ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Σ. Ανδρεαδάκης Β. Κατσαργύρης Σ. Παασταυρίδης Γ. Πολύζος Α. Σβέρκος Η συγγραφή και η ειμέλεια του βιβλίου ραγματοοιήθηκε υό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου λύσεις των ασκήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚ ΟΣΗΣ Η εανέκδοση του αρόντος βιβλίου ραγματοοιήθηκε αό το Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υολογιστών & Εκδόσεων «Διόφαντος» μέσω ψηφιακής μακέτας, η οοία δημιουργήθηκε με χρηματοδότηση αό το ΕΣΠΑ / ΕΠ «Εκαίδευση & Διά Βίου Μάθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ». Οι αλλαγές ου ενσωματώθηκαν στην αρούσα εανέκδοση έγιναν με βάση τις διορθώσεις του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.

ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΤΗ Το τεύχος ου κρατάς έχει μια ιδιομορφία: σου δίνεται με τη σύσταση ν α μ η τ ο διαβάσεις. τουλάχιστο με την έννοια ου διαβάζεις ένα άλλο βιβλίο για να κατανοήσεις το εριεχόμενό του. Πράγματι, οι ασκήσεις ου σου δίνει ο καθηγητής σου είναι για να εργαστείς μόνος. Γιατί το να λύσεις μια άσκηση σημαίνει ολλές φορές όχι μόνο ότι έχεις κατανοήσει την αντίστοιχη θεωρητική ύλη αλλά και ότι ξέρεις να τη χρησιμοοιήσεις για να δημιουργείς, να ανακαλύτεις ή να ειβεβαιώνεις κάτι καινούριο. Και αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία για σένα τον ίδιο. Δεν μορεί αρά να έχεις και εσύ τη φιλοδοξία να λύνεις μόνος, χωρίς βοήθεια, τις ασκήσεις, για να νιώθεις τη χαρά αυτής της δημιουργίας, της ανακάλυψης. Πρέει να ξέρεις ότι, όταν δυσκολεύεσαι στη λύση μιας άσκησης, τις ιο ολλές φορές υάρχει κάοιο κενό στη γνώση της αντίστοιχης θεωρίας. Πήγαινε λοιόν ίσω στο διδακτικό βιβλίο κάθε φορά ου χρειάζεται να εντοίσεις και να συμληρώσεις τέτοια κενά. Οωσδήοτε, ριν καταιαστείς με τη λύση των ασκήσεων, ρέει να αισθάνεσαι κάτοχος της θεωρίας ου διδάχτηκες. Εκτός αό την κατανόηση της θεωρίας μορεί να βοηθηθείς στη λύση μιας άσκησης αό τα αραδείγματα και τις εφαρμογές ου εριέχει το διδακτικό σου βιβλίο. Αν αρ όλ αυτά δεν μορείς να ροχωρήσεις, στο τέλος του βιβλίου σου θα βρεις μια σύντομη υόδειξη ου ασφαλώς θα σε διευκολύνει. Στις ελάχιστες εριτώσεις ου, έχοντας εξαντλήσει κάθε εριθώριο ροσάθειας, δε βρίσκεται η ορεία ου οδηγεί στη λύση της άσκησης, τότε και μόνο τότε μορείς να καταφύγεις σ αυτό το τεύχος και μάλιστα για να διαβάσεις εκείνο το τμήμα της λύσης ου σου είναι ααραίτητο για να συνεχίσεις μόνος. Ουσιαστικά λοιόν δεν το χεις ανάγκη αυτό το τεύχος. Σου αρέχεται όμως για τους εξής λόγους: α) Για να μορείς να συγκρίνεις τις λύσεις ου εσύ βρήκες. β) Για να σε ροφυλάξει αό ανεύθυνα «λυσάρια». γ) Για να ααλλάξει τους γονείς σου αό αντίστοιχη οικονομική ειβάρυνση. δ) Για να έχεις εσύ και οι συμμαθητές σου την ίδια συλλογή ασκήσεων ου είναι έτσι ειλεγμένες ώστε να εξασφαλίζουν την εμέδωση της ύλης. ε) Για να εργάζεσαι χωρίς το άγχος να εξασφαλίσεις οωσδήοτε για κάθε μάθημα τις λύσεις των ασκήσεων. Το τεύχος λοιόν ου κρατάς είναι φίλος. Να του συμεριφέρεσαι όως σ ένα φίλο ου έχει δει ριν αό σένα την ταινία ου ρόκειται να δεις: μην του ειτρέψεις να σου αοκαλύψει την «υόθεση» ριν δεις και εσύ το έργο. Μετά μορείτε να συζητήσετε. Η σύγκριση των συμερασμάτων θα είναι ενδιαφέρουσα και ροαντός εωφελής.

. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ. i) y 6 + y + y y. Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (, ). ii) y +y O A(,-) -y y. i) 8 7y 8 7y 7 8 () y 5 y 5 + + y 5 +. ( ) Αό τη () έχουμε y 5 και με αντικατάσταση στην () ροκύτει 8 7( 5 ) 8 5 + 7 5 5. Εομένως y 5. Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (, ). y ii) y y 6 y y + + y 8 + 8. 8 Με ρόσθεση των (), () κατά μέλη έχουμε 8 6. 5 Με αφαίρεση των (), () κατά μέλη έχουμε 6y y. 5 Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος,. () ( )

6 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ. i) Η ρώτη εξίσωση του συστήματος γράφεται 5 y + + + 7( 5) + ( y + ) + 8 7 7 5+ y+ + 8 7+ y 5. Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος γράφεται + 6 y 6 8 ( + 6) ( y 6) 8 + y + 8 8 y 8 y 8. Έτσι το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με το σύστημα 7+ y 5 () y 8. ( ) Ααλείφουμε το y 7+ y 5 () + y 5 y 8 ( ) 8 y 7 87 9 87, οότε. 9 Για η () γίνεται 7 + y 5 y + 5 y 6, οότε y. Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (, ). ii) Η ρώτη εξίσωση του συστήματος γράφεται y + ( ) ( y + ) 8 8 y 6 8+ y 6. Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος γράφεται + y ( + ) 6 ( y) + 9 8 y + y 9. Έτσι το αρχικό σύστημα γίνεται 8+ y 6 () + y 9. ( ) Αντικαθιστούμε στην () όου 9 y και έχουμε 89 ( y) + y 6 7 6y+ y 6 y 6 y. Η () για y γίνεται + 9 5. Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (, 5).. i) y y y y 6. Άρα το σύστημα είναι αδύνατο.

. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 ii) y + y y y+ y y +. Άρα το σύστημα έχει άειρο λήθος λύσεων της μορφής k, k +, 5. i) Έχουμε D ( 5) 5. 7 D ( 5) 7 5 5 9. 7 D y 7 8. D Εομένως D 9 D και y y D. Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση το ζεύγος (,). y 8 ii) Το σύστημα γράφεται + y. D 9 +. 8 D. 8 D y 8. D Dy Εομένως και y. D D Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση το ζεύγος (, ). k. 6. i) 5 D +, άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση. 6 7 ii) D 6 +. Το σύστημα γράφεται y y 6y 8 y και εομένως έχει άειρο λήθος λύσεων. iii) D 9+ 9. Το σύστημα γράφεται 9

8 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ + y + y 9 y + y και είναι αδύνατο. 7. i) D + ( ) ( + ). Το σύστημα γράφεται διαδοχικά ισοδύναμα: ( ) + y + ( + ) y ( ) + y ( ) + ( ) ( + ) y ( + ) ( ) + ( ) y ( ) + y Άρα το σύστημα έχει άειρο λήθος λύσεων της μορφής (( + ) ( k+ ), k), k. ii) + D ( + ) ( ). Το σύστημα γράφεται ( ) + + y 7 + ( ) y ( + ) + y 7 ( + ) + ( + ) ( ) y + ( ) + + y 7 ( + ) + y + ( ) ( ) Άρα το σύστημα είναι αδύνατο. 8. i) Αό την ρώτη εξίσωση έχουμε ω y () Οι άλλες δύο εξισώσεις του συστήματος γίνονται

. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9 5y ( y ) 5y 6+ y+ y 9 + y 9 (5) 5+ y ( y ) 5+ y 6+ y+ + 5y 5y (6) Οι (5), (6) σχηματίζουν το σύστημα + y 9 5y αό τη λύση του οοίου κατά τα γνωστά βρίσκουμε και y. Με αντικατάσταση των τιμών των και y στην () βρίσκουμε ω 5. Άρα η λύση του συστήματος είναι η τριάδα (,, 5). ii) Αό τη δεύτερη εξίσωση έχουμε y ω + () Οι άλλες δύο εξισώσεις του συστήματος γίνονται 5 ( y ω+ ) y+ 5y 5ω+ y+ y ω 6 7y ω (5) ( y ω+ ) y+ ω 9y ω+ 6 y+ ω 7y ω (6) Οι (5), (6) σχηματίζουν το σύστημα 7y ω 7y ω ουεναιαδνατο ί ύ. Άρα το αρχικό σύστημα είναι αδύνατο. iii) Ααλείφουμε τους αρονομαστές και το σύστημα γράφεται + y ω 6 + y+ ω 5+ y ω 6. Αό την ρώτη εξίσωση έχουμε y ω + 6 () Οι άλλες δύο εξισώσεις του συστήματος γίνονται + ( ω + 6) + ω + 8ω + + ω + ω ω (5) 5+ ( ω + 6) ω 6 5+ ω 6+ 8 ω 6 + ω ω (6) Οι (5), (6) αοτελούν το σύστημα ω ω ου έχει άειρες λύσεις της μορφής με k+, ω k, k. Αό την () έχουμε y k ( k+ ) + 6 6k+. Άρα το αρχικό σύστημα έχει άειρες λύσεις της μορφής 6k+, k), k. ( k +,

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ B ΟΜΑΔΑΣ. i) Έστω ότι η εξίσωση της ε είναι y α+ β. Εειδή η ευθεία διέρχεται αό τα σημεία (, ) και (, ) έχουμε + β α β β α + β α + α Άρα ε : y +. Με ανάλογο τρόο βρίσκουμε ότι η εξίσωση της ε είναι y. ii) Οι εξισώσεις των δύο ευθειών ορίζουν το σύστημα y + y του οοίου η λύση, όως φαίνεται και αό το σχήμα είναι το ζεύγος (, ).. Αν είναι ο αριθμός των δίκλινων και y ο αριθμός των τρίκλινων δωματίων, τότε αό τα δεδομένα έχουμε + y 6 + y 68 y 6. Άρα υάρχουν δίκλινα και 6 τρίκλινα δωμάτια.. Αν τον αγώνα αρακολούθησαν αιδιά και y ενήλικες τότε αό τα δεδομένα έχουμε + y 5 5, + y 55 y 7. Άρα τον αγώνα αρακολούθησαν 5 αιδιά και 7 ενήλικες.. Αφού για T είναι R,, έχουμε, α + β α+ β, () Αφού για T 8 είναι R 5,, έχουμε 5, 8α+ β 8α+ β 5, () Έτσι έχουμε το σύστημα α α+ β, 6 8α+ β 5, β. Άρα R T+ 6. 5. Αν ααιτούνται ml αό το ρώτο διάλυμα και y ml αό το δεύτερο διάλυμα, τότε + y. () Η οσότητα του υδροχλωρικού οξέως σε κάθε διάλυμα είναι 5 στο ρώτο

. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και 8 5 8 y στο δεύτερο. Εομένως + 68 y. () Οι εξισώσεις () και () ορίζουν το σύστημα + y y + 5 8 68 + y y + 5 8 68. Εομένως 5+ 8 ( ) 68 5+ 8 8 68 5 8 68 8 οότε y 6. Άρα ρέει να αναμείξει ml αό το ρώτο με 6 ml αό το δεύτερο. 6. i) + y y + y +. Άρα λ α + y α y + α y +. Άρα λ ii) Εειδή λ λ, οι ευθείες ή είναι αράλληλες ή ταυτίζονται. Άρα δεν υάρχουν τιμές του α για τις οοίες τέμνονται. iii) Οι ευθείες είναι αράλληλες όταν α α 6 α. 7. i) α+ y α + αy. Έχουμε α D + α α ( α )( α ). α D + + α α α α ( )( α ). α α D y α α α( α). Αν D δηλαδή αν α και α, το σύστημα έχει μοναδική λύση, οότε οι ευθείες τέμνονται και το σημείο τομής έχει συντεταγμένες D ( α )( α + α + ) α + α+ και D ( α+ )( α ) α +

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ Dy α( α) y α. D ( α+ )( α ) α + Άρα αν α ±, οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α α + α + α, α + α +. + y Αν α, το σύστημα γίνεται + y ου σημαίνει ότι οι ευθείες ταυτίζονται. + y Αν α, το σύστημα γίνεται y y y και είναι αδύνατο ου σημαίνει ότι οι ευθείες είναι αράλληλες. ii) α y α + αy. Έχουμε α D + α α, για κάθε α. Άρα οι ευθείες έχουν μοναδικό κοινό σημείο για κάθε α. 8. i) λ D ( λ )( λ+ ) ( ) ( λ ) + 8 ( λ + ) λ + + 8 λ + 9 ( λ 9) ( λ+ )( λ ). D ( λ+ ) ( )( ) λ ( λ + 5). ( λ + ) λ D y ( λ ) λ+ λ ( λ+ ). Αν D, δηλαδή αν λ και λ, τότε το σύστημα έχει μια λύση την D ( λ + 5) λ + 5 D ( λ+ )( λ ) ( λ+ )( λ ) Dy ( λ + ) ( λ + ) y D ( λ+ )( λ ) ( λ+ )( λ ). Αν λ, τότε το σύστημα γίνεται y y y y, ουεναιαδνατο ί ύ. Αν λ, τότε το σύστημα γίνεται y + y + y + y, ουεναιαδνατο ί ύ.

. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ii) µ 5 D ( µ )( µ + ) 5 µ 5 µ 9 ( µ + )( µ ). µ + 5 5 D 5( µ + ) 5 5µ + 5 5µ 5 5( µ ). 5 µ + µ 5 D y 5( µ ) 5 5µ 5 5µ 5 5( µ ). 5 Αν D, δηλαδή µ ± το σύστημα έχει μοναδική λύση, την D 5( µ ) 5 D ( µ + )( µ ) µ + Dy 5( µ ) 5 y. D ( µ + )( µ ) µ + Αν µ, τότε το σύστημα γίνεται + 5y 5 + 5y 5, ου έχει άειρες λύσεις τα ζεύγη ( 5 5kk, ), όου k οοιοσδήοτε ραγματικός αριθμός. Αν µ, τότε το σύστημα γίνεται 5 + 5y 5 y y 5 y 5, ουεναιαδνατο ί ύ. 9. Αν R, R και R οι ακτίνες των κύκλων με κέντρα Ο, Ο και Ο αντιστοίχως, τότε R+ R 6 () R + R 7 ( ) R+ R 5 () Το σύστημα λύνεται με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών. Λόγω όμως της μορφής του μορούμε να το λύσουμε και ως εξής: Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις και έχουμε ( R+ R + R) 8 R+ R + R 9 () Αν τώρα αό τα μέλη της () αφαιρέσουμε τα μέλη των (), () και (), βρίσκουμε ότι R+ R + R R R 9 6 R. R+ R + R R R 9 7 R. R+ R + R R R 9 5 R. Εομένως οι ακτίνες των κύκλων είναι cm, cm και cm.. Τα εφατόμενα τμήματα αό σημείο ρος κύκλο είναι ίσα. Εομένως ΑΖ ΑΕ, Β ΒΖ y και Γ ΓΕ z. Έτσι έχουμε το σύστημα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ + y γ y+ z α z+ β Με ρόσθεση των εξισώσεων κατά μέλη έχουμε α+ β+ γ ( + y+ z) α+ β+ γ + y+ z α+ β+ γ α+ β γ Αό () και () έχουμε γ + z z. + + + Αό () και () έχουμε + α α β γ β γ α. α+ β+ γ β+ γ α Αό () και () έχουμε y+ β y. Παρατήρηση: Αν θέσουμε α+ β+ γ, τ τότε () ( ) β + γ α τ α α τ α και ομοίως y τ β, z τ γ.. Αν, y, z οι οσότητες σε lt αό κάθε διάλυμα αντιστοίχως, τότε έχουμε το σύστημα () + y+ z 5 + y+ z 5 () 5 + y+ z 5 5+ y+ z 66 ( ) z () z Αό () και () έχουμε y+ z 5, οότε y 5 z και η () γίνεται 5 z+ ( 5 z) + z 66 z+ 5 z+ z 66 z z,, οότε z, lt Εομένως, 88 lt και y 7, 68 lt.. Στην η ερίτωση, εειδή η γραφική αράσταση του τριωνύμου f() τέμνει τον άξονα y y στο σημείο, θα ισχύει f( ), οότε θα έχουμε γ, εομένως το τριώνυμο θα είναι της μορφής f( ) α + β+. Εειδή το τριώνυμο f() έχει κορυφή το σημείο Κ(, ) θα ισχύει β α β α β β f( ) α. f α Εομένως είναι f( ) +. ()

. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Στην η ερίτωση, εειδή η γραφική αράσταση του τριωνύμου g() τέμνει τον άξονα στο σημείο, θα ισχύει g( ), οότε θα έχουμε α β+ γ. () Εειδή ειλέον η γραφική αράσταση του τριωνύμου g() έχει κορυφή το σημείο Κ(, ), θα ισχύει β α β α β α () β g( ) α+ β+ γ. ( ) g α Εομένως, λόγω της (), οι () και () γράφονται α+ γ γ α γ α+ γ α α α Άρα είναι α, β και γ, οότε έχουμε g ( ) + +. os τρόος: Μία ρίζα του τριωνύμου g() είναι ρ. Αν ρ είναι η άλλη ρίζα αυτού, β τότε θα ισχύει ρ+ ρ. Εειδή, όμως η τετμημένη α k της κορυφής της αραβολής δίνεται αό τον τύο με k β και εειδή k, θα ισχύει α β ρ + ρ + ρ ρ. α Άρα οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι αριθμοί ρ και ρ, οότε θα έχουμε g ( ) α( ρ)( ρ) α( + )( ). Εειδή, όμως η κορυφή Κ της αραβολής έχει συντεταγμένες (, ), θα ισχύει g( ), οότε θα έχουμε Εομένως είναι α( + )( ) α. g ( ) ( + )( ) + +. Στην η ερίτωση, εειδή η γραφική αράσταση του τριωνύμου h() τέμνει τον άξονα στα σημεία και και τον άξονα y y στο σημείο, θα ισχύει h( ) α+ β+ γ α+ β h( ) 6α+ β+ γ 6α+ β h( ) γ γ α+ β β α β α+ β α α α 5, γ γ γ Εομένως είναι h ( ) 5, +.

6 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ os τρόος: Το τριώνυμο h() έχει ρίζες τους αριθμούς ρ και ρ. Εομένως έχουμε h ( ) α ( )( ). Εειδή, όμως η γραφική αράσταση του τριωνύμου διέρχεται αό το σημείο Γ(, ), θα ισχύει h( ), οότε θα έχουμε α( )( ) α, 5. Εομένως, είναι h ( ) 5, ( )( ) 5, +.. Μη Γραμμικά συστήματα Α ΟΜΑΔΑΣ. Η δεύτερη εξίσωση γράφεται y () και, αν αντικαταστήσουμε στην ρώτη, αίρνουμε + ( ) + ( ) + + +. () Η () έχει ρίζες και, οότε λόγω της () είναι y + και y. Εομένως το σύστημα έχει δύο λύσεις, τα ζεύγη (, ) και (, ).. i) Η δεύτερη εξίσωση, λόγω της ρώτης, y γράφεται ( ) 9 +.() M Η εξίσωση () έχει διλή ρίζα, την y, οότε αό την ρώτη εξίσωση του συστήματος αίρνουμε y. O -y Εομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση, το ζεύγος,. Για να εξηγήσουμε γραφικά τη λύση χαράσσουμε, σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, την αραβολή y και την ευθεία y. Στο σχήμα αρατηρούμε ότι οι δύο γραμμές έχουν ένα μόνο κοινό σημείο Μ, το οοίο έχει συντεταγμένες,.

. MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 ii) Το σύστημα γράφεται + y 9 () y ( ) Η (), λόγω της (), γίνεται + 9 9 και έχει ρίζες τις και, οότε θα έχουμε y και y. Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις, τα ζεύγη +y 9, και,. Για να εξηγήσουμε γραφικά τις λύσεις χαράσσουμε, σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, τον κύκλο + y 9 με κέντρο το σημείο O(, ) και ακτίνα καθώς είσης και την ευθεία y. Στο σχήμα αρατηρούμε ότι οι δύο γραμμές τέμνονται σε δύο σημεία, τα A, και B,. B y O A y iii) Αό τη δεύτερη εξίσωση ροκύτει, y και y. Η ρώτη εξίσωση γίνεται + 5 + 5 5 +. () Αν θέσουμε ω (), η () γίνεται ω 5ω+. () Α' B' y y 5 B Α O 5 + y 5 Αυτή έχει ρίζες ω και ω, οότε λόγω της () έχουμε ή. Αό αυτές αίρνουμε τέσσερις ρίζες

8 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ, και,, οότε για το y αίρνουμε τις τιμές y, y και y, y. Άρα το σύστημα έχει τέσσερις λύσεις, τα ζεύγη (, ), (, ), (, ) και (, ). Για να εξηγήσουμε γραφικά τις λύσεις χαράσσουμε, σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων τον κύκλο + y 5 με κέντρο το O(, ) και ακτίνα 5,καθώς είσης και την υερβολή y. Στο σχήμα αρατηρούμε ότι οι δύο γραμμές τέμνονται σε τέσσερα σημεία, τα (, ), (, ), (, ) και (, ).. Αό την v v + α t έχουμε v v α t, οότε α v v. Αντικαθιστούμε t στην ρώτη και έχουμε v v ( v v) t vt+ vt vt S vt+ αt v t+ t vt +. t Άρα S v+ v t. Β ΟΜΑΔΑΣ. Η δεύτερη εξίσωση λόγω της ρώτης γίνεται + y 5 y+ + y 5 ή, ισοδύναμα, y + y 5, B η οοία έχει ρίζες και 5. Για y έχουμε 6, οότε ή. Για y 5 O έχουμε, οότε. Άρα το σύστημα έχει τρεις λύσεις τις (, ), (, ), (, 5). Η Γ γεωμετρική ερμηνεία του αοτελέσματος είναι ότι η αραβολή y 5 και ο κύκλος έχουν τρία κοινά σημεία. y A + y 5

. MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9. Αό την ρώτη εξίσωση έχουμε y( y 5) y ή y 5, οότε το σύστημα είναι ισοδύναμο με τα συστήματα y y 5 () και () y + y + Για να λύσουμε το () θέτουμε στη δεύτερη εξίσωση y, οότε έχουμε +. Οι ρίζες αυτής είναι και, έτσι το σύστημα () έχει δύο λύσεις, τα ζεύγη (, ) και (, ). Η ρώτη εξίσωση του συστήματος () γράφεται y 5, () και αν θέσουμε στη δεύτερη αίρνουμε 5 + 6 + 8. Οι ρίζες αυτές είναι και, οότε λόγω της () είναι y 5 και y 5. Έτσι το σύστημα () έχει δύο λύσεις, τα ζεύγη (, ) και (, ). Εομένως το αρχικό σύστημα έχει τέσσερις λύσεις, τα ζεύγη (, ), (, ), (, ) και (, ).. Αν, y είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου, τότε είναι y () και ( + )( y ) () Η () γράφεται y + y 6 και λόγω της () γίνεται + 6 + y 6 y 6 y, () θέτουμε στην () η οοία έτσι γίνεται + 6 6 6 8 + +. Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες και 5. Εειδή οι διαστάσεις είναι άντοτε θετικές θα έχουμε cm, οότε, λόγω της (), θα είναι y cm.. Για να βρούμε τα σημεία, στα οοία η ευθεία y + k τέμνει την αραβολή y λύνουμε το σύστημα y + k y Αν θέσουμε στην ρώτη εξίσωση y, αίρνουμε + k ή ακόμη () + + k. () Είναι φανερό ότι οι δύο γραμμές θα τέμνονται σε δύο σημεία, μόνο αν το σύστημα () έχει δύο λύσεις, ου σημαίνει ότι η εξίσωση () θα ρέει να έχει δύο λύσεις. Αυτό συμβαίνει, μόνο αν είναι k >, δηλαδή αν είναι k <.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Με αντικαταστάτη του y +µ στην ρώτη εξίσωση αίρνουμε την ( + µ ) µ. () Η διακρίνουσα της () είναι + 8µ ( + µ ). Διακρίνουμε τις εριτώσεις Δ >, δηλαδή µ>. Η () έχει δύο ρίζες, ου σημαίνει ότι το σύστημα έχει δύο λύσεις, οότε η αραβολή και η ευθεία τέμνονται. y y + μ,μ >,5 y O y,5 y + μ, μ <,5 Δ, δηλαδή µ. Η () έχει διλή ρίζα, ου σημαίνει ότι το σύστημα έχει μία λύση, οότε η αραβολή και η ευθεία εφάτονται. Δ <, δηλαδή µ<. Η () δεν έχει ραγματικές ρίζες, ου σημαίνει ότι το σύστημα δεν έχει λύσεις, οότε η αραβολή και η ευθεία δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Γραφικά τα εξαγόμενα, εξηγούνται με τη βοήθεια του ροηγούμενου σχήματος.

. MONOTONIA - AKΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες Συνάρτησης Α ΟΜΑΔΑΣ. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ). Η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ], γνησίως φθίνουσα στο [, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ). Η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ], γνησίως αύξουσα στο [, ], γνησίως φθίνουσα στο [,] και γνησίως αύξουσα στο [, + ).. Η f αρουσιάζει ολικό ελάχιστο για, το f( ) και δεν αρουσιάζει ολικό μέγιστο. Η g δεν αρουσιάζει ούτε ολικό μέγιστο ούτε ολικό ελάχιστο. Η h αρουσιάζει ολικό ελάχιστο για και για το h( ) h(), ενώ δεν αρουσιάζει ολικό μέγιστο.. i) Αρκεί να δείξουμε τα f( ) f (). Έχουμε f( ) f() 6+ 6 + ( ), ου ισχύει. ii) Αρκεί να δείξουμε ότι g() g(). Έχουμε g ( ) g() ( ), + + + ου ισχύει.. i) Η f έχει εδίο ορισμού το και για κάθε ισχύει f( ) ( ) + 5( ) + 5, άρα η f είναι άρτια. ii) Η f έχει εδίο ορισμού το και για κάθε ισχύει f( ) + +, άρα η f είναι άρτια. iii) Η f έχει εδίο ορισμού το και για κάθε ισχύει f( ) +, οότε δεν είναι ούτε άρτια, ούτε εριττή, αφού f ( ) ± f (). iv) Η f έχει εδίο ορισμού το και για κάθε ισχύει 5 5 f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ), άρα η f είναι εριττή. v) Η f 5 έχει εδίο ορισμού το (, ) (, + ) ου δεν έχει κέντρο συμμετρίας το. Άρα, η f 5 δεν είναι ούτε άρτια, ούτε εριττή. ( ) f5( ), άρα ούτε άρτια, ούτε εριττή. vi) Η f 6 έχει εδίο ορισμού το και για κάθε ισχύει f6 ( ) f 6 ( ), ( ) + + + άρα η f 6 είναι εριττή.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. i) Η f έχει εδίο ορισμού το *{ } και για κάθε * ισχύει f( ) f( ). Άρα η f είναι άρτια. ii) Η f έχει εδίο ορισμού το [, + ) ου δεν έχει κέντρο συμμετρίας το Ο. Άρα δεν είναι ούτε άρτια, ούτε εριττή. iii) Η f έχει εδίο ορισμού το και για κάθε ισχύει f ( ) + + f ( ). Άρα η f είναι εριττή. iv) Η f έχει εδίο ορισμού το * και είναι εριττή, διότι ισχύει f + ( ). + Τέλος, αν εργαστούμε όως στην i), θα αοδείξουμε ότι: v) Η f 5 έχει εδίο ορισμού το και είναι άρτια, διότι f5( ) f5( ), για κάθε. vi) Η f 6 έχει εδίο ορισμού το [, ] και είναι άρτια, διότι f6( ) f6( ), για κάθε [, ]. 6. i) Η C f έχει κέντρο συμμετρίας το O(, ). Άρα η f είναι εριττή. ii) Η C g έχει άξονα συμμετρίας τον y y. Άρα η g είναι άρτια. iii) Η C h δεν έχει ούτε άξονα συμμετρίας τον y y, ούτε κέντρο συμμετρίας το O(, ). Άρα η h δεν είναι ούτε άρτια ούτε εριττή. 7. Ομοίως i) Η f είναι άρτια. ii) Η g είναι εριττή. iii) Η h δεν είναι ούτε άρτια ούτε εριττή. 8. α) Παίρνουμε τις συμμετρικές των C, C και C ως ρος τον άξονα y y. y y y y f() y g() y h() O O O

. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ β) Παίρνουμε τις συμμετρικές των C, C και C ως ρος την αρχή των αξόνων. y y y yh() yf() yg() O O O. Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόιση καμύλης Α ΟΜΑΔΑΣ. Όως είδαμε στην., η γραφική αράσταση της ϕ( ), αοτελείται αό τις διχοτόμους των γωνιών Oy ˆ και 'Oy. ˆ Η γραφική αράσταση της f( ) + ροκύτει αό μια κατακόρυφη μετατόιση της y, κατά μονάδες ρος τα άνω, ενώ η γραφική αράσταση της f( ) ροκύτει αό μια κατακόρυφη μετατόιση της y, κατά μονάδες ρος τα κάτω (σχήμα). y C f C φ C g O. Η γραφική αράσταση της h ( ) + ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της y, κατά μονάδες ρος τα αριστερά, ενώ η γραφική αράσταση της q ( ) ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της y, κατά μονάδες ρος τα δεξιά (σχήμα). y C h C φ C q O

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Αρχικά χαράσσουμε την y +, ου, όως είδαμε στην ροηγούμενη άσκηση, ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της y κατά μονάδες ρος τα αριστερά. Στη συνέχεια χαράσσουμε την y + +,ου, όως γνωρίζουμε, ροκύτει αό μια κατακόρυφη μετατόιση της γραφικής αράστασης της y + κατά μονάδα ρος τα άνω. Εομένως, η γραφική αράσταση της F ( ) + +, ροκύτει αό δύο διαδοχικές μετατοίσεις της y, μιας οριζόντιας κατά μονάδες ρος τα αριστερά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδα ρος τα άνω (σχήμα). y C F C φ C G O Ομοίως, η γραφική αράσταση της G ( ), ροκύτει αό δύο διαδοχικές μετατοίσεις της y, μιας οριζόντιας κατά μονάδες ρος τα δεξιά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδα ρος τα κάτω (σχήμα).. i) Έχουμε f( ) ( ) + 5 ( + ) + 5 ( ) +. Άρα, η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό δύο διαδοχικές μετατοίσεις της γραφικής αράστασης της g ( ), μιας οριζόντιας κατά μονάδα ρος τα δεξιά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδες ρος τα άνω. ii) Έχουμε f( ) ( ) 9 ( + ) + 8 9 ( ). Άρα, η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό δύο διαδοχικές μετατοίσεις της γραφικής αράστασης της g( ), μιας οριζόντιας κατά μονάδες ρος τα δεξιά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδα ρος τα κάτω. 5. i) y O C f C φ A C g

. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ 5 ii) y C h C φ O C q 5 iii) y C F C φ O Α y C φ O Α C G 6. i) f( ) ( ) + ( ). ii) f( ) ( ) ( ). iii) f( ) ( + ) + ( + ). iv) f( ) ( + ) ( + ).

6 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Α ΟΜΑΔΑΣ. Στο τρίγωνο ΑΒ έχουμε ηµ, οότε 6ηµ 6. 6 Στο τρίγωνο ΑΓ έχουμε εϕω, οότε ω5. Εομένως, εειδή ηµω y, έχουμε ηµ5 6 6, οότε y. y ηµ 5. Εειδή Β+ Γ 9 θα είναι Α9. Έτσι στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ηµ ( ΑΒ ), οότε ( ΑΒ ) ηµ ηµ6 ( ΑΓ), οότε ( ΑΓ ) ηµ 6.. i) S αρ 6 ω, άρα ω6rad. ii) S αρ 6 ω, άρα ωrad. iii) S αρ 6 ω, άρα ωrad.. Αό τον τύο α µ 8 έχουμε i) Για µ, είναι α α 8 6. Άρα rad. 6 ii) Για µ, είναι α α 8. Άρα rad. iii) Για µ 6, είναι α 6 α 7. Άρα 6 7rad. 8 iv) Για µ 85, είναι α 85 α 8. Άρα 85 rad.

. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 7 5. Αό τον τύο α i) ii) iii) µ 8 έχουμε µ µ 8, άρα rad 8. 8 5 6 µ µ 5, άρα 5 rad 5. 8 6 9 µ µ 56, άρα 9 rad 56. 8 iv) µ 8 8 µ, άρα rad. 8 6. i) Είναι 8 5 6 +, οότε ηµ 8 ηµ, συν8 συν εϕ8 εϕ, σϕ8 σϕ. ii) Είναι 9 8 6 + 6, οότε ηµ 9 ηµ 6, συν9 συν6 εϕ9 εϕ6, σϕ9 σϕ6. iii) Είναι 98 5 6 + 8, οότε ηµ 98 ηµ 8, συν98 συν8 εϕ98 εϕ8 ενώ δεν ορίζεται η συνεφατομένη των 98. iv) Είναι 6 6 +, οότε ηµ 6 ηµ, συν6 συν εϕ6 εϕ ενώ δεν ορίζεται η συνεφατομένη των 6.

8 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ B ΟΜΑΔΑΣ. Στο τρίγωνο ΠΝ εϕω h ( ), Π Στο τρίγωνο ΛΝ εϕ7 έχουμε οότε ( Π ) h. εϕω έχουμε h ( Λ), οότε ( Λ ) h εϕ7. () Εειδή ( ΠΛ) ( Π ) + ( Λ), λόγω των () και (), έχουμε h h + h εϕ7 + h εϕω εϕω εϕ7 εϕω εϕ7 εϕω εϕ7 h( εϕ7 + εϕω) εϕω εϕ7 h. εϕ7 + εϕω i) Αν ω, τότε, λόγω της (), είναι εϕ εϕ7 h εϕ7 + εϕ Αν ω5, τότε έχουμε εϕ5 εϕ7 h εϕ7 + εϕ5 Αν ω6, τότε έχουμε εϕ6 εϕ7 h εϕ7 + εϕ6 78 7 6. ii) Αν τώρα h, τότε, λόγω της (), είναι εϕω εϕ7 εϕ7 + εϕω Άρα ω 58. εϕω εϕ7 εϕ7 + εϕ5 εϕω εϕ7 εϕ7 + εϕω εϕω( εϕ7 ) εϕ7 εϕ7 εϕω εϕ7, 57. () (). i) Εειδή ΓΑΒ ˆ 5 είναι ( ΑΓ ) ( ΒΓ ). Έχουμε όμως: ηµ5 ( ΑΓ) ( ΑΓ), οότε ( ΑΓ ) ηµ 5 και εειδή ( ΑΒ) ( ΑΓ) ( ΒΓ) θα είναι ( ΒΓ ).

. TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 9 ii) Στο τρίγωνο ΔΑΒ έχουμε ηµ, 5 ( Β ) ( Β ). ( ΑΒ) Εειδή τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΑΒ και ΔΑΕ είναι ίσα έχουμε ( Β) ( Ε). Έτσι ( ΕΒ) ( Β ) ηµ, 5. iii) Αό την ισότητα των τριγώνων ΔΑΒ και ΔΑΕ ροκύτει ( ΑΕ) ( ΑΒ). Άρα ( ΕΓ) ( ΑΕ) ( ΑΓ). iv) Αό το υθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΓΕΒ (σχήμα) έχουμε ( ) ( ΕΒ) ( ΓΒ) + ( ΓΕ) ( ) +. Άρα ΕΒ. ( ΕΒ) v) Έχουμε ηµ 5, ( Β) ( ΕΒ). vi) Μορούμε να υολογίσουμε το ημίτονο των γωνιών, 5 αρκεί να διχοτομήσουμε τη γωνία ΒΑ ˆ κ.τ.λ., 5, κ.τ.λ.,. Αό το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε 6 ηµ 6 ( ΑΓ). ( ΑΓ) ( ΑΓ) Αό τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ έχουμε ˆ ΒΑ. ( Β ) ( Β ) εϕ εϕ ( Β ) 6εϕ 6. ( ΑΒ) 6 Άρα Β. Αό το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ηµ6 ( ΒΓ) ( ΒΓ). Άρα ( ΒΓ ) 6. Έχουμε ( Γ ) ( ΒΓ) ( Β ) 6. Άρα ( Γ ) ( Α). Εομένως ερίμετρος + + + 8. Εμβαδόν ( Γ) ( ΑΒ) 6. Εομένως. Όως είναι γνωστό ο λετοδείκτης εκτελεί μια λήρη εριστροφή σε χρόνο ώρας ή 6 δευτερολέτων. Διαγράφει δηλαδή γωνία rad σε 6 sec.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εομένως σε sec διαγράφει γωνία rad. 6 Αν το μήκος του λετοδείκτη είναι ίσο με ρ, τότε σύμφωνα με τον τύο S αρ, το άκρο του λετοδείκτη σε sec θα διαγράψει τόξο μήκους ρ. 6 Για να είναι το μήκος αυτό ίσο με mm αρκεί 6 ρ mm ρ mm 57mm. 6. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες Α ΟΜΑΔΑΣ. Αν στην ισότητα ηµ + συν αντικαταστήσουμε το ηµ με 5 βρίσκουμε 9 6 5 + συν 5 + συν συν 5 6 συν 5 5 ηµ Εομένως εϕ συν και σϕ συν ηµ.. Αν στην ισότητα ηµ + συν αντικαταστήσουμε το συν με βρίσκουμε ηµ + ηµ + 9 ηµ 5 9 5 ηµ 9 Εομένως εϕ 5 5 και σϕ 5.. σϕ εϕ. 5

. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ηµ Είναι εϕ ηµ συν συν Εειδή ηµ + συν, λόγω της (), έχουμε συν + συν συν + συν συν συν συν () Αό την () τώρα αίρνουμε ηµ.. εϕ σϕ 5 5 5. 5 συν 5 5 Είναι σϕ συν ηµ 5 ηµ 5 5 Εειδή ηµ + συν, λόγω της (), έχουμε ηµ + ηµ 5ηµ + ηµ 5 9ηµ 5 5 5 5 αϕούγια < < ηµ ηµ 9 ισχύειηµ >. 5 5 Αό την () τώρα αίρνουμε συν 5. συν 5. Είναι σϕ συν ηµ. ηµ Εειδή ηµ + συν, λόγω της (), έχουμε ηµ + ηµ 5ηµ ηµ 5 ηµ 5 Αό την () τώρα αίρνουμε συν 5 5 5 5 αϕούγια < < ισχύειηµ <. 5 5. ()

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εομένως η αριθμητική τιμή της αράστασης ηµ συν ισούται με + συν 5 5 + 5 5 5 5 5 / 5+ 5 5/ 6. Εειδή ηµ + συν, αν υοθέσουμε ότι 5 ( 5) 8 5. 5 + 5 ( 5+ 5)( 5 5) 5 i) ηµ και συν, τότε θα ισχύει +, δηλαδή, ου είναι άτοο. ii) ηµ και συν, τότε θα ισχύει +, δηλαδή, ου είναι άτοο. iii) ηµ 5 και συν 5 τότε 5 + 5 Άρα υάρχει τέτοια τιμή του. ου είναι αληθής. 7. Αρκεί να δείξουμε ότι η αόσταση του Μ(,y) αό την αρχή Ο(,) είναι ίση με. Πράγματι ( ΟΜ ) + y ( συνθ) + ( ηµθ) 9συν θ+ 9ηµθ 8. Έχουμε 9( συν θ+ ηµ θ) 9. 9 + y 9 ( συνθ) + ( ηµθ) 9 συν θ+ 9 ηµθ 9. Έχουμε 6συν θ+ 6ηµ θ 6( συν θ+ ηµθ) 6 6. + y + z r ηµ θσυν ϕ+ r ηµθηµ ϕ+ r συν θ r ηµ θσυν ( ϕ+ ηµϕ) + r συν θ r ηµ θ+ r συν θ r ( ηµ θ+ συν θ) r.. i) Αν + συνα και ηµα, έχουμε: ηµα συνα ηµ α ( + συνα)( συνα) + συνα ηµα ηµ α συν α ου ισχύει. Αλλιώς αν + συνα και συνα, έχουμε ηµα ηµα( συνα) ηµα( συνα) + συνα ( + συνα)( συνα) συν α ηµα ( συνα ) συνα. ηµ α ηµα

. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ii) συν α ηµ α ( συν α) ( ηµα) ( συν α+ ηµ α)( συν α ηµα) συν α ηµ α συν α ( συν α) συν α.. Είναι ηµθ συνθ ηµ θ συνθ i) + + + ( + ) + συνθ ηµθ ηµθ( + συνθ) ηµ θ+ + συνθ+ συν θ + συνθ ( + συνθ). ηµθ( + συνθ) ηµθ( + συνθ) ηµθ( + συνθ) ηµθ ii). i) συν συν συν( + ηµ ) + συν( ηµ ) συν + ηµ + ηµ ( ηµ )( + ηµ ) ηµ εϕα + εϕα+ σϕβ εϕβ εϕβ + σϕα εϕβ + εϕα συν συν συν. εϕαεϕβ εϕβ εϕαεϕβ εϕα + εϕα + εϕβ. ηµ α ηµ α ηµασυν α ii) εϕ α ηµα ηµ α συν α συν α ηµ α( συν α) ηµ α ηµα ηµα συν α συν α συνα ηµ α. εϕ α ηµα. i) συν ηµ συν ηµ + + εϕ σϕ ηµ συν συν ηµ συν ηµ συν ηµ + συν ηµ ηµ συν συν ηµ ( συν+ ηµ )(συν ηµ ) συν+ ηµ. συν ηµ ii) ( ) + ( ) συν + συν συν συν συν συν συν ηµ ηµ ηµ εϕ ηµ. συν συν

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ηµ συν iii) ηµ συν. εϕ σϕ ηµ συν + + ηµ + συν ηµ + σ υν συν ηµ ηµ συν ηµ συν iv) ηµ συν ηµ συν ηµ συν συν ηµ ηµ συν. ηµ συν B ΟΜΑΔΑΣ. i) Εειδή ηµ + συν α έχουμε διαδοχικά ( ηµ + συν) α ηµ + συν + ηµ συν α + ηµ συν α α ηµ συν. () Εομένως ηµ + συν α α ii) + ηµ συν ηµ συν α. [λόγω της ()] α ηµ συν ηµ + συν iii) εϕ+ σϕ + συν ηµ ηµ συν ηµ συν. α α iv) Σύμφωνα με την ταυτότητα α + β ( α+ β) αβ( α+ β), έχουμε ηµ + συν ( ηµ + συν) ηµ συν( ηµ + συν) α α α α αϕούηµ +συν ακαι ηµ συν α α α α α( α ) α.

. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 5. i) Βλέε εφαρμογή, 7.. ii) Σύμφωνα με την ταυτότητα α + β ( α+ β) αβ( α+ β), έχουμε 6 6 ηµ + συν ( ηµ ) + ( συν ) ( ηµ + συν ) ηµ συν ( ηµ + συν ) ηµ συν. 6 6 iii) ( ηµ + συν ) ( ηµ + συν ). Είναι ( ηµ συν ) ( ηµ συν ) 6ηµ συν + 6ηµ συν. + ηµ ηµ Ομοίως είναι Εομένως ( + ηµ )( + ηµ ) ( ηµ )( + ηµ ) ( + ηµ ) + ηµ συν συν + ηµ, αφού συν >, εειδή < < συν. ηµ ηµ + ηµ συν. + ηµ ηµ ηµ + ηµ ηµ + ηµ συν συν ηµ εϕ. συν + συν + συν. + συν συν ( + συν + συν) + συν συν συν συν ( )( + + ) + συν + συν+ ( + συν)( συν) ( + συν) ( συν) συν + + ηµ συν συν + ηµ + ηµ συν συν αϕού < είναιηµ ( + ηµ )( ηµ ) ηµ συν συν( ηµ ) συν( ηµ ) συν ( ηµ ) συν. ηµ

6 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο Α ΟΜΑΔΑΣ. i) Αν διαιρέσουμε τον με τον 6 βρίσκουμε ηλίκο και υόλοιο. Εομένως 6 + οότε ηµ ηµ ηµ ( 8 6 ) ηµ 6 συν συν συν( 8 6 ) συν6 εϕ και σϕ. ii) Ομοίως έχουμε 85 7 6 + οότε ηµ ( 85 ) ηµ 85 ηµ ηµ ( 6 ) ηµ ( ) ηµ συν( 85 ) συν85 συν συν( 6 ) εϕ( 85 ) συν( ) συν και σϕ( 85 ).. i) Είναι 87 87 6. Αν τώρα διαιρέσουμε το 87 με το βρίσκουμε ηλίκο 5 και υόλοιο 7. Εομένως έχουμε οότε 87 6 87 5 7 5 + + 76 ηµ 87 ηµ 5 + 6 7 7 ηµ ηµ ηµ 6 6 + 6 6 συν 87 7 συν συν συν + 6 6 6 6

. ANΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 7 87 εϕ 6 και σϕ 87 6. ii) Είναι 8. Αν τώρα διαιρέσουμε το με το 8 βρίσκουμε ηλίκο και υόλοιο 5. Εομένως έχουμε 8 5 8 + + 5 οότε ηµ 5 ηµ ηµ + ηµ συν 5 συν συν + συν εϕ και σϕ.. Εειδή Α+ Β+ Γ 8 είναι Α 8 ( Β+ Γ) και Α 9 Β+ Γ. Έτσι έχουμε i) ηµ Α ηµ ( 8 ( Β+ Γ)) ηµ ( Β+ Γ). ii) συνα συν( 8 ( Β+ Γ)) συν( Β+ Γ). συνα+ συν( Β+ Γ). Α Β Γ Β Γ iii) ηµ ηµ 9 συν + + και Α Β Γ Β Γ iv) συν συν 9 ηµ + +.. Εειδή συν( α) συνα, συν( 8 + α) συνα, ηµ ( α) ηµα και ηµ ( 9 + α) ηµ ( 9 ( α)) συν( α) συνα, έχουμε συν( α) συν( 8 + α) συνα ( συνα) σϕα. ηµ ( α) ηµ ( 9 + α) ( ηµα) συνα

8 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Είναι εϕ( ) εϕ, συν( + ) συν συν 9 + συν συν συν + + + ( ) ηµ ( ) ηµ. ηµ ( + ) ηµ ( 6 + + ) ηµ ( + ) ηµ, συν( ) συν και σϕ σϕ 5 σϕ εϕ +. Εομένως 9 εϕ( ) συν( + ) συν + ( εϕ) συν ( ηµ ). ( ηµ ) συν εϕ ηµ ( + ) συν( ) σϕ 6. Εειδή ηµ ( ) ηµ, συν( ) συν συν( ) συν( ) συν και ηµ συν, έχουμε ηµ ( ) + συν( ) συν( ) + ηµ ηµ συν συν+ συν ηµ + συν. Β ΟΜΑΔΑΣ. Εειδή ηµ 95 ηµ ( 6 + 5 ) ηµ 5 ηµ ( 8 5 ) ηµ 5 συν συν( 8 6 ) συν6 συν95 συν( 6 + 5 ) συν5 συν( 8 5 ) συν5 συν( ) συν (όως ροηγουμένως) εϕ( ) εϕ εϕ( 8 6 ) εϕ6 και εϕ95 εϕ( 6 + 5 ) εϕ5 εϕ( 8 5 ) εϕ5. Η τιμή της αράστασης ισούται με + + + ( ). Έχουμε ηµ ( 5+ ω) ηµ ( + + ω) ηµ ( + ω) ηµω συν( 7 ω) συν( 6+ ω) συν( ω) συνω.

. ANΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 9 5 ηµ ω ηµ ω ηµ ω συνω + 7 συν + ω συν ω συν ω συν ω + + ηµω σϕ( 5+ ω) σϕ( + + ω) σϕ ( + ω) σϕω ηµ ( 7 ω) ηµ ( 6+ ω) ηµ ( ω) ηµω 5 συν ω συν ω συν ω ηµω + 7 σϕ ω σϕ + ω σϕ ω σϕ ω + + εϕω Εομένως η αράσταση γίνεται ( ηµω) ( συνω) συνω ηµω ηµω συν ω συν ω ηµω. σϕω ηµω ηµω ( εϕω) ηµω. Σύμφωνα με την ταυτότητα α + β ( α+ β) αβ, έχουμε εϕ εϕ + 6 + + + + εϕ εϕ εϕ εϕ 6 6 + 5 εϕ εϕ 5 εϕ σϕ + 6 6 5 εϕ σϕ 5.. Είναι εϕ( + ) εϕ < < < < εϕ+ σϕ( + ) εϕ+ σϕ εϕ < < εϕ + εϕ εϕ < + < εϕ εϕ εϕ < + < εϕ < εϕ < εϕ +. ου ισχύει, γιατί αοκλείεται να είναι εϕ, αφού, λόγω υοθέσεως, ορίζεται η σϕ.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Α ΟΜΑΔΑΣ. i) Με τη βοήθεια του ίνακα: ημ,5 ημ,5,5 ημ ημ y y ημ O 5 σχεδιάζουμε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα. ii) Με τη βοήθεια του ίνακα: συν,5 συν,5,5,5 συν συν y,5ημ y ημ y ημ y y συν y,5συν O y συν σχεδιάζουμε τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα.. Η γραφική αράσταση της g() + ημ ροκύτει αό μια κατακόρυφη μετατόιση της γραφικής αράστασης της f() ημ κατά μονάδα ρος τα άνω, ενώ της f() + ημ κατά μονάδα ρος τα κάτω.. Η συνάρτηση f() ημ είναι ερι οδική με ερίοδο. Με τη βοήθεια του ίνακα: ημ 6 σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της g, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα. -8---76.indd y y + ημ O y +ημ y ημ y y ημ O y ημ 6// ::8 µµ

. OΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Ομοίως η συνάρτηση g() συν είναι εριοδική y. με ερίοδο y συν Με τη βοήθεια του ίνακα: συν 6 y συν O σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της g όως φαίνεται στο διλανό σχήμα. είναι, και η ελάχιστη τιμή της η μέγιστη τιμή της f() ημ είναι και η ελάχιστη.. είναι εριοδική με ερίοδο Η συνάρτηση f() ημ Με τη βοήθεια του διλανού ίνακα σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της f, όως φαίνεται στο σχήμα ου ημ ακολουθεί. 5. Εειδή η μέγιστη τιμή της φ() ημ y y ημ y ημ O y ημ είναι, και η ελά χιστη τιμή της. Αν εργαστούμε όως στο αράδειγμα της... βρί σκουμε ότι η συνάρτηση g() συν, άρα και η f() συν, είναι. εριοδική με ερίοδο: 6. Ομοίως, η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f ( ) συν Με τη βοήθεια του διλανού ίνακα: σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της f() συν όως φαίνεται στο σχήμα ου ακολουθεί. 8.indb συν 6// :9: µµ

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ y y συν O y συν 5 7 y συν 7. Η γραφική αράσταση της g() + εφ ροκύτει αό μια κατακόρυφη μετατόιση της γραφικής αράστασης της f() εφ κατά μονάδα ρος τα άνω, ενώ της h() + εφ κατά μια μονάδα ρος τα κάτω. y y εφ y y + εφ y εφ O y εφ y + εφ (8) (9) 8. Κάθε τιμή της συνάρτησης f() εφ εαναλαμβάνεται, όταν το αυξηθεί κατά, ου σημαίνει ότι η τιμή αυτή εαναλαμβάνεται, όταν το αυξηθεί κατά. Εομένως η συνάρτηση f() εφ είναι εριοδική με ερίοδο. Έχοντας υόψη το στοιχείο αυτό και με τη βοήθεια ενός ίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της f() εφ. εφ 8.indb 6 8 8 6 6// :9: µµ

. OΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9. Εειδή η συνάρτηση f() σφ είναι εριοδική με ερίοδο, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα λάτους,. το (,). Αν εργαστούμε, όως και για τη f() εφ, συμεραίνουμε ότι η f() σφ, είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) έχει κατακόρυφες ασύμτωτες τις ευθείες και. Η γραφική της αράσταση στο (,) φαίνεται στο διλανό σχήμα. y O y σφ Β ΟΜΑΔΑΣ. i) Είναι φανερό ότι η ρώτη είναι η y ημ. Εομένως οι άλλες είναι της μορφής: y α ημω. Η ερίοδος της δεύτερης ισούται με. Έτσι ω, οότε ω. Το λάτος α της δεύτερης ισούται με. Άρα η εξίσωσή της είναι η y ημ. Η ερίοδος της τρίτης ισούται με. Έτσι, οότε ω. ω Το λάτος α της τρίτης ισούται με. Άρα η εξίσωσή της είναι η y ημ. ii) Αν εργαστούμε όως ροηγουμένως βρίσκουμε ότι: Η εξίσωση της ρώτης είναι η y ημ Η εξίσωση της δεύτερης είναι η y ημ Η εξίσωση της τρίτης είναι η y,5 ημ και Η εξίσωση της τέταρτης είναι η y,5 ημ.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ. i) Η υψηλότερη λημμυρίδα ισούται με m και αρατηρείται όταν: t, ενώ η χαμηλότερη άμωτη ισούται με m και αρατηρείται 6 t όταν ηµ. Άρα η ζητούμενη υψομετρική διαφορά ισούται με 6 m. 6 ii) Η συνάρτηση είναι της μορφής f() y ημωt. Άρα είναι η εριοδική με ερίοδο (σε μέτρα) ηµ ώρες. ω 6 Με τη βοήθεια του ίνακα: t 6 9 O 6 (σε ώρεσ) t 9 t 6 σχεδιάζουμε τη γραφική της αράσταση ου δίνεται στο αραάνω σχήμα. ημ. i) Όως και ροηγουμένως το μέγιστο ύψος ισούται με + m m, ενώ το ελάχιστο ύψος ισούται με m m. Εομένως η ζητούμενη διαφορά ισούται με m m. y + συντ O ii) Αν εργαστούμε όως στο αράδειγμα της... βρίσκουμε ότι ερίοδος. της συνάρτησης ισούται με iii) Έχοντας υόψη τα αραάνω και με τη βοήθεια ενός ίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης. t 6 + συνt. i) Το λάτος της κίνησης του ιστονιού ισούται με, m. 8.indb 6// :9: µµ

.5 BAΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 ii) Η συνάρτηση είναι εριοδική με ερίοδο / sec. Η γραφική της αράσταση y,, δίνεται στο δι- λανό σχήμα. Η είλυση της εξίσωσης (t),5 στο διάστημα 5 [, ] μας δίνει τις λύσεις /8, 5/8, /8, 7/8, 5/8 και 9/8..5 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Α ΟΜΑΔΑΣ. i) k ηµ ηµ ηµ ή,k Z k + k ή Z (k + ) Z ii) k + ή k+ k + ή k+ Z Z iii) συν συν συν k ± k, λ + λ,

6 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ iv) συν συν συν k ± k,. i) ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ 6 6 k + k 6 6 ή ή 7 k+ k+ 6 6 ii) ηµ ηµ ηµ iii) συν συν συν συν συν συν συν k ± k, iv) συν συν συν k±, k ρ + ρ,.. i) εϕ εϕ εϕ k, k ii) εϕ εϕ εϕ k + k 6 6, iii) σϕ σϕ σϕ k + k, iv) σϕ σϕ σϕ k + k 6 6,

.5 BAΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7. i) εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ 6 6 k k 6, ii) σϕ σϕ σϕ σϕ σϕ k k,. 5. i) ( ηµ ) ( ηµ ) ηµ ή ηµ ηµ ή ηµ ηµ ηµ ή ηµ ηµ k + k + ή,k Z ή ή,k Z k+ k+ k + ή k + ή k +, k ( ) ii) ηµ + ( συν) ηµ + ή συν ηµ ή συν ηµ ηµ ή συν συν k ή k + ( ) 5 ή k, k. 6. i) + εϕ ( εϕ) εϕ ή εϕ εϕ εϕ ή εϕ εϕ k ή k +, k ii) ( συν+ )( εϕ ) σϕ συν ή εϕ ή σϕ

8 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ συν ήεϕ ήεϕ ήσϕ συν συν ήεϕ εϕ ή εϕ εϕ ήσϕ σϕ k± ή k+ ή k ή k +,k Z. όμως οι λύσεις k +, k αορρίτονται γιατί δε ορίζεται ή εφ για k + k,. 7. i) Εειδή, 95 ηµ 7 ηµ, έχουμε: 5 ημ,95 ηµ ηµ 5 k + 5 k + 5 ή,k Z ή,k Z k+ k+ 5 5 ii) Εειδή, 89 συν6 συν, έχουμε: 5 συν,89 συν συν 5 συν συν συν συν 5 5 k ±, k. 5 iii) Εειδή 8, 66 εϕ88 εϕ, έχουμε: 5 εϕ 8, 66 εϕ εϕ 5 k + k 5,.

.5 BAΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 9 8. i) ηµ ηµ ηµ ηµ 6k+ k+ 9 ή,k Z ή,k Z. 6k+ k+ 9 ii) συν + συν συν συν 5 5 5 k±, k k+, k 5 5 k+ 5, k. iii) εϕ εϕ εϕ εϕ 7 7 7 6 k +, k 7 6 k+ 7, k k+ 7, k 9. i) ηµ + ηµ ηµ + + k, k k, k 5 k, k 6 ii) συν συν συν συν

5 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ k ή,k Z k 6 k+ ή,k Z 6 k k+ 7 6 ή,k Z k 6 iii) εϕ εϕ εϕ 5 5 + 5 k, k 6 k+, k k, k 6. i) Αν θέσουμε ημω t, η εξίσωση γράφεται: t + t t ± t ή t Εομένως: Για t έχουμε: ηµω ηµω ηµ ω k, k Για t έχουμε: ω k + 6 ηµω ηµω ηµ ή,k Z 6 5 ω k 6

.5 BAΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 Άρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται αό τους τύους: ω k ή ω k + ή ω k, k 6 6 ii) Αν θέσουμε συν t, η εξίσωση γράφεται: 5 t + t t ± t ή t Εομένως: Για t έχουμε: συν αδύνατο, αφού συν Για t έχουμε: συν συν συν k ± k, Άρα οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται αό τους τύους: k + ή k, k iii) Αν θέσουμε εφt ω, η εξίσωση γράφεται: ± ω + ω ω ω ω 6 ω ή ω Εομένως: Για ω, έχουμε: εϕt εϕt εϕ t k + k, Για ω, έχουμε: εϕ εϕ εϕ t t εϕt εϕ 6 6 t k k 6,.

5 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ. i) Είναι: ηµ + 5συν συν + 5συν συν συν συν Αλλά: ή συν. συν συν συν k ± k, συν συν συν συν συν συν συν λ ± λ, Εομένως οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται αό τους τύους: k ±,k Z ή λ±, λ Z. ii) Η εφ και η σφ έχουν νόημα εφόσον: συν και ηµ () Με αυτούς τους εριορισμούς, έχουμε: εϕ σϕ σϕ σϕ σϕ εϕ k +, k k, k Αό τις λύσεις αυτές καμία δεν ικανοοιεί τον εριορισμό ηµ. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.. i) Η συνάρτηση f( ) ηµ αρουσιάζει μέγιστο όταν ηµ και ελάχιστο όταν ηµ. Αλλά ηµ ηµ ηµ k k +, k+, k, αφού <

.5 BAΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 ηµ ηµ ηµ k k, k, k, αφού < Εομένως η f αρουσιάζει στο [,) μέγιστο για, το f() και ελάχιστο για, το f (). ii) Η συνάρτηση f( ) 7συν αρουσιάζει μέγιστο όταν συν και ελάχιστο όταν συν. Αλλά συν συν συν k k, k +, k Z, αϕού συν συν συν k k +, k +, k Z, αϕού Εομένως η g αρουσιάζει στο [,] μέγιστο για, το g 7 και ελάχιστο για, το g 7.. i) Εειδή S αρκεί να βρούμε το t {,,..., } για το οοίο ισχύει: 75 + 5ηµ t 6 Έχουμε: 75 + 5ηµ t 5 5 6 ηµ t 6 ηµ t 6

5 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ t k+ 6 6 t ηµ ηµ ή, k Z 6 6 t k+ 6 6 t k + ή,k Z t ή t 5, αϕού t t k + 5 Άρα οι ζητούμενοι μήνες είναι ο Ιανουάριος και ο Μάιος. ii) To S αίρνει τη μεγαλύτερη τιμή του όταν το ηµ t άρει τη μεγαλύτερη τιμή του δηλαδή όταν ηµ t. 6 6 Εειδή: ηµ t ηµ t ηµ t k +, 6 6 6 k t k +, k Z t, αϕού t Άρα τον μήνα Μάρτιο έχουμε το μεγαλύτερο αριθμό ωλήσεων. B ΟΜΑΔΑΣ. i) Είναι: ηµ συν ηµ συν + ηµ ηµ + ηµ ηµ k+,k Z ή k+,k Z k,k Z ή 5 k +,k Z ( αδύ νατη) k,k Z 8

.5 BAΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 55 ii) Η εφ και σϕ + έχουν νόημα εφόσον συν και ηµ +. Με αυτούς τους εριορισμούς έχουμε: εϕ σϕ + εϕ σϕ + εϕ εϕ + εϕ εϕ 6 k+,k Z 5k+,k Z 6 6 k +,k Z ου ικανοοιούν τους εριορισμούς. 5. i) Η εφ έχει νόημα εφόσον συν. Με αυτόν τον εριορισμό έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) εϕ ηµ + ηµ +εϕ εϕ ηµ εϕ ηµ εϕ ηµ ηµ ηµ εϕ εϕ ή ηµ ( αδνατη ύ, γιατίσυν ) εϕ εϕ k +,k Z. Οι λύσεις αυτές είναι δεκτές, αφού ροφανώς ικανοοιούν τον εριορισμό συν. ii) Η εξίσωση ορίζεται, εφόσον συν. Με αυτόν τον εριορισμό έχουμε: εϕ + εϕ εϕ εϕ εϕ συν ± εϕ εϕ ήεϕ. Αλλά: εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ k k, o εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ 7 k + k 5 5, Εομένως οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται αό τους τύους: k αφού ροφανώς ικανοοιούν τον εριορισμό συν.. Είναι: εϕ εϕ εϕ k + k, k

56 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ Άρα έχουμε: (, ) < < < k+ <, k < k+ < 6, k < k< 5, k 5 < k <, k k Εομένως η λύση της εξίσωσης είναι η +.. Έχουμε: + + συν ηµ συν ηµ ηµ + συν +συν ηµ +συν +συν ( ) +συν ηµ συν + συν +συν ηµ συν ( συν + ) +συν ηµ συν ή συν ηµ ηµ ή συν συν ή 5. Για συν και ηµ + έχουμε εϕ σϕ + εϕ εϕ εϕ εϕ + 6 k + k, k +, k 6 6 6k+, k ( ) Εομένως έχουμε: 6k+ < <, k

.5 BAΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 57 6k+<,k Z 6k<,k Z k <,k Z 6 6 k y Άρα οι λύσεις της εξίσωσης στο [, ) είναι οι αριθμοί 7 9 και. (βλέε διλανό σχήμα). Ο / Α

58 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ.6 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών Α ΟΜΑΔΑΣ. i) συν συν ηµ ηµ συν + συν ii) συν7 συν5 + ηµ 7 ηµ 5 συν( 7 5 ) συν συν6 iii) ηµ ηµ 7 συν συν7 συν συν7 ηµ ηµ 7 συν( + 7 ) συν 8 iv) συν 7 συν 7 ηµ ηµ 7 + συν συν. i) ( ) ( ) ( ( ) ) συν συν ηµ ηµ συν + συν ii) συν + συν ηµ ηµ συν συ + + + ν. i) συν + συν + ii) συν συνσυν ηµ ηµ + συνσυν +ηµ ηµ συνσυν συν συν συν + + συνσυν ηµ ηµ συνσυν ηµ ηµ συνσυν ηµ ηµ συν ηµ ηµσυν. i) ηµ 7 συν 7 7 συν ηµ ηµ ηµ 8 9 8 9 8 9

.6 TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 59 ii) ηµ 7 συν + συν7 ηµ ηµ ( 7 + ) ηµ 9 7 εϕ εϕ iii) 7 εϕ εϕ εϕ εϕ 7 iv) εϕ 65 + εϕ 5 εϕ65 εϕ5 εϕ( 65 + 5 ) εϕ8 5. i) ηµ συν +συν ηµ ηµ ( + ) ημ ii) ηµ + συν συν ηµ ηµ ηµ + + 6 6 6 6 εϕ εϕ iii) ( ) ( ) εφ. εϕ εϕ + + 6 iv) εϕ εϕ. + + εϕ 6 + 6 6. i) ηµ + ηµ + εϕ + σφ ii) ( ηµα+ συνα) ( ηµβ + συνβ) ηµαηµβ + ηµασυνβ+ συναηµβ + συνασυνβ ( ηµασυνβ+ συναηµβ)+ συνασυνβ + ηµαηµβ ηµ ( α+ β)+ συν( α β) 7. ηµ 5 ηµ ( 6 + 5 ) ηµ 6 συν5 + συν6 ηµ 5 ( + ) + συν5 συν( 6 + 5 ) συν6 συν5 ηµ 6 ηµ 5 ( ) οότε εϕ5 ( ) + και σϕ5 + +

6 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ηµ 95 ηµ ( 5 + 5 ) ηµ 5 συν5 + συν5 ηµ 5 ( ) συν95 συν( 5 + 5 ) συν5 συν5 ηµ 5 ηµ 5 οότε εϕ95 ( ) + ( + ) και σϕ95 + ( ) + ( ) ηµα ηµβ ηµασυνβ+ συναηµβ ηµ α+ β 8. i) εϕα+ εϕβ + συνα συνβ συνασυνβ συνασυνβ συνα συνβ ηµασυνβ+ συναηµβ ηµ ( α+ β) ii) σϕα + σϕβ + ηµα ηµβ ηµαηµβ ηµαηµ β 9. Εειδή ηµα 5 και συνβ, αό τη σχέση ηµ + συν βρίσκουμε ότι: συνα και ηµβ 5 5 Έτσι έχουμε: 5 5 5 i) ηµ ( α+ β) ηµασυνβ+ συναηµβ + 5 5 5 ii) συν( α+ β) συνασυνβ ηµαηµβ. i) Σύμφωνα με τους τύους () και () αρκεί να υολογίσουμε το συνα και το ημβ. Έχουμε λοιόν: συν α 9 6 ηµ α 5 5, οότε συνα 5, αφού < α < ηµ β 5 συν β 69 69, οότε ημβ, αφού β < < Εομένως: ηµ ( α+ β) ηµασυνβ+ συναηµβ 5 + 5 5 65 συν( α+ β) συνασυνβ ηµαηµβ 5 5 5 56 65 οότε ( ) εφ α+β 56 και ( ) 56 σφ α+β ii) Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόο 6 65 6 65

.6 TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 6. i) ηµ συν + ηµ συνσυν ηµ ηµ 6 6 6 ηµ συν ηµ ηµ συν ηµ ηµ συν εϕ εϕ εϕ 6 k +,k Z 6 ii) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε, με συν και συν +. Με αυτούς τους εριορισμούς έχουμε: εϕ εϕ εϕ + + εϕ + + εϕ εϕ εϕ + + εϕ + εϕ εϕ εϕ ± Έτσι έχουμε: εϕ εϕ εϕ k +,k Z Όλες οι λύσεις είναι δεκτές, αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς. iii) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε, με συν( α). Με τον εριορισμό αυτό και την ροϋόθεση ότι ορίζεται η εφ, δηλαδή συν έχουμε: εϕ εϕα εϕ + εϕ( α) + εϕεϕα εϕ εϕ + + 6εϕ 5εϕ 5 εϕ εϕ εϕ k +,k Z Όλες οι λύσεις, είναι δεκτές αφού είναι εύκολο να αοδειχθεί ότι ικανοοιούν τους εριορισμούς. Δεν υάρχουν άλλες λύσεις της εξίσωσης, αφού οι τιμές k + k, ου μηδενίζουν το συν δεν την εαληθεύουν.

6 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ B ΟΜΑΔΑΣ. Είναι: ηµ ( α β ) ηµασυνβ συναηµβ ηµασυνβ συναηµβ συνασυνβ συνασυνβ συνασυνβ συνασυνβ Άρα Ομοίως: ( ) εϕα εϕβ ημ α β εφα εφβ συνασυνβ ( ) ημ β γ εφβ εφγ και συνβσυνγ ( ) ημ γ α εφγ εφα συνγσυνα Αν τώρα τις αραάνω ισότητες τις ροσθέσουμε κατά μέλη έχουμε: ( ) ηµ ( β γ) ηµ ( γ α) + + + β εϕγ εϕγ εϕα ηµ α β συνασυνβ συνβσυνγ. ος τρόος Έχουμε: συνγσυνα εϕα εϕβ εϕ + συν( α+β ) συνασυνβ ηµαηµβ συνασυνβ ημαημβ () Εομένως: ηµ ( α+ β) ( ηµ ( α+ β)+ β) ηµ ( α+ βσυνβ ) + συν( α+ β) ηµβ ηµ ( α+β) συνβ, ( αϕού συν ( α+β ) ) ( ηµασυνβ+συναηµβ) συνβηµασυνβσυνβ+συνασυνβηµβ () ( ) ( ) ηµασυνβσυνβ +ηµαηµβηµβ ηµα συν β+ηµβ ηµα ος τρόος Έχουμε: συν( α+β ) α+β k +,k Z βk + α,k Z Εομένως: ηµ ( α+ β) ηµ ( α+ k + α) + ηµ ( α) ηµα. ηµ ( α) ηµ ( + α) ηµ συνα συνηµα ηµ συνα συνηµα ηµσυνα συνηµα ηµ συνεϕα ηµ συν, αϕούεϕα εϕ

.6 TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 6. Εειδή α+ β θα είναι β Εομένως: α, οότε: εϕβ εϕ εϕ εϕα εϕα α + εϕ εϕα + εϕα ( + ) ( + )( + ) + εϕα εϕα εϕβ εϕα + ( + εϕα ) εϕα + εϕα 5. i) Αν με φ συμβολίσουμε τη γωνία ΑΒ ˆ, έχουμε: εϕϕ ( Α ) ( ) ( ΑΓ ) ΑΒ ( ΑΒ) εφβ εϕβ, δηλαδή εφφ () Εομένως: εϕβ εϕ εϕ εϕϕ () Β Β εϕ εϕω εϕ( Β ϕ) Β + εϕ εϕϕ + εϕ εϕ Β Β Β + εϕ ii) Αν Β6 τότε αό την αραάνω ισότητα βρίσκουμε ότι: εϕ6 εϕω, οότε ω + εϕ 6 + Άρα η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β. 6. Έχουμε διαδοχικά: ηµ Α+ ηµ ( Β Γ) ηµ ( Β+ Γ)+ ηµ Β Γ εϕβ συν Β Γ συν Β Γ ( ) ( ) ( ) Β ηµ Β συνβ ηµ ΒσυνΓ ηµ Β συνβσυνγ+ ηµ Βηµ Γ συνβ συνβσυνγ συνβσυνγ+ ηµ Βηµ Γ συνβσυνγ ηµ Βηµ Γ συν( Β+ Γ) Β+ Γ Α 7. i) Εειδή Α+ Β+ Γ έχουμε διαδοχικά: Α+ Β Γ σϕ( Α+ Β) σϕ Γ ( ) σϕασϕβ σϕγ σϕβ+ σϕα σϕασϕβ σϕβσϕγ σϕασϕγ σϕασϕβ+ σϕβσϕγ+ σϕγσϕα

6 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ii) Εειδή Α+ ( Β+ Γ) είναι συνα συν( Β+ Γ), οότε: ( ) συνα συν Β+Γ ηµβηµγ συνβσυνγ σφβσφγ ηµβηµγ ηµβηµγ ηµβηµγ Ομοίως συνβ ηµγηµα σφγσφα και συνγ ηµαηµβ σφασφβ οότε με ρόσθεση κατά μέλη, λόγω της (i), βρίσκουμε το ζητούμενο., με συν και συν +. Με τους εριορισμούς αυτούς και με την ροϋόθεση ότι ορίζεται η εφ η εξίσωση γράφεται διαδοχικά: εϕ +εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ +εϕ εϕ +εϕ εϕ εϕ +εϕ 8. Η εξίσωση είναι ορισμένη για κάθε [ ] ( ) ( ) ( ) +εϕ εϕ εϕ εϕ + εϕ + εϕ + εϕ εϕ εϕ + εϕ εϕ + εϕ εϕ ή εϕ αϕού 6 ή αϕού 6 [ ] [ ] ου είναι δεκτές, αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς. Σχόλιο: Αν δεν ορίζεται η εϕ, δηλαδή αν, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. 9. Αρκεί να δείξουμε ότι + y z. Εειδή εϕ < και εϕy < και εϕz < θα είναι < yz,, <, οότε

.7 TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α 65 < + y< και < z < Εομένως η +y z γράφεται διαδοχικά: y + y z + y z εϕ + εϕ εϕ( ) εϕ εϕεϕy + 5 8 7 7 +, ου ισχύει. 9 9 5 8 z εϕ + εϕz.7 Τριγωνομετρικοί Aριθμοί της Γωνίας α Α ΟΜΑΔΑΣ. i) ηµ συν ηµ ηµ ii) ηµ συν συν 6 iii) συν 5 συν( 5 ) συν7 iv) εϕ75 εϕ 75 εϕ( 75 ) εϕ5 εϕ. i) ηµ α συνα ηµ ( α ) ημα ii) συν α συν α συν α ημα εϕ α εϕ α εφ6α εϕ α iii) ( ). i) ηµ α+ συνα ηµα + ( ηµ α) ηµα συν α ηµ α ηµασυνα ηµα ii) εϕα ηµ α συν α συνα iii) σϕα εϕα συνα ηµα συν α ηµ α συνα σϕα ηµα συνα ηµασυνα ηµ α ηµα συνα ηµ α+ συν α iv) εϕα + σϕα + συνα ηµα ηµασυνα ηµ α ηµ α

66 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ. i) Σύμφωνα με τους τύους () και () αρκεί να υολογίσουμε το ηµα. Έχουμε λοιόν: ηµ α συν α 6 9 5 5. Άρα ημα, αφού < α< 5 Εομένως: ηµ α ηµασυνα 5 5 5 συνα συν α 6 5 7 5, οότε εϕ α και σϕ α 7 7 ii) Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόο. εϕα+ εϕβ 5. Εειδή εϕ( α+ β), αρκεί να υολογίσουμε την εφβ εϕαεϕβ Έχουμε λοιόν: εϕβ εϕβ εϕ β 8 9 9 οότε: + εϕ( α+ β) 6 6 6 6. i) ηµ ασυνα+ συν αηµα ηµασυνα( ηµα+ συν α) ηµασυνα ηµ α ii) ηµ αεϕα + συν α ηµασυνα ηµα + συν α ( ηµ α+ συν α) συνα ηµ α ηµασυνα ηµασυνα ηµα iii) συνα συν α συν α συνα εϕα + + iv) συν α+ ηµ α ( ηµ α)+ ηµασυνα + συνα+ ηµ α + ( συν α )+ ηµασυνα ηµ α+ ηµασυνα ηµα ηµα + συνα συν α+ ηµασυνα συνα συνα + ηµα 7. i) συν ηµ ηµ ηµ ηµ + ηµ ηµ ( ηµ + ) ηµ ή ηµ ( ) ( ) εϕα

.7 TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α 67 Έτσι έχουμε: ηµ ηµ ηµ k ή k +,k Z ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ 6 6 7 k ή k +,k Z 6 6 ii) ηµ συν+ ηµ ηµσυν συν+ ηµ Έτσι έχουμε: συν( ηµ ) + ( ηµ ) ( ηµ )( συν+ ) ηµ ή συν συν συν συν συν συν k±, k 8. Στο αράδειγμα της σελίδας 9 βρήκαμε ότι: ηµ συν +,, εϕ και σϕ + 8 8 8 8 Σύμφωνα με τους τύους () και (5) έχουμε: ηµ συν 8 6 + +, οότε συν + συν + 8 6 + + +, οότε

68 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ οότε + εφ 6 + + και 9. Σύμφωνα με τους τύους () και (5) έχουμε: 5 i) ηµ α συνα 8, οότε 6 Εομένως α ημ, αφού α < < 5 συν α συνα 8 9 + +, οότε 6 ii) ηµ α συνα α 9 συν, αφού α < < α εφ 9 και α σφ 5, οότε 5 α ημ, 5 αφού α < < συν α + συνα + 5 α συν, 5 αφού α < < 8, οότε 5 α Εομένως εφ και α σφ. i) συν + συν συν + + συν συν + συν συν( συν+ ) συν ή συν Έτσι έχουμε: συν k±,k Z

.7 TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α 69 συν συν συν συν συν k±,k Z ii) συν ηµ συν ( συν) συν συν συν συν k±,k Z iii) συν ηµ συν συν συν συν ( ) συν συν συν( συν ) ( ) συν ή συν αδνατη ύ k Z iv) συν συν συν + συν συν συν ± συν συν ήσυν συν συν k+, k Z Β ΟΜΑΔΑΣ. Είναι ηµ α ηµασυνα. Άρα έχουμε: ( ) + συνα ηµα συν α ηµα ηµασυνα ηµασυνα ηµ α, δηλαδή: ( συνα ηµα) ηµ α εειδή α έχουμε: ηµα και < συνα Εομένως συνα ηµα >, οότε αό τη σχέση () ροκύτει ότι συνα ηµα ηµ α.. ηµ α+ συν α ηµ α ηµα + συνα ηµα + συνα ( ) ηµα συνα ( ) ( + ) ηµ α συν α ηµ α συν α συν α εϕ α

7 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ος τρόος Εειδή + είναι συν ηµ. Άρα: 8 8 8 8 ηµ συν ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ συν 8 8 8 8 8 8 8 8 ηµ συν ηµ 8 8 ος τρόος Με τους τύους () και (5). εϕα + εϕ α + εϕα + εϕα εϕα εϕ α εϕ α. i) εϕα+ σϕα εϕα + εϕ α+ εϕα εϕα εϕα εϕα εϕα εϕ α εϕ α ii) συν α+ συν α ( ηµ α)+ ( ηµ α) + συνα+ συνα + ( συν α )+ ηµ α ( ) 6 8ηµ α ηµ α 8ηµ α ηµασυνα 8συν α ηµ α 8συν α ηµασυνα ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 8ηµ α συν α ηµ α ηµα 8συν α ηµ α συν ασυν α εϕ α ηµα εϕ5 εϕα εϕα 5. εϕ 5 α συνα ( ) συνα ηµα + εϕ5 εϕα + εϕα ηµα + συνα + ηµα συνα ( ) + συνα ηµα ( συνα ηµα) συν α ηµ α συνα + ηµα συν α+ ηµ α+ ηµασυνα συνα +ημα ( ) συνα ( ηµ α) ( + )( ) συνα ( ηµ α) ηµ α ηµ α ηµ α συνα ( ηµ α) ηµ α συν α συνα ηµ α εφα. συνα συνα συνα

.7 TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α 7 συνα Αό τον τύο εϕ( 5 α) για α αίρνουμε: + ηµα συν6 εϕ5 + ηµ 6 + + ( + )( ) 6. i) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε με συν. Με τον εριορισμό αυτό έχουμε: ηµ ηµ συν εϕ συν συν συν συν ηµ ηµσυν συν ηµ συν ( ) συν ηµ +ηµ συν ή ηµ +ηµ ± συν ή ηµ Έτσι έχουμε: συν k±,k Z ηµ ηµ ηµ 5 k+ ή k+,k Z 6 6 6 Όλες οι ρίζες ου βρήκαμε είναι δεκτές, αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς. ii) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε, με συν και συν. Με αυτούς τους εριορισμούς έχουμε: εϕ εϕ εϕ εϕ εϕ + εϕ εϕ εϕ εϕ ή εϕ Έτσι έχουμε: εϕ εϕ εϕ k +,k Z Όλες οι ρίζες ου βρήκαμε είναι δεκτές, αφού ικανοοιούν τους εριορισμούς.

7 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ) 7. συνα συν α ( συνα) συν α ( συν α συν α+ ) 8συν α 8συν α+ 8. i) Είναι: συν συν συν + 8 8 και συν + 6 + 6 συν + συν 8 8 + + 8 6 6 8 οότε με ρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: συν συν 8 + 6 8 8 ii) εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόο όως ροηγουμένως. iii) 8ηµ α συν α ( ηµασυνα) ( ηµ α) ηµ α συνα 9. Σύμφωνα με τον τύο (6) έχουμε: α β+γ α συν β+γ β+γ β+γ α εφ +συν α α+β+γ + α+β+γ β+γ β+γ Ομοίως έχουμε: y α+γ β εφ και α+β+γ Εομένως z α+β γ εφ α+β+γ y z β γ α α γ β α β γ α β γ εϕ + εϕ + εϕ + α+ β+ γ + + α+ β+ γ + + α+ β+ γ + + α + β+ γ

.8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 7.8 Μετασχηματισμοί Τριγωνομετρικών Παραστάσεων Α ΟΜΑΔΑΣ. i) συν75 συν5 συν75 συν5 συν( 75 5 )+ συν( 75 + 5 ) ( + ) + συν 6 συν 9 ii) ηµ 5 συν5 ηµ συν ηµ ηµ 5 5 + 9 + + iii) ηµ συν ηµ συν ηµ ηµ 7 + 6 + iv) ηµ 7 ηµ ηµ ηµ συν συν 7. i) ( ) ( ) ηµ συν ηµ + +ηµ ημ ημ ii) ( ) ( ) ηµ ηµ συν συν + συν συν6 iii) συν συν 5 συν( 5) +συν ( + 5) συν+συν8 iv) συν6 ηµ ηµ συν ηµ ηµ 6 ( + 6)+ ( 6) ( ημ8 ημ) v) ηµ ηµ ηµ ηµ + + + + συν συν συν( ) συν συν

7 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ. i) ηµ συν ηµ 6 συν ηµ συν ηµ 6 συν ηµ +ηµ ηµ 8 +ηµ ηµ 8 ηµ 8 k+ ή 8 k+,k Z ii) συν συν ηµ ηµ συν συν ηµ ηµ ( ) συν 5 +συν συν συν συν 5 συν 5 k+ ή 5 k +,k Z k+ 8 ή k,k Z 75 + 5 75 5. i) ηµ 75 + ηµ 5 ηµ συν ηµ 5 συν 5 5 ii) ηµ 5 ηµ + ηµ συν ηµ συν + 8 8 iii) συν + συν8 + συν6 συν συν + συν6 συν6 συν + συν6 συν + συν6 + 6 6 συν συν συν9 συν7 + 5. i) ηµ +ηµ ηµ συν ημσυν 5 5 + ii) συν5 συν ηµ ηµ ημ ημ + iii) συν +συν συν συν συν συν iv) +ηµ ηµ +ηµ ηµ + συν ημ + v) +συν συν +συν συν συν συν 6. Εειδή Β+ Γ 9 έχουμε: i) ηµ Β+ ηµ Γ ηµ ( Β+ Γ) συν( Β Γ) ηµ 9 συν( Β Γ) συν Β Γ ( ) 6