Kalkulus Multivariabel I

Transcript

1 Limit dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Operasi Aljabar pada Pembahasan pada limit untuk fungsi dua peubah adalah memberikan pengertian mengenai lim f (x, y) = L (x,y) (a,b) Masalahnya adalah (x, y) dapat mendekati (a, b) dengan tak terhingga banyak cara

3 Operasi Aljabar pada Definisi Diketahui fungsi bernilai real f dengan daerah definisi himpunan terbuka di R 2 dan (a, b) D, lim f (x, y) = L (x,y) (a,b) Jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 yang bersesuaian, sedemikian rupa sehingga f (x, y) L < ε, asalkan 0 < (x, y) (a, b) < δ.

4 Operasi Aljabar pada Untuk menginterpretasikan (x, y) (a, b), perlakukan (x, y) dan (a, b) sebagai vektor, maka (x, y) (a, b) = (x a) 2 + (y b) 2

5 Operasi Aljabar pada Operasi Aljabar pada Beberapa sifat yang dimodifikasi berdasarkan sifat limit pada fungsi satu peubah: Teorema Jika lim (x,y) (x0,y 0 ) f (x, y) = L 1 dan lim (x,y) (x0,y 0 ) g(x, y) = L 2 maka 1 lim (x,y) (x0,y 0 )[f (x, y) + g(x, y)] = L 1 + L 2 2 lim (x,y) (x0,y 0 )[f (x, y) g(x, y)] = L 1 L 2 3 lim (x,y) (x0,y 0 )[f (x, y).g(x, y)] = L 1.L 2 4 lim (x,y) (x0,y 0 ) k.g(x, y) = k.l 2 f (x, y) 5 lim (x,y) (x0,y 0 ) g(x, y) = L 1 untuk g(x, y) 0 L 2

6 Operasi Aljabar pada Contoh: Jika fungsi f didefinisikan sebagai f (x, y) = x 2 y 2 x 2 + y 2 maka fungsi tersebut tidak mempunyai limit di titik asal. Bukti: Titik (0, 0) dapat didekati melalui tak hingga banyak cara. Untuk itu akan dilihat ketika (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang sumbu x, sumbu y, dan garis y = mx.

7 Operasi Aljabar pada (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang sumbu x (y = 0) lim f (x, 0) = lim x 2 0 (x,0) (0,0) (x,0) (0,0) x = +1 (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang sumbu y (x = 0) lim f (0, y) = lim 0 y 2 (0,y) (0,0) (0,y) (0,0) 0 + y 2 = 1 Karena lim f (x, y) dari dua arah memberikan hasil yang berbeda, maka dapat disimpulkan bahwa limit f tidak ada untuk (x, y) (0, 0). Catatan: Pendekatan dengan garis y = mx tidak perlu dilakukan karena hasil dari dua pendekatan yang lain sudah berbeda.

8 Operasi Aljabar pada Jika f (x, y) = Solusi: xy, maka lim f (x, y) tidak ada. ((x 2 +y 2 )) 2 (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang sumbu x (y = 0) lim f (x, 0) = lim 0 x 4 = 0 (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang sumbu y (x = 0) lim f (0, y) = lim 0 y 4 = 0 Karena limit f melalui sepanjang sumbu x dan sumbu y memberikan hasil yang sama, maka akan dicek dengan melakukan pendekatan terhadap garis y = x

9 Operasi Aljabar pada Pendekatan terhadap garis y = x, Jadi, lim xy lim ((x 2 +y 2 )) 2 x 2 (x 2 + x 2 ) 2 = lim tidak ada. x 2 4x 4 = +

10 Operasi Aljabar pada Tentukan lim (3x 2 y xy 3 ). (x,y) (1,3)

11 Operasi Aljabar pada Tentukan Solusi: lim (3x 2 y xy 3 ). (x,y) (1,3) lim (3x 2 y xy 3 ) = lim (x,y) (1,3) (x,y) (1,3) (3(1)2 (3) (1)(3 3 ) = lim (9 27) = 18 (x,y) (1,3)

12 Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu Definisi Misalkan f fungsi bernilai real yang terdefinisi pada daerah D R 2 dan (a, b) D, maka f dikatakan kontinu di (a, b) jika lim f (x, y) = f (a, b) (x,y) (a,b)

13 Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu Fungsi f dikatakan kontinu pada D jika f kontinu di setiap titik di D. Jadi untuk menunjukkan f kontinu di titik (a, b) harus ditunjukkan ketiga syarat berikut dipenuhi. i. f (a, b) ada ii. lim (x,y) (a,b) f (x, y) ada iii. lim (x,y) (a,b) f (x, y) = f (a, b) Jika salah satu syarat di atas tidak dipenuhi, maka f tidak kontinu di (a, b).

14 Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu Jika f dan g keduanya kontinu di (a, b) maka 1. f + g kontinu di (a, b) 2. f g kontinu di (a, b) 3. fg kontinu di (a, b) 4. f g kontinu di (a, b) asalkan g(a, b) 0.

15 Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu Contoh: Tentukan apakah f kontinu di (0, 0) x 2 y f (x, y) = x 2 + y 2 jika (x, y) (0, 0) 0 jika (x, y) = (0, 0)

16 Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu Penyelesaian: Dengan menggunakan kriteria kekontinuan fungsi: (i) f (0, 0) = 0 (ada) (ii) Diselidiki apakah limit f (x, y) ada untuk (x, y) (0, 0) Jika (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) sumbu x, jadi y = 0, maka lim f (x, 0) = lim x 2 0 x = lim x 2 = 0

17 Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu Jika (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) sumbu y, jadi x = 0, maka lim f (0, y) = lim 0.y y 2 0 = lim y 2 = 0

18 Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu Jika (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) y = x, maka lim f (x, y) = lim x 2 y x 2 + y 2 x 2 x = lim x 2 + x 2 = lim Dapat disimpulkan bahwa lim x 3 2x 2 = lim x (x) (0) 2 = 0 x 2 y x 2 + y 2 = 0

19 Operasi Aljabar pada Fungsi Kontinu x 2 y (iii) lim x 2 = 0 = f (0, 0) + y 2 Jadi f kontinu di (0, 0).

20 1. Tentukan limit-limit berikut jika ada a. lim (xy 3 xy + 3y 2 ) (x,y) ( 2,1) ( b. lim x cos 2 (xy) sin ( )) xy (x,y) (2,π) 3 c. lim (x,y) ( 1,2) xy x 2 +y 2 x d. lim 2 +3xy+2y 2 (x,y) ( 2,1) x+2y sin (x e. lim 2 +y 2 ) x 2 +y 2

21 2. Diberikan f (x, y) = x 2 + 2y x 2 2y dan g(x, y) = x 4 4y 4 x 2 + 2y 2 Tunjukkan bahwa: a. limit f (x, y) untuk (x, y) (2, 2) tidak ada. b. limit g(x, y) untuk (x, y) (0, 0) sama dengan nol. c. limit g(0, 0) = 0 apakah g(x, y) kontinu di (0, 0). 3. Misalkan f (x, y) = x2 y x 4 +y 2 a. Tunjukkan bahwa f (x, y) 0 ketika (x, y) (0, 0) di sepanjang garis lurus sebarang y = mx b. Tunjukkan bahwa f (x, y) 1 2 ketika (x, y) (0, 0) di sepanjang parabola y = x 2 c. Kesimpulan apa yang dapat ditarik?

22 4. Selidiki titik-titik kekontinuan fungsi berikut : 2x y jika (x, y) (0, 0) f (x, y) = x + y 0 jika (x, y) = (0, 0) 5. Selidiki titik-titik kekontinuan fungsi berikut: xy f (x, y) = x 2 + y 2 jika (x, y) (0, 0) 1 jika (x, y) = (0, 0)