εστω G = p n κ µε µκδ(p n, κ) = 1. Τότε, P = p n. Από το Θεώρηµα Lagrange, H = p m t µε µκδ(p m, t) = 1. Τότε, H P = p m. Από το Θεώρηµα Lagrange, G : H = G/H = p n m s, όπου st = κ. Με τη ϐοήθεια του 2ου Θεωρήµατος ισοµορφισµών, έχουµε ότι HP/H = P / H P = p n m. Συνεπώς, η οµάδα πηλίκο HP/H είναι µία p-υποοµάδα Sylow της G/H. Να τονίσουµε εδώ, ότι η υπόθεση στην Πρόταση 7.1 ότι η H είναι κανονική υποοµάδα είναι ουσιαστική. Παραδείγµατος χάρη, έστω G = S 3 και H = (12). Η υποοµάδα P = (13) της S 3 είναι 2-υποοµάδα Sylow της S 3, αλλά H = 2 και H P = {1 G }. Πρόταση 7.2 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα. 1. Μία κανονική p-υποοµάδα της G περιέχεται σε κάθε p-υποοµάδα Sylow της G. Αν για κάθε πρώτο p διαιρέτη της G, η G έχει µία p-υποοµάδα Sylow, τότε η G είναι το ευθύ γινόµενο των p-υποοµάδων Sylow της.

152 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW 2. Αν P είναι µία p-υποοµάδα Sylow της G και P G, τότε η P είναι πλήρως αναλλοίωτη. 3. Εστω H µία κανονική υποοµάδα της G και έστω ο µκδ( G : H, p) = 1, όπου p πρώτος. Τότε, η H περιέχει κάθε p-υποοµάδα Sylow της G. Απόδειξη. 1. Εστω H µία κανονική p-υποοµάδα της G. Τότε, H P, όπου P µία p- υποοµάδα της G. Αλλά, κάθε p-υποοµάδα της G έχει τη µορφή g 1 P g για κάποιο g G. Επειδή η H είναι κανονική, έχουµε ότι H = g 1 Hg g 1 P g. Γράφουµε G = n = p t 1 1... p tr r. Από την υπόθεσή µας, κάθε κανονική p-υποοµάδα Sylow της G είναι µοναδική (λόγω του Θεωρήµατος 7.1(2) ) και έτσι, κάθε στοιχείο µε τάξη µία δύναµη του p ανήκει σε αυτή τη p-υποοµάδα Sylow της G. Εστω H 1,..., H r οι διαφορετικές κανονικές p-υποοµάδες Sylow της G. Εποµένως, H = p t, = 1,..., r. Από το Θεώρηµα Lagrange, προκύπτει ότι H H j = {1 G } για j. Εστω g H και h H j, j. Τότε, (g, h) = g 1 h 1 gh H H j = {1 G }, λόγω της κανονικότητας των H, H j. Άρα, gh = hg για όλα τα g H και h H j, j. Συνεπώς, στοιχεία από διαφορετικές υποοµάδες Sylow της G µετατίθενται. Εστω x H H 1... H 1 H +1... H r. Τότε, x H και η ord(x) = p s, 0 s t. Επίσης, Ετσι, x H 1... H 1 H +1... H r. x = g 1 g 2... g 1 g +1... g r µε g j H j, j. Γράφουµε λ = n p t και έτσι, ο µκδ(λ, p ) = 1. Τότε, λόγω του ότι τα στοιχεία από διαφορετικές υποοµάδες Sylow της G µετατίθενται, έχουµε ότι x λ = g1 λ g2 λ... g 1g λ +1 λ... gr λ. Αφού η ord(g j ) διαιρεί τη τάξη H j = p t j j, έχουµε ότι gλ j = 1 G και έτσι, x λ = 1 G. Συνεπώς, η ord(x) διαιρεί τον λ. Επειδή ord(x) = p t και ο µκδ(λ, p ) = 1, έχουµε ότι x = 1 G. Μπορούµε να σχηµατίσουµε το ευθύ γινόµενο H 1 H 2... H r των H 1, H 2,..., H r. Αλλά, H 1 H 2... H r = H 1... H r = n και έτσι, G = H 1 H 2... H r. 2. Εστω P µία p-υποοµάδα Sylow της G και P G. Επειδή P G, η P είναι µοναδική p-υποοµάδα Sylow της G και περιέχει κάθε στοιχείο της G µε τάξη µία δύναµη του p. Αν φ είναι ενδοµορφισµός της G, τότε η φ(p ) αποτελείται από στοιχεία µε τάξη µία δύναµη του p και εποµένως, φ(p ) P, δηλαδή, η P είναι πλήρως αναλλοίωτη.

7.2. ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW ΚΑΙ ΥΠΟΟΜΑ ΕΣ 153 3. Εστω H µία κανονική υποοµάδα της G και έστω ο µκδ( G : H, p) = 1, όπου p πρώτος. Επειδή ο µκδ( G : H, p) = 1, έχουµε ότι, αν G = p m s, µε µκδ(s, p) = 1, τότε ο p m διαιρεί τον H. Συνεπώς, κάθε p-υποοµάδα Sylow της H είναι p-υποοµάδα Sylow της G. Εστω P 1 µία p-υποοµάδα Sylow της H και P µία p-υποοµάδα Sylow της G. Επειδή η P 1 είναι και p-υποοµάδα Sylow της G, υπάρχει g G έτσι, ώστε P = g 1 P 1 g (Θεώρηµα 7.1(2) ). Επειδή P 1 H, έχουµε ότι P = g 1 P 1 g g 1 Hg = H. Στην απόδειξη της Πρότασης 7.2(2) χρησιµοποιήθηκε ότι η P είναι η µοναδική p-υποοµάδα Sylow της G και άρα, περιέχει κάθε στοιχείο της G µε τάξη µία δύναµη του p. Το γεγονός αυτό µάς οδηγεί στο παρακάτω πόρισµα. Πόρισµα 7.4 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα. Τότε, η τάξη της G είναι µία δύναµη του p, όπου p πρώτος, αν και µόνο αν κάθε στοιχείο της G έχει τάξη µία δύναµη του p. Απόδειξη. Εστω G = p r για κάποιο µη αρνητικό ακέραιο r. Αν r = 0, τότε ο ισχυρισµός µας είναι τετριµµένος. Υποθέτουµε ότι r 1. Τότε, από το Θεώρηµα Lagrange, η ord(g) διαιρεί τον p r για κάθε g G. Αντίστροφα, έστω ότι κάθε στοιχείο της G έχει τάξη µία δύναµη του p και έστω ότι ο q διαιρεί τον G, όπου q είναι πρώτος αριθµός και q p. Τότε, από το Θεώρηµα 7.1(1) (ή από το Πόρισµα 7.1), υπάρχει x G µε ord(x) = q, που είναι άτοπο. Θυµίζουµε ότι αν G είναι οµάδα και H G, ο κανονικοποιητής της H στην G ορίζεται να είναι N G (H) = {g G : g 1 hg H για κάθε h H}. Πρόταση 7.3 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα. 1. Εστω P µία p-υποοµάδα Sylow της G και H G τέτοια, ώστε N G (P ) H G. Τότε, N G (H) = H. 2. Εστω K µία κανονική υποοµάδα της G. Υποθέτουµε ότι P είναι µία p- υποοµάδα Sylow της K. Τότε, για κάθε g G, g 1 P g είναι µία p-υποοµάδα Sylow της K. Επιπλέον, G = N G (P )K. 3. Υποθέτουµε ότι η G έχει την ιδιότητα : όλες οι υποοµάδες Sylow της G είναι κυκλικές. Τότε, κάθε υποοµάδα της G έχει αυτή την ιδιότητα. Επιπλέον, δύο τυχαίες p-υποοµάδες της G είναι συζυγείς. Εστω N, H G µε N κανονική υποοµάδα της G. Τότε, N H = µκδ( N, H ) και HN = εκπ( N, H ). Επιπλέον, κάθε κανονική υποοµάδα της G είναι χαρακτηριστική. Απόδειξη. 1. Αρκεί να δείξουµε ότι N G (H) H. Εστω x N G (H). Επειδή P N G (P ), έχουµε ότι x 1 P x x 1 N G (P )x x 1 Hx = H. Ετσι, P και x 1 P x είναι p-υποοµάδες Sylow της H, συζυγείς στην H. Άρα, υπάρχει y H, έτσι, ώστε y 1 P y = x 1 P x, δηλαδή, xy 1 P = P xy 1. Συνεπώς, xy 1 N G (P ) H. Άρα, x H και εποµένως, H = N G (H).

154 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW 2. Εστω K µία κανονική υποοµάδα της G και έστω P µία p-υποοµάδα Sylow της K. Για να αποδείξουµε ότι G = N G (P )K, αρκεί να δείξουµε ότι G N G (P )K. Εστω g G. Επειδή η K G, έχουµε ότι g 1 P g K. Εποµένως, g 1 P g είναι µία p-υποοµάδα Sylow της K. Από το Θεώρηµα 7.1(2) (για την K), η g 1 P g είναι συζυγής µε την P στην K. Άρα, υπάρχει h K τέτοιο, ώστε g 1 P g = h 1 P h. Από εδώ, έχουµε ότι gh 1 P = P gh 1 και άρα, gh 1 N G (P ). Συνεπώς, g N G (P )K και έτσι, G N G (P )K. 3. Εστω S G και υποθέτουµε ότι P είναι µία p-υποοµάδα Sylow της S. Ισχυριζόµαστε ότι η P είναι κυκλική. Επειδή η P είναι p-υποοµάδα της G, P P για κάποια p-υποοµάδα Sylow P της G. Αφού η P είναι κυκλική, έχουµε το Ϲητούµενο αποτέλεσµα. Υποθέτουµε ότι P 1 και P 2 είναι p-υποοµάδες της G µε P 1 = P 2. Εχουµε ότι P 1 P 1 και P 2 P 2, όπου P 1, P 2 είναι p-υποοµάδες Sylow της G. Από το Θεώρηµα 7.1(2), P 1 και P 2 είναι συζυγείς και έτσι, υπάρχει g G τέτοιο, ώστε g 1 P 1 g = P 2. Αλλά, g 1 P 1 g P 2 και g 1 P 1 g = P 1 = P 2. Συνεπώς, g 1 P 1 g και P 2 είναι υποοµάδες της ίδιας τάξης µε την κυκλική οµάδα P 2. Εποµένως, g 1 P 1 g = P 2. Εστω N, H G µε N κανονική υποοµάδα της G. Από το Θεώρηµα Lagrange, N H διαιρεί N και H και έτσι, N H διαιρεί τον µκδ( N, H ). Εστω p ένας πρώτος διαιρέτης του µκδ( N, H ). Υποθέτου- µε ότι p n είναι η µεγαλύτερη δύναµη του p που διαιρεί τον µκδ( N, H ). Τότε, p m διαιρεί τον N και τον H. Άρα, υπάρχουν P 1 N, P 2 H και P 1 = p m = P 2. Αλλά, P 1 και P 2 είναι συζυγείς και αφού N G, έχουµε ότι P 2 N. Από εδώ, P 2 H N και H N διαιρείται από το p n. Συνεπώς, N H = µκδ( N, H ). Επειδή HN = H N H N (από το 2ο Θεώρηµα ισοµορφισµών), έχουµε ότι HN = εκπ( N, H ). Τέλος, υποθέτουµε ότι N G και ϑ Aut(G). Τότε, ϑ(n) = N και ϑ(n) N = µκδ( ϑ(n), N ) = N. Συνεπώς, ϑ(n) = N. 7.3 Ταξινόµηση Μικρών Οµάδων Οταν λέµε «Μικρές Οµάδες» εννοούµε ότι οι τάξεις των οµάδων είναι το πολύ 15. Παρόλο, που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία, που έχουν αναπτυχθεί στα προηγούµενα κεφάλαια, µάς επιτρέπουν να κάνουµε ταξινόµηση των οµάδων µε τάξη το πολύ 15 εντούτοις, ϑα αναφερθούµε σε εκείνες τις µικρές οµάδες οι οποίες συσχετίζονται µε τις συµµετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων. Σχόλιο 7.1 Εστω G µία οµάδα τάξης το πολύ 5. Αν η G = 1, τότε η G = {1 G }. Αν η G = 2, 3, ή 5, τότε, από το Θεώρηµα Lagrange, η G είναι κυκλική οµάδα τάξης 2, 3, ή 5 αντίστοιχα. Εστω ότι η G = 4. Τότε, από το Πόρισµα 7.4, κάθε στοιχείο της G \ {1 G } έχει τάξη µία δύναµη του 2. Εποµένως, είτε η G είναι κυκλική τάξης 4 είτε κάθε στοιχείο της G \ {1 G } έχει τάξη 2. Στην τελευταία περίπτωση, η G είναι αβελιανή, ισόµορφη µε την τετραδική οµάδα Klen.

7.3. ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 155 7.3.1 Οµάδες τάξης 6 Εστω G µία οµάδα τάξης 6. Από το Θεώρηµα 7.1(3) έπεται ότι η G έχει 1 + 3κ 1, 3-υποοµάδες Sylow τάξης 3 µε (1 + 3κ 1 ) 6 και 1 + 2κ 2, 2-υποοµάδες Sylow τάξης 2 µε (1 + 2κ 2 ) 6. Εύκολα διαπιστώνουµε ότι κ 1 = 0 και έτσι, έχουµε ακριβώς µία 3-υποοµάδα Sylow H τάξης 3, που είναι κανονική. Η G έχει µία ή τρεις 2-υποοµάδες Sylow τάξης 2. Πρώτα, υποθέτουµε ότι η G έχει ακριβώς µία 2-υποοµάδα Sylow K τάξης 2. Άρα, η K είναι κανονική. Στην περίπτωση αυτή, εφαρµόζουµε την κυκλική µέθοδο για να δείξουµε ότι η G είναι κυκλική. Από την ταξινόµηση των πεπερασµένων παραγόµενων αβελιανών οµάδων, αυτή είναι η µοναδική (µέχρι ισοµορφίας) αβελιανή οµάδα. Υποθέτουµε ότι η G έχει τρεις 2-υποοµάδες Sylow. Συνεπώς, η G είναι µη αβελιανή οµάδα. Θυµίζουµε ότι η H είναι η µοναδική κανονική υποοµάδα της G µε τάξη 3. Τότε, H = a = {1 G, a, a 2 } µε ord(a) = 3. Εστω b G, αλλά b / H. Επειδή G/H = G / H = 2, έχουµε ότι G/H = Hb = {H, Hb}. Άρα, G = {1 G, a, a 2, ab, a 2 b, b}. Αυτό σηµαίνει ότι αν υπάρχει µη αβελιανή οµάδα G τάξης 6, τα στοιχεία της ϑα εκφράζονται µε την ϐοήθεια δύο συµβόλων a και b όπως παραπάνω. Το στοιχείο ba bh = Hb = {ab, a 2 b, b}. Εποµένως, είτε ba = b είτε ba = ab είτε ba = a 2 b. Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι, ba = a 2 b. Η τάξη του b είναι 2 ή 3. Αν η ord(b) = 3, τότε η οµάδα που παράγεται από το b έχει δείκτη 2 στην G και εποµένως, b είναι κανονική. Επειδή η H είναι η µοναδική κανονική υποοµάδα της G µε τάξη 3, εύκολα προκύπτει ότι η ord(b) = 2. Μετά την παραπάνω ανάλυση, η G = {1 G, a, a 2, ab, a 2 b, b}, µε ba = a 2 b, ord(a) = 3 και ord(b) = 2. Αλλά, υπάρχει τέτοια οµάδα; Μία τέτοια οµάδα είναι η S 3 µε a = (123) και b = (23), που είναι οι συµµετρίες του ισοπλεύρου τριγώνου. (Το a είναι στροφή κατά 2π 3 του τριγώνου µε άξονα περιστροφής το ϐαρύκεντρο και µε ϕορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού και b είναι η ανάκλαση του τριγώνου µε άξονα την µεσοκάθετο από µία κορυφή του τριγώνου.) 7.3.2 Οµάδες τάξης 8 Εστω G µία οµάδα τάξης 8 = 2 3. Θα δείξουµε ότι υπάρχουν πέντε µη ισόµορφες µεταξύ τους οµάδες τάξης 8. Πρώτα, ϑα ϐρούµε όλες τις αβελιανές οµάδες. Επειδή οι διαµερίσεις του 3 είναι (1, 1, 1), (2, 1) και (3), από το Θεώρηµα ταξινόµησης των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων έπεται ότι οι µη ισόµορφες αβελιανές οµάδες τάξης 8 είναι : C 2 C 2 C 2, C 4 C 2, C 8. Ετσι, µπορούµε να υποθέσουµε ότι η G είναι µη αβελιανή οµάδα και έστω x G µε µέγιστη τάξη m. Από το Θεώρηµα Lagrange, το m = 2, 4 ή 8. Οι περιπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο. Πράγµατι, αν m = 8, τότε η G = x, άτοπο.

156 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW Υποθέτουµε ότι m = 2. Από το Πόρισµα 7.4 έπεται ότι κάθε στοιχείο της G\{1 G } έχει τάξη 2 και έτσι, η G είναι αβελιανή, που είναι άτοπο. Συνεπώς, έχουµε την περίπτωση που η H = x έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G, η H είναι κανονική στην G. Εστω y G\H και άρα, y 2, y 1 xy H = {1 G, x, x 2, x 3 }. Επειδή G/H = Hy, έχουµε ότι G = {1 G, x, x 2, x 3, y, xy, x 2 y, x 3 y}. Αν, λοιπόν, υπάρχει µη αβελιανή οµάδα G µε τάξη 8 ϑα δηµιουργείται από δύο σύµβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία. Αλλά, yx yh = Hy, και επο- µένως, το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο µε ένα από τα y, xy, x 2 y, x 3 y. Θα εξετάσουµε µία-µία τις περιπτώσεις. 1. Εστω yx = y. Τότε, x = 1 G, που είναι άτοπο. 2. Εστω yx = xy ή ισοδύναµα x = y 1 xy. Τότε, η G είναι αβελιανή, που είναι άτοπο. 3. Εστω yx = x 2 y. Τότε, x = y 1 x 2 y, που είναι άτοπο, επειδή συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη. Άρα, yx = x 3 y ή ισοδύναµα, y 1 xy = x 1. Στη συνέχεια ϑεωρούµε το y 2. Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις : 1. Εστω y 2 = x. Τότε, η τάξη του y δεν µπορεί να είναι 2 ή 4, γιατί, διαφορετικά x = 1 G ή x 2 = 1 G, που είναι άτοπο. Από την άλλη πλευρά, η τάξη κάθε µη-τετριµµένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4. Συνεπώς, y 2 x. 2. Εστω y 2 = x 3. Με την ίδια σκέψη όπως προηγουµένως, η τάξη του y δεν µπορεί να είναι 2 ή 4, γιατί, διαφορετικά x 3 = 1 G ή x 2 = 1 G, που είναι άτοπο. Από την άλλη πλευρά, η τάξη κάθε µη-τετριµµένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4. Συνεπώς, y 2 x 3. Ετσι, έµειναν δύο περιπτώσεις. 3. Εστω y 2 = 1 G (Συµµετρίες τετραγώνου). Στην περίπτωση αυτή, έχουµε ότι G = {1 G, x, x 2, x 3, y, xy, x 2 y, x 3 y} µε σχέσεις µεταξύ των συµβόλων x και y : x 4 = 1 G, y 2 = 1 G και yx = x 3 y. Κάτω από αυτές τις συνθήκες, εύκολα µπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οµάδα. Μπορούµε να σχηµατίσουµε τον πίνακα πολλαπλασιασµού των στοιχείων της G. Αλλά, που µπορεί να εµφανιστεί µία τέτοια οµάδα; Η απάντηση είναι οι συµµετρίες του τετραγώνου. ( Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και E η ευθεία που είναι παράλληλη προς µία πλευρά του τετραγώνου. Το x είναι η στροφή του τετραγώνου µε άξονα περιστροφής την κάθετη στο επίπεδο στο 0 µε ϕορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού και γωνία π 2 και y είναι η στροφή του τετραγώνου κατά π µε άξονα περιστροφής την E.) 4. Εστω y 2 = x 2 (Κουαρτένια). Τότε, G = {1 G, x, x 2, x 3, y, xy, x 2 y, x 3 y} µε σχέσεις µεταξύ των συµβόλων x και y: x 4 = 1 G, y 2 = x 2 και yx = x 3 y.

7.3. ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 157 Με αυτές τις σχέσεις ϑα µπορούσαµε να σχηµατίσουµε τον πίνακα πολλαπλασιασµού των στοιχείων της G, όπως προηγουµένως, αλλά, ϑα κατασκευάσουµε συγκεκριµένη οµάδα G τάξης 8 της ανωτέρω µορφής. Εστω H το σύνολο των πινάκων της µορφής ( ) z w A =, w z όπου z, w C. Είναι εύκολο να επαληθεύσουµε ότι αν A, B H, τότε A + B, A, AB H και στην περίπτωση που A 0, έχουµε ότι A 1 H. Με άλλα λόγια, H είναι δακτύλιος µε διαίρεση πάνω από το R. Να σηµειώσουµε εδώ ότι αν z = a + b και w = c + d είναι µη µηδενικοί µιγαδικοί αριθµοί, τότε det(a) = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 0. Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η ( 1 0 0 1 ) ( 0, X = 0 ) ( 0 1, Y = 1 0 ), ( 0 0 Οι ανωτέρω πίνακες µαζί µε τους αντίθετους τους αποτελούν την οµάδα Q 4. Ε- ύκολα διαπιστώνουµε ότι X 4 = I 2, X 2 = Y 2 και Y 1 XY = X 1. ). 7.3.3 Οµάδες τάξης 10 Εστω G µία οµάδα τάξης 10. Αν η G είναι αβελιανή, τότε αυτή είναι κυκλική και, µάλιστα, είναι ισόµορφη µε την C 2 C 5. Ετσι, µπορούµε να υποθέσουµε ότι η G είναι µη αβελιανή. Με εφαρµογή του Θεωρήµατος 7.1(3), ϐρίσκουµε ότι η G έχει ακριβώς µία 5-υποοµάδα Sylow τάξης 5, έστω H, και άρα, η H είναι κανονική και 1 + 2κ, 2-υποοµάδες Sylow τάξης 2. Επιπλέον, (1 + 2κ) 10. Επειδή 1 + 2κ 1, διαφορετικά οδηγούµαστε σε άτοπο, συµπεραίνουµε ότι έχουµε 5 υποοµάδες τάξης 2. Εστω K µία από τις 5 υποοµάδες τάξης 2. Τότε, H = a = {1 G, a, a 2, a 3, a 4 } και K = b = {1 G, b}. Χρησιµοποιώντας όµοια επιχειρήµατα όπως στην κυκλική µέθοδο, έχουµε ότι H K = {1 G }. Άρα, b / H. Επειδή G/H = G / H = 2, έχουµε ότι G = {1 G, a, a 2, a 3, a 4, b, ab, a 2 b, a 3 b, a 4 b}. Το στοιχείο ba bh = Hb και έτσι, το ba είναι ένα από τα b, ab, a 2 b, a 3 b, a 4 b. ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οµάδες τάξης 8, έχουµε ότι ba = a 4 b.

158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW Εχοντας αυτές τις πληροφορίες µπορούµε να σχηµατίσουµε τον πίνακα πολλαπλασιασµού για την G. Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασµού, µπορούµε να δείξουµε ότι η G είναι οµάδα. Την προσεταιριστική ιδιότητα, µπορούµε να την αποδείξουµε µε τη ϐοήθεια των συµµετριών του επίπεδου κανονικού πενταγώνου. Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο µε κέντρο το 0. Εστω (ε) η ευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε µία πλευρά του πενταγώνου. Εστω a η στροφή κατά 72 o µοίρες κατά την αντίθετη ϕορά των δεικτών του ϱολογιού µε άξονα περιστροφής την κάθετο στο επίπεδο που περνά από το 0 και b η ανάκλαση ως προς την (ε). Τότε, όλες οι συµµετρίες του κανονικού πενταγώνου, που το αφήνουν σταθερό στο επίπεδο, µπορούν να περιγραφούν µε την ϐοήθεια των a και b. Ολες οι συµµετρίες είναι τα στοιχεία του G. Ετσι, οι συµµετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνου αποτελούν οµάδα και συµβολίζεται µε D 5. 7.3.4 Οµάδες τάξης 12 Εστω G µία οµάδα τάξης 12 = 3 4. Υποθέτουµε ότι η G είναι αβελιανή. Θα εφαρµόσουµε το Θεώρηµα 7.1. Επειδή η G είναι αβελιανή, κάθε υποοµάδα της είναι κανονική. Εστω H και K οι υποοµάδες Sylow µε τάξεις 4 και 3, αντίστοιχα. Χρησιµοποιώντας την κυκλική τεχνική αποδεικνύουµε ότι η G είναι ισόµορφη µε την H K. Για την H υπάρχουν δύο δυνατότητες είτε H = C 4 είτε H = C 2 C 2. Εποµένως, στην περίπτωση που η G είναι αβελιανή, έχουµε ότι C 12 = C 4 C 3, C 2 C 2 C 3. Σηµειώνουµε ότι στο ίδιο αποτέλεσµα ϑα καταλήγαµε αν χρησιµοποιούσαµε την ταξινόµηση των πεπερασµένων αβελιανών οµάδων. Υποθέτουµε ότι η G είναι µη αβελιανή οµάδα. Από το Θεώρηµα 7.1(3), έχουµε ότι η G έχει s 2 = 1 + 2κ, 2- υποοµάδες Sylow τάξης 4 και s 3 = 1+3λ, 3-υποοµάδες Sylow τάξης 3. Επιπλέον, οι s 2, s 3 είναι διαιρέτες του 12. Από εδώ, προκύπτει ότι s 2 = 1 ή 3 και s 3 = 1 ή 4. Ισχυριζόµαστε ότι αν s 3 = 4, τότε s 2 = 1. Για την απόδειξη του ισχυρισµού ϑα χρησιµοποιήσουµε την τεχνική της απαρίθµησης. Υποθέτουµε ότι s 3 = 4 και s 2 = 3. Εστω H µία από τις τέσσερις 3-υποοµάδες Sylow τάξης 3 και έστω K είτε µία 2-υποοµάδα Sylow τάξης 4 είτε µία 3-υποοµάδα Sylow τάξης 3 διαφορετική από την H. Χρησιµοποιώντας την τάξη των στοιχείων και το Θεώρηµα Lagrange, προκύπτει ότι H K = {1 G }. Άρα, οι τέσσερις υποοµάδες τάξης 3 µαζί µε µία υποοµάδα τάξης 4 µάς δίνουν 4 (3 1) + 3 + 1 = 12 στοιχεία. Εστω K 1, K 2 και K 3 οι διαφορετικές ανά δύο 2-υποοµάδες Sylow τάξης 4. Λόγω του ότι K H = {1 G }, = 1, 2, 3, και επειδή οι τέσσερις υποοµάδες τάξης 3 µαζί µε µία από τις K 1, K 2, K 3 µάς δίνουν 12 στοιχεία, καταλήγουµε σε άτοπο. Ετσι, s 2 = 1. Συνεπώς, διακρίνουµε τρεις περιπτώσεις : Περίπτωση 1. s 2 = 1 και s 3 = 1. Η περίπτωση αυτή οδηγεί στο ότι η G είναι αβελιανή οµάδα και αντιµετωπίσθηκε προηγουµένως.

7.3. ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 159 Περίπτωση 2. s 2 = 1 και s 3 = 4. Εστω K η κανονική υποοµάδα της G µε τάξη 4. Τότε, η G/K έχει τάξη 3 και άρα, η G/K είναι κυκλική. Εστω b / K τέτοιο, ώστε G/K = {K, bk, b 2 K}. Εστω H µία 3-υποοµάδα Sylow τάξης 3. Τότε, H K = {1 G }. Άρα, µπορούµε να διαλέξουµε το b να είναι οποιοδήποτε στοιχείο της H εκτός από το ουδέτερο. Εστω b 3 = 1 G και έτσι, H = b. Τότε, G = K bk b 2 K. Αφού η K είναι τάξης 4, η K ϑα είναι είτε η C 4 είτε η K 4 (η τετραδική οµάδα Klen). Υποθέτουµε ότι K = C 4 = {1 G, a, a 2, a 3 }. Τότε, G = {1 G, a, a 2, a 3, b, ba, ba 2, ba 3, b 2, b 2 a, b 2 a 2, b 2 a 3 }. Επειδή η K είναι κανονική στην G, ab Kb = bk. Ετσι, το ab είναι ένα από τα b, ba, ba 2, ba 3. Εξετάζοντας κάθε µία περίπτωση χωριστά καταλήγουµε ότι ab = ba 3. Τότε, Από εδώ, έχουµε ότι (ba) 2 = b(ab)a = b(ba 3 )a = b 2 a 4 = b 2. (ba) 3 = (ba) 2 ba = b 2 (ba) = b 3 a = a. Επειδή b 3 = 1 G, έχουµε ότι b 1 = b 2 = (ba) 2. Ετσι, b 1 = b 2 ba. Συνεπώς, b ba και a = (ba) 3 ba. Άρα, G ba και έτσι, G = ba, δηλαδή, η G στην περίπτωση αυτή είναι αβελιανή. Συµπεραίνουµε ότι δεν υπάρχει µη αβελιανή οµάδα τάξης 12 µε s 2 = 1, s 3 = 4 και η 2-υποοµάδα Sylow τάξης 4 να είναι η C 4. Υποθέτουµε ότι K = K 4 = {1 G, a, c, ac = ca} (η τετραδική οµάδα Klen). Οπως προηγουµένως, G = K bk b 2 K και G = {1 G, a, c, ac, b, ba, bc, bac, b 2, b 2 a, b 2 c, b 2 ac}. Επειδή η K είναι κανονική στην G, έχουµε ότι b 1 Kb = K. Καθώς, η G είναι µη αβελιανή, υπάρχει x K, διαφορετικά ϑα οδηγηθούµε σε άτοπο, έτσι, ώστε b 1 xb x.

160 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW Θέτουµε y = b 1 xb K. Αφού η K παράγεται από δύο µη τετριµµένα στοιχεία που ικανοποιούν τις ίδιες συνθήκες, µπορούµε να ϑέσουµε x = a και y = c. Ετσι, b 1 ab = c. Τότε, ab = bc. Επειδή b 1 Kb = K, έχουµε ότι b 1 cb K και έτσι, b 1 cb ισούται µε ένα από τα 1 G, a, c, ac. Εξετάζοντας κάθε περίπτωση χωριστά καταλήγουµε ότι b 1 cb = ac ή ισοδύναµα, Τέλος, cb = bac. acb = c(ab) = c(bc) = (cb)c = bac 2 = ba. Συνεπώς, αν υπάρχει µη αβελιανή οµάδα G τάξης 12 µε s 2 = 1 και s 3 = 4, τότε η G = {1 G, a, c, ac, b, ba, bc, bac, b 2, b 2 a, b 2 c, b 2 ac} και οι «σχέσεις» που ικανοποιούν οι γεννήτορες a, b, c της G είναι a 2 = c 2 = b 3 = 1 G, ac = ca, ab = bc, cb = bac, acb = ba. Με τη ϐοήθεια των παραπάνω πληροφοριών, µπορούµε να σχηµατίσουµε τον πίνακα πολλαπλασιασµού της G. Από τον πίνακα πολλαπλασιασµού, αντλούµε τα αντίστροφα των στοιχείων της G, καθώς και τις τάξεις τους. Για να δείξουµε ότι είναι οµάδα πρέπει να επαληθεύσουµε την προσεταριστική ιδιότητα, που προ- ϕανώς ισχύει µε τη ϐοήθεια του πίνακα πολλαπλασιασµού της G. Στη συνέχεια, παραθέτουµε µία οµάδα τάξης 12 µε s 2 = 1 και s 3 = 4. Θεωρούµε την εναλλάσσουσα οµάδα A 4. Θυµίζουµε ότι η A 4 είναι υποοµάδα της S 4 µε δείκτη 2, δηλαδή, η A 4 είναι κανονική στην S 4, αποτελείται από τις άρτιες µεταθέσεις και έχει τάξη 12. Τα στοιχεία της A 4 είναι : 1 S4 = (1), a = (12)(34), c = (13)(24), ac = (14)(23), b = (123), ba = (134), bc = (243), bac = (142), b 2 = (132), b 2 a = (234), b 2 c = (124), b 2 ac = (143). Συµπεραίνουµε ότι η A 4 είναι η µοναδική (µέχρι ισοµορφίας) οµάδα τάξης 12 µε s 2 = 1 και s 3 = 4. Μερικές χρήσιµες πληροφορίες για την A 4 : Το κέντρο Z(A 4 ) = {1 S4 } και A 4 = K 4. Υπάρχουν τρεις υποοµάδες τάξεις 2 (καµία από αυτές δεν είναι κανονική στην G, αλλά είναι κανονικές στην K 4 ) και τέσσερις υποοµάδες τάξης 3. Περίπτωση 3. s 2 = 3 και s 3 = 1. Εστω H = {1 G, b, b 2 } η κανονική υποοµάδα της G και έστω K µία από τις τρεις ισόµορφες υποοµάδες της G µε τάξη 4. Τότε, από το Θεώρηµα Lagrange,

7.3. ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ ΩΝ 161 H K = {1 G }. Η υποοµάδα K είναι είτε η C 4 είτε η K 4 (η τετραδική οµάδα Klen). Υποθέτουµε ότι K = C 4 = {1 G, a, a 2, a 3 }. Αφού a / H για = 1, 2, 3 και G/H = 4, G = H ah a 3 H a 3 H και έτσι, G = {1 G, b, b 2, a, ab, ab 2, a 2, a 2 b, a 2 b 2, a 3, a 3 b, a 3 b 2 }. Αφού η H είναι κανονική στην G, έχουµε ότι ba Ha = ah. Ετσι, το ba είναι ίσο µε ένα από τα a, ab, ab 2. Εύκολα αποδεικνύεται ότι ba = ab 2. Τοποθετώντας όλες τις πληροφορίες µαζί, έχουµε ότι G = {1 G, b, b 2, a, ab, ab 2, a 2, a 2 b, a 2 b 2, a 3, a 3 b, a 3 b 2 } και «σχέσεις» a 4 = b 3 = 1 G, ba = ab 2. Ετσι, µπορούµε να σχηµατίσουµε τον πίνακα πολλαπλασιασµού της οµάδας G. Οπως και στις προηγούµενες περιπτώσεις, κατασκευάζουµε οµάδα που να ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες. Εστω a = ( 0 0 ) ( ω 0, b = 0 ω 2 όπου 2 = 1, ω = 1 2 + 3 2. Με υπολογισµούς επαληθεύουµε τις παραπάνω συνθήκες. Φυσικά, ο πολλαπλασιασµός πινάκων είναι προσεταιριστικός και έτσι, υπάρχει µοναδική (µέχρι ισοµορφίας) οµάδα τάξης 12 µε s 2 = 3, s 3 = 1 και οι τρεις ισόµορφες υποοµάδες K της G είναι κυκλική τάξης 4. Υποθέτουµε ότι K = {1 G, a, c, ac} (η τετραδική οµάδα Klen). Οπως προηγουµένως, αφού η K είναι 2-υποοµάδα Sylow τάξης 4 και όλες είναι ισόµορφες µεταξύ τους, έχουµε ότι όλες οι υποοµάδες της G τάξης 4 είναι η τετραδική οµάδα Klen. Αφού H K = {1 G } και G/H = 4, έχουµε ότι G = H ah ch ach ), και έτσι, G = {1 G, b, b 2, a, ab, ab 2, c, cb, cb 2, ac, acb, acb 2 }. Αφού H είναι κανονική, x 1 bx H για όλα τα x K. Αν x 1 bx = b για όλα τα x K, τότε η G είναι αβελιανή, που είναι άτοπο. Ετσι, υπάρχει x K έτσι, ώστε x 1 bx b. Επειδή δύο τυχαία στοιχεία του K \ {1 G } την παράγουν και ικανοποιούν τις ίδιες «σχέσεις», χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, µπορούµε να επιλέξουµε x = a και έτσι, a 1 ba b. Αφού a 1 ba 1 G, έχουµε ότι a 1 ba = b 2,

162 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW και έτσι, ba = ab 2. Τι γίνεται µε το στοιχείο bc; Επειδή η H είναι κανονική, έχουµε ότι c 1 bc H. Εποµένως, το c 1 bc = 1 G ή c 1 bc = b ή c 1 bc = b 2. Άρα, c 1 bc = b ή c 1 bc = b 2. Αν c 1 bc = b, τότε (ac) 1 b(ac) = c 1 a 1 bac = c 1 b 2 c = c 1 bcc 1 bc = b 2. Αν c 1 bc = b 2, τότε (ac) 1 b(ac) = c 1 a 1 bac = c 1 a 1 bac = c 1 b 2 c = c 1 bcc 1 bc = b 4 = b. Ετσι, ένα από τα c ή ac µεταφέρει το b στο b και το άλλο µεταφέρει το b στο b 2. Αφού c και ac µπορούν να εναλλαχθούν στην K ώστε να δώσουν ισόµορφες οµάδες, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, παίρνουµε c 1 bc = b και (ac) 1 b(ac) = b 2. Ανακεφαλαιώντας, G = {1 G, b, b 2, a, ab, ab 2, c, cb, cb 2, ac, acb, acb 2 } µε «σχέσεις» a 2 = c 2 = b 3 = 1 G, ac = ca, bc = cb, ba = ab 2. Οι παραπάνω σχέσεις ϐοηθούν στο να συµπληρώσουµε τον πίνακα πολλαπλασιασµού της G. Θεωρούµε την οµάδα συµµετριών D 6 του κανονικού εξαγώνου ABCDEF. Εστω 0 το κέντρο του εξαγώνου. Το b είναι η στροφή του εξαγώνου κατά 120 0, αντίθετα από την κίνηση του ϱολογιού, γύρω από τον άξονα που ε- ίναι κάθετος στο επίπεδο στο σηµείο 0. Το a είναι η ανάκλαση του εξαγώνου ως προς άξονα που περνά από τα σηµεία, παραδείγµατος χάρη, B0E, και c είναι η στροφή του εξααγώνου κατά 180 0 µοίρες, αντίθετα από την κίνηση του ϱολογιού, γύρω από τον άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο στο σηµείο 0. Τότε, όλες οι συµµετρίες του κανονικού εξαγώνου περιγράφονται από την G. Ετσι, η D 6 είναι η µόνη οµάδα τάξης 12 µε µία υποοµάδα τάξης 3, και άρα, κανονική, και µε τρεις τετραδικές οµάδες Klen. 7.4 Ασκήσεις 1. Εστω G µία οµάδα και A, B υποοµάδες της. (αʹ) Ορίζουµε µία σχέση R πάνω στο G µε τη ϐοήθεια των A, B ως εξής : (x, y) R x = ayb για κάποιο a A και b B. Να δειχθεί ότι η R είναι σχέση ισοδυναµίας πάνω στο G. Επιπλέον, να περιγραφούν οι κλάσεις ισοδυναµίας της.

7.5. Ο ΗΓΟΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΜΕΛΕΤΗ 163 (ϐʹ) Θεωρούµε την απεικόνιση χ : AxB x 1 AxB µε χ(axb) = x 1 axb για όλα τα a A και b B. Να δειχθεί ότι η χ είναι 1 1 και επί. 2. Εστω G µία οµάδα τάξης 20 (ή 200). Τότε, η G δεν είναι απλή. 3. Εστω G µία οµάδα τάξης 36. Τότε, η G έχει τουλάχιστον µία γνήσια κανονική µη τετριµµένη υποοµάδα. 4. Εστω G µία οµάδα τάξης 48. Τότε, η G έχει τουλάχιστον µία γνήσια κανονική µη τετριµµένη υποοµάδα. 5. είξτε ότι κάθε οµάδα τάξης 35 (ή 85) είναι κυκλική. 6. είξτε ότι κάθε οµάδα τάξης 255 είναι κυκλική. 7. Εστω G οµάδα µε τάξη 2p, όπου p περιττός πρώτος. Να δειχθεί ότι η G έχει ακριβώς µία υποοµάδα τάξης p και είτε έχει p υποοµάδες τάξης 2 είτε µία υποοµάδα τάξης 2. Αν έχει µία υποοµάδα τάξης 2, τότε η G είναι κυκλική. 8. Εστω G µία οµάδα µε τάξη p 2 q, όπου p, q είναι διαφορετικοί πρώτοι αριθµοί. Να δείξετε ότι η G δεν είναι απλή. 9. Εστω G µία απλή οµάδα µε G = 168. Αποδείξτε ότι η G έχει οκτώ 7- υποοµάδες Sylow. Επιπλέον, δείξτε ότι αν P είναι µία 7-υποοµάδα Sylow της G, τότε N G (P ) = 21. Να συµπεράνετε ότι η G δεν έχει υποοµάδα τάξης 14. 10. Αποδείξτε ότι κάθε αυτοµορφισµός της S 4 είναι εσωτερικός. Επιπλέον, δείξτε ότι Aut(S 4 ) = S 4. 11. Βρείτε τη δοµή των p-υποοµάδων Sylow της A 5. 12. Εστω G οµάδα και H µία υποοµάδα της G µε G : H = n. Να δείξετε ότι υπάρχει κανονική υποοµάδα K της G, µε K H, έτσι, ώστε η οµάδα πηλίκο G/K είναι ισόµορφη µε µία υποοµάδα της S n. Να συµπεράνετε ότι αν η G είναι απλή οµάδα µε G = 60, τότε η G δεν έχει υποοµάδες µε τάξεις 15, 20, 30. 7.5 Οδηγός για περαιτέρω µελέτη Blackburn, S.R., Neumann, P.M. & Venkataraman, G. (2007). Enumeraton of fnte groups. Cambrdge Unversty Press, Cambrdge. Gorensten, D. (1980). Fnte Groups. Chelsea Publshng Company, New York. Hlton, H. (1908). An Introducton to the theory of groups of fnte order. Clarendon Press, Oxford.