Bilangan Euler(e) Rukmono Budi Utomo Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat. March 5, 2016

Transcript

1 Bilangan Euler(e) Rukmono Budi Utomo Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat March 5, 2016

2 Asal Usul Bilangan Euler e 1 1. Bilangan Euler 2 3 4

3 Asal Usul Bilangan Euler e Bilangan Euler atau e = 2, merupakan suatu konstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritma Natural.

4 Asal Usul Bilangan Euler e Bilangan Euler atau e = 2, merupakan suatu konstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritma Natural. Bilangan e ini sering juga disebut sebagai konstanta Napier, seorang atas ahli matematika Skotlandia yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali.

5 Asal Usul Bilangan Euler e Bilangan Euler atau e = 2, merupakan suatu konstanta dalam matematika dan merupakan basis dari logaritma Natural. Bilangan e ini sering juga disebut sebagai konstanta Napier, seorang atas ahli matematika Skotlandia yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Sama seperti bilangan Pi (π) dan golden rasio (φ), bilangan e adalah bilangan tak berhingga desimal. Hal ini dikarenakan bilangan e merupakan hasil limit tak hingga dari fungsi f (x) = (1 + x) 1 x atau secara matematis dapat dituliskan sebagai ( e = lim ) x x x

6 Asa-Usul Bilangan e Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier pada tahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaan Skotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma

7 Asa-Usul Bilangan e Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier pada tahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaan Skotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawah hiperbola persegi panjang. Saint-Vincent berusaha merumuskan hubungan antara daerah di bawah hiperbola persegi panjang dengan logaritma hasil penelitian John Napier.

8 Asa-Usul Bilangan e Bilangan e awalnya ditemukan oleh John Napier pada tahun1918, seorang ahli matematika berkebangsaan Skotlandia ketika ia merumuskan konsep logaritma Pada tahun 1647 Saint-Vincent menghitung daerah di bawah hiperbola persegi panjang. Saint-Vincent berusaha merumuskan hubungan antara daerah di bawah hiperbola persegi panjang dengan logaritma hasil penelitian John Napier. Pada 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbola persegi panjang dan logaritma. Huygen memeriksa secara eksplisit hubungan antara daerah di bawah persegi panjang hiperbola yx = 1 dan logaritma.

9 Huygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupa sehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1 sampai konstanta tersebut sama dengan 1. Bilangan tersebut merupakan cikal bakal munculnya bilangan e

10 Huygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupa sehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1 sampai konstanta tersebut sama dengan 1. Bilangan tersebut merupakan cikal bakal munculnya bilangan e Pada 1683 Jacob Bernoulli memandang masalah bunga majemuk kontinyu. Bernoulli mencoba untuk menemukan batas dari suatu fungsi f (x) = (1 + 1 x )x untuk x cenderung membesar dan menuju tak hingga ( e = lim ) x x x

11 Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2 dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e pertama kalinya

12 Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2 dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e pertama kalinya Jacob Bernoulli juga merupakan orang pertama kali memahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsi eksponensial.

13 Bernoulli menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas dari nilai limit tersebut harus terletak antara 2 dan 3 sehingga dan merupakan pendekatan atas bilangan e pertama kalinya Jacob Bernoulli juga merupakan orang pertama kali memahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsi eksponensial. Pada tahun 1683 Leibniz menulis surat kepada Huygens dan memberikan suatu notasi atas konstanta dari penelitian Huygens yakni b (dan bukan e)

14 Notasi b Leibniz bertahan sampai dengan tahun1731 sampai akhirnya notasi e muncul dan menggantikan b dalam sebuah surat Euler kepada Goldbach.

15 Notasi b Leibniz bertahan sampai dengan tahun1731 sampai akhirnya notasi e muncul dan menggantikan b dalam sebuah surat Euler kepada Goldbach. Pada tahun 1748 Euler menerbitkan salah satu karya fenomenalnya yang berjudul Introductio di analysin infinitorum. Dalam karya tersebut Euler menunjukkan bahwa e = ! + 1 2! + 1 3! + atau dalam bentuk limit dapat dituliskan sebagai ( e = lim ) x x x

16 Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz.

17 Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz. Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan oleh Euler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada juga yang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan oleh Euler merupakan singkatan dari eksponensial.

18 Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz. Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan oleh Euler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada juga yang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan oleh Euler merupakan singkatan dari eksponensial. Faktanya notasi e lebih dikenal dengan bilangan Euler baik karena notasi e tersebut muncul dari surat yang ditulisnya kepada Golbach tahun 1731 atau karena Euler yang pertama kali merumuskan bentuk matematis e dalam karya Introductio di analysin infinitorum miliknya

19 Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengemukakan simbol e untuk menggantikan notasi b Libniz. Ada yang berpendapat bahwa notasi e yang dikemukakan oleh Euler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada juga yang berpendapat bahwa huruf e yang dikemukakan oleh Euler merupakan singkatan dari eksponensial. Faktanya notasi e lebih dikenal dengan bilangan Euler baik karena notasi e tersebut muncul dari surat yang ditulisnya kepada Golbach tahun 1731 atau karena Euler yang pertama kali merumuskan bentuk matematis e dalam karya Introductio di analysin infinitorum miliknya Jikapun ada yang mengenalnya sebagai bilangan John Napieritu, hal demikian dikarenakan atas jasanya memperkenalkan konsep logaritma pertama kali.

20 Identitas Euler Euler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni e iθ = cos θ + i sin θ

21 Identitas Euler Euler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni e iθ = cos θ + i sin θ Bukti Menurut Euler ( e = lim ) x x x

22 Identitas Euler Euler merumuskan suatu hubungan persamaan fenomenal yakni e iθ = cos θ + i sin θ Bukti Menurut Euler ( e = lim ) x x x Analog dengan hal tersebut ( e x = lim 1 + x ) n n n

23

24 Untuk x = z diperoleh ( e z = lim 1 + z ) n n n

25 Untuk x = z diperoleh ( e z = lim 1 + z ) n n n karena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer, maka diperoleh bentuk ( e x+iy = lim 1 + x + iy ) n n n

26 Untuk x = z diperoleh ( e z = lim 1 + z ) n n n karena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer, maka diperoleh bentuk ( e x+iy = lim 1 + x + iy ) n n n atau dapat ditulis [( e x+iy = lim 1 + x ) + i y ] n ( 1) n n n

27

28 Dari ( 1) dapat diperoleh [ ( e x+iy = lim 1 + x ) + i y ] n n n n atau dapat dituliskan kembali sebagai

29 Dari ( 1) dapat diperoleh [ ( e x+iy = lim 1 + x ) + i y ] n n n n atau dapat dituliskan kembali sebagai e x+iy [ ( 2x = lim 1 + n n + x 2 n 2 + y 2 )] n 2 n 2

30 Dari ( 1) dapat diperoleh [ ( e x+iy = lim 1 + x ) + i y ] n n n n atau dapat dituliskan kembali sebagai e x+iy [ ( 2x = lim 1 + n n + x 2 n 2 + y 2 )] n 2 n 2 pada akhirnya akan diperoleh [ ( )] n e x+iy = e lim 2x 1+ n n + x2 n 2 + y2 2 n 2

31 Dari ( 1) dapat diperoleh [ ( e x+iy = lim 1 + x ) + i y ] n n n n atau dapat dituliskan kembali sebagai e x+iy [ ( 2x = lim 1 + n n + x 2 n 2 + y 2 )] n 2 n 2 pada akhirnya akan diperoleh atau e x+iy = e [ ( )] n e x+iy = e lim 2x 1+ n n + x2 n 2 + y2 2 n 2

32 Dengan mengingat kordinat polar z n = r n (cosθ + i sin), tanθ = y x atau θ = arctan y x dan berdasarkan Teorema De Moivre diperoleh z n = r n (cos nθ + i sin nθ), dan arg(z n ) = nθ atau arg(z n ) = n arctan y x

33 Dengan mengingat kordinat polar z n = r n (cosθ + i sin), tanθ = y x atau θ = arctan y x dan berdasarkan Teorema De Moivre diperoleh z n = r n (cos nθ + i sin nθ), dan arg(z n ) = nθ atau arg(z n ) = n arctan y x berdasarkan hal tersebut, persamaan ( 1) dapat dituliskan kembali sebagai [ ] arg ( e x+iy) = lim n n y n arctan ( ) 1 + x n

34 Dengan mengingat kordinat polar z n = r n (cosθ + i sin), tanθ = y x atau θ = arctan y x dan berdasarkan Teorema De Moivre diperoleh z n = r n (cos nθ + i sin nθ), dan arg(z n ) = nθ atau arg(z n ) = n arctan y x berdasarkan hal tersebut, persamaan ( 1) dapat dituliskan kembali sebagai [ ] arg ( e x+iy) = lim n n y n arctan ( ) 1 + x n atau arg ( e x+iy) = lim n n [ ] arctan y n+x y n+x y n+x ( 2)

35 karena lim t [ ] [ arctan 1 t = lim 1 t t yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh t 2 ]

36 karena lim t [ ] [ arctan 1 t = lim 1 t t yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh arg ( e x+iy) = lim n t 2 yn n+x ]

37 karena lim t [ ] [ arctan 1 t = lim 1 t t yang menghasilkan nilai 1, maka diperoleh arg ( e x+iy) = lim n t 2 yn n+x ] atau dapat dituliskan kembali sebagai arg ( e x+iy) = y... ( 3)

38 Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ + i sin θ) dengan r = z dan θ = arg(z), diperoleh z = z [cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...( 4)

39 Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ + i sin θ) dengan r = z dan θ = arg(z), diperoleh z = z [cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...( 4) ambil z = e x+iy, sehingga ( 4) dapat dituliskan kembali sebagai z = e x+iy [cos(arg(e x+iy ) + i sin(arg(e x+iy ))]...( 5)

40 Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ + i sin θ) dengan r = z dan θ = arg(z), diperoleh z = z [cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...( 4) ambil z = e x+iy, sehingga ( 4) dapat dituliskan kembali sebagai z = e x+iy [cos(arg(e x+iy ) + i sin(arg(e x+iy ))]...( 5) substitusikan ( 2) dan ( 3) pada ( 5), sehingga diperoleh e x+iy = e x (cos y + i sin y) atau e iy = (cos y + i sin y)

41 Dengan mengingat bahwa z = r(cosθ + i sin θ) dengan r = z dan θ = arg(z), diperoleh z = z [cos(arg(z) + i sin(arg(z))]...( 4) ambil z = e x+iy, sehingga ( 4) dapat dituliskan kembali sebagai z = e x+iy [cos(arg(e x+iy ) + i sin(arg(e x+iy ))]...( 5) substitusikan ( 2) dan ( 3) pada ( 5), sehingga diperoleh e x+iy = e x (cos y + i sin y) atau e iy = (cos y + i sin y) Dengan mengingat bahwa y = θ, maka diperoleh e iθ = (cos θ + i sin θ)q.e.d

42 Akibat Identitas Euler Akibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan e iπ + 1 = 0

43 Akibat Identitas Euler Akibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan Bukti e iπ + 1 = 0

44 Akibat Identitas Euler Akibat dari Identitas Euler menghasilkan persamaan e iπ + 1 = 0 Bukti Dari identitas Euler, dapat ditemukan hubungan sebagai berikut e iπ = cos π + i sin π = = 1 Dengan demikian e iπ + 1 = 0 Q.E.D

45 Referensi Euler) Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul wib Euler) Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul wib Dikutip tanggal 5 maret 2016 Gazali, Wikaria. Penurunan Rumus Euler, makalah