Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών. Χρήστου Νικολαΐδη

Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών Χρήστου Νικοαΐδη Φεβρουάριος 5

Χρήστος Νικοαΐδης ιδάκτωρ του Πανεπιστηµίου της Οξφόρδης Στοιχεία Πιθανοτήτων και Θεωρίας Ουρών Θεωρία & Ασκήσεις email: chrikol@oteet.gr Φεβρουάριος 5

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στο σύγγραµµα αυτό επιχειρώ µια σύντοµη διαδροµή Σε βασικά στοιχεία Συνδυαστικής Σε βασικά στοιχεία της Θεωρίας Πιθανοτήτων Στην περιγραφή των Τυχαίων Μεταβητών και στις πιο χαρακτηριστικές Κατανοµές τους Σε µια εισαγωγή στη Θεωρία Ουρών εν πραγµατεύοµαι πήρως (και δεν είχα σκοπό να το κάνω) κανέναν από τους χώρους αυτούς ξεχωριστά. Για τον κάθε χώρο υπάρχει πούσια βιβιογραφία, άοτε περισσότερο και άοτε ιγότερο αναυτική, όπου µπορεί να ανατρέξει ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης. Για τις ανάγκες µιας αυτοτεούς παρουσίασης, στα παίσια ενός εξαµηνιαίου µαθήµατος προπτυχιακού επιπέδου, προσπάθησα να σταθώ στα σηµαντικότερα σηµεία που απαιτούνται για την ανάπτυξη του θέµατος. Τα «Στοχαστικά Μοντέα Ουρών Αναµονής» είναι ένα σχετικά δύσκοο θέµα που απαιτεί προηγούµενες γνώσεις από το χώρο των Πιθανοτήτων. Ο στόχος µου στο σύγγραµµα αυτό είναι η κατανόηση των βασικών εργαείων που απαιτούνται από τον χώρο των Πιθανοτήτων και µια «πρώτη γνωριµία» µε τη µεέτη των Ουρών Αναµονής. Η περιπάνηση σε θεωρητικές αποδείξεις και παράπευρες επτοµέρειες θα αποπροσανατόιζε τον σπουδαστή από το στόχο αυτό. Στην έκδοση αυτή έαβα υπόψη αρκετές παρατηρήσεις των σπουδαστών µου στο ΤΕΙ Λάρισας, κατά τη διάρκεια των 4 τεευταίων χρόνων που δίδαξα το µάθηµα. Προσπάθησα να εµπουτίσω το σύγγραµµα µε απά και κατανοητά παραδείγµατα και να χρησιµοποιήσω, όσο είναι δυνατό, κατανοητή γώσσα. Επίζω να το πέτυχα. ρ Χρήστος Νικοαΐδης Φεβρουάριος 5 i

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μαθηµατικά Μοντέα Στοχαστικά Μοντέα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗΣ. Απαρίθµηση 5. Συνδυασµοί και ιατάξεις: Επιογές r αντικειµένων από 7. Προβήµατα συνδυαστικής 4.4 ιανοµή r αντικειµένων σε κουτιά 5 Ασκήσεις 9 Σύντοµες Απαντήσεις των Ασκήσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Σύνοα. ειγµατοχώρος και Ενδεχόµενα 5. Η Πιθανότητα ενός Ενδεχοµένου 8.4 Πεπερασµένοι ειγµατοχώροι 9.5 εσµευµένη Πιθανότητα Ανεξάρτητα Ενδεχόµενα Ασκήσεις 8 Σύντοµες Απαντήσεις των Ασκήσεων 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. Τυχαίες Μεταβητές 4. Κατανοµή µιας ιακριτής Τυχαίας Μεταβητής 4. Κατανοµή µιας Συνεχούς Τυχαίας Μεταβητής 44.4 (Αθροιστική) Συνάρτηση Κατανοµής (cdf) 46.5 Η Μέση Τιµή Ε(Χ)µ 49.6 Η ιασπορά V(X) 5 Ασκήσεις 56 Σύντοµες Απαντήσεις των Ασκήσεων 59 ii

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 4. Η ιωνυµική Κατανοµή 6 4. Η Οµοιόµορφη Κατανοµή 65 4. Η Κανονική Κατανοµή (Gauss) 66 4.4 Η Κατανοµή Poisso 7 4.5 Η Εκθετική Κατανοµή 76 Ασκήσεις 79 Σύντοµες Απαντήσεις των Ασκήσεων 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΟΥΡΕΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 5. Εισαγωγή 8 5. Χαρακτηριστικά ενός µοντέου Ουρών Αναµονής 84 5. Ο Συµβοισµός Α/Β/c 86 5.4 Το Μοντέο Μ/Μ/ 87 5.5 Το Μοντέο Μ/Μ/ µε περιορισµένο µήκος Ουράς 9 5.6 Το Μοντέο Μ/Μ/ µε πεπερασµένο πήθος Αντικειµένων 9 5.7 Το Μοντέο Μ/Μ/c 9 5.8 Ουρές και Λήψη Αποφάσεων 97 Ασκήσεις Σύντοµες Απαντήσεις των Ασκήσεων ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ-ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 5 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 7 iii

iv

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Για να µεετήσουµε ένα φαινόµενο που παρατηρούµε στη φύση συνήθως χτίζουµε ένα µαθηµατικό µοντέο που περιγράφει το φαινόµενο αυτό. Το µοντέο οφείει να αποποιεί τα πράγµατα και να αγνοεί τις ασήµαντες επτοµέρειες. ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Για να εξετάσουµε την εγκυρότητα του µοντέου, µπορούµε να συγκρίνουµε τα αποτεέσµατα που προβέψαµε µε βάση το µοντέο µε τις πραγµατικές παρατηρήσεις του φαινοµένου. Συµπίπτουν? ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Φαινόµενο: Στη φύση, αναπτύσσονται δυνάµεις µεταξύ των σωµάτων (βαρύτητα, κπ) Μοντέο: Ο Newto υποογίζει τη δύναµη µεταξύ δύο σωµάτων ως mm F g r Εγκυρότητα: Μετά από πειράµατα φαίνεται ότι ο νόµος του Newto περιγράφει αρκετά καά την πραγµατικότητα. Αργότερα, ο Αϊνστάιν θα δείξει ότι δεν ισχύει πάντοτε ο νόµος αυτός, µπορούµε ωστόσο να τον

χρησιµοποιούµε καθώς είναι εύχρηστος και αποτεεί πού καή προσέγγιση των πραγµατικών φαινοµένων. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Οι νόµοι του Kepler αποτεούν ένα καό µοντέο για την περιγραφή της κίνησης των πανητών.. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Στα ντετερµινιστικά µοντέα οι συνθήκες ενός πειράµατος καθορίζουν πήρως τα αποτεέσµατα. Π.χ. στο νόµο του Newto που είδαµε προηγουµένως, εάν γνωρίζουµε τα µεγέθη m,m και την απόσταση r, µπορούµε να υποογίσουµε επακριβώς την δύναµη F. Στα στοχαστικά µοντέα οι συνθήκες ενός πειράµατος τύχης καθορίζουν µόνο την πιθανοτική συµπεριφορά του αποτεέσµατος. Π.χ. εάν ρίξουµε ένα νόµισµα, δεν γνωρίζουµε το αποτέεσµα, µπορούµε ωστόσο να περιγράψουµε το αποτέεσµα µε το εξής µοντέο: 5% πιθανότητα να έρθει ΚΕΦΑΛΗ 5% πιθανότητα να έρθει ΓΡΑΜΜΑ (Στο δεύτερο πείραµα θα µπορούσαµε να κατασκευάσουµε ένα κάπικο νόµισµα µε δύο κεφαές για να κερδίζουµε τα στοιχήµατα, οπότε το µοντέο µας θα είναι ντετερµινιστικό!!!).

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (στη σεισµοογία) Εάν καταφέρουµε να ανακαύψουµε ένα µοντέο που υποογίζει την εστία, το χρόνο και το µέγεθος ενός σεισµού θα πρόκειται για ένα ντετερµινιστικό µοντέο (κάτι σαν και αυτό που ισχυρίζεται η οµάδα VAN). Προς το παρόν, αρκούµαστε σε στοχαστικά µοντέα που αµβάνουν υπόψη στατιστικά στοιχεία του παρεθόντος, µεέτες του υπεδάφους και άες µετρήσεις και αποφαίνονται κάπως έτσι υπάρχει µια πιθανότητα 5% να συµβεί ένας σεισµός στη Θεσσαία µέσα στα επόµενα τρία χρόνια. Μπορεί βέβαια να µη µας ικανοποιεί όσο ένα ντετερµινιστικό µοντέο, έχει όµως µια αξία καθώς µας προειδοποιεί να πάρουµε προηπτικά µέτρα.

4

. ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗΣ. ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗ Θα δούµε αργότερα ότι για να βρούµε την πιθανότητα να συµβεί κάποιο γεγονός χρειάζεται ποές φορές να µετράµε όες τις δυνατές επιογές που υπάρχουν για το γεγονός σε σχέση µε το σύνοο των επιογών που έχουµε στη διάθεσή µας. Σαν από παράδειγµα αναφέρουµε την ρίψη δύο ζαριών. Ρωτάµε πόσο πιθανό είναι να φέρουµε τουάχιστον ένα εξάρι. Το σύνοο των επιογών µας περιέχει 6 δυνατότητες. - - - -4-5 -6 - - - -4-5 -6 - - - -4-5 -6 4-4- 4-4-4 4-5 4-6 5-5- 5-5-4 5-5 5-6 6-6- 6-6-4 6-5 6-6 Από αυτές οι «βοικές» περιπτώσεις που περιέχουν τουάχιστον ένα εξάρι είναι, συγκεκριµένα αυτές που σηµειώνονται έντονα στον παραπάνω πίνακα. Άρα έµε ότι η ζητούµενη πιθανότητα είναι στις 6 ή αιώς. 6 Η απαρίθµηση των επιογών σε ένα «πείραµα» δεν είναι πάντοτε εύκοη υπόθεση και χρειάζεται προσοχή. Ξεκινάµε µε δύο απούς κανόνες: Ας υποθέσουµε ότι µια ενέργεια Α µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε m τρόπους ενώ µια δεύτερη ενέργεια Β µε τρόπους. Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει είτε η µία είτε η άη ενέργεια; Προφανώς µε m+ τρόπους Η αρχή αυτή είναι γνωστή ως κανόνας του αθροίσµατος και θα φανεί χρήσιµη όταν θα «τεµαχίζουµε» ένα πρόβηµα σε µικρότερα «επιµέρους» προβήµατα και θα αθροίζουµε τα αποτεέσµατα. 5

Έστω ότι κάθε επιογή για την ενέργεια Α µπορεί να συνδυαστεί µε οποιαδήποτε επιογή της ενέργειας Β. Τότε ο συνδυασµός των δύο ενεργειών µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε m τρόπους Η αρχή αυτή είναι γνωστή ως κανόνας του γινοµένου. Μπορεί να φαίνεται τετριµµένη αά και θα φανεί εξαιρετικά χρήσιµη στη συνέχεια. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στις εκογές ενός συµβουίου, υπάρχουν υποψήφιοι για τη θέση του προέδρου και 4 για τη θέση του γραµµατέα. Με πόσους τρόπους µπορεί να καυφθεί κάποια θέση (είτε η µία είτε ή άη); Με +47 τρόπους (κανόνας αθροίσµατος) Με πόσους τρόπους µπορούν να καυφθούν και οι δύο θέσεις; Με x4 τρόπους (κανόνας γινοµένου). Πράγµατι, (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ4), (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ4), (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ), (Π,Γ4) Πριν προχωρήσουµε στις βασικές περιπτώσεις απαριθµήσεων στη συνδυαστική, ας ξεκαθαρίσουµε κάποιους συµβοισµούς Το παραγοντικό ορίζεται ως εξής! L ηαδή!xx6, καθώς και 4!4,!. Συµφωνούµε επίσης ότι! Παρατηρούµε ότι όταν έχουµε πηίκο µε παραγοντικά, γίνονται εύκοα αποποιήσεις, πχ 7! 4 5 6 7 5! 6 7 6 7 5! 4 5 5! Ένα σύµβοο που θα χρειαστούµε συχνά είναι το, το οποίο ορίζεται ως εξής r 6

Έτσι! r r!( r)! 7 7!!4! Αν αποποιήσουµε µε τον µεγαύτερο παράγοντα στον παρονοµαστή έχουµε Οµοίως 7 7! 5 6 7 5 6 7 5!4!!! L99 99 99!! L99 Τώρα είµαστε σε θέση να µεετήσουµε τα βασικά προβήµατα της απαρίθµησης. ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΙ ΚΑΙ ΙΑΤΑΞΕΙΣ: ΕΠΙΛΟΓΕΣ r ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΑΠΟ Το πρόβηµα που µεετάµε εδώ είναι να επιέξουµε r αντικείµενα από ένα σύνοο αντικειµένων Υπάρχουν όµως διάφοροι τρόποι να κάνουµε αυτή την επιογή. Αν ενδιαφερόµαστε για τη σειρά µε την οποία εµφανίζονται τα επιεγµένα αντικείµενα µιάµε για ΙΑΤΑΞΕΙΣ. Αν δεν ενδιαφερόµαστε για τη σειρά µε την οποία εµφανίζονται τα επιεγµένα αντικείµενα µιάµε για ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΥΣ. Υπάρχει και ένας άος διαχωρισµός. Επιέγουµε αρχικά ένα αντικείµενο. Πριν επιέξουµε το δεύτερο, το αρχικό θα ξαναµπεί στην «κηρωτίδα» ή όχι; Έτσι µιάµε για επιογές ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ και ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Ας τα δούµε αναυτικά στη συνέχεια. 7

Α. ΙΑΤΑΞΕΙΣ r αντικειµένων από (παίζει ρόο η σειρά) Έχουµε αντικείµενα. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιέξουµε r αντικείµενα από αυτά και να τα βάουµε σε µια σειρά; Η απάντηση συµβοίζεται P(,r) και ισούται µε! ( r)! δηαδή, µε αποποίηση ( )( ) L ( r+ ) Πράγµατι, ας σκεφτούµε για παράδειγµα ότι από άτοµα θέουµε να επιέξουµε 4 για να µπουν µε τη σειρά στις παρακάτω θέσεις Παρατηρούµε ότι: Για την η θέση έχουµε επιογές (ένα από τα άτοµα) Για την η θέση έχουµε 9 επιογές (ένα από τα 9 άτοµα που περίσσεψαν) Για την η θέση έχουµε 8 επιογές Για την 4η θέση έχουµε 7 επιογές Συνοικά έχουµε οιπόν 9 8 7 επιογές, ή µε άα όγια παραπάνω τύπος.! όπως έει και ο 6! Β. ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΙ r αντικειµένων από (δεν παίζει ρόο η σειρά) Έχουµε αντικείµενα. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιέξουµε µια οµάδα r αντικειµένων από αυτά; Η απάντηση συµβοίζεται C(,r), είτε µε το σύµβοο που συναντήσαµε πιο πάνω r και διαβάζεται «ανά r». Όπως είδαµε αυτό ισούται µε! r!( r)! 8

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Θέουµε να επιέξουµε γράµµατα από τα Α,Β,Γ,,Ε. Υπάρχουν 5 5! 4 5!! τρόποι (Πράγµατι, πρόκειται για τα ζευγάρια ΑΒ, ΑΓ, Α, ΑΕ, ΒΓ, Β, ΒΕ, Γ, ΓΕ, Ε. Προσέξτε ότι δεν άβαµε υπόψη τη σειρά, δηαδή θεωρήσαµε ότι ΑΒ και ΒΑ είναι ίδια) Αξίζει να σηµειωθεί ότι για να επιέξουµε γράµµατα από τα 5 υπάρχουν επίσης 5 5!!! τρόποι. (ήταν αναµενόµενο καθώς, όταν επιέγουµε αντικείµενα από τα 5, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι κάποιος άος επιέγει τα υπόοιπα αντικείµενα, άρα όσοι τρόποι υπάρχουν για την επιογή αντικειµένων τόσοι ακριβώς τρόποι υπάρχουν και για την επιογή αντικειµένων). Γενικά, διότι και οι δύο αριθµοί ισούνται µε r r! r!( r)!. Εύκοα επίσης διαπιστώνουµε ότι, (υπάρχει µόνο τρόπος να επιέξουµε αντικείµενα από τα : να µην επιέξουµε κανένα!), (υπάρχει µόνο τρόπος να διαέξουµε αντικείµενα από τα : να τα επιέξουµε όα!), (υπάρχουν τρόποι να επιέξουµε αντικείµενο από τα ), (υπάρχουν τρόποι να µην επιέξουµε ένα αντικείµενο από τα ) 9

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ (χαρακτηριστικό) ΛΟΤΤΟ. Πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιέξουµε 6 νούµερα από το ως το 49; (όπως είναι γνωστό, δεν χρειάζεται να τα πετύχουµε µε τη σειρά που κηρώνονται). Υπάρχουν οιπόν 49 6 49! 6!4! 44 45 46 47 48 49 98486 4 5 6 δυνατότητες δηαδή, περίπου 4 εκατοµµύρια συνδυασµοί εξάδων. Εάν παίξουµε 4 στήες έχουµε πιθανότητα µια στο εκατοµµύριο να κερδίσουµε! ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 Στο Τζόκερ, επιέγουµε 5 αριθµούς από µια οµάδα 45 αριθµών και ταυτόχρονα αριθµό από µια οµάδα αριθµών. Πόσες δυνατότητες υπάρχουν συνοικά; Εάν παίξουµε 4 στήες ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσουµε; Υπάρχουν 45 5 συνοικά υπάρχουν επιογές για την πρώτη οµάδα και για τη δεύτερη. Άρα 45 5 45! 5!(4)! 4 4 4 44 45 4.45.8 4 5 δυνατότητες δηαδή, περίπου 4,5 εκατοµµύρια συνδυασµοί. Εάν παίξουµε 4 στήες έχουµε πιθανότητα περίπου µια στο εκατοµµύριο να κερδίσουµε! Γ. ΙΑΤΑΞΕΙΣ r αντικειµένων από ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ηαδή κάθε φορά που επιέγουµε ένα αντικείµενο, το ξαναβάζουµε στην «κηρωτίδα». Η απάντηση είναι r

Σκεπτόµενοι όπως στην περίπτωση Α, ας πούµε ότι από άτοµα έχουµε να επιέξουµε 4, αά αυτή τη φορά κάθε άτοµο µπορεί να ξαναεπιεγεί. Τα ονόµατα τους θα τα γράψω σε µια σειρά Για την η θέση έχουµε επιογές (ένα από τα άτοµα) Για την η θέση έχουµε επιογές (αφού έχουµε ξανά και τα δέκα άτοµα) Για την η θέση έχουµε επιογές Για την 4η θέση έχουµε επιογές 4 Συνοικά έχουµε οιπόν επιογές, ή µε άα όγια όπως έει και ο παραπάνω τύπος.. ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΙ r αντικειµένων από ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ίνουµε απευθείας την απάντηση. Είναι + r r ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 Ρίχνουµε δύο ζάρια. Πόσες ζαριές υπάρχουν; Σκεφτόµαστε ότι έχουµε 6 αριθµούς, τους,,,4,5,6, και ρωτάµε πόσοι τρόποι υπάρχουν να επιέξουµε r. Έχουµε ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΥΣ, διότι δεν µας ενδιαφέρει η σειρά. Π.χ η ζαριά -4 δεν είναι διαφορετική από την 4-. Έχουµε ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ, διότι π,χ η ζαριά - επιτρέπεται. Υπάρχουν οιπόν 6+ 7 6 7 ζαριές Συνοψίζοντας έχουµε,

ΙΑΤΑΞΕΙΣ ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ! ( ) L ( r+ ) r ( r)! ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΙ r + r r Παρουσιάζουµε δύο ακόµη ειδικές υποπεριπτώσεις του σκιασµένου κειού: των διατάξεων χωρίς επανάηψη. Α. ιατάξεις (ή µεταθέσεις) αντικειµένων Με πόσους τρόπους µπορούµε να διατάξουµε στη σειρά διαφορετικά αντικείµενα; (ουσιαστικά διατάσσουµε αντικείµενα από ) Για την πρώτη θέση έχουµε επιογές. Αφού διαέξουµε το πρώτο αντικείµενο, για τη δεύτερη θέση έχουµε - επιογές κ.ο.κ. Συνοικά έχουµε οιπόν ( ) ( ) L! Επιογές ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 Ο Αέξης, ο Βασίης και ο Γιώργος µπορούν να µπουν σε µια διάταξη µε!6 τρόπους. Πράγµατι, οι διατάξεις αυτές είναι ΑΒΓ ΑΓΒ ΒΑΓ ΒΓΑ ΓΑΒ ΓΒΑ Α. ιατάξεις αντικειµένων όταν υπάρχουν ίδια αντικείµενα. Έστω ότι έχουµε αντικείµενα: - από τα οποία είναι ίδια, του ου είδους - από τα οποία είναι ίδια, του ου είδους... - k από τα οποία είναι ίδια, του κ -στού είδους (οπότε + + L+ k ).

Το πήθος των διατάξεων των αντικειµένων δίνεται από τον τύπο!!!! k L ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 7 α) Με πόσους τρόπους µπορούµε να διατάξουµε τα γράµµατα Α,Β,Γ,,Ε; β) Με πόσους τρόπους µπορούµε να διατάξουµε τα γράµµατα Α,Α,Α,Β,Β; α) Έχουµε διάταξη 5 αντικειµένων, άρα υπάρχουν 5! τρόποι. β) Σύµφωνα µε τον παραπάνω τύπο, έχουµε 6,, και υπάρχουν!!! 5 τρόποι Πράγµατι, πρόκειται για τις διατάξεις ΑΑΑΒΒ ΑΑΒΑΒ ΑΒΑΑΒ ΒΑΑΑΒ ΑΑΒΒΑ ΑΒΑΒΑ ΒΑΑΒΑ ΑΒΒΑΑ ΒΑΒΑΑ ΒΒΑΑΑ Σηµείωση: Οι αριθµοί r εµφανίζονται και στην ανάπτυξη του διωνύµου b a ) ( + : r r b a b a r b a b a b a ) ( + + + + + + L L Π.χ. ) ( b ab a b a b a b a b a + + + + + ) ( b ab b a a b a b a b a b a b a + + + + + + +

. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗΣ Σε ένα πρόβηµα συνδυαστικής, αρχικά προσπαθούµε να καταάβουµε σε ποια περίπτωση εµπίπτει το πρόβηµά µας. Ποές φορές είναι απαραίτητο να χωρίσουµε το πρόβηµά µας σε περιπτώσεις και να αθροίσουµε (µε τον κανόνα του αθροίσµατος) τα αποτεέσµατα. Επίσης, ποές φορές υπάρχουν περιορισµοί που επιβάουν µικρές τροποποιήσεις στο σκεπτικό της ύσης µας. Ας δούµε ορισµένα προβήµατα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 Έχουµε τα 4 κεφααία γράµµατα του εηνικού αφαβήτου. Πόσες έξεις τριών γραµµάτων µπορούµε να σχηµατίσουµε; (όχι απαραίτητα µε νόηµα!) Έχουµε 4 γράµµατα και επιέγουµε r. Έχουµε ΙΑΤΑΞΕΙΣ διότι σε µια «έξη» παίζει ρόο η σειρά των γραµµάτων (άο ΣΟΙ και άο ΙΟΣ) ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ διότι το ίδιο γράµµα µπορεί να επαναηφθεί σε µια έξη (πχ στη έξη ΑΡΑ) Άρα σύµφωνα µε το τυποόγιο υπάρχουν 4 έξεις. Μπορούµε βέβαια να σκεφτούµε και µε τον τρόπο που δουέψαµε στην σχετική παράγραφο. ηαδή, για το πρώτο γράµµα έχουµε 4 επιογές, για το δεύτερο 4 επιογές, για το τρίτο 4 επιογές, άρα συνοικά 4 επιογές (συνδυασµούς). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 9 Έχουµε τα ψηφία,,,,4,5,6,7,8,9. Πόσους τριψήφιους αριθµούς µπορούµε να δηµιουργήσουµε; ουεύοντας όπως πιο πάνω θα έγαµε αριθµοί. Εδώ όµως υπάρχει ένας περιορισµός. Το πρώτο ψηφίο δεν µπορεί να είναι εφόσον µιάµε για τριψήφιους αριθµούς. Άρα έχουµε 9 επιογές για τον πρώτο ψηφίο, για το δεύτερο, για το τρίτο, άρα συνοικά, 9xx9 επιογές. 4

Πού συχνά είναι πιο βοικό να υποογίζουµε όχι ακριβώς τις περιπτώσεις που ρωτάει η άσκηση αά τις υπόοιπες που εξαιρούνται. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στο Παράδειγµα 8 προηγουµένως, σε πόσες έξεις (τριάδες) υπάρχουν επαναήψεις γραµµάτων; ος τρόπος. Θα τις µετρήσουµε ευθέως αν και είναι πιο περίποκο. Αν µπερδευτείτε προχωρήστε απευθείας στον ο τρόπο. Αν έχουµε επανάηψη στην η και η θέση, δηαδή έχουµε τη µορφή ΧΧΥ, υπάρχουν 4 κοινές επιογές για τις θέσεις αυτές και αποµένουν επιογές για την τρίτη θέση. Άρα υπάρχουν 4x55 επιογές αυτής της µορφής. Όµοια, υπάρχουν 55 τριάδες της µορφής ΧΥΧ και 55 της µορφής ΥΧΧ. Επίσης υπάρχουν 4 τριάδες της µορφής ΧΧΧ Συνοικά οιπόν υπάρχουν 55+55+55+468 τριάδες µε επανάηψη. ος τρόπος. Σκεφτόµαστε πιο πονηρά. Συνοικά είδαµε ότι υπάρχουν τριάδες. Πόσες τριάδες από αυτές δεν έχουν επαναήψεις; ηαδή πόσες ΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ, r γραµµάτων από 4 υπάρχουν; 4 Ο συνοπτικός πίνακας έει 4xx 44 Άρα οι ζητούµενες περιπτώσεις είναι 4-4468.4 ΙΑΝΟΜΗ r ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΣΕ ΚΟΥΤΙΑ Εδώ θα εξετάσουµε ένα διαφορετικό πρόβηµα συνδυαστικής. εν έχει να κάνει µε επιογή από ένα σύνοο αντικειµένων όπως µέχρι τώρα, αά µε τοποθέτηση διαφόρων αντικειµένων σε ένα ορισµένο σύνοο από κουτιά. Θέουµε να τοποθετήσουµε r αντικείµενα µέσα σε κουτιά 5

Υπάρχουν και εδώ περιπτώσεις. Μπορεί να αντικείµενα να είναι ΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΑ (πχ γράµµατα, αριθµοί, φάκεοι που ξεχωρίζουν µεταξύ τους) ή ΜΗ ΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΑ (πχ κόκκινες µπάες οι οποίες είναι όες όµοιες). Επίσης µπορεί να ΠΑΙΖΕΙ ΡΟΛΟ Η ΣΕΙΡΑ των αντικειµένων όπως τοποθετούνται στα κουτιά είτε ΝΑ ΜΗΝ ΠΑΙΖΕΙ ΡΟΛΟ Η ΣΕΙΡΑ. ίνουµε απευθείας το τυποόγιο ιακεκριµένα αντικείµενα όπου δεν παίζει ρόο η σειρά ιακεκριµένα αντικείµενα όπου παίζει ρόο η σειρά ( )! Μη διακεκριµένα αντικείµενα r ( + r )! + r r Ας δούµε την εφαρµογή τους σε απά παραδείγµατα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έχουµε κουτιά και θέουµε να τοποθετήσουµε µέσα διαφορετικούς φακέους (δεν παίζει ρόο η σειρά µε την οποία τοποθετούνται) Σύµφωνα µε τον πρώτο τύπο υπάρχουν 9 τρόποι. Πράγµατι, για να το δούµε στην πράξη, αν ονοµάσουµε τους φακέους Α,Β,Γ οι 9 τρόποι είναι: Α και Β Α και Β Α και Β Α Β Α Β Β Α Β Α Α Β Β Β 6

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έχουµε κουτιά και θέουµε να τοποθετήσουµε τα γράµµατα Α και Β ενώ παίζει ρόο η σειρά µε την οποία τοποθετούνται σε ένα κουτί. Σύµφωνα µε τον δεύτερο τύπο υπάρχουν ( + r )! 4! 4 ( )!! τρόποι. Προσέξτε ότι εδώ είναι διαφορετική η τοποθέτηση Α,Β από την τοποθέτηση Β,Α σε ένα κουτί εφόσον παίζει ρόο η σειρά. Πέρα οιπόν από τις 9 παραπάνω περιπτώσεις έχουµε και τις περιπτώσεις Β-Α Β-Α Β-Α ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έχουµε κουτιά και θέουµε να τοποθετήσουµε κόκκινες µπάες. Σύµφωνα µε τον τρίτο τύπο υπάρχουν Πράγµατι, οι περιπτώσεις είναι + r 4 r 4! 6!! τρόποι. Κ-Κ Κ-Κ Κ-Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ 7

Εδώ βεβαία είχαµε µικρό αριθµό κουτιών και αντικειµένων και η καταγραφή των περιπτώσεων ήταν εύκοη. Ας δούµε τα ίδια παραδείγµατα και µε ίγο µεγαύτερα νούµερα όπου δεν είναι δυνατόν να περιγράψουµε ρητά τις περιπτώσεις και η συνδυαστική µας ύνει τα χέρια. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 α) Έχουµε κουτιά και θέουµε να τοποθετήσουµε µέσα 4 διαφορετικούς φακέους: υπάρχουν 4 τρόποι. β) Έχουµε κουτιά και θέουµε να τοποθετήσουµε τους αριθµούς,,,4. Παίζει ρόο η σειρά µε την οποία τοποθετούνται: υπάρχουν ( + r )!! ( )! 9! 76 τρόποι. [Η διαφορά εδώ µε το προηγούµενο παράδειγµα είναι ότι για να µπουν πχ οι πρώτοι φάκεοι στο πρώτο κουτί υπάρχει τρόπος, ενώ για να µπουν οι αριθµοί,, στο πρώτο κουτί υπάρχουν αρκετοί τρόποι: --, --, --, κπ. Γι αυτό έχουµε περισσότερους τρόπους στο δεύτερο παράδειγµα] γ) Έχουµε κουτιά και θέουµε να τοποθετήσουµε 4 κόκκινες µπάες: + r r υπάρχουν! 75 4 4!9! τρόποι. 8

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Στο παιχνίδι του ΟΠΑΠ «Extra 5» ο παίκτης επιέγει 5 αριθµούς από έως 5. α) Πόσοι συνδυασµοί 5άδων µπορούν να σχηµατιστούν; Άρα, αν παίξουµε µόνο µια στήη (δη. µια 5άδα), ποια είναι η πιθανότητα να πετύχουµε 5άρι; β) Εάν επιέξουµε 8 αριθµούς, πόσες στήες (δη. 5άδες) παίζουµε ουσιαστικά;. Μια πιτσαρία χρησιµοποιεί στην κατασκευή της πίτσας της µέχρι 9 διαφορετικά υικά (µπορεί να µην περιέχει κανένα, να περιέχει µερικά ή ακόµη και τα 9 υικά) α) Πόσες πίτσες έχουν ακριβώς τρία είδη; β) Πόσες πίτσες έχουν το πού τρία είδη; γ) Πόσα είδη πίτσας προσφέρει;. Θεωρήστε όες τις εηνικές έξεις των 5 γραµµάτων (µε κεφααία και όχι απαραίτητα µε νόηµα) που µπορούν να σχηµατιστούν. Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήµατα: α) Πόσες είναι οι έξεις αυτές; β) Πόσες από τις παραπάνω έξεις ξεκινούν από Α; γ) Πόσες από τις παραπάνω έξεις αρχίζουν και καταήγουν στο ίδιο γράµµα; δ) Πόσες από τις παραπάνω έξεις έχουν όα τα γράµµατα διαφορετικά; ε) Πόσες από τις παραπάνω έξεις έχουν τουάχιστον δύο ίδια γράµµατα;.4 Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήµατα: α) Με πόσους τρόπους µπορούµε να διατάξουµε τα γράµµατα Α,Β,Γ,,Ε,Ζ; β) Με πόσους τρόπους µπορούµε να διατάξουµε τα γράµµατα Α,Α,Α,Β,Γ,Γ; γ) Με πόσους τρόπους µπορούµε να διατάξουµε τα γράµµατα Α,Α,Α,Α,Α,Β και ποιοι είναι οι τρόποι αυτοί;.5 Έχουµε άτοµα και θέουµε να τα χωρίσουµε σε δύο οµάδες των 5 και των 7 ατόµων αντίστοιχα. Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει αυτό α) αν δεν υπάρχει κανένας άος περιορισµός; β) αν δύο συγκεκριµένα άτοµα δεν πρέπει να βρίσκονται στην ίδια οµάδα;.6 Ο αριθµός µιας πινακίδας αυτοκινήτου σχηµατίζεται από τρία γράµµατα µεταξύ των 4 που εµφανίζονται τόσο στο εηνικό όσο και στο ατινικό αφάβητο καθώς επίσης και από έναν τετραψήφιο αριθµό. Να υποογίσετε 9

α) Πόσες πινακίδες αυτοκινήτων µπορούν να υπάρξουν; β) Πόσες πινακίδες έχουν τρία κοινά γράµµατα γ) Πόσες πινακίδες έχουν τέσσερις ίδιους αριθµούς δ) Πόσες πινακίδες έχουν τρία κοινά γράµµατα και τέσσερις ίδιους αριθµούς ε) Πόσες πινακίδες δεν περιέχουν το ψηφίο.7 Πόσες δυαδικές κωδικές έξεις των bits µπορούν να σχηµατιστούν; Στα δίκτυα, µια διεύθυνση IP αποτεείται από δυαδικά bits. ιευθύνσεις που έχουν σαν πρώτο bit το χαρακτηρίζονται ως διευθύνσεις κάσης Α και αφιερώνουν τα 8 πρώτα bit για τη διεύθυνση του δικτύου και τα υπόοιπα 4 bit για τη διεύθυνση του υποογιστή. Έχουν δηαδή τη µορφή - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Έτσι για παράδειγµα η IP διεύθυνση --- (που µε µορφή δεκαδικών ψηφίων γράφεται 7..8.4) αναφέρεται στο δίκτυο 7 µε διεύθυνση υποογιστή.8.4 εδοµένου ότι τα 8 πρώτα ψηφία δε µπορεί να είναι ή (το πρώτο χρησιµοποιείται για εσωτερικές ειτουργίες του ίδιου του δικτύου ενώ το δεύτερο για broadcast σε όα τα δίκτυα) α) Πόσα δίκτυα µπορούν να εξυπηρετηθούν από διευθύνσεις κάσης Α; β) Πόσοι υποογιστές µπορούν να εξυπηρετηθούν σε κάθε δίκτυο κάσης Α; γ) Πόσες είναι συνοικά οι IP διευθύνσεις υποογιστών κάσης Α;.8 Έχω τρεις φίους, τον Αγησίαο, το Βασίη και το Γιάννη. α) ιαθέτω 8 διαφορετικά δώρα. Με πόσους τρόπους µπορώ να τους τα µοιράσω; (ένας φίος µπορεί να πάρει από κανένα µέχρι και τα 8 δώρα!) β) ιαθέτω 8 καρτέες µε νούµερα:,,,4,5,6,7,8. Τα µοιράζω στους φίους µου ώστε να σχηµατίσει ο καθένας έναν αριθµό (η να έχει κενό αριθµό) Πχ δύο από τις δυνατές µοιρασιές είναι οι εξής Α:5, Β:7, Γ: 648 Α:47 Β:- Γ:85 Πόσες τέτοιες µοιρασιές υπάρχουν; γ) ιαθέτω 8 ευρώ σε χαρτονοµίσµατα των ευρώ. Με πόσους τρόπους µπορώ να µοιράσω το ποσό αυτό στους φίους µου; δ) Ποια είναι η απάντηση σε καθεµιά από τις παραπάνω περιπτώσεις αν κάθε φίος µου πρέπει να πάρει υποχρεωτικά τουάχιστον ένα αντικείµενο;

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. α) 46 β) 56. α) 84 β) γ) 5. α) 4 5 79664 β) 4 4 776 γ) 4 4 776 δ) P(4,5)548 ε) 8644.4 α) 7 β) 6 γ) 6.5 α) 79 β) 54.6 α) 4 x 9 4696 β) 6 γ) 4696 δ) 6 ε) 4 x 9 4.7 α) β) 6 γ) 4 δ) 6 x 4.8 α) 656 β) 844 γ) 45 δ) 656 x 8 + 5796, P(8,)x(7!/!)8467,

. ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. ΣΥΝΟΛΑ εχόµαστε σαν σύνοο µια συογή από αντικείµενα (δεν µπαίνουµε στη διαδικασία να το ορίσουµε αυστηρά γιατί δε χρειάζεται για το σκοπό µας). Συνήθως συµβοίζεται µε ένα κεφααίο γράµµα, Α,Β κπ. Μπορούµε να το περιγράψουµε µε διάφορους τρόπους: α) καταγράφοντας τα στοιχεία του: Α{,5,8,} β) µε όγια: Το σύνοο Β αποτεείται από όες τις πόεις της Εάδας γ) µε µια γενική περιγραφή: C{x <x<}, δηαδή το σύνοο όων των αριθµών x µε την ιδιότητα το x να βρίσκεται ανάµεσα στο και το. Υπενθυµίζουµε κάποιους βασικούς συµβοισµούς: a A A B : το α ανήκει στο σύνοο Α : το Α είναι υποσύνοο του Β, δηαδή κάθε στοιχείο του Α ανήκει και στο Β A B : το Α και το Β περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία A B : το Α είναι γνήσιο υποσύνοο του Β, δηαδή ισχύει A B αά όχι A B Σηµειώστε ότι A B ισοδυναµεί µε ( A B και B A ) Επίσης µια πάγια γραµµή πάνω στο σύµβοο της σχέσης ακυρώνει τη σχέση, π.χ. a A σηµαίνει ότι το α δεν ανήκει στο σύνοο Α. Όµοια και για τα υπόοιπα σύµβοα. Ορίζουµε επίσης τα σύνοα Ø : το κενό σύνοο, το οποίο δεν περιέχει κανένα στοιχείο. Το θεωρούµε υποσύνοο κάθε συνόου

A B : Η ένωση των Α και Β που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο Α είτε στο Β (ή και στα δύο) A B : Η τοµή των Α και Β που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο Α και στο Β ταυτόχρονα. A \ B : Η µερική διαφορά του Β από το Α που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο Α αά όχι στο Β Συνήθως, θεωρούµε ένα αρχικό σύνοο S που περιέχει όα τα στοιχεία που µας ενδιαφέρουν και κατόπιν χρησιµοποιούµε διάφορα υποσύνοά του. Έτσι αν το Α είναι υποσύνοο του S, ορίζουµε A : Το συµπήρωµα του Α που περιέχει τα στοιχεία του S που δεν ανήκουν στο Α. ηαδή A S \ A Τα νέα σύνοα που ορίσαµε περιγράφονται πιο παραστατικά (ως σκιασµένες περιοχές) µε διαγράµµατα Ve: S A B S A B A B A B S A B S A A \ B A ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Αν S {,,,4,5,6,7,8,9,} και A {,,,4 }, B {,4,5,6,7 } A B {,,,4,5,6,7 } A B {,4}, τότε 4

\ B {, } A και B \ A {5,6,7} A {5,6,7,8,9,} και B {,,8,9,} ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Χρησιµοποιώντας διαγράµµατα Ve µπορείτε να δείξετε ότι i) ( A B) C A ( B C) ii) A ( B C) ( A B) ( A C) iii) A ( B C) ( A B) ( A C) iv) A B A B v) A B A B Π.χ. για το iii), αν παρατηρήσουµε και τα δύο µέη ξεχωριστά, µας δίνουν το ίδιο αποτέεσµα: S A B C. ΕΙΓΜΑΤΟΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Όα τα δυνατά αποτεέσµατα ενός πειράµατος τύχης θα αποτεούν το δειγµατοχώρο µας, ενώ µε τον όρο ενδεχόµενο (ή γεγονός) θα εννοούµε κάθε σύνοο που αποτεείται από ορισµένα δυνατά αποτεέσµατα. Στη γώσσα των συνόων ο δειγµατοχώρος θα είναι ένα αρχικό σύνοο S, και κάθε υποσύνοο του S θα ονοµάζεται ενδεχόµενο. Αν το υποσύνοο περιέχει µόνο ένα στοιχείο του δειγµατοχώρου θα ονοµάζεται από ενδεχόµενο (ή από γεγονός). Σηµειώνουµε ότι τόσο το κενό σύνοο Ø, όσο και το ίδιο το S αποτεούν ενδεχόµενα. 5

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ρίχνουµε ένα ζάρι (αυτό είναι το πείραµα τύχης!) και παρατηρούµε τον αριθµό που φέρνουµε. Ο δειγµατοχώρος είναι S {,,,4,5,6} ίνουµε ορισµένα ενδεχόµενα: - Να φέρουµε άρτιο αριθµό: A {,4,6}. - Να φέρουµε αριθµό µικρότερο ή ίσο του : A {, } - A {,4,5,6 } - A 4 {} (πρόκειται για ένα από ενδεχόµενο) - Ø - S {,,,4,5,6 } ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 Ρίχνουµε ένα νόµισµα 4 φορές και παρατηρούµε το συνοικό αριθµό ΚΕΦΑΛΩΝ που φέρνουµε. Εδώ, ίνουµε και δύο ενδεχόµενα: S {,,,,4} - να µη φέρουµε καµία ΚΕΦΑΛΗ: A {}, - να φέρουµε δύο ή τρεις ΚΕΦΑΛΕΣ: A {,} ΠΡΟΣΟΧΗ: Το ενδεχόµενο Ø είναι διαφορετικό από το ενδεχόµενο { }. Το τεευταίο περιέχει ένα δυνατό αποτέεσµα, είναι δηαδή ένα από ενδεχόµενο. Το πρώτο δεν περιέχει κανένα δυνατό αποτέεσµα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 [Για να βρούµε το δειγµατοχώρο πρέπει να έχουµε µια καθαρή εικόνα για το τι παρατηρούµε. Ας αάξουµε π.χ. εαφρώς το προηγούµενο παράδειγµα] 6

Ρίχνουµε ένα νόµισµα 4 φορές και παρατηρούµε την σειρά ΚΕΦΑΛΩΝ και ΓΡΑΜΜΑΤΩΝ που φέρνουµε. Τώρα ο δειγµατοχώρος είναι S { ΚΚΚΚ, ΚΚΚΓ, ΚΚΓΚ, ΚΚΓΓ, ΚΓΚΚ, ΚΓΚΓ, ΚΓΓΚ, ΚΓΓΓ, ΓΚΚΚ, ΓΚΚΓ, ΓΚΓΚ, ΓΚΓΓ, ΓΓΚΚ, ΓΓΚΓ, ΓΓΓΚ, ΓΓΓΓ }. Μπορούµε οιπόν να εκφράσουµε το ενδεχόµενο να φέρουµε περισσότερες ΚΕΦΑΛΕΣ από ΓΡΑΜΜΑΤΑ µε το υποσύνοο του δειγµατοχώρου: A { ΚΚΚΚ, ΚΚΚΓ, ΚΚΓΚ, ΚΓΚΚ, ΓΚΚΚ } ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 [Ο δειγµατοχώρος δεν είναι πάντοτε πεπερασµένος. Μπορεί κάιστα να είναι ένα άπειρο σύνοο] Μια µηχανή κατασκευάζει ένα συγκεκριµένο προϊόν. Κάποια προϊόντα βγαίνουν εαττωµατικά. Η µηχανή συνεχίζει να κατασκευάζει ωσότου συγκεντρωθούν δέκα µη εαττωµατικά προϊόντα. Πόσα προϊόντα είναι δυνατό να κατασκευαστούν συνοικά; Προφανώς πρέπει να κατασκευαστούν τουάχιστον δέκα προϊόντα. Ο δειγµατοχώρος είναι S {,,,,4, K} Έστω S ο δειγµατοχώρος µας και A, B δύο ενδεχόµενα, δηαδή A, B S. Μπορούµε µε τις πράξεις των συνόων που αναφέραµε νωρίτερα να ορίσουµε τα εξής νέα ενδεχόµενα: - A B : να συµβεί το ενδεχόµενο A ή το ενδεχόµενο B - A B : να συµβούν τα ενδεχόµενα Α και Β ταυτόχρονα. - A \ B : να συµβεί το ενδεχόµενο Α αά όχι το ενδεχόµενο Β. - A : να µη συµβεί το ενδεχόµενο Α ύο ενδεχόµενα Α και Β θα έγονται ξένα µεταξύ τους αν δεν µπορούν να συµβούν ταυτόχρονα, δηαδή αν A B / 7

. Η ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΕΝΟΣ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΟΥ Στην προσπάθειά µας να ορίσουµε την έννοια της πιθανότητας θα χρησιµοποιήσουµε σαν πείραµα το παράδειγµα του ζαριού. Έστω οιπόν ότι ρίχνουµε ένα ζάρι και µε Α συµβοίζουµε το ενδεχόµενο να φέρουµε την ένδειξη, δηαδή S {,,,4,5,6} και A {} ιαισθητικά κατααβαίνουµε ότι υπάρχει µια πιθανότητα στις 6 να συµβεί το ενδεχόµενο Α. Αν επαναάβουµε το πείραµα αρκετές φορές αναµένουµε περίπου στο /6 των επαναήψεων να «πετύχουµε». Όσο αυξάνουµε τον αριθµό των επαναήψεων τόσο πιο κοντά στο /6 θα βρίσκεται η σχετική συχνότητα p A αριθµός επαναήψεων ενδεχοµένου Α συνοικός αριθµός επαναήψεων Για σχετική συχνότητα παρατηρούµε γενικά ότι p. A. για το ενδεχόµενο S, το οποίο συµβαίνει πάντοτε, είναι p.. για το ενδεχόµενο /, το οποίο δεν συµβαίνει ποτέ, / S p. p p + p 4. αν τα Α και Β είναι ξένα µεταξύ τους, τότε A B A B Τέος, όταν ο αριθµός των επαναήψεων πησιάζει στο άπειρο, η σχετική συχνότητα p πησιάζει σε έναν συγκεκριµένο αριθµό (A) A P, ο οποίος θα αποτεεί την πιθανότητα του Α. Ο εµπειρικός αυτός ορισµός της πιθανότητας οδηγεί στον παρακάτω αυστηρότερο ορισµό. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω S ο δειγµατοχώρος ενός πειράµατος. Σε κάθε ενδεχόµενο Α αντιστοιχίζουµε έναν αριθµό P (A), που τον ονοµάζουµε πιθανότητα του Α, µε τις εξής ιδιότητες: 8

. P ( A). P ( S). P ( ) / 4. Αν A B /, τότε P ( A B) P( A) + P( B) [Κανονικά η ιδιότητα είναι περιττή καθώς προκύπτει από τις ιδιότητες και 4 για A S και / B ] Άες ιδιότητες που προκύπτουν από τον ορισµό είναι οι εξής: P( A) P( A) P( A B) P( A) + P( B) P( A B), για οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α και Β P ( A B C) P( A) + P( B) + P( C) P( A B) P( B C) P( C A) Αν B + P( A B C) A τότε P( A) P( B)..4 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΙ ΕΙΓΜΑΤΟΧΩΡΟΙ Έστω S a, a. K, a } ένας πεπερασµένος δειγµατοχώρος και ότι τα απά { ενδεχόµενα έχουν αντίστοιχες πιθανότητες { a }, a },..., a } { { p, p,..., p Ισχύουν α) p για κάθε i,, K, i β) p p + L + p + Επίσης, για ένα ενδεχόµενο Α, η αντίστοιχη πιθανότητα P (A) βρίσκεται εύκοα αθροίζοντας τις επιµέρους πιθανότητες, π.χ. αν A a, a, }, τότε { 4 a5 P ( A) p + p + p 4 5 9

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 7 ίνεται ο δειγµατοχώρος a, a, } S και οι εξής προϋποθέσεις: { a Το a έχει διπάσια πιθανότητα να συµβεί απ ότι το a Το a έχει διπάσια πιθανότητα να συµβεί απ ότι το a A a a. Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου, } { Οι προϋποθέσεις µας δίνουν ότι p p και p p (Άρα, p 4p ) Όµως, οπότε p + p+ p 4p + p+ p 7p p 7 Κατά συνέπεια, p 4 7, 7 p και τεικά ( A) 4 + 6 7 7 7 P. Συνήθως όα τα δυνατά αποτεέσµατα του δειγµατοχώρου έχουν την ίδια πιθανότητα να συµβούν. Έτσι αν S { a, a. K, a } έχουµε p p L p Σε µια τέτοια περίπτωση, αν το ενδεχόµενο Α που µεετάµε περιέχει r δυνατά αποτεέσµατα, ισχύει r P ( A) πήθος ζητούµενων αποτεεσµάτων πήθος δυνατών αποτεεσµάτων

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 Ρίχνουµε ένα ζάρι. Όα τα δυνατά αποτεέσµατα έχουν την ίδια πιθανότητα Το ενδεχόµενο Α «να φέρουµε πάνω από 4» {5,6} έχει πιθανότητα ( A) 6 P.. 6 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 9 Ρίχνουµε ένα νόµισµα δύο φορές και ζητάµε την πιθανότητα να φέρουµε µόνο µια ΚΕΦΑΛΗ. Χρειάζεται προσοχή στον καθορισµό του δειγµατοχώρου και των επιµέρους πιθανοτήτων. Εάν µετράµε τον αριθµό των ΚΕΦΑΛΩΝ που µπορούµε να φέρουµε στις δύο ρίψεις, ο δειγµατοχώρος είναι S {,,} Θα ήταν άθος να θεωρήσουµε ότι και τα τρία δυνατά αποτεέσµατα έχουν την ίδια πιθανότητα, δηαδή Έτσι, καθώς το αµβάνεται µε έναν τρόπο (ΓΡΑΜΜΑ-ΓΡΑΜΜΑ) το αµβάνεται µε δύο τρόπους (ΚΕΦΑΛΗ-ΓΡΑΜΜΑ ή ΓΡΑΜΜΑ-ΚΕΦΑΛΗ) το αµβάνεται µε έναν τρόπο (ΚΕΦΑΛΗ-ΚΕΦΑΛΗ). P ( ) 4 Η ζητούµενη πιθανότητα είναι οιπόν P ( ) 4 ( ) 4 P. P ( ) Ίσως θα ήταν καύτερα να θεωρήσουµε σαν δειγµατοχώρο το Το ζητούµενο ενδεχόµενο είναι το S ' { ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ } A { ΚΓ, ΓΚ } 4 µε πιθανότητα P ( A) 4

.5 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ-ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου εξαρτάται ποές φορές από κάποιο άο ενδεχόµενο που επηρεάζει το τυχαίο πείραµά µας. Έτσι για παράδειγµα, η πιθανότητα να βρέξει έτσι απά, από την πιθανότητα να βρέξει όταν γνωρίζουµε ότι υπάρχει συννεφιά είναι διαφορετική: προφανώς στη δεύτερη περίπτωση η πιθανότητα είναι µεγαύτερη. Ας δούµε ένα πιο αριθµητικό παράδειγµα. Έστω ότι από µια τράπουα µε 5 χαρτιά τραβάµε ένα φύο και κερδίζουµε αν είναι ΚΟΚΚΙΝΟΣ ΑΣΣΟΣ. Η πιθανότητα να κερδίσουµε είναι /5 (διότι υπάρχουν δύο κόκκινοι άσσοι: καρό και κούπα!), δηαδή τεικά /6. Εάν όµως κάποιος µας «σφυρίξει» ότι το φύο είναι ΚΟΥΠΑ η πιθανότητα να κερδίσουµε αάζει. Υπάρχουν ΚΟΥΠΕΣ και από αυτές κερδίζει ο ένας ΑΣΣΟΣ οπότε η πιθανότητα να κερδίσουµε είναι /. Η δεσµευµένη πιθανότητα έρχεται να εκφράσει αυτή ακριβώς την περίπτωση: την πιθανότητα ενός ενδεχοµένου ενώ γνωρίζουµε κάποιο άο ενδεχόµενο. Ορίζουµε P(B/A) «η πιθανότητα να συµβεί το ενδεχόµενο Β δεδοµένου ότι έχει συµβεί το ενδεχόµενο Α» Η δεσµευµένη πιθανότητα (αού θα τη βρείτε ως πιθανότητα υπό συνθήκη) δίνεται από τον τύπο P( B / A) P( A B) P( A) (*) µε την προϋπόθεση βέβαια ότι P(A) >. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στο παράδειγµα της τράπουας που περιγράψαµε πιο πάνω ζητάµε την πιθανότητα να πετύχουµε ΚΟΚΚΙΝΟ ΑΣΣΟ δεδοµένου ότι έχει τραβηχτεί ΚΟΥΠΑ. Θέτουµε Α «έχει τραβηχτεί ΚΟΥΠΑ» Β «έχει τραβηχτεί ΚΟΚΚΙΝΟΣ ΑΣΣΟΣ» και ουσιαστικά ζητάµε την πιθανότητα P(B/A).

Προσέξτε ότι A B «έχει τραβηχτεί ΑΣΣΟΣ ΚΟΥΠΑ» Συνεπώς, σύµφωνα µε τον τύπο (*), P( A B) P ( B / A) 5 P( A) 5 Βέβαια, ακοουθώντας τον κασικό τρόπο, θα µπορούσε να θεωρήσει κανείς σαν δειγµατοχώρο µόνο τις ΚΟΥΠΕΣ που είναι, ενώ τα φύα που κερδίζουν είναι µόνο, οπότε πήθος ζητούµενων φύων P ( B / A) πήθος από ΚΟΥΠΕΣ Ο τύπος (*) είναι πιο χρήσιµος στη µορφή P ( A B) P( A) P( B / A) (**) Μας βοηθάει να βρούµε την πιθανότητα να συµβούν δύο ενδεχόµενα Α και Β ταυτόχρονα, όταν το ένα ενδεχόµενο εξαρτάται άµεσα από το άο. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ένα κουτί περιέχει ΑΣΠΡΕΣ και ΜΑΥΡΕΣ µπάες. Αν τραβήξουµε δύο µπάες τη µία µετά την άη, ποια είναι η πιθανότητα να είναι και οι δύο ΜΑΥΡΕΣ; Η πρώτη και σηµαντικότερη δουειά σε τέτοια προβήµατα είναι να καθορίσουµε τα κατάηα ενδεχόµενα. Θέτουµε οιπόν, Α «η πρώτη µπάα είναι ΜΑΥΡΗ» Β «η δεύτερη µπάα είναι ΜΑΥΡΗ» και ουσιαστικά ζητάµε την πιθανότητα P(A B). Σύµφωνα µε τον τύπο (**) έχουµε

P ( A B) P( A) P( B / A) 5 4 ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ P(B/A): Παρατηρούµε ότι η πιθανότητα P(A) είναι, καθώς δύο από τις πέντε συνοικά 5 µπάες είναι ΜΑΥΡΕΣ. Η πιθανότητα P(B) είναι πιο δύσκοο να προσδιοριστεί. Η πιθανότητα να τραβήξουµε τη δεύτερη φορά ΜΑΥΡΗ µπάα εξαρτάται άµεσα από το τι τραβήξαµε την πρώτη φορά. A «η πρώτη µπάα είναι ΜΑΥΡΗ» οπότε P ( B / A) / 4 A «η πρώτη µπάα είναι ΑΣΠΡΗ» οπότε P ( B / A) / 4 (Στο παράδειγµά µας χρειαστήκαµε µόνο την δεσµευµένη πιθανότητα P ( B / A) / 4 ) Ας υποθέσουµε ότι ρίχνουµε ένα ζάρι δύο φορές και ας θέσουµε Α «την πρώτη φορά φέρνουµε άρτιο αριθµό» {,4,6} Β «την δεύτερη φορά φέρνουµε 6» {6} Είναι φανερό ότι τα δύο ενδεχόµενα είναι άσχετα µεταξύ τους, δηαδή το ενδεχόµενο Α δεν επηρεάζει το ενδεχόµενο Β. Στην περίπτωση αυτή ισχύει (που ισούται µε ρίψη. Ο τύπος (**) γίνεται P ( B / A) P( B) ) καθώς το ενδεχόµενο Α δεν παίζει κανένα ρόο στη δεύτερη 6 P ( A B) P( A) P( B) 4

ΟΡΙΣΜΟΣ: Όταν ισχύει P(A B)P(A)P(B) έµε ότι τα ενδεχόµενα Α και Β είναι ανεξάρτητα. Συνοψίζοντας, όταν σε ένα πρόβηµα κατααβαίνουµε ότι τα ενδεχόµενα Α και Β είναι ανεξάρτητα χρησιµοποιούµε τον τύπο. P ( A B) P( A) P( B) όταν κατααβαίνουµε ότι υπάρχει εξάρτηση χρησιµοποιούµε τον τύπο. P ( A B) P( A) P( B / A) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Από µία τράπουα 5 χαρτιών τραβάµε δύο φύα, το ένα µετά το άο. Να βρεθεί η πιθανότητα να τραβήξουµε δύο ΑΣΣΟΥΣ αν το πρώτο φύο α) ξαναµπεί στην τράπουα β) δεν ξαναµπεί στην τράπουα πριν προχωρήσουµε στο δεύτερο φύο. Θέτουµε, Α «την πρώτη φορά τραβάµε ΑΣΣΟ» Β «τη δεύτερη φορά τραβάµε ΑΣΣΟ» Και στις δύο περιπτώσεις ζητάµε το P(A B). α) Εφόσον το πρώτο φύο ξαναµπαίνει στην τράπουα, έχουµε ξανά µια τράπουα 5 φύων και η δεύτερη προσπάθεια δεν επηρεάζεται. Συνεπώς, τα δύο ενδεχόµενα είναι ανεξάρτητα και 4 4 P ( A B) P( A) P( B) 5 5 69 β) Εάν την πρώτη φορά τραβήξουµε ΑΣΣΟ και συνεχίσουµε θα µείνει µια τράπουα µε 5 φύα και ΑΣΣΟΥΣ. Τα δύο ενδεχόµενα Α και Β είναι εξαρτηµένα και έχουµε 4 P ( A B) P( A) P( B / A) 5 5 5

Όπως είναι φυσικό, στην περίπτωση β) είναι ιγότερο πιθανό να τραβήξουµε δύο ΑΣΣΟΥΣ καθώς στη δεύτερη προσπάθεια ιγοστεύουν οι διαθέσιµοι ΑΣΣΟΙ. Στο τεευταίο παράδειγµα ας θέσουµε το ερώτηµα «Ποια είναι η πιθανότητα το δεύτερο φύο να είναι ΑΣΣΟΣ;», δηαδή ζητάµε το P (B). Καθώς το Β εξαρτάται από το αποτέεσµα της πρώτης προσπάθειας, θα πρέπει να εξετάσουµε την πιθανότητα του Β σε συνδυασµό µε όες τις δυνατές περιπτώσεις της πρώτης προσπάθειας και να αθροίσουµε τα επιµέρους αποτεέσµατα. Έτσι, P ( B) P( B / A) P( A) + P( B / A) P( A) 5 4 5 + 4 5 48 5 Γενικά, αν τα ενδεχόµενα A,A,,A αποτεούν µια διαµέριση του δειγµατοχώρου S, δηαδή τότε είναι ανά δύο ξένα µεταξύ τους και A A L A S P B) P( B / A ) P( A ) + P( B / A ) P( A ) + L + P( B / A ) P( A ) ( ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5% των ψυγείων της αγοράς κατασκευάζονται από την εταιρεία Α, 5% από την εταιρεία Β και 5% από την εταιρεία Γ. Ένα ποσοστό % τόσο της εταιρείας Α όσο και της Β είναι εαττωµατικά ενώ το ποσοστό αυτό για την εταιρεία Γ είναι 4%. Εάν διαέξουµε ένα ψυγείο στην τύχη, ποια είναι η πιθανότητα να είναι εαττωµατικό; Τα πάντα ξεκαθαρίζονται αν καθορίσουµε κατάηα ενδεχόµενα. Θέτουµε οιπόν - A «το ψυγείο είναι της εταιρείας Α» µε P ( A ) 5 6

ενώ - A «το ψυγείο είναι της εταιρείας Β» µε - A «το ψυγείο είναι της εταιρείας Γ» µε - B «το ψυγείο είναι εαττωµατικό» P ( A ) P ( A ) 5 5 και ουσιαστικά ζητάµε την πιθανότητα P (B). Τα δεδοµένα µας ένε Έχουµε P ( B / A ) P ( B / A ) P ( B / A ) 4 P ( B) P( B / A ) P( A ) + P( B / A ) P( A ) + P( B / A ) P( A ) 5 + 5 + 4 5 + + 4.5% Η ζητούµενη πιθανότητα είναι.5% 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Εκτεούµε τα παρακάτω πειράµατα τύχης: α) Ρίχνουµε ένα ζάρι και µεετάµε τις ενδείξεις. β) Ρίχνουµε δύο ζάρια και µετράµε το άθροισµα των ενδείξεων. γ) Ρίχνουµε ένα ζάρι φορές. Μετράµε το πήθος των 6αριών που µπορούµε να φέρουµε. δ) Ρίχνουµε ζάρια. Μετράµε το πήθος των 6αριών που µπορούµε να φέρουµε. ε) Ρίχνουµε ένα ζάρι µέχρι να φέρουµε δύο 6άρια. Μετράµε το πήθος των ρίψεων. Για κάθε πείραµα απαντήστε στα παρακάτω ερωτήµατα: Ποιος είναι ο δειγµατοχώρος; Εκτιµάτε ότι έχουν όα τα απά ενδεχόµενα την ίδια πιθανότητα; Ποιο από ενδεχόµενο νοµίζετε ότι είναι πιο πιθανό;. Με βάση τα αποτεέσµατα που βρήκατε στην άσκηση., αν επιέξουµε 8 αριθµούς στο «Extra 5» ποια είναι η πιθανότητα να πετύχουµε 5άρι;.. Θεωρήστε όες τις εηνικές έξεις των 5 γραµµάτων (όχι απαραίτητα µε νόηµα) που µπορούν να σχηµατιστούν. Με βάση τα αποτεέσµατα που βρήκατε στην άσκηση., να υποογίσετε τις παρακάτω πιθανότητες: α) µια έξη να αρχίζει από Α; β) µια έξη να αρχίζει και να καταήγει στο ίδιο γράµµα; γ) µια έξη να έχει όα τα γράµµατα διαφορετικά; δ) µια έξη να έχει τουάχιστον δύο ίδια γράµµατα;.4 Με βάση τα αποτεέσµατα που βρήκατε στην άσκηση.6, ποια είναι η πιθανότητα µια πινακίδα αυτοκινήτου να έχει α) τρία κοινά γράµµατα β) τέσσερις ίδιους αριθµούς γ) τρία κοινά γράµµατα και τέσσερις ίδιους αριθµούς δ) αριθµό που να µην περιέχει το ψηφίο.5 Να υποογίσετε τα εξής α) Ποια είναι η πιθανότητα ένας φυσικός αριθµός από το µέχρι το 999 να περιέχει το ψηφίο 7 (τουάχιστον µια φορά); β) Ποια είναι η πιθανότητα ένας τετραψήφιος αριθµός να περιέχει το ψηφίο 7 ; [υπόδειξη: προτιµότερο να µετρήσετε πόσοι αριθµοί δεν περιέχουν το ψηφίο 7] 8

.6 Με βάση τα αποτεέσµατα που βρήκατε στην άσκηση.8, αν µοιράσω 8 διαφορετικά δώρα σε φίους µου µε τυχαίο τρόπο, ποια είναι η πιθανότητα να πάρουν όοι από ένα δώρο τουάχιστον;.7 ύο δοχεία, Α και Β, περιέχουν από 5 άσπρες και µαύρες µπάες το καθένα. ιαέγουµε τυχαία µια µπάα από το δοχείο Α και την τοποθετούµε στο δοχείο Β. Στη συνέχεια διαέγουµε τυχαία µια µπάα από το δοχείο Β. α) Ποια είναι η πιθανότητα η πρώτη µπάα να είναι άσπρη και η δεύτερη µαύρη; β) Ποια είναι η πιθανότητα η δεύτερη µπάα να είναι µαύρη;.8 Ποιες είναι οι απαντήσεις στην προηγούµενη άσκηση εάν αντί για 5 άσπρες και µαύρες µπάες είχαµε x και y αντίστοιχα;.9 Τα ποσοστά κοµµάτων σε κάποιες εκογές είναι Κόµµα Α: 4% Κόµµα Β: 5% Κόµµα Γ: 5% Ωστόσο, µετά από ένα χρόνο οι συσπειρώσεις των κοµµάτων (ποσοστά που παραµένουν στο κόµµα τους) έχουν ως εξής: Στο Κόµµα Α: 5% Στο Κόµµα Β: 6% Στο Κόµµα Γ: 8% α) Ποιο είναι γενικά το ποσοστό των συσπειρωµένων ψηφοφόρων; β) Αν ένας ψηφοφόρος δηώνει συσπειρωµένος στο κόµµα του ποια είναι η πιθανότητα να είχε ψηφίσει το κόµµα Γ; 9

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. α) S{,,,4,5,6} β) S{,,4,5,6,7,8,9,,,} γ) και δ) S{,,,,4,5,6,7,8,9,,,} ε) S{,,4,5,6, }. /5797. α) /4 β) /4 γ) 548/79664 δ) 8644/79664.4 α) /96 β) / γ) /96 δ) 79/.5 α) 7/ β) 68/9.6 5796/65688.4%.7 α) 5/4 β) /8.8 α) xy ( x+ y)( x+ y+ ) β) xy+ y( y+ ) ( x+ y)( x+ y+ ).9 α) 6% β).79% 4

. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ. ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Είδαµε ότι τα αποτεέσµατα ενός πειράµατος τύχης, τα οποία αποτεούν το δειγµατοχώρο µας, είναι συνήθως αριθµοί. Ακόµη όµως και στην περίπτωση όπου δεν έχουµε αριθµούς αά περιγραφικά αποτεέσµατα, π.χ. ΚΕΦΑΛΗ-ΓΡΑΜΜΑ, θα µπορούσαµε να αντιστοιχίσουµε σε κάθε δυνατό αποτέεσµα έναν πραγµατικό αριθµό (π.χ. ΚΕΦΑΛΗ, ΓΡΑΜΜΑ), έτσι ώστε να µεετήσουµε πιο εύκοα το πείραµα και να συναγάγουµε χρήσιµα συµπεράσµατα. Μπορούµε π.χ. να βρούµε έναν µέσο όρο αυτών των τιµών για να δούµε που περίπου κυµαίνονται τα δυνατά αποτεέσµατα. Μπορούµε επίσης να αποφανθούµε αν οι τιµές αυτές είναι αρκετά συγκεντρωµένες γύρω από τον µέσο όρο ή πιο διάσπαρτες! Με τον τρόπο αυτό καθορίζουµε µια Τυχαία Μεταβητή που παίρνει τιµές στο σύνοο των πραγµατικών αριθµών. Τις τυχαίες µεταβητές θα τις συµβοίζουµε µε κεφάαια γράµµατα, ενώ τις τιµές που παίρνουν µε µικρά. Έτσι έµε ότι η τυχαία µεταβητή Χ παίρνει την τιµή a. Την αντίστοιχη πιθανότητα, να είναι δηαδή X a, τη συµβοίζουµε P ( X a). Στο παράδειγµα του ζαριού, αν Χ είναι η τυχαία µεταβητή που δείχνει την ένδειξη µετά από µια ρίψη, η Χ παίρνει τις τιµές,,,4,5,6. Είναι P( X ) P( X ) L P( X 6) 6 Μία τυχαία µεταβητή Χ µπορεί να είναι διακριτή ή συνεχής. Η Χ είναι διακριτή εάν παίρνει τιµές από ένα πεπερασµένο σύνοο διακεκριµένων τιµών, π.χ. στο παράδειγµα του ζαριού από το σύνοο {,,,4,5,6}, είτε από ένα σύνοο άπειρο µεν αά αριθµήσιµο (το έµε απειραριθµήσιµο) π.χ. από το σύνοο των θετικών φυσικών {,,,4,5,...} 4

Η Χ είναι συνεχής εάν παίρνει (άπειρες) τιµές σε ένα διάστηµα πραγµατικών αριθµών ( a, b). π.χ. αν Χ εκφράζει το ύψος σε µέτρα των δέντρων ενός δάσους που παίρνει τιµές στο διάστηµα (,) ή αν Χ εκφράζει το χρόνο που µεσοαβεί µεταξύ δύο τηεφωνικών κήσεων σε ένα τηεφωνικό κέντρο, που παίρνει τιµές στο διάστηµα (,+ ) (θεωρητικά µετά από µία κήση µπορεί να µην ξαναγίνει κήση ποτέ) Τα άκρα a, b του διαστήµατος οιπόν µπορεί να είναι, +. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΙΑΣ ΙΑΚΡΙΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Έστω ότι η τυχαία µεταβητή Χ µπορεί να πάρει τις διακριτές τιµές x, x x x,, 4, K (το πήθος τους µπορεί να είναι είτε πεπερασµένο είτε απειραριθµήσιµο) µε αντίστοιχες πιθανότητες p, p p p,, 4, K Οι πιθανότητες δεν µπορεί να είναι αρνητικοί αριθµοί, ενώ το άθροισµά τους πρέπει να είναι. ηαδή, ισχύουν οι προϋποθέσεις a) p, για i,,, K i b) p p + p + p + L i i Τότε έµε ότι έχουµε ορίσει µια διακριτή κατανοµή µε συνάρτηση πιθανότητας p(x), όπου p ( x p, ( x ) p ) p, κπ Σηµείωση: Στην ιδιότητα b), αν έχουµε πεπερασµένο άθροισµα γράφουµε i p, ενώ αν έχουµε απειραριθµήσιµο γράφουµε i + i p. i 4

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ρίχνουµε δύο ζάρια και συµβοίζουµε µε Χ την τυχαία µεταβητή που δηώνει το άθροισµα των ενδείξεων. Πρόκειται για διακριτή κατανοµή µε συνάρτηση πιθανότητας x 4 5 6 7 8 9 p(x) 6 6 6 4 6 5 6 6 6 5 6 4 6 6 6 6 Π.χ. είναι p ( 5) 4 6, καθώς από τους 6 συνοικά συνδυασµούς, οι συνδυασµοί που δίνουν άθροισµα πέντε είναι 4, συγκεκριµένα -4, -. - και 4-. Οι δύο προϋποθέσεις της συνάρτησης πιθανότητας ισχύουν: a) ( x) p, για x,, K, 6 6 b) p( ) + p() + L + p() Η γραφική παράσταση της συνάρτησης πιθανότητας είναι p(x) 6/6 5/6 4/6 /6 /6 /6 4 5 6 7 8 9 x 4

Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση p (x) χαρακτηρίζει πήρως την κατανοµή, δηαδή όταν την γνωρίζουµε, γνωρίζουµε επακριβώς την κατανοµή. Στο τεευταίο παράδειγµα θέτουµε το ερώτηµα: Ποια είναι η πιθανότητα να έχουµε άθροισµα από 5 µέχρι και 8; εν έχουµε παρά να αθροίσουµε τις αντίστοιχες πιθανότητες: P(5 X 8) 8 x 5 p( x) p(5) + p(6) + p(7) + p(8) 4 6 + 5 6 + 6 6 + 5 6 6 Θυµηθείτε το ερώτηµα αυτό όταν θα επεκταθούµε στη συνεχή κατανοµή και θα αναζητάµε την πιθανότητα σε ένα διάστηµα.. ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΙΑΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Οι ιδέες της προηγούµενης παραγράφου µπορούν να επεκταθούν και στην περίπτωση όπου η µεταβητή Χ είναι συνεχής. Όπως εκεί είχαµε µια χαρακτηριστική συνάρτηση p(x) µε διακριτές τιµές, εδώ θα περιγράψουµε µια αντίστοιχη συνεχή συνάρτηση f(x). Η γραφική παράσταση της f(x) δεν είναι ένα σύνοο σηµείων όπως στην προηγούµενη παράγραφο, αά µια συνεχής γραµµή. f (x) x a b 44

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Το εµβαδόν της περιοχής ανάµεσα στην f(x) και τον άξονα Οx είναι [συγκρίνετε µε το άθροισµα όων των τιµών της p(x)] Το εµβαδόν της σκιασµένης περιοχής µας δίνει την πιθανότητα να βρίσκεται η Χ µεταξύ των τιµών a και b, δηαδή την P( a X b) Στη συνεχή κατανοµή δεν έχει νόηµα να ζητάµε την πιθανότητα σε κάποιο σηµείο καθώς αυτή είναι απειροεάχιστη. P ( X a) [συγκρίνετε µε την τεευταία παρατήρηση της προηγούµενης παραγράφου] Η συνάρτηση f(x) ονοµάζεται pdf (probability desity fuctio συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας) Αν θυµηθούµε ότι το εµβαδόν κάτω από µια καµπύη αντιστοιχεί σε οοκήρωµα, είµαστε έτοιµοι να δώσουµε τον αυστηρό ορισµό της συνεχούς κατανοµής. ΟΡΙΣΜΟΣ Η µεταβητή Χ ακοουθεί συνεχή κατανοµή (είναι δηαδή συνεχής τυχαία µεταβητή) εάν υπάρχει συνάρτηση f, την οποία θα καούµε pdf, που µας δίνει την πιθανότητα για οποιοδήποτε διάστηµα ( a, b) σύµφωνα µε τον τύπο Η f(x) πηροί τις προϋποθέσεις α) f ( x) για κάθε x b) + f ( x) dx P ( a< X < b) f ( x) dx b a Σηµείωση: καθώς η πιθανότητα σε σηµείο δεν έχει νόηµα θεωρούµε ότι τα άκρα του διαστήµατος δεν επηρεάζουν την πιθανότητα του διαστήµατος, µε άα όγια P( a< X < b) P( a X b) P( a X < b) P( a< X b) 45

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω Χ συνεχής τυχαία µεταβητή που παίρνει τιµές στο διάστηµα [,4], µε pdf f ( x) 8 x f (x) / /4 x 4 H f(x) είναι πράγµατι pdf καθώς ικανοποιεί τις προϋποθέσεις: Επίσης, f ( x) x για κάθε x [,4] 8 a) + 8 4 x 6 b) f ( x) dx xdx 4 P (< X < ) f ( x) dx x xdx 8 6 4 6 6 6.4 (ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ) ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - cdf Έστω Χ τυχαία µεταβητή, διακριτή ή συνεχής. Ορίζουµε την cdf (cumulative distributio fuctio συνάρτηση κατανοµής) F της Χ ως F( y) P( X y) δηαδή η F(y) είναι η πιθανότητα η µεταβητή να παίρνει τιµή µέχρι και y. 46

Aν Χ διακριτή, αθροίζουµε όες τις πιθανότητες των τιµών µέχρι και y F ( y) p( x ) x y j j Aν Χ συνεχής, βρίσκουµε την πιθανότητα στο διάστηµα [-,y], δηαδή F ( y) y f ( x) dx ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:.Αν η f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα (a,b), (ενώ εκτός του (a,b) είναι ), η τιµή της cdf είναι ξεκάθαρη για y εκτός του διαστήµατος: Αν Αν y< a, τότε F ( y), διότι ( y) f ( x) dx dx y F. y b, τότε F ( y), διότι F ( y) f ( x) dx f ( x) dx y y b a Μένει οιπόν κάθε φορά να εξετάζουµε την F (y) για τιµές. Στην περίπτωση της συνεχούς µεταβητής '( x) f ( x) a y< b. F σχεδόν παντού. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω Χ συνεχής τυχαία µεταβητή µε pdf x, < x< f ( x), αού Να διαπιστώσετε ότι η f είναι πράγµατι pdf. Να βρεθεί η cdf. Τέος να βρεθεί η πιθανότητα να είναι X. 7. Ποιο είναι πιθανότερο, να είναι X. 7 ή X. 7 ; Η f είναι πράγµατι pdf διότι, a) f ( x) + b) f ( x) dx xdx [ x ] Για την cdf, αν y < τότε [ x y ] y f ( x) dx y xdx. F( y) y 47

Άρα,, F ( y) y,, y < y < y Προσέξτε ότι '( x) f ( x) F (εκτός φυσικά των σηµείων x και Η ζητούµενη πιθανότητα είναι.7. 7 x ). P (X.7) f ( x) dx xdx [ x ] (.7). 49 Ας προσέξουµε όµως ότι την πιθανότητα αυτή τη δίνει και η cdf: P (X.7) F(.7) (.7). 49 Τέος είναι P ( X.7).49. 5, άρα το δεύτερο ενδεχόµενο είναι πιθανότερο..7 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 Έστω ότι η Χ είναι διακριτή µεταβητή που παίρνει τις τιµές,, µε αντίστοιχες πιθανότητες p ( ) p ( ) 6 p ( ) Να επιβεβαιώσετε ότι η p(x) είναι πράγµατι συνάρτηση πιθανότητας. Να βρεθεί η cdf. Ποια είναι η πιθανότητα να έχουµε X. 5; Η p(x) είναι πράγµατι συνάρτηση πιθανότητας διότι πηροί τις προϋποθέσεις: a) ( x) p για x,, b) p ( ) + p() + p() + + 6 Για την cdf παρατηρούµε ότι F ( ) p() F ( ) p() + p() + 6 48

F ( ) p() + p() + p() ενώ ανάµεσα στις διακριτές τιµές η F(y) δεν αάζει. Άρα,, /, F ( y) /,, y< y< y< y Η πιθανότητα P ( X.5) µπορεί να βρεθεί µε δύο τρόπους: - ή - P ( X.5) p() + p() + 6 P ( X.5) F(.5), διότι η F (y) µας δίνει ακριβώς την P( X y).5 Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Ε(Χ)µ Πριν δώσουµε τον ορισµό της µέσης τιµής µιας µεταβητής Χ ας ανατρέξουµε στην εµπειρία µας. Γνωρίζουµε ότι η µέση τιµή µ (ή αιώς µέσος όρος) των τιµών βρίσκεται ως εξής µ x x, x,, K + x + L x x i Π.χ. ο µέσος όρος των τιµών 5,5,5,8,8,6,6,6,6, είναι x i µ 5+ 5+ 5+ 8+ 8+ 6+ 6+ 6+ 6+ 5.7 Αν οµαδοποιήσουµε βέβαια τα δεδοµένα έχουµε µ *5+ *8+ 4 *6+ * *5+ *8+ 4 * 6+ * 5.7 Παρατηρούµε οιπόν ότι όταν οι τιµές 49

εµφανίζονται αντίστοιχα x, x,, K,,, x k K k φορές, (οπότε το συνοικό πήθος των τιµών είναι µέση τιµή είναι όπου x + x + Lkxk µ x + x + L+ x i p xi ) ( είναι η πιθανότητα εµφάνισης της τιµής i + + L+ k k k i i i κ x p( x ) ) και η x ανάµεσα στις τιµές. Τώρα είµαστε έτοιµοι να δώσουµε και επίσηµα τον ορισµό της µέσης τιµής. ΟΡΙΣΜΟΣ ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις για τη µέση τιµή Ε(Χ) (είτε µ.) α) Έστω Χ διακριτή µεταβητή που παίρνει τις τιµές µε αντίστοιχες πιθανότητες Η µέση τιµή της µεταβητής Χ είναι x, x,k p ( x ), p( x),k i E ( X ) x p( ) i x i β) Έστω Χ συνεχής µεταβητή µε pfd τη συνάρτηση f(x). Η µέση τιµή της µεταβητής Χ είναι + E ( X ) xf ( x) dx Σηµείωση: Για να είµαστε µαθηµατικά νόµιµοι στους παραπάνω ορισµούς θα πρέπει να προσθέσουµε µια προϋπόθεση: i α) x p ) < + ( β) x f ( x) dx< + i x i + Το επόµενο θεώρηµα είναι αρκετά χρήσιµο. 5

ΘΕΩΡΗΜΑ (χωρίς απόδειξη) Έστω Χ τυχαία µεταβητή και Α(Χ) µια συνάρτηση του Χ. Η µέση τιµή της YΑ(Χ) είναι Α) αν Χ διακριτή β) αν Χ συνεχής i E ( Y ) A( x ) p( ) + i x i E ( Y ) A( x) f ( x) dx Προσοχή! Σύµφωνα µε το Θεώρηµα, ενώ η µέση τιµή µιας συνεχούς π.χ. µεταβητής Χ δίνεται από τον τύπο + E ( X ) xf ( x) dx η µέση τιµή της Α(Χ)Χ + δίνεται από τον τύπο και όχι από τον τύπο + E (X + ) (x + ) f ( x) dx + E (X + ) (x + ) f (x + ) dx όπως ανθασµένα θα µπορούσε να περιµένει κανείς..6 Η ΙΑΣΠΟΡΑ V(Χ) Ας ξεκινήσουµε µε µια παρατήρηση. Έστω ότι η µεταβητή Χ αµβάνει τις τιµές,4,5,6,7 η µεταβητή Υ αµβάνει τις τιµές,,5,7,9 µε ίσες πιθανότητες - /5 την κάθε τιµή. Η µέση τιµή και στις δύο περιπτώσεις είναι 5. Π.χ. για τη πρώτη µεταβητή E ( X ) 5 i x p( i x i ) + 4 + 5 + 6 + 7 5 5 5 5 5 5 Η διαφορά ανάµεσα στις δύο περιπτώσεις είναι ότι οι τιµές της Υ είναι πιο «απωµένες» από τις τιµές της Χ. Άρα, εκτός από την µέση τιµή που εκφράζει µια 5