ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 8 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό σελ. 65 Α. Σχολικό σελ. 48 Α3. Σχολικό σελ. 66 Α4. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Λάθος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β. Σύµφωνα µε το σχήµα ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΓΕ είναι όµοια γιατί είναι ορθογώνια και έχουν την γωνία ˆΑ κοινή. Εποµένως, οι πλευρές τους είναι ανάλογες. ηλαδή, Εποµένως, ΑΒ Α Β = = ΑΓ ΑΕ ΓΕ ΑΒ Α δ 8 δ 8 = = = δ 8 = δ = 9 ΑΓ ΑΕ 4 8 4 4 ος τρόπος: Από το παραπάνω πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επι τοις εκατό έχουµε ότι: f % = 5 f % = F % 5 f % = F % F % 3 3 f % = 75 F % 4 3 5 Όµως, f % = 00 75 = 5 f % 3 f % F % 5 3( 75 F %) = = 4 3 F % 5 = 5 3 F % 3 F % 40 3 F %( ) Επίσης, ισχύει = 3 ΑΒ Β 50 F % = = ΑΓ ΓΕ 4 F % F % 3 3 ( ) F % F % = 00 4 F % + = F % 40 3 F % 00 4( 40 3 F %) 3 3 3 4 F % 40 = 00 960 + F % 3 3 3 8 F % = 440 960 8 F % = 50 F % = 65 3 3 Οπότε, από την σχέση () έχουµε ότι, F % = 40 3 65 = 40 95 F % = 45 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Άρα, οι σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό είναι: f % = 5 f % = 30 f % = 0 3 f % = 0 4 5 ος τρόπος: f % = 00 75 = 5 Από το παραπάνω πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό παρατηρούµε ότι: f % = 5 και f % = 5. 5 Γνωρίζουµε ότι η διάµεσος είναι η τιµή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερες από αυτήν. ηλαδή, ισχύει ότι: f% + f% + f3% = 50 5 + 3 f % 3 4 % 4% + f3% = 50 f = f 4 4 3 3 f3% + f4% + f5% = 50 f3% + f4% + 5 = 50 4 4 3 f4% + f3% = 35 4 3 f4% + f3% = 5 4 Λύνοντας το παραπάνω σύστηµα προκύπτει ότι f % = 0 και f % = 0. 3 4 Οπότε, f % = 30. Οι κεντρικές τιµές των κλάσεων είναι x=, x = 6, x = 0, x = 4, x = 8 Συνεπώς, 3 4 5 Χρόνια προϋπηρεσίας 0 4 0,5 0,5 4 8 6 0,30 0,45 8 0 0,0 0,65 6 4 0,0 0,75 6 0 8 0,5 00000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000 Σύνολο 00000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000 x f F ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β. Η µέση τιµή ισούται: v x= x v= x = x f= x f+ x f + x f + x f + x f 5 5 5 3 3 4 4 5 5 v = = v = = 0,5 + 6 0,3 + 0 0, + 4 0,+ 8 0, 5 = 0,3+,8+ +, 4+ 4,5= 0 Για την διακύµανση ισχύει ότι: s 5 5 5 v = v v ( x x) v= ( x x) = ( x x) f = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0 0,5 + 6 0 0,3 + 0 0 0, + 4 0 0,+ 8 0 0, 5 Β3. Αντικαθιστώντας στον τύπο έχουµε ότι, = 64 0,5 + 6 0,3 + 6 0,+ 64 0, 5 = 64( 0,5+ 0, 5) + 6( 0,3+ 0,) = 64 0,4 + 6 0, 4 = 80 0,4 = 3 k k s = x v xv v = v = 3 580 ( ) = v x 3v 580 00v 3v 580 v 40 v = = = v Οι υπάλληλοι που έχουν τουλάχιστον 5 χρόνια προϋπηρεσίας είναι v+ v+ v + v ' 3 4 5 ' όπου v είναι το πλήθος των υπαλλήλων που έχουν από 5-8 χρόνια. Επειδή οι παρατηρήσεις είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες, τότε: ' ' ' ' c v 8 5 v 3 v 3 v ' = = = = v = 9 c v 8 4 v f 4 40 0,3 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Επίσης, v3 = v f3 = 40 0, = 8 v4 = v f4 = 40 0, = 4 v5 = v f5 = 40 0,5 = 0 ' Οπότε, v+ v3+ v4+ v5= 9+ 8+ 4+ 0= 3. Άρα, 3 υπάλληλοι έχουν τουλάχιστον 5 χρόνια προϋπηρεσία. B4. Έχουµε ότι ν = ν f = 40 0,5 = 6 ν = ν f = 40 0,30 = Εφόσον, το επίδοµα για κάθε υπάλληλο δίνεται από την σχέση y= 3x+, =,,3, 4,5 τότε το συνολικό κόστος αυτής της απόφασης θα είναι yv + yv+ y3v3+ y4v4+ y5v5= = 3x+ v+ 3x+ 4 v+ 3x+ 6 v+ 3x + 8 v + 3x+ 0 v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 4 5 = 8 6 + + 36 8 + 50 4 + 64 0 = 440 ΘΕΜΑ Γ ( ) Γ. Είναι f( x) = x P( A ) + P( B ) x, x R. Η f είναι παραγωγίσιµη στο R µε f ( x) x P( A ) P( B ) Η εφαπτοµένη της στο M(,f( )) έχει εξίσωση της µορφής: y= λx+ β λ = f ( ) = P( A ) P( B ) =. Άρα ε :y = P( A ) P( B ) x + β Αφού M, f( ) είναι σηµείο της ε και f( ) P( A ) P( B ) έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P B = P A P B + β β = =, ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Εποµένως ( ) ( ) ε :y = P A P B x (). Όµως P( A) = P( A ) και P( B) P( B ) µέλη έχουµε P( A ) P( B ) P( A) P( B) =, οπότε προσθέτοντας κατά = + οπότε η () γράφεται ( ) ( ) ε :y = P A + P B x Γ. Για x = 0 είναι y = P( A) + P( B) 0 = της ε και του y y είναι το Λ( 0, ),έτσι ( ), οπότε το σηµείο τοµής ΟΛ = =. Επίσης για y = 0 είναι 0 = P( A) + P( B) x x = P( A) + P( B) διότι A άρα P( A) > 0 και P( B) 0, οπότε P( A) + P( B) > 0. Εποµένως το σηµείο τοµής της ε µε τον x x είναι έτσι ( OK) = P A ( ) + P( B). >0, K,0, P( A) + P( B) Είναι ( ΟΚΛ) = ( ΟΛ) ( ΟΚ) = P A B P A P B ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B = P A + P B P A + P B P A B = P A + P B P A B = 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Αφού τα απλά ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα είναι N( A B) P( A B) = Ν( Α Β) = 0 Α B = N Ω ( ) Οπότε τα Α και Β είναι ασυµβίβαστα. Γ3. Τα Α και Β είναι ασυµβίβαστα, οπότε x = 0 x = P( A B) = P( A) + P( B) x3 = P( A B) = 0 x4 = P( B A) = P( B) P( A B) = P( B) x5 = P( A B) = P( A) P( A B) = P( A) x6 = PΩ ( ) = x7 = P( B) Αν P( A) P( B) έχουµε 0, 0, P( A ), P( B ), P( B ), P( A) + P( B ),. Αν P( A) > P( B) έχουµε 0, 0, P( B ), P( B ), P( A ), P( A) + P( B ),. Σε κάθε περίπτωση η διάµεσος θα ισούται µε την 4 η παρατήρηση, οπότε δ = P( B) P( B) = 3 Όµως 0 + 0 + P( A) + P( B) + P( B) + P( A) + P( B) + x = 7 8 P( A) + 3P( B) + = 56 = P( A) 3 P( B) 7 + + 56 = P( A) + 3 + 56 = 4P( A) + 4 3 4 P( A) = P( A) = 4 3 Έτσι P( A B) = P( A) + P( B) = + =. 3 3 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 7 ΑΠΟ 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 7 7 8 8 Γ4.. Είναι x = x x = 7x = 7 = 7 = = 3 είναι: 7 8 x + x8 + + PΓ ( ) = 8 x = = 3 4 = + + PΓ ( ) 8 8 3 4 6 3 5 PΓ ( ) = PΓ ( ) = 6 6 6 6 Έστω Α και Γ ασυµβίβαστα. Τότε από τον απλό προσθετικό νόµο έχουµε: 5 5 7 P( A Γ) = P( A) + PΓ ( ) = + = + = >, 3 6 6 6 6 το οποίο είναι άτοπο, οπότε τα Α και Γ δεν είναι ασυµβίβαστα., οπότε η νέα µέση τιµή. Είναι A Γ Α οπότε P( A Γ) P( A) =. 3 Επίσης είναι: P( A Γ) = P( A) + PΓ ( ) P( A Γ) P( A Γ) = 7 P( A Γ) 6 Ισχύει ότι: P A Γ 7 P A Γ 7 P A Γ P A Γ 6 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ). 6 3 Άρα P( A Γ) ΘΕΜΑ. Η f είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ) ως πράξεις και σύνθεση παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε f (x) = ln x ln(x + ), Η f είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ) ως σύνθεση και διαφορά παραγωγισίµων συναρτήσεων µε f (x) = x x + ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 8 ΑΠΟ 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Όµως Ρ () + Ρ () + Ρ (3) +... + Ρ (9) = f () + f () + f (3) +... + f (9) 9 = + + +... + = = 3 3 4 9 0 0 0 9 Οπότε Ρ (0) + Ρ () + Ρ () +... + Ρ (9) = CV + = CV =. 0 0 Άρα CV = 0%.. t = (x x + ) ν t x = x + ν ν = ν = () Όµως s t t s t t s t x> 0 s CV = = x = 0s. 0 x 0 Οπότε () k k k k k = = = v = v = v = v = v = s + x = 0 x Άρα s + x = 0 s + 0s = 0 s = ή s= απορ. Για s= έχουµε x = 0. 3. Αν y, y,..., y ν οι νέες παρατηρήσεις τότε y = x, =,,..., ν. Αν y και s, η νέα µέση τιµή και τυπική απόκλιση αντίστοιχα, τότε από γνωστή εφαρµογή του σχολικού βιβλίου είναι y= x = 8 και s s = s =. Άρα CV = = και το ποσοστό µεταβολής του y 8 συντελεστή µεταβλητότητας είναι CV CV 00% = 5% CV 4. s = (t x) = (t 0) 6 ν ν = 6 = + + + 6 = (t 0) (t 0)... (t 0) 6 Εποµένως για κάθε =,,...,6 ισχύει: (t 0) 6 t 0 4 4 t 0 4 6 t 4 6 6 6 x = t t = 6 0 t = 60 6 = = = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 9 ΑΠΟ 0
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 5 6 = = 6 = 6 5 = 5 = 5 x t ( t t ) (60 t ) Άρα 9 = (60 t 6) 5 9 = 60 t6 t6 = 5. 5 Όµως ισχύει είναι 5. 6 t 4 άρα καµία από τις παρατηρήσεις δεν µπορεί να ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 0 ΑΠΟ 0