. ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε. Β) Βρείτε την τιµή του φυσικού ριθµού ν έτσι ώστε η συνάρτηση (ν+ ) (ν) f () + f () g() ν έχει πλάγι σύµπτωτη την ευθεί (ν+ ) (ν) f () f () ( ε) : - y + 5. Γι την τιµή υτή του ν ν µελετήσετε ως προς τη µονοτονί κι τ κρόττ τη συνάρτηση g. Γ) Ν υπολογίσετε το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f τον άξον κι τις ευθείες όπου οι θέσεις κροτάτων της f. Α) f ()... ( + ) e οπότε: κι Αν f (ν) (ν+ ) f () ( + ν + ν )e κι f () ( + ν+ + ν+ )e έχουµε: (ν+ ) () ( ( + + )e ) + ν+ ν + κι ν+ ν ν + ω ν+ ν ν ν ν... [ ν + ( ν + ) + ν + ν ] e κι άρ: + δηλ. ριθµητική πρόοδος µε κι ω. Έτσι ν + (ν )ω ν ν ν + + + 6... + (ν -) ν- Β).. + ν + ν(ν ) ν ν(ν ) + ν + ν ν + g() g() + ν χ - 5 [ g( ) ]... ν ( Όµοι κι ότν + ) + + Έτσι: g() Dg (- - ) ( - + ) + κι κόµη
g ( + + ) () > γι κάθε D g άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο Dg Επίσης : ( + ) g() + κι + g() Πίνκς µετολών της συνάρτησης f g + + g + + + Γ) f () - ή οπότε - κι µε f() e. Έτσι: E - e d...(ολοκλήρωση κτά πράγοντες)... -e - τ.µ ν ν e ( ) e. ίνετι η συνάρτηση f() + + R ν ν + e + e Α) Ν υπολογίσετε την τιµή της πρµέτρου ώστε η συνάρτηση f ν είνι συνεχής στο R. Β) Ν εξετάσετε ν η f είνι πργωγίσιµη γι την τιµή υτή του που ρήκτε στο προηγούµενο ερώτηµ. Γ) Ν µελετηθεί η f ότν ) Ν υπολογίσετε τη συνάρτηση g() f()d ότν > - - ν Α) Αν < τότε > κι άρ: e < e f() ( + ). Αν τότε: - -ν < κι e > e + + f(). Αν > f() -. Άρ
( + ) + δηλ. f() - < > Η f είνι συνεχής προφνώς στ διστήµτ ( - ) κι ( + ) κι άρ ρκεί ν είνι f() f() συνεχής στο σηµείο δηλ. ρκεί f()... + Β) ( + ) f() - < > Η f είνι προφνώς πργωγίσιµη στ διστήµτ ( - ) ( ) κι ( + ) κι άρ εξετάζουµε την πργωγισιµότητ στ σηµεί κι ( µε πλευρικές πργώγους ) πό όπου προκύπτει ότι η f δεν είνι πργωγίσιµη στ κι Γ). Πίνκς µετολών της f - + f + + f + + f + + ) Αν Αν Αν g() ( + ) + ( + ) d ( ) ( + ) ( ) g() ( + ) d + ( + )d g() ( + ) d + ( )d + ( )d ( + ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) +
. ίνετι η συνάρτηση g() f() όπου Α) Ν γίνει µελέτη της συνάρτησης f g() µε > + Β) Ν ρείτε την τιµή του ώστε ν ισχύει: f() γι κάθε R Γ) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: I log f()d Α) Η συνάρτηση g είνι ορισµένη στο R κι µάλιστ g() γι κάθε R. Άρ η συνάρτηση f ορίζετι σε όλο το R. Η g είνι συνεχής στο R σν πηλίκο συνεχών κι εποµένως κι η f συνεχής σν σύνθεση συνεχών. Πρτηρούµε ότι γι έχουµε g() οπότε f() δηλ. η γρφική πράστση της f τέµνει τον άξον y y στο σηµείο Α( ). Ακόµη είνι: + g() + f() δηλ. η ευθεί y είνι οριζόντι σύµπτωτη της C f. Πρτηρούµε επί πλέον ότι η f είνι άρτι κι εποµένως συµµετρική ως προς τον άξον y y. Πργωγίζοντς τώρ την f έχουµε: : f () [e Αν f() f() g()ln ] g() + ( ) D.L.H ) ) ( [ f() (+ ) ln] ) ln Όµοι προκύπτει - + + Μελέτη του προσήµου της f : Αν < < ln < κι άρ ( (+ f() f() ln ) ) ln κι άρ η f δεν είνι πργωγίσιµη στο σηµείο (- ln... ln f() + (+ - > g()ln (- ) (- ) f () [e ] ln f() (+ ) < <
Αν > ln > κι g()ln (- ) f () [e ] ln f() (+ ) (- - > < ) < -. Πίνκς µετολών ότν <<: - + f + + f. Πίνκς µετολών ότν >: - + f + + f Β) Είνι κι άρ: + Αν << η εκθετική συνάρτηση είνι φθίνουσ οπότε g() f() Αν > η εκθετική συνάρτηση είνι ύξουσ οπότε g() f() Γι ν έχουµε f() γι κάθε R πρέπει Γ) g() I log f()d log d g()d d d(γιτί;)... ln + +
. ίνετι η συνάρτηση f() + 5. + Α) Ν µελετηθεί ως προς την συνέχει κι ν ρεθεί το σύνολο τιµών της. Β) Ν ρείτε το πλήθος των πργµτικών ριζών της εξίσωσης f(). Α) Γι το πεδίο ορισµού D f : Πρέπει + 5... D ( - 5) ( ) Άρ f + + f() µε f () + 5 + + 5 + 5 + + 5 ( + 5) + + + 5 ( ) < -5. Προφνώς η f είνι συνεχής κι πργωγίσιµη στο D f > < -5 κι έτσι: > Αν <-5 η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ Αν > η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ f()... + - - - 5 f()... κι κι f()... + + + f()... + Έτσι έχουµε τον κόλουθο πίνκ µετολών - 5 + f + f + + Β) Αφού η f είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ - - 5) ( µε τιµές στο ( - + ) η εξίσωση f() έχει µονδική ρίζ στο διάστηµ ( - - 5). Γι τον ίδιο λόγο η εξίσωση f() έχει µονδική ρίζ στο διάστηµ ( + ). Άρ η εξίσωση f() έχει δύο µόνο ρίζες στο R.
5. ίνετι η συνάρτηση f : R R που ικνοποιεί τις εξής προϋποθέσεις: f( + y) f() f(y) γι f() > γι κάθε R κάθε η f είνι πργωγίσιµη στο R Ν ποδείξετε ότι : Α) f() γι κάθε R Β) f() + y R Γ) f( ) κι f() > γι κάθε R f() ν ) f(ν) f () R ν N Ε) Η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο R κι f () k f() R κι k στθερός πργµτικός ριθµός ΣΤ) Η f στρέφει τ κοίλ άνω στο R. Α) Έστω ότι υπάρχει στο R ώστε: f( ). Τότε γι κάθε + R έχουµε: f() f( - + ) f( ) f() f( ) άτοπο λόγω της υπόθεσης. Άρ: f() γι κάθε R f() Β) Γι y κι R έχουµε: f() f() f() f() Γ) Γι y- κι R έχουµε: f() f() f(-) f() f(-) f(-) f() Αφού f()> ν f() > κι ν > - < f( ) >.. f(-) f() ) Με επγωγή Ε) Έστω R µε <. Θ δείξουµε ότι f( ) f( ) Έχουµε : f() f( + ) f[ ( )] f() f( + ) f() < f() f( ) διότι f( ) > κι άρ : < < f( )
Η f είνι πργωγίσιµη στο R κι άρ συνεχής σε οποιοδήποτε σηµείο R δηλ.. Άρ * f() f( ). Ακόµη : f() R f( + h) f() f() f(h) f() f(h) f () f(). Επειδή όµως h h h h h h f(h) f () R k R. Άρ f () k f() R Εποµένως h h f () k f() R µε k διότι ν k τότε f () δηλ. η f στθερή που είνι άτοπο. ΣΤ) f () [f ()] [kf()] kf () k f() > διότι k > κι f() >. Άρ η f στρέφει τ κοίλ άνω στο R. 6. ίνετι ο µιγδικός z + yi µε y R τέτοιος ώστε: _ i ( z+ z) [ (z + z )i + ( z + )] z z Α) Ν ρείτε το γεωµετρικό τόπο ( C ) των εικόνων του z στο µιγδικό επίπεδο. Β) Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης που εκφράζει τον πρπάνω γ.τ τέµνει σε έν µόνο σηµείο τον άξον. Γ) Αν w (z + z) + i(z z) + i ν ρείτε το γεωµετρικό τόπο ( C ) των εικόνων του z στο µιγδικό επίπεδο ν w I. ) Ν υπολογίσετε το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις Α) Έχουµε: γρφικές πρστάσεις ( C ) κι ( C ) των πρπάνω γεωµετρικών τόπων. (z+ z) [ (z + z )i + i ( _ z + )] z z i(z+ z) [ (z + z ) + (z z+ 8)] z z _ i(z+ z) [(z+ z) + 8] z z _ i(z+ z) [ (z + z ) + ( z + )] z z i(z+ z) [(z + z ) + (z z+ 8)] z z i( + 8) yi y +
Άρ ο ζητούµενος γ.τ είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης f() + Β) Προφνώς f() κι είνι γνησίως ύξουσ. Γ) Έχουµε: w (z + z) + i(z z) + i... w 6 y + i κι γι ν είνι w I πρέπει.. Άρ ο ζητούµενος γ.τ είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης y g(). ) f() g()... ή. Τ σηµεί τοµής των δύο γ.τ είνι τ: Ο() Α() κι Β(). Οι συνρτήσεις εξάλλου f g είνι συνεχείς άρ κι η διφορά τους κι εποµένως ολοκληρώσιµη. Έτσι το ζητούµενο εµδόν είνι: E (f() - g())d + (g() f())d ( + )d + ( + )d... λ - k 7. Έστω η συνάρτηση f() + k λ R. Ν υπολογίσετε τις τιµές των πρµέτρων k λ ώστε: f (69) κι (k + λ)d 9 85 5 Προφνώς Df [ + ) κι άρ - γι κάθε Df. Έτσι λ - λ f() k f () k. Άρ: f (69)... λ - k 6. Εξάλλου 8 - είνι: 85 (k 5 + λ)d 9... k + λ 9 κι τελικά λ 9 κι k 5-8. ίνετι η συνάρτηση f :[ ] R µε f() ln όπου < <. - Α) Ν ποδείξετε ότι: < < e Β) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: f()d όπου [ ] [ ] Α) Προφνώς η f είνι συνεχής στο [ ] κι πργωγίσιµη στο ( ) µε f () ln + κι άρ πό το Θ.Μ.Τ υπάρχει. Όµως ξ ( ):f() - f() f (ξ) ( - ) f() ln κι f() ln.
Εποµένως : f()- f() f (ξ) ( - ) ln ln (+ lnξ) ( - ) ln (+ lnξ) ( - ) ln (+ lnξ) ( - ) ln ln(e ξ) e ξ ξ - - e - Όµως ξ ( ) < < e Β) f()d lnd lnd... ln 9. Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ + - d 5 + 6 όπου είνι το + ηµ. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ισχύουν οι νισότητες: Α) < Β) 6 + +. Ν ποδείξετε την νισότητ: Αρκεί ν δείξουµε ότι: e π π e π > e e π π ln(e π ) > lne e lne + π lnπ > πlne... e - π > π ln(e - lnπ). Θεωρούµε τη συνάρτηση f() ln > που είνι συνεχής κι πργωγίσιµη µε f () > κι άρ σύµφων µε το θεώρηµ µέσης τιµής υπάρχει ξ (e π): lne - lnπ (e π). ξ e - π < Όµως > (e π) > (e π) ξ π ξ π οπότε lne - lnπ < (e π) δηλ. π (lne - lnπ) < e π π
. Έστω η συνάρτηση f : R R ώστε ν ισχύει: f() - f(y) + συν( - y) γι κάθε y R. Ν ποδείξετε ότι η f είνι στθερή. Αρκεί ν δείξουµε ότι η f είνι πργωγίσιµη κι f () γι κάθε R. Έστω R. Τότε ν f() - f( ) + συν( - ) f() - f( ) συν( - ) γι κάθε R οπότε - f() - f( ηµ έχουµε: ) συν( - ).... Άρ η f είνι πργωγίσιµη στο τυχίο σηµείο κι f ( ) γι κάθε R. Έστω f : R R µί συνάρτηση γι την οποί υπάρχει η δεύτερη πράγωγος κι επί πλέον ισχύουν: ) f + f κι ) f() f (). είξτε ότι η f είνι η µηδενική συνάρτηση. Θεωρούµε τη συνάρτηση h() [ ] [ ] f() + f () R [ f() + f () ] ( λόγω υπόθεσης ) h ()... f (). Άρ υπάρχει κι έχουµε: c R : h() c γι κάθε R. Όµως h() f() + f () + άρ c. Εποµένως [ f() ] + [ ] [ ] [ ] f () f() f () f() [ ] [ ]. Έστω f : R R µι συνάρτηση δύο φορές πργωγίσιµη µε την ιδιότητ η f ν είνι κυρτή. Ν ποδείξετε ότι ν η συνάρτηση f δεν έχει σηµεί κµπής τότε η f είνι «-» Έστω ότι η f δεν είνι συνάρτηση «-». Τότε θ υπάρχουν πργµτικοί ριθµοί µε < ώστε f ( ) f ( ). Αφού η f είνι κυρτή η f θ είνι γνησίως ύξουσ κι πό το θεώρηµ Rolle γι την f στο διάστηµ [ ] προκύπτει ότι υπάρχει ξ του διστήµτος ( ) ώστε f (ξ). Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ λλάζει πρόσηµο εκτέροθεν του ξ οπότε το ξ είνι σηµείο κµπής της f που είνι άτοπο. Άρ η f είνι «-». 5. Ν ρείτε γι ποιες τιµές του η εξίσωση: - + 8 έχει µι τουλάχιστον ρίζ. Προφνώς η εξίσωση έχει έννοι µόνο ν. Θεωρούµε τη συνάρτηση f() - + 8 στο διάστηµ [ ] που είνι συνεχής κι πργωγίσιµη στο ( ) µε 8 - f ().... Έχουµε 8
8 f () 8-8 - 8 - - 8 κι λόγω του 8 πεδίου ορισµού f () < Έτσι έχουµε τον πίνκ: 8/ f + f τ.µ τ.ε τ.µ Άρ στο σηµείο 8 8 έχουµε ολικό ελάχιστο f( ) Επίσης γι έχουµε τοπικό µέγιστο f( ) κι γι έχουµε τοπικό µέγιστο f( ) Το σύνολο τιµών εποµένως της f είνι ( ) f f [] ([ ] ). Η εξίσωση λοιπόν έχει λύση µόνο ν 6. Θεώρηµ Darbou : Έστω f :[ ] R µι συνάρτηση πργωγίσιµη. I. Αν η f πίρνει την ελάχιστη τιµή στο σηµείο ν ποδείξετε ότι f () ενώ ν πίρνει την την ελάχιστη τιµή στο ν ποδείξετε ότι f (). II. Αν ισχύει f () < < f () ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( ) : f (ξ) III. Αν ισχύει f () < κ < f () ν ποδείξετε ότι υπάρχει ( ) : f () c I. Αν η f πίρνει την ελάχιστη τιµή στο τότε ισχύει f() f() γι κάθε [ ] οπότε f() - f() f() - f() γι κάθε ( ) - - πίρνει την ελάχιστη τιµή στο. κι άρ f (). Όµοι ν η f II. Η συνάρτηση f ως συνεχής στο [ ] προυσιάζει ελάχιστο σε κάποιο σηµείο ξ [ ]. Αφού f () < < f () σύµφων µε το προηγούµενο ερώτηµ το ξ ( ) κι πό το θεώρηµ Ferma (ξ) f
III. Θεωρούµε τη συνάρτηση g() f() - κ [ ] που είνι πργωγίσιµη µε g () f () - κ οπότε g () f () - κ < κι g () f () - κ >. Άρ πό το προηγούµενο ερώτηµ προκύπτει ότι υπάρχει ( ) : g ( ) f ( ) c ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Από το θεώρηµ Dabou προκύπτει ότι ν µι συνάρτηση f είνι ορισµένη σε έν διάστηµ κι πργωγίσιµη στο τότε γι την f ισχύει το θεώρηµ της ενδιάµεσης τιµής. 7. Έστω f :R R µι συνάρτηση πργωγίσιµη κι η οποί στρέφει τ κοίλ άνω. Ν ποδείξετε ότι: f[λ + ( λ)] < λf() + ( λ)f() γι κάθε R µε < λ <. Αρκεί ν δείξουµε ότι: (- λ + λ) f[λ + ( λ) ] λf() ( λ)f( ) < {f[λ + ( λ) ] - f( )} + λ [f(λ + ( λ) ) f()] < (- λ) Εφρµόζουµε το Θ.Μ.Τ γι την f στ διστήµτ [ λ + ( λ)] κι [λ + ( λ) ] πό όπου προκύπτει ότι υπάρχουν ξ ( λ + ( λ) ) κι ξ (λ + ( λ) ) ώστε: f [λ + ( λ) ] - f() f (ξ) [λ + ( λ) ] κι f [λ + ( λ) ] - f( ) f (ξ ) [λ + ( λ) ] λ [f [λ Άρ: + ( λ) ] - f()] f (ξ) λ ( λ)( )] κι (- λ) [f [λ + ( λ) ] - f( )] f (ξ ) λ ( λ)( )] Προσθέτοντς κτά µέλη έχουµε κι επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ 8. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ [ ] µε f()f() κι οι εφπτόµενες της γρφικής της πράστσης στ σηµεί κι είνι πράλληλες ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση πργωγίσιµη στο. f() [ ] g() είνι f( -) ( ] Στ διστήµτ [ ) κι ( ] η g είνι πργωγίσιµη σν σύνθεση πργωγίσιµων συνρτήσεων. Γι την πργωγισιµότητ στο έχουµε:
+ g() g() g() g() + f() f() f( -) f() f() f()... f () - f() f()... f () + Από υπόθεση έχουµε f () f () κι άρ η g είνι πργωγίσιµη στο εποµένως κι στο. 9. Έστω η συνάρτηση f είνι δύο φορές πργωγίσιµη µε f συνεχή στο διάστηµ κι f () f(). Αν επί πλέον ισχύει f( + h) - f() + f( - h) f h h () ν ρείτε τον τύπο της f κι το πλήθος των εφπτοµένων της γρφικής της πράστσης που διέρχοντι πό την ρχή των ξόνων. Εφρµόζοντς το θεώρηµ De L Hospial έχουµε: f ( + h) ( + ) - + f ( - h) ( -) f ( + h) + f ( - h) f () h h h f () f () γι κάθε Άρ f () ce f() ce + k. Αφού f () c κι φού f() k -. Εποµένως f() e. Η εξίσωση της εφπτοµένης στο τυχίο σηµείο Α( f( )) είνι: y - (e ) e ( ) κι γι y προκύπτει: e e + Έτσι ρκεί ν ρούµε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης : e e + Θεωρούµε τη συνάρτηση: g() e e µε + g() e. Είνι g() + + κι g() >.. ίνετι η συνάρτηση f µε f () > γι κάθε f() κι f() Ι) είξτε ότι: e f() + f() > γι κάθε R - ΙΙ) Αν f() g() R ν µελετηθεί η g ως προς τη µονοτονί κι τ f() e + f() κρόττ.
Ι) Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο R κι f() - οπότε: e f() + f() > γι κάθε R θ είνι f()> γι κάθε R ΙΙ) Η g είνι πργωγίσιµη στο R µε f() f () e ( f()) g () R. Έτσι: f() ( e + f() ) g () >... <.. ίνετι η συνάρτηση ln( -) f(). ln Ι) Ν ρείτε τις σύµπτωτες της C f. ΙΙ) Ν µελετηθεί ως προς τη µονοτονί ΙΙΙ) Ν ποδείξετε ότι: ln ln ( -) < ( -) γι κάθε < < ln( ) Ι) f() ( ) ( + ) άρ η ευθεί είνι κτκόρυφη ln σύµπτωτη της C f. ( ln( ) ) f()... άρ η ευθεί y είνι οριζόντι + + ( ln ) + σύµπτωτη της C f. ΙΙ) Γι κάθε > έχουµε: ( -) [ln - ln( -)] + ln f ()... > διότι: ( -)ln γι > ln > ln( -) κι > ln >. Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο ( + ) ΙΙΙ) ln( -) ln( ) < f() < f() < ln ln( -) < ln ln( ) ln ln ln ln ln ln ln( -) < ln( -) ln( -) < ln( -). ίνετι η συνάρτηση f() e e R κι δύο κάθετες ευθείες (ε ) (ε ) που διέρχοντι πό την ρχή των ξόνων έτσι ώστε η (ε ) ν εφάπτετι της C f. Αν Ε() είνι το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρµµές C f (ε ) (ε ) κι την µετλητή ευθεί > ν ρείτε πότε ο ρυθµός µετολής του Ε() γίνετι ο µικρότερος δυντός.
f() e e f () e e Αν ( f( )) είνι το σηµείο επφής της (ε ) µε την C f τότε η εξίσωση της εφπτοµένης θ είνι: y - f() f () ( ) κι φού περνά πό το ( ) θ επληθεύετι πό τις συν/νες του κι εποµένως... Άρ η (ε ) θ είνι y δηλ. ο άξονς κι η (ε ) ο άξονς y y. f () e e >... > δηλ. στο σηµείο ( ) προυσιάζει ελάχιστο κι εποµένως f() γι κάθε R. Ε() f()d (e - e)d Ε () e e E () e e. Άρ ότν ελχιστοποιείτι ο ρυθµός Ε ().. ίνετι η συνάρτηση f() 5 ln κι η ευθεί (ε): y ln5. Ι) Ν ποδείξετε ότι έχουν δύο κοινά σηµεί µε τετµηµένες < 5 κι 5. ΙΙ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ευθεί η οποί διιρεί το εµδόν του χωρίου που ορίζετι πό την γρφική πράστση της f κι την (ε) σε λόγο 6. Ι) Γι ν ρούµε τ κοινά σηµεί λύνουµε την εξίσωση: Η εξίσωση υτή έχει την προφνή ρίζ 5. Θεωρούµε τη συνάρτηση: h() ln ln5 - ln5 5 > 5 ln ln5 f() y 5ln ln5. 5 - ln h ()... e Στο διάστηµ [e + ) η h είνι γνησίως ύξουσ κι άρ έχουµε µονδική ρίζ 5. Στο διάστηµ [ e] εφρµόζουµε το θεώρηµ Bolzano κι έχουµε µονδική ρίζ <5 ΙΙ) Αν µε [ 5] θεωρούµε τη συνάρτηση 5 F() Ε 6Ε (5ln - ln5 )d 6 (5ln - ln5 )d γι την F - φού είνι συνεχής κι υπάρχει ( 5) : h() E 6 E 5 F()F(5) -6 [ (5ln - ln5)d] < κι πό το θεώρηµ Bolzano - έχουµε ότι
+ f(). ίνετι η συνεχής συνάρτηση f : R R µε f() e d. Ι) Ν ρείτε τον τύπο της f. ΙΙ) Ν ρεθεί ο ( ) ώστε η συνάρτηση g() ν εφάπτετι στην f. Ι) Η f είνι πργωγίσιµη µε + f() f () f () -e e f() e -f() f () e e -f() [ e ] (e ) -f() e e + c κι γι έχουµε c. Άρ : f() - f() g() - ΙΙ) Οι C f C g εφάπτοντι ν ισχύει: κι κι... e e f () g () ln - 5. Έστω η συνάρτηση f : R R µε f( + y) f() f(y) γι κάθε y R. f() Ι) Αν R ΙΙ) ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιµη στο R. Αν επιπλέον η εφπτοµένη της C f στο σηµείο σχηµτίζει µε τον άξον γωνί π ν ρείτε τον τύπο της f. Ι) Γι το τυχίο σηµείο R έχουµε: f( + h) f() f() f(h) f() f() [ f(h) ] f() R. Άρ η f h h h h h h είνι πργωγίσιµη µε f () f() ΙΙ) Προφνώς f () f() γι κάθε R [ f() -] Όµως : [ f() -]. Εποµένως f() - f(). Γι κάθε f() c e R έχουµε : f () f() f () f() Από f() προκύπτει c. - - e f () e f() ( - - f() e ) f() e c
6. Αν ισχύει: f() - g(y) ( - y) g()d γι κάθε y R όπου η g είνι συνεχής συνάρτηση στο R ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιµη στο R κι ν ρεθεί ο τύπος της. Γι y προκύπτει: f() g() γι κάθε R Γι y έχουµε: f() - f( ) ( - ) g()d κι άρ: f() f() f ( ) [ ( - ) g()d ] άρ f () γι κάθε R. Άρ: f() c R Η ρχική υπόθεση γι y γίνετι: f() - f(y) ( - y) f()d ( - y) f()d f()d c d c ( - ) c o Άρ f() γι κάθε R 7. Έστω f g συνρτήσεις δύο φορές πργωγίσιµες στο R µε f() g() κι f() g() +. Αν επί πλέον υποθέσουµε ότι: f ( + y) g ( + y) f (y) g (y) γι κάθε y R ν ποδείξετε ότι: Ι) f() g() + γι κάθε R ΙΙ) Οι εφπτόµενες των f g στο σηµείο τέµνουν τον άξον y y στο ίδιο σηµείο. Ι) Θεωρούµε το y στθερό κι πργωγίζουµε την δεδοµένη σχέση ως προς. Έτσι έχουµε: f ( + y) ( + y) g ( + y) ( + y) f ( + y) g ( + y) γι κάθε y R κι θέτοντς όπου κι y το έχουµε: f () g () f () g () + c f () (g() + c ) f() g() + c + c. Γι προκύπτει ότι c κι γι έχουµε c δηλδή: f() g() + R
ΙΙ) Οι εφπτόµενες των f g ντίστοιχ είνι: y f() f () ( ) κι γι το σηµείο τοµής τους µε τον άξον y y είνι: y g() g () ( ) y f() f () y g() g () f() (f () ) f() f () 8. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ [ e] µε f(e) ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ ξ (e) ώστε f(ξ) f (ξ) lnξ. Αρκεί ν δείξουµε ότι ο ξ µε <ξ<e είνι ρίζ της εξίσωσης: f() f () ln f() + f () ln f() + f () ln f() (ln) + f () ln [ f() (ln) ] Εφρµόζουµε λοιπόν το θεώρηµ Rolle γι την συνάρτηση g() f() ln [ e].. 9. Αν F() * f()d R κι f() π Ι) F ( ) κι F (π) II) F () + ηµ (συν + ) συν ηµu du u R * ν ρείτε τ: Η συνάρτηση ηµu y είνι συνεχής στο R * ηµu κι άρ η συνάρτηση g() du είνι u u πργωγίσιµη στο R * ηµ µε * g () R ηµu ηµu ηµu ηµu f() du + du du du g() g() u u u u ηµ ηµ ηµ( συν) f () g () g ) * R * R
π F ( )... π F () f () F (π)... F () + ηµ (συν + ) ηµ ( συν) + ηµ (συν + ) συν συν ηµ συν + συν +... συν. ίνετι η συνάρτηση: f() + ηµ d. Ν ρείτε την εξίσωση της εφπτοµένης της C f στο σηµείο Ο( ) Θέτουµε u f () ( u κι γι > είνι: + ηµ + ηµ d ) u () u + ηµu f () f() - f() - f() ηµ f () ( + ) επειδή ηµ συν ( ( ) )... Άρ η ζητούµενη εφπτοµένη θ είνι. y. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R κι ισχύει f() f() (e + )d γι κάθε R ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f() f () f ( ) f() (e + )d f () (e + ) f () f () e f() f() c f() (e + )d f() (e + )d c (e + )d f () f() c
Αν c> τότε: Από το θεώρηµ Μ.Τ γι την f στο διάστηµ [ c] υπάρχει c ξ ( c): (e ξ + )d c(e ξ + ) c c(e ξ + ) e ξ + e άτοπο Αν c< τότε: Από το θεώρηµ Μ.Τ γι την f στο διάστηµ [c ] κτλήγουµε σε άτοπο. Άρ c.. Ι) Ν ποδείξετε ότι: * + e e > γι κάθε R. ΙΙ) Ν µελετήσετε ως προς τη µονοτονί τη συνάρτηση: f() e d R Ι) Η συνάρτηση g() e e είνι πργωγίσιµη στο R µε + g () e. g () e. Άρ η g είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ [ + ) κι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ ( ]. Εποµένως g() > g() γι κάθε > κι g() > g() γι κάθε < ΙΙ) Αν θέτουµε: u d du d du κι έτσι u u e f() e d e du [e ] f() d [] Εποµένως: e f() Η f είνι συνεχής στο R * σν πηλίκο συνεχών κι e ( e ) f() f() δηλ. η f είνι συνεχής στο R. ( ) e e + Γι f ()... > κι επειδή η f είνι συνεχής στο η f θ είνι γνησίως ύξουσ στο R.
. Ν υπολογίσετε το όριο: A π ηµ d συν. π ηµ Προφνώς ( π) κι d π π συν κι έτσι: A π ηµ d συν π π ηµ d συν ( π) ηµ ηµ ηµ συν g() d d + d d d συν συν ηµ συν g () d d - ηµ συν - - συν (-ηµ) συν συν+ ηµ ηµ συν + ηµ Άρ A π ηµ d συν π. Ν υπολογίσετε το όριο: A ln d Επειδή µετλητή ολοκλήρωσης είνι το έχουµε: A ln d ln d ( ln d ) ( ) ln ln
u 5. Αν γι τη συνάρτηση f ισχύει ότι: f() ( f()d)du γι κάθε R ν ποδείξετε ότι: f() γι κάθε R u Θέτουµε g(u) f()d κι άρ f() g(u)du. Η f είνι πργωγίσιµη στο R µε f () g() f()d κι f () f() f () f() f () f() f () + f () f () f() ( f () + f() ) - ( f () + f() ) ( f () + f() ) ( f () + f() ) f () + f() c e Όµως f() f () κι άρ c. Έτσι f () + f() f () e + f() e e ( f() e Αφού f() θ είνι κι c οπότε κι f(). ) γι κάθε R κι άρ f() e 6. ίνετι η συνάρτηση y f() γι την οποί ισχύει: + y R Ν µελετηθεί η f ως προς τ κρόττ κι ν ρεθούν οι εξισώσεις των εφπτοµένων στ σηµεί υτά. dy dy d dy f (). Άρ η συνάρτηση f d d d d d + + d προυσιάζει ελάχιστο ότν δηλ. στο σηµείο Μ(). Η εφπτοµένη στο σηµείο υτό είνι: y f () ( ) y δηλ. ο άξονς.