ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού Τ.Ε. ΔΙΙΔΡΥΜΑΤΙΚΟ Π.Μ.Σ. «Νέες Τεχνολογίες στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές» Προχωρημένα Θέματα Συστημάτων Ελέγχου Αναγνώριση στοχαστικών συστημάτων με συνεχείς και διακριτούς αλγόριθμους Δ. Καλλιγερόπουλος Ομοτ. Καθηγητής Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.
Αναγνώριση Idenificion άγνωστου στοχαστικού συστήματος Η τοποθέτηση του προβλήματος Δίνεται άγνωστο σύστημα, δηλαδή σύστημα - με άγνωστες παραμέτρους - ή και άγνωστη τάξη n Το σύστημα έχει μετρήσιμες συναρτήσεις εισόδου-εξόδου - σε διακριτή μορφή () και (),,,... - ή σε συνεχή μορφή ( και (, Ζητείται μαθηματικό ομοίωμα του άγνωστου συστήματος, που να αναπαριστά με άριστο τρόπο τη σχέση εισόδου-εξόδου του. Τα βήματα της αναγνώρισης Εξομοίωση του συστήματος και συλλογή των τιμών εισόδου και εξόδου του. Επιλογή του ομοιώματος, η τάξη του οποίου μπορεί να συμπίπτει ή να μη συμπίπτει με την τάξη του συστήματος. Επιλογή του κριτηρίου αναγνώρισης. Εξομοίωση των αλγορίθμων αναγνώρισης με διακριτές ή αναλογικές μεθόδους. 3
. Το σύστημα Επιλέγεται και εξομοιώνεται το προς αναγνώριση σύστημα, η δομή και οι παράμετροί του, η είσοδος, ο θόρυβος που επιδρά στην έξοδό του, και παράγεται έτσι η διαταραγμένη μετρούμενη έξοδος. π.χ. Διακριτό σύστημα πρώτης τάξης διαταραγμένο με θόρυβο: x ) x( ) b ( ), ( ) x( ) ( ) ( dx ή συνεχές: x( b (, ( x( (. 4
. Το ομοίωμα Επιλέγεται διακριτό ή συνεχές γραμμικό ομοίωμα ίδιας ή μικρότερης τάξης από εκείνη του συστήματος. π.χ. Διακριτό ομοίωμα πρώτης τάξης: ( ) ( ) b ( ) d συνεχές ομοίωμα πρώτης τάξης: ( b ( ή διακριτό ομοίωμα μηδενικής τάξης: ( ) ( ) συνεχές ομοίωμα μηδενικής τάξης: ( ( Οι παράμετροι του ομοιώματος πρέπει να υπολογιστούν έτσι ώστε η εξομοιωμένη έξοδος να αποτελεί την καλύτερη δυνατή προσέγγιση της αδιατάρακτης εξόδου x του άγνωστου συστήματος. Η διαδικασία αυτή απαιτεί: σύγκριση, προσδιορισμό του σφάλματος και εφαρμογή ενός γενικού κριτηρίου αναγνώρισης για την επιλογή της άριστης λύσης. 5
3. Το κριτήριο αναγνώρισης Η στιγμιαία σύγκριση του επιλεγμένου ομοιώματος και του άγνωστου συστήματος ορίζεται από το στιγμιαίο σφάλμα: e( ) ( ) ( ) ή e( ( ( Η ευρύτερη σύγκριση του ομοιώματος και του συστήματος σε μια ορισμένη χρονική περίοδο ορίζεται από μια συνάρτηση σφάλματος. Η συνάρτηση σφάλματος αποτελεί μέτρο του ολικού σφάλματος μέσα στην ορισμένη χρονική περίοδο και ορίζεται, με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (les sqre mehod), ως: E( ) e ( ) ή E ( ) e (. Η μέθοδος αυτή έχει ενιαία βαρύτητα των σφαλμάτων ( ) καθ όλη τη διάρκεια της χρονικής περιόδου και εφαρμόζεται για την αναγνώριση σταθερών παραμέτρων. Εάν επιχειρούμε όμως αναγνώριση χρονικά μεταβαλλόμενων παραμέτρων, τότε μπορούμε να επιλέξουμε κριτήριο με εξασθένιση μνήμης όπως η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων με φθίνουσα βαρύτητα σφαλμάτων του παρελθόντος: E ( ) e ( ) ή E( ) e (, Κριτήριο αναγνώρισης είναι η ελαχιστοποίηση της συνάρτησης σφάλματος ως E προς τη ζητούμενη παράμετρο, δηλαδή:, από την οποία προκύπτει η άριστη εκτίμηση â της άγνωστης παραμέτρου. 6
4. Οι αλγόριθμοι αναγνώρισης Διακριτοί αλγόριθμοι Έχουμε ένα άγνωστο σύστημα διαταραγμένο με τυχαίο θόρυβο. Διαθέτουμε μετρήσεις, ορισμένο χρονικό διάστημα. της εισόδου του και της εξόδου του για ένα Για την αναγνώριση του συστήματος επιλέγουμε ομοίωμα μηδενικής τάξης: Ορίζουμε το στιγμιαίο σφάλμα: e Ορίζουμε τη συνάρτηση σφάλματος: E e Ελαχιστοποιούμε τη συνάρτηση σφάλματος ως προς την παράμετρο : E min E και υπολογίζουμε την άριστη αναμενόμενη τιμή της παραμέτρου : () Η σχέση αυτή αποτελεί την ολοκληρωμένη λύση του προβλήματος της αναγνώρισης, τον υπολογισμό δηλαδή της άριστης εκτίμησης â της άγνωστης παραμέτρου τη χρονική στιγμή με βάση τις μετρήσεις που έγιναν στο χρονικό διάστημα (, ). Με τη μορφή επαγωγικού αλγόριθμου εξισώσεων διαφοράς, η σχέση γράφεται: Εξίσωση διαφοράς εκτιμώμενης παραμέτρου â : e () όπου αναμενόμενο σφάλμα: e Εξίσωση διαφοράς διασποράς : (3) όπου συντελεστής Κ: Ο επαγωγικός αλγόριθμος επιτρέπει τον διαδοχικό υπολογισμό κάθε νέας εκτιμώμενης παραμέτρου συναρτήσει της προηγούμενης â με βάση τη νέα μέτρηση. Το μέγεθος του αλγορίθμου εκφράζει τη στατιστική διασπορά της εκτιμώμενης παραμέτρου αριθμός, â. Ως αρχική συνθήκη επιλέγεται ένας μεγάλος π.χ. 3. 7
8 Απόδειξη της σχέσης () E ή Άρα έχουμε: Απόδειξη της σχέσης () Επειδή: n Άρα: ή Ορίζεται διασπορά εκτιμώμενης παραμέτρου: Άρα: και για έχουμε: e Απόδειξη της σχέσης (3) Έχουμε: και.
9 Διακριτή αναγνώριση με φθίνουσα βαρύτητα σφαλμάτων Στις περιπτώσεις χρονικά μεταβαλλόμενων παραμέτρων ή ομοιώματος διαφορετικής τάξης από την τάξη του συστήματος χρησιμοποιούμε για την αναγνώριση μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων με φθίνουσα μνήμη, δηλαδή φθίνουσα βαρύτητα σφαλμάτων. Οι αλλαγές στις σχέσεις και τους αλγορίθμους είναι οι εξής: Ορίζουμε συνάρτηση σφάλματος: e E, με φθίνουσα βαρύτητα, όπου Η αναμενόμενη τιμή της παραμέτρου γίνεται: Και ο επαγωγικός αλγόριθμος: Εξίσωση διαφοράς εκτιμώμενης παραμέτρου â : e όπου αναμενόμενο σφάλμα: e Εξίσωση διαφοράς διασποράς : όπου συντελεστής Κ: Ο επαγωγικός αυτός αλγόριθμος επιτρέπει τον διαδοχικό υπολογισμό κάθε νέας εκτιμώμενης παραμέτρου συναρτήσει της προηγούμενης â με βάση τη νέα μέτρηση και με διαδοχικά μειωμένη βαρύτητα των παρελθόντων σφαλμάτων.
Συνεχείς αλγόριθμοι Έχουμε ένα άγνωστο σύστημα διαταραγμένο με τυχαίο θόρυβο (. Διαθέτουμε μετρήσεις (, ( της εισόδου του και της εξόδου του για ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, ). ( Για την αναγνώριση αυτού του συστήματος επιλέγουμε ομοίωμα μηδενικής τάξης της μορφής: ( ( Ορίζουμε το στιγμιαίο σφάλμα: e( ( ( ( ( Ορίζουμε τη συνάρτηση σφάλματος: E( ) ( ), όπου ( Ελαχιστοποιούμε τη συνάρτηση σφάλματος ως προς την παράμετρο : E( ) min E( ) και υπολογίζουμε την άριστη αναμενόμενη τιμή της παραμέτρου : (4) Η σχέση αυτή αποτελεί την ολοκληρωμένη λύση του προβλήματος της αναγνώρισης, τον υπολογισμό δηλαδή της άριστης εκτίμησης â της άγνωστης παραμέτρου τη χρονική στιγμή με βάση τις μετρήσεις που έγιναν στο χρονικό διάστημα (, ). Με τη μορφή διαφορικών εξισώσεων, η σχέση αυτή γράφεται: Διαφορική εξίσωση εκτιμώμενης παραμέτρου â : όπου αναμενόμενο σφάλμα: e Διαφορική εξίσωση διασποράς : όπου συντελεστής Κ: d d d d (6) e (5) Οι διαφορικές αυτές εξισώσεις αποτελούν έναν επαγωγικό αλγόριθμο που επιτρέπει τον συνεχή υπολογισμό κάθε στιγμιαίας εκτιμώμενης παραμέτρου βάση τη νέα στιγμιαία μέτρηση. Το μέγεθος στατιστική διασπορά της εκτιμώμενης παραμέτρου â. â με του αλγορίθμου εκφράζει τη
Απόδειξη της σχέσης (4) ) ( ) ( E ή Άρα έχουμε: c Απόδειξη της σχέσης (5) d d d d d d αλλά άρα d d και d d Ορίζουμε διασπορά της εκτιμώμενης παραμέτρου: και συντελεστή: Οπότε έχουμε: e d d Απόδειξη της σχέσης (6) d d d d άρα: d d.
Το αναλογικό διάγραμμα των διαφορικών εξισώσεων της αναγνώρισης είναι: Οι αρχικές συνθήκες επιλέγονται και 3 αριθμό, π.χ.. με έναν πολύ μικρό
Συνεχής αναγνώριση με φθίνουσα βαρύτητα σφαλμάτων Στις περιπτώσεις χρονικά μεταβαλλόμενων παραμέτρων ή ομοιώματος διαφορετικής τάξης από την τάξη του συστήματος χρησιμοποιούμε για την αναγνώριση μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων με φθίνουσα μνήμη, δηλαδή φθίνουσα βαρύτητα σφαλμάτων. Οι αλλαγές στις σχέσεις και τους αλγορίθμους είναι οι εξής: Ορίζουμε συνάρτηση σφάλματος: E( ) ( ), με φθίνουσα βαρύτητα, όπου Η αναμενόμενη τιμή της παραμέτρου γίνεται: με διασπορά: Και οι διαφορικές εξισώσεις γίνονται: d Διαφορική εξίσωση εκτιμώμενης παραμέτρου â : d όπου αναμενόμενο σφάλμα: e Διαφορική εξίσωση διασποράς : όπου συντελεστής Κ: d d ln e Στο αναλογικό διάγραμμα αλλάζει μόνο το διάγραμμα της ( : 3
Παράδειγμα Ζητείται η διακριτή και συνεχής αναγνώριση ενός άγνωστου αλλά απλού συστήματος μηδενικής τάξης της μορφής x με διαταραγμένη έξοδο x. Ζητείται δηλαδή η καλύτερη δυνατή εκτίμηση της άγνωστης παραμέτρου με βάση τις διαταραγμένες μετρήσεις της εισόδου και της εξόδου του συστήματος. Διακριτή αναγνώριση συστήματος με σταθερή παράμετρο Δίνονται μία σειρά διακριτών μετρήσεων,,..., } για της εξόδου { ενός αγνώστου υπό αναγνώριση συστήματος. Οι μετρήσεις αυτές έχουν παραχθεί από σύστημα μηδενικής τάξης της μορφής: x( ) ( ) με βηματική είσοδο: ( ) και τιμή της προς αναγνώριση παραμέτρου: 5. Η διαταραγμένη έξοδος τους συστήματος παράγεται από τη σχέση ( ) x( ) ( ) με τυχαίο θόρυβο ( ) s n( ) διασποράς s. 3 και μέσης τιμής m. Ζητείται η καλύτερη δυνατή εκτίμηση â της άγνωστης παραμέτρου ώστε να επιτυγχάνεται η καλύτερη δυνατή προσέγγιση ( ) της αδιατάρακτης εξόδου x () του συστήματος. Η προσέγγιση αυτή προέρχεται από ομοίωμα μηδενικής τάξης της μορφής: ( ) ( ) ( ). Λύση Στο ψηφιακό πρόγραμμα (Mlb, M-File Edior) που ακολουθεί εξομοιώθηκαν οι αλγόριθμοι της αναγνώρισης για τη διακριτή αναγνώριση της κρυφής παραμέτρου 3 5, με αρχικές συνθήκες των αλγορίθμων και. Στο πρόγραμμα η εκτιμώμενη παράμετρος ( ) συμβολίζεται με A και η εκτιμώμενη έξοδος ŷ του συστήματος με Y. Στα διαγράμματα που ακολουθούν παρουσιάζονται: α) η γραφική απεικόνιση της πραγματικής διαταραγμένης εξόδου () και της εκτιμώμενης ( ), β) η πραγματική κρυφή παράμετρος και η εκτιμώμενη παράμετρος ( ). 4
s=.3 Ορισμός Πινάκων x=zeros(,) =zeros(,) =zeros(,) =zeros(,) Y=zeros(,) A=zeros(,) =zeros(,) E=zeros(,) =zeros(,) form long Αρχικές Συνθήκες x(,)= (,)= A(,)= (,)=^3 Y(,)= for i=: (i)=5 (i+)= x(i+)=(i)*(i+) (i+)=x(i+)+s*rndn() E(i+)=(i+)-A(i)*(i+) (i+)=((i)*(i+))/(+(i)*(i+)^) A(i+)=A(i)+(i+)*E(i+) (i+)=(i)-(i+)*(i)*(i+) Y(i+)=A(i+)*(i+) i=:: figre() plo(i,(i),'b',i,y(i),'r') figre() plo(i,(i),'b',i,a(i),'r') end Συμπέρασμα Άριστη αναγνώριση της παραμέτρου και της εξόδου του συστήματος. Μικρή διαταραχή στα αρχικά βήματα που εξαρτάται κυρίως από την αρχική συνθήκη της διασποράς. 5
Διακριτή αναγνώριση συστήματος με μεταβαλλόμενη παράμετρο Εάν στο προηγούμενο παράδειγμα η κρυφή παράμετρος του συστήματος είναι χρονικά μεταβαλλόμενη με ημιτονοειδή μορφή: ( ).5( /8) τότε η αναγνώριση πραγματοποιείται με την εφαρμογή κριτηρίων με φθίνουσα βαρύτητα σφαλμάτων. Στο πρόγραμμα που ακολουθεί χρησιμοποιήθηκαν οι παράμετροι: 4 s.3,. 8 και οι αρχικές συνθήκες: και. Στα διαγράμματα συγκρίνετε η πραγματική με την εκτιμώμενη παράμετρο αδιατάρακτη έξοδος x () με την εκτιμώμενη έξοδο ( ). â και η πραγματική s=.3 =.8 Ορισμός Πινάκων x=zeros(,) =zeros(,) =zeros(,) =zeros(,) Y=zeros(,) A=zeros(,) =zeros(,) E=zeros(,) =zeros(,) form long Αρχικές Συνθήκες x(,)= (,)= (,)= A(,)= Y(,)= (,)=^4 for i=: (i)=sin(i/8) (i+)= x(i+)=(i)*(i+) (i+)=x(i+)+s*rndn() E(i+)=(i+)-A(i)*(i+) (i+)=(*(i)*(i+))/(+*(i)*(i+ )^) A(i+)=A(i)+(i+)*E(i+) (i+)=*(i)-(i+)*(i)**(i+) Y(i+)=A(i+)*(i+) i=:: figre() plo(i,(i),'b',i,y(i),'r') figre() plo(i,(i),'b',i,a(i),'r') end Συμπέρασμα Άριστη αναγνώριση της παραμέτρου και της εξόδου του συστήματος με μικρή μόνο χρονική καθυστέρηση. 6
Συνεχής αναγνώριση συστήματος με σταθερή παράμετρο Δίνεται ένα διάστημα συνεχών μετρήσεων, (, ) της εξόδου ενός ( αγνώστου υπό αναγνώριση συστήματος. Οι μετρήσεις αυτές έχουν παραχθεί από σύστημα μηδενικής τάξης της μορφής: x( ( με βηματική είσοδο: ( και τιμή της προς αναγνώριση παραμέτρου: 3. Η διαταραγμένη έξοδος τους συστήματος παράγεται από τη σχέση ( x( ( με τυχαίο θόρυβο ( s n( διασποράς s. 3 και μέσης τιμής m. Ζητείται η καλύτερη δυνατή εκτίμηση ( της άγνωστης παραμέτρου ώστε να επιτυγχάνεται η καλύτερη δυνατή προσέγγιση ( της αδιατάρακτης εξόδου x ( του συστήματος. Η προσέγγιση αυτή προέρχεται από ομοίωμα μηδενικής τάξης της μορφής: ( ( (. Λύση Η αναλογική εξομοίωση των διαφορικών εξισώσεων για την συνεχή αναγνώριση του άγνωστου συστήματος έγινε στον ψηφιακό υπολογιστή με πρόγραμμα Mlb, Simlin. Επιλέχθηκαν αρχικές συνθήκες και. 7
Στα διαγράμματα που ακολουθούν συγκρίνονται: α) η κρυφή αδιατάρακτη έξοδος x ( και η εκτιμώμενη έξοδος ( β) η κρυφή παράμετρος και η εκτιμώμενη παράμετρος ( του συστήματος. Συμπέρασμα Η αναγνώριση τόσο της παραμέτρου όσο και της εξόδου του συστήματος γίνεται σε λιγότερο από βήματα, ταχύτερα δηλαδή από την αντίστοιχη διακριτή αναγνώριση. 8
Συνεχής αναγνώριση συστήματος με μεταβαλλόμενη παράμετρο Εάν στο προηγούμενο παράδειγμα η κρυφή παράμετρος του συστήματος είναι χρονικά μεταβαλλόμενη με ημιτονοειδή μορφή: (.5. και τότε η αναγνώριση πραγματοποιείται με την εφαρμογή κριτηρίων με 6 φθίνουσα βαρύτητα σφαλμάτων. Στο πρόγραμμα που ακολουθεί χρησιμοποιήθηκαν οι παράμετροι: s. 3, ln.5, δηλαδή. 65 και οι αρχικές συνθήκες: και. 9
Στα διαγράμματα συγκρίνετε η πραγματική αδιατάρακτη έξοδος x ( με την εκτιμώμενη έξοδο ( και η πραγματική μεταβαλλόμενη παράμετρος ( ) με την εκτιμώμενη παράμετρο (. Συμπέρασμα Παρά τη μεταβολή της παραμέτρου, η μέθοδος αναγνώρισης με φθίνουσα βαρύτητα αποδίδει ικανοποιητικά και η εκτιμώμενη παράμετρος ακολουθεί την πραγματική. Επίσης η έξοδος του ομοιώματος ακολουθεί την αδιατάρακτη έξοδο του συστήματος με μικρές διακυμάνσεις. Όταν αυξάνουμε το μεγαλώνουν οι διακυμάνσεις, αυξάνεται δηλαδή η επίδραση του θορύβου, αυξάνεται όμως και η ακρίβεια αναγνώρισης της χρονικά μεταβαλλόμενης παραμέτρου.