ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ

7//008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 3 007-08 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 3 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθεσµία παράδοσης 5//08 Άσκηση D Β Α p F O q F Α Β Β Α F O F Α Β D Από τη σχέση των απών φακών έχουµε: + = p q f όπου σύµφωνα µε τη ενιαία σύµβαση p > 0 και f > 0. Επειδή θέουµε το είδωο να σχηµατιστεί στην οθόνη (δηαδή να είναι πραγµατικό) θα έχουµε επίσης q > 0. Χρησιµοποιώντας τη σχέση Χρησιµοποιούµε την ενιαία σύµβαση για κάτοπτρα και φακούς η οποία έχει ως εξής:

D= p+ q p= D q η σχέση των φακών γίνεται + = q Dq+ Df = 0 D q q f Οι ύσεις της τεευταίας ως προς q είναι: D+ D fd D fd D q = = + D D fd D fd D q = = Παρατηρούµε ότι για D > f υπάρχουν δύο θέσεις του φακού για τις οποίες θα έχουµε είδωο του αντικειµένου πάνω στην οθόνη. Οι δύο αυτές θέσεις είναι συµµετρικές ως προς το κέντρο της απόστασης µεταξύ αντικειµένου και οθόνης. Η κρίσιµη απόσταση D προκύπτει από τον µηδενισµό της ποσότητας είναι: D= f D fd και Άσκηση Α) Ο συγκίνων φακός θα δηµιουργήσει είδωο Α Β το οποίο θα χρησιµοποιηθεί σαν αντικείµενο από τον αποκίνοντα φακό για τον σχηµατισµό του τεικού ειδώου Α Β. Το τεικό είδωο µπορεί να προσδιοριστεί µε τη µέθοδο των κυρίων ακτίνων όπως στο παρακάτω σχήµα: Πευρά Α: Η πευρά από την οποία ξεκινάνε οι ακτίνες φωτός Πευρά Β: Η πευρά στην οποία καταήγουν οι ακτίνες φωτός Προφανώς για κάτοπτρα οι πευρές Α και Β συµπίπτουν, ενώ για φακούς και διαθαστικές επιφάνειες είναι αντίθετες. Η σχέση που χρησιµοποιούµε είναι η + = όπου τα πρόσηµα προσδιορίζονται p q f Πευρά Α: Προσδιορισµός πρόσηµου απόστασης αντικειµένου (p) :Θετική αν βρίσκεται στην Α (πραγµατικό αντικείµενο) και αρνητική αν βρίσκεται στην αντίθετη (φανταστικό αντικείµενο) Πευρά Β: Προσδιορισµός πρόσηµου απόστασης ειδώου (q), εστιακής απόστασης (f) και ακτίνας καµπυότητας (R): Θετική αν βρίσκεται στην B και αρνητική αν βρίσκεται στην αντίθετη. Το είδωο είναι φανταστικό όταν βρίσκεται στην αντίθετη από τη Β

p q p q Β) Για να προσδιορίσουµε ποσοτικά τη θέση του ειδώου και τη µεγέθυνση θα χρησιµοποιήσουµε τους τύπους των επτών φακών θεωρώντας ότι η πευρά Α είναι αριστερά των φακών και η πευρά Β στα δεξιά τους. Σύµφωνα µε τη σύµβαση έχουµε p = +3 cm και f = + cm, άρα η θέση του ειδώου από τον πρώτο φακό βρίσκεται από τη σχέση 70. cm p + q = f q = f p = ( + cm) 3cm q =+ Παρατηρούµε ότι το q είναι θετικό, άρα το είδωο Α Β βρίσκεται 70. cm δεξιά του πρώτου φακού και εποµένως είναι πραγµατικό. Επίσης επειδή το q είναι µεγαύτερο από την απόσταση των δύο φακών ( cm), το είδωο Α Β βρίσκεται δεξιά του δεύτερου φακού και άρα θα αποτεέσει φανταστικό αντικείµενο γι αυτόν (σύµφωνα µε την σύµβαση πρέπει να θέσουµε p <0). Από τις αποστάσεις βρίσκουµε p = cm q = -9. cm Η θέση του ειδώου από τον δεύτερο φακό βρίσκεται από τη σχέση + = = = q =+ 60.7 cm p q f q f p ( 57cm) (-9.cm) στην οποία θέσαµε αρνητικό f διότι ο φακός είναι αποκίνων. Παρατηρούµε ότι το q είναι θετικό, άρα το είδωο Α Β βρίσκεται 60.7 cm δεξιά του δεύτερου φακού και εποµένως είναι πραγµατικό. Η µεγέθυνση κάθε φακού µπορεί να υποογιστεί από τις σχέσεις: q 70.cm M ' = = =. p 3cm M q p Συνεπώς η τεική µεγέθυνση θα είναι '' = = =+.07 60.7cm ( 9.cm) A'' B '' M = = M ' M '' =..07=.55 AB 3

Το αρνητικό πρόσηµο δείχνει ότι το τεικό είδωο Α Β θα είναι ανεστραµµένο σε σχέση µε το αντικείµενο ΑΒ. Άσκηση 3 x/ Α) Καθώς η γωνία πρόσπτωσης του κύµατος στην επιφάνεια της θάασσας ισούται µε τη γωνία ανάκασης το τρίγωνο του σχήµατος είναι ισοσκεές. Έστω x η οριζόντια απόσταση ανάµεσα στις δύο κεραίες, το άµεσο κύµα θα διανύει δρόµο r = x. Από τη γεωµετρία του σχήµατος το ανακώµενο κύµα διανύει (µετράµε όα τα µεγέθη σε µέτρα) x r = + 5 Το ανακώµενο στο νερό κύµα αποκτάει µια πρόσθετη διαφορά φάσης π από την ανάκαση στο νερό η οποία αντιστοιχεί σε διαφορά δρόµου. Συνεπώς x r r r x = = + 5 + Τα εάχιστα θα παρατηρούνται σε x x r= (n+ ) + 5 x+ = (n+ ) + 5 = x+ n 500 n x + 500= x + n + nx x= n Το µήκος κύµατος του σήµατος είναι c 30 5 = = = =.67 m ν 8 3 Το πρώτο εάχιστο θα συµβεί στο n= (για n=0 δεν υπάρχει ύση) και σε απόσταση 500 x = = 79. m Β) Το δεύτερο εάχιστο θα συµβεί στο 500 x = και 500 500 500+ x= x x = = Συνεπώς

x 500+ υ = = =.7 m/s=9.7 km/h t 0 Άσκηση Α) Σύµφωνα µε τη σχέση (.7) του βιβίου των Alonso και Finn σε ανάκαση από επτό υµένιο η συνθήκη για ενισχυτική συµβοή είναι m m d n cos θr = d =, m= 0,,, () ncosθr όπου d το πάχος του υµενίου και από το νόµο του Snell sin θi sinθi = nsinθr n cosθr = n = n sin θ.5. i = = n όπου θεωρήσαµε το δείκτη διάθασης του αέρα µονάδα. Αντικαθιστώντας την ποσότητα n cosθ r στην () και αµβάνοντας υπόψιν ότι το εάχιστο d αντιστοιχεί σε m= έχουµε d = = 00.0nm.5 Β) Αν το υµένιο είχε πάχος d = 500nm, τότε d n cosθ r = 500.5 =.6 nm, το οποίο αν το διαιρέσουµε µε / = 8.8 nm βρίσκουµε περιττό ακέραιο d n cosθ r.6 = 5= 8 / 8.8 δηαδή η συνθήκη ενισχυτικής συµβοής ικανοποιείται. Συνεπώς έχουµε πάι µέγιστο που αντιστοιχεί σε m= 8. Άσκηση 5 Α) Σύµφωνα µε την εξίσωση (3.8) του βιβίου των Alonso και Finn, η κατανοµή της έντασης σε οθόνη που βρίσκεται αρκετά µακριά από την σχισµή δίνεται από την εξίσωση: όπου sin u = I0 I u πbsinθ u= και Ι 0 η ένταση σε γωνία θ=0 ο. Τα ακρότατα θα δίνονται από τα I θ. Καθώς τα κύµατα περιθώνται σηµεία µηδενισµού της πρώτης παραγώγου του ( ) π π από τη σχισµή στην περιοχή < θ < στην οποία η παράµετρος u είναι µονότονη συνάρτηση της γωνίας θ, µπορούµε να θεωρήσουµε την παραγώγιση ως προς u. di ( u cos u sin u) sin u = I0 = 0 () 3 du u Η εξίσωση () µπορεί να µηδενίζεται σε δύο περιπτώσεις 5

(i) sin u= 0 u= nπ, n= 0, ±, ± (ii) u cosu sin u= 0 u= tan u Για να εξετάσουµε αν είναι µέγιστα ή εάχιστα θα χρειαστούµε και τη δεύτερη παράγωγο d I cos sin cos sin 3sin u u u u u u u + I = = I u 0 () du u Στην περίπτωση (i) και για u= nπ µε n 0 έχουµε sin u= 0, cos u= και I0 I = > 0.Συνεπώς πρόκειται για εάχιστα της έντασης. Τα τρία πρώτα θα u βρίσκονται στα σηµεία που προσδιορίζονται από τις γωνίες n u= nπ sin θ =, n=±, ±, ± 3. Από τα δεδοµένα του προβήµατος b / b n συνεπώς < για n=±, ±, ± 3 και τα τρία πρώτα εάχιστα υπάρχουν. b Για το σηµείο µε n= 0 u= 0 πρέπει να εξετάσουµε το όριο u 0 καθώς µε απή αντικατάσταση καταήγουµε σε απροσδιόριστη µορφή. Αναπτύσσοντας κατά Taylor 3 u u u έχουµε sin u= u +, cos u= + 6 u 0 u / 3 I0 I '' = I0 = < 0 u 3 sin u Πρόκειται οιπόν για µέγιστο της έντασης µε I = I0 καθώς lim =. u 0 u Στην περίπτωση (ii) έχουµε u= tan u και αντικαθιστώντας στην () παίρνουµε I = I0 cos u< 0 και συνεπώς πρόκειται επίσης για µέγιστα. Σύµφωνα µε την υπόδειξη για τα τρία πρώτα µέγιστα sinθ =±.30, ±.59, ± 3.7 b b b Οµοίως ο περιορισµός b / εξασφαίζει την ύπαρξη των τριών πρώτων δευτερευόντων µεγίστων. Β) Σύµφωνα µε το ερώτηµα (Α), τα δευτερεύοντα µέγιστα βρίσκονται στα σηµεία µε u= tan u, δηαδή sin u= u cosu. Αντικαθιστώντας την τεευταία στην ένταση προκύπτει: I I = I0 cos u = cos u I0 Χρησιµοποιώντας την υπόδειξη για τα τρία πρώτα δευτερεύοντα µέγιστα έχουµε I I I3 3 =.7 0, =.65 0, = 8.3 0 I I I 0 0 0 Άσκηση 6 A) Οι µηδενισµοί της έντασης µπορούν να συµβούν στα σηµεία (παράγοντας περίθασης) π bsin θ n = nπ sin θ =, n=±, ±, () b καθώς επίσης και στα σηµεία (παράγοντας συµβοής) 6

πα sinθ m (m ) = + π sin θ = +, m= 0, ±, ±, () α όπου α η απόσταση των δύο σχισµών. Προφανώς ο πρώτος µηδενισµός θα οφείεται στον δεύτερο παράγοντα και άρα 3 α α = 3 b = b τιµή η οποία αναπαράγει τους παραπάνω µηδενισµούς καθώς έχουµε (m+ ) sin θ =, m= 0, ±, ±, 3b 5 7 sin θ =±, ±, ±, ±, ± 3, ± 3 b b 3 b 3 b b 3 b ενώ οι µηδενισµοί από τον παράγοντα () συµβαίνουν για n sin θ =, n=±, ±, b sin θ =±, ±, ± 3, ± b b b b Β) Η µέγιστη γωνία στην οποία εµφανίζεται µηδενισµός της έντασης δίνεται από την σχέση sinθ = και επειδή sinθ. Ο περιορισµός αυτός b b b εξασφαίζει ότι το εάχιστο του όρου περίθασης µε n = θα εµφανιστεί έστω και ασυµπτωτικά (οριακή περίπτωση b = ). Όµως ο όγος έχει και κάτω όριο γιατί b 3 οι αµέσως επόµενοι µηδενισµοί στο sinθ = (όγω περίθασης) και sinθ = 5 3 b b π 3 (όγω συµβοής) δεν παρατηρούνται. Άρα πρέπει sin < min,5 3 b b, δηαδή 3 3 < <. Συνοψίζοντας, οι περιορισµοί για το µήκος κύµατος είναι 3 b 3 b 3 < 3 b Άσκηση 7 Α) Από τη σχέση του Cauchy, D n= C+, για τα ζεύγη ( n, ) και ( n, ) ύνουµε ως πρός C, D: n n C= και D= ( n n ) Αντικαθιστώντας τις τιµές των δεικτών διάθασης για τα δεδοµένα µήκη κύµατος έχουµε για το πρίσµα: C Π =.08 και D Π = 9. nm και για το υγρό: C Υ =0.696875και D Υ =8883 nm. 7

Με τα δεδοµένα αυτά, βρίσκουµε για το κόκκινο φως n κ ϒ =.3 και nκ = Π.6. ny Β) Η γωνία προσπτώσεως είναι Α, οπότε ny sin A= nπ sinφ sinφ = sin A. n π π Το πράσινο θα περάσει αδιάθαστο διότι n =.= n. Το µπέ ενδέχεται να υποστεί οική ανάκαση στην πρόσπτωση αν A> (δη. µ n φ ορ = 90 Π ) που προσδιορίζεται από sin Aορ =. Αν η γωνία κορυφής είναι µ nυ µικρότερη, το µπε θα εισέθει και θα προσπέσει στην απέναντι πευρά υπό γωνία x: µ nπ 90 φ+ A+ 90 x= 80 x= A φ. Στην έξοδο θα ισχύει sinθ = sin x, µ nυ οπότε θα εξέθει εξάπαντος µε τεική γωνία εκτροπής ε=α-θ. Το κόκκινο, προσπίπτον από µεγαύτερο σε µικρότερο δείκτη διάθασης, θα εισέθει εξάπαντος και θα προσπέσει απέναντι υπό γωνίαν κ n Υ x= Α φ = Α arcsin sin A κ. Στην έξοδο θα ανακασθεί οικώς αν nπ n n n sin = sin x sin x= sin Α arcsin sin A n n n κ κ κ Π Υ Υ θ κ κ κ Υ Π Π Y Άσκηση 8 Αν τα παράηα επίπεδα του κυµατοδηγού βρίσκονται στο y= 0 και στο y= a και το κύµα διαδίδεται στη διεύθυνση x, τότε στη ύση ΤΕ είναι: Π. Π A ορ E E x y = 0 = 0 ( π ) ( ω ) E = E sin n y / a cos t k x z 0 x y z = 0 ( π /( ω) ) 0 cos ( π / ) sin( ω ) ( / ω) sin ( π / ) cos( ω ) B = n a E n y a t k x B = k E n y a t k x B 0 E όπου n ακέραιος. Θέουµε B= 0 και B µ ε = 0 0 0 => t sin n y / a sin t k x 0 cos n y / a 0 cos ωt k x = 0. ( π ) ( ω ). Άρα πρέπει ( π ) = και ( ) nπ y π Η πρώτη σχέση δίνει: = + κπ όπου κ ακέραιος από την οποία προκύπτει ότι a κ+ y= a. Επειδή πρέπει 0 y a, συµπεραίνουµε ότι το κ µπορεί να πάρει τις τιµές: n 0,,,...n- π v+ ω Από τη δεύτερη σχέση έχουµε: kx ωt= + νπ x= π + t µε ν=0,,... k k ω Οι θέσεις αυτές µετακινούνται µε ταχύτητα. k 8

Αντικαθιστώντας στην τεευταία nπ υ k + v+ a x= π + t. k k nπ = k + ω υ a προκύπτει ότι Άσκηση 9 Α) Εφόσον οι πηγές είναι σύγχρονες και ισαπέχουν απόσταση α, η συνοική ένταση δίνεται από την σχέση. του βιβίου των Alonso-Finn N π sin α sin θ I ( θ ) = I0 π sin α sin θ () όπου Ν το πήθος των ποµπών, το µήκος κύµατος και Ι 0 η ένταση του ενός ποµπού. Τα κύρια µέγιστα δίνονται από τη σχέση α sin θ = n, n= 0,,,... () Από την δεδοµένη θέση του αυτοκινήτου έχουµε 600 o tanθ = = 0.75 θ = 36.9 sinθ = 0.6 (3) 800 Θέτοντας την (3) στην () και για n = βρίσκουµε = 0.6α = 3m. Θεωρώντας ότι 8 c= 3 0 m/s, η συχνότητα του εκπεµπόµενου Η/Μ κύµατος είναι f = 00 ΜHz. Β) Για να υποογίσουµε την θέση του επόµενου εάχιστου, χρησιµοποιούµε την σχέση n ' =,..., N n ' α sin θ =, n ' = N +,...,N () N n ' = N +,...,3N Εφόσον το αυτοκίνητο έχει περάσει το δεύτερο κύριο µέγιστο, το επόµενο εάχιστο είναι για n ' = N + =. Αντικαθιστώντας στην σχέση () βρίσκουµε 3 o α sinθ = sinθ = = = = 0.8 θ = 53. 3 3α 3 5 5 Η νέα θέση του αυτοκινήτου είναι y= tanθ 800 m=.33 800 m= 067 m, δηαδή η απόσταση που πρεπει να διανύσει είναι 067-600 m = 67 m. Γ) Ο αριθµός των κύριων µεγίστων (εκτός του πρώτου για n = 0) δίνεται από τον µέγιστο ακέραιο n της σχέσης (). n = α α sinθ nmax =. Εφόσον έχουµε α = 5 m, = 3 m συµπεραίνουµε ότι n max =, οπότε οι δυνατές τιµές του n είναι n= 0,. ( ύο κύρια µέγιστα). 9

Μεταξύ δύο κύριων µεγίστων υπάρχουν Ν- εάχιστα τα οποία δίνονται από τη σχέση (). Για Ν =3, ο δείκτης n µπορεί να πάρει τις τιµές n ' =,,,5,7,8,... αά η µέγιστη δυνατή τιµή του καθορίζεται από n ' = α α N sinθ nmax N =. Εφόσον έχουµε α = 5 m και = 3 m συµπεραίνουµε ότι n max = 5, οπότε οι δυνατές τιµές του n είναι n ' =,,,5. (Τέσσερα εάχιστα εκ των οποίων το τεευταίο (n = 5) θα συναντηθεί ασυµπτωτικά (θ = 90 ο )). Μεταξύ των κύριων µεγίστων υπάρχουν Ν- πρόσθετα µέγιστα. Για Ν = 3 έχουµε ένα πρόσθετο µέγιστο µεταξύ των εαχίστων n ' = και n ' =, και άο ένα µεταξύ των 3 εαχίστων n ' = και n ' = 5. Οι θέσεις τους δίνονται από την σχέση () µε n ' = και 9 n ' = ( ύο πρόσθετα µέγιστα). Άσκηση 0 Α) Η εξίσωση που περιγράφει την κατανοµή της έντασης όγω του φράγµατος περίθασης είναι η: πα Nπd sin sinθ sin sinθ I ( θ ) = I0 πα πd sinθ sin sinθ από την οποία προκύπτει ότι υπάρχουν Ν- δευτερεύοντα µέγιστα µεταξύ δύο γειτονικών κύριων µεγίστων. Από το σχήµα βέπουµε ότι έχουµε δύο δευτερεύοντα µέγιστα, άρα N = N =. πα Ο πρώτος σκοτεινός κροσσός περίθασης βρίσκεται στο sinθ = π α =. sinθ Από το σχήµα βέπουµε ότι η απόσταση από το κεντρικό µέγιστο είναι 0 cm, άρα cm 3 3 tanθ tanθ 0 = = sinθ 0 και µε αντικατάσταση βρίσκουµε 000 cm 0 6000 0 m 3 6 0 m α = = 0 0

πd Το πρώτο µέγιστο συµβοής εµφανίζεται όταν sinθ = π d =. Από το sinθ σχήµα βέπουµε ότι η απόσταση από το κεντρικό µέγιστο είναι 0. cm, άρα 0.cm tanθ tanθ 0 = = sinθ 0 και µε αντικατάσταση 000 cm 0 6000 0 m 3 3 0 m βρίσκουµε d = =. 0 Β) Η διακεκοµµένη καµπύη παριστάνει από τον όρο περίθασης µίας σχισµής πα sin sinθ πα sinθ και αντιπροσωπεύει την κατανοµή της έντασης του φωτός που περιθάται από κάθε σχισµή. Η κατανοµή της έντασης για συµβοή από Ν σχισµές, όπως δίνεται από τον παράγοντα Nπd sin sinθ π d sin sinθ διαµορφώνεται από την περιβάουσα καµπύη που περιγράφει την κατανοµή του φωτός που προέρχεται από περίθαση µίας σχισµής. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ) Θεωρώντας ότι η γωνία πρόσπτωσης από την αριστερή πευρά του πρίσµατος είναι i, και η γωνία διάθασης από την δεξιά πευρά είναι φ, η γωνία εκτροπής δ δίνεται από την σχέση δ = ϕ χ () Από το νόµο του Snell έχουµε sin i= nsinθ, και nsinψ = sinϕ, οι οποίες για µικρές γωνίες γίνονται i= nθ (), και nψ = ϕ (3). Προσθέτοντας κατά µέη τις (),(3) έχουµε ϕ+ i= n( ψ + θ ) (). Επίσης από το τρίγωνο (ΒΓ ) έχουµε ψ + θ = A (5), ενώ από το τρίγωνο (ΒΓΕ) έχουµε χ + i= A (6). Με αντικατάσταση της γωνίας χ από την (6), η () γίνεται () (5) δ = ϕ+ i A δ = n( ψ + θ ) A δ = na A δ = ( n ) A ) Υποθέτοντας ότι το υικό του φακού έχει δείκτη διάθασης n και το περιβάον µέσο n, µπορούµε εύκοα να δείξουµε (εφαρµόζοντας φορές τη σχέση (.0) του

βιβίου των Alonso & Finn και προσθέτοντας κατά µέη όπως ακριβώς στη σείδα 0 του βιβίου), ότι ο τύπος του Descartes για τους επτούς φακούς γράφεται: n n n = = ( n ), όπου n = είναι ο σχετικός δείκτης p q n r r r r n διάθασης του φακού ως προς το περιβάον µέσο. Βάζοντας στην τεευταία p=f και q= προκύπτει ότι = ( n ). Αν n =n f r r και n = η τεευταία δίνει την σχέση.8 του βιβίου των Alonso & Finn = ( n ) f r r Κατααβαίνουµε οιπόν ότι όταν ο φακός βυθιστεί σε νερό η εστιακή του απόσταση n θα αάξει διότι.αάζει ο σχετικός δείκτης διάθασης n = n 3) Οι ήχοι στην περιοχή ακουστότητας έχουν µήκη κύµατος της τάξης µερικών µέτρων ή εκατοστών, ενώ το ορατό φως έχει µήκος κύµατος της τάξης του µισού µm. Για αντικείµενα της καθηµερινής ζωής που έχουν µέγεθος α συγκρίσιµο µε τις ανθρώπινες διαστάσεις (π.χ. η πόρτα µιας τάξης) ο όγος είναι µεγάος για τον α ήχο και άρα τα ηχητικά κύµατα περιθώνται πίσω από τοίχους που έχουν πόρτες. Αντίθετα, ο όγος είναι πού µικρός για το ορατό φως όταν αυτό προσπίπτει σε α αντίστοιχα αντικείµενα, και άρα το φως αάζει την διεύθυνσή του κατά πού µικρές γωνίες όταν περιθάται. ) Το πεδίο στο σηµείο συµβοής είναι E= E + E και η ένταση του είναι I = cε E + E = cε E + cε E + cε EiE = ( ) 0 0 0 0 π = cε 0 E + cε 0 E + cε 0 cos E0E0 cos( k r ωt) cos( k r ωt) 6 = cε 0 E + cε 0 E + cε 0 3E0E0 cos k r k r + cos k r + k r ωt E0 E0 = cε 0 + cε 0 + cε 0 3E0E0 cos k( r r) ( ) ( ) 5) Το φως από κάθε φανάρι παθαίνει περίθαση από τη κόρη του µατιού καθώς µπαίνει στο µάτι του παρατηρητή. Για να διακρίνει ο παρατηρητής δύο φωτεινά σηµεία πού σχηµατίζουν γωνία φ στο µάτι του θα πρέπει τα δύο κεντρικά µέγιστα περιθάσεως

Κόρη µατιού d φ L Αµφιβηστροειδής πάνω στον αµφιβηστροειδή του µατιού του να είναι χωρισµένα τουάχιστο κατά τη γωνία θ που καθορίζει το γωνιακό εύρος του ενός κεντρικού µέγιστου. ηαδή θα πρέπει φ θ ( ) Το γωνιακό εύρος του κεντρικού µεγίστου είναι: θ=. (σχέση 3. Anonso-Finn), όπου D=mm, ή διάµετρος της κόρης του D µατιού. Αά ϕ d / ϕ d tan = ϕ= (3), επειδή d<<l. L L Αρα ο παρατηρητής θα αρχίσει να διακρίνει τα δύο φανάρια όταν ικανοποιείται η (), δηαδή d d.3 3. L D= 0 m L 36 m 7 L D.. 5.9 0 3