INVESTIGASI EMPIRIS KEKUATAN UJI KPSS. Oleh MUHAMMAD FAJAR

INVESTIGASI EMPIRIS KEKUATAN UJI KPSS Oleh MUHAMMAD FAJAR 2016

ABSTRAK Judul Penelitian : Investigasi Empirik Kekuatan Uji KPSS Kata Kunci : Uji KPSS, Data Generating Process, Persentase Keputusan Salah Tujuan dari penelitian ini untuk menghasilkan nilai kritis pada uji KPSS dan mengetahui kekuatan uji KPSS yang diindikasikan dari persentase keputusan salah yang dihasilkan uji tersebut. Simulasi monte carlo digunakan untuk mendapatkan kuantil distribusi KPSS sehingga diperoleh nilai kritis KPSS pada berbagai level signifikansi alpha dan menyelidiki kekuatan uji KPSS pada proses non stasioner, meliputi random walk murni dan random walk with drift, serta proses stasioner meliputi autoregressive ordo 1 (AR(1)), dan deterministic trend with noise. Hasil yang diperoleh dalam penelitian menyimpulkan bahwa: (1) Kecenderungan nilainilai kritis KPSS1 dan KPSS2 tersebut konvergen pada suatu nilai tertentu walaupun jumlah observasi berbeda-beda. Sehingga atas dasar tersebut, nilai kritis KPSS1 dan KPSS2 bisa diwakilkan oleh suatu nilai tanpa memperhatikan jumlah observasi yang digunakan, (2) Persentase keputusan salah pada uji KPSS menurun seiring semakin besar jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian (demikian juga, persentase keputusan benar meningkat seiring semakin besar jumlah observasi), (3) Penentuan truncated lag mempengaruhi persentase keputusan salah pada pengujian KPSS. Untuk kasus random walk Murni, random walk with drift, dan deterministic trend with noise, uji KPSS menggunakan truncated lag l4 lebih meminimalisir persentase keputusan salah dibandingkan dengan menggunakan truncated lag l12. Sedangkan pada kasus AR(1), uji KPSS menggunakan truncated lag l12 lebih meminimalisir persentase keputusan salah dibandingkan dengan menggunakan truncated lag l4, dan (4) Kekuatan (power) uji KPSS (yang diindikasikan dengan persentase keputusan salah) sangat bervariatif tergantung jenis proses data yang diujikan. Power uji KPSS sangat kuat untuk proses data deterministic trend with noise dan random walk with drift dengan menggunakan truncated lag l4.

DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK...... DAFTAR ISI... ii iii BAB I. PENDAHULUAN... 1 1.1. Latar Belakang... 1 1.2. Perumusan Masalah... 1 1.3. Tujuan Penelitian... 2 1.4. Manfaat Penelitian... 2 1.5. Batasan Masalah... 2 BAB II. TINJAUAN PUSTAKA... 3 2.1. Uji KPSS... 3 2.2. Penentuan Truncated Lag (Lag Optimum)... 4 2.3. Data Generating Process (DGP)... 6 BAB III. METODOLOGI PENELITIAN... 7 3.1. Simulasi Distribusi Sampling KPSS... 7 3.2. Algoritma R Untuk Uji KPSS... 8 3.3. Algoritma R Untuk Investigasi Kekuatan Uji KPSS pada DGP... 9 BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN... 14 4.1. Nilai Kritis Pada Uji KPSS... 14 4.2. Hasil Simulasi... 16 4.2.1. Kasus Random Walk Murni... 16 4.2.2. Kasus Random Walk With Drift... 19

4.2.3. Kasus AR(1)... 22 4.2.2. Kasus Deterministic Trend With Noise... 27 BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN... 31 5.1. Kesimpulan... 31 5.2. Saran... 32 DAFTAR PUSTAKA... 33 LAMPIRAN... 34

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Stasioneritas merupakan salah satu prasyarat penting dalam analisis time series untuk data runtut waktu (time series). Data stasioner adalah data yang memiliki mean, varians dan autovarians (pada variasi lag) tetap sama pada waktu kapan saja data itu dibentuk atau dipakai, artinya dengan data yang stasioner model time series dapat dikatakan lebih stabil. Apabila data yang digunakan dalam model ada yang tidak stasioner, maka data tersebut mengandung unit root karena hasil regresi yang berasal dari data yang tidak stasioner akan menyebabkan spurious regression. Spurious regression adalah regresi yang memiliki R 2 yang tinggi, namun tidak ada hubungan yang berarti dari keduanya. Unit root sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya dapat dikatakan sebagai fitur dari proses yang berkembang melalui waktu yang dapat menyebabkan masalah dalam inferensi statistik yang melibatkan model deret waktu. Ada dua macam stasioner pada data deret waktu, yaitu difference stationary dan trend stationary. Difference stationary maksudnya adalah data yang non stasioner dapat ditransformasi dengan differencing agar menjadi stasioner, sedangkan trend stationary maksudnya adalah data yang stasioner disekitar trend deterministiknya, sehingga data yang non stasioner dapat ditransformasi dengan detrended agar menjadi stasioner. Pengujian mengenai stasioneritas data deret waktu pertama kali diperkenalkan David Dickey dan Wayne Fuller tahun 1979, dimana dalam pengujian tersebut (ADF test) hipotesis null pengecekan keberadaan unit root yang berimplikasi bahwa jika unit root terdapat pada data deret waktu maka data tersebut tidak stasioner, dan sebaliknya, jika data tidak mengandung unit root, maka data tersebut stasioner. Pada tahun 1992, Kwiatskoki, et al memperkenal suatu uji dengan hipotesis null data time series difference stasioner atau trend stasioner bukan dari unit root seperti ADF test, sehingga penulis tertarik untuk menyelidiki power dari uji KPSS tesebut (KPSS test) tetapi sebelum itu perlu diperoleh nilai kritis dari distribusi sampling pada statistic uji KPSS. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan, maka masalah yang dirumuskan dalam penelitian ini, yaitu: a. Bagaimana nilai kritis pada pengujian KPSS dari variasi jumlah observasi pada berbagai level signifikansi (alpha)? b. Bagaimana pengaruh jumlah observasi terhadap kekuatan uji KPSS (diindikasikan dari persentase keputusan salah uji KPSS)?

c. Apakah penentuan truncated lag ala Schwert (1989) mempengaruhi kekuatan uji KPSS (diindikasikan dari persentase keputusan salah uji KPSS)? d. Bagaimana power dari uji KPSS yang diindkasikan oleh persentase keputusan salah dari uji KPSS jika diterapkan pada berbagai data generating process? 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah, maka tujuan penelitian adalah: a. Memperoleh nilai kritis pada pengujian KPSS dari variasi jumlah observasi pada berbagai level signifikansi alpha. b. Mengetahui pengaruh jumlah observasi terhadap kekuatan uji KPSS (diindikasikan dari persentase keputusan salah uji KPSS)? c. Mengetahui pengaruh penentuan truncated lag ala Schwert (1989) mempengaruhi kekuatan uji KPSS (diindikasikan dari persentase keputusan salah uji KPSS) d. Dapat melihat kekuatan dari uji KPSS pada berbagai proses data generating. 1.4 Manfaat Penelitian Adapun manfaat yang diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut: a. Menambah kajian dalam pengujian stsioneritas dalam ranah ekonometrika. b. Menambah wawasan peneliti dalam investigasi kekuatan suatu alat uji statistik. 1.5 Batasan Masalah Dalam penelitian ini, jumlah sampel yang digunakan adalah 10 observasi sampai dengan 1000 observasi yang dibangkitkan dari proses random walk murni, random walk with drift, autoregressive ordo 1 (AR(1)), dan deterministic trend with noise. Distribusi White Noise yang dimaksud digunakan dalam model adalah distribusi normal.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 UJI KPSS Uji ADF dan PP intinya menguji keberadaan unit root pada data deret waktu, yang kemudian berimplikasi ketika data tidak mengandung unit root berarti data telah stasioner. Kwiatkowski, Phillips, Scmidt and Shin (1992) mengajukan sebuah pengujian LM (Lagrange Multiplier) untuk menguji trend data atau stasioneritas pada data level (KPPS). Dalam pengujian dengan hipotesis null adalah y t stasioner pada level (y t ~ I(0)) yang diformulasikan sebagai H 0 : σ u 2 = 0, yang berimplikasi bahwa r t adalah sebuah konstanta melawan hipotesis alternatif H 0 : σ u 2 0. Kwiatkowski et al. memulai dengan model: y t = ξt + r t + ε t (1) r t = r t 1 + u t (2) dimana data deret waktu y t, t = 1,2,, n, r t adalah random walk dan ε t adalah eror diasumsikan stasioner pada level dan u t White Noise (mean = 0, varians = σ u 2 ). Mari kita selidiki random walk r t r t = r t 1 + u t = r t 2 + u t 1 + u t = r t 3 + u t 2 + u t 1 + u t t r t = r 0 + u i i=1 E(r t ) = r 0 Nilai inisial r 0 fixed (dalam algoritma simulasi distribusi KPSS, r 0 =0) dan merupakan intersep. ξt merupakan komponen trend deterministik, jika ξ = 0, maka persamaan (1) menjadi sebuah konstanta sebagai regressor deterministic. u t telah stasioner pada level (I(0)). Dibawah H 0 ε t stasioner dan oleh karena itu, y t juga terjadi trend stationary atau jika ξ = 0, maka y t juga difference stationary. Statistik uji dikonstruksi sebagai berikut: pertama regresikan y t terhadap

konstan atau konstan dan trend. Kedua hitunglah jmlah residual ε t dari regresi pada langkah sebelumnya: t S t = ε i, t = 1,2,, n (3) i=1 Lalu statistik LM (Lagrange Multiplier) atau KPSS adalah: T KPSS = n 2 2 S t λ 2 (4) t=1 Dimana λ 2 adalah penaksir konsisten dari long run variance dari ε t yang menggunakan penaksirnya ε t. Para peneliti menyarankan menggunakan Bartlett window w(s, l) = 1 s/(l + 1) sebagai penimbang optimal untuk mengestimasi λ 2,yaitu: n λ 2 = s 2 (l) = n 1 ε t 2 + 2n 1 1 l + 1 t=1 l s=1 s n t=s+1 ε tε t 1 (5) l adalah parameter lag truncation (lag maksimal (optimum)). Kita pertama menganggap terjadi kasus stasioneritas pada level, maka ξ diset harus nol sehingga residual ε t berasal dari regresi y atas hanya intersep saja, ε t = y t y. S t adalah jumlah residual ε t sebagaimana persamaan (3). Dibawah hipotesis null bahwa y t stasioner pada level (I(0)), Kwiatkowski, et al menunjukkan bahwa KPSS menuju konvergensi pada fungsi dari gerak Brownian standar, yaitu: 1 KPSS d V 1 (b) db 0 (6) dimana V 1 (b) = W(b) bw(1) dan W(b) adalah gerak Brownian standar untuk b [0,1]. Jika ξ 0, maka residual ε t berasal dari regresi y atas trend deterministik, maka seperti sebelumnya, 1 KPSS d V 2 (b) db 0 (7) dimana V 2 (b) = W(b) + b(2 3b)W(1) + 6b(b 2 1 1) W(p)dp 0. Nilai kritis dari distribusi asimtotis pada (6) dan (7) ditentukan oleh metode simulasi yang akan dilakukan dalam penelitian ini. Uji stasioneritas KPSS ini merupakan pengujian satu sisi (right tailed) jadi penolakan hipotesis null pada level α terjadi jika KPSS lebih besar dari (1- α) kuantil dari aproksimasi distribusi asimtotis pada persamaan (6) atau (7). 2.2 Penentuan truncated lag (lag optimum)

Penentuan truncated lag l pada pengujian stasioneritas pada data deret waktu sangat krusial sekali. Jika l terlalu pendek maka korelasi serial signifikan terjadi pada eror sehingga akan terjadi bias pada uji. Jika l terlalu panjang maka power dari uji akan melemah. Salah aturan yang disarankan oleh Schwert (1989) dalam penentuan lag optimum (truncated lag) adalah: l 4 = 4 ( n 100 ) 1/4 l 12 = 12 ( n 100 ) 1/4 (8) (9) Ketika dalam simulasi pemeriksaan kekuatan uji, kita gunakan l 4 dan l 12 sehingga dapat diketahui rumusan mana yang mempengaruhi power of KPSS test. 2.3 Data Generating Process (DGP) Data Generating Process adalah suatu cara membangkitkan sejumlah data melalui sebuah model tertentu. Dalam penelitian ini data dibangkitkan melalui proses: a. Random Walk Murni Model untuk membangkitkan data dari proses random walk yang juga merupakan proses non stasioner, adalah sebagai berikut: y t = y t 1 + v t (10) Dimana {v t } mengikuti i.i.d proses dalam hal ini white noise. E(v t ) = 0, E(v t 2 ) = σ 2, dan E(v t v s ) = 0, t s Jika kita lakukan iterative backward y t = y t 1 + v t = y t 2 + v t 1 + v t = y t 3 + v t 2 + v t 1 + v t y t = y 0 + v i t i=1, t = 1,, n (11) b. Random Walk with Drift Model untuk membangkitkan data dari proses random walk with drift yang juga merupakan proses non stasioner, adalah sebagai berikut: y t = b 0 + y t 1 + ε t (12) Dimana {ε t } mengikuti i.i.d proses dalam hal ini white noise. E(ε t ) = 0, E(ε 2 t ) = σ 2, dan E(ε t ε s ) = 0, t s Jika kita lakukan iterative backward y t = b 0 + y t 1 + ε t

= 2b 0 + y t 2 + ε t 1 + ε t = 3b 0 + y t 3 + ε t 2 + ε t 1 + ε t y t = y 0 + b 0 t + ε i t i=1, b 0 0, t = 1,, n (13) c. AR(1) Model untuk membangkitkan data dari AR(1) yang juga merupakan proses stasioner, adalah sebagai berikut: y t = ρy t 1 + ω t, ρ < 1 (14) Dimana {ω t } mengikuti i.i.d proses dalam hal ini white noise. E(ω t ) = 0, E(ω 2 t ) = σ 2, dan E(ω t ω s ) = 0, t s d. Deterministic Trend with Noise Model untuk membangkitkan data dari proses Deterministic Trend with Noise yang juga merupakan proses trend-stasioner, adalah sebagai berikut: y t = c + ηt + φ t, η 0, t = 1,, n (15) Dimana {φ t } mengikuti i.i.d proses dalam hal ini white noise. E(φ t ) = 0, E(φ 2 t ) = σ 2, dan E(φ t φ s ) = 0, t s

BAB III METODOLOGI 3.1 Simulasi Distribusi Sampling KPSS Untuk mendapatkan nilai kritis dari uji KPSS dari berbagai jumlah observasi, kita akan lakukan replikasi sebanyak 1000000 kali, Model pada pengujian KPSS, yaitu y t = ξt + r t + ε t r t = r t 1 + u t Asumsikan bahwa ε t dan u t mengikuti N(0,1). Kemudian kita namakan statistic KPSS: 1 KPSS1 d V 1 (b) db ; untuk hipotesis null data stasioner pada level 0 1 KPSS2 d V 2 (b) db ; untuk hipotesis null data trend stasioner pada level 0 Nilai kritis diperoleh dari kuantil distribusi KPSS1 dan KPSS2 yang dibentuk melalui simulasi atas dasar jumlah observasi yang telah ditentukan. Jumlah observasi yang ditentukan dalam penelitian ini adalah 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120, 130, 140, 150, 170, 190, 200, 250, 300, 350, 400, 500, 600, 700, 750, 800, 850, 900, 950, dan 1000. Algoritma R untuk mensimulasi distribusi sampling KPSS set.seed(123) wiener2 = function(nobs) { e = rnorm(nobs) # create detrended errors e1 = e - mean(e) Merujuk pada persamaan (1) dengan ξ = 0, dan E(r t ) = r 0 = 0 e2 = residuals(lm(e~seq(1,nobs))) # compute simulated Brownian Bridges y1 = cumsum(e1) y2 = cumsum(e2) intw2.1 = nobs^(-2) * sum(y1^2) Merujuk pada persamaan (4) intw2.2 = nobs^(-2) * sum(y2^2) Merujuk pada persamaan (4) ans = list(intw2.1=intw2.1,intw2.2=intw2.2) ans } # simulate KPSS distributions nobs = 10 Jumlah observasi, misal n = 10 nsim = 1000000 Jumlah replikasi sebanyak 1000000 kali KPSS1 = rep(0,nsim)

KPSS2 = rep(0,nsim) for (i in 1:nsim) { BN.moments = wiener2(nobs) KPSS1[i] = BN.moments$intW2.1 Menghasilkan barisan KPSS1 sebanyak jumlah replikasi KPSS2[i] = BN.moments$intW2.2 Menghasilkan barisan KPSS2 sebanyak jumlah replikasi } # compute quantiles of distribution # quantile(kpss1, probs=c(0.90,0.925,0.95,0.975,0.99)) ##Notrend quantile(kpss2, probs=c(0.90,0.925,0.95,0.975,0.99)) ##WithTrend 3.2 Algoritma R untuk Uji KPSS H 0 : Data stasioner (atau trend stasioner) H 1 : Data tidak stasioner Statistik uji KPSS = n 2 2 S t λ 2 Keputusan: Tolak H 0, jika KPSS titik kritis pada level signifikansi α Berikut algoritma R untuk pengujian KPSS uji.kpss<-function (y, type = c("notrend", "withtrend"), lags = c("l4", "l12", "nil"), use.lag = NULL) { y <- na.omit(as.vector(y)) n <- length(y) type <- match.arg(type) lags <- match.arg(lags) if (!(is.null(use.lag))) { lmax <- as.integer(use.lag) if (lmax < 0) { warning("\nuse.lag has to be positive and integer; lags='l4' used.") lmax <- trunc(4 * (n/100)^0.25) } } else if (lags == "l4") { lmax <- trunc(4 * (n/100)^0.25) ##Lag Maximum merujuk persamaan(8) } else if (lags == "l12") { lmax <- trunc(12 * (n/100)^0.25) ##Lag Maximum merujuk persamaan(9) } else if (lags == "nil") { lmax <- 0 } if (type == "notrend") { res <- y - mean(y) } else if (type == "withtrend") { trend <- 1:n res <- residuals(lm(y ~ trend)) } S <- cumsum(res) ##Merujuk pada persamaan(3) nominator <- sum(s^2)/n^2 ##Jumlah S kuadrat s2 <- sum(res^2)/n if (lmax == 0) { denominator <- s2 ##Long Run Variance } else { T t=1

index <- 1:lmax x.cov <- sapply(index, function(x) t(res[-c(1:x)]) %*% res[-c((n - x + 1):n)]) bartlett <- 1 - index/(lmax + 1) denominator <- s2 + 2/n * t(bartlett) %*% x.cov ##Long Run Variance Residuals pada persamaan(5) } LMstat <- nominator/denominator ##merujuk pada persamaan (4) } 3.3 Algoritma R Untuk Investigasi Kekuatan Power Uji KPSS pada Data Generating Process a. Random Walk Murni Kita gunakan model untuk membangkitkan random walk (proses non stasioner) sebagai berikut: y t = y 0 + v i t i=1, t = 1,, n Kita asumsikan bahwa {v t } mengikuti i.i.d N(0,1) dan y 0 = 0 sehingga: t y t = v i i=1, t = 1,, n (16) Algoritma untuk kasus random walk, sebagai berikut: 1. kita akan bangkitkan series data sebanyak n dari proses non stasioner yaitu random walk (dari distribusi N(0,1)) berdasarkan persamaan(16). 2. Dari poin (1), kita lakukan pengujian KPSS 3. Pada poin(1) dan (2) ulangi sebanyak 100000 kali 4. Dari poin (3) berapa persentase H 0 diterima, artinya kita dapat melihat bahwa berapa persen keputusan salah dari uji KPSS (terima H 0 pada padahal kondisi populasi pada H 0 salah). 5. Persentase keputusan benar = 100% - persentase keputusan salah pada poin(4) Algoritma R untuk langkah penyelidikan power dari uji KPSS kasus random walk adalah: set.seed(123) rnorm(n) ##menghasilkan bilangan acak sebanyak n yang berasal dari N(0,1) cumsum(rnorm(n)) ##menghasilkan bilangan sebanyak n yang merupakan jumlah kumulatif dari rnorm(n) n=10 ## misal jumlah observasi n=10 rw1=replicate(100000, cumsum(rnorm(n))) ##merujuk pada poin (3) t.rw1=apply(rw1,2,function(x) uji.kpss(x,"notrend","l4"))##merujuk pada poin (4) #the percentages of wrong decisions in case of non stationary process (in this case, the decision is wrong if you accept the null hypothesis) (sum(t.rw1<a)/100000*100) ##Level alpha 1%; merujuk pada poin (4) (sum(t.rw1<b)/100000*100) ##Level alpha 2.5%; merujuk pada poin (4) (sum(t.rw1<c)/100000*100) ##Level alpha 5%; merujuk pada poin (4) (sum(t.rw1<d)/100000*100) ##Level alpha 10; merujuk pada poin (4)

uji.kpss(x,"notrend","l4")) maksudnya uji KPSS menggunakan notrend karena pada random walk tidak mengandung unsur trend deterministic dan menggunakan lag truncation l4 atau bisa juga menggunakan l12. A, B, C, dan D adalah nilai kritis pada uji KPSS (diperoleh dari simulasi distribusi sampling KPSS1) sesuai dengan jumlah observasi data yang diuji dan level signifikansi α yang digunakan. Algoritma di atas dimaksudkan untuk mengetahui persentase keputusan salah pada uji KPSS dengan berbagai jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian. Data yang dibangkitkan berasal dari proses non stasioner yaitu Random Walk murni, artinya sebuah set data dibangkitkan dari proses tersebut kemudian diuji KPSS sehingga diperoleh persentase menerima hipotesis null bahwa data adalah stasioner pada tingkat level (persentase keputusan salah) dengan mereplikasi percobaan tersebut sebanyak 100000 kali. b. Random Walk with Drift Model untuk membangkitkan data dari proses random walk with drift yang juga merupakan proses non stasioner, adalah sebagai berikut: y t = b 0 + y t 1 + ε t (12) Dimana {ε t } mengikuti i.i.d N(0,1). E(ε t ) = 0, E(ε 2 t ) = σ 2, dan E(ε t ε s ) = 0, t s Jika kita lakukan iterative backward y t = y 0 + b 0 t + ε i t i=1 y t = b 0 + y t 1 + ε t = 2b 0 + y t 2 + ε t 1 + ε t = 3b 0 + y t 3 + ε t 2 + ε t 1 + ε t, b 0 0, t = 1,, n (13) Dalam simulasi untuk investigasi kekuatan uji KPSS, pada persamaan (13), y 0 = 0, b 0 = 0.5, dan b 0 = 5 Algoritma: 1. kita akan bangkitkan series data sebanyak n dari proses non stasioner yaitu random walk with drift berdasarkan persamaan (13) dengan y 0 = 0, a 0 = 0.5, dan a 0 = 5. 2. Dari poin (1), kita lakukan pengujian KPSS 3. Pada poin (1) dan (2) ulangi sebanyak 100000 kali 4. Dari poin (3) berapa persentase H 0 diterima, artinya kita dapat melihat bahwa berapa persen keputusan salah dari uji KPSS (terima H 0 pada padahal kondisi populasi pada H 0 salah). 5. Persentase keputusan benar = 100% - persentase keputusan salah pada poin(4)

Algoritma R untuk langkah penyelidikan power dari uji KPSS kasus random walk with drift set.seed(123) ##Random Walk With Drift n=10 ## misal jumlah observasi n=10 e=rnorm(n) trend=1 : n rwd1=replicate(100000, 5*trend+cumsum(e)) ##merujuk poin(3) s.rwd1=apply(rwd1,2,function(x) uji.kpss(x, "withtrend","l4")) ##merujuk poin (4) #the percentages of wrong decisions in case of nonstationary process (in this case, the decision is wrong if you accept the null hypothesis) (sum(s.rwd1<e)/100000*100) ##Level alpha 1%; merujuk pada poin (4) (sum(s.rwd1<f)/100000*100) ##Level alpha 2.5%; merujuk pada poin 4) (sum(s.rwd1<g)/100000*100) ##Level alpha 5%; merujuk pada poin (4) (sum(s.rwd1<h)/100000*100) ##Level alpha 10%; merujuk pada poin (4) uji.kpss(x,"withtrend","l4")) maksudnya uji KPSS menggunakan withtrend karena pada random walk with drift mengandung unsur trend deterministic dan menggunakan lag truncation l4 atau bisa juga menggunakan l12. E, F, G, dan H adalah nilai kritis pada uji KPSS (diperoleh dari simulasi distribusi sampling KPSS2) sesuai dengan jumlah observasi data yang diuji dan level signifikansi α yang digunakan. Algoritma di atas dimaksudkan untuk mengetahui persentase keputusan salah pada uji KPSS dengan berbagai jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian. Data yang dibangkitkan berasal dari proses non stasioner yaitu Random Walk with Drift, artinya sebuah set data dibangkitkan dari proses tersebut kemudian diuji KPSS sehingga diperoleh persentase menerima hipotesis null bahwa data adalah stasioner pada tingkat level (persentase keputusan salah) dengan mereplikasi percobaan tersebut sebanyak 100000 kali. c. Autoregressive (1) (AR(1)) Model untuk membangkitkan data dari AR(1) yang juga merupakan proses stasioner, adalah sebagai berikut: y t = ρy t 1 + ω t, ρ < 1 (14) Dimana {ω t } mengikuti i.i.d i.i.d N(0,1). E(ω t ) = 0, E(ω 2 t ) = σ 2, dan E(ω t ω s ) = 0, t s Pada simulasi pengujian power, dalam persamaan (14) kita gunakan ρ = {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9} Algoritma: 1. kita akan bangkitkan series data sebanyak n dari proses stasioner yaitu AR(1) berdasarkan persamaan (14), kita gunakan ρ = {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}

2. Dari poin (1), kita lakukan pengujian KPSS 3. Pada poin(1) dan (2) ulangi sebanyak 100000 kali 4. Dari poin (3) berapa persentase H 0 ditolak, artinya kita dapat melihat bahwa berapa persen keputusan salah dari uji KPSS (tolak H 0 pada padahal kondisi populasi pada H 0 benar). 5. Persentase keputusan benar = 100% - persentase keputusan salah pada poin(4) Algoritma R untuk langkah penyelidikan power dari uji KPSS kasus AR(1): set.seed(123) ar1=replicate(100000, arima.sim(n=10,list(ar=0.5),innov=rnorm(10)))## merujuk poin(3) s.ar1=apply(ar1,2,function(x) uji.kpss(x, "notrend","l4"))##merujuk pada poin(4) #the percentages of wrong decisions in case of stationary process (in this case, the decision is wrong if you reject the null hypothesis) (sum(s.ar1h)/100000*100) ##Level alpha 1%; merujuk pada poin(4) (sum(s.ar1i)/100000*100) ##Level alpha 2.5%; merujuk pada poin(4) (sum(s.ar1j)/100000*100) ##Level alpha 5%; merujuk pada poin(4) (sum(s.ar1k)/100000*100) ##Level alpha 10%; merujuk pada poin(4) ar1=replicate(100000, arima.sim(n=10,list(ar=0.5),innov=rnorm(10)));maksudnya membangki tkan data sebanyak 10 observasi dari proses AR(1) uji.kpss(x,"notrend","l4")) maksudnya uji KPSS menggunakan notrend karena pada AR(1) tidak mengandung unsur trend deterministic dan menggunakan lag truncation l4 atau bisa juga menggunakan l12. H,I, J, dan K adalah nilai kritis pada uji KPSS (diperoleh dari simulasi distribusi sampling KPSS1) sesuai dengan jumlah observasi data yang diuji dan level signifikansi α yang digunakan. Algoritma di atas dimaksudkan untuk mengetahui persentase keputusan salah pada uji KPSS dengan berbagai jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian. Data yang dibangkitkan berasal dari proses stasioner yaitu AR(1), artinya sebuah set data dibangkitkan dari proses tersebut kemudian diuji KPSS sehingga diperoleh persentase menolak hipotesis null bahwa data adalah stasioner pada tingkat level (persentase keputusan salah) dengan mereplikasi percobaan tersebut sebanyak 100000 kali. d. Deterministic Trend with Noise Model untuk membangkitkan data dari proses deterministic trend with noise yang juga merupakan proses trend stasionary, adalah sebagai berikut: y t = c + ηt + φ t, η 0, t = 1,, n (15) Dimana {φ t } mengikuti i.i.d N(0,1). E(φ t ) = 0, E(φ 2 t ) = σ 2, dan E(φ t φ s ) = 0, t s Dalam simulasi untuk investigasi kekuatan uji KPSS, pada persamaan (15), = 0, η = { 0.5, 5 }

Algoritma: 1. kita akan bangkitkan series data sebanyak n dari proses trend stasionary yaitu deterministic trend with noise berdasarkan persamaan (15) c = 0, η = { 0.5, 5 } 2. Dari poin (1), kita lakukan pengujian KPSS 3. Pada poin(1) dan (2) ulangi sebanyak 100000 kali 4. Dari poin (3) berapa persentase H 0 ditolak, artinya kita dapat melihat bahwa berapa persen keputusan salah dari uji KPSS (tolak H 0 pada padahal kondisi populasi pada H 0 benar). 5. Persentase keputusan benar = 100% - persentase keputusan salah pada poin(4) Algoritma R untuk langkah penyelidikan power dari uji KPSS kasus deterministic trend with noise adalah: set.seed(123) ##Deterministic Trend With Noise n1=10 ## misal jumlah observasi n=10 e1=rnorm(n1) trend1=1 : n1 rwd1=replicate(100000, 0.5*trend1+(e1)) ## c = 0 dan η = 0.5 dan merujuk poin(3) s.rwd1=apply(rwd1,2,function(x) uji.kpss(x, "withtrend","l4")) ##merujuk pada poin(4) #the percentages of wrong decisions in case of stationary process (in this case, the decision is wrong if you reject the null hypothesis) (sum(s.rwd1m)/100000*100) ##Level alpha 1%; merujuk pada poin(4) (sum(s.rwd1n)/100000*100) ##Level alpha 2.5%; merujuk pada poin(4) (sum(s.rwd1o)/100000*100) ##Level alpha 5%; merujuk pada poin(4) (sum(s.rwd1p)/100000*100) ##Level alpha 10%; merujuk pada poin(4) uji.kpss(x,"withtrend","l4")) maksudnya uji KPSS menggunakan withtrend karena pada random walk with drift mengandung unsur trend deterministic dan menggunakan lag truncation l4 atau bisa juga menggunakan l12. M, N, O, dan P adalah nilai kritis pada uji KPSS (diperoleh dari simulasi distribusi sampling KPSS2) sesuai dengan jumlah observasi data yang diuji dan level signifikansi α yang digunakan. Algoritma di atas dimaksudkan untuk mengetahui persentase keputusan salah pada uji KPSS dengan berbagai jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian. Data yang dibangkitkan berasal dari proses trend-stasioner yaitu deterministic trend with noise, artinya sebuah set data dibangkitkan dari proses tersebut kemudian diuji KPSS sehingga diperoleh persentase menolak hipotesis null bahwa data adalah stasioner pada tingkat level (persentase keputusan salah) dengan mereplikasi percobaan tersebut sebanyak 100000 kali. 4.1 Nilai Kritis Pada Uji KPSS BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Berdasarkan algoritma R untuk mensimulasi distribusi sampling KPSS sehingga diperoleh nilai kritis berdasarkan kuantil distribusi sampling tersebut, yaitu: Tabel 1. Nilai Kritis KPSS1 Pada Berbagai Jumlah Observasi dan Level Signifikansi KPSS1 d V 1 (b) db n Level Signifikansi 10% 7.50% 5% 2.50% 1% 10 0.34716 0.39407 0.46198 0.58023 0.7456 15 0.34792 0.39451 0.46237 0.58238 0.74501 20 0.34788 0.39483 0.46184 0.5803 0.74132 25 0.34725 0.39425 0.46171 0.58145 0.74563 30 0.34752 0.3943 0.46148 0.58031 0.74103 35 0.34703 0.39411 0.46148 0.58164 0.74218 40 0.34731 0.39356 0.46091 0.58076 0.74206 50 0.34693 0.39313 0.46011 0.57838 0.7398 60 0.34816 0.39454 0.46183 0.57949 0.74387 70 0.34711 0.3937 0.4615 0.58028 0.74438 80 0.34717 0.39417 0.46197 0.58128 0.7437 90 0.34728 0.39446 0.46205 0.58243 0.74526 100 0.34783 0.3937 0.46076 0.57996 0.74291 120 0.34732 0.39327 0.46127 0.57995 0.74114 130 0.34677 0.39312 0.46049 0.58057 0.74314 140 0.34726 0.39395 0.4614 0.58125 0.74051 150 0.34716 0.3939 0.46092 0.58015 0.74337 170 0.3477 0.39402 0.46155 0.58095 0.74243 190 0.34748 0.39342 0.46139 0.58069 0.7451 200 0.34798 0.39426 0.46216 0.5814 0.74454 250 0.34748 0.39428 0.46142 0.58145 0.74362 300 0.34726 0.39384 0.46109 0.58012 0.74383 350 0.34632 0.39305 0.46066 0.57968 0.74219 400 0.3467 0.39359 0.46095 0.5806 0.74546 500 0.34698 0.39378 0.46087 0.58065 0.74201 600 0.34729 0.39299 0.45985 0.58009 0.74088 700 0.34769 0.39416 0.46163 0.58068 0.74489 750 0.34741 0.39374 0.4617 0.58106 0.74135 800 0.34788 0.39461 0.46301 0.58155 0.74388 850 0.34713 0.39346 0.45997 0.58028 0.74319 900 0.34824 0.39496 0.46284 0.58178 0.74401 950 0.34721 0.39342 0.46113 0.57968 0.74315 1000 0.34664 0.39324 0.4605 0.5804 0.74354 Tabel 2. Nilai Kritis KPSS2 Pada Berbagai Jumlah Observasi dan Level Signifikansi KPSS2 d V 2 (b) db 0 1 0 1

n Level Signifikansi 10% 7.50% 5% 2.50% 1% 10 0.11977 0.13202 0.14948 0.18001 0.22147 15 0.11954 0.13156 0.14868 0.17857 0.21908 20 0.11942 0.13143 0.14846 0.17798 0.21844 25 0.11931 0.13119 0.14837 0.17817 0.21921 30 0.11931 0.13113 0.148 0.17734 0.21721 35 0.11925 0.131 0.14798 0.17761 0.21861 40 0.11918 0.13104 0.14804 0.17772 0.21823 50 0.11948 0.13138 0.14831 0.17792 0.2185 60 0.11919 0.13092 0.14793 0.17749 0.21758 70 0.11927 0.13105 0.14795 0.17787 0.21815 80 0.1192 0.13101 0.1477 0.17741 0.21812 90 0.11904 0.13086 0.14783 0.17739 0.21788 100 0.11911 0.13092 0.14779 0.17734 0.21748 120 0.11917 0.13086 0.14762 0.17746 0.21789 130 0.11913 0.13085 0.14765 0.17765 0.21768 140 0.11912 0.13079 0.14744 0.17702 0.21774 150 0.11917 0.13087 0.14782 0.17761 0.21816 170 0.1192 0.13096 0.1478 0.17788 0.21796 190 0.11907 0.13093 0.14784 0.17707 0.21796 200 0.1193 0.13104 0.14795 0.17737 0.21774 250 0.11926 0.13106 0.14778 0.1772 0.21744 300 0.11911 0.13102 0.14812 0.17797 0.21766 350 0.11945 0.13123 0.14825 0.1775 0.21757 400 0.119 0.13085 0.14778 0.17733 0.21761 500 0.11924 0.13118 0.14802 0.17771 0.21833 600 0.1192 0.13108 0.14795 0.17772 0.2181 700 0.11929 0.13102 0.14785 0.1774 0.21765 750 0.11914 0.13088 0.14779 0.17756 0.21775 800 0.11932 0.131 0.14788 0.17739 0.21767 850 0.11916 0.13106 0.14777 0.17765 0.21763 900 0.11936 0.13111 0.14801 0.17756 0.21795 950 0.11915 0.13102 0.14796 0.17756 0.21801 1000 0.11921 0.13105 0.14785 0.17751 0.21699 Kita perhatikan nilai kritis pada tabel 1 dan 2, untuk berbagai jumlah observasi dan level signifikansi (alpha), nampak kecenderungan nilai-nilai kritis tersebut konvergen pada suatu nilai tertentu walaupun jumlah observasi berbeda-beda. Sehingga atas dasar tersebut, nilai kritis KPSS1 dan KPSS2 bisa diwakilkan oleh suatu nilai tanpa memperhatikan jumlah observasi yang digunakan. Jika kita anggap bahwa tabel 1 dan 2 merupakan sebuah distribusi frekuensi dari nilai kritis, maka kita dapat memperoleh rata-rata dari nilai kritis tersebut dengan alasan bahwa kecenderungan

nilai-nilai kritis tersebut konvergen pada suatu nilai tertentu walaupun jumlah observasi berbeda-beda sehingga titik konvergen dapat diperkirakan dari rata-rata nilai kritis. Tabel 3. Nilai Kritis KPSS1 Untuk Berbagai Level Signifikansi KPSS1 d 1 V 1 (b) db 0 Level Signifikansi 10% 7.50% 5% 2.50% 1% 0.34733 0.39381 0.46129 0.58065 0.74322 Tabel 4. Nilai Kritis KPSS2 Untuk Berbagai Level Signifikansi KPSS2 d 1 V 2 (b) db 0 Level Signifikansi 10% 7.50% 5% 2.50% 1% 0.119218 0.131026 0.147896 0.177538 0.217756 Dalam penelitian ini digunakan tabel 1 dan 2 untuk melihat seberapa persen keputusan salah dari uji KPSS pada berbagai jumlah observasi. Sedangkan tabel 3 dan 4, umumnya digunakan beberapa buku ekonometrika sebagai nilai kritis KPSS. 4.2 Hasil Simulasi 4.2.1 Kasus Random Walk Murni Setelah diperoleh nilai kritis KPSS1 dan KPSS2 pada berbagai level signifikansi (alpha) dan Jumlah Observasi, maka nilai kritis tersebut digunakan pada algoritma R untuk melihat persentase keputusan salah dari uji KPSS, sebagai berikut: Algoritma R set.seed(123) n=10 ## misal jumlah observasi n=10 rw1=replicate(100000, cumsum(rnorm(n))) t.rw1=apply(rw1,2,function(x) uji.kpss(x,"notrend","l4")) #the percentages of wrong decisions in case of non stationary process (in this case, the decision is wrong if you accept the null hypothesis) (sum(t.rw1<0.7455950)/100000*100) ##Level alpha 1% (sum(t.rw1<0.5802320)/100000*100) ##Level alpha 2.5% (sum(t.rw1<0.4619840)/100000*100) ##Level alpha 5% (sum(t.rw1<0.3471574)/100000*100) ##Level alpha 10 0.7455950, 0.5802320, 0.4619840, dan 0.3471574 adalah nilai kritis pada uji KPSS pada tabel 1, (diperoleh dari simulasi distribusi sampling KPSS1) untuk jumlah observasi sebanyak 10 observasi. Berikut persentase keputusan salah pada uji KPSS pada berbagai jumlah observasi dan level signifikansi (lihat tabel 5 dan 6), yaitu:

Tabel 5. Persentase Keputusan Salah Dari Uji KPSS dengan l4 pada persamaan (8) kasus Random Walk Murni l4 n Level Signifikansi 10% 5% 2.50% 1% 10 53.631 97.958 100.000 100.000 15 42.054 62.593 95.127 100.000 20 34.432 48.018 65.302 97.724 25 29.668 40.626 52.742 73.857 30 25.820 35.173 44.883 59.559 35 28.155 38.582 49.884 68.154 40 25.533 34.992 44.751 59.193 50 20.619 29.031 36.883 47.870 60 16.097 24.693 31.886 41.260 70 12.467 21.076 27.865 36.119 80 10.248 17.770 24.726 32.249 90 8.407 14.741 21.896 29.194 100 10.052 17.383 24.460 32.041 120 7.491 13.106 19.882 27.236 130 6.497 11.501 17.818 25.177 140 5.586 10.011 15.546 22.912 150 4.892 8.906 13.931 21.376 170 3.828 7.165 11.207 17.659 190 2.986 5.977 9.512 14.974 200 2.580 5.155 8.317 13.300 250 0.026 4.741 7.701 12.456 300 1.521 3.299 5.656 9.277 350 0.911 2.188 3.988 6.822 400 0.576 1.518 2.932 5.464 500 0.299 0.813 1.644 3.207 600 0.268 0.720 1.503 2.937 700 0.143 0.440 0.980 2.103 750 0.123 0.379 0.814 1.733 800 0.078 0.262 0.635 1.407 850 0.060 0.239 0.530 1.214 900 0.052 0.214 0.504 1.086 950 0.069 0.247 0.590 1.252 1000 0.054 0.199 0.489 1.131 Berdasarkan tabel 5, persentase keputusan salah pada uji KPSS menurun seiring semakin besar jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian (demikian juga, persentase keputusan benar meningkat seiring semakin besar jumlah observasi). Pada level alpha sebesar 10 persen ketika jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 120 titik data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 8 persen (persentase keputusan benar stabil diatas 90 persen) dengan menggunakan truncated lag l4. Pada level alpha sebesar 5 persen ketika jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 150 titik data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 9 persen dengan menggunakan truncated lag l4. Pada level alpha sebesar 2.5 persen ketika jumlah observasi yang digunakan

dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 190 titik data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 10 persen dengan menggunakan truncated lag l4. Pada level alpha sebesar 1 persen ketika jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 300 titik data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 10 persen dengan menggunakan truncated lag l4 Tabel 6. Persentase Keputusan Salah Dari Uji KPSS dengan l12 pada persamaan (9) kasus Random Walk Murni l12 n Level Signifikansi 10% 5% 2.50% 1% 10 24.804 98.748 99.951 100.000 15 63.774 99.090 100.000 100.000 20 62.026 99.993 100.000 100.000 25 55.522 99.629 100.000 100.000 30 49.873 93.565 100.000 100.000 35 48.433 89.207 100.000 100.000 40 45.031 75.399 100.000 100.000 50 41.736 64.462 98.901 100.000 60 37.847 54.465 80.304 100.000 70 34.212 47.958 66.213 99.460 80 33.390 46.456 63.190 95.923 90 31.048 42.739 56.536 82.257 100 30.414 41.637 54.918 78.777 120 26.770 36.665 47.035 63.489 130 25.069 34.450 44.077 58.376 140 25.053 34.337 44.105 58.263 150 23.539 32.528 41.520 54.902 170 21.012 29.546 37.778 49.047 190 19.818 28.361 36.274 47.106 200 18.946 27.488 34.951 45.226 250 0.862 23.564 30.693 39.539 300 11.017 19.002 25.800 33.614 350 9.372 16.428 23.467 30.892 400 7.473 13.352 20.328 27.748 500 5.681 10.258 15.777 23.231 600 4.397 8.033 12.654 19.582 700 3.530 6.882 10.710 16.895 750 2.971 5.863 9.343 14.960 800 2.905 5.801 9.212 14.802 850 2.558 5.074 8.271 13.273 900 2.251 4.633 7.558 12.061 950 2.147 4.463 7.397 11.946 1000 1.857 3.967 6.757 10.959 Berdasarkan tabel 6, persentase keputusan salah pada uji KPSS menurun seiring semakin besar jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian (demikian juga, persentase keputusan benar meningkat seiring semakin besar jumlah observasi). Pada level alpha sebesar 10 persen ketika jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 350 titik

data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 10 persen dengan menggunakan truncated lag l12. Pada level alpha sebesar 5 persen ketika jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 600 titik data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 10 persen dengan menggunakan truncated lag l12. Pada level alpha sebesar 2.5 persen ketika jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 750 titik data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 10 persen dengan menggunakan truncated lag l12. Pada level alpha sebesar 1 persen ketika jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian sebesar lebih dari atau sama dengan 600 titik data, maka persentase keputusan salah stabil dibawah 20 persen dengan menggunakan truncated lag l12. Dari kasus random walk murni ternyata penentuan truncated lag mempengaruhi persentase keputusan salah pada pengujian KPSS, jika uji KPSS menggunakan truncated lag l4 lebih meminimalisir persentase keputusan salah dibandingkan dengan menggunakan truncated lag l12. 4.2.2 Kasus Random Walk With Drift Setelah diperoleh nilai kritis KPSS1 dan KPSS2 pada berbagai level signifikansi (alpha) dan Jumlah Observasi, maka nilai kritis tersebut digunakan pada algoritma R untuk melihat persentase keputusan salah dari uji KPSS, sebagai berikut: Algoritma R set.seed(123) ##Random Walk With Drift n=10 ## misal jumlah observasi n=10 e=rnorm(n) trend=1 : n rwd1=replicate(100000, 5*trend+cumsum(e)) s.rwd1=apply(rwd1,2,function(x) uji.kpss(x, "withtrend","l4")) #the percentages of wrong decisions in case of nonstationary process (in this case, the decision is wrong if you accept the null hypothesis) (sum(s.rwd1<0.2214667)/100000*100) ##Level alpha 1% (sum(s.rwd1<0.1800093)/100000*100) ##Level alpha 2.5% (sum(s.rwd1<0.1494828)/100000*100) ##Level alpha 5% (sum(s.rwd1<0.1197675)/100000*100) ##Level alpha 10% Algoritma di atas dimaksudkan untuk mengetahui persentase keputusan salah pada uji KPSS dengan berbagai jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian. Data yang dibangkitkan berasal dari proses non stasioner yaitu random walk with drift, artinya sebuah set data dibangkitkan dari proses tersebut kemudian diuji KPSS sehingga diperoleh persentase menerima hipotesis null bahwa data adalah stasioner pada tingkat level (persentase keputusan salah). 0.2214667, 0.1800093, 0.1494828, dan 0.1197675 adalah nilai kritis pada uji KPSS pada tabel 2, (diperoleh dari simulasi distribusi sampling KPSS2) untuk jumlah observasi sebanyak 10 observasi.

Tabel 7. Persentase Keputusan Salah Dari Uji KPSS dengan l4 pada persamaan (8) Kasus Random Walk With Drift level alpha 1% level alpha 2.5% level alpha 5% level alpha 10% n dengan l4 dengan l4 dengan l4 dengan l4 a 0 : a 0 : a 0 : a 0 : 0.5 5 0.5 5 0.5 5 0.5 5 10 100 100 100 100 100 100 0 0 15 100 100 100 100 0 0 0 0 20 100 100 100 100 100 100 0 0 25 100 100 100 100 100 100 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 35 100 100 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 0 0 50 100 100 100 100 100 100 100 100 60 0 0 0 0 0 0 0 0 70 100 100 100 100 100 100 0 0 80 0 0 0 0 0 0 0 0 90 0 0 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0 120 0 0 0 0 0 0 0 0 130 100 100 0 0 0 0 0 0 140 0 0 0 0 0 0 0 0 150 0 0 0 0 0 0 0 0 170 0 0 0 0 0 0 0 0 190 0 0 0 0 0 0 0 0 200 100 100 0 0 0 0 0 0 250 0 0 0 0 0 0 0 0 300 0 0 0 0 0 0 0 0 350 0 0 0 0 0 0 0 0 400 0 0 0 0 0 0 0 0 500 0 0 0 0 0 0 0 0 600 0 0 0 0 0 0 0 0 700 0 0 0 0 0 0 0 0 750 0 0 0 0 0 0 0 0 800 0 0 0 0 0 0 0 0 850 0 0 0 0 0 0 0 0 900 0 0 0 0 0 0 0 0 950 0 0 0 0 0 0 0 0 1000 0 0 0 0 0 0 0 0 Berdasarkan tabel 7, di atas dapat memberikan penjelasan bahwa: Berapapun nilai koefisien pada trend asalkan tidak nol, memberikan persentase keputusan salah pada uji KPSS yang sama. Persentase keputusan salah pada uji KPSS menurun seiring semakin besar jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian (demikian juga, persentase keputusan benar meningkat seiring semakin besar jumlah observasi). Pada level alpha sebesar 1 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 250 titik data.

Pada level alpha sebesar 2.5 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 80 titik data dengan menggunakan truncated lag l4. Pada level alpha sebesar 5 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 80 titik data dengan menggunakan truncated lag l4. Pada level alpha sebesar 10 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 50 titik data dengan menggunakan truncated lag l4. Tabel 8. Persentase Keputusan Salah Dari Uji KPSS dengan l12 pada persamaan (9) Kasus Random Walk With Drift level alpha 1% level alpha 2.5% level alpha 5% level alpha 10% n dengan l12 dengan l12 dengan l12 dengan l12 a 0 : a 0 : a 0 : a 0 : 0.5 5 0.5 5 0.5 5 0.5 5 10 0 0 0 0 0 0 0 0 15 100 100 0 0 0 0 0 0 20 100 100 100 100 0 0 0 0 25 100 100 100 100 100 100 0 0 30 100 100 100 100 100 100 0 0 35 100 100 100 100 100 100 0 0 40 100 100 100 100 100 100 0 0 50 100 100 100 100 100 100 100 100 60 100 100 100 100 0 0 0 0 70 100 100 100 100 100 100 100 100 80 100 100 100 100 100 100 100 100 90 100 100 100 100 0 0 0 0 100 100 100 0 0 0 0 0 0 120 100 100 100 100 100 100 0 0 130 100 100 100 100 100 100 100 100 140 0 0 0 0 0 0 0 0 150 0 0 0 0 0 0 0 0 170 100 100 100 100 100 100 0 0 190 100 100 100 100 100 100 0 0 200 100 100 100 100 100 100 100 100 250 100 100 100 100 0 0 0 0 300 100 100 100 100 100 100 0 0 350 0 0 0 0 0 0 0 0 400 0 0 0 0 0 0 0 0 500 0 0 0 0 0 0 0 0 600 0 0 0 0 0 0 0 0 700 0 0 0 0 0 0 0 0 750 0 100 0 0 0 0 0 0 800 0 0 0 0 0 0 0 0 850 0 0 0 0 0 0 0 0 900 0 0 0 0 0 0 0 0 950 0 0 0 0 0 0 0 0 1000 0 0 0 0 0 0 0 0

Berdasarkan tabel 8, di atas dapat memberikan penjelasan bahwa: Berapapun nilai koefisien trend asalkan tidak nol, memberikan persentase keputusan salah pada uji KPSS yang sama. Persentase keputusan salah pada uji KPSS menurun seiring semakin besar jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian (demikian juga, persentase keputusan benar meningkat seiring semakin besar jumlah observasi). Pada level alpha sebesar 1 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 350 titik data dengan menggunakan truncated lag l12, kecuali pada a 0 = 5 dan jumlah observasi adalah 750 terlihat persentase keputusan salah mencapai 100 persen (karena penetapan set.seed123 dan proses iterasi) Pada level alpha sebesar 2.5 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 350 titik data dengan menggunakan truncated lag l12. Pada level alpha sebesar 5 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 350 titik data dengan menggunakan truncated lag l12. Pada level alpha sebesar 10 persen, persentase keputusan salah stabil nol persen pada jumlah observasi lebih dari atau sama dengan 250 titik data dengan menggunakan truncated lag l12. Dari kasus Random Walk with Drift, ternyata penentuan truncated lag mempengaruhi persentase keputusan salah pada pengujian KPSS, jika uji KPSS menggunakan truncated lag l4 lebih meminimalisir persentase keputusan dibandingkan dengan menggunakan truncated lag l12. 4.2.3 Kasus AR(1) Setelah diperoleh nilai kritis KPSS1 dan KPSS2 pada berbagai level signifikansi (alpha) dan Jumlah Observasi, maka nilai kritis tersebut digunakan pada algoritma R untuk melihat persentase keputusan salah dari uji KPSS, sebagai berikut: Algoritma R set.seed(123) ar1=replicate(100000, arima.sim(n=10,list(ar=0.5),innov=rnorm(10))) s.ar1=apply(ar1,2,function(x) uji.kpss(x, "notrend","l4")) #the percentages of wrong decisions in case of stationary process (in this case, the decision is wrong if you reject the null hypothesis) (sum(s.ar10.7455950)/100000*100) ##Level alpha 1% (sum(s.ar10.5802320)/100000*100) ##Level alpha 2.5% (sum(s.ar10.4619840)/100000*100) ##Level alpha 5% (sum(s.ar10.3471574)/100000*100) ##Level alpha 10%

0.7455950, 0.5802320, 0.4619840, dan 0.3471574 adalah nilai kritis pada uji KPSS pada tabel 1, (diperoleh dari simulasi distribusi sampling KPSS1) untuk jumlah observasi sebanyak 10 observasi. Berikut tabel persentase keputusan salah pada uji KPSS dari hasil simulasi, yaitu: Tabel 9. Persentase Keputusan Salah Dari Uji KPSS dengan l4 pada persamaan (8) Kasus AR(1) dengan berbagai nilai koefisien otoregresif level alpha 1% level alpha 2.5% n dengan l4 dengan l4 ρ: ρ: 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0420 0.0750 0.1560 0.4030 1.9690 20 0.0010 0.0050 0.0100 0.0530 0.4370 0.5940 1.0780 2.3380 6.0740 19.5790 25 0.0480 0.1130 0.3820 1.7060 10.5830 1.0880 1.8660 3.9720 10.1550 28.8270 30 0.1830 0.4250 1.1260 4.0660 19.4150 1.4770 2.6150 5.2340 12.4240 34.6670 35 0.0630 0.1260 0.3690 1.5040 10.8090 1.0660 1.7290 3.2250 7.9170 26.6680 40 0.1240 0.2910 0.7300 2.6230 15.6440 1.3280 2.0840 3.9000 9.1760 30.2970 50 0.3180 0.5770 1.3560 4.3050 21.7460 1.6800 2.6950 4.8020 10.8550 34.5230 60 0.4550 0.8020 1.7130 5.2130 25.2240 1.9820 3.0520 5.2590 11.6630 37.1980 70 0.5700 1.0000 2.0400 5.8280 27.1890 2.1080 3.2820 5.5150 12.2040 38.6010 80 0.6180 1.1370 2.2750 6.4220 29.1860 2.1410 3.3220 5.7460 12.7000 40.4920 90 0.6740 1.1510 2.5290 6.6340 30.3420 2.3480 3.3930 5.9980 12.9580 41.2240 100 0.6210 0.9600 1.8280 4.6450 24.1500 2.0910 3.0570 4.8580 9.9040 34.9290 120 0.7090 1.1340 2.0480 5.1630 25.8160 2.2940 3.1390 5.0320 10.2100 36.0900 130 0.6880 1.1420 1.9730 5.3420 26.2030 2.3060 3.1750 5.0160 10.5560 36.8980 140 0.7830 1.2490 2.1870 5.3320 26.7440 2.2710 3.3250 5.1800 10.5020 37.2210 150 0.8230 1.2110 2.1850 5.5260 27.0070 2.3810 3.3090 5.1840 10.8430 37.7020 170 0.8060 1.2620 2.2160 5.7920 27.8440 2.3870 3.3550 5.1900 10.9710 38.5360 190 0.8210 1.2630 2.2670 5.8020 28.6050 2.4230 3.3670 5.3090 11.1810 39.5260 200 0.8710 1.3390 2.3200 5.9680 28.5470 2.4980 3.4300 5.3510 11.0660 39.4330 250 0.8800 1.1980 1.9600 4.6770 24.0410 2.4430 3.2130 4.6260 9.0810 34.0280 300 0.9050 1.2710 2.1980 4.9010 24.7080 2.5430 3.3250 4.9500 9.4440 35.1300 350 0.9480 1.3070 2.1980 4.9240 25.0340 2.6160 3.2740 4.8710 9.3860 35.2630 400 0.9810 1.3910 2.1610 5.1030 25.4070 2.5970 3.4340 4.8680 9.6820 35.6470 500 1.0300 1.3640 2.2760 5.1870 25.9700 2.6820 3.3560 5.0730 9.6110 36.1660 600 0.9930 1.3470 2.0270 4.3720 21.9140 2.6150 3.1830 4.5480 8.2290 31.3190 700 0.9930 1.3200 2.0510 4.1450 21.7810 2.6070 3.2870 4.5320 8.0810 31.4630 750 1.0210 1.3590 1.9680 4.2580 22.1510 2.5730 3.2390 4.4400 8.1520 31.8840 800 1.0750 1.3510 2.1110 4.2430 22.2770 2.6560 3.2130 4.6110 8.1920 31.8640 850 1.0340 1.3950 2.0670 4.3470 21.9000 2.5780 3.3220 4.5640 8.3730 31.6820 900 0.9750 1.3370 2.0140 4.4070 22.1910 2.5480 3.2410 4.5120 8.4720 32.0480 950 1.0300 1.2560 1.8860 3.6440 18.8740 2.6380 3.1520 4.2500 7.2610 27.8460 1000 0.9920 1.2840 1.8440 3.6330 18.8680 2.5650 3.2160 4.1590 7.1940 27.8430 Lanjutan Tabel 9.

level alpha 5% level alpha 10% n dengan l4 dengan l4 ρ: ρ: 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 10 0.3600 0.4570 0.5560 0.8020 1.3960 11.5560 14.1020 18.5740 26.2290 38.1320 15 2.2830 3.5760 6.0960 11.8060 25.7730 11.3070 14.7410 20.8600 30.9130 47.8030 20 3.6250 5.4300 9.2310 18.0060 37.1070 11.3180 15.1540 21.5940 33.3580 53.1790 25 4.1850 6.4110 10.8580 20.8130 42.5760 11.4630 15.2360 22.2190 34.7780 56.5870 30 4.5810 7.0140 11.7910 22.1830 46.5530 11.3580 15.3880 22.2570 35.2840 59.0410 35 3.9720 5.6970 8.9050 17.0090 39.8710 10.9540 13.8830 19.0750 30.0060 53.8320 40 4.3750 6.1340 9.3970 17.7540 42.3340 11.0100 14.0200 19.0070 30.2410 55.6030 50 4.7230 6.5550 10.1710 18.9550 45.3630 11.1940 13.9250 19.5980 30.7130 58.1430 60 4.8650 6.7600 10.5380 19.4830 47.6280 10.8690 14.1070 19.4450 31.0270 60.9340 70 5.1160 6.9790 10.6810 20.0490 49.1340 11.0700 14.1190 19.5350 31.5180 63.0510 80 5.0560 7.0280 10.8840 20.2430 51.0850 11.0390 14.0430 19.5850 31.6890 65.1110 90 5.1910 7.1760 11.0140 20.5800 52.2550 11.0070 14.1590 19.7180 32.1940 66.3810 100 4.9670 6.5080 9.4470 16.6660 45.4350 10.8260 13.1740 17.4460 27.3510 59.2220 120 5.2010 6.6430 9.6620 16.9150 46.8710 11.0600 13.2350 17.5870 27.5130 61.0880 130 5.1860 6.7360 9.6900 17.3990 47.8990 10.9500 13.2660 17.7220 28.0140 61.8350 140 5.1080 6.8410 9.7030 17.3370 48.3760 10.8900 13.3530 17.6250 27.9150 62.2790 150 5.1560 6.8200 9.7580 17.4540 48.6850 10.7520 13.3640 17.6900 27.9120 62.6790 170 5.1260 6.7760 9.6700 17.6520 49.6730 10.9060 13.0870 17.4770 28.1760 63.7180 190 5.1490 6.8560 9.7300 17.8650 50.5100 10.7740 13.3900 17.6150 28.1190 64.2700 200 5.3440 6.8850 9.7110 17.6870 50.7130 10.9000 13.3560 17.5490 28.1770 64.5420 250 5.1820 6.5730 8.7040 15.0940 44.9260 10.6100 12.7220 16.0640 24.7490 58.7690 300 5.2830 6.5620 9.0740 15.2930 45.8200 10.7450 12.6890 16.2680 24.9530 59.7170 350 5.3180 6.5560 8.8980 15.3320 46.1230 10.7870 12.7170 16.2410 24.9660 60.0690 400 5.2820 6.6140 8.9860 15.5310 46.5780 10.6230 12.6960 16.3010 25.2220 60.4250 500 5.3580 6.5430 9.1870 15.5280 47.0940 10.7500 12.7440 16.4860 25.0730 61.0190 600 5.2960 6.3340 8.4060 13.6440 41.8030 10.6600 12.1980 15.1200 22.4760 55.6570 700 5.2310 6.3660 8.2490 13.4050 41.8500 10.6320 12.2420 15.0940 22.2490 55.6810 750 5.2850 6.2360 8.1260 13.4280 42.0860 10.5980 12.0080 15.1180 22.2240 56.0270 800 5.2940 6.2600 8.3690 13.5030 42.0380 10.5970 12.1980 15.1520 22.5790 55.8210 850 5.2240 6.4540 8.3550 13.6620 42.2560 10.2790 12.2260 15.0910 22.3500 56.0570 900 5.2060 6.3640 8.1630 13.7400 42.4650 10.5060 12.2310 14.8870 22.6160 56.3950 950 5.3340 6.1850 7.7040 12.2540 37.7340 10.5860 11.9200 14.3930 20.7620 51.3410 1000 5.1960 6.1900 7.8020 12.1270 37.8400 10.6020 11.9340 14.3270 20.6640 51.3960 Berdasarkan tabel 9 di atas, memberikan penjelasan bahwa: Persentase keputusan salah pada uji KPSS menurun seiring semakin besar jumlah observasi yang digunakan dalam pengujian (demikian juga, persentase keputusan benar meningkat seiring semakin besar jumlah observasi). Nilai koefisien autoregresif yang semakin mendekati nilai 1 (atau minus 1) dan meningkatnya level signifikansi (alpha) membuat persentase keputusan salah meningkat pada berbagai jumlah observasi dengan menggunakan truncated lag l4. Pada koefisien autoregressive sama dengan 0.1 pada AR(1), range persentase keputusan salah 0 11.6 persen pada berbagai level signifikansi dengan mengabaikan jumlah observasi.