Hendra Gunawan. 16 April 2014

Transcript

1 MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/ April 014

2 Kuliah yang Lalu Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13. Integral Berulang Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang 13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar 13.5 Penggunaan Integral Lipat Dua 4/16/014 (c) Hendra Gunawan

3 Soal 1 Tentukan volume benda pejal yang terletak di Oktan Idan dibatasi oleh paraboloida z = + y, tabung + y = 4, dan bidang bidang koordinat. 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 3

4 Soal Hitung da S apabila S adalah daerah cincin yg dibatasi oleh lingkaran + y = 1 dan + y = Soal 1 dan lebih mudah dikerjakan dlm koordinat polar! 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 4

5 Kuliah Hari Ini Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13. Integral Berulang Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang 13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar 13.5 Penggunaan Integral Lipat Dua 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 5

6 Ingat: Sistem Koordinat Polar Sistemkoordinat polar terdiri dari sumbu polar (berupa setengah garis, yang berimpit dengan sumbu positif pada bidang R ) dan titik asal O. Setiap titik P pada bidang kemudian dinyatakan dengan jaraknya dari O, sebutlah r, dan besar sudut θ yang dibentuk oleh ruas garis OP dan sumbu polar (dihitung berlawanan arah dengan arah jarum jam). O P r θ P = P(r,θ) 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 6

7 Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius Jika P = P(r,θ), maka P dapat dinyatakan dalam koordinat Cartesius sebagai P = P(,y) dengan = r cos θ dan y = r sin θ. Sebaliknya, jika P = P(,y), maka P dapat dinyatakan dalam koordinat polar P = P(r,θ) dengan r = + y dan tan θ = y/, dengan penafsiran nilai θ yg tepat untuk = 0. 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 7

8 Persamaan Kurva dalam Koordinat Polar Persamaan lingkaran yang ber pusat di O dan berjari jari R dapat dinyatakan secara sederhana dalam koordinat polar sebagai r = R, 0 θ π. R Persamaan setengah garis y =, dengan > 0, dapat dinyatakan dalam koordinat polar sebagai π/4 θ = π/4, r > 0. 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 8

9 MA101 MATEMATIKA A 13.4 INTEGRAL LIPAT DUA DALAM KOORDINAT POLAR Menghitung integral llipat dua dl dalam koordinat polar 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 9

10 Elemen Luas dalam Koordinat Polar Bila dalam koordinat Cartesius elemen luas A sama dengan. y, maka dalam koordinat polar A = r. r. θ. Dari mana datangnya rumus ini? Lihat gambar di samping. 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 10

11 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar Dengan substitusi btit i = r cos θ dan y = r sin θ, integral lipat dua yang semula dinyatakan dl dalam koordinat tcartesiussekarang dinyatakan dalam koordinat polar sebagai: f (, y) da S S f ( r cos, r sin ) rdrd Catatan: Dalam koordinat polar, daerah seperti setengah lingkaran atau cincin setara dengan persegi panjang. 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 11

12 Daerah dalam Koordinat Polar Daerah cakram lingkaran S = {(,y) + y R } dapat dinyatakan sebagai S = {(r,θ) 0 r R, 0 θ π}. R Daerah segitiga yang dibatasi oleh sumbu, garis y =, dan garis = 1, merupakan daerah r sederhana, dengan 0 r sec θ, 0 θ π/4. θ = 0 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 1 r = sec θ

13 Contoh 1 Tentukan volume benda pejal yang terletak di Oktan Idan dibatasi oleh paraboloida z = + y, tabung + y = 4, dan bidang bidang koordinat. Jawab: V S ( / 4 0 r y ) da / / 0 0 r d 4d rdrd 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 13

14 Contoh Hitung I = da apabila S S adalah daerah cincin yg dibatasi oleh lingkaran + y = 1 dan + y = Jawab: I = 0 1 = r cos. rdrd 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 14

15 Soal 1 1 Hitung I = da bila S adalah daerah S y segitiga yang dibatasi oleh sumbu, garis y =, dan garis = 1. Jawab: I = 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 15

16 Soal Tentukan volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloida z = + y, tabung + y = y, dan bidang y y. Jawab: V = 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 16

17 Soal 3 Buktikan bahwa Jawab: 0 0 (1 1 dyd y ) 4. 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 17

18 MA101 MATEMATIKA A 13.5 PENGGUNAAN INTEGRAL LIPAT Menentukan massa dan pusat massa lamina dengan menggunakan integral llipat dua 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 18

19 Ingat: Distribusi Massa padabidang d Misal kita mempunyai sebuah lamina (keping datar) dengan rapat massa δ konstan, yang menempati daerah pada bidang yang dibatasi oleh garis = a dan = b serta kurva y = f() dan y = g() dengan f() g() pada [a, b]. y=f() y=g() m δ[f() g()]. M y δ[f() g()]. M ½δ[f() g() ]. 11/15/013 (c) Hendra Gunawan 19

20 Momen dan Pusat Massa Lamina Momen dan Pusat Massa Lamina Dari taksiran irisan tadi, kita peroleh Massa: )] ( ) ( [ d g f m b a Momen thd sb y: )] ( ) ( [ d g f M b y a Momen thd sb : )] ( ) ( [ d g f M b a y Momen thd sb : )] ( ) ( [ M M d g f M y a Pusat massa: 11/15/013 (c) Hendra Gunawan 0. * ; * m M y m y

21 Massa dan Pusat Massa Lamina dengan Rapat Massa δ(,y) ) Massa: m (, y ) da ( da Momen M (, y ) da thd Sb : y S Momen M y (, y) da thd Sb y: S M y M Pusat Massa: * ; y*. m m S dm=δ(,y)da y Catatan: Bila rapat massanya δ konstan, maka rumus ini sama dgn rumus sebelumnya. 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 1

22 Contoh/Latihan 1 4 Tentukan massa Jawab: m ydyd yy. dan pusat massa lamina yang dibatasi oleh M y ydyd d 0. kurva y = 1 dan 1 1 garis y = 1, 4 M y dyd. dengan rapat 1 7 massa di setiap 4/7 5 titik δ(,y) = y. * 0; y*. 4/ /16/014 (c) Hendra Gunawan

23 Contoh/Latihan Tentukan massa dan pusat massa lamina berbentuk seperempat cakram lingkaran berjari jari 1 di Kuadran I, dgn rapat massa δ(,y) = + y. Jawab: 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 3

24 Soal Tentukan massa dan pusat massa lamina yang dibatatasi oleh kardioid r = 1 + sin θ, dengan rapat massa konstan. [Gambar terlebih dahulu kardioid tsb!] 4/16/014 (c) Hendra Gunawan 4